CC BY
31
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 150, кн. 3
Физико-математические пауки
2008
УДК 519.958
О ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ КВАЗИВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ ТЕОРИИ МЯГКИХ СЕТЧАТЫХ ОБОЛОЧЕК
И.Б. Бадриев, В.В. Банде-рое, O.A. Задворпов
Аннотация
Проведено исследование сходимости копечпоэлемептпых схем для стационарных задач об определении положения равновесия мягких сетчатых оболочек при наличии массовых сил и следящей поверхностной нагрузки. Предполагается, что оболочка в перемещениях ограничена препятствием. Доказательство сходимости копечпоэлемептпых схем основано па построении итерационного метода решения конечномерной аппроксимации квазивариациошгого неравенства, возникающего при математической формулировке рассматриваемой задачи.
Ключевые слова: квазивариациоппые неравенства, мягкая сетчатая оболочка, метод конечных элементов, итерационные методы.
Введение
В настоящей работе проведено исследование сходимости копечпоэлемептпых схем для стационарных задач об определении положения равновесия закрепленных по краям мягких бесконечно длинных цилиндрических оболочек, нагруженных массовыми силами и следящей поверхностной нагрузкой и при наличии вогнутого препятствия (см. [1. 2]). Сформулирована вариационная постановка задачи. на основе которой введена обобщенная постановка в виде квазивариационного неравенства в пространстве Соболева. Ранее в [3] было проведено исследование сходимости конечномерных аппроксимаций для абстрактных квазивариационных неравенств в банаховых пространствах при выполнении ряда условий на аппроксимацию множеств, участвующих в формулировке квазивариационного неравенства. В настоящей работе установлено, что для рассматриваемой задачи теории мягких сетчатых оболочек выполнены упомянутые условия па аппроксимацию множеств. Отметим, что доказательство сходимости конечномерных аппроксимаций в [3] основано на использовании итерационного метода (см. [4]) решения квазивариационного неравенства. Поэтому фактически предложены приближенные методы решения квазивариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек, основанные на конечноэлементной аппроксимации квазивариационного неравенства с последующим применением итерационного метода.
1. Конечномерные аппроксимации квазивариационных неравенств
Пусть V - рефлексивное банахово пространство с равномерно выпуклым сопряженным пространством V*, (•, •} - отношение двойственности между V и V*, М С V - непустое, слабо замкнутое, вообще говоря, невыпуклое множество, оператор А : V ^ V*, является:
• псевдомонотонным, то есть (см. [5, с. 190]) A ограничен, и для любой последовательности {uk}+=1, сходящейся слабо к u в V, из неравенства
lim sup (Auk, uk — u) < 0
вытекает, что
lim inf (Auk, uk — n) > (Au, u — n) V n G V;
k—^
(A(tn), n) - (A(tu),u - n) - (A(u +t (n - u)),n - u) dt = 0 Vu,n G V; (1)
0
• коэрцитивным, то есть
(An,n)> p(||nllv)llnllv Vn G V, где lim p(C) = ; (2)
||Au - Anllv. < ma(R)*(||u - nllv) Vu, n G V, (3)
где R = max{||u||V, llnllvК M _ неубывающая на [0, ) функция, Ф - непрерывная, строго возрастающая на [0, ) функция такая, что Ф(0) = 0, Ф (С) ^ при С ^
Определим для каждого u G М выпуклое замкнутое множество K(u) С М, содержащее u.
Рассматривается задача поиска элемента u G М, являющегося для заданного f G V* решением квазивариационного неравенства
(Au, n - u) > (f, n - u) Vn G K(u). (4)
Определим функционал F : V ^ R1 соотношением
F(n)= Fo(n) - (f,n), Fo(n) = J(A(tn),n) dt. (5)
0
При этом из (1) и (5) вытекает, что
F(n) - F(u) = J(A(u + t (n - u)), n - u) dt - (f, n - u) Vu, n G V.
0
F
II П II V
lim F (n) > lim /(p(C)-||f||v.) d£ = + rc.
II n II V|| n II vJ
0
Перейдем к построению конечномерных аппроксимаций задачи (4). Каждому параметру h го множества {ha|aes поставим в соответствие конечномерное подпространство ^пространства V и непустое, замкнутое множество
k
Mh С Vh, а каждому uh G Mh - выпуклое, замкнутое множество Kh(uh) С Mh, содержащее uh.
