удк 518.9
О РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛИНЕЙНОЙ ВЫРОЖДАЮЩЕЙСЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Ю, В, Борисов
В работе исследуется нелинейная коэффициентная обратная задача для вырождающегося параболического уравнения. Указанная задача сводится к прямой краевой задаче, существование решения которой обеспечивает существование решения исходной обратной задачи.
Пусть В — ограниченная область прострапства МП Я = В х (О,Т), О < Т < + ж, — цилиндр, Г — гладкая (для простоты бесконечно дифференцируемая) граница области В, Б = Г х (О,Т) — боковая граница цилиндра Я. Функции Н(х,Ь), /(хи ^(х, заданы в Я, функции и2(х) заданы при х € В и К(Ь) задана при £ € [О,Т].
Обратная задача. Найтифункциии(х,Ь), ^х^ п%(х), связанные в цилиндре Я уравнением
К(Ь)щ — Д и + ц{х)и = ц$(х)Н(х, £) + /(х, Ь),
(1)
причем для функции и(х, £) должны выполняться условия
(2)
и(х,^) = и\{х), х € В, 0 < ¿1 < Т,
(3)
и(х,г2) = и2{х), х € в, о < ¿1 < ¿2 ^ Т,
(4)
© 2008 Борисов Ю. В.
Разрешимость обратных задач с вырождением, подобных обратной задаче (1)—(4), но с известной правой частью и неизвестным лишь коэффициентом д(х) ранее изучалась в работах [1,2]. Задачи с неизвестным коэффициентом д(х) и неизвестной правой частью уравнения указанного выше вида, но без вырождения в уравнении, изучались в работах [3,4]. В настоящей работе уравнение наряду с неизвестными решением и(х, Ь) и коэффициентом д(х) содержит в правой части также неизвестную функцию #о(х). Отметим также, что в работах [2-4] функция К(Ь) была тождественно равна единице. В рамках этой работы функция К(Ь) определяется следующим образом:
К(Ь)>0, Ь е(0,Т], К(0) = 0. (5)
Метод исследования данных обратных задач близок к подходу [5], он основан на регуляризации, далее на переходе к прямой задаче путем исключения функций д(х),до(х), исследовании полученной прямой задачи и построении решения исходной обратной задачи путем предельного перехода.
Произведем регуляризацию функции К(Ь). Введем в рассмотрение функцию Ке(Ь): Ке(Ь) = К(Ь) + е, е — число из полуинтервала (0,ео], £о — фиксированное положительное число.
е
е
этого индекса в обозначении функции признаком равенства параметра
е
Пусть
У = |ъ(х,Ь) : ъ(х,Ь) € Я)ПЬто(0,Т; уГЩуг(х,Ь) € Ь2(Я),
ъх^хЛх,г) е ь2(Я), 1 = 1,...,п},
норму в этом пространстве определим равенством
n
||^(ж, i)||V = vraimax |v| + vraimax^^ /
Q O^t^T — I
0 D
E<
Определим пространство
H = {м(ж, t) : м(ж,£) G V, ut(ж,£) G V}
с нормой
ИмП^ = + ||ut||v.
Пусть выполняется условие:
3 и(ж,£) G H |s =
Введем обозначения:
Wx, i) = м(ж, t) — U(x, t), = — U(x,ii), = м2(ж) —
ho (ж) = Мж, — Î2)ui(x),
/е(ж,*) = /(ж,*) — —е(t)Ut(ж,*) + AUfot),
ж,t2) + — Мж, ¿2)/е(ж,^) + Д^(ж)]
(6)
а Л ж) =
е( ti) ^(ж,^)—е( t2 а Д ^-т-т--, аДж) = —■
во Л ж) =
Мж) Мж)
и(ж[/Лж,£2) + AwW] — м2(ж)[/е(ж, ti) + Д^(ж)] Мж) :
в (ж) = Мж)—в(в (ж = — i2)
Мж)
Мж)
ао = inf vraimin(a^ ж + — '(¿)),
0<е^Е0 Q
А = шах {угатмх |ае(х)\}, А = шах {угагтах\а2е(х)\},
О^е^ео д О^е^ео д
В = шах {угштахве(х)\}, В = шах {уга1тах\ве(х)\},
О^е^ео д О^е^ео д
(а0 — т0) тах угаипах \вое(х)Ы(х,г) + /ег(х,г) — ае(х)Щ(х,г)\
К _ _<Ке^ео <_
1 а0 — т — (В1 + В2) угаупах х, г) \ — (А + А) угаупах \и4(х, г) \ I
т! = К(В1 + В2)
т
скажем позже).
