Научная статья на тему 'О приближенных методах решения квазивариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек'

О приближенных методах решения квазивариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
113
27
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
КВАЗИВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА / МЯГКАЯ СЕТЧАТАЯ ОБОЛОЧКА / МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ / ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Бадриев Ильдар Бурханович, Бандеров Виктор Викторович, Задворнов Олег Анатольевич

Проведено исследование сходимости конечноэлементных схем для стационарных задач об определении положения равновесия мягких сетчатых оболочек при наличии массовых сил и следящей поверхностной нагрузки. Предполагается, что оболочка в перемещениях ограничена препятствием. Доказательство сходимости конечноэлементных схем основано на построении итерационного метода решения конечномерной аппроксимации квазивариационного неравенства, возникающего при математической формулировке рассматриваемой задачи.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Бадриев Ильдар Бурханович, Бандеров Виктор Викторович, Задворнов Олег Анатольевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «О приближенных методах решения квазивариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 150, кн. 3

Физико-математические пауки

2008

УДК 519.958

О ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ КВАЗИВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ ТЕОРИИ МЯГКИХ СЕТЧАТЫХ ОБОЛОЧЕК

И.Б. Бадриев, В.В. Банде-рое, O.A. Задворпов

Аннотация

Проведено исследование сходимости копечпоэлемептпых схем для стационарных задач об определении положения равновесия мягких сетчатых оболочек при наличии массовых сил и следящей поверхностной нагрузки. Предполагается, что оболочка в перемещениях ограничена препятствием. Доказательство сходимости копечпоэлемептпых схем основано па построении итерационного метода решения конечномерной аппроксимации квазивариациошгого неравенства, возникающего при математической формулировке рассматриваемой задачи.

Ключевые слова: квазивариациоппые неравенства, мягкая сетчатая оболочка, метод конечных элементов, итерационные методы.

Введение

В настоящей работе проведено исследование сходимости копечпоэлемептпых схем для стационарных задач об определении положения равновесия закрепленных по краям мягких бесконечно длинных цилиндрических оболочек, нагруженных массовыми силами и следящей поверхностной нагрузкой и при наличии вогнутого препятствия (см. [1. 2]). Сформулирована вариационная постановка задачи. на основе которой введена обобщенная постановка в виде квазивариационного неравенства в пространстве Соболева. Ранее в [3] было проведено исследование сходимости конечномерных аппроксимаций для абстрактных квазивариационных неравенств в банаховых пространствах при выполнении ряда условий на аппроксимацию множеств, участвующих в формулировке квазивариационного неравенства. В настоящей работе установлено, что для рассматриваемой задачи теории мягких сетчатых оболочек выполнены упомянутые условия па аппроксимацию множеств. Отметим, что доказательство сходимости конечномерных аппроксимаций в [3] основано на использовании итерационного метода (см. [4]) решения квазивариационного неравенства. Поэтому фактически предложены приближенные методы решения квазивариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек, основанные на конечноэлементной аппроксимации квазивариационного неравенства с последующим применением итерационного метода.

1. Конечномерные аппроксимации квазивариационных неравенств

Пусть V - рефлексивное банахово пространство с равномерно выпуклым сопряженным пространством V*, (•, •} - отношение двойственности между V и V*, М С V - непустое, слабо замкнутое, вообще говоря, невыпуклое множество, оператор А : V ^ V*, является:

• псевдомонотонным, то есть (см. [5, с. 190]) A ограничен, и для любой последовательности {uk}+=1, сходящейся слабо к u в V, из неравенства

lim sup (Auk, uk — u) < 0

вытекает, что

lim inf (Auk, uk — n) > (Au, u — n) V n G V;

k—^

(A(tn), n) - (A(tu),u - n) - (A(u +t (n - u)),n - u) dt = 0 Vu,n G V; (1)

0

• коэрцитивным, то есть

(An,n)> p(||nllv)llnllv Vn G V, где lim p(C) = ; (2)

||Au - Anllv. < ma(R)*(||u - nllv) Vu, n G V, (3)

где R = max{||u||V, llnllvК M _ неубывающая на [0, ) функция, Ф - непрерывная, строго возрастающая на [0, ) функция такая, что Ф(0) = 0, Ф (С) ^ при С ^

Определим для каждого u G М выпуклое замкнутое множество K(u) С М, содержащее u.