Vh V
rh : V ^ Vh (операторы сужения из V на Vh), что
lim ||rhn - nllv =0 VП G V. (6)
h—ü
Считаем также выполненными следующие условия:
(I) Для любого n G M существует такая последовательность (nhfc j+= > lim hfc = 0, nhk G Mhk, k =1, 2,..., что
k—
lim \nhfc - n\v = 0;
k—
(II) Если последовательность (nhfc j+k^i •> lim hk = 0, nhfc G Mhfc, k =1, 2,...,
k—
слабо сходится в V к n? то n G M, и для любого v G K (n) существует последовательность |vhfc j~kn ? lim hk = 0, vhfc G Khfc (nhfc ), k = 1, 2,..., такая, что k—
lim |vhfc - v||v = 0;
k—
{(k) 1 + ^
nh г С Mh СХОДИТСЯ К n? т° Для любо-j k=i +
го vh G Kh(nh) существует последовательность |vhk) } , vhk) G Kh(nhk)) ?
I J k=i
k = 1, 2, . . .
lim
k—
(k)
vh - vh
= 0.
v
Задаче (4) поставим в соответствие семейство аппроксимирующих задач, за-
uh G Mh
(Auh,nh - uh) > (/,nh - uh) Vnh G Kh(uh). (7)
Для решения квазивариационного неравенства (7) рассмотрим следующий итерационный процесс, позволяющий свести ее к вариационному неравенству с оператором двойственности, обладающим существенно более лучшими свойствами по сравнению с исходным псевдомонотонным оператором.
Пусть uhü) — произвольный элемент из Mh. Для k = 0,1, 2,... определим вектор
(k+l) ^ . (k)s
uh G Kh(uh )
(J(uhk+i) - uhk)), nh - uhk+i)) > T (/ - Auhk), nh - uhk+i)) Vnh G Kh(uhk)), (8)
где t > 0 - итерационный параметр, J : V ^ V* - оператор двойственности, порождаемый функцией Ф из (3):
(Jn,n) = l|Jn llv* Iln ||v = *(||n llv) ||n llv Vn G V.
Существование единственного решения вариационного неравенства (8) следует из строгой монотонности и непрерывности оператора двойственности [5, с. 186 187].
Имеют место следующие результаты (см. [3]).
Теорема 1. Пусть оператор A : V ^ V* является псевдомонотонным, ограниченно липшиц-непрерывным, потенциальным и коэрцитивным, выполнены условия (I). (III),
0 < т < min{1,1/мо}, Mo = M (dо + ^,
d0 = sup \\uh\\v, d0 = sup \\Au - f \\v *, S о = {uÄ G Mo : F (uh) < F (uh0))}.
{(k)
uh ) [ , построенная согласно (8),
V
{uhk)}+=0 С Sh, \uhk)\< d°, k = 0,1, 2,..., (9)
и все ее слабо предельные точки являются решениями квазивариационного неравенства (7).
Теорема 2. Пусть оператор A : V ^ V* является псевдомонотонным и коэр-
uh
ет последовательность {hk}+=1, hk ^ 0 при k ^ такая, что uhk сходится слабо в V к некоторому решению u задачи (4) при k ^ .
Более того, любая слабо предельная точка u* семеиства {uh} является решением задачи (4), причем если {uhk}+= - подпоследовательность, сходящаяся слабо в V к u* при k ^ , то
lim (Auhfc - Au*,uhk - u*} = 0. (10)
k—
Замечание 1. Из теоремы 1 следует существование решения квазивариационного неравенства (7), а из соотношения (9) - равномерная ограниченность по h семейства {uh}:
\\uh\\v < do. (11)
2. Построение и исследование схем МКЭ для задач теории мягких сетчатых оболочек
Рассмотрим теперь задачу об определении положения равновесия мягкой бесконечно длинной цилиндрической оболочки, закрепленной по краям и находящейся под воздействием массовых сил и следящей поверхностной нагрузки, описываемая следующей системой дифференциальных уравнений (см. [7]):
d (T (A) dw \ . . „ dw ~. . , .
