Научная статья на тему 'Нелинейные обратные задачи для многомерных гиперболических уравнений с интегральным переопределением'

Нелинейные обратные задачи для многомерных гиперболических уравнений с интегральным переопределением Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
29
3
Поделиться
Область наук
Ключевые слова
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА / УСЛОВИЯ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЯ / ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ / ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ / АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА / INVERSE PROBLEM / CONDITION OF REDEFINITION / HYPERBOLIC EQUATION / WAVE EQUATION / A PRIORI ESTIMATE

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Павлов Степан Степанович

Исследуется вопрос о разрешимости задач для многомерных гиперболических уравнений в случае неизвестных коэффициентов с интегральными условиями переопределения.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Павлов Степан Степанович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Nonlinear inverse problem for a multidimensional hyperbolic equations with integral overdetermination

The question of the solvability of inverse problems for multidimensional hyperbolic equations with unknown coefficients integral conditions override.

Текст научной работы на тему «Нелинейные обратные задачи для многомерных гиперболических уравнений с интегральным переопределением»

УДК 517.946

НЕЛИНЕЙНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЕМ*)

С, С, Павлов

Пусть Л — ограниченная область пространства М" (П С М") с гладкой границей Г, Г = Ш, Б = Г х (0,Т); Q — цилиндр П х (0,Т). Далее, пусть а(х, Ь), К(х, Ь), /(х, Ь), ф{Ь), и$(х), щ (х) — заданные функции, определенные при х (Е О, Ь (Е [О, Т].

Обратная задача I. Найти функции и(х, Ь) и связанные в Q уравнением

ии — а(х,Ь)Аи + = /(х,Ь), (1)

и х, Ь

и\4=0 = и0(х), щ\г=о = и1(х), х еП, (2)

граничного условия

и\й = 0, (3)

а также с условия переопределения

J К{х,Ь)и{х,Ь) ¿х = ф{Ь). (4)

п

Обратная задача II. Наптн функции и(х,Ь) н ^Ь), связанные в Q уравнением

ии — Ди + \(Ь)щ + д(Ь)и = /(х,Ь), (5)

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Министерства образования и науки Российской Федерации № 02.740.11.0609.

© 2011 Павлов С. С.

прн выполнении для функции u(x,t) условий (2)—(4).

В изучаемых обратных задачах I, II условия (2), (3) суть условия обычной первой начально-краевой задачи, условие (4) есть условие переопределения; наличие этого условия объясняется тем, что помимо неизвестного решения u[x, t) требуется найти также неизвестную функцию q(t). Подобные обратные задачи ранее изучались в работах И. Р. Валитова [1-3], но лишь в одномерном случае. Заметим следующее. Метод, применяемый в настоящей работе, близок к методу работ [1—3], но вместе с тем имеет и отличие. Тем самым полученные ниже теоремы существования будут новыми и для случая n = 1.

Положим

Ci=max( / K%(x,t)dx\ , C = maxl / Kt(x.t)dx fi fi

C = max( / K2(x,t)a2(x,t) dx

[o,T] \J

Q

Далее, пусть со — число такое, что для любой функции v{x,t) из

о

пространства W3,(0) выполняется неравенство

j v2{x,t)dx ^ cq j v2x.{x,t) dx, (*)

fi i=1 fi cq определяется областью ft (см. [4]).

Продолжим обозначения:

fo{t) = J K(x,t)f(x,t)d.x, a(t) = f0{t) - ф"(t); fi

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

t n

N = J j f2(x, r) dxdr + j a(x,0)ugXi(x) dx + j u\(x) dx;

о n

i=l

an = mma(x,t), a = mina(t), kn = min ф'( t); Q [o,T] [о,П

ai = max max \ax.{x,t)\, bo = min(l, ag), Aq = max(a2(x, tj);

i=l,...,n Q Ъ Q

N0 (l + a± N i = — exp —--1

N = j u\Xi(x) dx + j a(x,0)[Auo(x)]2 dx

i=1 n n

T

+ i J J f{x,t)dxdt (e > 0);

о n

T

Kq = J J ft(x,t)dxdt-\--max J f2(x,t)dx

Q

j u\Xi(x)dx+ j a(x, 0)[Auq(x)]2 dx;

о n

+ 2

J f{x,fyAu$(x)dx Q

Кг = lexpfii^rY B1 = K0ex-p(—Y B2 = ВгТ + K0;

bo \ b0 J \a0 J

Mi = С3В* + 2C2N* + Ci(coJVi)5;

M2 = C2(c0W1)i, Ai= 1 max|a(t)|;

«о — M [O,T]

V e a0 \ fc0 — M2 /

t n

N = 3A0N2T+ 12 AlNi+3 J J f(x, t) dxdr + e^J u\x. dx;

on i=1 n

12C?cp ar 48C| 3C|

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(k0-M2rNl> N5~ (k0-M2rNl> Ne~ (k0-M2rNl-

Определим нужное ниже пространство:

У = {v(x,t) : v^x, t G W|(Q) n L (0,Т;^П)),

vt(x,t) G L (0,T;Wi(tt) П ))}.