Рассматривается задача поиска элемента u G М, являющегося для заданного f G V* решением квазивариационного неравенства

(Au, n - u) > (f, n - u) Vn G K(u). (4)

Определим функционал F : V ^ R1 соотношением

F(n)= Fo(n) - (f,n), Fo(n) = J(A(tn),n) dt. (5)

0

При этом из (1) и (5) вытекает, что

F(n) - F(u) = J(A(u + t (n - u)), n - u) dt - (f, n - u) Vu, n G V.

0

F

II П II V

lim F (n) > lim /(p(C)-||f||v.) d£ = + rc.

II n II V|| n II vJ

0

Перейдем к построению конечномерных аппроксимаций задачи (4). Каждому параметру h го множества {ha|aes поставим в соответствие конечномерное подпространство ^пространства V и непустое, замкнутое множество

k

Mh С Vh, а каждому uh G Mh - выпуклое, замкнутое множество Kh(uh) С Mh, содержащее uh.

Vh V

rh : V ^ Vh (операторы сужения из V на Vh), что

lim ||rhn - nllv =0 VП G V. (6)

h—ü

Считаем также выполненными следующие условия:

(I) Для любого n G M существует такая последовательность (nhfc j+= > lim hfc = 0, nhk G Mhk, k =1, 2,..., что

k—

lim \nhfc - n\v = 0;

k—

(II) Если последовательность (nhfc j+k^i •> lim hk = 0, nhfc G Mhfc, k =1, 2,...,

k—

слабо сходится в V к n? то n G M, и для любого v G K (n) существует последовательность |vhfc j~kn ? lim hk = 0, vhfc G Khfc (nhfc ), k = 1, 2,..., такая, что k—

lim |vhfc - v||v = 0;

k—

{(k) 1 + ^

nh г С Mh СХОДИТСЯ К n? т° Для любо-j k=i +

го vh G Kh(nh) существует последовательность |vhk) } , vhk) G Kh(nhk)) ?

I J k=i

k = 1, 2, . . .

lim

k—

(k)

vh - vh

= 0.

v

Задаче (4) поставим в соответствие семейство аппроксимирующих задач, за-

uh G Mh

(Auh,nh - uh) > (/,nh - uh) Vnh G Kh(uh). (7)

Для решения квазивариационного неравенства (7) рассмотрим следующий итерационный процесс, позволяющий свести ее к вариационному неравенству с оператором двойственности, обладающим существенно более лучшими свойствами по сравнению с исходным псевдомонотонным оператором.

Пусть uhü) — произвольный элемент из Mh. Для k = 0,1, 2,... определим вектор

(k+l) ^ . (k)s

uh G Kh(uh )

(J(uhk+i) - uhk)), nh - uhk+i)) > T (/ - Auhk), nh - uhk+i)) Vnh G Kh(uhk)), (8)

где t > 0 - итерационный параметр, J : V ^ V* - оператор двойственности, порождаемый функцией Ф из (3):

(Jn,n) = l|Jn llv* Iln ||v = *(||n llv) ||n llv Vn G V.

Существование единственного решения вариационного неравенства (8) следует из строгой монотонности и непрерывности оператора двойственности [5, с. 186 187].

Имеют место следующие результаты (см. [3]).

Теорема 1. Пусть оператор A : V ^ V* является псевдомонотонным, ограниченно липшиц-непрерывным, потенциальным и коэрцитивным, выполнены условия (I). (III),

0 < т < min{1,1/мо}, Mo = M (dо + ^,

d0 = sup \\uh\\v, d0 = sup \\Au - f \\v *, S о = {uÄ G Mo : F (uh) < F (uh0))}.