- -Т- ^Г1 ~Г + чШ -г + /00 =0, 0 < s < I, (12)
ds у A ds J ds
где Q = 01)' s _ ДУговая координата точки оболочки, отсчитываемая по
контуру сечения в недеформированном состоянии оболочки, w = (wi, w2) - координаты точек в декартовой системе координат (xi,x2), введенной в поперечном
( 2 2\1/2
сечении оболочки, A(u) = ( (wi ') + (w2 ') ) — относительные удлинения точек
оболочки, Т (Л) - касательные усилия в оболочке, / = ид- погонные
плотности массовых сил и следящей поверхностной нагрузки соответственно.
Т
ем, что она что она является неотрицательной, непрерывной, неубывающей функцией, равной нулю при Л < 1 (то есть оболочка не воспринимает сжимающих усилий), и существуют с2 > с1 > 0, р > 2 такие, что
с1(Л - 1)р-1 < Т(Л) < с2(Л - Л > 1. (13)
Относительно функции д предполагаем, что
д € Ьж (0,/) при р > 2,
(14)
|д(«)| < сз < С1, в € (0,1) при р = 2.
Уравнения (12) дополняются граничными условиями
ад1(0)=0, ад2(0) = 0, ад1(/)=0, ад2(/) = /.
Для учета взаимодействия оболочки с препятствием добавим в (12) новое слагаемое ЛРо, где Ро _ плотность силы реакции препятствия.
! (Т (Л) ¿ад \ . . „ Сад ~. . , ^ , .
-_^-и_]+д(в)д_ + /(в) + ЛРо = о> о<,</. (15)
Отметим, что Ро является, наряду с ад, величиной неизвестной. Полагаем, что поверхность препятствия во введенной системе координат задается в виде Х2 = Р (Ж1) где Р — непрерывно-дифференцируемая вогнутая функция такая, что Р(0) < 0, Р(/) < 0, то есть оболочка находится над препятствием.
Материал, из которого сделано препятствие, будем считать абсолютно твердым, а поверхность препятствия абсолютно гладкой, то есть взаимодействие оболочки с препятствием порождает усилия, направленные только по внешней нормали к поверхности препятствия. Поэтому плотность силы реакции препятствия можно записать в виде:
Ро(в) = (ад^)),
<с\ гл т )
где ) = Ц -—-—— единичный вектор внешней нормали к поверхности препят-1 т )|
ствия, т (£ ) = (1, Р '(£)), в ~ неизвестная функция, удовлетворяющая условиям
в > 0, в € ; в = о, в , (ю)
■Р = О € (0,/) : ад2(£) = Р(ад^))} — коинцидентное множество, то есть множество тех точек, где оболочка контактирует с препятствием.
Введем теперь множество ограничений конфигураций оболочки препятствием, или множество допустимых конфигураций
М = { п : п 2 > Р( П1), в € (0,/); п(0) = (0,0), п (/) = (/, 0) } ,
принадлежность которому означает, что оболочка не может находиться ниже преМ
пукло.
Под решением рассматриваемой задачи мы будем понимать функции ад € М
в
Приводом вариационную постановку рассматриваемой задачи. Пусть
Д= {x =(xi,x2): X2 < F(xi)} .
Для v £ M введем функцию Pv = (Pif, PJ ),
Pv(s) = arg min { |x(s) — v(s) |} . x(s) £ Д
Отметим, что Pv(s) — оператор проектирования на выпуклое замкнутое множество Д, а значит, он определен для любого s и является липшиц-непрерывным. Определим далее множество K(v):
K(v) = {n £ M : (n(s) — Pv(s),n(Pv(s))) > 0, 0 < s < l}.
Вариационная постановка рассматриваемой задачи состоит в нахождении функции w £ M, являющейся решением квазивариационного неравенства
i i
[ («/,,/ _ и/) ds- f(Xq + f, 1] - w) ds> 0 V?y £ Ä'(w). (17)
J A(w) J
0 0
Следуя [2], нетрудно установить, что справедлива
Теорема 3. Пусть w, ß - решение поточечной задачи (15), (16). Тогда w
w
(17), функции w и T достаточно гладкие, то w, ß - решение поточечной задачи ß
а. , | D(w(s)) | . .. (T (А) w'V л _ -
Обобщенная постановка задачи (17) формулируется в перемещениях, при этом поскольку края оболочки закреплены, то перемещения на концах равны нулю. Связь между координатами точек оболочки w и перемещениями U определяется соотношением w =w +u (w - функция, описывающая положение оболочки в недеформированном состоянии):
w=(wi,w2), и>1 (s) = s, u>2 (s) = 0, s £ [0, l]
Г о (1) "i 2
Пусть V = Wp (0,1) с норм ой || • ||. Сопряженным к V будет пространство
V * =
■ о (-1)
Wp. (0, l)
р* = р/(р — 1), обозначим через (•, •) отношение двойственности между V и V *.
