УДК 517.946
УЛЬТРАПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С НЕИЗВЕСТНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ
Ю, А, Кошелева
Пусть Л — ограниченная область пространства М" с гладкой (для простоты — бесконечно дифференцируемой) границей Г, ф — цилиндр П х (О, Т) х (О, А), 0 < Т < + то, 0 < А < + то, переменных (ж, 4, а), Е— цилиндр П х (0,Т). Пусть с(ж, 4, а), К(ж,4, а), /(ж, 4, а), Мк(ж, 4, а), к = 1,... , т, — заданные функции, определенные при ж е о, г е [о,т], а Е [0, А], Мк = (жк, 4к), к = 1,... , т, — заданные (различные) точки из Е, А — оператор Лапласа по переменным ж,... ,ж„.
Обратная задача I. Найти функции Щж, 4, а), ^(а),... , дт( а), связанные в цилиндре ф уравнением
т
+ — Ам + с(ж, а)м = /(ж, а) + а)Мк(ж, а, (1)
к=1
при выполнении для функции Щж, а) условий
м(ж,0,а)=0, ж еП, а Е [0,А], (2)
Щж,4,0) = 0, ж еП, 4 е [0,Т, (3)
Щж,4,а)иеап,ее[о,т],ае[о,А] = (4)
а также условий переопределения
ЩМк,а) = 0, а е [0 ,А], к = 1,...,т. (5)
Обратная задача II. найти функции Щж, 4, а), ?(а), связанные в цилиндре ф уравнением
Щ + — Ам + с(ж, а)м = /(ж, а) + д(а)М(ж, 4, а, (!')
© 2012 Кошелева Ю. А.
при выполнении для функции и{х,Ь, а) условий (2)—(4), а также условия переопределения
Обратные задачи I и II относятся к классу линейных обратных задач для нестационарных уравнений с неизвестными коэффициентами (неизвестным коэффициентом) временного типа. Подобные задачи ранее активно изучались для параболических уравнений (см., например, монографии [1-5] и имеющуюся в них библиографию), для ультрапараболических же уравнений разрешимость обратных задач I и II ранее не исследовалась. Отметим, что техника, применяемая в настоящей работе, близка к технике работы автора [6], в которой изучались линейные обратные задачи типа I и II для ультрапараболических уравнений, но с неизвестными коэффициентами (неизвестным коэффициентом) пространственного типа.
В обратных задачах I и II условия (2)-(4) являются условиями обычной первой начально-краевой задачи для ультрапараболических уравнений, условия (5), (6) — соответственно условия точечного переопределения или же условие интегрального переопределения; наличие этих условий обуславливается наличием дополнительных неизвестных функций ®.(а),... , дт(а) или же д(а).
Проведем некоторые формальные (пока) построения, касающиеся вначале обратной задачи I.
В уравнении (1) положим последовательно {х,Ь,а) = (М±,а),
а) = (М2,а),... , а) = (Мт,а). Получим следующую алгеб-
Е
раическую систему:
gi(a)hi(Mb а) + . . . + qm(а)Л,т(M, а)
мьа) - д -
qi(a)hi(M2, а) + . .. + qm(а)^-т(M2, а)
=ut( м, а) - д - /(м, а,
а) + . .. + qm(а)МMm, а)
=ut(мт, а) - дцмт, а - /м, а.
Обозначим через ¿(а) определитель этой системы. Считая выполненным условие
Ду (а), 7у(а), к, 7 = 1,... , ш, — некоторые функции, вычисляемые через Му, а), /(Мк,а), к, 7 = 1,... ,ш. Подставим найденные представления в уравнение (1):
+ иа — Д и + с(Ж, а)м
¿(а) = det{hk(Mj, а}fcj=i # о нрИ а е [О, A], (7)
выразим функции qj(а):
m
qj(а) = ^ßkj(а)[щ(Mk, а) - Дм(М^а)] + 7j(а,
m
/(x,t, а) + ^2ßkj(а)[щ(Mk, а) - Дм(М^а)] + 7j(а).
