Обратная задача с неизвестным составным внешним воздействием при составном переопределении Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА С НЕИЗВЕСТНЫМ СОСТАВНЫМ ВНЕШНИМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ ПРИ СОСТАВНОМ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИИ*)

Р. Р. Сафиуллова

Пусть Л — ограниченная область пространства М" с гладкой (для простоты бесконечно дифференцируемой) границей Г, ф — цилиндр П х (О, Т) конечной высоты Т, х = (х1,...,х„) — точка области П, £ — точка интервала (О, Т), Б — боковая граница цилиндра ф : Б = Г х (О, Т). Далее, пусть Н\(х,1), ^(х, £), /(х,£), <^(х), ^(х), ^(х),

а(х, £), Ь(х,Ь), К(£) — заданные функции, определенные при х € О, £ € [0, Т], £1 — фиксированная точка полуинтервала (0, Т].

Обратная задача: найти функции и(х,£), фДх), ®(х), связанные в цилиндре ф уравнением

ии — Д и + Ь(х, + а(х, £)и = (х, £) + ^ (х)^2(х, £) + /(х, £) (1)

при выполнении для функции и(х, £) условий

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 06-01-00439) и Сибирского отделения РАН, междисциплинарный проект № 48.

и(х,0) = <^(х), х € О, и4(х, 0) = ^(х), х € О,

и(х,г)= о,

и(х,£ 1) = и^х), х € О,

(2)

(3)

(4)

(5)

т

(6)

о

© 2006 Сафиуллова Р. Р.

Данная задача представляет собой обратную задачу нахождения вместе с решением и{х, г) гиперболического уравнения также неизвестного внешнего источника составного вида. Ранее подобные задачи в случае, когда неизвестной была лишь одна компонента ^(х), рассматривались А. X. Амировым [1]. В данной работе решается более общая задача, метод исследования отличен от предложенного в [1]. Введем в рассмотрение пространства Щ, Щ, Уо и У:

щ = Им) е Ьж(0)),

е ьж(о)), е ЫЯ)},

е ьж(о,ТЖ:(П)), е ЫЯ)},

У0 = [у(х,г): у(х,г) е х,г) е Щ}, у1 = {и(х,г): у(х,г) е е Щ}.

Нормы в этих пространствах определим естественным образом: 1М1#о = \М\ьте(о,т;^|(П)) + \Ы\ь^(о ,т-ж>2(щ + \М\ь2(Я), \M\ffi = \М\ьте(о,т;ж|(П)) + \Ы\ь^(о,т-ж?2(щ + \М\ь2(Я),

\\v\k = \М\я0 + \Ы\и0, \Мк = Мн + \Ы\н .

Положим

Но(х) = Н\{х,1\)Н2(х) — ^{х^^Н^х), т

= -и,

о

кг(х,г) = к(г)Ъ(х,г) — к4( г), к2(х,г) = к(г)а(х,г),

(х) = ( —1У , / \ Н^(х), а^ (х) = а^ (х)Ъ(х,г\), Но(ху

а^(х) = (х)к(Т), (х) = ( —1 )3+1 Н * Н3-(х

/1п[х)

м(X = }Мх^ЖХ + ММХФХ], = 1,2,

7»(х, г) = Н\{х,1)а2г{Х) + ^(х, г)«1¿(X, г = 1,... ^ 4, Р(х,г) = + /(х,г),

(X = А<^(х) — Ъ(х, О)ф(х) — а(х, 0)<^(х) + ^(х,0),

£>(Х = — Аи(Х — /(х,^),

т

ф(х) = —А— К(0)Ф(Х — ^ /(х,г)К(г) ¿г,

о

( 2Т2 \

Ъ0 = Ъ0 — 3^ — — Т2 ( тах[(Ъ4 + Xе] + таха^ (х,г) ) ,

2 V Я Ч Я )

Т

в» = Зтах7| (х, 0) + —- тах7г2(х, г), г = 1,2,3, п ^ 2й{ Я

= -тт[Ъ4( х, г) + а(х, г)] —

•М = ТтахК2, (х,г) Я М

Т

—- тах 72Дх, г) + 3 тах 72 (х, 0) _2д{ я п

в6 = 2Т2(54 + 2Т255).