Обозначим и(в) = (и;[,и2), где и^в) = ^(в) + в, и2(в) = и2(в); ПРИ этом А(и) = |и ' (в)|.
Очевидно, что множество допустимых конфигураций оболочки в перемещениях
М = { и £ V : И2 > Р(иД в £ (0,1)} . (18)
Определим далее множество
К (и) = {п £ М : (п(в) — Р"(в), ЧР"^))) > 0, 0 < в < 1}, где п — вектор единичной внешней нормали к множеству Д.
Под обобщенным решением описанной выше задачи понимается функция и € М, являющаяся решением квазивариационного неравенства (см. [1]):
(Аои + Ви,п - и)>(/,п - и) V п € К (и), (19)
где операторы А0, В : V ^ V* и элемент / € V* порождаются формами
I I
(А0и,1]) = ! (Ви>л) = J <?(«)
о о
I
(/,П> = / (/,n) ds.
о
В работе [8] доказано, что оператор A = A0 + B является псевдомонотонным, потенциальным и коэрцитивным. В [9] установлено, что оператор B лиишиц-непрерывен, и для любой последовательности {uk}+=i, сходящейся слабо к u в V щи k ^ имеет место соотношение
lim (Bufc,ufc> = (Bu,u> .
k—
Построим конечномерные аппроксимации вариационного неравенства (19). Введем на отрезке [0,1] сетку
= {0 = so < si < • • • < sn = 1},
обозначим hj = si+i — si; г = 0,1,..., N — 1.
Предполагаем, что сетка üjh является регулярной, то есть существует постоянная с* > 0.
h
-- < с* при Ii 0,
hmin
h = max{ho, hi,..., hw-i}, hmin = min{ho, hi,..., hw-i}.
Определим теперь конечномерное пространство Vh, ассоциируемое с сеткой wh: Vh = Xh х Xh, где Xh - пространство непрерывных на [0,1] функций, линейных на каждом отрезке [sj; si+i], г = 0,1,..., N — 1, и обращающихся в нуль при s = 0 и s = I. В качестве базиса в Vh выберем фун кции <^>k = (y>k,i, ^k,2) G Vh, k = 1,..., 2(N — 1), определенные на [0,1] по формуле
1, k = г
¥>k,i(si)=< , ^k,2(sk) = 0, k = 1,2, ...,N — 1,
0, k = г
i1, , k — (N — 1) = i pM(si) = 0, = ^ / , k = N,N +1,..., 2(N — 1).
0, k — (N — 1) = г
Любая функция uh G Vh при этом может быть представлена в виде линейной комбинации
N-i
uh,j(s) = ^ uh,j (si) (s) + ^(N-i)+i,j (s)] , j = 1, 2.
Множеству M С V, определенному выше, поставим в соответствие множество Mh С Vh:
Mh = { n £ Vh : n2(si) > F (ni(si)), i = 0,1, 2,...,^}. (20)
Множеству K(u) поставим в соответствие множество
KhK) = { n £ Mh : (n(si) — P (si),n(PUh (s^)) > 0, i = 0,1, 2,...,^}, (21)
а задаче (19) поставим в соответствие аппроксимирующую конечномерную задачу,
uh £ Mh
(Auh — f,nh — uh> > 0 Vnh £ Kh(uh), (22)
Положим
N-1
(rhn)j(s) =53 nh,j(si) (s) + ¥>(n-1)+i,j(s)] , j = 1, 2.
i=1
Имеют место следующие результаты (из которых вытекает, что построенные нами сеточные схемы удовлетворяют условиям (6), (I), (III)).
Лемма 1. Пусть n £ V, тогда rhn £ Vh, lim ||rhn — nl|V = 0.
h^0
Лемма 2. Пусть n £ M, тогда rhn £ Mh lim ||rhn — n||V =0, и имеет место
h^0
свойство (I).
Справедливость леммы 1 непосредственно следует из результатов работы [10],
M Mh
Проверим, что для множеств Mh, Kh(uh), задаваемых соотношениями (20), (21), выполняется условие (II).
