Линейная обратная задача для гиперболического уравнения с неизвестной правой частью специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

ЛИНЕЙНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С НЕИЗВЕСТНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

Р. Р. Сафиуллова

Введение

Работа посвящена исследованию разрешимости обратной задачи в цилиндрической области с неизвестной правой частью специального (составного) вида для гиперболического уравнения второго порядка.

Обратные задачи для гиперболических уравнений второго порядка в различных постановках исследовались в многочисленных работах В. Г. Романова, С. И. Кабанихина, А. Лоренци, А. И. Прилеп-ко, Б. А. Бубнова, Ю. Е. Аниконова, Ю. Я. Белова, А. М. Денисова, М. Клибанова и в многих других (см. [1—13] и имеющуюся там библиографию). Вместе с тем заметим, что в предложенной ниже постановке обратные задачи для гиперболических уравнений ранее не изучались. Как близкие к настоящей работе можно отметить лишь статьи А. Д. Искендерова [14], А. X. Амирова [15,16], в которых рассматривались обратные задачи для гиперболических уравнений с неизвестной правой частью простейшего вида, работу автора [17], в которой изучалась обратная задача для гиперболических уравнений с неизвестной правой частью составного вида, но с иными, нежели в настоящей работе, условиями переопределения, а также работу А. И. Кожанова [18], в которой исследовалась близкая по условиям переопределения обратная задача для параболических уравнений.

© 2008 Сафиуллова Р. Р.

Постановка задачи

Пусть Л — ограниченная область пространства М" с гладкой (для простоты бесконечно дифференцируемой) границей Г, Я — цилиндр П х (0, Т) конечной высоты Т, х = (х\,..., хп) — точка области П, t — точка интервала (О, Т), Я — боковая граница цилиндра ф : Я = Г х (О, Т). Далее, пусть Н\ (х, Ь), х, Ь), щ(х), и\(х), щС, щ (х), /(х, Ь) — заданные функции, определенные при х £ Л, £ £ [О, Г].

Обратная задача. Найти функции и(х, Ь), х), ^(х), связанные в цилиндре ф уравнением

ии — Д и + а{х, + Ь(х, Ь)и = Н\(х, (х) + ^(х, + /(х,Ь), (1)

при выполнении для функции и(х,~Ь) условий

и(х,0) = щ(х), х еП, (2)

и^х^) = щ(х), х еП, (3)

и{х,1)\3 = 0, (4)

и(х,Т) = щС, х еП, (5)

щ(х,Т) = У1(х), х еП. (6)

В рассматриваемой обратной задаче условия (2)-(4) суть условия обычной первой начально-краевой задачи, условия же (5), (6) — условия переопределения, необходимые для нахождения дополнительных неизвестных функций ц\{х), ^(х).

Разрешимость обратной задачи

Введем в рассмотрение пространства Щ, Н, У0 и Ц:

н0 = {у(х,г): у(х,г) е ьж(о)),

Уь{х,ь) е Ьж(0)),уи{х,1) е ЫЯ)},

У е Ь2 (0,Т;ШЦП)) П Ьж(0)),уа е ЫЯ)}, Уг = {у(х,г): у(х,г) е Н,Уг{х,г) е х,г) е Н¿}, ¡ = 1,2;

нормы в этих пространствах определим естественным образом:

\М\и0 = \М\ьте(о,т;^|(П)) + У^Уь^о/т^П)) + \\угг\\ыя),

\М\и = \М\ьте(о,т;ж|(П)) + \Ы\ь2(о,т;ж22(П))пьх(о,т-,ш!(П)) + \[°и\\ь2(д), \Мк = \М\и0 + \Ы\и0 + \Ы\и0, \Мк = \М\и + \Ы\и + \Ы\и ■

Положим

а(х) = а{х, т)у±(х) + ъ(х, Т)щ(Х — Дуо(Х) — /(х, Т), р(х) = [аг{ х,Т) + ъ(х,т)\у\(х) + Ъ4( х,Т)у0(х) — Д у^х) — /( х,Т),

А = ( гу Ы(х,Т)(3(х) - а{х)Ьнг{х,Т) 1=12

Н2(х,Т)Н\г(х,Т) — Н\{х,Т)Н2х,Т): ' '

= _Ы{х,Т)_^ г = 1,2,

х,Т)Н\г(х,Т) — Н\{х,Т)Н2х,Т): ' '

= ( ^ Ьн{х,Т)а{х,Т) - Нц(х,Т) ¡ = 12

Н2(х,Т)к1г(х,Т) — Н\{х,Т)Н2х,Т): ' '