Введем обозначения:
m
/i(x,t, а) = /(x,t, а + hj( x,t, ^7^ а), j
m
Акд (ж, 4, а) = Ак(ж, 4, а)с(Мк, а). С учетом этих обозначений уравнение (1) преобразуется к виду иг + иа — А и + с(ж, 4, а)«
т
= Л(ж,4, а) + ^ Ак(ж, 4, а)[и4(Мк, а) — АЩМк, а) + с(Мк, а)]
к
— Щ Акд (ж, 4, а)и(Мк,а). (!'
,а к
Уравнение (1") является так называемым «нагруженным» [7,8] уравнением. Определим пространство V:
V = {«(ж, 4, а) : «(ж, 4, а) Е ж, 4, а) €
г>а(ж, 4, а) € ж, 4, а) € ^(ф),
(ж, 4, а € г,.? = 1, .. . ,п};
норму в этом пространстве определим естественным образом
1Мк = + ^ + + + ¿ г1хгМг1а^ .
Пусть ^ — пространство VПЬТО(ф); норму в V) определим равенством
1Мк = |Мк + |мите(.
Положим «(ж, 4, а) = иг(ж, 4, а) — Аи(ж, 4, а) + с(ж, 4, а)и(ж, 4, а) = Ьои. Введем еще обозначения:
/2(ж,г,а) = ^Л(ж,4, а,
Вк(ж, 4, а) = ^А^ж, 4, а, Вкд (ж, 4, а) = ЬоАкд (ж, 4, а, к = 1, . .. , т. Для функции «(ж, 4, а) будет выполняться уравнение
V + «а — А« + с(ж, 4, а)«
= /(ж, 4, а) + Вк(ж, 4, а^Мк, а) + са(ж, 4, а)и
т
— Вкд (ж,4,а)и(Мк ,а). (8)
к
к
Пусть выполняются условия
fi (х, 0, а) = 0 при х G О, а G [О, А], (9)
Ак(х, 0, а) = О при ж G О, а G [0,4], к = 1,... ,ш, (10)
h{x,t, а),т],ае[оД] = (11)
^(хЛа)Ueöfi,te[o,т],ае[о,А] = 0. (12) Тогда для функции v(x, t, а) выполняется
^Да^О, (x,^ еПх(0,A), (13)
v(x, t, 0) = 0, (x, t) G О х (0, T), (14)
vUean,te[o,T],ae[o,A] = 0. (15)
Именно с помощью решения краевой задачи (8), (13)-(15) будет построено решение исходной обратной задачи I.
Краевая задача (8), (13)-(15) является по-прежнему задачей для «нагруженного» уравнения. Ранее подобные задачи для «нагруженных» ультрапараболических уравнений не рассматривались.
Положим
bk = vraimax\Bk(x, t, а)|, bk i = vraimax \Bk i(x,t, а)|, k=l,...,m,
Q Q
Ro = vraimax |/2(ж, t, a)|, Q
cq = min c(x, t, a), c\ = max \ca(x, t, a)|, Q Q
1 m 1 m
7 = — УХ + 4 + — У] Ьк, i • c k c c k
Теорема 1. Пусть выполняются условия (7), (9)—(12), условия c(x,t,a) G C2(Q), c0 > 0; 7 < 1, н пусть исходные функции /(x, t, а), hk(x, t, а), k = 1,... , m, таковы, что Bk(x, t, а) G LTO(Q), Bk,i(x, t, а G LTO(Q, Bkt{x, t, а G L2(Q), BMt(x,t,^ G L2(Q), ßjа) G LTO([0,A]), 7j(а) G LTO([0,A]), kj = 1,... , m, /i(x, t, а G L2(Q), /(x,t, а) G LTO (Q), /t(x, t, а) G L2(Q). Тогда обратная задача I имеет решение u(x, t, а), qi(а),... , qm(а) такое, что u(x, t, а G qk(а G LTO((0, A)), k = 1, .. . , m.
