CC BY
15Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2014. Том 21, №2
УДК 517.946
ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ АНАЛОГОВ УРАВНЕНИЯ БУССИНЕСКА Г. В. Намсараева
Аннотация. Изучается разрешимость линейных обратных задач для уравнения
Буссинеска с неизвестным коэффициентом, зависящими от временной переменной t.
Для доказательства разрешимости задач используются два различных подхода.
Доказаны теоремы существования регулярных решений для данных задач.
Ключевые слова: уравнение Буссинеска, обратная задача, априорная оценка,
условия переопределения, существование.
Работа посвящена исследованию разрешимости линейных обратных задач для некоторых неклассических дифференциальных уравнений, моделирующих, в частности, уравнение Буссинеска — Лява, возникающее при описании продольных волн в стержнях, в теории длинных волн, в физике плазмы [1].
Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято называть задачи, в которых наряду с нахождением решения требуется отыскать входные данные, например коэффициенты уравнения или функции, определяющие начальные или граничные условия. Обратным задачам посвящены работы [2-6] и др.
Пусть О — интервал (0,1) оси Ox, Q — прямоугольник {(x,t) : x £ О, t £ (0,Т), 0 < Т < оо}. Пусть f(x,t), a(x,t), c{x,t), h(x,t), K(x,t), N(x,t) -заданные функции, определенные при x £ О, t £ [0, T].
Обратная задача I. Найти функции u(x,t) и q(t), связанные в прямоугольнике Q уравнением
utt + a(x, t)uxx - Uxxtt + c(x, t)u = f (x, t) + q(t)h(x, t), (1) при выполнении для функции u(x,t) условий
u(0,t) = 0, u(1,t) = 0, 0 <t<T, (2)
u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0, x £ О, (3)
ux (0,t)=0, 0 <t<T. (4)
Обратная задача II. Найти функции u(x,t), q(t), связанные в прямоугольнике Q уравнением (1), при выполнении для функции u(x,t) условия (3), а также условий
u(0, t) = 0, ux(1, t) = 0, 0 <t<T, (5)
ux(0,t)=0, 0 <t<T. (6)
© 2014 Намсараева Г. В.
Обратная задача III. Найти функции »(x,t), q(t), связанные в прямоугольнике Q уравнением (1), при выполнении для функции »(x, t) условий (2) и (3), а также условия
1
/к W)»^)= 0. О <(<Т. (7,
0
Обратные задачи I—III относятся к классу обратных задач временного типа. Подобные задачи для уравнения (1) ранее не изучались, отметим лишь, что в [7, 8] изучалась нелинейная обратная задача для уравнения Буссинеска — Лява в некотором специальном случае.
При исследовании разрешимости обратных задач используем два подхода. Суть первого подхода заключается в сведении обратной задачи к прямой, но нелокальной задаче, в которой нет неизвестного коэффициента. Подобные методы исследования применялись Ю. Я. Беловым, А. И. Кожановым, С. Г. Пят-ковым, Р. Р. Сафиулловой и оказались достаточно эффективными для доказательства разрешимости исследуемых задач [9,10].
Второй подход основан на переходе от рассматриваемой обратной задачи к новой, уже прямой задаче для уравнения более высокого порядка. При этом исключается неизвестный коэффициент в правой части. Эти методы неоднократно применялись ранее в ситуациях, отличных от изучаемых [11].