¿1(х,~ь) = н\{х,1)в2(х) + к2(х,1)Б1(х), <12(х,~ь) = н\{х,1)с2{х) + н2{х,1)с\{х), с(х) = ¿2 Х, 0) — а(х, 0)^(Х, 0),

г(х,ь) = /(х,г) + н1{х,г)Л2{х) + ]^{х,ь)м{х),

1 + д2 1 р , ^ п = —— + —2 тах ¿1а(х, г) 2 Щ ц

+ 7Г79 тах сй|и (ж, ¿) + ^ тах(аи(ж,£) + 2Ь4(ж,£))2 + ^ тахЬ24(ж,£), Щ Я 2 Я 2 Я

г2 = | [тах с2 (ж) + тах . (ж, 0)] + 2 п п " " 2

• ЗТтах^5(ж,0) п

^ тах(2аДж, ¿) + Ь(ж, ¿))2 + Т + 2Т4 2 Ч

^з = Г1 + ЗТ2

- тах(2аДх, ¿) + Ь(х, ¿))2 + Т2 + 2Т4 2 Я

г4 = (а0 — г3)(1 — 4 тах ей; (ж, 0)).

п

Теорема 1. Пусть для функций а(х,Ь), Ь(х,Ь), хН2(х,1), ио(х), и\{х), Уо(х), щС н /(х, Ь) выполняются включения а(х,~Ь) е

С(д), Ь(х,1) е С(д), Ы(х,1) е д), ни(х,г) е шЦф, нш(х,г) е Ш^ф), г = 1,2,и0(х) е ш24(П)пШ^(П), и С е ш|(П)П^(П), х) е ш4(П) п О) п Т^(П), з = од, /(х,г) е ь2(оФ)), Мх,г) е Ь2 (О ,Т;Ш2(П)), /гг{х,1) е Ь2 (О ,Т;^(П)), Еа{х,1) е Ь2 (0 ,Т;^(П)).

Кроме того, пусть справедливы условия:

а(ж, ¿) > а0 > 0, (ж, € <3; (7)

/г-1 (ж, Т) 1г2ь(ж, Т) — К2(ж, Т)/114(ж, Т) ф 0, ж (Е О; (8)

к1(х,0)к2(х,Т) - к2(х,0)к1(х,Т) = 0, же О. (9)

Пусть существуют дз > 0 такие, что выполняются следую-

щие условия:

а0 — г3 > 0; (10)

г4 — 2ТГ2>0; (11)

1-Зтах4(ж,0)--> 0; (12)

п " г4 - 21 г2

1- (3 шах с1\г{х, 0) + 61Т)--- >0.

(13)

Тогда обратная задача (1)-(6) имеет решение {и(х, Ь), <1(х), <12(х)} такое, что и(х,Ь) е Уо, <»(Х е Ь2((1), г = 1, 2. Доказательство. Положим

<\{х) = В2(х)иш{ х,Т) + С2(х)ии{ х,Т) + А2(х),

<2(х) = В {х)иш{ х,Т) + С\(х)ии( х,Т) + А\(х),

и(х) = Ащ(х) — а{х, 0)и(Х — Ъ(х,0)ио(х) + Г(х,0),

^(х) = Ди (Х — [аг{х, 0) + Ъ(х,0)]и1 (х) — Ъг(х,0)ио(х) + х, 0),

со(х) = ^Х — а(х,0)^(х), ш(х, Ь) = ии(х, Ь).

Рассмотрим следующую краевую задачу: найти функцию и(х,Ь), являющуюся в цилиндре Я решением уравнения

Ьш = шгг (х,Ь) — Дш + а(х,~Ь)и)г(х,Ь) + (2аг (х, Ь)

+ Ъ(х,Ь))ш(х,Ь) = х,Ь) + ^ гг( х,Ь)шг{ х,Т) + ¿2 х,Ь)ш(х,Т)

— [агг(х,Ь) + 2Ъг(х, Ь)]щ(х,ь) — Ъи(х,Ь)и(х,Ь), (14)

такую, что для нее выполняются условия (2), (3), а также следующие условия:

Разрешимость данной краевой задачи докажем, комбинируя метод регуляризации и метод продолжения по параметру.

При фиксированном положительном е рассмотрим краевую задачу: найти функцию иЕ(х, Ь), являющуюся в цилиндре Я решением уравнения

Ье\ш = х, Ь) — Аше(х, Ь) + а{х, х, Ь) + [2аг(х, Ь)

Ь)\б = о,

ш(х,0) = ¿2(х,0)ш(х,Т) + ^(х), х е О, шг(Х, 0) = ¿1г(х, 0)шг(х, Т) + с(х)ш(х, Т) + Со(х).