Доказательство. Воспользуемся методом регуляризации и методом продолжения по параметру.
Пусть е — положительное число. Рассмотрим краевую задачу: найти функции и(ж, а) н щ(ж, а), связанные в цилиндре Q уравнениями
^ + - е«и - АV + с(ж, а)щ
т
= /2(ж, а) + ^^ Бк(ж, а)щ(Мк, а) + са(ж, а)и
а
к=1
-УЗ Бкд (ж,г,а)и(Мк , а), (8е
к
V = и — А и + с(ж, а)и, (8^)
н такие, что для них выполняются условия (13)—(15), (2), (4), а также условие
ж,Т,а)=0, ж €0, а € [О,А]. (16)
Определим пространства V и V ,о:
V = {^(ж, а) : щ(ж, а) ^ ж, а) €
Щ^Х (ж,£, а) € ¿2^), г,.? = 1,...,п}, V ,0 = V п Ьж (Q); нормы в этих пространствах определим естественным образом:
= ( / у + ^ + + + ¿3 + ^ ,
1Мк,0 = 1Мк + 1М1ь<»№)•
Пусть А — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим семейство краевых задач: найти функции и(ж, а), ^(ж, а), связанные в цилиндре Q уравнением (8^), уравнением
Щ + — е«и — АV + с(ж, аV = /2 (ж, а)
тт
У^ Бк(ж, а)щ(Мк, а) + са(ж, а)и — УЗ Бкд (ж, а)и(Мк, с
кк
(8е,л)
н такие, что для них выполняются условия (13)—(16), (2), (4).
При Л = 0 данная краевая задача распадается на две независимые задачи — задачу нахождения решения а) первой начально-краевой задачи для параболического уравнения (8е,о) и задачу нахождения функции и(ж, а) (по функции «(ж, а)) как решения первой начально-краевой задачи для параболического уравнения (8^). Первая краевая задача нахождения функции а) разрешима в пространстве V,о (см. [9]). Далее, первая краевая задача нахождения по «(ж, а) функции и(ж, а) вновь разрешима в пространстве V,о (также см. [9]).
Согласно теореме о методе продолжения по параметру [10], для существования функции «(ж, а) из пространства V,о и и(ж, а) из того же пространства при всех Л, являющихся решением задач (8е,л), (8^), (13)-(16), (2), (4) при фиксированном е и при всех Л го [0,1] достаточно, чтобы при принадлежности функции / (ж,£, а) пространству Ф) имела место равномерная по Л априорная оценка
IMk,0 + lluHv!,0 < N.
(17)
Установим наличие необходимой оценки. Обозначим
F(x, t, а = f (x, t, a)
m
m
+ Bk(x, t, a)v(Mfc, a) + ca(x, t, a)u - ^ Bk l (x, t, a)u(Mk, a)
_k=i
k=l
В [9] показано, что выполняется оценка
угаупах|г>| ^ —угаупах
Ч со Ч
Это неравенство нетрудно преобразовать к виду
1
m
I I ^ I
vraimax |г>| ^--1--vraimax
q со со q
Далее, имеет место неравенство
vraimax |м| < — vraimax |г>|.
q с0 q
Отсюда получаем
I I R ■ I I
vraynax \v \ <--h 7 vraynax \v \.
q c0 q
Поскольку y < 1, последнее неравенство дает априорную оценку
R
vraimax|v| < —--- = (18)
Q co(l - 7)
Оценка
R
vraimax |w| <— (19)
Q co
очевидна.
Покажем, что для функций v(x, t, a) и и(ж, t, a) имеют место нужные интегральные оценки.
