Нелинейные обратные задачи для многомерных гиперболических уравнений с интегральным переопределением Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

НЕЛИНЕЙНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЕМ*)

С, С, Павлов

Пусть Л — ограниченная область пространства М" (П С М") с гладкой границей Г, Г = Ш, Б = Г х (0,Т); Q — цилиндр П х (0,Т). Далее, пусть а(х, Ь), К(х, Ь), /(х, Ь), ф{Ь), и$(х), щ (х) — заданные функции, определенные при х (Е О, Ь (Е [О, Т].

Обратная задача I. Найти функции и(х, Ь) и связанные в Q уравнением

ии — а(х,Ь)Аи + = /(х,Ь), (1)

и х, Ь

и\4=0 = и0(х), щ\г=о = и1(х), х еП, (2)

граничного условия

и\й = 0, (3)

а также с условия переопределения

J К{х,Ь)и{х,Ь) ¿х = ф{Ь). (4)

п

Обратная задача II. Наптн функции и(х,Ь) н ^Ь), связанные в Q уравнением

ии — Ди + \(Ь)щ + д(Ь)и = /(х,Ь), (5)

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Министерства образования и науки Российской Федерации № 02.740.11.0609.

© 2011 Павлов С. С.

прн выполнении для функции u(x,t) условий (2)—(4).

В изучаемых обратных задачах I, II условия (2), (3) суть условия обычной первой начально-краевой задачи, условие (4) есть условие переопределения; наличие этого условия объясняется тем, что помимо неизвестного решения u[x, t) требуется найти также неизвестную функцию q(t). Подобные обратные задачи ранее изучались в работах И. Р. Валитова [1-3], но лишь в одномерном случае. Заметим следующее. Метод, применяемый в настоящей работе, близок к методу работ [1—3], но вместе с тем имеет и отличие. Тем самым полученные ниже теоремы существования будут новыми и для случая n = 1.

Положим

Ci=max( / K%(x,t)dx\ , C = maxl / Kt(x.t)dx fi fi

C = max( / K2(x,t)a2(x,t) dx

[o,T] \J

Q

Далее, пусть со — число такое, что для любой функции v{x,t) из

о

пространства W3,(0) выполняется неравенство

j v2{x,t)dx ^ cq j v2x.{x,t) dx, (*)

fi i=1 fi cq определяется областью ft (см. [4]).

Продолжим обозначения:

fo{t) = J K(x,t)f(x,t)d.x, a(t) = f0{t) - ф"(t); fi

t n

N = J j f2(x, r) dxdr + j a(x,0)ugXi(x) dx + j u\(x) dx;

о n

i=l

an = mma(x,t), a = mina(t), kn = min ф'( t); Q [o,T] [о,П

ai = max max \ax.{x,t)\, bo = min(l, ag), Aq = max(a2(x, tj);

i=l,...,n Q Ъ Q

N0 (l + a± N i = — exp —--1

N = j u\Xi(x) dx + j a(x,0)[Auo(x)]2 dx

i=1 n n

T

+ i J J f{x,t)dxdt (e > 0);

о n

T

Kq = J J ft(x,t)dxdt-\--max J f2(x,t)dx

Q

j u\Xi(x)dx+ j a(x, 0)[Auq(x)]2 dx;

о n

+ 2

J f{x,fyAu$(x)dx Q

Кг = lexpfii^rY B1 = K0ex-p(—Y B2 = ВгТ + K0;

bo \ b0 J \a0 J

Mi = С3В* + 2C2N* + Ci(coJVi)5;

M2 = C2(c0W1)i, Ai= 1 max|a(t)|;

«о — M [O,T]

V e a0 \ fc0 — M2 /

t n

N = 3A0N2T+ 12 AlNi+3 J J f(x, t) dxdr + e^J u\x. dx;

on i=1 n

12C?cp ar 48C| 3C|

(k0-M2rNl> N5~ (k0-M2rNl> Ne~ (k0-M2rNl-

Определим нужное ниже пространство:

У = {v(x,t) : v^x, t G W|(Q) n L (0,Т;^П)),

vt(x,t) G L (0,T;Wi(tt) П ))}.

Теорема 1. Пусть выполняются условия

a(x,t) € C^Q), K{x,t) G C2(Q), ф(г) G С2([О, Т]); а0 > 0, а > 0, к0 > 0, at(x,t) <0, 0 < M < к0, а > Мь / K(x,G)uo(x) dx =

J К(х,0)и\(х) йх + J х,0)и${х) йх = ф'{О). п п

Тогда для любой функции ¡(х,Ь) такой, что /(х,Ь) С ft{х,Ь) £

Ь2^), н для любых функций щ(х) н и (х) таких, чтощ(х) £ Wf(Q) П

о о

и(х) £ обратная задача I имеет решение {и(х,Ь), д(Ь)}

такое, что п{х,Ь) £ W$(Q)) ^Ь) £ Ь2([0,Т]).