Теорема 1. Пусть выполняются условия

a(x,t) € C^Q), K{x,t) G C2(Q), ф(г) G С2([О, Т]); а0 > 0, а > 0, к0 > 0, at(x,t) <0, 0 < M < к0, а > Мь / K(x,G)uo(x) dx =

J К(х,0)и\(х) йх + J х,0)и${х) йх = ф'{О). п п

Тогда для любой функции ¡(х,Ь) такой, что /(х,Ь) С ft{х,Ь) £

Ь2^), н для любых функций щ(х) н и (х) таких, чтощ(х) £ Wf(Q) П

о о

и(х) £ обратная задача I имеет решение {и(х,Ь), д(Ь)}

такое, что п{х,Ь) £ W$(Q)) ^Ь) £ Ь2([0,Т]).

Доказательство. Вначале выполним вспомогательные построения. Умножим уравнение (1) на функцию К{х, Ь) и проинтегрируем по области П. Получим

ф''( 0-2/*( х,,)М ^-1 К„( МММ)*

п п

-/4х ^.^„(ок0 -/КЛхлу<х

= Mi).

Отсюда

^ = a{t) + ц) Ф'(г) - y>2(i,«)'

<^i(t,u) = j K(x,t)a(x,t)Au(x,t) dx Q

+ 2/*( x,«u^( м)* + /к.< mmm)*.

Q Q

ыt,u) = JKt( x,t)u(x,t)dx.

и х, Ь

цилиндре Q решением уравнения

ии — а{х, Ь) Ди + д(Ь, и)щ = /(х, Ь) (6)

н такую, что для нее выполняются условия (2) и (3).

Для доказательства разрешимости данной задачи воспользуемся методами регуляризации, срезок и неподвижной точки. Определим срезающие функции и С2(£):

£, если \£\ < М, = { М, если £ > М, —М, если £ < —Мх;

£, если \£\ < М, С2(£) = { М, если £ > М, —М2, если £ < —М2.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

С помощью функций Ох(£) и С2(£) то заданной функции у(х,Ь) определим функцию д(Ь, у):

Ч = а^ + С^щ {г, у))

Ф'Ю-см^у))-

и х, Ь

в цилиндре Q решением уравнения

ии — а{х, Ь)Аи — д{Ь, и)щ — еАщ = /(х, Ь) (6е)

и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3).

Пусть у(х,Ь) — заданная функция из пространства V.

и х, Ь

ся в цилиндре Q решением уравнения

иы — а(х, Ь)Аи + д(Ь, у)щ — еАщ = /{х, Ь) (б^)

н такую, что для нее выполняются условия (2) и (3).

Поскольку функция д(Ь, у) ограничена, получаем, что краевая задача (6^) (2), (3) порождает оператор Ф, переводящий пространство V

в себя: Ф(^) = и [5,6]. Покажем, что оператор Ф имеет в пространстве V неподвижную точку. Воспользуемся теоремой Шаудера. Рассмотрим равенство

t t

(итт — аАи + , ю)ит — еДит)ит йхйт = J J /ит йхйт, (7) о п о п

являющееся следствием уравнения (6е,щ). От этого равенства нетрудно перейти к неравенству

t

1

J и1 (ж, (1х + ^ J и2х. (ж, (1х + £ J ! м^т(ж, £) ¿хс1т

п 4=1 п 4=1 о п

t t t

+ С}(т,у)и2(х,1) ¿хс1т ^ — J ! и2(х,1)с1хс1т+ — ! J $2{х,1)(1х(1т о п о п о п

+ J ^^Ож^2 ^ у\{х)

4=1 п п

п t t

+ J ! и^(х, т) (1х<1т + J ! и2(х, с1Х(1т. (8)

4=1 о п о п

Учитывая, что по построению функция д(Ь, V) неотрицательна, получаем неравенство

/и?( х,г)йх + ±1 <(х,Ьйх п 4=1 п

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 п t N < -— / / (м? (ж, + м2 (ж, дхдгг Н--.