(15)

(16) (17)

+ Ъ(Х, Ь)]ш£(Х, г) — еДш(Х, г) = Х,Ь) + гг (Х, Х, Т)

+ (х, Т) — (аи(х, + 2Ьг(х,1))и'(х,1) — Ьи(х,Ь)иЕ(х,Ь)]

(14ел)

и такую, что для нее выполняются условия (2), (3), (15)—(17).

Обозначим через Л множество тех чисел А из отрезка [0,1], для которых краевая задача (14ел)> (2), (3), (15)—(17) разрешима в пространстве V при произвольной функции х, ¿) го пространства

Как известно, если множество Л непусто, открыто и замкнуто од,

означать, что краевая задача (14), (2), (3), (15)—(17) имеет решение из пространства V-

При А = 0 существует функция и>£(хпринадлежащая пространству #1, удовлетворяющая уравнению (14е,о) и такая, что для нее выполняются условия (15)—(17) (см. [19]). Имея функцию и)£(х,~Ь), нетрудно с помощью условий (2) и (3) найти саму функцию ие(х,1); очевидно, что эта функция будет принадлежать пространству V • Следовательно, множество Л непусто — число 0 принадлежит ему. Для доказательства открытости и замкнутости Л установим необходимые априорные оценки решений задачи (14ел)> (2), (3), (15)—(17) из пространства V-

Для удобства индекс £ у функции и)е(х,~Ь) временно опустим. Обозначим

г(х,Ь) = «(х,1)тг( х,Т) + ¿2 и( х,Ь)т{х,Т)

— (а«( х,г) + 2Ь4( х,г))щ( х,г) — Ь«( х,г)и(х,г).

Рассмотрим равенство

г г г

Ье\ттт <1х<1т = J ! Ргггтт 3,х3;т + А о п о п о п

Интегрируя по частям в левой части данного равенства и используя условия (15)—(17), придем к следующему равенству:

п г

— J ги1 (х, ¿) <],х + ^ J ги^(х,{)с1х + J J а(х,т)и%с1хс1т

о п

п г г

е^^ J J т ¿хйт = — J J(2ат + Ъ)шшт йх¿т

о п

— [[(¿14 (ж, 0)и>4(ж, Т) + с(х)ги(х, Т) + со(ж)]2 д,х

п 1

+ 2

п ,,

I [(<^{х,$)ш(х,Т) + и(х))х^ ¿Х

¿=1 г,

п

г г

Еттшт ¿хйт + А / ¿1тт(х,г)штшг(х,Т)йхйг

о п о п

г г

А ¿2тт (х,г)штш(х, Т) ¿хйт — А / / [атт + 2ЪТ]итшт ¿хйт

о п о п

г

— А у J Ътти{х,т)шт (х,т) йхйт. о п

Учитывая условие (7) теоремы и применяя элементарные арифметические неравенства, а также неравенство Юнга, получим

— J ги2 (ж, £) д,х + — J и>2^ (ж, {) с1х + ад J J и)2 ¿х<1т

¿

г

пп

+ е / / (1хс1т ^ — тахй|(ж,0) ^^ / и>2Дж,Т)с£г

¿¿

г

+ и>г (х,Т)йх+в1 J ш2(х, Т)йх + Г1^ ! шТ йхйт

п п о п

г г г

+ —тах(2а4 + Ь)2 У J ■ии2с1,хс1,т + -^ J ^ и2 с1хс1т + — J ^ и2 ¿х<1т + N0,

® о п о п о п

где

3 3 ^ ^^

во = о тахй24(ж, 0) + «1 = ~ тахс2(ж) + - тахй2ж.(ж, 0) + -^-Т,

2 п 2 2п 2 п " * 2

число N определяется лишь входными данными задачи.

