Исследование обратной задачи для уравнения третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

ИССЛЕДОВАНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА*)

Н, Н, Николаев

Работа посвящена исследованию разрешимости линейных обратных задач для уравнений третьего порядка, называемых эллиптико-параболическими, или же (2/+ 1)-параболическими (при 1 = 0 эти уравнения являются обычными параболическими) [1,2]. Заметим, что для параболических уравнений линейные и нелинейные обратные задачи хорошо изучены (см., например, [3-7]), но для (21+ 1)-параболических при 1 > 0 это не так.

Пусть Л — ограниченная область пространства М" с гладкой границей Г, Б = Г х (0,Т), Q — цилиндр П х (О, Т) конечной высоты Т. Далее, пусть Нк(х, ¿), к = 1,..., ш, Н(х,1), с(х), /(х,£), — заданные функции, определенные при ж (Е 0, £ (Е [О, Т], ¿1,..., ¿т — заданные числа такие, что О < < ■ ■ ■ <Ьт ^ Т.

Обратная задача I. Найти функции и(х,£), ®_(х),..., дт(х), связанные в цилиндре Q уравнением

т

иш + Ди - с(х)и = /(х,г) + х)нк{ х,г), (1)

к=1

при выполнении для функции и(х, краевых условий

и(х, 0) = и4(х, 0) = и(х, Т) = 0, х ££ П, (2)

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2012-2014 гг. (проект № 4402) и фцд «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 20092013 гг. (ГК № 02.740.11.0609).

©2012 Николаев Н. Н.

и{х,1)\3 = 0, (3)

а также условий переопределения

и{х, = О, к = ... ,т, х € О. (4)

Обратная задача II. Найти функции и(х,Ь) и ^х), связанные в цилиндре Q уравнением

щи + Ди — с(х)и = /(х,Ь) + ц(х)Н(х,~Ь), (5)

при выполнении для функции и(х,Ь) краевых условий (2), (3), а также условия переопределения т

J к(г)и(х, г)л = о, х е о. (6)

о

Рассмотрим обратную задачу I. Выполним некоторые формальные действия. Положим в (1) поочередно Ь = ] = 1,..., т, и пусть определитель матрицы {/гд;(ж, отличен от нуля всюду в П. Тогда после несложных выкладок нетрудно получить равенства

т

х) = ак( + х)иш{ х,Ь]), к = 1,...,т, (7)

¿=1

с некоторыми вполне определенными функциями х) и ву(х), вы~ числяемыми через функции /(х, и Л.к( х, к^ = 1,... ,т.

Подставляя (7) в (1), получим «нагруженное» [8,9] уравнение

т

иш + Ди — с{х)и = + к( х,Ь)иш{ х,Ьк), (8)

к=1

где

тт

к{х,Ь) = 1{х,Ь) + ^а^ х)йк( ЬЛ к( х,Ь) = х)Н^ х,Ь).

к=1 з=1

Пусть выполняются условия

/(х,0) = /4(х,0) = /(х,Т) = 0, хеп,

Ьк(х, 0) = 0) = кк(х, Т) = 0, х £ Л, к=1,...,тп. При этом имеют место равенства

иш(х, 0) = щш(х, 0) = иш(х, Т) = 0, х £ О. (9)

Дифференцируя уравнение (8) трижды по Ь, обозначая у(х, Ь) = иш(х,Ь), Нк(х,Ь) = Н\кш{х,Ь), а также учитывая равенства (9), приходим к следующей задаче: найти функцию у(х,Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

т

г>ш + ^ - с(х)у = д(х,Ь) + ^ ^к(х, Ь)у(х,Ьк) (Ю)

к

и такую, что для нее выполняются условия

у(х,0) = х,0) = у(х, Т) = 0, х £П, (11)

у(х,Ь) |5 = 0. (12)

Покажем, что эта задача разрешима при определенных условиях в пространстве V = '3 {$). Для этого воспользуемся методом продолжения по параметру. Пусть А — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим задачу: найти функцию у(х,Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

ут + Ду - с(х)у = д(х,Ь) + А

х,Ь)у{х,Ьк)

к

(13)

и такую, что для нее выполняются условия (11) и (12).