Интегральные оценки нормы v(x,t, a) в пространстве V при фиксированном £ и при принадлежности функции f (x,t, а) пространству Lœ (Q) выводятся стандартным образом из анализа равенств
/к + - £vtt — Av + cv)v dxdtda = / Fv dxdtda,
j(vt + va — £vtt — Av + cv)(—Av) dxdtda = j F(—Av) dxdtda,
/(v^ va — £vtt — Av + cv)(—v«) dxdtda = J F( —vtt) <ЫШ,
¡Ы + va — £vtt — Av + cvH dxdtda = J Fva dxdtda
с использованием неравенства Юнга и оценок (18) и (19). Аналогичным образом выводятся интегральные оценки нормы функции t, a) в пространстве V с использованием теперь неравенства Юнга и полученных оценок для функции v(x, t, a) (детали доказательства фактически будут приведены ниже).
Проведенные выше рассуждения и означают справедливость требуемой оценки (17). Как говорилось выше, этой оценки достаточно для нахождения функций а) и м(ж, а) — решений задач (8е,л), (8^),
(13)-(16), (2), (4) при всех А из [0,1].
Итак, задача (8ед), (8^, (13)-(16), (2), (4) имеет решение vе(ж,£, а), ме(ж, а такое, что vе(ж,£, а) € V,о> ме(ж,£, а) € V,о> и ПРИ этом для функций vе(ж, а), ме(ж, а) выполняются равномерные по е априорные оценки (18) и (19). Покажем, что при выполнении дополнительного условия /¿(ж,£, а) € для функций vе(ж,£, а), ме(ж,£, а) имеют е
Рассмотрим равенство
J+ vе — еvеí — АVе + суе)Vе ¿ж^Ыа = J Еуе ¿ж^Ыа.
От этого равенства с помощью неравенства Юнга и условий теоремы нетрудно перейти к неравенству а т
1
J J(v£)'2(x, Т, а) dxda + — J J(v£)'2(x, Ь, А) с1хА о п о п
е ^К)2 ¿ж^Ыа + J¿ж^Ыа
Н—- [(уЕ)2 dxdtda ^ —¡г [ Е2(ж,£, а) dxdtda. 2 У 2с5 }
ьо
Заметим, что вследствие исходных условий и оценок (18) и (19) функция Е(ж, а) ограниченная. Тогда
J !^^ (ж, Т, а ^ж^а + J !^^ (ж,£,
о п
е I ^"е)2 ^жЛ^а + ^^ J ^е.)2 ¿ж^Ыа < К, (20)
о п о п
в которой число К± определяется исходными данными задачи. Анализируя равенство
У К + < - - А Vе + СУ£) (-Д Vе) ¿ЫЫа = У -А Vе) ¿ЫЫа,
нетрудно получить априорную оценку п А . п Т .
/ / («Х»)2 (ж, Г, а ^ж^а + ^^ / / (ж, 4=1 о п 4=1 о п
п А
+
^ /У^^)2 ¿ж<Аз + У(Дуе)2 ¿ЫЫа < К, (21)
о п Ч
в которой число К определяется лишь исходными данными задачи.
Для доказательства теоремы нам понадобится вспомогательная оценка для функции ж,£, а)
J(«е)2 ^ж^Ыа < К У ¿ж^Ыа, (22)
в которой число Кз определяется лишь исходными данными задачи (эта оценка очевидна).
Получим четвертую априорную оценку, используя равенство
У («е + «а — — АVе + суе)(-у^) ¿ж^Ыа = J — У^) ¿ж^Ыа.
Интегрируя по частям, нетрудно от этого равенства перейти к следующему:
А т
1 ¡' Г' ,,е\2
У J(у^)2(х,0,а) dxda+^ ^ J(у^)2 (х,1, А) ¿хсИ о п о п
+ £ У (у^)2 ¿ж^Ыа + J¿ж^Ыа + J с(«е)2 ¿ж^Ыа
4=1 Ч Ч
[ А
^ я о п
Я
Используя условия теоремы, неравенство Юнга, оценки (18), (19), (22), нетрудно от данного равенства перейти к неравенству А Т
J !(«¿)2(х, 0, а) (х(а + J !(«¿)2(х,Ь, Л) (х(М + е ^(г^)2 3,хЛда
о
У ¿хЗКа + J(«¿)2 ¿хЗКа ^ К4, (23)
о п о п
+ Е
Я я
К
Последняя оценка
У «)2 ЗхЗЫа < К (24)
Я
теперь очевидна.