Выполним некоторые формальные построения. Для этого в уравнении (1) положим x = 0. Пусть выполняется условие h(0, t) = 0. Тогда из равенства
»tt(0, t) - »xxtt(0, t) + o(0, t)»xx(0, t) + c(0, t)u(0, t) = f (0, t) + q(t)h(0, t)
можно найти q(t):
m _ -uxxtt(0, t) + o(0, t)uxx{0, t) - /(0, t) q[)~ h(0,t)
Введем обозначения:
. , — h(x, t) , , o(0, t)h(x, t) „ , , „, , f (0,t)h(x,t)
= = h(o,t) ' = - hü ■
используя которые, придем к уравнению
»tt - »xxtt + o(x, t)»xx + c(x, t)» = ci(x, t)»xxtt(0, t) + C2(x, t)»xx(0, t) + fl(x, t). (8) Положим в (8) x = 1:
»tt(1, t) - »xxtt(1, t) + o(1, t)»xx(1, t) + c(1, t)»(1, t)
= ci(1,t)»xxtt(0,t) + c2(1,t)»xx(0,t) + fi(1,t). (9) Продифференцируем уравнение (8) по x и положим x = 0. Получим
»xtt(0, t) - »xxxtt(0, t) + Ox(0, t)»xx(0, t) + o(0, t)»xxx(0, t) + cx(0, t)»(0, t)
+ c(0, t)ux(0, t) = cix(0, t)uxxtt(0, t) + c2x(0, t)uxx(0, t) + flx(0, t). (10)
Пусть v = »xx. Тогда краевое условие (9) примет вид -vtt(1,t) = -o(1,t)v(1,t) + ci(1,t)vtt(0,t) + c2(1,t)v(0,t) + fi(1,t), (11)
а условие (10) преобразуется следующим образом:
- уМ0, г) = -ах(0, г)у(0, г) - о(0, г)Ух(0, г) + С1*(0, г)у«(0, г)
+ С2х(0,г)«(0,г) + ¡1Х(0,г). (12) Дважды продифференцировав уравнение (8) по х, получим
у а - Уххгг + охху + 2охух + оухх + сххп + 2схпх + су
= С1хх(х, г)у«(0, г) + С2хх(х, г)у(0,г) + Дхх(х,г). (13)
В результате вышеизложенных построений приходим к редуцированной нелокальной задаче для функций п(х,г) и у(х,г). Из доказательства разрешимости этой задачи следует разрешимость исходной обратной задачи I. Однако полученная нелокальная задача для уравнения вида (1) ранее не изучалась. Поэтому исследуем ее разрешимость в новых терминах. Введем обозначения:
ь1(х,г) = охх(х,г) + с(х,г), ь2(х,г) = 2ох(х, г), ьзз(х,г) = о(х,г), ь±(х,г) = Схх(х,г), ь5(х,г) = 2сх(х,г), ^\(х,г) = С1хх(х,г)уи(0,г) + С2хх(х,г)у(0,г) + Дхх(х,г), а1(г) = -о(1,г), а2(г) = сг(1,г), аз(г) = С1(1,г), <Мг) = /1(1,г), в1(г) = С2х(0,г) -ох(0,г), &(г) = -о(0,г), вз(г) = С1х(0,г), ^(г) = /1х(0,г).
Нелокальная задача I. Найти функции у(х, г) и п(х, г), которые удовлетворяют уравнениям
уц -Уххп+ь1 (х,г)у+ь2(х,г)Ух + ьз(х,г)Ухх + ь±(х,г)п+ь5(х,г)пх = (х, г), (14)
У = Пхх, (15)
а также условиям
-у«(1, г) = а1(г)у(1, г) + а2(г)у(0, г) + аз(г)у«(0, г) + ^(г), 0 < г < т, (16)
-Ух«(0,г) = в1(г)у(0,г) + &(г)Ух(0,г) + вз(гК(0,г) + ^х(г), 0 < г < т, (17)
у(ж, 0) = 0, у4(ж, 0) = 0, же И, (18)
п(1,г) = 0, пх(0,г) = 0, 0 <г<т. (19) Определим для дальнейшего исследования пространство
V = |у(х,г) : J (у2 + у2 + у2х + у2ххы) < ^ |. Я
Норму в этом пространстве определим естественным образом:
Я
Пусть ^¿(ж, £), г = 1,5, — заданные функции, определенные при
€ <5, C(j(t), /?;(£), j = 1,3, </?].(£), ~~ заданные функции, определенные
при г е [0,т].
Положим аз = тах |аз(г)|, вз = тах |вз(г) I. Пусть положительные числа Мх, М2, М3 определяются функциями ] = 1,5, скДж, £), г = 1,3,
к = 173.
Теорема 1. Пусть выполняются условия
е с(д), г = Т75, ^(х,г)£Ь2(Я), (20)
Ы*) е ¿2(10, т]), е ¿2(10, т]), (21)
Рз = 0- (22)
Тогда нелокальная задача (14)—(19) имеет решение и(ж, 4), «(ж, 4) такое, что и(ж, 4), «(ж, 4) е V.