¿ = 4,5,

Теорема. Пусть для функций Нк(х,г), к = 1,2, а(х,г), Ъ(х,г), /(х, г), <^(х) и Ф(х) выполняются включения

Мх,г) е С2(д), а(х,г) е С(д), Ъ(х,г) е С2(д),

<^(Х е т|(П) п Т(П), Ф(Х е т|(П) п Т(П), и(Х е т|(П) п п ),/(х,г) е ь2(д),

Л(х,г) е Ь2(д), Я(х,г) е Ь2(0,Т;Т^(П)).

Кроме того, пусть выполняются условия

й0(Х ^ ^о > О, х е О,

- (7)

Ъ4(х,г) + а(х,г) > О, Ъ(х,г) > Ъ0 > 0, (х,г) е ф;

^ - "( 1-^ + Ю>0; (8)

\-Ъ>0' (9)

^тт[Ъ4( х,г) + а(х,г)] - тах |в2, в3 ^ у-— + ^ | > 0. (10)

Тогда обратная задача (1)-(6) имеет решение {и(х,Ь); ^(х), ®(х)} та~ кое, что и(х,Ь) £ Уо, х) € ШЦЩ, к = 1,2, причем в указанном классе это решение единственно.

Доказательство. Рассмотрим следующую краевую задачу: найти функцию и{х, Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Ьи = иш(х,Ь) - Ащ + Ъ(х,-Ь)ии(х,Ь) + (Ьг(х,Ь) + а(х,Ь))щ

+ аг{х,г)и - 71х,г)ии{х, - 724(х,Ь)щ(х- 73х,Ь)щ(х,Т) т т

- 7«(х,Ь) / К(х,Ь)и^х,Ь)А - 744(х,Ь) / К(х,Ь)и(х,Ь) & = ЯЦх,Ь), Й Й (11) такую, что для нее выполняются условия (2)—(4), а также условие

и«(х,0) = ^^ + 71(х, 0)иИ(х,^) + 72(х,0)ие(х, ¿1) + 73(х,0)иг(х, Т) т т

+ 74(х, 0) J К(х,Ь)и^х,Ь) & + 7±(х,0) J А. (12)

о о

Разрешимость данной краевой задачи докажем, комбинируя метод регуляризации и метод продолжения по параметру.

При фиксированном положительном е рассмотрим краевую задачу: найти функцию и{х, Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

ЬЕи = иш\х,Ь) - Ащ(х,Ь) + Ъ(х,-Ь)ии(х,Ь) + (ЪДх,Ь) + а(х,Ь))щ(х,Ь)

- еАии(х,Ь) - 71 х,г)ии{х, ¿1) - Ъх,Ь)щ(х

т

- 7зх,г)щ{х,Т) - 744(х,Ь) Кг(х,г)щ(х,Ь)&

— ъм/ъымъМ + оЫЫ^-ьм. (П.)

О

такую, что для нее выполняются условия (2)-(4), (12).

Для доказательства разрешимости задачи (11.), (2)-(4), (12) воспользуемся методом продолжения по параметру. Пусть Л — число из отрезка [0,1], ЬеАм — оператор

ЬеЛм = иш(X,г) — Ащ + Ъми + (Ъ^ + а)м — £Ами

— л < ^ 4(х,г)ми(х,г^ + ^4(х,г)м(х,г^ + 734(х,г)м(X, Т)

+74х,г) J К(х, г)м(х, г) ¿г

о

т

О

Рассмотрим краевую задачу: найти решение уравнения

£еАи = 0(х,г) (Пел)

такое, что для него выполняются условия (2)-(4), (12).

Л,

которых краевая задача (11еА), (2)-(4), (12) разрешима в пространстве V при произвольной функции #(х, г) из пространства Ь2(ф).

Как известно, если множество Л непусто, открыто и замкнуто од,

чать, что краевая задача (11е), (2)-(4), (12) имеет решение из пространства V.

Л

При Л = 0 уравнение (11ел) вместе с условиями (3), (4), (12) дает нелокальную по времени краевую задачу для псевдогиперболического относительно функции х,г) уравнения, разрешимость которой в нужном

классе установлена в [2]. Найдя щ(хс помощью условия (2) находим и саму функцию и{х,Ь). Сказанное означает, что множество Л непусто. Для доказательства открытости и замкнутости Л установим необходимые априорные оценки решений задачи (11ел), (2)-(4), (12) из пространства V ПРИ фиксированном е.

Пусть Qt — цилиндр {(х, т) : 0 < т <Ь, х € О}, (t < Т).