{(k)

uh ) [ , построенная согласно (8),

V

{uhk)}+=0 С Sh, \uhk)\< d°, k = 0,1, 2,..., (9)

и все ее слабо предельные точки являются решениями квазивариационного неравенства (7).

Теорема 2. Пусть оператор A : V ^ V* является псевдомонотонным и коэр-

uh

ет последовательность {hk}+=1, hk ^ 0 при k ^ такая, что uhk сходится слабо в V к некоторому решению u задачи (4) при k ^ .

Более того, любая слабо предельная точка u* семеиства {uh} является решением задачи (4), причем если {uhk}+= - подпоследовательность, сходящаяся слабо в V к u* при k ^ , то

lim (Auhfc - Au*,uhk - u*} = 0. (10)

k—

Замечание 1. Из теоремы 1 следует существование решения квазивариационного неравенства (7), а из соотношения (9) - равномерная ограниченность по h семейства {uh}:

\\uh\\v < do. (11)

2. Построение и исследование схем МКЭ для задач теории мягких сетчатых оболочек

Рассмотрим теперь задачу об определении положения равновесия мягкой бесконечно длинной цилиндрической оболочки, закрепленной по краям и находящейся под воздействием массовых сил и следящей поверхностной нагрузки, описываемая следующей системой дифференциальных уравнений (см. [7]):

d (T (A) dw \ . . „ dw ~. . , .

- -Т- ^Г1 ~Г + чШ -г + /00 =0, 0 < s < I, (12)

ds у A ds J ds

где Q = 01)' s _ ДУговая координата точки оболочки, отсчитываемая по

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

контуру сечения в недеформированном состоянии оболочки, w = (wi, w2) - координаты точек в декартовой системе координат (xi,x2), введенной в поперечном

( 2 2\1/2

сечении оболочки, A(u) = ( (wi ') + (w2 ') ) — относительные удлинения точек

оболочки, Т (Л) - касательные усилия в оболочке, / = ид- погонные

плотности массовых сил и следящей поверхностной нагрузки соответственно.

Т

ем, что она что она является неотрицательной, непрерывной, неубывающей функцией, равной нулю при Л < 1 (то есть оболочка не воспринимает сжимающих усилий), и существуют с2 > с1 > 0, р > 2 такие, что

с1(Л - 1)р-1 < Т(Л) < с2(Л - Л > 1. (13)

Относительно функции д предполагаем, что

д € Ьж (0,/) при р > 2,

(14)

|д(«)| < сз < С1, в € (0,1) при р = 2.

Уравнения (12) дополняются граничными условиями

ад1(0)=0, ад2(0) = 0, ад1(/)=0, ад2(/) = /.

Для учета взаимодействия оболочки с препятствием добавим в (12) новое слагаемое ЛРо, где Ро _ плотность силы реакции препятствия.

! (Т (Л) ¿ад \ . . „ Сад ~. . , ^ , .

-_^-и_]+д(в)д_ + /(в) + ЛРо = о> о<,</. (15)

Отметим, что Ро является, наряду с ад, величиной неизвестной. Полагаем, что поверхность препятствия во введенной системе координат задается в виде Х2 = Р (Ж1) где Р — непрерывно-дифференцируемая вогнутая функция такая, что Р(0) < 0, Р(/) < 0, то есть оболочка находится над препятствием.

Материал, из которого сделано препятствие, будем считать абсолютно твердым, а поверхность препятствия абсолютно гладкой, то есть взаимодействие оболочки с препятствием порождает усилия, направленные только по внешней нормали к поверхности препятствия. Поэтому плотность силы реакции препятствия можно записать в виде:

Ро(в) = (ад^)),

<с\ гл т )

где ) = Ц -—-—— единичный вектор внешней нормали к поверхности препят-1 т )|

ствия, т (£ ) = (1, Р '(£)), в ~ неизвестная функция, удовлетворяющая условиям

в > 0, в € ; в = о, в , (ю)

■Р = О € (0,/) : ад2(£) = Р(ад^))} — коинцидентное множество, то есть множество тех точек, где оболочка контактирует с препятствием.