Доказательство. Установим наличие подходящих априорных оценок решений настоящей задачи. Для получения «хороших» априорных оценок умножим уравнение (11), записанное в переменных ж и т, на функцию г>тт — г>ххтт и результат проинтегрируем от 0 до 4 по временной переменной т и от 0 до 1 — по пространственной ж. Проинтегрировав по частям, в силу граничных условий получим
г 1 г 1 г 1
«2т ¿ж^т + 2 J ! «2тт ¿ж^т + J ! «Ххтт ¿ж^т 0 0 0 0 0 0 г
— 2 УЫт)«(1,т) + а2(тМ0,т) + аз(тКт(0,т) + <МтЖтт(1,т) ¿т 0
г
+ ^ «тт (0, т )1в1(т )«(0,т)+ в2(т К (0, т)+ вз(т )«тт (0, т)+ ^(т)] ¿т
0
г 1
+ У j Ь1(ж,т)г>г>тт ¿ж^т + у j 62(ж,т)г>хг>тт ¿ж^т + j j 6з(ж,т)г>ххг>тт ¿ж^т
0 0 0 0 0 0 г 1 г 1 г 1
+ц ^т )и«тт ^+ц ^т к^ ^+ць1(ж,т ^ ^ 0 0 0 0 0 0 г 1 г 1 г 1
+ / / &2(ж,т«ххтт ¿ж^т + / / Ьз(ж, т«ххтт ¿ж^т + / / 64 (ж, т)и«Жхтт ¿ж^т
0 0 0 0 0 0 г 1 г 1
у 65 (ж, т )их«ххтт ¿ж^т = j у ^1(ж, т )1«тт — «ххтт ] ¿ж^т. 0 0 0 0 г
При оценке интеграла 2 / аз(т)г>тт(0,£)г>хтт(1, т) ¿т имеем
0
г г
2J аз(т)«тт(0, 4)«хтт(1,т) ¿т < 2аз У Кт(0,4)«Жтт(1,т)| ¿т
00
г г г 1
< У «2т(0,4) ¿т + У «Хтт(1,т) ¿т < У J «2тт ¿ж^т
г1
г1
t i t i t i + 2аз / / v^ dxdr + аз / / vXXTT dxdr + 2а3 / / «2ТТ dxdr,
откуда возникают условия аз < ^ или max |аз(£)| <
0 0 0 0 0 0 1 — max I—- 1
0<t<T
При оценке интеграла
t t
- 2 у вз(^2т(0, т) dr < 2вз J v2TT(0,т) dr 00
ti ti < 2Д35з J J v2xtt dxdr + 2/?з + J J v2TT dxdr 0 0 0 0
возникнет условие вз(£) = 0.
Остальные слагаемые оцениваются с помощью неравенства Юнга, неравенства
i i
uj2(x) < S J lü'2(x) dx + + —^ j uj2(x) dx, (*)
00 справедливого при всех x £ [0,1] (здесь S — произвольное положительное число), а также неравенств
ti ti
w2(x,r) dxdr < T 2¡f w2 (x,r) dxdr, (**)
0 0 0 0 ti ti
u2(x'r) dxdr < TIIv2(x,r) dxdr, (t) 0 0 0 0 ti t T i
j j w2(x,r) dxdr < T j j j w|(x,^) dxd^dr, (£)
0 0 0 0 0 справедливых при всех (x,t) £ Q.
