Обратная задача определения коэффициента поглощения в одномерном уравнении нелинейной диффузии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ПОГЛОЩЕНИЯ В ОДНОМЕРНОМ УРАВНЕНИИ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИФФУЗИИ*)

А. И, Кожанов

Пусть Л — интервал (0,1) оси Ох, Я — прямоугольник П х (0, Т), О < Т < + <ж. Пусть ^(п), /(х,£), <^(х), ^(х), и Мг(^) суть за-

данные при ?| ё Д, г е П, 4 ё [О, Т] функции, — заданное число из ,Т

Обратная задача. Найти функции и(х,£) и д(х), связанные в прямоугольнике Я уравнением

д

щ - —Р(их) + д(х)и = /(ж, ¿) (1)

дх

и такие, что для функции и(х, £) выполняются условия

и(х, 0) = ^(х), х еП, (2)

и(0,г) = м(*), и(М) = 0 <t<T, (3)

и(х,ь*) = ^(х), х еП. (4)

Уравнение (1) в случае ^' (п) > 0 (далее такое условие будет выполняться) является нелинейным параболическим уравнением, описывающим процессы одномерной теплопроводности или диффузии; коэффициент д(х) в этом уравнении отвечает за скорость поглощения и

Работа выполнена при финансовой поддержке аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала» (код проекта № АХ-23/11 пр. от 12 декабря 2008 г.).

© 2008 Кожанов А. И.

является внутренней характеристикой среды (см. [1]). В случае среды с неизвестными характеристиками возникает задача, называемая в литературе обратной, а именно задача одновременного определения решения и(х, Ь) и коэффициента д(х). В рассматриваемой обратной задаче условия (2) и (3) являются условиями обычной первой начально-краевой задачи для параболического уравнения, (4) есть условие переопределения, необходимость которого обусловлена наличием дополнительной неизвестной функции ^х). Обратные задачи для параболических уравнений с неизвестным коэффициентом при решении с условием переопределения (4) вполне качественно исследованы в случае = п (см. [2-5]), в случае ж нелинейной функции Р(-ц) подобные задачи ранее не изучались.

Пусть V — множество функций

У = {у(х,1):у(х,1) е ьто(0)), е ьто(0)),

уи{х,г) е уххг{х,ь) е ь2(Я)}.

Очевидно, что это множество есть банахово пространство с нормой

М„ = /и*,ц + »х< м>+>.х*< х,.

О

1

Я

Рассмотрим вначале случай уравнения (1), близкого к линейному.

Определим необходимые вспомогательные функции. Положим

и{х, Ь) = + (1 — (£),

а1(х) = —-!—/?1(ж) = -а1(х)[/(х^*) + (фх(х))фхх(х) - щ(х,г*)},

ф\х)

а(^) = —а1(х)^(х), ро(х) = ф(х) — и(х,0),

фЛх) = /(х,0) + {ух{х))фхх{х) — а2(х)[/(х,г*) + (фх(х))фхх(х)

— щ( х,Ь*)] — щ( х,0), = а\{х)и{х,1),

/(х,ь) = /(х,ь) — щ(х,ь) — ¡\{х)и(х,ь).

Далее, пусть к\, ш^, ¿о и ¿1 — заданные положительные числа (они появятся ниже в условиях соответствующих теорем). Определим другие необходимые (для компактности формулировок) числа. Именно, положим

ац = угахтах |а1(ж)|, а21 = угштах |«2(ж)а22 = угатмх\а2Х(х)\,

п п п

/?ю = угат1т/?1(ж), /Зц = угагтах/?! (ж), 71 = угатмх |7(ж,£)|,

П П С}

к^ = Ао — аик\, = «21 + 1\Т, = Ш2 тах (Ь) — ^'(Ь)

К = 1

¿о2

(£>? (ж) (1х + — / /? (1х Л к .

ш J dx ¿Ь,

Я

Ял =

К

Ш = тт ( КлТ,^-

1 — (1 + Щ)к3'

К = 4(2 + ^ + ъ2Т )Я!+ Я3

Р ' (<Рх( хМх( хИх +

!

