Обратная задача восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении с интегральным преопределением Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВНЕШНЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ В МНОГОМЕРНОМ ВОЛНОВОМ УРАВНЕНИИ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЕМ*) С, С, Павлов

В теории обратных задач тепло- и массопереноса [1-3] часто возникают проблемы восстановления плотностей неизвестных внешних источников. Во многих случаях считают, что имеет место зависимость неизвестной правой части от времени [4]. Рассматриваемые обратные задачи в ряде случаев формулируют как проблемы управления [5].

Целью настоящей работы является исследование разрешимости обратной задачи определения внешнего воздействия для волнового уравнения.

Пусть Л — ограниченная область пространства М" (П С М") с гладкой границей Г, Г = Ш, Б = Г х (0,Т), Q — цилиндр Л х (0,Т). Далее, пусть /(х,Ь), ф(Ь), д(х,Ь), щ(х) и щ(х) суть заданные функции, определенные при х € О, £ € [О, Т].

Рассмотрим обратную задачу: найти функции и(х,Ь) и д(Ь); связанные в Q уравнением

ип - Д и = /(х,г)^г) + д{х,Ь), (1)

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Северо-Восточного федерального университета имени М. К. Аммосова по лоту № 1 «Поисковая научно-исследовательская работа» среди аспирантов и молодых специалистов в возрасте до 35 лет.

© 2011 Павлов С. С.

при выполнении для функции и(х,~Ь) начальных условий

и\г=о = и0(х), щ\г=о = щ(х), х еП, (2)

граничного условия

и\з = О, (3)

а также условия переопределения:

J К(х,-Ь)и(х,~Ь) 3,х = (4)

п

В изучаемой обратной задаче условия (2) и (3) суть условия обычной первой начально-краевой задачи, условие (4) есть условие переопределения; наличие этого условия объясняется тем, что помимо неизвестного решения и(х, £) требуется найти неизвестную функцию

Обратная задача (1)-(4) для волнового уравнения рассматривалась рядом авторов. В частности, аналогичная задача (1)-(4) рассмотрена в монографии [6] (см. § 9.2), где получены аналогичные результаты для более общих уравнений, чем уравнение (1). В настоящей работе рассматриваются более общие условия переопределения (4). Отметим, что в монографии [6] функция К(х, берется зависящей только от пе-х

другие функциональные пространства. Определим нужные пространства:

У = {у(х,г) : у(х,г) е Ьх(0,Т, "МЦП) П \VKtt)),

Уь{х,г) е ьж{0,Т;Т^(П)) пь2{0,т-№{П)),уа{х,г) е },

= Мх,г): у(х,г) е ьж(о) п )),

е ьж(отйцп))^а{х,1) е ^М)}.

Положим

/о(^) = ! К(х,г)/(х,г) ¿х, = ! К(х,Ь)д(х,Ь) ¿х,

п п

д(х,г) = ¡(х,г)а(г) + д(х,г), Ь(х,г) = А/(х,г), д^х^) = Ад(х,г).

Теорема. Пусть выполняются условия

\ш\ > к>0,г е [О,Т], д{х,Ь) е Ь2(0,Т;^|(П)), дг(х,1) е Ь2(о,Т;^|(П)), ¡(х,г) е Ь2(0,Т;^|(П)), ¡1 хАх,Ь) е Ьждгх е К(х,г)ес2@), ¡(х,г)\з = д(х,г)\з = о, Мх,г)\3 = дЛх^з = о,

J К(х,0)щ(х) ¿х = ^(0), п

п п

Тогда существует функция и(х, из пространства V® и функция из пространства Ьто([0, Т}), которые являются решением уравнения (1) и удовлетворяют условиям (2)-(4).

Доказательство. Вначале выполним вспомогательные построения.

Умножим уравнение (1) на функцию К(х,1) и проинтегрируем по области П. Получим

,"(л-2/К,{ мм ^-/К„( МММ)^

п п

К(х,г)АисЪ = д(г)&(г) + доУ).

п

Отсюда

</(*)= 1

¡о№

— J К(х,1)Аи(х,1) ¿х — до{1)

= а(г) — г(г,

и

где

= Ш '

Z(t, и) =

ли

Чкл хЛ]иЛ

+ J Кц(х,Ь)и(х,Ь) "х + J К(х,Ь)Аи(х,Ь) "х п п

Положим

у(х,~Ь) = Аи(х,~Ь), щ(х) = Аио(х), щ(х) = Ащ(х).