Если при А = 0 задача разрешима в пространстве V и имеет место априорная оценка в том же пространстве, то задача разрешима при А £ [0,1] [10].

т

Для краткости обозначим Ф(х,Ь) = ^ Нк(х,Ь)у(х,Ьк).

к

При А = 0 задача разрешима в пространстве V [1,2,11].

Рассмотрим равенство т

+ А. — фМК^

о п

т т

= ^ J J гтт + Ау)ё,хё,т + ! J д(х,г)(уттт + Ау)ё,хё,т. (14) о п о п

Применяя формулу интегрирования по частям, а также учитывая краевые условия (11), (12), данное равенство можно привести к виду

т т п

J ! V2ттт dxdт ^ J !(Ау)2 <1х<1т + У^ J у2х.%{х, Т) ¿х о п о п ®=1 п

п т т

+ — у с(х)у2(х, Т) (1х + J ! С(Х)Ух± <1хс1т — — J ! Ас(ж)у2 <1х<1т п ®=1 о п о п

т т

= J Ф(уттт + Ау) ¿хЖг + J J д(х,т)(уттт + Ау)<1х(1т. о п о п

Применяя неравенство Юнга, полученное равенство можем преобразовать в неравенство

т т п

J ! .ттт ¿хйт + J !(Ау)2 ¿х<1т + У^ J х, Т) ¿х о п о п ®=1 п

1 п т I т

+ — J с(х)у2 (ж, Т) (],х + J ! с(х)у2х. (1х<1т — — J ! Ас(х)у2 ¿х<1т

п ®=1 о п о п

9 т т т

^ ~2 J J Уттт ^(¿Г + J ! д2{х,т) <1х<1т + ! J (Ау)2 <1хс1т о п 1 о п о п

т т т

+ 7^2 J ! 92 (х, т) ¿хйт + У У «ттг <Ь*Г + 7^2 Ц^ 2 о п о п 3 о п

т т

У У У (Аг;)2 сШт +7^1 ] ф2 <~1х<~1т-о п 4 о п

Положим Нко = щах\Нк(х,1)\. Тогда Я

кк

||ф2 йх¿Т ^ ш^^ н10 J ! V2 (х, Ьк) ¿хйЬ

к

т ,,

= шТ^к20 / у2(х,Ьк) йх. к

Имеет место неравенство

т

J у2(х,Ь)йх ^ 2Т4(1 + Т2) У У уТтт йхйт. п о п

Учитывая его, получаем

т т п

У У уТтт йхйт + У У (Ау)2 йхйт + У х, Т) йх о п о п ®=1 п

п т т

+ — У с(х)у2 (ж, Т) д,х + у у с(х)у2. (1хс1т — — У У Ас(ж)г;2 ¿х<1т

п - о п о п

9 т т т

< У У У2ттд,хд,т+-^ У У д2(х,т) <1хс1т + J ^(АV)2 д,хд,т

о п 1 о п о п

т т

+ 7^2 у у 92{х,т) (1хс1т + У У у2тт(1х(1т

о п о п

т т т

¿2тТ5(1 + Т2) £ 11 (]х(]т + 111{Ау)2 (]х(1т

к

„-. т

262

2тТ5(1 + Т2)^ Чо / I У9ттт ¿хат.

Положим Кд = 2тоТ5(1 + Т2) ^ 1г2к 0, и пусть Ко < ^.

к

Пусть выполняются условия

с(х) > Со > О, Ас(х) < О, X € О. 66

2 2 \2 2 4

Тогда

т т п

J ! У2^тт <1х<1т + J !(Ду)2 ¿х<т + J у2х. ¿(х,Т)а.х + J VI (х, Т) ¿х о п о п ®=1 п п

п т т

®=1 о п о п

где С — постоянная, зависящая от функций Нк(х, Ь), к = 1,..., т.