Считая функцию у(х,г) известной, введем в рассмотрение функции
Суе(х) = «ое(х) + а е{х)ю{х,1\) + а2е{х)у(х,12),
Гуе( х,г) = вЛ х) + л х)у(х,^) + в е( х)у(х,г2)]Ь,г( х,г)
+ /еь( х,Ь) — СУе( х)11г{ х,Ь).
Согласно нашему замечанию, под обозначениями су (х) и ^ (х, г) будем подразумевать функции сУо (х) и ^Уо (х,г).
Рассмотрим вспомогательную прямую краевую задачу, с помощью которой мы в дальнейшем построим решение исходной обратной задачи: найти функцию у(х, г), являющуюся в цилиндре Я решением уравнения
Ке(¿)уг — Ду + сУЕ{+ К'(^^ ^х,г), (7)
и такую, что для нее выполняются условия
у(х,г)\5 = о, (8)
«(х,0) = 0. (9)
Теорема 1. Пусть выполняются включения К (г) € С2([0,Т]), /(х,г) € ьж(Я), /г(х,г) € ьж(Я), н(х,г) € ьж(Я), ь,^х,г) € ьж(Я), € (В П В), и2(х) € П Ьто(В). Далее, пусть выпол-
няются условия
Н0(х) > ^о>0, х € В, (10)
а0 > 0, ао > угштах х,Ь) К В + В) + угштах |и4( х,Ь) |( А + А),
(п)
а(х) + ^К'(ь) > о», (х,г) е Я, (12)
ц(х) = Мх,^), ц(х) = м(хА), х е г. (13)
Пусть также для некоторого положительного числа т-о такого, что
т0 < а0 — уга1тах{|й4( х, г) К В + В) + |и4( х,Ь) К А + А)}, (14)
выполняется неравенство
(А + АЖ < т. (15)
Тогда обратная задача (1)-(4) имеет решение {Цх,^, д(х), 9о(х) } такое, что м(х,Ь) е я, д(х) е Д), ®(х) е
Доказательство. Вначале рассмотрим вспомогательную прямую1 задачу, с помощью которой в дальнейшем построим решение исходной обратной задачи.
Определим срезающие функции СД^), С2(£) :
—то, если £ < -то, С(£) = { £, если — т ^ £ ^ т, т, если £ > то,
—т, если £ < —т, С2(£) = ^ £, если — т ^ £ ^ т, т, если £ > т. Для функции ъ(х, Ь) го пространства V определим функции с\х) и ^х,Ь):
С1 х) = «0е( х) + С (а Л х)ъ(х,Ь1) + а л х)ъ(х,Ь2)),
В «Л х, Ь) = Д)е( х)М х,Ь) + С (А Л х)ъ(х,Ь1) + в Д х^х^^М х,Ь)
+ х, Ь) — 01 (х) В (х, Ь).
Рассмотрим краевую задачу: найти функцию у(х,г), являющуюся в цилиндре Я решением уравнения
Ке( гь — Д ь + С1 уе{ х)ь + К'(г)ь = л х,г, (16)
и такую, что для нее выполняются условия (8) и (9).