Оценок (18)-(24) вполне достаточно для выбора последовательностей {ер}, {и£р(х,Ь,а)} и {у£р(х,Ь,а)} таких, что при р ^ ж имеют место сходимости ер ^0, и£р(х,Ь,а) ^ и(х,Ь,а), у£р(х,Ь,а) ^ у(х,Ь,а) почти всюду в ^ иЕр(х,Ь,а) ^ и(х,Ь,а), у£р(х,Ь,а) ^ у(х,Ь,а) слабо в пространстве У0, £ру\1{х,Ь,а) ^ 0 слабо в пространстве и при этом предельные функции и{х, Ь, а) и у(х, Ь, а) будут принадлежать пространству Для предельных функций и(х,Ь,а) и у(х,Ь,а) будут выполняться уравнения (8о) и (8'), и условия (13)-(16), (2) и (4).
Из уравнения (8') и условий (14), (2) и (4) следует, что выполняется равенство
и(х, Ь, а) = 0 при х € О, Ь е [0,Т].
Другими словами, для функции и(х,Ь, а) выполняется условие (3).
Подставляя в уравнение (8о) и в условия (13)-(15) представление функции у(х, Ь, а) через функцию и(х, Ь, а) (из уравнения (8^)), получим, что функция и(х,Ь,а) является решением уравнения составного
типа и что для нее выполняются условия (13)—(15) (с заменой функции -у (ж, а) ее представлением) и условия (2)—(4). Из этого очевидным образом следует, что для функции и(ж,£, а) выполняется уравнение (1").
Определим функции а) равенствами
т
Уа = Х^ву (а)К(а) - Ди(Мй,а)] + 7у(а), 3 = 1,... , т.
Из оценок (18) и (19) следует, что функции а) принадлежат пространству Ьто([0, А]). Очевидно, что функции и (ж, а) и 41 (а),. .. , чт( а) связаны в цилиндре д уравнением (1). Из проведенных выше рассуждений вытекает, что найденные функции и(ж,£, а), Ч]_(а),... , чт(а) дают требуемое решение обратной задачи I.
Теорема доказана.
Замечание 1. Из доказательства теоремы следует, что функция и(ж,£, а) имеет большую гладкость, чем требуется.
Перейдем к обратной задаче II. Вновь проведем вспомогательные построения. Умножим уравнение (1) на функцию К(ж, а) и проинтегрируем по цилиндру Е. Введем обозначения
/о(а) = J К(ж, а)/(ж, а ^жЛ, Мо(а) = J К(ж, а)М(ж, а) ¿жЛ,
Е Е
Ма)
а) = е(у,£, а)К(у,г,а) - К4(у,^а) - Ка(у,г, а) - ДК(у,4,а),
Мж, а) , М(ж,£, а)
7У1(ж,у,Ь,а) = К{у,г,а), 7У2(ж,у,Ь,т,а) = Кг(у,т,а)
Ма) М0(а)
да = {(ж, ¿, а) : ж е 0, 4 е (О, Т), а е (0, а), а < А}, Л^ю = тах / Ж2 (ж,у,Ь,а)йу, Л^о = тах / Ж|(ж,у,Ь,т,а) йуйт,
я 3 я 3
Е
N11 = тах / Л^4(ж, у, а) (¿у, = тах / Л^Дж,у,Ь,т,а) йуйт,
« ] я .) "
Е
N12 = _ тах / Ж2 (х, у, 0, о.) ¿у, N22 = _ тах / Ы2 (х, у, О, т, а) сй/йт. П Е
Предполагая, что выполняются условия
йо(а)#0 при а € [О, А, (25)
К(х,1,а) = 0 при х € дИ, вычислим функцию д(а): 1 "
ч{а) =
к0(а)
К(у, Т, а)и(у, Т, а) <у
+ / К1(у,г,а)и(у,т,а)ЛуЛг — /0(а)
Е
Подставляя выражения для д(а) в (1'), получим «нагруженное» ультрапараболическое уравнение
иг + иа — А и + с(х, Ь, а)и = Д (х, Ь, а) /г(х, Ь, а
^о(а)
J К(у,Т,а)и(у,Т,а) Лу + j К1(у,т,а)и(у,т,а)<1у<1т
Е
(26)
С помощью решения задачи (26), (2)-(4) и будет построено решение
обратной задачи II. Уравнение (26) снова является «нагруженным», но
''
« нагруженным».