Ьо ^У 7 Ь0

4=1 о п

Используя далее лемму Гронуолла, приходим к оценке

J и^+ J и^Дх,Ь) йх ^ N. (9)

п

Рассмотрим равенство г г

(итт — аАи+д(т,у)ит — еДит)Дит 3,х3,т = — J ^/(х,т)Аит ¿хЗт, о п о п

(10)

также являющееся следствием уравнения (6е^). Интегрируя слева по частям и применяя неравенство Юнга, приходим к следующей оценке:

J и^г(х,Ь) ¿х + ад J[Аи(х,Ь)]2 ¿х

¿г

4=1 п п

г

+ £ ! ![Аит{х,Ь)\2 ¿х<1т < М2. (11) о п

Теперь рассмотрим равенство

г г

(итт — аДи + д(т, у)ит — £Дит)итт <1х<1т = j j / итт ¿хв,т. (12)

о п о п

Имеют место следующие неравенства:

г 9 г

а(х,т)Аи(х,Ь) ■ итт(х, £) ¿хс1т ^ — J ^ и\т(х,Ь) (ксйт

о п о п г г тах(а2 (х, Ь)) ¡' Г.. . , , 52 ¡' ¡' , . . , , А0 т --к ^ ' ;; / / ( Аи(х, ¿)) дхЛт < у / /

о п о п

г 9 г

д(т, у)ит(х, Ь)итт(х, £) (1хс1т ^ — J ^ ч?тт(х,£) <1х<1т о п о п

г

^У ит {х,т)<1^ ¿т

о п

9 г г

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

< у У У ь2т{х,т)д,хЛт + [ д2(т,у)(1т. о п

Далее оценим

1

к1 <

кп- И2

Отсюда

тах|а(Ь)| + С1 / '^(хА)йх [о,Т У

п

'VI (х,г) йх^ + [Д'(х,Ь)]2 йх

п п

4С2с0 п

.

д2(г, у) < 4А\ + ^ _ХМ2\2 X /

¿=1;

СС

(ж, ах + —-- / [Дг?(ж, ах.

(к0 - М2)'

и

Зафиксируем (5: (52 = Тогда

(к> - м2)

итт ^ N + N ^^ / / 'ХДх,Ь) йхйт

о п

N / / '^т (х,Ь)йхйт + М$ [А'(х,Ь)]2 йхйт.

о п

о п

Пусть

Г t

Jх,Ь)йхйт ^ Й1, о п

о п

(14)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

тах

J х,Ь) йх\ ^ Д2, тдх ÍJ (х,Ь)йх\ ^ Дз,

4

т

тах ^У Кх,Ь)]2 ^ Д4, j У (Д'^2 йх ^ Д5

Покажем, что краевая задача (6е^), (2), (3) при подходящем выборе чисел Д Д переводит множество W в себя.

t

Заметим, что вследствие оценок (9), (11) второе, третье, четвертое и пятое неравенства из определения множества Ш будут выполняться для решения и{х,г) краевой задачи (б^), (2), (3), если Д1 = N3 + ТЛГ4ЛГ1 + ТМ5Мг + ТМ6М2, Д2 = ЛГЬ Д3 = Д4 = М2, Д5 = Для функции игг выполняется неравенство

г

J ! иТт йхйт ^ Д1 . о п

Это следует из (14). При таком выборе чисел Д1-Д5 оператор Ф будет переводить Ш в себя.

Докажем, что оператор Ф непрерывен. Пусть последовательность {ут(х, г)} сходится в пространстве V к функции у(х, г). Положим ит = фут,и = Ф(у), 1мт(х,г) = ит(х,г)-и(х,г), ¥{х,г) = [д(г,у)-Ъ(г,ут)\иг. Функции х,г) представляют собой решения краевой задачи

- а- £&<ютг + д(г, ут)гютг = Е(х, г),

х, 0) = 0, ютг{ х, 0) = О, х,г)\б = 0.

Для функций шт{х, г) имеют место неравенства

х,г)йх + ±1 х,гйх г=1 п

г г

J ! (х, г) йхйт ^ К J J Е2 (х, г) йхйт,

о,

г

£ г=1

О п О п

У ШтХ*г(х, г) йх + а0 J[Дшт(х, г)]2 ¿х

п

г г

£ ^ J(Аи)тт(х, ¿))2 (1хс1т ^ — J ! Р2(ж, £) <1х<1т7 о п о п

г г

и>ттт(х,Ь)ё,хё,т ^ J F2{x,Ь)dxdт. о п о п

Далее,

г г

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Р2(х, Ь) dxdт = J J[$(т, у) — д(т, ут)]2ит(х, Ь) dxdт о п о п

г

.Г'

о п о

Имеет место равенство

г г

= У [д(т, у) — д(т, ут)]2 J и2т(х, Ь) dxdт < ^^ У 1Жт у) — д(т, ут)]2¿т.