Уравнение (16) является «нагруженным» параболическим уравнением, именно такие уравнения исследованы в работах [3—5]. Точнее, в этих работах доказано существование решений у(х,г) краевой задачи (16), (8), (9), принадлежащих пространству V, и доказано, что для этих решений будет выполняться оценка
угаипах \ Л Уе (х,г) \ угаупах\у(х,г) \ < <
q 1 ^ vraimin(cive{x) + K'(t))'
Q
Учитывая указанные в условии теоремы включения и условия, а также условие (10), получаем неравенство
vraimax |v(x, t)|(Bi + В2) vraimах |ht(x, t)|
■ I / Л1 . Q Q
vraimax \v{x,t)| ^ -
q «о - mo
vraimax |v(x, t)|(A + A) vraimax |Ut(x, t)| Q_Q_
во - m0
max vraimax |Д>е(x)ht{x,t) + ft{x,t) — «oe(x)U^x,t)|
Q
во — m0
Учитывая условие (11), выбор числа mo, вновь включения функций в соответствующие классы и введенные обозначения, получаем оценку
vraimax |v(x,t)| < K. (17)
Q
Ее следствием является следующая оценка:
|а Л x)v(x,ti) + а Л x)v(x,t2) | < + A).
Условие (15) дает неравенство
|ае(x)v{x,t\) + аЛx)v{x,t2)| ^ mo.
Согласно определению срезающей функции СД£), справедливо равенство
СДа Д ж)-Дж,.1) + а Д ¿2)) = а Д ж)«(ж,£1) + аД ж)«(ж, £2)-Аналогично имеем
вДж^ж,^) + ДЛж^ж^)| < + В),
и, учитывая обозначения, получаем
вДж)«(ж,.1) + АДж)«(ж,.2)I ^ т-
Согласно определению срезающей функции 02 (£), справедливо равенство
С^Дж)«^,^) + АДж)«^,-^)) = в Дж)«(ж, £1) + Ае(ж)«(ж, £2)-
Таким образом, функция «(ж, принадлежит пространству Следует также отметить, что в силу доказанного будут выполняться равенства
С1«Дж) = е.Дж), В.Дж, = ВДж, ■£). (18)
Рассмотрим равенство т т
Цт о,, — д «+ *.( ^ + к <
од од
Принимая во внимание условия (8), (9), получим верные равенства т т т
КД.)«,« ¿жй. = — У J (КД.)«2), ¿жй. J К ^жА
од од од
КДТ) т
■ J «2(ж, Т)йж J К'(¿жй.,
2
в о в
п т п т
— ^^ / / ^« ¿жй. = ^^ / / ^ ¿жА.
г=1 О Ь г=1 О Ь
С помощью этих равенств и неравенства Юнга получаем Ке(Т) " Т
у J ! ¿хА
д г=1 О в
-К '( г)+сУе( х)
V" с!хА
о в
Т т
< ^УУ Л?е(х,г)dxdг + J !V2¿хА,
вв
Где — произвольное положительное число. Далее учитывая (12), получим
п т
^Г [ [ vXi dxdг < М, (19)
г=1
в
где постоянная М\ зависит от входных данных обратной задачи. Величина М\ в силу условий теоремы конечна. Рассмотрим равенство
т т
J ![Ке(— АV + суе(х^ + К'(г^^ dxdг = J J Луеví dxdг. вв
Интегрируя по частям во втором слагаемом левой части, получаем
п т п т
— ^ [ ! Vж¿ж¿ Vt = ^ ! I Vxi Vж¿í dxdг
г=1 о в
п т п
= / / «) dxdг=^J2J х,Т)<ЬА.
в
в
Преобразуем третье и четвертое слагаемые левой части: т
//[с( ж) + К '<.)]«, <**
д
т
= У [с.Л ж) + К '( — ^у УК
дд
Учитывая (14), нетрудно убедиться в справедливости следующего равенства:
угаушп |с.е(ж) + К'(£) | = а0 — ш0 > 0. (20)
Я
Принимая во внимание оценки (17), (20), получаем неравенство
т п
У У К.«, ¿жЛ + у «ЖДж, Т)йж < М2, (21)
од г=1д
где постоянная М2 зависит от входных данных обратной задачи. Величина М2 в силу условий теоремы конечна. Рассмотрим равенство
т т
//[*.<^ ^«+ с<ж)« + К'(^о ** = / /«.(—д«)
дд
Интегрируя по частям, используя условия теоремы, оценку (19) и применяя неравенство Юнга, получаем априорную оценку
п п т
]Г У «ЖЛж, Т)йж + ]Т У У «Ж^ ^ < М3, (22)
где постоянная М3 зависит от входных данных обратной задачи. Величина М3 в силу условий теоремы конечна.