Введем теперь множество ограничений конфигураций оболочки препятствием, или множество допустимых конфигураций

М = { п : п 2 > Р( П1), в € (0,/); п(0) = (0,0), п (/) = (/, 0) } ,

принадлежность которому означает, что оболочка не может находиться ниже преМ

пукло.

Под решением рассматриваемой задачи мы будем понимать функции ад € М

в

Приводом вариационную постановку рассматриваемой задачи. Пусть

Д= {x =(xi,x2): X2 < F(xi)} .

Для v £ M введем функцию Pv = (Pif, PJ ),

Pv(s) = arg min { |x(s) — v(s) |} . x(s) £ Д

Отметим, что Pv(s) — оператор проектирования на выпуклое замкнутое множество Д, а значит, он определен для любого s и является липшиц-непрерывным. Определим далее множество K(v):

K(v) = {n £ M : (n(s) — Pv(s),n(Pv(s))) > 0, 0 < s < l}.

Вариационная постановка рассматриваемой задачи состоит в нахождении функции w £ M, являющейся решением квазивариационного неравенства

i i

[ («/,,/ _ и/) ds- f(Xq + f, 1] - w) ds> 0 V?y £ Ä'(w). (17)

J A(w) J

0 0

Следуя [2], нетрудно установить, что справедлива

Теорема 3. Пусть w, ß - решение поточечной задачи (15), (16). Тогда w

w

(17), функции w и T достаточно гладкие, то w, ß - решение поточечной задачи ß

а. , | D(w(s)) | . .. (T (А) w'V л _ -

Обобщенная постановка задачи (17) формулируется в перемещениях, при этом поскольку края оболочки закреплены, то перемещения на концах равны нулю. Связь между координатами точек оболочки w и перемещениями U определяется соотношением w =w +u (w - функция, описывающая положение оболочки в недеформированном состоянии):

w=(wi,w2), и>1 (s) = s, u>2 (s) = 0, s £ [0, l]

Г о (1) "i 2

Пусть V = Wp (0,1) с норм ой || • ||. Сопряженным к V будет пространство

V * =

■ о (-1)

Wp. (0, l)

р* = р/(р — 1), обозначим через (•, •) отношение двойственности между V и V *.

Обозначим и(в) = (и;[,и2), где и^в) = ^(в) + в, и2(в) = и2(в); ПРИ этом А(и) = |и ' (в)|.

Очевидно, что множество допустимых конфигураций оболочки в перемещениях

М = { и £ V : И2 > Р(иД в £ (0,1)} . (18)

Определим далее множество

К (и) = {п £ М : (п(в) — Р"(в), ЧР"^))) > 0, 0 < в < 1}, где п — вектор единичной внешней нормали к множеству Д.

Под обобщенным решением описанной выше задачи понимается функция и € М, являющаяся решением квазивариационного неравенства (см. [1]):

(Аои + Ви,п - и)>(/,п - и) V п € К (и), (19)

где операторы А0, В : V ^ V* и элемент / € V* порождаются формами

I I

(А0и,1]) = ! (Ви>л) = J <?(«)

о о

I

(/,П> = / (/,n) ds.

о

В работе [8] доказано, что оператор A = A0 + B является псевдомонотонным, потенциальным и коэрцитивным. В [9] установлено, что оператор B лиишиц-непрерывен, и для любой последовательности {uk}+=i, сходящейся слабо к u в V щи k ^ имеет место соотношение

lim (Bufc,ufc> = (Bu,u> .

k—

Построим конечномерные аппроксимации вариационного неравенства (19). Введем на отрезке [0,1] сетку

= {0 = so < si < • • • < sn = 1},

обозначим hj = si+i — si; г = 0,1,..., N — 1.