д(т,ь) д(т,ьт) ^ _ ^^ у)Ш{т) _ С2(^2(г, ут))) х [а(т)[О2 (т, у)) — О2 (т, ут))] — ф'(т)О (т, у)) — О (т, ут))] — О (т, (т, ут))

+ О(^(т, ут))О{^{т,уЩ.

Неравенство ф'(Ь) — О (О ^ ^о — М > 0, ограниченность функций и(Ь), ф'(Ь), О(<Р2(т, у)) и липшицевость функций О(£),

О£

\д{т,у) — д{т,ут)\2 < М3(\^(т,ут — у)\2 + \^(т,ут — у)\2) с постоянной Мз, определяющейся функциями М\ и М2. Отсюда

У ттЛх,Ь)<Ъ + ^ У ттхАх,Ь) ¿х + ао J[Атт(х,Ь)]2 ¿х п 4=1 п п

п г г

+Е / Ц «т,т( //* ^ ^«т

о п о п

г

< KэJ(^J[Aуm(х,т) — Д^х,т)]^х о п

^ — ут^ /МX, ^ — ^ т)]2 ^ dT, (15)

п

где К определяется числами N1, К, К, а также функциями а{Ь) и ф(г).

Поскольку в неравенстве (15) правая часть при т ^ то сходится к пулю (в силу сходимости г>т(х,Ь) к в V), то и левая часть будет

сходиться к пулю. Это и означает, что ит(х, Ь) ^ и(х, Ь) при т ^ то в пространстве V и что оператор Ф непрерывен.

Докажем теперь, что оператор Ф компактен в пространстве V.

Пусть {г>т(х,Ь)} — ограниченная последовательность функций из пространства V, {ит(х,Ь)} — последовательность образов функций ит(х, Ь) при действии оператора Ф. Последовательность {ит(х, Ь)} также будет ограничена в пространстве V. Из ограниченности в пространстве V последовательностей {г>т(х} и {ит(х,Ь)}, а также из теорем о вполне непрерывности вложений ^ ^ Ь2 (Г)

[4,7] и о возможности выбора из сильно сходящейся последовательности подпоследовательности, сходящейся почти всюду (см. [4]), вытекает, что существуют подпоследовательности {г>ть(х} и {итк(х,Ь)}, а также функции Ь) и и(х,~Ь) такие, что при к ^ то имеют место сходимости г>ть(х,Ь) ^ итк ^ и(х,Ь) слабо в пространстве

почти всюду в С}. Указанные сходимости и представление

¥1(ь,ут) = - ^ (К(х,г)а(х,г)) x¿ утхХ х,г)йх

4=1 п

п Т

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

— J К(х,1)а(х,1)утх± (х,Ь) (х(т 4=1 о п

п ,,

+ / тХ*(х) ^х

4=1 П

+ 2 J К4(х,Ь)утг(х,Ь)(1х + J Ки{х,Ь)ут(х,Ь)(х п п

означают, что почти всюду па отрезке [О, Т] имеют место сходимости ф\{Ь,ютк) ^ ^ (Ь, V). Положим тк(х,Ь) =

итк (х,Ь) — и(х,^. Поскольку для последовательности ('ш^х,Ь)} выполняется оценка (15), эта последовательность будет сходиться в пространстве V к тождественно нулевой функции. Следовательно, для всякой ограниченной в пространстве V последовательности {ут(х,Ь)} из последовательности (Ф(г>т(х} можно извлечь сходящуюся в V подпоследовательность. Это и означает, что оператор Ф компактен в пространстве V.

Итак, для оператора Ф выполняются все условия теоремы Шауде-ра. Согласно этой теореме существует функция и(х,^, принадлежащая Ш и являющаяся решением краевой задачи (6е), (2), (3).

Установим, что для решений краевой задачи (6е), (2), (3) имеют место априорные оценки, равномерные по параметру е.

Пусть теперь функция /(х,Ь) такова, что /(х,1) € Ъ^ф), /г(х,Ь) € Ъ2(ф). Для решений краевой задачи (6е) (2), (3) сохраняется оценка (9). Далее, если в равенстве (10) выполнить интегрирование по частям как слева, так и справа, а затем в правой части применить неравенство Юнга, то получим неравенство

53 J х^) dx + ао I[Ди(х, ¿)]2 ¿х 4=1 п п

^еJJ (Дит (х,^)2 dxdт + J ^ д(т, и) ( иХ*т (х,Ь)\ ¿^¿т

о п о п '

г т

^ J J(Ди(х,£))2 dxdт + J ! /г(х,1) о п о п

2 J /(х,())Аи$(х) ¿Х п

■ / и\х. (х) ¿х + / а(х, 0)[Дио(х)]2 ¿х,

¿=т * п

в котором 6 есть произвольное положительное число.