После всех преобразований и упрощений приходим к неравенству ti ti ti
v2T dxdr + 2 j j v|TT dxdr + j j v2CXTT dxdr
0 0 0 0 0 0
(ti ti ti
J J v"^T dxdr + J J vXTT dxdr + J J v2CXTT dxdr
0 0 0 0 0 0
t T i t T i t T i
+ Ci j j j v¡t dxd^dr + C2 J J j vX55 dxd^dr + C3 j j j vxXX^^ dxd^dr + C0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 в котором óo — произвольное положительное число, числа C¿, г = 0,3, определяются функциями bj(x,t), j = 1,5, cti(x,t), í = 1,3, flk(x,t), к = 1,3, <fii(t), ^i(í), а также числом S0. Подбирая и фиксируя малое S0, получим
ti t т i
К + V^ + vl^) dxdr <cj J J (4 + ^ + dxdtdr + Со. (23) 0 0 0 0 0
Далее, по лемме Гронуолла имеет место оценка t i
(vtt + vItt + vLtt) dxdt < Co exp(TC), 0 0
откуда следует очевидное неравенство
IMIV + MV < C. (24)
Воспользуемся методом продолжения по параметру. Пусть А £ [0,1]. Рассмотрим задачу: найти функции u(x,t) и v(x,t), удовлетворяющие в прямоугольнике Q уравнению
Vtt - Vxxtt + bl (x, t)v + (x, t)vx + 63 (x, t) Vxx = F (x, t) - А[&4 (x, t)u + b5 (x, i)ux],
(14л)
а также условиям (18), (19) и -vtt(1, t) = A[ai(t)v(1, t) + a2(t)v(0, t) + аз(Ф«(0, t)] + ^i(t), 0 < t < T, (16л) -vxtt(0,t) = A[ei(t)v(0,t)+ ^2(t)vx (0,t)+ 03(t)vtt(0,t)]+ ^i(t), 0 <t <T. (17л)
Обозначим через Л множество тех чисел А, для которых краевая задача (14л), (16л), (17л), (15), (18) и (19) разрешима в пространстве V для произвольной функции F1 (x, t) £ L2(Q) и функций ^i(t) и (t) из пространства W21([0, T]). Если будет доказано, что множество Л непусто, открыто и замкнуто (в топологии отрезка [0,1]), то оно будет совпадать со всем отрезком [0,1].
Непустота Л очевидна, так как число 0 принадлежит ему [12]. Открытость и замкнутость следуют из априорных оценок, полученных выше. Отсюда по теореме о методе продолжения по параметру [13] краевая задача (14л), (16А), (17л), (15), (18), (19) разрешима для А £ [0,1].
Вернемся к нелокальной задаче, полученной редукцией исходной обратной задачи.
Пусть положительные числа Ci, C2, C3 определяются функциями a(x,t), c(x, t), ci(x, t), c2(x,t), fi(x,t).
Сформулируем задачу: найти функции v(x, t) и u(x, t), которые удовлетворяют уравнениям (13) и (15), а также условиям (11), (12), (18) и (19).
Теорема 1'. Пусть выполняются условия
а(х, t) G C2(Q), с(х, t) G C2(Q), h{x, t) G C2(Q), (25)
fi(x,t) £ L2(Q), fix(x,t)£ L2(Q), fixx(x,t) £ L2([0,T]), (26)
<\, te[0,T}. (27)
h(0, t) = 0, max o< t<T
h(1,t)
^(0,4)
Тогда нелокальная задача (13), (15), (11), (12), (18) и (19) имеет решение г>(ж, 4) и и(х,4) такое, что г>(х, 4), и(х, 4) С V.
Доказательство. Повторяя доказательство теоремы 1, т. е. умножая уравнение (12), записанное в переменных х и т, на функцию г>т — г>хжт, и результат интегрируя от 0 до 4 по временной переменной и от 0 до 1 — по пространственной переменной и воспользовавшись краевыми условиями (10) и (11), условиями теоремы, неравенством Юнга, неравенством (*), представлением (**), а также леммой Гронуолла, придем к оценке вида (24). Из этой оценки и теоремы о методе продолжения по параметру следует разрешимость задачи (13), (15), (11), (12), (18) и (19). Теорема доказана.
Перейдем к изучению разрешимости исходной обратной задачи I.
Теорема 2. Пусть выполняются все условия теоремы 1'. Тогда обратная задача I имеет решение и(ж, 4) и д(4) такое, что и(ж, 4) € V, д(4) € Ь2([0, Т]).
Доказательство. Пусть функции и(ж, 4) и «(ж, 4) — решение нелокальной задачи, редуцированной из обратной задачи (12), (14), (10), (11), (17) и (18). Положим
ад(ж, 4) = пи - иххг + а(ж, 4)ихх + с(ж, 4)и
- Ь1(ж,4)иххх<(0,4) - &2(ж,4)иххх(0,4) - Ьэ(ж, ¿)ихх(0,4) - Л(ж,4).