Для w £ K(u) и £ > 0 введем функцию we, we(s) = w(s) + (0, 0е(s)), где
при 0 < s < £, 0£ (s)= < £ при £ < s < l — £, (23)
l — s ЩИ l — £ < s < l.
Обозначим e1 = (1, 0), e2 = (0,1). Из соотношений
т (e) \_f т (e )
(п'е2)=,дЙО'е2>1 = 1кШ'де2,=
T(e) 1 (24)
|T(i)l' J y/{F>m* +1
K(u)
(w£(s) — P "(s),n(PU(s)^ = (w(s) + (0,0e(s)) — P "(s),n(PU(s))) =
= (w(s) — P"(s),n(P1"(s))) + (0e)(s)(e2,n(P1fc(*))) > 0.
Поэтому we £ K(u).
Определим
wk = Щк wk(s), (25)
где nh : V ^ Vh - оператор интерполирования, задаваемый соотношением
nhw(sj)= w(sj), г = 0,1,..., N, w G V.
Очевидно, что w| G Khk (u).
В дальнейшем нам потребуется
Лемма 3. Пусть последовательности {hk}+=i сходится к нулю, последовательность {uhk }+=i из Mhk слабо сходится к u в V при k ^ Тогда u G M, и для произвольной функции w G K (u) найдется та кое £w > 0, что для всякого £ G (0, £w] найдется номер kk, начиная с которого выполнено включение wk G Khk (uhk), где wk - функция, определенная соотношением (25).
uM
сходимости в пространстве V последовательности {uhk }+=i к u и компактного вложения V в [C(0,1)]2 имеем равномерную сходимость последовательности {uhfc}k=i:
V S > 0 3 k^ : | uhk (a) — u(a) | < S V a G Oh, k > k^ . (26)
Функция F непрерывна, следовательно, учитывая (26) и определение (18) множества M, для произвольной точки s G cCh получаем неравенство
F(ui) = lim F(ui + uhk,i — uhk,i) = lim F(uhk,i) <
k—k—
< lim uhk,2 = lim uhk,2 — u2 + u2 = u2.
k—k—
u M.
Проверим, что wk G Khk(uhk). Обозначим через P^ = (P^P^) вектор-
функцию P, а через Pk = (Pk ,P2k) - вектор-функцию Pnhfcu. Установим справедливость неравенств
(wk (si) — Phk(si),n(Phki(si))) > 0, г = 0, 1,. . ., N,
из которых и будет вытекать принадлежность функции wk множеству Khk (uhk). Из определения множества Khk (uhk) следует, что
(wk (si) — Phk(si),n(Phki(si))) =
wk (si) — Phk(si) — Pk (si)+ Pk (si),n(Phki(sj)^ = wk (si) — P k(si),n(Pki(si))) + (p k(si) — Phk (si),n(Phk,i(si)^ = (wk (si) — Pk (si ),n(Pik (si )))] + [ (wk (si) — Pk (si),n(Pki(si)) — n(Pik («)))] +
+ [(pk(si) — Phk(si),n(Pki(si)))] . (27)
Оценим первое слагаемое в правой части (27) снизу, а два последующих сверху. Для первого слагаемого имеем:
(ч(*) -Р(*)}) = («лЫ + (0,^) -Рк(8<),п(Р1к(*)}) =
= (*) - Р1 («¿),п(р!(*))) + ^М^ХР^*))), (28)
где ^(вг) = (вг) =
Пусть й — минимадьное из расстояний от точек (0,0) и (1,0) до множества Д, (вг) = Щки^). Поскольку и(0) = (0, 0),и(1) = (1, 0), то й = шт {Р"(0), Ри(1)} . Положим г = й/4.
Введем множество Бг (ж) = {г £ Д2 : — ж| < г}. Выберем £г > 0 так, чтобы £ Бг ((0, 0)),м(в) £ Бг ((0,0)), 0 < в < £г, ^(в) £ Бг ((1,0)),и(в) £ Бг ((1,0)), 1 - £г < в < 1.
Тогда
£ Бг((0,0)),М1(вг) £ Бг((0,0)), 0 < в < ег £ Бг((1, 0)) ,М1(вг) £ Бг ((/, 0)), 1 - £г < в, < 1.