Положим 82 = ^. Применяя далее лемму Гронуолла, получаем

априорную оценку

![Аи{х,Щ2(х < Вь (16)

п

Из (16) следует, что выполняется равномерная по е оценка

¿/А^Ж^г < В. (17)

г-1 п п

Из оценок (9) и (16) вытекает, что имеют место неравенства

Ыт,и)| < м, (18)

| < Ы2. (19)

Неравенства (18), (19) и условия теоремы 1 означают, что для решений и(х,г) краевой задачи (6е), (2), (3) выполняются равенства

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(г, и)) = г,и), с2(^2(г,и)) = (р2(г,и).

Рассмотрим равенство (12). Используя неравенство Юнга и оценки (9), (17), получим

г

2

иТт < В (20)

о п

с постоянной Вз, определяющейся числами В, В, М2, N и функциями К(х,г)ъ /(х,г).

Итак, доказано, что краевая задача (6е), (2), (3) имеет решение ие(х, г) такое, что для семейства функций {ие(х,г)} выполняются рав-

е

также из теорем о вполне непрерывности вложений ^ Ш^ф),

Ш2 (ф) ^ В(Г) и о возможности выбора из сильно сходящейся последовательности подпоследовательности, сходящейся почти всюду, а также из свойства рефлексивности гильбертова пространства [8] вытекает, что существуют последовательности {ет} положительных чисел и функция и{х, г) такие, что при т ^ то имеют место сходи мости ет ^ 0, и£т(х,г) ^ и(х, г) слабо в пространстве Ш^ф), иЕт (х,г) ^ и{х,г),

и\т(х,1) —> почти всюду в С}, етА, и\т(х,1) —> 0 слабо в про-

странстве ¿2 (О)- Из указанных сходимостей следует, что почти всюду па отрезке [0,Т] для предельной функции и{х,€) будет выполняться уравнение (6). Поскольку правая часть в уравнении (6) принадлежит пространству £2(0), получаем, что функция ии(х,г) также будет принадлежать пространству £2(О)- Но тогда функция и(х,Ь) будет принадлежать пространству V.

Итак, доказано, что краевая задача (6), (2), (3) имеет решение и(х,г), принадлежащее пространству V. Покажем, что это решение и функция определенная равенством д(г) = д(г,и), дадут искомое решение обратной задачи I.

Умножим уравнение (6) на функцию К{х, г) и проинтегрируем по П. Получим равенство

2 J К((х,г)щ(х,~Ь)3,х п

/

п

/

Ки(х, г)и(х, г) ¿х

п

п

п

п

Далее

Ф"(г) — ^{г, и) + д(г, и)(ф'(г) — ^(г, и)) = Ь(г).

Вычитая из одного из этих равенств другое, получим

п

п

Обозначим

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

= J к(х,г)и(х,г) ¿х — ф(г). п

Следствием равенства (21) является равенство

г

(*) - v'2(0)] + I 9(тУ2(т)йт = 0.

(22)

Из условий согласования теоремы 1 следует, что ^(0) = ^'(0) = 0. Поскольку функция неотрицательна, равенство (22) означает, что функция V1 (¿) тождественно нулевая. Тогда и сама функция v(t) тождественно нулевая.

Тождественное равенство функции v(t) нулевой функции означает, что для решения и(х, £) краевой задачи (6), (2), (3) будет выполняться условие (4). Вместе с принадлежностью функций и(х,£) и требуемым классам все это и означает, что функция дает искомое решение обратной задачи I.

Теорема 1 доказана.

Перейдем к исследованию разрешимости обратной задачи II. Положим

к1=ттфН), ахН) = , ,ч.

а = шш а (0;

[0,Т]

Ля= 1

2А0

1

а

- >, А1 = тахАт;

с0 + 3/' [о,т]

2А0 - М4

г

J ! /2 (х, т) йх¿Т

о п

г

2 / /Г(х, О йхйт + 2(2е0 + 1) \Taimax

]] [ОД1]

о п

/2 (х, £) йх

/(х, О)Дио(х) йх

п ..

а1(0)ид(х) ¿х + 2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

и1(х)Дио(х) ¿х

J А(0)идх.(х) ¿х + (^о + 1) У[Ди0(х)]2йх

¿=1 г> г>

п п

(здесь £о > О — положительное число, роль которого объяснена ниже),

А4 = , , . -—, Аб = 2соАз, А6=2(2с0 + 1)А3,

2 + Ао + а (со + 1)

Лт = Ь [(Л1С73 + Сг+ + СзА*]-

Теорема 2. Пусть выполняются условия

к(х,г) е с2(д), ф(г) е с2([о,т})-, ь> о, «1 > о, л^) -1 > л0 > о,

а' (Ь) < О, А'(Ь) при t € [О, Г],

А < J К(х,0)щ(х) .х = ф(0);

п

п п

Тогда для любой функции /(х, Ь) такой, что /(х,Ь) € Ь^), /¿(х,Ь) € Ь^), и для любых функций щ(х) и щ (х) таких, чтощ(х) € Wf(Q) П

о о

щ(х) € обратная задача II имеет решение {и(х,Ь), д(Ь)}

такое, что и{х,Ь) € W2(Q), € Ь2([0,Т]).