Учитывая оценки (19)—(22), получим априорную оценку для функции v(x, t):
n т n T
KXvt dxdt + ^^ j j v2Xi dxdt + ^^ j j vXiXi dxdt о D i=1 о D i=1 о D
n ,,
+ vXjxx,T)dx < M,
где постоянная M зависит от входных данных обратной задачи. Вели-M
Таким образом, для любого положительного числа е существует функция x,t) £ V, являющаяся решением задачи (7)-(9), удовлетворяющая неравенству
||vX(x,t)||v < M0. (23)
Равномерная ограниченность в пространстве V последовательности |vX(x,t)}, вложение ^^(Q) С ^^(Q), вполне непрерывность вложений ^з(ф) ^ L(Q), ^г(Ф) ^ L(D) и теорема о возможности выбора из сильно сходящейся последовательности подпоследовательности, сходящейся почти всюду [6], дают существование подпоследовательности |vXm(x,t)} последовательности функций |vX(x,t)}, а также функции v(x, t) таких, что при m ^ ж функции
vXm( x,t), VK^t)vtXm( x,t), v^m (x,t), vX-хД x,t) сходятся слабо в L(Q) к функциям
ОМ)
соответственно. Вместе с оценкой (17) эти сходимости дают выполнение для предельной функции .(х,£) равенства
/[ВД* - Д. + Ых) + к'(<)М,(х,<) ** = /д<м«*.« *«
3 3
для произвольной функции n(x, t), принадлежащей пространству L(Q)-| Но тогда функция v(x,t) будет решением уравнения
K(t)vt — Дv + cv(x)v + K'(t)v = Fv(x,t).
Таким образом, осуществляя предельный переход в задаче (7)-(9) при е ^ 0 и учитывая (18), получим, что функция v(x,t) £ V является решении краевой задачи: найти в Q решение уравнения
K(t)vt — Дv + cv(x)v + K'(t)v = Fv(x,t), (24)
удовлетворяющее условию
v{x,t) |s = 0. (25)
Определим функции u(x,t), q(x) и qo(x) следующим образом: t
^(^¡ф^ + ^ + и^Ц, fcM) £ Q, (M)
t
q(x) = ao(x) + «i(x)v(x, ti) + a2{x)v{x,t2), q0(x) = fo(x) + [3i(x)v(x ,ti) + ^(x)v(x ,t2). Уравнение (24) приобретет теперь вид K(t)wtt — Awt + q(x)(wt + Ut) + K'(t)wt = q0{x)ht{x,t) + ft(x,(. (27)
t t t
равенство
A[w(x,t2) — — — w2(x)] = 0.
w x, t
области D. Из оценки (23) и условий (10), (11) вытекает, что функция q(x) положительна в области D. Вместе с обращением функции w2{x) в нуль на границе Г (согласно условия согласования (13)) получаем, что функции w(x,t2) и w2(x) совпадают при x £ D. Следствием этого является совпадение функции u{x,t2) и U2(x) при x £ D. Таким образом, выполнение условия (4) доказано.
t
точки ti, получаем, что функции u(x, t), g(x) и 9o(x) будут связаны в цилиндре Q уравнением (1).
Таким образом, мы получили решение {u(x, t), g(x), go(x)} обратной задачи (1)-(4) такое, что u(x,t) £ H, g(x), 9o(x) £ LTO(D), и для функции u(x, t) выполняются условия (2)—(4) (уточним, что выполнение условия (2) следует из равенств (25), (26), выполнение условия (3) — из определения (26) функции u(x, t), а выполнение условия (4) — из рассуждений, приведенных выше).