Имеют место равенства
№хх(ж, 4) = 0, (ж, 4) € д, Вдх(0, 4) = ад(1,4) = 0, 0 < 4 < Т,
из которых следует, что ад(ж,4) = 0 в д. Положим
(0, 4) + а(0, 4)иххх(0, 4) + ах(0, 4)ихх(0, 4) - /х(0, 4)
9(4) =
М0,*)
Очевидно, что функции и(ж,4) и д(4) связаны в прямоугольнике д уравнением (1). Осталось показать, что выполняется условие и(0,4) = 0. Положим в (1) ж = 0. Получим и«(0,4) + с(0,4)и(0, 4) = 0. Из этого равенства и условия и(0, 0) = 0 следует и(0, 4) = 0. Принадлежность и(ж, 4) и д(4) требуемым классам очевидна. Теорема доказана.
Перейдем к исследованию разрешимости обратной задачи II. Для упрощения выкладок, формулировки и доказательства теоремы введем обозначения:
/ \ / \ а(ж, 4)Лх(ж, 4) . ч . ч /х(ж, 4)
ацж, Ь) = ах(х, Ь)--—---, а2(ж, Ь) = а(х, £), аз (ж, = ——-—,
/(ж, 4) /(ж, 4)
, \ /х(ж, 4) ✓ ч ✓ ч с(ж, 4)/х(ж, 4) , ч , ч
а4(ж, £) =————, а5(ж, Ь) = сх(х,1)--——--, а6(ж, Ь) = с(ж, £),
/(ж, 4) /(ж, 4)
/х(ж, 4)/(ж, 4) - /(ж,4)/х(ж,4) = -
/(ж, 4)
Пусть а4 = тах |&4(ж, 4) |. Q
Теорема 3. Пусть выполняются условия
(и(х,г) ¿ = ТД /х(жД)б12(д), (28)
/г(ж,£)^0, (ж^)ед, (29)
азх(ж, 4) < 0. (30)
Й4 < 1. (31)
Тогда обратная задача II имеет решение и(ж, 4), д(4) такое, что и(ж,4) € V, 9(4) € ¿2([0, Т]).
Доказательство. Выполним некоторые формальные построения. Пусть Л.(ж, £) ^ 0 при (ж, £) (Е <5- Разделим уравнение (1) на Л.(ж,£):
1 г / N / N , /(ж, 4)
-[им + а(х,1)ихх - иххи + с(ж,£)и] = ——- + (32)
ж, 4) /(ж, 4
Продифференцируем (32) по х:
ихгг + дх{х, ¿)цжж + д(х, 1)иххх - ихххи + сх{X, Ь)и + с(Ж, ¿)цж
н(х, г)
[(пгг + о(х, г)пхх - пххы + с(х, г)п]Нх(х, г) /х(х, г)Н(х, г) - /(х, г)Нх(х, г)
н2(х,г) н2(х,г)
Рассмотрим следующую вспомогательную краевую задачу: найти функции п(х, г) и у(х, г), связанные в прямоугольнике Q уравнениями
у(х, г) = пх(х,г), (33)
У« - Уххгг + о1(х, г)Ух + о2(х, г)Ухх + оз(х, г)Ухгг
+ о4(х, г)пгг + о5(х, г)п + об(х, г)пх = /1(х, г), (34) при выполнении для п(х, г) и у(х, г) условий:
п(0,г) = 0, 0<г<т, (35)
у(х, 0) = 0, уг(х, 0) = 0, х е П, (36)
у(0, г) = 0, у(1, г) = 0, 0 <г< т. (37)
Разрешимость данной краевой задачи покажем с помощью метода продолжения по параметру. Пусть Л е [0,1]. Рассмотрим задачу: найти функции п(х,г) и у(х,г), удовлетворяющие в прямоугольнике Q уравнению (33) и уравнению
Уц - Уххгг + о2 (х, г)Ухх + Л[о1(х,г)Ух + оз(х, г)Ухгг + о4(х, г)щг + о5(х,г)п + ов(х, г)пх] = /1(х,г). (34а)
Для получения «хороших» априорных оценок умножим уравнение (34д), записанное в переменных х и т, на функцию ут - уххт + утт и результат проинтегрируем от 0 до г по временной переменной и от 0 до 1 — по пространственной переменной.