Обозначим

г(х,г) = 714( х,г)ии( х,Ь) + Ъ г( х^)щ( х, )

т

+ 7зг(х,г)щ{х,Т) + 74г(х,г) Кг(х,г)щ(х,Ь)&

о

'74«(х,^ ! К2(х,Ь)и(х,Ь) & — аг{х,Ь)и(х,Ь).

о

Рассмотрим равенство

г г

итттитт ёхйт — Аититт ёхйт

о п о п

г г г

+ 11 Ъ(х, ^ ^ аит итт &х&т — еЦ Аитт итт &х&т

о п о п о п

г г

= Ц9(х,^итт ЬЬ + х/ ¡ф,^ &х&т.

о п о п

Интегрируя по частям в левой части равенства, используя условия (3), (12), элементарные арифметические неравенства, а также неравенство Юнга, получим

1 Г 2

— и

J и2х. г{ х,Ь)&х + J ! Ъитт &х&т з=1п о п

П г

— I\ъг(х,Ь) + а(х,Ь))и1 (x,t)dx + е^^J J и2х. тт &х&т

'

3=1 о п

г г

^ J (Ъг + а) т мТ dxdт + J ^ дмТТ dxdт + ^ J м??( х,

о п о п п

г

+ мг м? (х, Т) ¿Х + 36% J J мТТ dxdт

п п о п

г

-I--ттт тах а? (х, г) / / м2 dxdт

262 д .1.1

о п

/7т V /7т V

в41 / I / К1(х,г)мг(х, г) dг I ¿х + в41 / I / к(х, г)м(х, г) ¿г I ¿х п \о / п \0 /

+ в42 У У |У X, г) ¿г I dxdт

о п \о

г / т

в42У У |У К(х, г)м(х, г^г I dxdт + Nl,

о п \о

где ^ = Зтах7|(х, 0), в 42 = ^тах^г(х,г), N определяется лишь

П " 1 д

входными данными задачи.

Применяя к последнему соотношению неравенство Гёльдера, а также условие (7) теоремы, имеем

п г

1 Г 2

— м

(х, г) ¿х + ^ у м^. г(х, г) ¿х + Ъо у у мТТ dxdт п о п

1 " г

— У (Ъг(х, г) + а(х, (х, г) ¿х + j У м^. ТТ dxdт

п о п

г г

гид^(Ъг + Xг] | У мТ dxdт J ^ дмТТ dxdт ^ о п о п

- в! у м??(+ м? (х^^х + взу м? (х,т^х

г г 36? мТТ dxdт -|--ггтаха? (х,г) / м2 dxdт

и и 262 д г У У

О п о п

т т

о п о п

Применяя к ряду слагаемых правой части последнего соотношения неравенства Гёльдера и Юнга и учитывая условия (2), (3), нетрудно прийти к следующему неравенству:

1 Г 2

— и

(х, г) ¿х + — ^^ j мХз- г(х, г) ¿х + Ъо j ! мТТ dxdт п п о п

п г

+ 1-1(ЫХ, г) + а(Х, г))м? (х, О ¿Х + £ £ / / <ТТ dxdт

П ^ О П

^ м?г( м? (х, + м?( х,Т^х

п п п

т т

в4 11 м? (х, г) dxdг + в5 у J м2(х, г) dxdг +

о п о п

где N определяется лишь входными данными задачи.

Вновь используя элементарные соотношения, получим неравенство

1 [ 2

о мгг

(х, г) ¿х + ^ j м^. г(х, г) ¿х + Ъо j ! мтт dxdт п о п

1 " ■

-гшп(Ъг(х,г) + а(х,г)) м? (х, + м^ тт dxdт

2 п } } 3

<* / * / « ;„;:

+ ^^ У иг(x,T)dx+sвJ J иЦ+ (13)

п о п

где N определяется лишь входными данными задачи.

Исходя из условий (7), (8) теоремы, полагая t = и учитывая условия (9) и (10) теоремы, имеем

т

/и%г(х^\) &Х ^ --— и2г (Х,Т)&Х^---— и%г(х,^) &Х&Ь + N4,

1 — 1 — ] о. о. о п

т

/и?(Х^\)&,Х ^ — и?(Х,Т)&,Х-\—- и?Лх,~Ь) + N5,

«1 7 ] ]

о. о. о п

где N4, N определяются лишь входными данными задачи.