Используя элементарные неравенства вложения, неравенство Гёль-дера и условия (2), (3), (16), придем к следующему неравенству:

г

1

п 1 п о п

г

п С с з п с

+ / / тхгт (1хс1т ^ — тах(¿2(^,0) ^^ / Т) (¿ж

®=1 о п ®=1 п

+ (x,Т)dx + ^J ш2(х, Т)сЪ + Ъ, (18)

п п

далее в силу условия (10) — к неравенству

1 Г 3 " г

— / (ж,£) (¿ж ^ — тах(£;(ж, 0) > / (ж, Т) (¿ж

2 7 2 п ^ 7

п г=1 п

+ (х, Т) ¿х + Т2 J ш2 (х,Т) ¿х + N1,

п п

где N определяется лишь входными данными задачи. Ввиду неравенств вложения имеем

/и>2 (ж, £) (¿ж ^ ЗТ тах с!2 (ж, 0)-^^ [ и>2 (х,Т)с1х

п " а0 - г3 ^ 7

■ J и>2(ж, Т) йЖ + Й2 J и)2{х,Т)(1х+ N2,

2Твп

где

а0 — Гз п

2ТГ2 ,1 т2 / п\

в2 =--Ь 4 тах а2 (ж, 0).

а>о -г3 а

Полагая в последнем неравенстве £ = Т, с учетом условий (10), (11) получаем

/ЗТ " /■

-ш2 (ж, Т) <1х < --—-- тах сВ, (ж, 0) / (ж, Т) <1х

(а0-г3)( 1-82) п ^ 1

2ТвП ^ 2/ ™ , , ,1П, т1.{х,1)ах-\--. (19)

(ао — г3)(! — У ' ! — в2

п

В силу неравенства (19) из (18) следует, что

ш2г (х,ь)йх + ^ j шха х,ь) ¿х ¿

^ ^з J шХДx,t)d^ + ^J и>г (х,т)3,х + ^,

АХ

п где

вз = 3 тах (х, 0) + --—--- тах сI2 (х, 0),

п " (а0 - г3)(1 - в2) п "

= 2вд

2Тг2

1

(а0 — г3)( 1 — в2)_ ' Полагая в данном неравенстве Ь = Т, виду условий (12), (13), приходим к оценке

J и>г(x,T)dx + YJ J шХн{x,T)dx ^ N4, ¿

где число N4 зависит лишь от входных данных задачи.

Отсюда с учетом неравенства (19) из (18) получаем первую априорную оценку

¿

г п г

+ УУ ш2т dxdт + ^ ^^ У J шХ±т dxdт + J w2{x,t)dx ^ N5, (20)

¿

где число N5 определяется лишь входными данными задачи.

Далее рассмотрим равенство

г г

Г Г г г

шттДшт dхс!т+ ДшДшт ¿хс1т

о п о п

г г г

аштАшт dxdт — JJ [2ат + Ъ]шДшт dxdт + е J J Дш^ {x,т)dxdт

о п о п о п

г г

^ТТДшт dxdт — J ¿1тт(х,г)шг(х, Т)Ашт dxdт

о п о п

г г

— J ¿2тт(х,г)ш(х,Т)Ашт dxdт + А J J[aтт + 2ЪТ]итАшт dxdт

о п о п

г

А / I ЪттиАшт dxdт■

о п

Интегрируя по частям в первом и втором слагаемых левой части равенства, используя условия (15)—(17) и применяя элементарные арифметические неравенства, получаем

п п г

П)2хАх^)(]л + \ Е J (М) ¿ж + £ J ! (Аи)т)2 ¿Х(1т ¿=1 п ¿■■?=1 п о п

г г

а(х, г)штАшт dxdт — j j [2ат + Ъ]шДшт dxdт о п

пп

/ ¿1гix,0)wliгXx,T)dx+ Е / ¿КХ,0)шХ^х^^)^

¿=1 П ¿'3=1 п

п ,,

/ [с(х)шх, (Х, Т) + 4гхДх, 0)шг(х, Т) Ч™ сх^х)ш(х,Т) + Сох,(х)]2 ¿х

¿

п

+ X/ / х) + ¿2х,хДХ^)Цх, Т) + 2^хЛХ, 0)шх, (Х, Т)]2 ¿Х

¿¿=1 а

г г

ЧIш ¿^—414x, x, ¿^

о п о п

t t — A / ¿2tt {x,t)w(x,T)Awt dxdr + A I bTTuAwT dxdr

on on

t

A j j[aTT + 2bT]uTAwT dxdr. (21)

o n

Вновь применяя элементарные арифметические неравенства, а также неравенство Юнга, с учетом оценки (20) имеем n n t

wl,t(x,t) dx + i ¿ J W2^Xj (ж, t) dx + £ j J (A WrfdxdT

i=1 fi ij=:L fi o fi t

ffiZ r r n г

^ / / (AwT)2 dxdr + тахс^(ж,0) / w2,t(x,T)dx

o n i=1fi

n t

+ max <á| (ж, 0) ^ J w2x.x.(x,T) d,x + ^ J j F2Tdxdr + N6,

ij=:L fi o fi

где число N определяется лишь входными данными задачи.