Применяя интегрирование по частям и начальные и краевые условия, получим
1 1 1 г 1 г 1
\ I ^ *) ¿х+1 14хЛх, *) ¿х+11ШТ+] I ^ <Ь*т
0 0 0 0 0 0 0 г 1 г 1 г 1
о1(х,т)ухут в,хв,т - / о2(х,т)уххут в,хв,т - / оз(х,т)ухттут в,хв,т
0 0 0 0 0 0 г 1 г 1 г 1
о4(х,т)пттут в,хв,т - / о5(х,т)пут в,хв,т - / об(х,т)пхут в,хв,т
0 0 0 0 0 0 г 1 г 1 г 1
+1 I о1(х,т )Ух Уххт <1х<1т + ^ ! о2(х,т )Ухх Уххт <1х<1т + ^ J оз(х, т )Ухтт Уххт <1х<1т 0 0 0 0 0 0 г 1 г 1 г 1
+ J ! о4(х,т)пттУххт йхйт + J ! о5(х,т)пуххт йхйт + J ! об(х,т)пхУххт йхйт 0 0 0 0 0 0
t i t i t i
ai(x,r)vxvTT dxdr — / a2(x,r)vxxvTT dxdr — / a3(x,r)vxTTvTT dxdr
0 0 0 0 0 0 t 1 t 1 t 1
a4(x,T)uTTvTT dxdr — / a^(x,r)uvTT dxdr — / a6(x, т)uxvTT dxdr
0 0 0 0 0 0 г 1 г 1
+ J ! /1(х,т)[ут - Уххт + утт] ¿х^т - J ! о4(х, т)пттутт dxdт. 0 0 0 0 Рассмотрим, например, оценку одного из интегралов в правой части: г 1 г
2
a3(x,r)vXTTvTT dxdr = j a3(1,r(1,r) dr
0 0 0 t t 1 ,,2
— J a3(0, r)v2T(0, r) dr — J j[a3x(x, r)vTT + a3(x,r)vxtt]vTt dxdr.
0 0 0 Учитывая условия (37), получим
t 1 t 1
1 ' '
3x
a3(x, t)vxttvtt dxdr = — — j j a3x(x,T)vTT dxdr.
0 0 0 0 Отсюда возникает необходимость выполнения условия (30).
В силу условия (31) последнее слагаемое в правой части оценивается так: t 1 t 1
a4(x, r)uTTvTT dxdr < a4 j j |uTTvTT| dxdr
0 0 0 0
t 1 t 1
"IT JJ J j vT~t dxdr.
0 0 0 0 К остальным интегралам в правой части данного равенства применим неравенство Юнга, неравенство (*), а также представление (**). После всех преобразований и упрощений получим
1 1 1 t 1
\ J vUx, t)dx + J ^(х, t)dx + \j vlxt{x, t)dx + JJ + dxdr
0 0 0 0 0 t 1 t 1
< A J J (vt2 + v2t + vLT ) dxdr + 50 f f Ы2tt + v2T) dxdr, 0 0 0 0 где S0 — произвольное положительное число, число A определяется функциями üj(x,t), j = 1,6, fi(t), а также числами Т и 6'0. Подбирая и фиксируя число ¿0 малым и применяя далее лемму Гронуолла, получаем, что имеет место априорная оценка
1 1 1 t 1
- J Vt(x,t)dx + J vxt(x,t)d,x + - j vxxt(x,t)d,x + j J (vXTT + v2T) dxdr < M 0 0 0 0 0
с постоянной М, определяющейся функциями a,j(x,t), j = 1,6, fi(t), а также числами T и ¿1.
Из (38) следует очевидная оценка
IMIV + MV < C, (39)
которая показывает, что задача (33), (34д), (35)—(37) разрешима при Л £ (0,1), так как она разрешима при Л = 0 [12]. Очевидно, что разрешима и обратная задача II. При этом функция q(t) определяется с помощью формулы
q(t) = —j— MO, t) + o(0, t)uxx(0, t) - uxxtt{0, t) + c(0, t)u(0, t)} - {M.