Я4 = К ехр(4Т), «22 . 8^Т

Дз — —^—^ + 2/3^ Д2, ш

^ (х) ¿х + J / ¿х ¿Ь

Я

Я

1 — (1 +

Я

ш

г2л4л1 ш

ш

-Дз Н--

шш

/ ¿х ¿ь + / а х( х)^2 х( х ¿х

Де — —

ш

«22 , 871Т ¿1 ш0

1 |л1 + -д3+2т2

шш

— /)>[

- / / ¿х ¿Ь + /

ш^ }

Я п

9то| Д|1?1 ш

2

а х( х)^1 х( хИх

Теорема 1. Пусть выполняются условия F(n) G C(R), 0 < m < F'(П < m, \F''(n)I < m при n G R; (5)

Ф) G Wf (Q), ф{х) G Wf (Q), pi(t) G W^[0,T}), i=l,2,

f(x,t) G L2(Q), ft(x,t) G L2(Q),

◦ Л (6) «i(x) G Lœ(Q), tp^x) G W2(П);

k2 > 0; (7)

k3<l, (l + ¿0)k3<l, (l + )a\1 < 1; (8) R<

^(0) = <p(0), М2(0) = <(1), MO = ^(0), = ф{1). (10)

Тогда обратная задача (1)-(4) имеет решение {u(x,t), q(x)} такое, что u(x,t) G V, q(x) G Lœ(Q).

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную задачу: найти функцию w(x,t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

д д

wtt- — — F(wx+ux)+[a1(x)wt(x,t*)+/31(x)]wt+j(x,t)wt(x,t*) = ft(x,t)

x (П)

и такую, что для нее выполняются условия

w(x,0) = <o(x), wt(x, 0) = <i(x) + a2(x)wt(x,t*), x G fi, (12)

w(0,t) = w(l,t) = 0, 0 <t<T. (13)

Разрешимость этой задачи докажем с помощью метода срезок и метода неподвижной точки.

Определим функцию G(£):

£, если \£\ < kb G(£) = ^ k\, если £ > ki, -ki, если £ ^ -k\.

Пусть У0 — подпространство пространства V, определенное следующим образом:

Vo = {о{х,г) е V :у(х,г) е ь^(о,т;т|(П)п )), Уг{х,Ь) е Ьж(0,Т-,Щ(П)), Угг{х,Ь) е ЫЯ), ^ххг{х,Ь) е Ь2{Я)},

и пусть у(х,Ь) — произвольная функция из V)- Положим ду( х) = аг^О^^х х,Ь*)) + ¡3\(х), ду( х,Ь) = /у( х,Ь) — х,Ь*),

х) = ^(х) + а2(х)уг( х,Ь*).

Рассмотрим следующую задачу: найти функцию т(х,Ь), являющуюся в прямоугольнике Я решением уравнения

д д

и такую, что для нее выполняются условия

ю(х,0) = ¡р0(х), щ(х,0) = <р\у(х), х еП, (12.„)

а также условия (13). Данная задача представляет собой первую на-чальпо-краевую задачу для нелинейного уравнения составного типа (11^); вследствие включепий д^(х,Ь) е ^(Я), х) е ЬТО(П), фо(х) е

о о

^^^) П Т^П), фхх) е ТЗ,(П), вытекающих из условий (6) и (10), а также в силу условия (5) она имеет решение, принадлежащее пространству V) ([6,7], см. также [8]). Другими словами, краевая задача (11^), (12^), (13) порождает оператор Ф, действующий из пространства ^ в него же: Ф(-у) = ад. Покажем, что Ф имеет в пространстве V) неподвижные точки.

Повторяя доказательство априорных оценок из работ [5-7], нетрудно установить, что для решений -ю(х, г) кривой задачи (11^), (12^), (13) имеет место равномерная априорная оценка

Нк < Я

(14)

с постоянной До, определяющейся лишь функциями /(ж, £), <^(ж)> ^(ж), а также числами к1, шо, т1 и Т. Из этой оценки следует, что оператор Ф переводит шар радиуса До пространства V) в себя. Далее, повторяя рассуждения работы [4], нетрудно показать, что оператор Ф вполне непрерывен в пространстве Ц>.