Теорема 2. Пусть выполняются условие (25), а также условия с(х^,а) £ С2 (С5), со > 0, си(ж,£, а) ^ 0 при а) (Е <5, с4(ж, Т, а) ^ О при х € Л, а € [О, А]. Тогда обратная задача IIимеет решение и(х,Ь,а), д(а) такое, что и(х,Ь,а) € V, д(а) € ^([О, А]).
Доказательство. Вновь воспользуемся методом регуляризации и методом продолжения по параметру.
Пусть £ — положительное число, Л — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим семейство краевых задач: найти функцию и (ж, а), являющуюся в цилиндре д решением уравнения
Щ + — £и« — А и + е(ж, а)и = / (ж, а) М(ж, а
А-
J Ky,T, a)w(y,T, a)dy + J K (y, т, a)u(y, т, а) dydT 'fi E
(26е,л)
и такое, что для него выполняются условия (2)—(4).
Согласно теореме о методе продолжения по параметру [10] для разрешимости задачи (26е,л), (2)-(4) при фиксированном £ достаточно, чтобы при принадлежности функции f (x,t, а) пространству L(Q) имела место равномерная априорная оценка ||u||V < Д.
Установим наличие необходимой априорной оценки. Обозначим для краткости
F = j y, t, a)u(y, T, а dy + j y, t, т, a)u(y, т, а dydT.
fi E
Рассмотрим равенство
j (ut + u — а — £utt — A u + cu)u dxdtda
Qa
= j fudxdtd^ + ^У .Fu dxdtda.
Qa Qa
Очевидным следствием этого равенства является оценка a T
j j u2(x, T, a dxda + j j u2(x, t, ^ dxdt + £ j u2 dxdtda
Qa
+ ^^ J u2Xi dxdtda + cq J u2 dxdtda ^ + J u2 dxdtda
y s2 ' ■ u
^Qa Qa " Qa
^ J /2 <х<Ыа + 6% J -Р2 ¿хсИЛа.
1 Я Яа
Имеет место неравенство
а
Яа О П
+ 2Ж2оТтевП / и <х<Ь<а.
Яа
Зафиксируем числа ¿1 и ¿2: ¿1 = 1, = 4дг10уте5д • Получим
— УУ и2{х, Т, а)ЛхЛа + J J и2(х,1,а) <х<И о п о п
+ £ J и^ ЛхЛЬЛа + J и2х. ЛхЛЬЛа
Яа 4=1 Яа
^ + 4ЖЮ тев П +J и2с1х<Ис1а+ ! /2 ¿хсИс1а. (27)
Яа Я
Рассмотрим равенство
+ иа — £и..— д (—^
Яа = =
= J /1 (—ии) ЛхЛЬЛа + X J —иИ) Лх&Ла.