Теорема доказана.
Перейдем к изучению разрешимости обратной задачи III. Положим
7711 = 1-----
2 2'
2^2 V <W 2S2V Sj 2S2 V SßJ 25? V Sb
= 1 Kl02 K2Öi KsÖ6 6* KiSs 7713 2S2 2S§ 2 2 2S2 '
Здесь Si, i = 1,8, — некоторые фиксированные положительные числа, величины которых будут уточнены ниже, а числа Kj, j = 1,4, зависят от значений функций h(x,t) и K(x, t).
Теорема 4. Пусть выполняются условия
a(x,t)eC(Q), c(x,t)eC(Q), h{x,t)&C{Q), (40)
f (x,t) G L?(Q), (41)
1
IK (x-Wx,"= 0 (42)
0
и существуют положительные числа Si, i = 1,8, такие, что
m1 > 0, m2 > 0, m3 > 0. (43)
Тогда обратная задача III имеет решение u(x, t), q(t) такое, что u(x,t) G V, q(t) G L2([0,T]).
Доказательство. Проведем некоторые формальные построения, касающиеся обратной задачи III.
Умножим уравнении (1) на K(x, t) и проинтегрируем от 0 до 1 по пространственной переменной. Получим равенство
11 1
j K(x, t)utt(x, t) dx + j K(x, t)a(x, t)uxx(x, t) dx — J K(x, t)uxxtt(x, t) dx
0 0 0 1 11
+ / K(X, ЧС,, t)»(x. .) dx = / K(X, t)f (X, ^ + qM / K(X, Mx, .) dx (44)
Обозначим
1
Пусть Ь1(г) = 0 для г е [0, т]. Используя равенства
J К(х, 1)ии{х, I) Ах = J К(х, 1)и{х, I) в,х — 2 J К^х, 1)щ{х, I) в,х
0 [0 0
1 11
-IКФ., 0 = -2/ №. г^,«, -I Кгг(х, ад^«, ^
0 0 0
1 1 J к ( х,г)о ( х,г)пхх ( х,г) ¿х = - J ( к ( х,г)о ( х,г))хпх (х,г) ¿х 00
+ к(1, г)о(1, г)пх(1, г) ¿х - к(0, г)о(0, г)пх(0, г) ¿х,
1 1
К(х,г)пххгг(х,г) ¿х = -J Кх(х,г)пххг(х,г) ¿х
0
вычислим д(г): 1
+ К(1, г)пхгг(1, г) ¿х - К(0, г)пхгг(0, г) ¿х,
?(г) =
мг)
- 2! Кг(х,г)пг (х,г) ¿х-/Кгг(х,г)п(х,г) ¿х 00
- ^ (К (х, г)о(х, г))х пх(х, г) ¿х + К (1, г)о(1, г)пх(1, г) ¿х - К (0, г)о(0, г)пх(0, г) ¿х 0
1
- / Kx(x, г)nxxг(x, г) ¿х + К (1, г)пхгг(1, г) ¿х - К (0, г)пхгг(0, г) ¿х 0
1 1
+ / К(х, г)с(х, ')п(х, ^ -/ К(х,<)
00 Пусть Л — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим следующую вспомогательную краевую задачу: найти функцию п(х, г) , удовлетворяющую в прямоугольнике Q уравнению
пгг + о(х, г)пхх - Пххгг + с(х, г)п
Г 1
ь(х, г)
/(М) + А-
Мг)
- 2 /Кг{х, Ь)щ(х, г) ¿х- /Ки{х, Ь)и(х, г) ¿х
1
- ^ (К (х, г)о(х, г))х пх(х, г) ¿х + К (1, г)о(1, г)пх(1, г) ¿х - К (0, г)о(0, г)пх(0, г) ¿х
1
1
1
1
1
1
Ч Кх(ж^(ж ¿ж+к (1, <)и^(1,¿ж - к (0,4)ихгг(0,¿ж
о
1 1
+ / к (..«.(мм.,« -/ к (ж,<)/(.,<)
(44»)
а также условиям (2), (3).