Предполагаем, что сетка üjh является регулярной, то есть существует постоянная с* > 0.

h

-- < с* при Ii 0,

hmin

h = max{ho, hi,..., hw-i}, hmin = min{ho, hi,..., hw-i}.

Определим теперь конечномерное пространство Vh, ассоциируемое с сеткой wh: Vh = Xh х Xh, где Xh - пространство непрерывных на [0,1] функций, линейных на каждом отрезке [sj; si+i], г = 0,1,..., N — 1, и обращающихся в нуль при s = 0 и s = I. В качестве базиса в Vh выберем фун кции <^>k = (y>k,i, ^k,2) G Vh, k = 1,..., 2(N — 1), определенные на [0,1] по формуле

1, k = г

¥>k,i(si)=< , ^k,2(sk) = 0, k = 1,2, ...,N — 1,

0, k = г

i1, , k — (N — 1) = i pM(si) = 0, = ^ / , k = N,N +1,..., 2(N — 1).

0, k — (N — 1) = г

Любая функция uh G Vh при этом может быть представлена в виде линейной комбинации

N-i

uh,j(s) = ^ uh,j (si) (s) + ^(N-i)+i,j (s)] , j = 1, 2.

Множеству M С V, определенному выше, поставим в соответствие множество Mh С Vh:

Mh = { n £ Vh : n2(si) > F (ni(si)), i = 0,1, 2,...,^}. (20)

Множеству K(u) поставим в соответствие множество

KhK) = { n £ Mh : (n(si) — P (si),n(PUh (s^)) > 0, i = 0,1, 2,...,^}, (21)

а задаче (19) поставим в соответствие аппроксимирующую конечномерную задачу,

uh £ Mh

(Auh — f,nh — uh> > 0 Vnh £ Kh(uh), (22)

Положим

N-1

(rhn)j(s) =53 nh,j(si) (s) + ¥>(n-1)+i,j(s)] , j = 1, 2.

i=1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Имеют место следующие результаты (из которых вытекает, что построенные нами сеточные схемы удовлетворяют условиям (6), (I), (III)).

Лемма 1. Пусть n £ V, тогда rhn £ Vh, lim ||rhn — nl|V = 0.

h^0

Лемма 2. Пусть n £ M, тогда rhn £ Mh lim ||rhn — n||V =0, и имеет место

h^0

свойство (I).

Справедливость леммы 1 непосредственно следует из результатов работы [10],

M Mh

Проверим, что для множеств Mh, Kh(uh), задаваемых соотношениями (20), (21), выполняется условие (II).

Для w £ K(u) и £ > 0 введем функцию we, we(s) = w(s) + (0, 0е(s)), где

при 0 < s < £, 0£ (s)= < £ при £ < s < l — £, (23)

l — s ЩИ l — £ < s < l.

Обозначим e1 = (1, 0), e2 = (0,1). Из соотношений

т (e) \_f т (e )

(п'е2)=,дЙО'е2>1 = 1кШ'де2,=

T(e) 1 (24)

|T(i)l' J y/{F>m* +1

K(u)

(w£(s) — P "(s),n(PU(s)^ = (w(s) + (0,0e(s)) — P "(s),n(PU(s))) =

= (w(s) — P"(s),n(P1"(s))) + (0e)(s)(e2,n(P1fc(*))) > 0.

Поэтому we £ K(u).

Определим

wk = Щк wk(s), (25)

где nh : V ^ Vh - оператор интерполирования, задаваемый соотношением

nhw(sj)= w(sj), г = 0,1,..., N, w G V.

Очевидно, что w| G Khk (u).