Рассмотрим новую задачу: найти функцию у(х,Ь), являющуюся в цнлнидре Q решением уравнения

уы - АV = ^{х,Ь) - ¡1{х,Ь)г{Ь, и), (5)

у(х, 0) = щ(х), {х,0) = и\{х), х бЛ, (6)

У(х,г)\3= 0. (7)

Докажем, что данная задача разрешима в пространстве Ц0. Воспользуемся методом регуляризации и методом продолжения по параметру.

Пусть £ — положительное число. Расссмотрим задачу: найти функцию у(х, Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

уы - АV - £ = дг (х, ¿) - Д (х, и) (5е)

и такую, что для нее выполняются условия (6) и (7).

Пусть Л — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим задачу: найти функцию у(х,Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

уи - АV - £Ауг = дг (х, ¿) - ЛД (х, и) (5е,л)

и такую, что для нее выполняются условие (6) и (7).

£

ции д\ (х, Ь) пространству краевая задача (5е,л), (6), (7) разреши-

ма в пространстве V.

Согласно теореме о методе продолжения по параметру задача (5е,л), (6), (7) разрешима в пространстве V, если она разрешима при Л = 0

и если для всевозможных ее решений из пространства V имеет место равномерная по Л е [О,1] априорная оценка в том же пространстве [6].

Разрешимость краевой задачи (5е,о), (6), (7) при фиксированном е и при принадлежности функции д\ (х, пространству Ьъ(0) известна [7,8]. Покажем, что для всевозможных решений краевой задачи (5е,\), (6), (7) из пространства V имеет место нужная априорная оценка. Рассмотрим равенство

(утт — АV — еДvT)ут ё,хё,т

о п

г г

д\(х,Ь^т ё,хё,т — лJ J f\(x,t)Z(t,u)vт ё,хё,т, (8) о п

являющееся следствием уравнения (5е,л)•

Имеем г г

1 Г Г д^ , , 1 Г 9, ч , 1 / ч ,

— —-—ахат = — / у?(хА)ах--/ и~{{х)ах,

2} } дт 2} ьУ ' ' 2 У

о п о п п п

г г

о п о п

Avvт / 'S^JVXívXiT ¿хбт

г=1

1 I" 1 Г

= ] (х> í) с1х - 2 XУ й0хЛх)г1х'

"! о / ^ / ^Охi

4=1 п 1=1 п

г

—еjj vт йхйт = е j j ^^ vXíT йхйт^

о п О П 4=1

Левая часть равенства (8) примет вид

п г

2 J ^ <1х + — J (ж, (¿ж + е У J сЬйт п 4=1п о п

- ^ У й\(х) ¿х - ^ ^Г ! й1х.(х) <кх, п

правая часть очевидным образом оценивается сверху величиной г г г

J ! V2 ¿хс1т + — J ! д\ (х, т) ¿хс1т + — J ^ ff(x,т)Z2 (т, и)(1х(1т. о п о п о п

Получаем неравенство

7¿Jvtdx + \J2J ъ2х.(Х^)(1Х + £ ! J У2х.т<1Х<1Т

г

Ч йх + 2 у у~хЛх>г)йх +£!у ^»т ■ п ¿=1 п о п

г г г

У J V2 (1хс1т + — J ! gf(x,т)dxdт+—J ^ f2(x,т)Z'2(т,u)dxdт о п о п о п

х

п

Рассмотрим равенство

г

(уТт -АV - £Дут)Дут "х"т о п

г г

= лJ J "х"т - J ! д\(х,т)Аут "х"т, (10)

о п о п

являющееся следствием уравнения (5е,л). Имеем

г г

уТТАуТ "х"т = - / уТТ | уХХнТ\ "х"т =

ТТ I / ^иХ1Х1Т

О П О П ч*=1

г г

1 ^ д

- I I о ¿^^Г^т

dxdт = j у 2 (^¿т)

О П ¿=1 О П ¿=1

1 Г 1 V—л /"

п

^¿г

¿=1 '

г

АуАут <1хс1т = / / — — (Ау)2 ¿хс1т

о п о п

1

[Дг>(ж, ¿)]2 (1х — — J[Айо(ж)]2 <1х.