Взяв ó2 = j£, получим

1 "

¿ J wlit(x,t) dx + - J wlix3:(x,t) dx

i=1n ij=1 fi

t n

+ J (A wT)2 dxdr ^ max dft(x, 0) J w2x.t{x,T) dx

i

n

+ maxd2(x, 0) WX x (x,T) dx + N,

fi " . . ., J " j

ij=1fi

где число N определяется входными данными задачи, а также числом £.

Отсюда приходим к неравенству

1 -J1 Г 1 -J\ Г

2 J2I wlAx>t)dx + 2 XI J wlixj(x't)dх i=1 fi ij=1 fi

n

^maxd2t(x,0)\^ / w2t(x,T)dx г-1 Q

n ,,

+ max4(i^ / ^ / w2X.X.(x,T) dx + N7. Q " . . ., J г j

П

Полагая в последнем неравенстве 4 = Т и учитывая условия (10), (11), (13), получим оценку

п ^ П ,,

Е / х,ТИх + Е / т2гх3(х,Т)ёх <

4=1 п п

где число N определяется входными данными задачи и числом е.

Отсюда приходим к второй априорной оценке в случае, когда е

является фиксированной величиной:

пп

/ х,Ь) ¿х + ^^ / ш2х.х. (х,Ь) ¿х + е (Диу)2 <1х<1т ^ ®=1 п п о п

(22)

где число N определяется входными данными задачи, а также чис-

е

Умножая равенство (14ел) на ттт, интегрируя по частям и используя условие (15), а также оценки (20) и (22), приходим к третьей априорной оценке

г

т2 < N |

^тт — ^ .Vio,

о п

где число No определяется входными данными задачи и числом е.

Отсюда получаем финальную априорную оценку в случае, когда е является фиксированной величиной:

w2

(x,t)dx+ j w*(x, t) dx + j wX¿(x,t) dx

Q i=1 fi

* n

h j j wT(x, t) dxdr + j w2X.t(x,t)dx + J Aw2(x,t)dx o fi i=1 n n

г г

о п о п

число N в этой оценке определяется входными данными задачи, а также числом £ (см. [21]).

Из данной оценки и следуют открытость и замкнутость множества Л. Как уже говорилось выше, непустота, открытость и замкнутость множества Л означает его совпадение со всем отрезком [0,1], а следовательно, и разрешимость краевой задачи (14е), (2), (3), (15)—(17) при фиксированном £ в пространстве V-

£

сироваппой величиной. Вновь рассмотрим краевую задачу (14е), (2), (3), (15)—(17).

£

первая априорная оценка (20).

Для получения второй априорной оценки умножим равенство (14е) на функцию Ди>г. Повторив ряд операций, что были произведены в

£

неравенству (21)сА=1.

С учетом первой априорной оценки имеем

г

1

53 J + 2 53 J ^ £ J !с1хс1т

4=1 п п о п

г г

-.! /аштД ^ахат 41[2ат+ ^^

о п о п

п п

/ ^г(х,0)^г(х,ТИх+ 53 / х3(х,ТИх

^ Л п

г

J ! ^тттг(х, Т)Диу <1х<1т

г=1

¥ттАшт ¿хс!т

о п

о п

г г

ЦъМхХ)А" ^ + Ц ЪттиАтт <1Ыг

о п о п

г

J ! [атт + 2Ът] итД"шт <1х<1т о п

К

где число К определяется лишь входными данными задачи и не зависит от £.

Интегрируя в последнем неравенстве по частям, используя условие (15), применяя неравенство Юнга, а также учитывая первую априорную оценку, получим

1 ^ I" 1 ^ Г

и>1Ах>г)(1х+2 Е /

¿=1 п ^=1 п

г г

/» л л л

+ £ (Диу)2 <1х<1т + ар / / <1х<1т ^ ¿д ^^

. ¿хс1т

о п

о п

о п

п „ п „

тах¿1;(ж, 0) / «;2.4(ж, Т) <1х + тахсй;(ж, 0) / -ш2.(ж, Т) <1х

п ^ 7 п . . , 7 * 3

Е

¿=1

г

Я

ттх^ш х^т

¿хс1т

О П

Е

о п

Е

о п

^Е

¿

п

Е

¿

о п

г

¿1тт""^Ах, Т)-юХнт ¿хЛт + J ! ¿2тт"хХт 3,х3,т

п

¿

Е1

¿'■?=1 п

¿1тт^х, Т)шХ€т ¿хЗт

¿2ттХ€"х, Т)шХ€т ¿хс!т

о п

Е

¿

о п

о п

¿

¿ г

[атт + 2Ът] иХнт¿хс!т

о п

[атт + 2Ът]Х ит¿хс!т

о п

К

Ъттх - и"х т ахат

где число К определяется лишь входными данными задачи.