В дальнейшем нам потребуется

Лемма 3. Пусть последовательности {hk}+=i сходится к нулю, последовательность {uhk }+=i из Mhk слабо сходится к u в V при k ^ Тогда u G M, и для произвольной функции w G K (u) найдется та кое £w > 0, что для всякого £ G (0, £w] найдется номер kk, начиная с которого выполнено включение wk G Khk (uhk), где wk - функция, определенная соотношением (25).

uM

сходимости в пространстве V последовательности {uhk }+=i к u и компактного вложения V в [C(0,1)]2 имеем равномерную сходимость последовательности {uhfc}k=i:

V S > 0 3 k^ : | uhk (a) — u(a) | < S V a G Oh, k > k^ . (26)

Функция F непрерывна, следовательно, учитывая (26) и определение (18) множества M, для произвольной точки s G cCh получаем неравенство

F(ui) = lim F(ui + uhk,i — uhk,i) = lim F(uhk,i) <

k—k—

< lim uhk,2 = lim uhk,2 — u2 + u2 = u2.

k—k—

u M.

Проверим, что wk G Khk(uhk). Обозначим через P^ = (P^P^) вектор-

функцию P, а через Pk = (Pk ,P2k) - вектор-функцию Pnhfcu. Установим справедливость неравенств

(wk (si) — Phk(si),n(Phki(si))) > 0, г = 0, 1,. . ., N,

из которых и будет вытекать принадлежность функции wk множеству Khk (uhk). Из определения множества Khk (uhk) следует, что

(wk (si) — Phk(si),n(Phki(si))) =

wk (si) — Phk(si) — Pk (si)+ Pk (si),n(Phki(sj)^ = wk (si) — P k(si),n(Pki(si))) + (p k(si) — Phk (si),n(Phk,i(si)^ = (wk (si) — Pk (si ),n(Pik (si )))] + [ (wk (si) — Pk (si),n(Pki(si)) — n(Pik («)))] +

+ [(pk(si) — Phk(si),n(Pki(si)))] . (27)

Оценим первое слагаемое в правой части (27) снизу, а два последующих сверху. Для первого слагаемого имеем:

(ч(*) -Р(*)}) = («лЫ + (0,^) -Рк(8<),п(Р1к(*)}) =

= (*) - Р1 («¿),п(р!(*))) + ^М^ХР^*))), (28)

где ^(вг) = (вг) =

Пусть й — минимадьное из расстояний от точек (0,0) и (1,0) до множества Д, (вг) = Щки^). Поскольку и(0) = (0, 0),и(1) = (1, 0), то й = шт {Р"(0), Ри(1)} . Положим г = й/4.

Введем множество Бг (ж) = {г £ Д2 : — ж| < г}. Выберем £г > 0 так, чтобы £ Бг ((0, 0)),м(в) £ Бг ((0,0)), 0 < в < £г, ^(в) £ Бг ((1,0)),и(в) £ Бг ((1,0)), 1 - £г < в < 1.

Тогда

£ Бг((0,0)),М1(вг) £ Бг((0,0)), 0 < в < ег £ Бг((1, 0)) ,М1(вг) £ Бг ((/, 0)), 1 - £г < в, < 1.

Поэтому

(«Л (*) - РкЫ,п(Р1 (вг)^

= (^1 (вг) - «1 (вг), п(Р11(вг)^ + («1 (8<) - Р1 (в<), «(Р-,1 (в^)) > > ЧК (вг) - «1(84)|| + ||и1(84) - Р1 (в<)У > > -2г + > ¿-Зг = ^ 0 £ [0,ег] У[/-ег,/]. (29) Из определения множества К (и) вытекает, что

(•Ш1(8г) - Р^ОХР!^))) > 0 V £ [ £г ,1 - £г ]. (30)

Поскольку функция (е2, п(Р11(^))) является непрерывной, а в силу (24) - положительной, то она на компакте [0,1 ] достигает минимума:

6 1 = шт ^«(Р1^))). о<я<г

Отсюда и из (23) следует, что

^ Ы^ХР1 (*<))) > 6 1£ V£ £ (0,£г) V £ [ £Г ,1 - £г ]. (31)

Кроме того, в силу (24)

^ (вг) ^ в2, п(Р11(84)^ > 0 V вг £ [0,£г ]^|[ 1 - £г ,1 ]. (32)

Используя (29) (32), из (28) получаем:

- Рк($г), «(Р^))) > б! £ V£ е (0, £ш), £ш = пип |ег, Ч | .