Поэтому
(«Л (*) - РкЫ,п(Р1 (вг)^
= (^1 (вг) - «1 (вг), п(Р11(вг)^ + («1 (8<) - Р1 (в<), «(Р-,1 (в^)) > > ЧК (вг) - «1(84)|| + ||и1(84) - Р1 (в<)У > > -2г + > ¿-Зг = ^ 0 £ [0,ег] У[/-ег,/]. (29) Из определения множества К (и) вытекает, что
(•Ш1(8г) - Р^ОХР!^))) > 0 V £ [ £г ,1 - £г ]. (30)
Поскольку функция (е2, п(Р11(^))) является непрерывной, а в силу (24) - положительной, то она на компакте [0,1 ] достигает минимума:
6 1 = шт ^«(Р1^))). о<я<г
Отсюда и из (23) следует, что
^ Ы^ХР1 (*<))) > 6 1£ V£ £ (0,£г) V £ [ £Г ,1 - £г ]. (31)
Кроме того, в силу (24)
^ (вг) ^ в2, п(Р11(84)^ > 0 V вг £ [0,£г ]^|[ 1 - £г ,1 ]. (32)
Используя (29) (32), из (28) получаем:
- Рк($г), «(Р^))) > б! £ V£ е (0, £ш), £ш = пип |ег, Ч | .
Оценим второе слагаемое в (27). Поскольку Р € СХ(Дх), то ||п(в) — п(£)|| ^ 0 при в ^ Далее, М^, - ограниченное множество, поэтому для любого 32 > 0 существует ¿¿2 такое, что для всех к > ¿¿2 справедлива оценка
Ч(в;) — Рк(*),п(Р*1(*)) — «(Р^))) <
< , шах^ |К) — Рк(*) || |п(Рк,1(вг)) — п(Рк(*))||< . (33)
Перейдем к оценке третьего слагаемого в (27). Поскольку функция Р" лппшпц-неирерывна, то ||Рк(вг) — Р^вг)! < ||Щки(в^) — («¿)||- Учитывая (26), устанавливаем, что справедлива оценка
1(р к ы—РкыхРмЫ^ < |кы—иьк ын <
Итак, для любого е € [0, еш], выбрав ке = кг, 3 = 31 е такие, что при к > > ке выполнены неравепства З2 < З1 е/3, З3 < З1 е/3, получим, что справедливо неравенство
(чы-ркы,«(ркЛи))) >| >о,
и, следовательно, (Е Кьк(икк)- П
Имеет место
Теорема 4. Пусть и^ € М^, и^ ^ и в V при Н ^ 0, тогда для любого т € К (и) найдут ся т такие, что
т € Кь(и^), (34)
Ит ||т — т|| = 0.
Л,—0
Доказательство. Зададим убывающую последовательность положительных чисел {ек}+=1, сходящуюся к нулю и принадлежащуюю интервалу [0, еш]. Для каждого ек, согласно лемме 3, выберем Нк так, чтобы € К^(и^) для Н < Нк < Нк-1. Положим т = и^и Н1 > Н > Н2 и т, = т^и Нк+1 < Н < Нк. Тогда в силу леммы 3 для построенной последовательности выполнено условие (34). Далее имеем
||т — тл|| = ||ПлкГ || ^ 0 при ек ^ 0,
то есть при к ^ го, следовательно, при Н ^ 0. Таким образом, для множеств М^ и Кь , заданных соотношением (20), (21), выполнено условие (II). □
Нам потребуется теперь следующий результат (см. [11, 12]):
Лемма 4. Пусть выполнены условия (13), (14), последовательность {и(к)} +=1 из V слабо сходится в V щи к ^ к и, оператор А0 : V ^ V*, удовлетво-
ряет соотношению Иш — Аои,
а (и(к) — и)
к—
Р
Иш
к—
где = {в € (0,1) : А(и) > 1}.
¿в
¿в
Справедлива
Теорема 5. Пусть q = const. Тогда:
1) задача (22) имеет, по крайней мере, одно решение;
2) существует положительная постоянная е4, не зависящая от h, такая, что ||ufc||V < С4 ;
3) любая слабо предельная точка u семейства {uh} является решением задачи (19), причем, если {uhk}+= - подпоследовательность, слабо сходящаяся при k ^ в V к u, то
lim ||и^ь - u|y =0,
k—^
lim
k—^
d (uhk - u)
ds
ds = 0.