Применяя неравенство Юнга, элементарные неравенства вложения, используя оценку (20), придем к соотношению

п п г

\ Е J :0М) ¿X + £ J ! ■Шг)2 ¿Х(1т

¿3=1

о п

Е

¿=1

адХ- т ¿хйт ^

о п

тахс^(ж, 0) + -^Т

г

Е / л х,тих

¿

п „

тахй2(х, 0) У^ х (х, Т)^х + Кз, (23)

¿,3=1

где а1 = ао — 5<5§ — ^ тах с^и(ж, ¿), число определяется лишь вход" 2 Я

пыми данными задачи.

б2

Взяв ¿5 = То' с Учетом условия (10) теоремы приходим к неравен-

ству 1

Е/и}1Ах^)<1х + \ Е /"^ом)^

<

¿'3=1 п

тахс^Дж, 0) + —Т

г

Е / х,ТИх

¿

п

тахй2(х, 0) У^ / х,Т)^х + К3.

п " ./ * 3

¿'3=1 ь

Положив в последнем неравенстве Ь = Т и используя условия (10), (11), (13) теоремы, получим соотношение

п ^ п ,,

Е / ™Х*г(х,Тих+ Е / (х,Т)^х <

¿=1 п ¿-3=1 п

где К зависит лишь от входных данных задачи и не зависит от £.

С учетом данного из неравенства (23) получаем вторую равномер-

£

пп

Е / :М)^х+ Е /

¿=1 П ¿,3=1 п

+ е I I (Диу)2 ¿х<г^ I I иХнТ ¿х<т ^ К, о п 4=1 о п

где число К определяется лишь входными данными задачи и не зависит от е.

Очевидным следствием первых двух априорных оценок является третья оценка

г

J ! иТт ¿х<т ^ К,

о п

где постоянная К зависит лишь от входных данных задачи.

Результатом трех априорных оценок является следующая финальная априорная оценка:

п г

+ х^х, щ! <{ х^х + Ци, „

О, О, О, О О

П р п р

4=1 п п

г г

+ J ! и2тт ¿х<т + е J J(Дто^2 ¿х<т ^ К, (24) о п о п

К

е

Эта оценка и дает нам разрешимость задачи (14е), (2), (3), (15)-(17) в пространстве Найденная функция и(х,Ь) = ие(х,Ь) является решением уравнения (14ед) с А = 1.

Учитывая, что ие = и1г, исходя из оценки (24), имеем

п

п

При Ь = Т справедлива оценка

иш{х,Т) II ^(П) < с.

Подпоследовательность {Щгг (х, Т)} равномерно ограничена в (О). Отсюда и из оценки (24) вытекает, что существует функция и(х,г) такая, что при т ^ ж имеют место следующие сходимости: иЧЧг(х,Т) ^ Щгг{х, Т) сильно в Ь2(П), и^х,Ь) ^ щггг{х,Ь), и^Ах,Ь) ^ Щгг{х,Ь), и™(х,г) —>■ ии(х,г), Аи%(х,г) —>■ Аиы(х,г), д/ё^Ам™ (х,г) —>■ о при £т ^ 0 слабо в Ь2(Я).

Из указанных сходимостей следует, что для предельной функции выполняется уравнение (14). Таким образом, найденная функция является решением краевой задачи (14), (2), (3), (15)—(17).

Проинтегрировав уравнение (14) по переменной т от 0 до г и учитывая условия (2), (3), (17), получим

Щгг{х,г) - 4г(х,0)мггг(х, Т) - с(х)щг(х, Т) - с0(х) - Ащ(х, г) + Ащ (х) + а{х, г)пи(х, г - а(х, 0)[й].(х, 0)иггг(х, Т) + ^(х, 0)игг(х, Т) + ^(х)] + аг(х, х, г -аг(х,0)п1 (х) + Ь(х, г)иг(х, г) -Ь(х, 0)и1(х) + Ьг(х, г)и(х, г) - Ьг(х, 0)ио(х) = ^г(х, г) - Гг(х, 0) + ¿1г(х, ^«ггЛх, Т - ¿1г(х,())щгг{х, Т)