Оценим второе слагаемое в (27). Поскольку Р € СХ(Дх), то ||п(в) — п(£)|| ^ 0 при в ^ Далее, М^, - ограниченное множество, поэтому для любого 32 > 0 существует ¿¿2 такое, что для всех к > ¿¿2 справедлива оценка

Ч(в;) — Рк(*),п(Р*1(*)) — «(Р^))) <

< , шах^ |К) — Рк(*) || |п(Рк,1(вг)) — п(Рк(*))||< . (33)

Перейдем к оценке третьего слагаемого в (27). Поскольку функция Р" лппшпц-неирерывна, то ||Рк(вг) — Р^вг)! < ||Щки(в^) — («¿)||- Учитывая (26), устанавливаем, что справедлива оценка

1(р к ы—РкыхРмЫ^ < |кы—иьк ын <

Итак, для любого е € [0, еш], выбрав ке = кг, 3 = 31 е такие, что при к > > ке выполнены неравепства З2 < З1 е/3, З3 < З1 е/3, получим, что справедливо неравенство

(чы-ркы,«(ркЛи))) >| >о,

и, следовательно, (Е Кьк(икк)- П

Имеет место

Теорема 4. Пусть и^ € М^, и^ ^ и в V при Н ^ 0, тогда для любого т € К (и) найдут ся т такие, что

т € Кь(и^), (34)

Ит ||т — т|| = 0.

Л,—0

Доказательство. Зададим убывающую последовательность положительных чисел {ек}+=1, сходящуюся к нулю и принадлежащуюю интервалу [0, еш]. Для каждого ек, согласно лемме 3, выберем Нк так, чтобы € К^(и^) для Н < Нк < Нк-1. Положим т = и^и Н1 > Н > Н2 и т, = т^и Нк+1 < Н < Нк. Тогда в силу леммы 3 для построенной последовательности выполнено условие (34). Далее имеем

||т — тл|| = ||ПлкГ || ^ 0 при ек ^ 0,

то есть при к ^ го, следовательно, при Н ^ 0. Таким образом, для множеств М^ и Кь , заданных соотношением (20), (21), выполнено условие (II). □

Нам потребуется теперь следующий результат (см. [11, 12]):

Лемма 4. Пусть выполнены условия (13), (14), последовательность {и(к)} +=1 из V слабо сходится в V щи к ^ к и, оператор А0 : V ^ V*, удовлетво-

ряет соотношению Иш — Аои,

а (и(к) — и)

к—

Р

Иш

к—

где = {в € (0,1) : А(и) > 1}.

¿в

¿в

Справедлива

Теорема 5. Пусть q = const. Тогда:

1) задача (22) имеет, по крайней мере, одно решение;

2) существует положительная постоянная е4, не зависящая от h, такая, что ||ufc||V < С4 ;

3) любая слабо предельная точка u семейства {uh} является решением задачи (19), причем, если {uhk}+= - подпоследовательность, слабо сходящаяся при k ^ в V к u, то

lim ||и^ь - u|y =0,

k—^

lim

k—^

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

d (uhk - u)

ds

ds = 0.

(35)

(36)

Если функция T удовлетворяет также условию

т) -т(с) <с5(1 + . + с)р-2 v^, с g д1 > о, с5 > о, 4 - С

mo

lim

T

du

ds

-T

= 0, 7 = min(2,p')i £>' =-7

Ly Р - 1

(37)

(38)

Доказательство. Существование решения задачи (22), а также то, что любая слабо предельная точка и семейст ва (и^,} является решением задачи (19), вытекает из теоремы 2. Соотношение (35) следует из компактности вложения V в У = х соотношение (36) - из (10) и леммы 4.