Доказательство. Вначале выполним вспомогательные построения. Умножим уравнение (1) на функцию К{х, Ь) и проинтегрируем по области П. Получим

ф''( 0-2/*( х,,)М ^-1 К„( МММ)*

п п

-/4х ^.^„(ок0 -/КЛхлу<х

= Mi).

Отсюда

^ = a{t) + ц) Ф'(г) - y>2(i,«)'

<^i(t,u) = j K(x,t)a(x,t)Au(x,t) dx Q

+ 2/*( x,«u^( м)* + /к.< mmm)*.

Q Q

ыt,u) = JKt( x,t)u(x,t)dx.

и х, Ь

цилиндре Q решением уравнения

ии — а{х, Ь) Ди + д(Ь, и)щ = /(х, Ь) (6)

н такую, что для нее выполняются условия (2) и (3).

Для доказательства разрешимости данной задачи воспользуемся методами регуляризации, срезок и неподвижной точки. Определим срезающие функции и С2(£):

£, если \£\ < М, = { М, если £ > М, —М, если £ < —Мх;

£, если \£\ < М, С2(£) = { М, если £ > М, —М2, если £ < —М2.

С помощью функций Ох(£) и С2(£) то заданной функции у(х,Ь) определим функцию д(Ь, у):

Ч = а^ + С^щ {г, у))

Ф'Ю-см^у))-

и х, Ь

в цилиндре Q решением уравнения

ии — а{х, Ь)Аи — д{Ь, и)щ — еАщ = /(х, Ь) (6е)

и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3).

Пусть у(х,Ь) — заданная функция из пространства V.

и х, Ь

ся в цилиндре Q решением уравнения

иы — а(х, Ь)Аи + д(Ь, у)щ — еАщ = /{х, Ь) (б^)

н такую, что для нее выполняются условия (2) и (3).

Поскольку функция д(Ь, у) ограничена, получаем, что краевая задача (6^) (2), (3) порождает оператор Ф, переводящий пространство V

в себя: Ф(^) = и [5,6]. Покажем, что оператор Ф имеет в пространстве V неподвижную точку. Воспользуемся теоремой Шаудера. Рассмотрим равенство

t t

(итт — аАи + , ю)ит — еДит)ит йхйт = J J /ит йхйт, (7) о п о п

являющееся следствием уравнения (6е,щ). От этого равенства нетрудно перейти к неравенству

t

1

J и1 (ж, (1х + ^ J и2х. (ж, (1х + £ J ! м^т(ж, £) ¿хс1т

п 4=1 п 4=1 о п

t t t

+ С}(т,у)и2(х,1) ¿хс1т ^ — J ! и2(х,1)с1хс1т+ — ! J $2{х,1)(1х(1т о п о п о п

+ J ^^Ож^2 ^ у\{х)

4=1 п п

п t t

+ J ! и^(х, т) (1х<1т + J ! и2(х, с1Х(1т. (8)

4=1 о п о п

Учитывая, что по построению функция д(Ь, V) неотрицательна, получаем неравенство

/и?( х,г)йх + ±1 <(х,Ьйх п 4=1 п

1 п t N < -— / / (м? (ж, + м2 (ж, дхдгг Н--.

Ьо ^У 7 Ь0

4=1 о п

Используя далее лемму Гронуолла, приходим к оценке

J и^+ J и^Дх,Ь) йх ^ N. (9)

п

Рассмотрим равенство г г

(итт — аАи+д(т,у)ит — еДит)Дит 3,х3,т = — J ^/(х,т)Аит ¿хЗт, о п о п

(10)

также являющееся следствием уравнения (6е^). Интегрируя слева по частям и применяя неравенство Юнга, приходим к следующей оценке:

J и^г(х,Ь) ¿х + ад J[Аи(х,Ь)]2 ¿х

¿г

4=1 п п

г

+ £ ! ![Аит{х,Ь)\2 ¿х<1т < М2. (11) о п

Теперь рассмотрим равенство

г г

(итт — аДи + д(т, у)ит — £Дит)итт <1х<1т = j j / итт ¿хв,т. (12)

о п о п

Имеют место следующие неравенства:

г 9 г

а(х,т)Аи(х,Ь) ■ итт(х, £) ¿хс1т ^ — J ^ и\т(х,Ь) (ксйт

о п о п г г тах(а2 (х, Ь)) ¡' Г.. . , , 52 ¡' ¡' , . . , , А0 т --к ^ ' ;; / / ( Аи(х, ¿)) дхЛт < у / /

о п о п

г 9 г

д(т, у)ит(х, Ь)итт(х, £) (1хс1т ^ — J ^ ч?тт(х,£) <1х<1т о п о п

г

^У ит {х,т)<1^ ¿т

о п

9 г г

< у У У ь2т{х,т)д,хЛт + [ д2(т,у)(1т. о п

Далее оценим

1

к1 <

кп- И2

Отсюда

тах|а(Ь)| + С1 / '^(хА)йх [о,Т У

п

'VI (х,г) йх^ + [Д'(х,Ь)]2 йх

п п

4С2с0 п

.

д2(г, у) < 4А\ + ^ _ХМ2\2 X /

¿=1;

СС

(ж, ах + —-- / [Дг?(ж, ах.

(к0 - М2)'

и

Зафиксируем (5: (52 = Тогда

(к> - м2)

итт ^ N + N ^^ / / 'ХДх,Ь) йхйт

о п

N / / '^т (х,Ь)йхйт + М$ [А'(х,Ь)]2 йхйт.

о п

о п

Пусть

Г t

Jх,Ь)йхйт ^ Й1, о п

о п

(14)

тах

J х,Ь) йх\ ^ Д2, тдх ÍJ (х,Ь)йх\ ^ Дз,

4

т

тах ^У Кх,Ь)]2 ^ Д4, j У (Д'^2 йх ^ Д5

Покажем, что краевая задача (6е^), (2), (3) при подходящем выборе чисел Д Д переводит множество W в себя.

t

Заметим, что вследствие оценок (9), (11) второе, третье, четвертое и пятое неравенства из определения множества Ш будут выполняться для решения и{х,г) краевой задачи (б^), (2), (3), если Д1 = N3 + ТЛГ4ЛГ1 + ТМ5Мг + ТМ6М2, Д2 = ЛГЬ Д3 = Д4 = М2, Д5 = Для функции игг выполняется неравенство

г

J ! иТт йхйт ^ Д1 . о п

Это следует из (14). При таком выборе чисел Д1-Д5 оператор Ф будет переводить Ш в себя.

Докажем, что оператор Ф непрерывен. Пусть последовательность {ут(х, г)} сходится в пространстве V к функции у(х, г). Положим ит = фут,и = Ф(у), 1мт(х,г) = ит(х,г)-и(х,г), ¥{х,г) = [д(г,у)-Ъ(г,ут)\иг. Функции х,г) представляют собой решения краевой задачи

- а- £&<ютг + д(г, ут)гютг = Е(х, г),

х, 0) = 0, ютг{ х, 0) = О, х,г)\б = 0.

Для функций шт{х, г) имеют место неравенства

х,г)йх + ±1 х,гйх г=1 п

г г

J ! (х, г) йхйт ^ К J J Е2 (х, г) йхйт,

о,

г

£ г=1

О п О п

У ШтХ*г(х, г) йх + а0 J[Дшт(х, г)]2 ¿х

п

г г

£ ^ J(Аи)тт(х, ¿))2 (1хс1т ^ — J ! Р2(ж, £) <1х<1т7 о п о п

г г

и>ттт(х,Ь)ё,хё,т ^ J F2{x,Ь)dxdт. о п о п

Далее,

г г

Р2(х, Ь) dxdт = J J[$(т, у) — д(т, ут)]2ит(х, Ь) dxdт о п о п

г

.Г'

о п о

Имеет место равенство

г г

= У [д(т, у) — д(т, ут)]2 J и2т(х, Ь) dxdт < ^^ У 1Жт у) — д(т, ут)]2¿т.

д(т,ь) д(т,ьт) ^ _ ^^ у)Ш{т) _ С2(^2(г, ут))) х [а(т)[О2 (т, у)) — О2 (т, ут))] — ф'(т)О (т, у)) — О (т, ут))] — О (т, (т, ут))

+ О(^(т, ут))О{^{т,уЩ.