+ ¿2Лх, Ь)пгг{х, Т) - ¿2г(х, 0)игг(х,

С учетом вида функций ¿1г(х, 0), со(х), ^х) приходим к равенству

иггг(х,^ - Ащ(х,г) + [а(х,г)щ(х,Щг + [Ь(х,г)и(х,г)]г

= ¥г{ х,г) + ^ г{ х,г)щгг{ х,Т) + ¿2 г( х,г)щг( х,Т). (25)

Вновь интегрируя по переменной т от 0 до г и учитывая условия (2),

(3) и вид функций ¿±(х,г), ¿2(х,~Ь), ¥{х,г), и{х), имеем

игг(х, г) - АЩх, г) + а(х, ^и^х, г) + Ь(х, г)и(х, г)

= /(х,г) + Н\{х,г)А2(х) н2{х,г)А1(х) + Н1(х,г)В2{х)пггг{х, Т) + к2(х,г)Б1(х)иггг(х, Т)

+ Н\(х, г)С2{х)ии{х, Т) + Н2{х, г) С {х)игг{х, Т).

Положив ^(х) = 91 (х) и ®(х) = ®(х), получаем, что эти функции и функция и(х,г) будут связаны в цилиндре ^ уравнением (1).

Вновь интегрируя равенство (25) по переменной £ от 0 до Т и используя условия (2), (3), (9) и (16) и вид функций ^(х), ^(х,1), ¿2(х,1), Б(х,£), получаем

игг{х, Т) — Аи{х, Т) + а{х, Т)щ{х, Т) + Ъ(х, Т)и(х, Т) = /(х, Т) + (х, Т)Л2(х) + Н2(х, Т)Л±(х) + (х, Т)Б2{х)иш{х, Т) + ^2(х, Т)Б (х)иш(х, Т)+Н\(х, Т)С2(х)ии(х, Т)+Н2(х, Т)С\ {х)ии(х, Т).

Далее, учитывая вид функций ЛДх), БДх), С(х), г = 1, 2, а(х) и условие (8) теоремы, приходим к равенству

О2

а(х, Т)[щ(х, Т) — г>1(х)] + Ь(х, Т)[м(х, Г) — г>о(х)1 — —— \и(х, Т) — г>о(х)1 = О,

ох2

из которого и получаем выполнимость условий переопределения.

Выполнимость для найденной функции и(х,~Ь) условия (4) следует из равенства (15), а также условий согласования.

Таким образом, найденные нами функции и(х,1), #1(х)> ®(х) есть решение первоначальной обратной задачи (1)-(6) из требуемых классов.

Теорема 1 доказана.

Введем некоторые дополнительные обозначения.

а(х) = —Ащ(х) + а(х, 0)и1(х) + Ъ(х, О)щ(х) — /(х,0), @(х) = —А щ(х) + (аг( х, 0) + Ъ(х, О )}и1(х)+ Ъг( х,О)ио(х) — /г( х, 0),

А( ) = ( IV Ы(х,0)Р(х) - а(х)ки(х,0) ЛХ> [ ' 112(х,0)1цг(х,0)-1ц(х,0)112г(х,0)' * ' '

щх) = (-1у__, г = 1,2,

Н2(х,0)Н1 г(х,0) — Н1(х,0)Н2г(х,0)' ' '

5 = ( 0) ~ 0) г = 1 2

Н2(х,0)Н1 г(х, 0) — ^(х, 0)^2г(х, 0)' ' '

¿\(х,-Ь) = Н\{х,1)Б2 (х) + Н2{х,1)Б\ (х), ¿2(х,~Ь) = Н\{х,1)с2{х) + Н2{х,1)с\{х),

с(х, Т) = ¿2((х, Т) — а{х, Т)с12(х, Т), Б (х,г) = /(х,г) + ь1(х,г)Л2 (х) + н2(х,г)Л1 (х),

п = —— + —2 шах ^и(х, ¿) £ ¿о9

+ —^ тах(£,и(х, ¿) + ^ тах(аи(х, + 2Ь4(ж, + 7- тахЬ24(х,£), 3

г2 = — [тах с2(х, Т) + тах д2х (х, Т)1

2 п п " "

52Т

+ ЗТтахй1(х, Т)

- тах(2а4(х, ¿) + Ь(х, ¿))2 + Т + 2Т4

^з = + ЗТ2

^ тах(2а4(х, ¿) + Ь(х, ¿))2 +Т2 + 2Т4

г4 = (а0 — г3)(1 — 4тахс/2(х,Т)).