Далее, следуя [13], нетрудно проверить, что при выполнении условия (37) существует постоянная > 0 такая, что справедливо неравенство

T

-T

dw ds

< еб (A0n — A0w, n — w) V n, w G V.

Из этого неравенства и соотношения (10) и вытекает (38).

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 06-01-00633, 07-01-00674, 08-01-00676).'

Summary

I.B. Badriev, V. V. Bantlerov, O.A. Zadvurnuv. On Approximative Methods for Solving Quasi-Variational Inequalities of the Soft Network Shells Theory.

The article investigates the convergence of the finite element schemes for the problem of finding an equilibrium position of a soft network shells subjected to mass forces and following surface load. The convergence proof is based on constructing an iterative method of solving the finite dimensional approximation of quasi-variat.ional inequality arising by mathematical formulation of the problem considered.

Key words: quasi-variat.ional inequalities, soft network shells, finite element method, iterative methods.

Литература

1. Бадриеа И.Б., Задаориоа O.A., Бандероа В.В. Постановка и исследование стационарных задач теории мягких оболочек с певыиуклым достижимым множеством // Исслед. по прикладной матем. и информатике. Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва, 2001. Вып. 23. С. 3 7.

2. Бадриеа И.Б., Баидеров В.В., Задаориоа O.A. Исследование задачи о контакте пити с препятствием // Исслед. по прикладной матем. и информатике. Казань: Казан, гос. уп-т, 2003. Вып. 24. С. 3 11.

3. Бадриеа И.Б., Баидеров В.В., Задвориов O.A. О конечномерных аппроксимациях ква-зивариациоппых неравенств // Исслед. по прикладной матем. и информатике. Казань: Изд-во Казап. матем. об-ва, 2006. Вып. 26. С. 34 41.

4. Задвориов O.A. О сходимости итерационного метода решения квазивариациошго-го неравенства // Сеточные методы для краевых задач и приложения: Материалы Пятого Всерос. семинара. Казань: Казап. гос. уп-т, 2004. С. 71 75.

5. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.

6. Гаевекий X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. 336 с.

7. Риделъ В.В., Гулии Б.В. Динамика мягких оболочек. М.: Наука, 1990. 206 с.

8. Бадриеа И.Б., Шагидуллии P.P. Классические и обобщенные решения уравнений одноосного статического состояния мягкой оболочки // Сеточные методы решения дифферепц. уравнений. Казань: Изд-во Казап. ун-та, 1986. С. 14 28.

9. Бадриеа И.Б., Задаориоа O.A. Исследование разрешимости стационарных задач для сетчатых оболочек // Изв. вузов. Математика. 1992. Л' 11. С. 3 7.

10. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.

11. Бадриеа И.Б., Задаориоа O.A. Исследование сходимости итерационного процесса для уравнений с вырождающимися операторами // Дифферепц. уравнения. 1996 Т. 32, Л» 7. С. 898 901.

12. Бадриеа И.Б., Задаориоа O.A. О сильной сходимости итерационного метода для операторов с вырождением // Жури, вычисл. матем. и матем. физики. 1997. Т. 37,

12. С. 1424 1426.

13. Ляшко А.Д., Ка:рчеаекий М.М. О решении некоторых нелинейных задач теории фильтрации // Изв. вузов. Математика. 1975. Л' 6. С. 73 81.

Поступила в редакцию 04.02.08

Вадриев Ильдар Вурхаиович доктор физико-математических паук, профессор

кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета.

E-mail: Ildar.BadrievQksu.ru

Вандеров Виктор Викторович кандидат физико-математических паук, ассистент кафедры экономической кибернетики Казанского государственного университета.

E-mail: Victor.BanderovQksu.ru

Задвориов Олег Анатольевич доктор физико-математических паук, профессор

кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета.

E-mail: Oley.ZadvornovQksu.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.