Теорема доказана полностью.
Далее будет доказана теорема единственности решения обратной задачи (1)-(4).
Для функций x,t) £ H, i = 1,2 определим функции z(x, t), <^i(x, t), <^2(x,t) и F(x,t):
z(x, t) = ui(x,t) — U2(x,t),
Введем вспомогательные обозначения:
К = угацпах г = 1, 2.
Я
Теорема 2. Пусть (мДх, ¿), 91(ж), доДх)} и £), 92 (х), дог(х)} —|
два решения обратной задачи (1)-(4) такие, что х, ¿) € Н, х), ^о¿(х) € Д), « = 1, 2, и выполнены условия теоремы 1. Пусть выполнены следующие условия:
Тогда ui(x,t) = u(x, t) в Q п gi(x) = 92 (x), 9oi(x) = ?02(x) в D.
(x, t) = ht( x, t)^i (x) — U t( x, t)a (x), ^2(x, t) = ht( x, t)e(x) — U t( x,t)a(x), F(x, t) = <£l(x,t)z(x,ti) + <^2(x, t)z(x,t2)
(28) (29)
vraimax | < K0, i = 1, 2,
Q
(30)
Доказательство. Так как
{и1(х,г),^(х),^(х)} и {и2{х,Ь),ц2{х),цт{х)} — два решения обратной задачи (1)-(4), справедливы равенства К^щ I — А и + = до1(х)^(х,£) + Цх,~Ь),
К{1)и2 г — А^2 + 42{х)и^ = Цо2{х)Н(х,~Ь) + ^х,~Ь).
Вычтем из первого равенства второе. Продифференцировав полученное, имеем уравнение
Рассмотрим вспомогательную задачу, с помощью которой мы в дальнейшем докажем утверждение теоремы 2.
Найти функцию г(х,Ь), удовлетворяющую уравнению (31) и следующим условиям:
Примем во внимание, что функции х), цо¿(х), г = 1,2, определяются следующим образом:
ц\(х) = ао(х) + а\{х)и\+ а2{х)и1 гХх,Ь2)
— а\{х)иг( х,Ь\) — х,Ь2),
ц2{х) = ао(х) + а(х)и2 г{х,^) + а2{х)и2 гХх,Ь2)
— а\{х)иг( х,Ь\) — х,Ь2),
Цо1(х) = во(х) + А(х)и1 г( + Д(х)и1 г( х,г2)
— ¡Зх(х)иг( х,гг) — в2(х)иг( х,г2),
Цог(х) = во(х) + в1(х)и2г(хА) + в2(х)п2г(х,£2)
— ¡Зх(х)иг( х,гг) — в2(х)иг( х,г2),
К(1)ги — А ^ + [щ(х) + К '(
(х) — Цо2(х)]^(х,£) + и2г(х,£)[ц2(х) — Ц1(х)]. (31)
г(х,г)\s = О г(х, ¿1) = 0.
(32)
(33)
Тогда уравнение (31) принимает вид
- Дг4 + [й(х) + = В(х^). (34)
Рассмотрим равенство
У У [К(фи - А^ + [91 (х) + К'(^ ¿хЛ = У У ¿хЛ. о в о в
Интегрируя по частям в левой части последнего равенства, учтем однородность граничного условия и особенность функции В правой части равенства применим неравенство Юнга. В результате получим оценку
н
K(t
У zt (x,ti)dx + ^ У У zXit dxdt
D
ti
0 D
ttK '( t) + <ft(x)
z? dxdt
ti ti
ft f f 9 Iff.,
^ — zt dxdt H--F, dxdt,
2 7 7 Щ J J "
DD
Где ¿2 — произвольное положительное число. Приводя подобные и учитывая (28), получаем
ti
K(ti
■/* + £//zX„ dxdt
D ® 0 D
b ti ti ^ У У zt dxdt ^ —— f I ^ dxdt. (35)
DD
Рассмотрим равенство t2 t2 У У [K(t)ztt — Azt + |q(x) + K'(t)]zt]zt dxdt = J J Fzt dxdt.