Из оценки (15) согласно теореме о методе продолжения по параметру [10] следует, что краевая задача (13), (11), (12) разрешима в пространстве V при всех Л из отрезка [0,1]. В частности, получаем, что разрешимой в пространстве V будет задача (10)—(12).

Покажем, что с помощью решения у(х,Ь) можно построить решение {и(х, Ь), ^(х,... ,Чт{х)} исходной обратной задачи (1)-(4). Имеем

у(х,Ь) = иш{ х,Ь),

и(х, 0) = щ(х, 0) = и{х, Т) = 0, х € О,

и(х,Ь)= 0.

Из этих равенств находим функцию и{х,Ь). Далее, имеет место равенство

Для ш(х,£) выполняются соотношения

и(х,0) = ш(х, Т) = х, 0) = 0.

Отсюда ш{х,Ь) = 0 в ^ Следовательно, функция и(х,£) является в Q решением уравнения (8).

Выполнение для функции и{х,£) условий переопределения (4) показывается так же, как ив [6]. Тем самым имеет место

Теорема 1. Пусть выполняются условия

ЯхЛМх,г) е

нк( х,г), ны{ х,ь), нш{ х,ь), нкш{ х,г) е к = \,...,ш,

/(х,0) = /4(х,0) = /(х,Т) = 0, жеП, Нк(х, 0) = Ны(х, 0) = Нк(х, Т) = 0, х £ П, к=1,...,ш, с(х) > с0 > 0, Ас(х) < 0, X € П,

Тогда обратная задача (1)-(4) имеет решение {и(х,Ь), д\{х),..., дт(х)} такое, что

и(х,~Ь) е V, дк(х) е ^(П), к=\,...,ш.

Положим

т

{х,г) = иш + Аи - с(х)и - Ь{х,Ь) - Ьк(х,г)иш{х,Ьк).

к

det ({Ьк(х,^)}^=1)\ > т0 > 0, ж € П.

Перейдем к обратной задаче II.

Умножим уравнение (5) на К(Ь) и проинтегрируем его по Ь. Полу-

чим т

к(г)иш л + ! к(г)АиА — с(х)! к(г)иА

о

т

о о

Используя условие (6), перепишем полученное равенство в виде т

J К(Ь)иш ¿Ь = ^(х) + ^х)^(х), о

где

т т

^(х) = J к(г)/(х,г)А, в1(х) = J к{ь )Н(х,г )Л.

о о

Отсюда найдем ^х):

(т \ т

-а1(ж) + J К(Ь)ишдЛ = а(х) + ¡3(х) ^ К(Ь)иш&, о / о

где а(ж) = ¡3(х) = и /^(ж) ф 0 при ж € О. Подставим ц{х)

в исходное уравнение (5). Получим

Л - т I

иш + Ди — с{х)и = /(х,Ь) + I а^) + Жх / К(Ь)иш ¿Ь I Н{х,Ь).

V о /

Обозначим

/(х,Ь ) = /(х,Ь ) + а(х)Н(х,Ь ), Н{х,Ь ) = [3(х)Н(х,Ь ).

и х,

юся в цилиндре Q решением уравнения

т

и,„ + Л» — ^/М + ^/^Ктт (16,

О

при выполнении для функции и{х,Ь) краевых условий (2)—(3).

Покажем, что эта задача разрешима при определенных условиях в пространстве V = '3 Для доказательства ее разрешимости вновь воспользуемся методом продолжения по параметру. Пусть Л — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим задачу: найти функцию и(х,Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

т

иш + Аи — с{х)и = + ХН(х,Ь) J К{г)иттт йт (17)

о

н такую, что для нее выполняются условия (2) и (3).