Неравенство ф'(Ь) — О (О ^ ^о — М > 0, ограниченность функций и(Ь), ф'(Ь), О(<Р2(т, у)) и липшицевость функций О(£),

О£

\д{т,у) — д{т,ут)\2 < М3(\^(т,ут — у)\2 + \^(т,ут — у)\2) с постоянной Мз, определяющейся функциями М\ и М2. Отсюда

У ттЛх,Ь)<Ъ + ^ У ттхАх,Ь) ¿х + ао J[Атт(х,Ь)]2 ¿х п 4=1 п п

п г г

+Е / Ц «т,т( //* ^ ^«т

о п о п

г

< KэJ(^J[Aуm(х,т) — Д^х,т)]^х о п

^ — ут^ /МX, ^ — ^ т)]2 ^ dT, (15)

п

где К определяется числами N1, К, К, а также функциями а{Ь) и ф(г).

Поскольку в неравенстве (15) правая часть при т ^ то сходится к пулю (в силу сходимости г>т(х,Ь) к в V), то и левая часть будет

сходиться к пулю. Это и означает, что ит(х, Ь) ^ и(х, Ь) при т ^ то в пространстве V и что оператор Ф непрерывен.

Докажем теперь, что оператор Ф компактен в пространстве V.

Пусть {г>т(х,Ь)} — ограниченная последовательность функций из пространства V, {ит(х,Ь)} — последовательность образов функций ит(х, Ь) при действии оператора Ф. Последовательность {ит(х, Ь)} также будет ограничена в пространстве V. Из ограниченности в пространстве V последовательностей {г>т(х} и {ит(х,Ь)}, а также из теорем о вполне непрерывности вложений ^ ^ Ь2 (Г)

[4,7] и о возможности выбора из сильно сходящейся последовательности подпоследовательности, сходящейся почти всюду (см. [4]), вытекает, что существуют подпоследовательности {г>ть(х} и {итк(х,Ь)}, а также функции Ь) и и(х,~Ь) такие, что при к ^ то имеют место сходимости г>ть(х,Ь) ^ итк ^ и(х,Ь) слабо в пространстве

почти всюду в С}. Указанные сходимости и представление

¥1(ь,ут) = - ^ (К(х,г)а(х,г)) x¿ утхХ х,г)йх

4=1 п

п Т

— J К(х,1)а(х,1)утх± (х,Ь) (х(т 4=1 о п

п ,,

+ / тХ*(х) ^х

4=1 П

+ 2 J К4(х,Ь)утг(х,Ь)(1х + J Ки{х,Ь)ут(х,Ь)(х п п

означают, что почти всюду па отрезке [О, Т] имеют место сходимости ф\{Ь,ютк) ^ ^ (Ь, V). Положим тк(х,Ь) =

итк (х,Ь) — и(х,^. Поскольку для последовательности ('ш^х,Ь)} выполняется оценка (15), эта последовательность будет сходиться в пространстве V к тождественно нулевой функции. Следовательно, для всякой ограниченной в пространстве V последовательности {ут(х,Ь)} из последовательности (Ф(г>т(х} можно извлечь сходящуюся в V подпоследовательность. Это и означает, что оператор Ф компактен в пространстве V.

Итак, для оператора Ф выполняются все условия теоремы Шауде-ра. Согласно этой теореме существует функция и(х,^, принадлежащая Ш и являющаяся решением краевой задачи (6е), (2), (3).

Установим, что для решений краевой задачи (6е), (2), (3) имеют место априорные оценки, равномерные по параметру е.

Пусть теперь функция /(х,Ь) такова, что /(х,1) € Ъ^ф), /г(х,Ь) € Ъ2(ф). Для решений краевой задачи (6е) (2), (3) сохраняется оценка (9). Далее, если в равенстве (10) выполнить интегрирование по частям как слева, так и справа, а затем в правой части применить неравенство Юнга, то получим неравенство

53 J х^) dx + ао I[Ди(х, ¿)]2 ¿х 4=1 п п

^еJJ (Дит (х,^)2 dxdт + J ^ д(т, и) ( иХ*т (х,Ь)\ ¿^¿т

о п о п '

г т

^ J J(Ди(х,£))2 dxdт + J ! /г(х,1) о п о п

2 J /(х,())Аи$(х) ¿Х п

■ / и\х. (х) ¿х + / а(х, 0)[Дио(х)]2 ¿х,

¿=т * п

в котором 6 есть произвольное положительное число.

Положим 82 = ^. Применяя далее лемму Гронуолла, получаем

априорную оценку

![Аи{х,Щ2(х < Вь (16)

п

Из (16) следует, что выполняется равномерная по е оценка

¿/А^Ж^г < В. (17)

г-1 п п

Из оценок (9) и (16) вытекает, что имеют место неравенства

Ыт,и)| < м, (18)

| < Ы2. (19)

Неравенства (18), (19) и условия теоремы 1 означают, что для решений и(х,г) краевой задачи (6е), (2), (3) выполняются равенства

(г, и)) = г,и), с2(^2(г,и)) = (р2(г,и).

