О разрешимости линейной обратной задачи нахождения правой части составного вида в гиперболическом уравнении Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

О РАЗРЕШИМОСТИ ЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ НАХОЖДЕНИЯ ПРАВОЙ ЧАСТИ СОСТАВНОГО ВИДА В ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ УРАВНЕНИИ

Р. Р. Сафиуллова

ON SOLVABILITY OF THE LINEAR INVERSE PROBLEM WITH UNKNOWN COMPOSITE RIGHT-HAND SIDE IN HYPERBOLIC EQUATION

R. R. Safiullova

Исследована разрешимость обратной задачи с неизвестной правой частью составного вида для линейных гиперболических уравнений второго порядка. Суть задачи состоит в том, что требуется вместе с решением определить неизвестную правую часть, задача рассматривается в цилиндрической области, задаются условия обычной начально-краевой задачи и некоторые условия переопределения, заданные на временных слоях t = t1, t = t2.

Ключевые слова: обратная задача, гиперболическое уравнение, условия переопределения, нелокальные условия

The solvability of the inverse problem with unknown composite right-hand side for second-order linear hyperbolic equation is studied. The essence of the problem is as follows: it is required to find together with solution the unknown right-hand side of the equation. The problem is considered in a cylindrical region, with set conditions being typical of the first boundary-value problem and with overdetermination conditions set over some sections t — ti, t — t2.

Keywords: inverse problem, hyperbolic equation, overdetermination conditions, nonlocal conditions

Введение

Работа посвящена исследованию разрешимости обратной задачи с неизвестной правой частью составного вида для гиперболических уравнений второго порядка.

Суть данной задачи состоит в том, что требуется вместе с решением определить неизвестную правую часть, при этом задача рассматривается в цилиндрической области, задаются условия обычной начально - краевой задачи и некоторые условия переопределения, заданные на временных слоях.

Обратные задачи для гиперболических уравнений второго порядка в различных постановках исследовались В. Г. Романовым, С. И. Кабанихиным, А. Лоренци, А. И. Прилепко, Б. А. Бубновым, Ю. Е. Аниконовым, Е. Г. Саватеевым и многими другими - см. работы [1 - 7] и имеющуюся там библиографию. Вместе с тем, заметим, что в предложенной ниже постановке обратные задачи для гиперболических уравнений ранее не изучались. Можно отметить лишь статьи А. Д. Искендерова [8], А. Х. Амирова [9, 10], в которых исследовались обратные задачи для гиперболических уравнений с неизвестной правой частью простейшего

вида, работу автора [12], в которой изучалась обратная задача для гиперболических уравнений с неизвестной правой частью составного вида, однако условия переопределения задачи были иные, а также работу А. И. Кожанова [11], в которой изучалась близкая по условиям переопределения обратная задача для параболических уравнений.

1. Постановка задачи

Пусть О есть ограниченная область пространства Кп с гладкой (для простоты бесконечно дифференцируемой) границей Г, Q есть цилиндр О х (0,Т) конечной высоты Т, х = (ж1,...,жп) есть точка области О, Ь есть точка интервала (0,Т), 5 есть боковая граница цилиндра Q : Б = Г х (0, Т). Далее, пусть ^¿(х, Ь), г = 1, 3, п0(х), П (х), ^1(х), ^1(х), (х), /(х,Ь) есть заданные функции, определенные при х € О, Ь € [0, Т], 0 < ¿1 < Т, 0 < ¿2 < Т, ¿1 = ¿2.

Обратная задача: найти функции и(х,Ь), (х), ^2(х), ^з(х), связанные в цилиндре Q уравнением

3

пц — Дп + а(х, + Ь(х, ¿)п = ^ ^¿(х, Ь)^г(х) + / (х, ¿), (1)

¿=1

при выполнении для функции п(х, ¿) условий

п(х, 0) = п0(х), х € О, (2)

п(х, 0) = п1(х), х € О, (3)

п(х, ¿) | £ = 0, (4)

п(х, ¿1) = ^1(х), х € О, (5)

п^х,^) = ^1(х), х € О, (6)

п(х, ¿2) = ^2(х), х € О. (7)

В рассматриваемой обратной задаче условия (2) - (4) суть условия обычной первой начально-краевой задачи, условия же (5) - (7) есть условия переопределения, необходимые для нахождения дополнительных неизвестных функций 51 (х), ^(х), 5з(х). Уточним, что условия (5) - (7) предполагают, что известна информация о состоянии среды или же иной характеристике, соответствующей процессу, описываемому уравнением (1) - в моменты времени ¿1 и ¿2.