Яа Яа
Используя условия теоремы, неравенство Юнга и либо не интегрируя по частям по переменной Ь в первом слагаемом правой части, либо соответственно интегрируя, получим неравенства
а Т
— J ! и2 (ж, 0, а) д,хд,а. + — J J и2 (ж, £, а) с1х<М о п о п
+ £ 1<ы,ы« + ±1 <ы,ыа + „ Iи «И»
Я Я Я
^ — [ иЬ (1х<Мс1а Н--/ А2 (1х<Мс1а Н—^ [ м? с1х<Мс1а
2] " 2е У ^ 2 У 4
Я Я Я
= = а = = а =
—/ Ё2с1хсИс1а+ — / / и2(х,0, а) <1хс1а-\--/ / Ё2(х,0,а)(1х(1а,
263 У 2 у у 26| У У
Я
=а = =Т =
^ ^ и2(х,0, а) dxda + — J J и2 (ж, а) с1х<М о п о п
+ ^ У и^ ЛхЛЬЛа + J и2х.г ¿хсИЛа + сд J и2 ЛхЛЬЛа
Я 4=1 Я Я
= = = а =
66
^ — / м? д,хсИд,а. Н--» / -Р? <1хсИд,а. Н—- / / О, а) д,хд,а.
2 У 26д У 2 У У
ЯЯ = а = = =
Н--/ / г(х, О, а) ё,хл1а. Н—- / м? ¿х<Мйа Н--/ №+<1хсИс1а
Щ .1.1 2 У 2^^ У
ЯЯ
Н—2. [ [ и2(х, О, а) <И,хс1,а Н--^ [ [ /2(ж,0,а)с1хс1а, (29)
6
о п о п
66
Заметим, что справедливы оценки
= = а =
Яа
+ 2^21ТтевП J и2 ЛхЛЬЛа,
Яа
а
р (ж, 0, а ^жйа ^ 2Ж12 тев П У У и2 (ж, Т, а ^жйа о п о п
+ +2^2 шее О У Щ ¿ж^Ыа.
Яа
С помощью этих оценок и оценки (27) продолжим (28) и (29):
9 а Т
—--У У и2(х,0, а) dxda + — J У и2(х,Ь,а) ¿х<М
о п о п
+ — У (1хЛ(1а + У (кс&йа
Яа ^Яа
Со--У (1х&с1а ^ — У йхАйо.
Яа Я
ЖпГтезП , Ж12тезП^ , ОАГ ^
-^--1--^- 2 + вЛ^юТтевП + —— / и ахаЬаа
Ч 4 ) \ ^ю у)
Яа
/ЖцТтевП ^гтевПЛ [ + 2 ---1--^- / /£ dxdtda
V ¿з
Я
Ж21ТтевП ^22тевП\ I 9111 -5--1--5- | / и" dxdtda,
¿з
,2 2 2
о п
Т
1
У У (ж,0, о п
У У (ж, а ^жЛ + £ У ^ж^Ыа + У ^ж^Ыа
о П Яа ^Яа
сп--^--- ] /и? (1хЛ(1а
2 2 У ./ 4
а
A
^ —рт / f?t dxdtda H--pr / / f?(x, 0, a) dxda
Щ J Щ J J
Q 0 fi
NnT mesO , N12 тезП\ fn , ОАГ m 0,2AT20W2 -^--1--^- 2 + 8N10T mesQ + —— / w dxdtda
¿3 ¿4 У V Nio У J
Qa
NnTmesO N^mesOA f 9 -^--1--^- / j{ dxdtda
¿1 4)3
Q
NJmQ N22 mes О \ -5--1--5- / m" dxdtda.
¿3 4 J J
Qa
Подбирая теперь числа ^-¿e малыми и фиксируя их, получим, что выполняются неравенства
a T
/ -,
u+ i X,
j j ut (ж, 0, a dxda + j j ut (ж, t, a) dxdt 0 fi 0 fi
+ £Z Utt dXdtd^ Vj ^ dXdtda
Qa ^ Q a
+ j ut dxdtda ^ C + C j U dxdtda, (30)
Qa
T
j j ut (ж, 0, a dxda + j j ut (x, t, a dxdt 0 fi 0 fi
+ e j utt dxdtda + j dxdtda
Qa fclQa
+ j ut dxdtda ^ C + C j u2 dxdtda, (31)
t
Qa Qa
в которых число С определяется исходными данными задачи и числом £ числа же С2—С4 определяются лишь исходными данными задачи.