Рассмотрим равенство (12). Используя неравенство Юнга и оценки (9), (17), получим

г

2

иТт < В (20)

о п

с постоянной Вз, определяющейся числами В, В, М2, N и функциями К(х,г)ъ /(х,г).

Итак, доказано, что краевая задача (6е), (2), (3) имеет решение ие(х, г) такое, что для семейства функций {ие(х,г)} выполняются рав-

е

также из теорем о вполне непрерывности вложений ^ Ш^ф),

Ш2 (ф) ^ В(Г) и о возможности выбора из сильно сходящейся последовательности подпоследовательности, сходящейся почти всюду, а также из свойства рефлексивности гильбертова пространства [8] вытекает, что существуют последовательности {ет} положительных чисел и функция и{х, г) такие, что при т ^ то имеют место сходи мости ет ^ 0, и£т(х,г) ^ и(х, г) слабо в пространстве Ш^ф), иЕт (х,г) ^ и{х,г),

и\т(х,1) —> почти всюду в С}, етА, и\т(х,1) —> 0 слабо в про-

странстве ¿2 (О)- Из указанных сходимостей следует, что почти всюду па отрезке [0,Т] для предельной функции и{х,€) будет выполняться уравнение (6). Поскольку правая часть в уравнении (6) принадлежит пространству £2(0), получаем, что функция ии(х,г) также будет принадлежать пространству £2(О)- Но тогда функция и(х,Ь) будет принадлежать пространству V.

Итак, доказано, что краевая задача (6), (2), (3) имеет решение и(х,г), принадлежащее пространству V. Покажем, что это решение и функция определенная равенством д(г) = д(г,и), дадут искомое решение обратной задачи I.

Умножим уравнение (6) на функцию К{х, г) и проинтегрируем по П. Получим равенство

2 J К((х,г)щ(х,~Ь)3,х п

/

п

/

Ки(х, г)и(х, г) ¿х

п

п

п

п

Далее

Ф"(г) — ^{г, и) + д(г, и)(ф'(г) — ^(г, и)) = Ь(г).

Вычитая из одного из этих равенств другое, получим

п

п

Обозначим

= J к(х,г)и(х,г) ¿х — ф(г). п

Следствием равенства (21) является равенство

г

(*) - v'2(0)] + I 9(тУ2(т)йт = 0.

(22)

Из условий согласования теоремы 1 следует, что ^(0) = ^'(0) = 0. Поскольку функция неотрицательна, равенство (22) означает, что функция V1 (¿) тождественно нулевая. Тогда и сама функция v(t) тождественно нулевая.

Тождественное равенство функции v(t) нулевой функции означает, что для решения и(х, £) краевой задачи (6), (2), (3) будет выполняться условие (4). Вместе с принадлежностью функций и(х,£) и требуемым классам все это и означает, что функция дает искомое решение обратной задачи I.

Теорема 1 доказана.

Перейдем к исследованию разрешимости обратной задачи II. Положим

к1=ттфН), ахН) = , ,ч.

а = шш а (0;

[0,Т]

Ля= 1

2А0

1

а

- >, А1 = тахАт;

с0 + 3/' [о,т]

2А0 - М4

г

J ! /2 (х, т) йх¿Т

о п

г

2 / /Г(х, О йхйт + 2(2е0 + 1) \Taimax

]] [ОД1]

о п

/2 (х, £) йх

/(х, О)Дио(х) йх

п ..

а1(0)ид(х) ¿х + 2

и1(х)Дио(х) ¿х

J А(0)идх.(х) ¿х + (^о + 1) У[Ди0(х)]2йх

¿=1 г> г>

п п

(здесь £о > О — положительное число, роль которого объяснена ниже),

А4 = , , . -—, Аб = 2соАз, А6=2(2с0 + 1)А3,

2 + Ао + а (со + 1)

Лт = Ь [(Л1С73 + Сг+ + СзА*]-

Теорема 2. Пусть выполняются условия

к(х,г) е с2(д), ф(г) е с2([о,т})-, ь> о, «1 > о, л^) -1 > л0 > о,

а' (Ь) < О, А'(Ь) при t € [О, Г],

А < J К(х,0)щ(х) .х = ф(0);

п

п п

Тогда для любой функции /(х, Ь) такой, что /(х,Ь) € Ь^), /¿(х,Ь) € Ь^), и для любых функций щ(х) и щ (х) таких, чтощ(х) € Wf(Q) П

о о

щ(х) € обратная задача II имеет решение {и(х,Ь), д(Ь)}

такое, что и{х,Ь) € W2(Q), € Ь2([0,Т]).