DD
Поступая подобно тому, как мы это делали с предыдущим равенством и учитывая (28), получаем
К (¿2
./„ г//
В О В
г
г
— [[ г? АхАЬ < —— I I Р2 АхАЬ. 2 .1.1 г 2Ь0
В
В
Сложив полученные неравенства и отбросив в левой части неотрицательные слагаемые, получим неравенство
—У г?(х,^)Ах- К{Ь2 2
В В В
< 1
2Ьо
Jг?(х, ¿2) Ах
Р| АхАЬ + J ! Р2 АхАЬ
ВВ
.
Из представления функции Р2(х,Ь), используя (29), нетрудно получить следующее неравенство:
1
В
<
Ч <-2
J J Р2 АхАЬ + J ! (х, Ь) АхАЬ
В
2J г?(х, ¿1) АхАЬ + 2^К| J г?(х,Ь2) АхАЬ
ВВ
2Ь2К2 J г? (х,Ь1)АхЖ + 2Ь2К% J г? (х,Ь2)АхАЬ
1
2Ь^
(¿1 +
г? (х, АхАЬ ■
г?(х, Ь2) АхА.
В
В
Следовательно, из (36), приняв во внимание оценку правой части пера-
венства, имеем
I 1/11 . II ЛИ ' .и
1
/
в
+
к(ь) (ь+ьЖ] [ ■>
2 Ъ0
/
(х, 3,х ^ 0.
в
Учитывая (30), из последнего неравенства получаем
г^х,^) = г^х,£2) = 0, х € В. А значит, из неравенства (35) следует, что
х,£) = х,£) = 0, г=1 ,...,п, х € Q. Из (34) благодаря (37) имеем
К(£)г„ - Дгг + [91 (х) + К'(Щгг = 0.
(37)
Интегрируя теперь последнее уравнение по переменной £ от точки до текущей точки, получаем
У У [K(t)zt - Аг + 91 (х)г]г <1х<И = 0. ^ в
Применяя ту же последовательность действий, что и в рассмотренных выше равенствах, нетрудно убедиться что
Отсюда, учитывая (5), получаем
гХД х, £) = 0, г=1,...,п, х € Q.
Значит, функция г (х, £) постоянна в цилиндре Q. Учитывая ее равенство нулю на боковой поверхности цилиндра Q согласно (33), получаем
г(х, £) = 0, х € Q,
что и означает справедливость заключения теоремы.
- Дг + дх(х)г = 0.
Рассмотрим равенство
Замечание. Если функцию U(x, t) выбрать более квалифицированным образом, например, как решение краевой задачи
Ut - ДU = О, U(x,t)|s = Mx,i), U(x, 0) = 0,
то из условий (11), (14) и (15) ее можно исключить, заменив функцией
Mt( x,t).
ЛИТЕРАТУРА
1. Борисов Ю. В. О разрешимости нелинейной вырождающейся обратной задачи для параболического уравнения // Современные проблемы физики и математики: труды всеросийской научной конференции. Уфа: Гилем, 2004. Т. 1. С. 18-23.
2. Борисов Ю. В. О разрешимости одной обратной задачи с вырождением // Вестник Новосиб. гос. ун-та. 2004. Т. 4, вып. 3/4. С. 17-22.
3. Kozbanov А. I. On solvability of an inverse problem with an unknown coefficient and right-hand side for a parabolic equation //J. Inv. Ill-Posed Problems. 2002. V. 10, N 6. P. 611-630.
4. Kozbanov A. I. An inverse problem with an unknown coefficient and right-hand side for a parabolic equation //J. Inv. Ill-Posed Problems. 2003. V. 11, N 5. P. 505-522.
5. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн.| вычислит, математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 4. С. 722-744.
6. Функциональный анализ. Под ред. С. Г. Крейна. М.: Наука, 1964.
г. Стерлитамак
12 августа 2005 г.