п

Теорема 2. Пусть для функций а(х,Ь), Ь(х,Ь), хН2(х,Ь), щ(х), и\{х), Уо(х), у±(х) н /(х, £) выполняются включения а(х,~Ь) € ь(х,г) € Ы{х,±) € w¿(Я), Ни{х,г) € w¿(я), нш{х,г) €

г = 1,2,и0(х) € ^(х € х) €

w4(fi) п w¿(П) п , з = од, ¡(х,г) € ь2(о,Т^№), ЛМ) €

ь2(о,Т; w22(п)), /а{х,г) € ь2(о,Т;Т^(П)), Рн(х,г) € ь2(о,Т;Т^(П)).

Кроме того, пусть справедливы условия

а(х,£) ^ —ао < 0, (х,£) £ <3; /г-1 (х, 0)Ьы(х, 0) - /12(х,0)/ги(х,0) # О, х € О; /11 (х, Т)И2(х, 0) - /12(ж, Т)Н\(х, 0) = 0, х € О.

Пусть существуют дз > 0 такие, что выполняются следую-

щие условия:

ао — гз > 0; г4 — 2Тт2 > 0;

1—3 max dl (х, Т) --— > 0;

n J rA-21r2

1 - (3max4(i,T) + 5lT)--Ц— > 0.

n " r\ - 21 r2

Тогда обратная задача (l)-(6) имеет решение {u(x,t),qi(x),q2(x)} такое, что u(x,t) £ vq, qi(x) £ L2(d), i = 1,2.

Доказательство теоремы проводится полностью аналогично доказательству теоремы 1 с изменениями лишь в том, что в соответствующей краевой задаче для уравнения четвертого порядка условия задаются при t = T и регуляризирующее слагаемое есть eAutttt.

ЛИТЕРАТУРА

1. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

2. Романов В. Г. Устойчивость в обратных задачах. М.: Научный мир, 2005.

3. Romanov V. G. Investigation methods for inverse problems. Utrecht (The Netherlands): VSP BV, 2002.

4. Prilepko A. L, Orlovskv D. G., Vasin I. A. Methods solving inverse problems in mathematical physic. New York: Marcel Decce, 2000.

5. Anikonov Yu. E. Multidimensional inverse and I'll-posed problems for difFerentional equations. Utrecht (The Netherlands): VSP BV, 1995.

6. Anikonov Yu. E. Inverse and I'll-posed sources problems. Utrecht (The Netherlands): VSP BV, 1997.

7. Denisov A. M. Elements of theory of inverse problems. Utrecht (The Netherlands): VSP BV, 1999.

8. Кабанихин С. И., Искаков К. Т. Онтимизационнные методы решения коэффициентных обратных задач. Новосибирск: НГУ, 2001.

9. Kabanikbin S. I., Lorenzi A. Identification problems of wave phenomena — theory and numerics. Utrecht (The Netherlands): VSP BV, 2000.

10. Lorenzi A. An introduction to identification problems via functional analisis. Utrecht (The Netherlands): VSP BV, 2001.

11. Belov Yu. Ya. Inverse problems for partial differential equations. Utrecht (The Netherlands): VSP BV, 2002.

12. Klibanov M. V., Timonov A. A. Carleman estimates for coefficient inverse problems and numerical applications. Utrecht (The Netherlands): VSP BV, 2004.

13. Бубнов В. А. О корректных краевых и обратных задачах для некоторых классов эволюционных уравнений: Дис. ... докт. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1989. 287с.

14. Искандеров А. Д. Некоторые обратные задачи об определенииправых частей дифференциальных уравнений // Изв. АН АзССР. Сер. физ.-техн. и мат. наук. 1976. № 2, С. 58-63.

15. Амнров А. X. К вопросу о разрешимости обратных задач // Докл. АН СССР. 1986. Т. 290, № 2. С. 268-270.

16. Амиров A. X. К вопросу о разрешимости обратных задач // Сиб. мат. журн. 1987. Т 28, № 6. С. 3-12.

17. Сафиуллова, Р. Р. Некоторые задачи для одного классаа уравнений составного типа // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т. 3, № 2. С. 58-63.

18. Кожанов А. И. Задача определения решения и правой части специального вида в параболическом уравнении // Обратные задачи и информационные технологии. Югорский НИИ инф. технологий. 2002. Т. 1, № 3. С. 13-41.

19. Kozbanov A. Г. Composite type equations and inverse problems. Utrecht (The Netherlands): VSP BY, 1999.

г. Стерлитамак

1 октября 2008 г.