Доказательство. Умножим уравнение 5 на функцию К(х,Ь) и проинтегрируем по области П. Получим

ф''( <)-2/*( МЫ М)*-/к„( х,()и(х,<),.х

п п

^У к(х,г)А„.х + А(г) J К(х,г)щ( х,г)<1х +ц{г)ф{г) =

п

Отсюда

.. а^) + (г, „)

<р\ (Ь,и) = / К(х,г)Аи(х,г)вх + 2 / Кг(х,г)иг(х,г)вх

п

п

+ / Кц(х,г)и(х,г) ¿х — А(г) / К(х,г)иг(х,г)вх,

/

/

п

п

Рассмотрим новую задачу: найти функцию и(х,г), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3).

Для доказательства разрешимости данной задачи вновь воспользуемся методами регуляризации, срезок и неподвижной точки. Определим срезающую функцию

С помощью то заданной функции у(х, г) определим функцию

чАг, V):

Пусть е — положительное число. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и{х,г), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

щг — А и + \(г)щ + [а (г) — (г, и))]и — еАщ = /{х, г) (23е)

и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3).

Пусть ^х,г) — заданная функция из пространства V. Рассмотрим линейную задачу: найти функцию и(х,г), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

игг — А и + \(г)щ + [а (г) — (г, и)]и = /(х, г

(23)

= а(г) — с3(<р3(г^)).

игг — Аи + \(г)щ + — — еАщ = /(х,г) (23е,г)

и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3).

Поскольку функция ^ у) ограничена, получаем, что краевая задача (23е,щ), (2), (3) при фиксированном е порождает оператор Ф, переводящий пространство V в себя: Ф(у) = и [5,6]. Покажем, что оператор Ф имеет в пространстве V неподвижную точку. Вновь воспользуемся теоремой Шаудера.

Рассмотрим равенство

г

J !(итт - Аи + \{т)и,т + [а (т) - О3 (т, - еАит)

о п

г

х (ит — А и — А ит) ¿х ¿т = ! J /(ит — А и — А ит) ¿хс!т, (24)

о п

являющееся следствием уравнения (24е,^).

От этого равенства с помощью интегрирования по частям и неравенства Юнга нетрудно перейти к следующему неравенству:

— J И2 (ж, ¿) (¿Ж Н--—--53 J

п 4=1 п

г

+ J ^ \{т)и2(х,т)(1х(1т-\--J и2(х^)(1х

о п п

П г

а (т)и2{х, т) ¿х<1т + У^ J J (е + А(т) — 1)и^т (x,т)dxdт 4=1 о п

г

+ J ![Аи(х, г)]2 (1хс1т Н--— J[Аи(х, ¿)]2 3,х

о п п

1 " г

~ ^ 53! / / (х, г) (1хс1т

4=1 о п

п г

+ 53 J / + x,т)dxdт

— — J 0;'1(т)и^(х,т) ¿хс1т + £ J ![Аит(х, г)]2 ¿хс1т

4=1 п о п

п п *

^ М4^2 + ^ ^ J У и2Хг(х,т)(1х(1т

4 „ t

* С С и2 (ж, г) ¿хс1т н--2~ 53 / / т) <1хс1т

п

£ + 1

О П о п

+ у У [Дм(ж, г)]2 (1х<1т + У У [Дмт(ж, г)]2 (1хс1т

0 п о п

+ ^ + / / + У «КМ^ж

1 2 3 о п п

У [Д^(ж, ¿)]2 (1х + — У м2(ж) (1х + — 53 У иохАх)3х 4 п п 4=1 п

— У «1 (О)мд(ж) (¿ж + У «1 (х)Ащ(х) д,х +-53 У Л(0)мдж^(ж) (¿ж п 4=1 п

/1 п (* а п /*

[Дмо(ж)]2йж+-53 / (¿ж + 53 / «0Ж,(ж)сгж,

п 4=1 п 4=1 п

^—¿4 в котором — произвольные положительные числа. Далее, используя условия теоремы 2, получим

+ У 2 + Ло + о;1(со + ^ у

п 4=1 п

, М4 + ^2 \ /• Г . . .

Ло + 1----) ит\х>т) ыхат

о п

п *

^е + Л0 - ^^ У У м2гТ(ж, г) сМт

г

1--J ! [Дм(ж, г)]2 (1х(1т + — + 1 — J [Дм(ж, ¿)]2 (1х

о п п

Е

г

«1 + г;))----

иХ . (x, т) ¿^¿т

9 - г

е--2" ) / / г)]2 ¿х(],т

о п

г

1/1 1 1

^ + % + ¥

1 2 "з.