Для получения «хороших» априорных оценок умножим уравнение (44»), записанное в переменных ж и т, на функцию итт - иххтт и результат проинтегрируем от 0 до 4 по временной переменной и от 0 до 1 — по пространственной переменной. Применяя интегрирование по частям и условия (43), (2) и (3), имеем
г 1 < 1 < 1
то^ У J ¿ж^т + т2 J ! «хтт ¿ж^т + т3 J «2хтт ¿ж^т
оо оо оо
(г 1 г 1 г 1
J ! ¿ж^т + J ! «2тт ¿ж^т + J ! «2хтт ¿ж^т
о о о о о о
г т 1 г т 1 г т 1
+ С1 J J ! г^ + С2 J ! J + С3 J ! J и2^ + Со,
о о о о о о о о о
где ¿д — произвольное положительное число, числа С», г = 1,3, определяются функциями а(ж,4), с(ж, 4), / (ж, 4), /(ж, 4), К (ж, 4). Поскольку числа т1, т2, тз положительны, фиксируя j = 1,9, настолько малыми, что тох — <5д > О, т2 - ¿д > 0, тз - ¿д > 0, получим
г 1 г т 1
("гг + "ятт + <&,тт) <С 111 (4 + + «2Х??) + С'0. (45)
о о о о о
Далее по лемме Гронуолла имеет место оценка г 1
(у2т + у2хтт + у2ххтт) йхйт+ < Со ехр(ТС),
оо
откуда следует
"и, ^
Непустота Л очевидна: при выполнении условий (40), (41) вспомогательная задача имеет решение и(ж,4), принадлежащее пространству V. Открытость и замкнутость следуют из априорных оценок, полученных выше [12].
Тем самым по теореме о продолжении по параметру вспомогательная задача разрешима для Л € [0,1] [13].
Перейдем к доказательству разрешимости обратной задачи. Покажем, что решение вспомогательной задачи есть решение обратной задачи. Положим
< С. (46)
кМИМ) ¿ж.
Умножим уравнение (1) на K(x,t) и проинтегрируем от 0 до 1 по переменной x. Получим w''(t) = 0. Проинтегрируем выражение от 0 до t по переменной т:
t
J w''(т) dT = 0. о
Учитывая, что w'(0) = 0, имеем w'(t) = 0. Тогда
t
j w'(t)dT = 0. о
Поскольку w(0) = 0, получим w(t) = 0, т. е.
1
IK (xt)"(xi) dx = "•
о
что и требовалось.
Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Демиденко Г. В., Успенский С. В. Уравнения и системы, неразрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Науч. книга, 1998.
2. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York; Basel: Marcell Dekker Inc., 2000.
3. Anikonov Yu. E. Inverse and ill-posed problems. Utrecht: VSP, 1997.
4. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type. Lviv: VNTL Publ., 2003. (Math. Stud. Monogr. Ser.; V. 10).
5. Belov Yu. Ya. Inverse problems for partial differential equations. Utrecht: VSP, 2002.
6. Kozhanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.
7. Мегралиев Я. Т. Обратная краевая задача для уравнения Буссинеска — Лява с дополнительным интегральным условием // Сиб. журн. индустр. математики. 2013. Т. 16, № 1. С. 75-83.
8. Мегралиев Я. Т., Ализаде Ф. Х. Обратная краевая задача для одного уравнения Буссинеска с интегральным условием // Чебышевский сб. 2013. Т. 14, № 4. С. 167-179.
9. Pyatkov S. G. Operator theory. Nonclassical problems. Utrecht: VSP, 2002.
10. Кожанов А. И. О разрешимости обратных задач восстановления коэффициентов в уравнениях составного типа // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2008. Т. 8, № 2. С. 81-99.
11. Кожанов А. И. О разрешимости коэффициентных обратных задач для некоторых уравнений соболевского типа // Науч. ведомости Белгород. гос. ун-та. Математика. Физика. 2010. Т. 18, № 5. С. 88-98.
12. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: Элм, 1985.
13. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.
Статья поступила 10 сентября 2014 г. Намсараева Гэрэлма Владимировна
Восточно-Сибирский гос. университет технологий и управления, ул. Ключевская, 40В, строение 1, Улан-Удэ 670013 [email protected]