Из проведенных рассуждений вытекает, что для оператора Ф выполняются все условия теоремы Шаудера. Следовательно, Ф имеет по крайней мере одну неподвижную точку. Очевидно, что эта неподвижная точка представляет собой решение краевой задачи (11«), (12«), (13).

Итак, существует функция принадлежащая пространству

Уо, являющаяся в прямоугольнике ф решением уравнения (11«,) и принимающая краевые условия (12«), (13). Покажем, что при выполнении условий теоремы эта функция даст решение исходной обратной задачи.

Рассмотрим равенство

«т ¿ж¿т = д««т ¿ж¿т.

г г

д

■штт - —Р(тх + их) + дыЮ. о п о п

После интегрирования по частям это равенство преобразуется к виду г г

1

« (Х,г)<ь + ! /*>х + ^ ¿жг!т + ! ¡Ч« ¿Шт

о п о п

г г

^«(ж) ¿ж ~Ц Р'(ихт «хт ¿.¿г + Ц^ ¿.¿Гг.

п о п о п

Заметим, что при ж (Е О выполняется неравенство

Ч«{ж) > к2.

Используя это неравенство, условие (5) и неравенство Юнга, нетрудно показать, что следствием последнего равенства будет неравенство

г

«г (ж,t)¿ж+ J J «х + их)«Хт ¿ж¿т

О п

г

к2 J ! «т ¿ж¿т ^ (1 + 62)к% J «г {ж,1* ) ¿ж

о п 1 6

1

J ср~[ (ж) <1х + — ! // йхсИ

П " Q

т1 ! иххг ¿ж<И, Q

в котором 6 — произвольное положительное число. Зафиксируем 6 так, что

(1 + 62)къ < 1

(вследствие условия (8) это возможно). Выбранное число 6 обозначим через 6о- Очевидно, что для решений т(ж, ¿) краевой задачи (11«), (12«), (13) выполняется оценка

\-rai тах / т2г (ж, ¿) ¿ж < Д. ВД У

(15)

Заметим, что помимо оценки (15) для решений «ж,~Ь) краевой задачи (11«), (12«), (13) имеют место оценки

г

тт ¿ж¿т ^

о п

Р '(«х + их) т2хт ¿ж^т ^ Д.

(16) (17)

о п

Рассмотрим равенство

д

о п

«;тт - —Р(тх + их) +

дж

I ¿,жс!т

г

J J gw-^F(wx + йx)dxdт.

о п

Интегрируя по частям, получаем равенство, являющееся его следствием:

^ J Р'2(и)х(ж,г)+йх(ж,г))и)1х(ж,г)(1ж = ^ ! (<рх(ж))<р2хх(ж) ¿ж

хх

г

IIе '(^ х^+йх{ {х,т)ахЯт

о п

/ -югХх,г)Р'(тх(х,г) + йх(х,г))тхх(х,г)¿х

п

г

— I х, 0)Е'(фх(х))фхх{x)dx + J ! ц^тЕ'(ад^ и^тхх ¿хд,г п о п

г

г

(и)х + их)гюхх с!хс1т.

о п

Данное равенство, неравенство Юнга, оценки (15) и (17) дают неравен-

ство

- У Е'2(тх(х,г) + их(х,гЫх(х,г) ¿х п

г

41 Е" К + ^™2хх

о п

+ (2 + а%1+'у1Т)Я1 + ! Еа{фх{х) ¿х + J ф\{х) ¿х п п

г

+ У йх<1т + 2 У J У(1х<1т. < о п

Оценим последнее слагаемое:

г

о п

г г

^ 2а?1 У У х,Ь*)и>Т (x,т)dxdт + 2011 J J тТ dxdт

о п о п

г

^ 2«^ У \та1тах[«;2 (ж, г)] ^У ¿х^ ¿т + 2(3^Дг

< 2а

11 I \ I ~хт О П

¿ж^ тт {ж,1*) ¿ж^ ¿т + 2^Д2

= (18)

т

Следовательно, выполняется неравенство / Р '2{тх{ж,1) + и(ж,1))тхх(ж,1) ¿ж

^ 4

г

«х + и^«хх ¿ж¿т + К.