о п

1 2

4=1 п

1

+ 2

i=l;

^ У У /2 (ж, г) (1х<1т + 2 У ^ о п п

53 J мо ж» + 2 J а1(0)г(д(ж) (¿ж + J И1(ж)Дмо(ж) ¿х

п п

53 J хАх) ^--— У [Дмо(ж)]2 (¿Ж

4=1 п п

+ 253 / ¿ж + 53 / ^ожДх)^.

4=1 п 4=1 п

Зафиксируем (52 = 2Л0 — М4, ¿2 = 1, <5| = е, = Получим

оценку

-— У и^ (x, ^ ^ (2 + ^^ + а (ср + 1)) У иХДx,t) dx

° п 4=1п

г п г

+ 2//ит,^ ** + 2А0 — М4, Ъ ¡<Л^ М

о п 1 о п

г

+ / /[Ан(ж, г)]2 <1х<1т + £(2С° + ^ + 1 /[Дм(х^)]2Йж

7 7 2е0 + 1 7

о п п

п г

+ 53 / / [2а + М(1 — со)]иХ,(x, т) dxdт

t

■ £ о п

t

J J[Дит(x,r)f dxdT < (25)

в которой число ^определяется функциями /(х,Ь), щ(х), щ(х), А(Ь), а также числами Т и £. Рассмотрим равенство

У У (итт — Ди + А{т)ит + [а (т) + ((з(т, о п

— £Дит)итт .х.т = У У /итт .х ¿т. (26) о п

Используя неравенство Юнга и оценку (25), нетрудно из этого равенства вывести оценку

4

dxdT ^ C5. (27)

о п

Оценки (25) и (27) дают априорную оценку решений краевой задачи (23е), (2), (3) в пространстве V:

Mv < C; (28)

в оценках (27) и (28) числа C и C вновь определяются функциями f(x,t), щ(х), щ(х), A(t), а также числами T и £.

Из этой оценки следует, что оператор Ф переводит шар радиуса C V

£

теоремы 1.

Итак, для оператора Ф выполняются все условия теоремы Шауде-ра. Согласно этой теореме существует функция u(x,t), принадлежащая пространству V и являющем решением краевой задачи (23е), (2), (3).

Установим, что для решений краевой задачи (23е), (2), (3) имеют

£

Пусть теперь функция /(x,t) такова, что /(x,t) € Ь2{О), /г(x,t) € Далее, если в равенстве (24) дополнительно выполнить интегрирование по частям в слагаемом правой части, содержащем произ-/ ит

1 [ •>, л , 1 + + ^ Г , .

— / и^{х,ъ) ах Н---- ^ / и^,{х,ъ)ах

п '=1 п

г

+ J J Х(т)и2(х,т)(1х(1т-\--J м2(х, ¿)с&£

т

о п п

г _ г

1 1 а'(т)и? {x,т) dxdт + 53 I I (^ + — 1 )и^т ^^^¿^¿ГГ

О П '-'о Й

г

J ![Дм(ж, г)]2 (1хс1т Н--— J[Дм(ж, ¿)]2 3,х

о п п

п г

~ ^ 53^ / / т) 3'х3'т 4

П г

УЗ J J[al(т)+ О3(р3(т, v))]ul.(x,т)dxdт

4

1 " [

~ 2 / (т)мжДж' т) <}хс1т 4

+ е J ![Аит(х, г)]2 (1хс1т + — 53 J ^х

4

^ —2 —~ 53 J J т) ^¿т Н--—J J и2Г(х,т)(1х(1т

4

П г 9 9 г

Н--"53 / / т) <И,хс1,т Н—^-§. / / [Дм(х, г)]2 ¿х(],т

п

г

о п

у I и2 (х, г) ¿х + 2 + % ) /

п

п

1 1

2Ш+

/2 (х, т) ¿х.т

о п

Г

J J ! Гт{х-!Т)(1ХЛ1Т

О п

/ х, и .х

п

(ж) (1х -I--/ Мд ^ (ж) (1х

¿=1 к

а(о)и2(х) ¿х +

и1(х)Дио(х) ¿х

J Х1(х) ^>х --—У [Амо(ж)]2 (¿ж

¿=1 п п

1 п Р а п Р

в котором — произвольные положительные числа. Используя условия теоремы 2, переходим к неравенству