п п

Получаем, что левая часть равенства (10) принимает вид

1

¿ J ![Ау{х,-Ь)}2 ¿х

¿

г —

+ £ J ! (Аут)2 (1х<1т — — ^^ J й2х±(х) (],Х — —! [Айо(ж)]2 <1х.

\ут) ахйт — — у I уПгг.,(х) ах — — I \£лио(х

¿

Используя неравенство Юнга, нетрудно оценить правую часть: г г

ЛЦ /1(х,т)Е(т, и)Аут "х"т - J ! д\(х,т)Аут "х"т о п о п

9 г г

^ ~2 У /<Ь<1т + ± ! J Л2 (ж, т)г2{т, и)сЬйт 0 п о п

г г

з2 Г (■ ч, , , 1

(Дит)" (Iх<1т + —^ / / д{(х, т) (Iх<1т

2 } } " 26'

о п о п

VТ )

о п о п

= 52 J J(Аут)2 ¿хс1т + J ! f2{x,т)Z2{т, и) с1хс1т

г

г

1 6

о п

6

Положим 5 = Получим неравенство — г

^ ¿У ¿х + ^ J [Ау(х,г)}2 ¿х + | J ^ (Аг;т)2 (1хс1т

¿

г

г

г

t t J f1{x,T)Z2 (т,и) dxdr—J j д\(х,т) dxdr o fi o fi

J+ 2 J[^'q{x)T dx- (11)

Используя неравенство

(ai + ■ ■■ + ap)2 < p(al + ■ ■■ + ap)

оценим Z2(t, u):

Z2(T,U3

m

4( J KAV,T)uT (V,r)dy 'fi

Ktt(y,r)u(y,r)dyj K(y,r)Au(y,r)dy

"fi fi

Далее,

^У KT (y,T)uT (y,r)dy^ KT (y,T)dy У uT (y,T)dy,

fifi

ktt( y,T)u(y,T)dy^ kTt( y,r)dy у -u2(y,T)dy,

fi fi

(У K(y, T)Au(y, t) dy^ ^ J K2(y,r)dyJ( Au)2 dy. fi fifi Имеют место неравенства (вследствие равенства u|s = 0)

У u2(y, T)dy < C ^ У u2. dy < C У [Au(y, t)]2 dy, fi Í=1 fi fi

У uT (y, T)dy < C ^ У uTy. dy < C У [Aut (y, t)]2 dy,

г г

и2т{у,т)ёуё,т ^ J J[Дит(у,т)]2 ¿уё,т о п о п

г

г

= С

2 М.

О п

\{у,т)(1х(1т < СС (У,т)(1у(1т,

о п

и (у, т) ЗуЗ;т ^ С / / [Ди(у, т)]2 дуЗ,т

о п

о п

г

= C2jj ^(у,т)йуйт < С J ! [^(у, т)]' ¿уйт, о п о п

г г г

2

[Ди(у, т)]' ¿ус!т = j j у, т) ¿уйт < С J у [Д^у, т)]' Лудт, о п о п о п

С С •

С помощью этих неравенств получаем оценку

т,и) < М2 ^ / ^^ у,т)3у + J ^т (у,т)йу •

Л=1 о о

Затем получим неравенство

п г

J ^ 2 !^х +J !(Аут)2 ¿хс1т

г=1

< ^!! [¿т (х,т)+^г-и2хАх,т)) ¿х О и V г=1 )

О П

г

¿т + М^ ! д\сЪйт, (12) о п

постоянная N в котором определяется функциями щ(х), щ(х), ф^), /(х,£), областью П, а также числом е.

г

г

г

Неравенства (9), (12) и лемма Гронуолла дают априорную оценку

решений краевой задачи (5£ja), (6), (7):

/П л П л

v (ът)*,* Е/<( x,T)dx + Е/vUx,tdx

Q г=1П i=1 Q

t

+ J[Av(x,t)}2 dx + e J J(AvT)2 dxdT < Д0, (13) n on

постоянная До в этой оценке определяется функциями g(x,t), щ(х), wi(x), f(x, t), областью ft, а также числом e.