о п

Это неравенство и лемма Гронуолла дают оценку

У Г'2(тх(ж,Ь) + йх(ж,-Ь))т2хх(ж,Ь) ¿ж < Д. п

Последнее анализируемое равенство имеет вид

г г

\ дд

■штт - -¿-тг-Г (и)х + их) + дшг<;т

(19)

о п

дт дж

«ххт ¿ж¿т = I I д««ххт ¿ж¿т.

о п

Данное равенство легко преобразуется к виду

11 «&( ж,г)с!ж + 11Р '(■

ш О П

в в г в

= \ I«2хг(.ж,0)¿ж+ ! J 4«

«х + их)«ххт ¿ж¿т

д««ххт ¿ж¿т

о п

о п

в г в

-J ''(«х+ их)«хх(«хт + йхт)«ххт ¿ж¿т. (20)

О п

Используя неравенство Юнга, представление функций ^«(ж) и дт(ж), а также оценки (15) и (18), нетрудно получить, что выполняется неравенство

г г

^ J ш1л(х1 0)с£е + J ! ¿жАт - [ / дши)ххтс1хс1т

о п

о п

и,2ххт<1<хс1т + + 2(52)а21 J +

о п п

, , «^(ж^^ж) ^х + — Д3 + — [ /2 ¿хЛ + —■7?ТДь

<

в котором 6 — произвольное положительное число. Зафиксируем 6 так, что

г2"\ 2

(1 + < 1;

выбранное число 6 обозначим через 61.

Оценим последнее слагаемое правой части (20). Имеем

Е'' + их) 1»хх{

тх "Т" их) тхх\ тхт "Т" ихТ) тххТ

с!хс1т

О П

г г

< т2 ! J Кх|Кт | |^ххт | dxdт + т?> I ^ \шххЦтххт | ¿х ¿т

о п

о п

< т2 у угаупах |«;ЖТ| с£г

о п ' п

1^ххт ¿х I ¿т

тз / ( I 1ю\х ¿х\ ( I юххт ¿х\ ¿т

о П

2 ххТ

^2т2 1 1 ' -2 л~< ' -2

т

о п

т^хт ¿х) / адххт ¿х I ¿т

п

Ш£ 4

и>2жт (1х(1т Н--^ Д4 ^ —— / / иг^ (1х(1т

тт

—5-Л4 ^ —

т

о п

2

^ххт '

О П

г

т Я Я т

—г- / / (1х(1т Н--^-Д

т — -К.4

о п

г

г

т

г

то [ [ 2 11, 9ш|Д|Й1 2шд / / --г--1--—ш-

ХХТ """"" 1 Й 1 9-1-4.

Ш0 Шо

О П

Суммируя, получаем, что следствием равенства (20) является неравен-

ство

г

[1-(1 + 2^)аJ + ^ ! J и)2ххт(1х(1т

\ 0{ ' / ' ' Шд

н— [ / ¿х<и + [ а л х)*р\ х( х)з,х. '

Я п

Из этого неравенства следуют априорные оценки

У х,Ь)<х < Д5, (21)

п

J шххт (х,Ь)<1хс1т ^ Де. (22)

п

Оценка (21) играет решающую роль в доказательстве разрешимости краевой задачи (11)-(13). Действительно, следствием (21) является оценка

угаупах|(х,Ь)| < Д. п

Вместе с условием (9) эта оценка означает, что почти всюду в Л выполняется равенство

х) = а (х) адг ( х, Ь*) + Д (х).

Другими словами, решение Ь) краевой задачи (11«), (12«), (13) при выполнении всех условий теоремы будет существовать, принадлежать пространству Ц> и являться решением краевой задачи (11)—(13). Положим

м(х,Ь) = + м(х, Ь), ц(х) = а(х)и>г(х, Ь*) + Д(х).

Очевидно, что и(х,~Ь) и ц{х) связаны в прямоугольнике Я уравнением

Интегрируя, получаем, что функции и(х,Ь) и ^х) дают решение задачи (1)^(3). Выполнение условия (4) для функции и(х,~Ь) следует из условий согласования (10) и из вида функции ^х). Принадлежность функций и(х,Ь) и д(х) пространствам V и ЬЖ(П) очевидна.