Если при Л = 0 задача разрешима в пространстве V и имеет место априорная оценка в том же пространстве, то задача разрешима при Л е [0,1] [10]. При Л = 0 задача разрешима в пространстве V [1,2,11]. Рассмотрим равенство

т т

J !\иш + Ди — с(х)и)(иш + Аи) йх& = J J }{х,1)(иш + Аи) йхйЬ о п о п

т / т \

^лJ J Н(х,Ь) ^J К(г)иттт йт I (иш + Аи)йх&. о п \о /

Применяя формулу интегрирования по частям, а также учитывая краевые условия (2), (3), данное равенство можно привести к виду

т

и

о п о п

J ! и^и МхМ, + J !(Аи)2йх& + ^2 J х,Т) йх о п ®=1 п

п т

+- — J с(х)и1 (х, Т) йх + ^^ J ! с(х)иХх. МхМ,

п ®=1 о п

т т

т / т

+ J Н(х,Ь) ¡J К(т)иттт¿т | (иш + Аи)ё,х(И. о п \о

Используя неравенства Юнга и Гёльдера, полученное равенство можем преобразовать в неравенство т т п

J ! и^и dxdt + J J(Ли)2 ¿х& + J и2х.2{х,Т)3,х о п о п ®=1 п

1 п т ! т

+ —У с(х)и2(х, Г) <],х + J ! с(х)и^,. с1х<М — — J ! Ас(х)и2 с1х<М

п ®=1 о п о п

т т т

^ У У м2И с1х<М + У У /2(ж, £) с1х<М + У У (Дм)2 (1х<М о п 1 о п о п

т т

+ 7^2 У У Р(х^)(1х& + у у ь2мд,хЖ

" о п о п

9 т

+ ^ У У (Ам)2 <1х&

о п

+ |У М2(х, Ь)Л I |У К2(Ь)&\ и и2ш{ х,Ь)Л | ¿х.

4 п \о / \о / \о

Положим

т т

= тах / /г(ж, ¿) Л, Ко = тах / К2(1) Л, Мо = НоКо, д ] д ]

о о

и пусть Мо < 77. Пусть выполняются условия

с(ж) > с0 > 0, Дс(ж) <0, ж € О.

Зафиксируем

т

т

+ 5//

П

ЦиЧхМ < С11/1 (18)

гЛ йхА Н—

хг 2

о п

где С — постоянная, зависящая от функции Н{х,Ь) и

Из оценки (18) согласно теореме о методе продолжения по параметру следует, что краевая задача (17), (2), (3) разрешима в пространстве V при всех Л из отрезка [0,1]. В частности, получаем, что разрешимой в пространстве V будет задача (16), (2), (3). Решение и(х,Ь) этой задачи и функция д(х), определенная равенством

о

дадут исходное решение обратной задачи II. Выполнение условия переопределения показывается так же, как ив [7]. Обозначим

т

т

т

о

Теорема 2. Пусть выполняются условия

о

/(х,г) е н(х,г) е ЫЯ),

|/?1(ж)| > Д > 0, с(ж)>со>0, Дс( ж)<0, же о, Но К о < 1.

Тогда обратная задача (5), (2), (3), (6) имеет решение u(x, t), q(x) такое, что

u(x,t) G V, q(x) G L2(0).

Доказательство этой теоремы следует из вышеприведенных рассуждений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дубинский Ю. А. Квазилинейные эллиитико-иараболические уравнения // Мат. сб. 1968. Т. 77, № 3. С. 354-389.

2. Дубинский Ю. А. Краевые задачи для некоторых классов дифференциально-операторных уравнений высокого порядка // Докл. АН СССР. 1971. Т. 196, № 1. С. 32-34^

3. Prilepko А. Г., Orlovsky D. G., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York; Basel: Marcel Dekker, Inc., 1999.

4. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type. L'viv: VNTL Publ., 2003.

5. Belov Yu. Ya. Inverse problems for partial differential equations. Utrecht: VSP, 2002.

6. Кожанов A. If. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 4. С. 694-716.

7. Кожанов А. И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче // Мат. заметки. 2004. Т. 76, вып. 6. С. 840-853.

8. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995.

9. Дженалиев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы: Ин-т теорет. и прикл. математики, 1995.

10. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

11. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1995.

г. Якутск

1 декабря 2011 г.