Доказательство. Умножим уравнение 5 на функцию К(х,Ь) и проинтегрируем по области П. Получим

ф''( <)-2/*( МЫ М)*-/к„( х,()и(х,<),.х

п п

^У к(х,г)А„.х + А(г) J К(х,г)щ( х,г)<1х +ц{г)ф{г) =

п

Отсюда

.. а^) + (г, „)

<р\ (Ь,и) = / К(х,г)Аи(х,г)вх + 2 / Кг(х,г)иг(х,г)вх

п

п

+ / Кц(х,г)и(х,г) ¿х — А(г) / К(х,г)иг(х,г)вх,

/

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

/

п

п

Рассмотрим новую задачу: найти функцию и(х,г), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3).

Для доказательства разрешимости данной задачи вновь воспользуемся методами регуляризации, срезок и неподвижной точки. Определим срезающую функцию

С помощью то заданной функции у(х, г) определим функцию

чАг, V):

Пусть е — положительное число. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и{х,г), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

щг — А и + \(г)щ + [а (г) — (г, и))]и — еАщ = /{х, г) (23е)

и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3).

Пусть ^х,г) — заданная функция из пространства V. Рассмотрим линейную задачу: найти функцию и(х,г), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

игг — А и + \(г)щ + [а (г) — (г, и)]и = /(х, г

(23)

= а(г) — с3(<р3(г^)).

игг — Аи + \(г)щ + — — еАщ = /(х,г) (23е,г)

и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3).

Поскольку функция ^ у) ограничена, получаем, что краевая задача (23е,щ), (2), (3) при фиксированном е порождает оператор Ф, переводящий пространство V в себя: Ф(у) = и [5,6]. Покажем, что оператор Ф имеет в пространстве V неподвижную точку. Вновь воспользуемся теоремой Шаудера.

Рассмотрим равенство

г

J !(итт - Аи + \{т)и,т + [а (т) - О3 (т, - еАит)

о п

г

х (ит — А и — А ит) ¿х ¿т = ! J /(ит — А и — А ит) ¿хс!т, (24)

о п

являющееся следствием уравнения (24е,^).

От этого равенства с помощью интегрирования по частям и неравенства Юнга нетрудно перейти к следующему неравенству:

— J И2 (ж, ¿) (¿Ж Н--—--53 J

п 4=1 п

г

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+ J ^ \{т)и2(х,т)(1х(1т-\--J и2(х^)(1х

о п п

П г

а (т)и2{х, т) ¿х<1т + У^ J J (е + А(т) — 1)и^т (x,т)dxdт 4=1 о п

г

+ J ![Аи(х, г)]2 (1хс1т Н--— J[Аи(х, ¿)]2 3,х

о п п

1 " г

~ ^ 53! / / (х, г) (1хс1т

4=1 о п

п г

+ 53 J / + x,т)dxdт

— — J 0;'1(т)и^(х,т) ¿хс1т + £ J ![Аит(х, г)]2 ¿хс1т

4=1 п о п

п п *

^ М4^2 + ^ ^ J У и2Хг(х,т)(1х(1т

4 „ t

* С С и2 (ж, г) ¿хс1т н--2~ 53 / / т) <1хс1т

п

£ + 1

О П о п

+ у У [Дм(ж, г)]2 (1х<1т + У У [Дмт(ж, г)]2 (1хс1т

0 п о п

+ ^ + / / + У «КМ^ж

1 2 3 о п п

У [Д^(ж, ¿)]2 (1х + — У м2(ж) (1х + — 53 У иохАх)3х 4 п п 4=1 п

— У «1 (О)мд(ж) (¿ж + У «1 (х)Ащ(х) д,х +-53 У Л(0)мдж^(ж) (¿ж п 4=1 п

/1 п (* а п /*

[Дмо(ж)]2йж+-53 / (¿ж + 53 / «0Ж,(ж)сгж,

п 4=1 п 4=1 п

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

^—¿4 в котором — произвольные положительные числа. Далее, используя условия теоремы 2, получим

+ У 2 + Ло + о;1(со + ^ у

п 4=1 п

, М4 + ^2 \ /• Г . . .