1 -I---¿4^ J и1 (х, ¿х + (2 + Ар + а (ер + 1)) 'УЗ J иХДх,1) ¿х

0 п ¿=1п

+ (2А0 + 2 — М4 — ¿?) ^ ! и2т(х, т) ¿хат о п

п 4

+ (2£ + 2А0 — М4) ^Г ! J Щх%т (х, т) 3,хд,т 4

{2-51- Ф I I [Ам(ж, г)]2 с1хАт + ( £ + 1 - ^ - ¿6 ) / [Ам(ж, ¿)]2 ¿ж

о п

г

п г

+ (2а + 2М4 — М4(е0 + 1)) 5^3 У У иХДx, т) dxdт

4

г г

2е У У [Дмт(ж, г)]2 (1х<1т < + У У /2(ж, г) <1хс1т

г

Я/2(ж, г) <1х(1т Н—т \-raiтах / /2(ж,¿) <1х + 2 о п п

п „

и2 ^ / и^ ^ dx

/^ 0)Дио dx

4

а^и^^) ¿л + 2 п

и^Дид^) dx

+ 53 У А(0)идJ[Auo(x)]'2 dx

4

п ^ п ,,

+ 53 / и2 + / ^ x)dx,

44

Положим <52 = 2А0 - М4, ¿2 = 1, = <5| = = ¡р^+ц-

Пусть число е настолько мало, что е < ео (поскольку в дальнейшем будет осуществляться предельный переход при е ^0, это возможно). Получим

-— [ и2г (x, ^ ¿л + (2 + А0 + + 1)) 53 / иХДx,t)dx

4

г п г

+ 2//и",x, ^ + (2. + - ^Ци1,А^ т> dxdт

о п

4

о п

г

— У У [Ди^, т)]2 dxdт + ^е о п

2(2е0 + 1)

[Ди^, dx

д

п г

+ (2а - 2М4 - м4(с0 + 1)) У У «Х,(х, т) ¿хат

4=1 о п г

+ 2е У У [А«т(ж, т)]2 ¿хат < А- (29) о п

Далее, вновь рассмотрим равенство (26). Используя неравенство Юнга и оценку (29), получим оценку

< С7 (30)

о п

с постоянной С7, определяющейся функциями /(х, ¿), «о(х), «(х), А(£), а также числом Т.

Из оценок (29) и (30) следует, что семейство решений {«е(х,¿)} задачи (23е), (2), (3) содержит последовательность {«£т(х,Ь)}, сходящуюся к решению «(х, Ь) уравнения

«гг - А« + А(Ь)«г + - «))]« = /(х,£), (31)

при этом для функции «(х, £) будут выполняться условия (2), (3) (доказывается это так же, как делалось в теореме 1). Покажем, что с помощью предельной функции можно построить решение обратной задачи II.

Для функции «) имеет место неравенство

т

, м 1

Уз < 7" %

+ 2С2 (^у м2(ж,£) + С3 [Аи(х,£)]2 <1х п п

Далее, справедливы неравенства (являющиеся следствием оценки (29))

У «2(х, ь) ¿х ^ ср у «ХДх,Ь) ¿х ^ А-п 4=1 п

(А^з+С)! J «"(х, ь) ¿х п

J иг (x,t)dx ^ Лс,, J[Аи^^)]2 dx ^ Л-п п

Поэтому и)| ^ Л7. Полученное неравенство и условие Л ^ М4

теоремы 2 означают, что выполняется равенство

Сз(<£з(^и)) = и).

Отсюда следует, что найденная функция и^^) является решением задачи (23), (2), (3). Определим д^):

д^) = а^) - <Рз^,и).

Функции и^^) и д^) дадут решение искомой обратной задачи (выполнение условия переопределения (4) показывается так же, как это делалось при доказательстве теоремы 1). Теорема 2 доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Валитов И. Р., Кожанов А. И. Обратные задачи для гиперболических уравнений: случай неизвестных коэффициентов, зависящих от времени // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2006. Т. 6, вып. 1. С. 3-18.

2. Валитов И. Р. О разрешимости двух обратных задач для гиперболических уравнений // Тр. Стерлитамакского филиала Академии наук Республики Башкортостан. Сер. Физико-математические и технические науки / Отв. ред. К. Б. Сабитов. Уфа: Гилем, 2006. Вып. 3. С. 64-73.

3. Валитов И. Р. Обратные задачи для гиперболических уравнений: Автореф. дне. ... канд. физ.-мат. наук. Стерлитамак: Изд-во Стерлитамакской гос. пед. академии, 2009.

4. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

5. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: Элм., 1985.

6. Kozbanov А. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.

7. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

8. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

г. Якутск

1 августа 2011 г.