Теорема доказана.

Очевидно, что условие (7) теоремы 1 выполняется для непустого класса входных данных задачи (1)-(4). Далее, при выполнении условия (7) условие (8) выполняется, если функции <р(х), ^(Ь) и ^(Ь) малы. Условие (9) выполняется, если число К\ мало и малы функции /г(х,Ь), ф(х), /(х, 0), (Ь) и (¿); число же мало, если вновь малы функции /г(х,Ь), ф(х), /(х,0), и ^(Ь). Таким образом, множество входных данных, для которых выполняются все условия теоремы 1, не пусто. Заметим, что наиболее просто показывается непустота множества нужных входных данных в случае <ф{х) =0, /(х,Ь) = /(х).

Покажем, что использованными методами можно установить и несколько иной вариант теоремы о разрешимости обратной задачи (1)-

При выполнении этого условия задача (11^), (12^), (13) по-прежнему будет разрешима в пространстве V) и по-прежнему оператор Ф, порождаемый этой задачей, будет иметь неподвижные точки. Другими словами, задача (11ш), (12ш), (13) по-прежнему будет разрешима в пространстве V)-

Вновь рассмотрим равенство

г г

ии ~ я7 7ГР(их) + ч(х)иь = /«ОМ)-

дЬ дх

(4).

Пусть вместо условия (7) выполняется условие До - «11^1 > 0.

(7')

о п

о п

Используя неравенство (7'), условие (5) и неравенство Юнга, нетрудно получить неравенство

г

J и>2 (ж, (],Х н--J ! и>2т (1хс1т

п о п

< [(1 + ¿о)а21 + ъТ2] J w^(x,t*) ¿х + +! (р1(х) ¿х п 0 п

-I--[ ¡г <1хА + [ иХг dxdt.

т0 } }

Я Я

Предполагая выполненным условие

а2! + ЪТ2 < 1 (8')

и подбирая число так, что

(1+^ н1+71Т2 < 1,

получим оценку (15), но с иным числом К\. Повторяя все дальнейшие выкладки, придем к требуемым априорным оценкам с иными, нежели в теореме 1, постоянными в правых частях.

Очевидно, что можно предположить и еще некоторые вариации условий теоремы 1.

Далее, в целом аналогично можно доказать разрешимость обратной задачи (1)-(4) в случае функции растущей быстрее, чем |п|, например, для функций Р(-ц) с выполненным условием

О < ш0 < Е'(П < Ш1(1 + п2)

(очевидно, что условия разрешимости будут иметь весьма громоздкий вид).

Обсудим вопрос о единственности решений обратной задачи (1)-(4). Положим

р(х) = -а1(х)[/(х,г*) + Е' (фх( х))фхх( х)].

Теорема 2. Пусть выполняются условия

ВД е с2{Щ, ^'(П > ш0>о прн П е Д; (23)

у>(ж) = 0 при ж € О. (24)

Тогда любые два решения {щ(х,Ь), ^(х} {и(х, Ь),^^)} такие, что щ(х,Ь) е V, х) е ¿то(^), Чг{х) ^ 0, г = 1,2, совпадают.

Доказательство. Рассмотрим вначале общую ситуацию. Вследствие принадлежности функций щ(х,Ь) и х) указанным в формулировке теоремы классам для функций ^ (х) и (х) имеют место равенства

Ц\{х) = а(х)и! г{х,Ь*) + в{х), Ц2{х) = а2(х)и2г{х,1*) + Р(х).

Далее, для функции ц(х,Ь), определенной равенством

Цх, Ь) = и (х, Ь) — и2{х, Ь),

имеют место соотношения д д

~ д1 ~ + 11(х)ии ~ 42{х)и2г = О,

Цх,0) = 0, цг(х,0) = а2(х)цг(х,Ь*), Ц0,Ь) = ЦМ) = 0.

Рассмотрим равенство

г д д )

■штт - ~~ Р(и2х)] + Ч1(х)и1т - <й (х)и2т ? «V ¿Х(1т = 0.