a
Сложив (27) и (30), (27) и (31) и применяя далее лемму Гронуолла, получим, что выполняются априорные оценки
Е/
О О О О Яа
а
Л*ма)£!4(х,ьа)*(32)
о п
1 1 п
J ! ч2(х,Ь,а) dxdt + J J Ц. (х, Ь, а) + J ч2х^ dxdtda о п о п 1=1Яа
а
+ Ц и м а) + е\ чЦх, г, а) ^Ыа * Мъ (33)
О П Яа
причем оценка (32) выполняется при условии € ^{О) и при
М
лом е, оценка же (33) выполняется при условии ^(х,Ь,а) € ^(0), ¡и{х,Ь,а) € Ь2(О), и при этом число М1 определяется лишь исходными данными задачи.
Из оценок (32) и (33) очевидным образом следует, что выполняются оценки
J (Дч)2 dxdtdа + ^ Ча dxdtdа * Мз, (34)
Яа Яа
J (Дч)2 dxdtdа + J ча dxdtdа * М3, (35)
Яа Яа
причем вновь первая из этих оценок выполняется при условии а) € ¿2(0), число М2 определяется исходными данными и числом е, вторая же — при условии ^(х,Ь,а) € ^(О), ¡и{х,Ь,а) € ^(0), М
Оценок (32) и (34) вполне достаточно для осуществления всей схемы метода продолжения по параметру, оценок (33) и (35) — для осуществления процедуры выбора подпоследовательности и предельного перехода.
Предельная функция и(х, а) и функция д(а), определенная равенством
1 "
д(а) =
Ма)
K(y, T, a)u{x, T, a) dy
Ki(y, т, a)u(x, т, a) dydr — f(a)
дадут решение обратной задачи II из требуемого класса. Теорема доказана.
Замечание 2. Используя [9], нетрудно установить, что при выполнении дополнительных условий
/i(x,t,a) е Ьж(Q),
max
Q
\N(x,y,t,a)\ dy
■ max
Q
\N(x, y, t, т, a) \ dydr
< c0
П Е
обратная задача II имеет решение и(х,£, а), д(а) такое, что и(х,£, а) € д(а) € Ьто([0, А]) (см. доказательство теоремы 1). Замечание 3. Процедура доказательства выполнимости условий переопределения (5) в обратной задаче I и (6) в обратной задаче II для решений и(х, а) вспомогательной задачи для «нагруженного» уравнения (8) или (26) подробно обоснована, например, в работах [11,12].
ЛИТЕРАТУРА
1. Prilepko А. I, Orlovsky D. С., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Dekker, 1999.
2. Kozbanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.
3. Belov Yu. Ya. Inverse problems for partial differential equations. Utrecht: VSP, 2002,
4. Ivanchov М. Inverse problems for equations of parabolic type. Math. Stud. Monogr. Ser. 2003. V. 10.
5. Isakov V. Inverse problems for partial differential equations. New York: Springer Sei., 2006.
6. Кошелева Ю. А. О разрешимости некоторых линейных обратных задач для ультрапараболических уравнений // Мат. заметки ЯГУ, 2011. Т. 18, вып. 2. С. 79-99.
7. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995.
8. Дженалиев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы: Ин-т теоретической и прикладной математики, 1995.
9. Кожанов А. И. О разрешимости краевых задач для квазилинейных ультрапараболических уравнений некоторых математических моделей динамики биологических систем // Сиб. журн. индустр. математики. 2009, Т. 12, № 4. С. 64-78.
10. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.
11. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи. Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 4. С. 694-716.
12. Кожанов А. И. Об одном нелинейном параболическом уравнении и связанной с ним обратной задаче. Мат. заметки. 2004. Т. 76, вып. 2. С. 840-853.
г. Южно-Сахалинск
10 августа 2012 г.