(35)
(36)
Если функция T удовлетворяет также условию
т) -т(с) <с5(1 + . + с)р-2 v^, с g д1 > о, с5 > о, 4 - С
mo
lim
T
du
ds
-T
= 0, 7 = min(2,p')i £>' =-7
Ly Р - 1
(37)
(38)
Доказательство. Существование решения задачи (22), а также то, что любая слабо предельная точка и семейст ва (и^,} является решением задачи (19), вытекает из теоремы 2. Соотношение (35) следует из компактности вложения V в У = х соотношение (36) - из (10) и леммы 4.
Далее, следуя [13], нетрудно проверить, что при выполнении условия (37) существует постоянная > 0 такая, что справедливо неравенство
T
-T
dw ds
< еб (A0n — A0w, n — w) V n, w G V.
Из этого неравенства и соотношения (10) и вытекает (38).
□
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 06-01-00633, 07-01-00674, 08-01-00676).'
Summary
I.B. Badriev, V. V. Bantlerov, O.A. Zadvurnuv. On Approximative Methods for Solving Quasi-Variational Inequalities of the Soft Network Shells Theory.
The article investigates the convergence of the finite element schemes for the problem of finding an equilibrium position of a soft network shells subjected to mass forces and following surface load. The convergence proof is based on constructing an iterative method of solving the finite dimensional approximation of quasi-variat.ional inequality arising by mathematical formulation of the problem considered.
Key words: quasi-variat.ional inequalities, soft network shells, finite element method, iterative methods.
Литература
1. Бадриеа И.Б., Задаориоа O.A., Бандероа В.В. Постановка и исследование стационарных задач теории мягких оболочек с певыиуклым достижимым множеством // Исслед. по прикладной матем. и информатике. Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва, 2001. Вып. 23. С. 3 7.
2. Бадриеа И.Б., Баидеров В.В., Задаориоа O.A. Исследование задачи о контакте пити с препятствием // Исслед. по прикладной матем. и информатике. Казань: Казан, гос. уп-т, 2003. Вып. 24. С. 3 11.
3. Бадриеа И.Б., Баидеров В.В., Задвориов O.A. О конечномерных аппроксимациях ква-зивариациоппых неравенств // Исслед. по прикладной матем. и информатике. Казань: Изд-во Казап. матем. об-ва, 2006. Вып. 26. С. 34 41.
4. Задвориов O.A. О сходимости итерационного метода решения квазивариациошго-го неравенства // Сеточные методы для краевых задач и приложения: Материалы Пятого Всерос. семинара. Казань: Казап. гос. уп-т, 2004. С. 71 75.
5. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.
6. Гаевекий X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. 336 с.
7. Риделъ В.В., Гулии Б.В. Динамика мягких оболочек. М.: Наука, 1990. 206 с.
8. Бадриеа И.Б., Шагидуллии P.P. Классические и обобщенные решения уравнений одноосного статического состояния мягкой оболочки // Сеточные методы решения дифферепц. уравнений. Казань: Изд-во Казап. ун-та, 1986. С. 14 28.
9. Бадриеа И.Б., Задаориоа O.A. Исследование разрешимости стационарных задач для сетчатых оболочек // Изв. вузов. Математика. 1992. Л' 11. С. 3 7.
10. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.
11. Бадриеа И.Б., Задаориоа O.A. Исследование сходимости итерационного процесса для уравнений с вырождающимися операторами // Дифферепц. уравнения. 1996 Т. 32, Л» 7. С. 898 901.
12. Бадриеа И.Б., Задаориоа O.A. О сильной сходимости итерационного метода для операторов с вырождением // Жури, вычисл. матем. и матем. физики. 1997. Т. 37,
12. С. 1424 1426.
13. Ляшко А.Д., Ка:рчеаекий М.М. О решении некоторых нелинейных задач теории фильтрации // Изв. вузов. Математика. 1975. Л' 6. С. 73 81.
Поступила в редакцию 04.02.08
Вадриев Ильдар Вурхаиович доктор физико-математических паук, профессор
кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета.
E-mail: Ildar.BadrievQksu.ru
Вандеров Виктор Викторович кандидат физико-математических паук, ассистент кафедры экономической кибернетики Казанского государственного университета.
E-mail: Victor.BanderovQksu.ru
Задвориов Олег Анатольевич доктор физико-математических паук, профессор
кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета.
E-mail: Oley.ZadvornovQksu.ru