2. Разрешимость обратной задачи

Введем в рассмотрение пространства Но, Н1, Р0 и У1:

Н = {ф,*) € ¿»(0,Т; ^(О)),^^) € ¿»(0,Т; ^+1(О)), ^(х, ¿) € ¿2^)},

V = Мх, ¿) : и(х, ¿) € Н*, ^(х, ¿) € Н*}, г = 0,1; нормы в этих пространствах определим естественным образом

1Мк = |М1ь»(0,Т;Ж2(П)) + ^^„(О.Т;^2+1(П)) + ||vtt||L2(Q),

Ик = Ик + Ык + «Я, г = 0, 1

Рассмотрим следующую линейную алгебраическую относительно функций а1(ж), а2(ж), аз (ж) систему

3

а.

г=1

^аг(ж)йг(ж,^) = )+а(ж,^(ж,^)-А^(ж)+Ь(ж,^(ж)-/(ж,4), к = 1,2, (8)

3

у^ аг(ж)^г4(ж, ¿1) = -иш(ж, ¿1) + а(ж, ¿1)-ий(ж, ¿1) - А^(ж) + [а4(ж, ¿1) + Ь(ж, ¿1)]^(ж) +

г=1

+Мж, ¿1)^1 (ж) - /¿(ж, ¿1).

Предполагая, что определитель ^о(ж) этой системы не обращается в нуль на множестве О, найдем функции аДж):

аДж) = а0(ж) + а1(ж)^44(ж, ¿1) + а2(ж)-иш(ж, ¿1) + а3(ж)-и4(ж, ¿2) + а4(ж)^й(ж, ¿2), (9)

функции а^(ж), к = 0,1, 2, 3, 4 в равенствах (9) вполне конкретно вычисляются через функции а(ж, ¿), Ь(ж, ¿), /(ж, ¿), ^(ж), ^(ж), ^(ж, ¿), к = 1, 2, j = 1,3. Положим

3

А(ж,*) = ^ ^(ж, (ж), (ж,*) = ^¿(ж, ¿) - а(ж,£)А,-(ж,£),£,-(ж) = В(ж, 0), j =1,4,

=1

5 7 _

Зг = - maxВ2(ж) + - max А2х(ж, 0) + 2 max[2aí(ж, 0) + Ь(ж, 0)] max А2(ж, 0), г = 1,4, 2 п 2 п п п

3^2 / ¿2 \ т2 = max[att(ж, ¿) + 2Ь4(ж,£)]2 + — m_axЬ|(ж,Ш , ¿2 V Я 2 3 /

3£ _

к (ж) = 72 пм А2й(ж, ¿) + 4£ max[2aíí(ж, ¿) + Ь^(ж, ¿)] шм А2 (ж, 0) + (ж), г = 1,4, ¿2 Я Я п

гг (ж) = кг (ж) + m_ax А2(ж, 0), г = 1,4, п

, , , , 7 max А2(ж, 0)

Нж) =_^_ , 2г2(ж) . п 1 +1

Пш^^) + Ь(ж, ¿)] - 2п(ж) 1 - 2г2(ж) 1 - 7max А2(ж, 0) '

п п

„ . ч 7maxА4(ж, 0)г(ж)

. _ 2г4(ж)г(ж) п 4

¿(ж) = 1 + - ь/ М О ( \Ч + п

шш^^,¿) + Ь(ж,¿)] - 2г4(ж)г(ж) 1 - 7maxА|(ж, 0)г(ж)' п п

/ 2max В2(ж) + ¿2Т 4max А?(ж, 0)

Сг(ж) = 4 щр А2+2(ж,0) I 1 + 1 - 2ПmaxВ2(ж)+ ¿2Т + 1 - 4^ А2(ж, 0) ' ,г = 1 2,

\ п п

/1 (ж, ¿) = / (ж, ¿) + ^ ^ (ж, ¿)а0 (ж),

=1

^(ж, ¿) = /ш(ж^) - [а« (ж, ¿) + 2Ь4(ж,г)]«1(ж) - Ьй(ж,г)[г«1(ж) + «о(ж)] + Азй(ж,£)«1(ж).