Из оценки (13) и теоремы о методе продолжения по параметру следует, что при фиксированном e краевая задача (5£jT), (6), (7) разрешима в пространстве V для всех чисел А из отрезка [0,1]. Другими словами, краевая задача (5е), (6), (7) имеет решение ve(x,t), принадлежащее пространству V.

Действуя так же, как при получении оценки (12), но интегрируя по переменным xi,... ,xn в слагаемых с функциями q\(x,t) и f\(x,t), покажем, что для семейства функций {v£(x, t)} выполнено неравенство n t

.f <t{x,t) dx + J[Av(x,t)]2 dx + e J J(AvT)2 dxdT i=1 fi Q on

J J ivT(x,T)+ J2vlAx,T)j i

< N

dx

(IT

N gf(x,t) dxdT + Egi *>i(x,t), (14)

о fi

постоянная N в котором определяется функциями щ(х), щ(х), ф^), /(х, ¿) и областью П.

Используя лемму Гронуолла, из (14) получаем априорную оценку

Е/ vU M^/imm)]^ < ^

i

(15)

t

постоянная N в которой определяется функциями д(х,1), /(х,^, ф(Ь), щ(х), щ(х), с областью П. Очевидно, что

г

J^тт ¿хат < N. (16)

о п

Из оценок (15) и (16) следует, что в семействе х,1)} решений краевых задач (5е), (6), (7) можно переходить к пределу при е ^ 0. Предельная функция принадлежит пространству V) и представляет собой решение краевой задачи (5)-(7).

Функцию и{х,£) находим как решение задачи

Аи(х,~Ь) = \в = 0;

она определяется однозначно. Положим

6(х, £) = игг — Ди — /(х, — Z(t, и] — д(х, = а(Ь) — Z(t, и).

Получаем, что для функции 6(х, £) выполняются равенства

М(х,г) = 0, в(х,г)\з = 0.

Из этих равенств следует, что в(х,^ = 0, т. е. функция и(х,Ь) является решением уравнения (1).

Покажем, что для функции и{х,£) выполняются начальные и граничные условия (2), (3).

Положим р(х) = и(х,0) — ио(х). Имеем Д^(х) = 0 при х е О, р(х) = 0 при х е Г. Следовательно, ^(х) = 0 при х е О и выполнение для функции и(х,Ь) первого начального условия (2) доказано. Аналогично показывается выполнение для функции и{х,£) второго начального условия. Далее, поскольку 6(х, £) — тождественно нулевая в ф функция, при (х,1) е Б выполняется игг = 0. Отсюда и из равенств и(х,0) = 0,иг(х,0) = 0, справедливых при х е Г, следует выполнение для функции и(х,Ь) граничного условия (3).

Далее, выполняется равенство

K(x, t)u(x, t) dx — ф(t)

= 0.

tt

Положим

щ^/щ^л^ — т.

п

Условия согласования дают равенства

и '(о) = о, и(о) = 0.

Отсюда получаем и(£) = 0, что и означает совпадение функций п

при t е (0,Т).

Построенные функции и(х,^, дают решение исходной обратной задачи.

Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кожанов А. И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом поглощения // Докл. РАН. 2006. Т. 409, № 6. С. 740-743.

2. Кожанов А. И. Обратная задача определения коэффициента поглощения в одномерном уравнении нелинейной диффузии // Мат. заметки ЯГУ. 2008. Т. 15, вып. 2. С. 31-47.

3. Самарский А. А., Вабищевич П. Н., Васильев В. И. Итерационное решение ретроспективной обратной задачи теплопроводности // Мат. моделирование. 1997. Т. 9, № 5. С. 119-127.

4. Калинина Е. А. Численное исследование обратной задачи восстановления плотности источника двумерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии // Дальневост. мат. журн. 2004. Т. 5, № 1. С. 89-99.

5. Алексеев Г. В. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепломассопереноса // Докл. РАН. 2000. Т. 375, № 3. С. 315-319.

6. Prilepko А. L, Orlovsky D. G., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New-York: Marcel Dekker, Inc., 1999.

7. Tpеногин В. А. Функциональный анализ. M.: Наука, 1980.

8. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: Элм, 1985.

9. Kozbanov A. Г. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.

10. Ладыженская О. А., Уральцева H. H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

г. Якутск

25 октября 2010 г.