С учетом последнего соотношения от неравенства (13) нетрудно прийти к следующему соотношению:

г

Ъо j j и2тт &х&т+-гшп(Ъ г(х,~Ь) + а(х,~Ь)) ! п?:(х^)&х о п п

т

^ S7 J + ^ J и^х^) + N

о п где

2^ S2

^^ ^ • ^^ s6 • ^ = 1 + 1-о--ь —,

1 — 2^ к\

число N определяется лишь входными данными задачи.

Полагая в последнем неравенстве t = Т и учитывая условия (8), (10) теоремы, имеем

т

J п?(Х,Т)&Х + J J и2г(х^) dxdt ^ N. п о п

Отсюда и из неравенства (13) приходим к первой априорной оценке

&Х + J + ^ J иХзг (х,^ &Х

О 3=1 о

п

+ мТт ^Ж^Т + £ ^^ / / мХ3 тт ^Ж^Т ^ Ж, (14)

где N определяется лишь входными данными задачи. Равенство (11еЛ) можно записать в краткой форме

«444 - А- £А«44 = Фл(Ж, ¿),

(15)

где

Фл(Ж,£) = з(ж,£) - Ж, ¿)

— [64(ж, ;) + а(ж, ¿)]м4(ж, ;) — а4(ж, ;)м(ж, ¿) + Аг (ж, ;),

г(ж, ;) = г(ж,;) + а4(ж,;)м(ж,;).

Умножая равенство (15) на функцию —Ам44(ж,;) и интегрируя по цилиндру получим равенство

4 4

Интегрируя по частям в левой части этого равенства, используя условие (3) и применяя к правой части последнего соотношения неравенство Юнга, получим

о п

о п

о п

о п

где

т

¿(ж) = 72(ж, 0)и((ж,-^) + 7з(ж, 0)м((ж, Т) + 74(ж, 0) J К\(х,Ь)щ(х,Ь)&

о

т

+ 74(ж, 0) J К(ж,-)и(ж,-) & + ^(ж). о

В силу оценки (14) функция Фд(ж,-) принадлежит пространству Беря = £ и применяя элементарные арифметические неравенства и вновь учитывая первую априорную оценку, получим

(

53 J иХ3 и( ж,¿ж + У (А щ)2 ¿ж + £ J J (А итт)2 ¿ж ¿т

о п

п ,,

253 / «(

п п о п

п

где Й1 (£) определяется входными данными задачи, а также числом £. Полагая в этом неравенстве - = -1, в силу условия (9) имеем

п

Отсюда приходим к второй априорной оценке п 4

53 J иХ3и(ж, -) ¿ж + J(Аи4)2 ¿ж + £ J !(Аитт)2 йж¿т ^ Дз(£). (16) п п о п

Очевидным следствием оценок (14), (16) является третья априорная оценка

иТтт ¿ж¿т ^ Д4 (£) о п

которая вместе с первыми двумя приводит нас к финальной априорной

£

;(ж,-)йж + J и(4( ж, -) ¿ж + J и2х. ж,-) ¿ж о о

+ /М - ¿/их,^¡^ *

О П 3-1 п п

г г

+ J ! «Ттт &сйт + е J !(Дитт)2 йхйт ^ Дб(е). о п о п

Из данной оценки следуют открытость и замкнутость множества Л.

Непустота, открытость и замкнутость множества Л означают его совпадение с отрезком [0,1]. В свою очередь, данный факт определяет разрешимость краевой задачи (11е), (3), (4), (12) в пространстве V-

е

сированной величиной. Вновь рассмотрим краевую задачу (11е), (3), (4), (12) и получим в этом случае априорные оценки ее решений. Заметим, что установленная нами первая априорная оценка (14) остается

е

Вернемся к равенству (15), положив в нем Л = 1. Умножая данное равенство на функцию — Дигг(х, Ь) и повторяя ряд тех же операций,

е

г

— J иХ,гг(х, Ь) йх + — J(Диг)2 йх + е J J(Дитт)2 ¿хйт 3=1 п п о п

1 П С 1 П С 9

= 2^3 х,{х)йх+^2 ([^(х^)игДх,^ + ¿(х)}х)2 ¿х З-1 п 3=1 п

г

— J ! Ф1 (х, т) Дитт ¿хйт. о п

Используя элементарные арифметические неравенства, интегрируя по частям в последнем слагаемом правой части равенства и учитывая оценку (14), получим