Теорема 1. Пусть для функций а(ж,*), 6(ж, £), (ж,*), к = 1, 3, ^>2(ж), ^(ж), и0(ж),

И1(ж) и /(ж,*) выполняются включения а(ж, *) € С3(^), Ь(ж, ¿) € С3(^), (ж,*) € (ф) П ^22(д), ^(ж, *) € (£), Л,ш(ж, *) € Ж1(д), ^(ж, ¿¿) € (О), к = 1, 2, 3, ^(ж) € Ж2(П)П

° 1 Г» 0 1 Л ° 1 О ° 1

W 1(П), г = 1, 2, ^(ж) € Ж22(П) П ж 1(П), ио(ж) € Ж24(П) П W 1(П), т(ж) € Ж>3(П) П W 1(П),

/ (ж, *) € ¿2(0,Т; Ж2(П)), /(ж,*) € ¿2(0, Т; Ж1(П)), /«(ж,*) € ¿2(0, Т; Ж 1(П)). Кроме того, пусть выполняются условия

А2(ж, 0) = 0, 4(ж) > 4 > 0, ж € П,

а(ж,*) > а0 > 0, 2а4(ж,*)+ Ь(ж,*) > 0, 2аЙ(ж,*) + Ь4(ж,*) > 0, (ж,*) € ф. Пусть > 0, ¿1 > 0 такие, что выполняются следующие условия

t2

а0 - [¿2 +t2 m_ax[2ati(x, t) + t)] + 5m2—] > 0, (10)

Q 2

ao 7772 maxA2tt(x,t) - 7£2 > 0, (11)

1 - max{2r2(x), 7max А?(ж, 0), 2 max 0) + ¿2^} > 0, (12)

П П

mln[2at(x,t) + b(x,t)] — max{2r1 (ж), 2г4(ж)г(ж), 2^г3(ж)г(ж)^(ж)} > 0, (13)

П

1 - 7f(x) ■ max{t2 max А3(ж, 0)d(x), max A(ж, o)} > 0, (14)

П П

1 - max{c2(x), c3(x)t2} > 0. (15)

Тогда обратная .задача (1) - (7) имеет решения {u(x, t), qi(x), (ж),^з(ж)} такие, что u(x,t) € V0, qfc(ж) € Ж1(П), k = 173.

Доказательство. Положим

^1(ж) = Ди0(ж) - а(ж, 0)и1(ж) - Ь(ж, 0)и0(ж) + /1(ж, 0), #2(ж) = Ди1(ж) - [а(ж, 0) + Ь(ж, 0)]и1(ж) - ^(ж, 0)и0(ж) + /1t(ж, 0) - а(ж, 0)#1(ж), 71(ж) = g1 (ж) + Аз(ж, 0)«1(ж), 72(ж) = g2(ж) + Вз(ж, 0)«1(ж).

Рассмотрим следующую краевую задачу: найти функцию -ш(ж, t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Lw = t) - Д-w + а(ж, ^-ш^ж, t) + (2а^(ж, t) + Ь(ж, t))w^, t) =

t2

= F(ж, t) + Аш(ж, t)w^, t1) + А2й(ж, t)wt^, t1) + Азй(ж, t) J -ш(ж, т)dr+

0

t t T

+А4й(ж, ^-ш(ж, t2) - [а«(ж, t) + 2^(ж, t)] У -ш(ж,т)dT - btt(ж,^У J (16)

0 0 0 такую, что для нее выполняются условия (2), (3), а также следующие условия

t2

■ш(ж, 0) = 71(ж) + А1(ж, 0)-ш(ж,^)+ А3(ж, 0) J-ш(ж,т)dT + А4(ж, 0)-ш(ж^2), ж € П, (17)

0

¿2

0) = •*<*) + ад.М*, + (X, *) + ВД / т )Лт + В^М*. *,), (I8)

0

ЧМ^Гхф.Т) =0- (19)

Разрешимость данной краевой задачи докажем, комбинируя метод регуляризации и метод продолжения по параметру.

При фиксированном положительном е рассмотрим краевую задачу: найти функцию -(ж, ¿), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

ЬеА-ш = -¿(ж, ¿) - А-ш£(ж, ¿) + а(ж, (ж, ¿) + [2аг(ж, ¿) + Ь(ж, ¿)]-ш£(ж, ¿)-

-еА—£(ж, ¿) = ^ (ж, ¿) + Аг(ж, ¿), (16еА)

где

¿2

г(ж, ¿) = Аш(ж, ¿)-ш£(ж, ¿1) + А2й(ж, ¿1) + Азй(ж, ¿) J -ш£(ж, т)^т+

0

г г т

+А4гг(ж, ¿)-ш£(ж, ¿2) - [агг(ж, ¿) + 2Ьг(ж, ¿)] У -ш£(ж,т)^т - Ьгг(ж,£)У J -ш£(ж,

0 0 0 и такую, что для нее выполняются условия (2), (3), (17) - (19).

Обозначим через Л множество тех чисел А из отрезка [0,1], для которых краевая задача (16еА), (2), (3), (17) - (19) разрешима в пространстве V при произвольной функции ^(ж,£) из пространства ¿2^).

Как известно, если множество Л не пусто, открыто и замкнуто одновременно, то оно совпадает со всем отрезком [0,1]. А это и будет означать, что краевая задача (16), (2), (3), (17) - (19) имеет решение из пространства У1.