о п

Интегрируя по частям, учитывая указанные выше соотношения для функций щ(х,Ь), х) и ц(х,Ь), используя условие (23), неравенство (х) ^ 0 и теорему о среднем, нетрудно от данного равенства перейти к неравенству

г

— J и^ (х,£) с£г + тоо J ! ~и}2хт д,х д,т ^ —J ■ш2(х,1* )(1,х

п о п п

г г

+ УУ 0) | |и хт | |цх | |цхт | <х<т + ап I ! |цт (х,Ь*) | |ц | <х<т. о п о п

Поскольку функции и и2(х,1) принадлежат пространству V, то

имеют место неравенства

< М\, угатмх \и2хт(х, т)| < М2 + ^ и2ххт(х, т) ¿х

п

с некоторыми фиксированными постоянными М\ и М2• Используя эти неравенства, а также применяя неравенство Юнга, получаем следующее неравенство:

г

— j wt (x,t)dx + moJ j w2XT dxdr

ut1

fi o fi

9 t , t < — / / u>2 ddr H—- / u>2 d,xd,T

XT T

о п o fi

t ,

I ^ M| + I u2xxT dx) l ¡ widx ) d,T

о п

п

в котором ^ и 62 — произвольные положительные числа. Положим

г

= 52 = 2 • Используя элементарное неравенство

г

j wX(x, t) dx ^ T j j wXT dxdr,

fi o fi

получаем оценку

/ «,? (x, t)dx+^JWl (x, t) dx < + a^T) / (M*) dx fifi fi

+ M3J(l + j u\XXT dx^JwX dx^j dT. (25) o fi fi

Пусть теперь выполняется условие (24). Тогда = «11 = 0 и из неравенства (25) и леммы Гронуолла вытекает тождество w(x,t) = О

при (х, £ <5. Очевидно, что из этого тождества следует щ (х, = и2(х, г), ^(х) = ^(х). Теорема доказана.

Рассмотрим случай функции <^(х), не являющейся тождественно нулевой. Пусть выполняется условие

(24')

Положим в неравенстве (25) г = г*. Вследствие условия (24') получаем, что справедлива оценка

г*

J и>г (х,Ь*) йх ^ М4 J + J иххТ ^х^ ! и>2х йхйт п о п п

с некоторой постоянной М4, определяемой числами о\х + о\хТ и М3. Отсюда и из (25) следует неравенство

ы>Х(х, г) 3,х ^ М3

(а^ + а^1Т)М4

Т —("• J и9ххг йхйЬ

я

г*

г*

о п

Пусть теперь выполняется условие

М

Т

и ^ хх. йх йг

(а^ + а^1Т)М4

и ^ хх. йх йг

о п

<.

Из этого условия и оценки (26) вытекает тождество г) = 0 и далее — единственность решений обратной задачи (1)-(4).

Таким образом, в случае не тождественно нулевой функции <^(х) единственность решений обратной задачи (1)—(4) можно установить указанным выше способом, но при этом возникнут весьма громоздкие и жесткие условия.

Замечание. Полученные по ходу доказательства теоремы 1 оценки (15)—(17), (19), (21)-(22) фактически вновь дают оценку (14).

ЛИТЕРАТУРА

1. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.

2. Прилепко А. И., Костин А. В. Об обратных задачах определения коэффициентов в параболическом уравнении. I // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33, № 3. С. 146-155; II. 1993. Т. 34, № 5. С. 147-162.

3. Prilepko А. I, Orlovskv D. G. Vasin I. A. Methods for solving invers e problems in mathematical physics. New York: Marcel Dekker Inc., 1999.

4. Кожанов A. If. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 4. С. 722-744.

5. Кожанов А. И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом поглощения // Докл. РАН. 2006. Т. 409, № 6. С. 740-743.

6. Кожанов А. И., Ларькин Н. А., Яненко H. Н. Смешанная задача для одного класса уравнений третьего порядка // Сиб. мат. журн. 1981. Т. 22, № 6. С. 8187.

7. Kozbanov А. I Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.

8. Ларькин H. А., Новиков В. А., Яненко H. H. Нелинейные уравнения переменного типа. Новосибирск: Наука, 1983.

г. Новосибирск

11 января 2009 г.