п г

— J иХ,гг(х, Ь) йх + — J(Диг)2 йх + е J J(Дитт)2 йхйт

3=1

о п

пп

^ тах7^(ж, 0) и?х.и(ж, Ь\) ¿ж + <^>12з (ж, т)иХзтт ¿ж¿т

П 3=1 п 3=1 о п

п (

-Е/ /ф1(

ж, т)и'2з тт

3=1 о г

В силу условия (4), а также условий, налагаемых на функцию последнее интегральное слагаемое предыдущего соотношения равно нулю. Таким образом, с учетом неравенства (14), а также условия (7) теоремы, имеем

\ 5^3 / <-«(ж' ¿ж У (Аи02 ¿ж

3=1 о о

£ J ! (Дитт)2 dжdт + Ър ^^ ! J иХ- тт ¿ж ¿т о п 3=1 о п

^ иХ3«(ж,t1)dж + 35lJ ! иХзтт dжdт + Д7, (17)

3

где в9 = тах7^(ж,0) + Хтах7^4(ж,-). п 1 я

-учитывая условие (9), приходим к неравенству

п „

53 / и2, «( мо^ < 3

Отсюда получаем вторую априорную оценку

5^3 / иХ3«(+ J(Ди()2 ¿ж 3

£ (Дитт)2 dжdт + / / иХз.тт dжdт ^ Дд.

3

3 '

3

Очевидным следствием первых двух оценок является третья априорная оценка

г

J ! иТтт ЖЕЖГ ^ Дю, о п

с учетом которой приходим к финальной априорной оценке решений краевой задачи (11е), (3), (4), (12) в случае, когда е не является фиксированной величиной:

¡иК + Ы)<ь + ¿/<, л м)<ь

п п з-11 п

г п

+ J ! иТт dxdт + J (Дм г)2 3,х + J п2х, г г (х,~Ь)3,х

о п п 3-1Ь

г г

+ ^^ J j мХз.тт dxdт + е j j (Дитт)2 ¿хс!т < Д, (18) 3=1 о п о п

где Д — постоянная, определяемая лишь входными данными задачи.

Эта оценка и дает нам разрешимость задачи (11е), (3), (4), (12). Найденная функция иг(х,Ь) = и?(х,~Ь) является решением уравнения

м« г - Ли? + Цх,г)иЕи + (Ъг + а)и? - еДи«

= [^!г(х,г)и?г(х,гх) + 72г(х,г)и?(х, ^х)]

т

7зг(х,г)и?(х,Т) + 74г(х,г) J К{х,Ь)у«(x,t)dt

о

т

!- а^Ч,х,<>

о

Оценка (18) дает возможность стандартным образом выделить из семейства решений сходящуюся подпоследовательность |ит(х,1)}; для предельной функции и{хх, £) будут выполняться уравнение (11), условия (2)-(4), (12), и эта функция будет принадлежать пространству У0.

Определим функции х) следующим образом:

х) = а^ (х)ми( х,Ьх) + а^2 (х)м4( х,^)

т

+ а^(х)щ(х,Т) + а^4(х)у х,1)&

о

т

/

+ а^ (х) / К(х, ¿)м(х, ¿) Л + а^(х),

о

к = .? + ( —1)^, ¿ = 1,2,

получим, что найденная функция м(х, ¿) и функции ®(х) связа-

ны в цилиндре ^ уравнением (1).

Выполнение для функции м(х, ¿) условий переопределения (5) и (6) показывается вполне аналогично тому, как это сделано в работах [3,4]. Единственность решений очевидна.

Теорема доказана.

Замечание 1. Доказанная теорема легко обобщается на случай неизвестного внешнего воздействия вида

с произвольным числом неизвестных коэффициентов х). В качестве условий переопределения в этом случае должны задаваться условие (6) и условия

м(х,^) = х), к = 1,..., т — 1, 0 < ¿1 < ¿2 < • • • < ¿т-1 ^ Т. (19) Сущность доказанной теоремы от этого не изменится.

Замечание 2. Одно или несколько условий переопределения (5) или (19) также можно заменить интегральными условиями.

т

ЛИТЕРАТУРА

1. Амиров А. X. К вопросу о разрешимости обратных задач // Сиб. мат. жури. 1987. Т. 28, № 6. С. 3-12.

2. Сафиуллова, Р. Р. Нелокальные задачи для одного класса уравнений составного типа // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11, вып. 2. С. 57-72.

3. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 4. С. 694-716.

4. Кожанов А. И. Об одном нелинейном параболическом уравнении и связанной с ним обратной задаче // Мат. заметки. 2994. Т. 76, вып. 6. С. 840-853.

г. Стерлитамак

1 ноября 2006 г.