Ло + 1----) ит\х>т) ыхат

о п

п *

^е + Л0 - ^^ У У м2гТ(ж, г) сМт

г

1--J ! [Дм(ж, г)]2 (1х(1т + — + 1 — J [Дм(ж, ¿)]2 (1х

о п п

Е

г

«1 + г;))----

иХ . (x, т) ¿^¿т

9 - г

е--2" ) / / г)]2 ¿х(],т

о п

г

1/1 1 1

^ + % + ¥

1 2 "з.

о п

1 2

4=1 п

1

+ 2

i=l;

^ У У /2 (ж, г) (1х<1т + 2 У ^ о п п

53 J мо ж» + 2 J а1(0)г(д(ж) (¿ж + J И1(ж)Дмо(ж) ¿х

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

п п

53 J хАх) ^--— У [Дмо(ж)]2 (¿Ж

4=1 п п

+ 253 / ¿ж + 53 / ^ожДх)^.

4=1 п 4=1 п

Зафиксируем (52 = 2Л0 — М4, ¿2 = 1, <5| = е, = Получим

оценку

-— У и^ (x, ^ ^ (2 + ^^ + а (ср + 1)) У иХДx,t) dx

° п 4=1п

г п г

+ 2//ит,^ ** + 2А0 — М4, Ъ ¡<Л^ М

о п 1 о п

г

+ / /[Ан(ж, г)]2 <1х<1т + £(2С° + ^ + 1 /[Дм(х^)]2Йж

7 7 2е0 + 1 7

о п п

п г

+ 53 / / [2а + М(1 — со)]иХ,(x, т) dxdт

t

■ £ о п

t

J J[Дит(x,r)f dxdT < (25)

в которой число ^определяется функциями /(х,Ь), щ(х), щ(х), А(Ь), а также числами Т и £. Рассмотрим равенство

У У (итт — Ди + А{т)ит + [а (т) + ((з(т, о п

— £Дит)итт .х.т = У У /итт .х ¿т. (26) о п

Используя неравенство Юнга и оценку (25), нетрудно из этого равенства вывести оценку

4

dxdT ^ C5. (27)

о п

Оценки (25) и (27) дают априорную оценку решений краевой задачи (23е), (2), (3) в пространстве V:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Mv < C; (28)

в оценках (27) и (28) числа C и C вновь определяются функциями f(x,t), щ(х), щ(х), A(t), а также числами T и £.

Из этой оценки следует, что оператор Ф переводит шар радиуса C V

£

теоремы 1.

Итак, для оператора Ф выполняются все условия теоремы Шауде-ра. Согласно этой теореме существует функция u(x,t), принадлежащая пространству V и являющем решением краевой задачи (23е), (2), (3).

Установим, что для решений краевой задачи (23е), (2), (3) имеют

£

Пусть теперь функция /(x,t) такова, что /(x,t) € Ь2{О), /г(x,t) € Далее, если в равенстве (24) дополнительно выполнить интегрирование по частям в слагаемом правой части, содержащем произ-/ ит

1 [ •>, л , 1 + + ^ Г , .

— / и^{х,ъ) ах Н---- ^ / и^,{х,ъ)ах

п '=1 п

г

+ J J Х(т)и2(х,т)(1х(1т-\--J м2(х, ¿)с&£

т

о п п

г _ г

1 1 а'(т)и? {x,т) dxdт + 53 I I (^ + — 1 )и^т ^^^¿^¿ГГ

О П '-'о Й

г

J ![Дм(ж, г)]2 (1хс1т Н--— J[Дм(ж, ¿)]2 3,х

о п п

п г

~ ^ 53^ / / т) 3'х3'т 4

П г

УЗ J J[al(т)+ О3(р3(т, v))]ul.(x,т)dxdт

4

1 " [

~ 2 / (т)мжДж' т) <}хс1т 4

+ е J ![Аит(х, г)]2 (1хс1т + — 53 J ^х

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

4

^ —2 —~ 53 J J т) ^¿т Н--—J J и2Г(х,т)(1х(1т

4

П г 9 9 г

Н--"53 / / т) <И,хс1,т Н—^-§. / / [Дм(х, г)]2 ¿х(],т

п

г

о п

у I и2 (х, г) ¿х + 2 + % ) /

п

п

1 1

2Ш+

/2 (х, т) ¿х.т

о п

Г

J J ! Гт{х-!Т)(1ХЛ1Т

О п

/ х, и .х

п

(ж) (1х -I--/ Мд ^ (ж) (1х

¿=1 к

а(о)и2(х) ¿х +

и1(х)Дио(х) ¿х

J Х1(х) ^>х --—У [Амо(ж)]2 (¿ж

¿=1 п п

1 п Р а п Р

в котором — произвольные положительные числа. Используя условия теоремы 2, переходим к неравенству

1 -I---¿4^ J и1 (х, ¿х + (2 + Ар + а (ер + 1)) 'УЗ J иХДх,1) ¿х

0 п ¿=1п

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+ (2А0 + 2 — М4 — ¿?) ^ ! и2т(х, т) ¿хат о п

п 4

+ (2£ + 2А0 — М4) ^Г ! J Щх%т (х, т) 3,хд,т 4

{2-51- Ф I I [Ам(ж, г)]2 с1хАт + ( £ + 1 - ^ - ¿6 ) / [Ам(ж, ¿)]2 ¿ж

о п

г

п г

+ (2а + 2М4 — М4(е0 + 1)) 5^3 У У иХДx, т) dxdт

4

г г

2е У У [Дмт(ж, г)]2 (1х<1т < + У У /2(ж, г) <1хс1т

г

Я/2(ж, г) <1х(1т Н—т \-raiтах / /2(ж,¿) <1х + 2 о п п

п „

и2 ^ / и^ ^ dx

/^ 0)Дио dx

4

а^и^^) ¿л + 2 п

и^Дид^) dx

+ 53 У А(0)идJ[Auo(x)]'2 dx

4

п ^ п ,,

+ 53 / и2 + / ^ x)dx,

44

Положим <52 = 2А0 - М4, ¿2 = 1, = <5| = = ¡р^+ц-

Пусть число е настолько мало, что е < ео (поскольку в дальнейшем будет осуществляться предельный переход при е ^0, это возможно). Получим

-— [ и2г (x, ^ ¿л + (2 + А0 + + 1)) 53 / иХДx,t)dx

4

г п г

+ 2//и",x, ^ + (2. + - ^Ци1,А^ т> dxdт

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

о п

4

о п

г

— У У [Ди^, т)]2 dxdт + ^е о п

2(2е0 + 1)

[Ди^, dx

д

п г

+ (2а - 2М4 - м4(с0 + 1)) У У «Х,(х, т) ¿хат

4=1 о п г

+ 2е У У [А«т(ж, т)]2 ¿хат < А- (29) о п

Далее, вновь рассмотрим равенство (26). Используя неравенство Юнга и оценку (29), получим оценку

< С7 (30)

о п

с постоянной С7, определяющейся функциями /(х, ¿), «о(х), «(х), А(£), а также числом Т.

Из оценок (29) и (30) следует, что семейство решений {«е(х,¿)} задачи (23е), (2), (3) содержит последовательность {«£т(х,Ь)}, сходящуюся к решению «(х, Ь) уравнения

«гг - А« + А(Ь)«г + - «))]« = /(х,£), (31)

при этом для функции «(х, £) будут выполняться условия (2), (3) (доказывается это так же, как делалось в теореме 1). Покажем, что с помощью предельной функции можно построить решение обратной задачи II.

Для функции «) имеет место неравенство

т

, м 1

Уз < 7" %

+ 2С2 (^у м2(ж,£) + С3 [Аи(х,£)]2 <1х п п

Далее, справедливы неравенства (являющиеся следствием оценки (29))

У «2(х, ь) ¿х ^ ср у «ХДх,Ь) ¿х ^ А-п 4=1 п

(А^з+С)! J «"(х, ь) ¿х п

J иг (x,t)dx ^ Лс,, J[Аи^^)]2 dx ^ Л-п п

Поэтому и)| ^ Л7. Полученное неравенство и условие Л ^ М4

теоремы 2 означают, что выполняется равенство

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Сз(<£з(^и)) = и).

Отсюда следует, что найденная функция и^^) является решением задачи (23), (2), (3). Определим д^):

д^) = а^) - <Рз^,и).

Функции и^^) и д^) дадут решение искомой обратной задачи (выполнение условия переопределения (4) показывается так же, как это делалось при доказательстве теоремы 1). Теорема 2 доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Валитов И. Р., Кожанов А. И. Обратные задачи для гиперболических уравнений: случай неизвестных коэффициентов, зависящих от времени // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2006. Т. 6, вып. 1. С. 3-18.

2. Валитов И. Р. О разрешимости двух обратных задач для гиперболических уравнений // Тр. Стерлитамакского филиала Академии наук Республики Башкортостан. Сер. Физико-математические и технические науки / Отв. ред. К. Б. Сабитов. Уфа: Гилем, 2006. Вып. 3. С. 64-73.

3. Валитов И. Р. Обратные задачи для гиперболических уравнений: Автореф. дне. ... канд. физ.-мат. наук. Стерлитамак: Изд-во Стерлитамакской гос. пед. академии, 2009.

4. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

5. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: Элм., 1985.

6. Kozbanov А. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.

7. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

8. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

г. Якутск

1 августа 2011 г.