При А = 0 существует функция -ше(ж,£), принадлежащая пространству Н1, удовлетворяющая уравнению (16^) и такая, что для нее выполняются условия (17) - (19) - см. [13]. Имея функцию -ш£(ж, ¿), нетрудно с помощью условий (2) и (3) найти саму функцию и£(ж, ¿); очевидно, что эта функция будет принадлежать пространству У1. Следовательно, множество Л не пусто - число 0 принадлежит ему. Для доказательства открытости и замкнутости Л установим необходимые априорные оценки решений задачи (16£а), (2), (3), (17) - (19) из пространства V. Для удобства индекс е у функции -ше(ж,£) временно опустим.

Рассмотрим равенство

г г г

£еАдашт^ж^т = J У ^ж^т + А J У г-—т^ж^т. 0 п 0 п 0 п

Интегрируя по частям в левой части данного равенства, используя условие (19), придем к следующему равенству

п г п г

2 У ^(ж^^ж + У (ж,^ж + У У а(ж,т+ е^ J ^ ^ж^т+ п =1 п 0 п =1 0 п

I г

+2 У [2аг(ж, ¿) + Ь(ж, ¿)]-—2(ж, ¿)^ж = J ^ ^ж^т + ^ г(ж, т)—^ж^т+

0 п 0 п

п *

+1У „^(ж, 0)^ж+2 ^ У (ж, 0)^ж+1 У[2а*(ж, 0)+Ь(ж, 0)]„2(ж, 0)^ж+1у У [2атт+ЬТ]„2^ж^т. п г—1 п п о п

Учитывая условия задачи (17), (18), требования теоремы, налагаемые на функции

а(ж,*), Ь(ж, *), применяя элементарные арифметические неравенства, получим

* *

1 ^ 1 п се п г г

2{™ I х I г,м2 /™ тлЛ™ I ^_ I I (и^^^ I х I I он2

— У «2(ж,*)^ж + У „2 (ж,*)йж + а0 У У «Т2 ^ж^т + ^ ^ж^т+

2 У ^^ 2 ._ „

п г=1 п о п г=1 о п

* *

+1т_1п[2а*(ж,*)+ Ь(ж,*)^У „2(ж,*)^ж </ У ^(ж,т)„т^ж^т + \J ^ г(ж,т)„т^ж^т+

п о п о п

*

+1т_аХ[2Мж,*)+ Ь*(ж,*)^У J „2^ж^т + 81(ж^У «2(ж,*1)^ж + 82(ж^У „2(ж,*1)^ж+ _ о п п п

+,,)/(/ „(,т V ¿ж + „(ж)/ + 1П1. А1(ж,0) у „2,

О V П / Г"» ^—1 Г"»

п о п

2

+7 шах А|(ж, 0) [ ^ ( [ «ж-¿т ) ¿ж + 7 шах А4(ж, 0) ^ [ (ж,*2)^ж + Ж1,

2 п 11=1X1 2 п г

п '—1 \о / '—1 п

где число N1 определяется лишь входными данными задачи.

Применяя к ряду слагаемых правой части соотношения неравенства Юнга и Гельдера, учитывая вид функции г(ж,*), условие (17) краевой задачи (16£)д) - (19), придем к следующему соотношению

2 У „2(ж,*)^ж + 1 ^ У „2(ж,*)^ж + ао У У „т2^ж^т + ^„2,т^ж^т+

п г—1 п о п г—1 о п

*

+2шп[2*(ж,*)+ Ь(ж,*)^У „2(ж,*)^ж < т1 У У ^ж^т + к1(ж^У „2(ж,*1)^ж+

п о п п

+к2(ж) / „^О^ + *2к3(ж) / / ^ + к4(ж) /

п о п п

п п *2

12/™ гл " / „ 2 (ж,^1)^ж + - шах А2 (ж, 0)*2 > „2

+7шах А1(ж, 0)£ У (ж,*1)^ж + 2 шах А|(ж, 0)*2 ^ У J ^ж^т+ г—1 п г—1 о п

7 П *

+7ш_ах А|(ж, 0)£ У (ж,*2)^ж + У У „2^ж^т + Ж2,

г—1п о п

где Ш1 = ¿2 + *2 шах[2а**(ж, ¿) + Ь*(ж,*)], число N2 определяется лишь входными данными _

задачи.

Оценивая сверху последнее интегральное слагаемое данного неравенства, получаем

1 I (ж,£)^ж + 1 ^ I ш"^.(ж^^ж + 1 шш^^, ¿) + 6(ж, / w2(ж,t)dж+

2 У 2 2 п У

г-» г—1 г"» г"»

п г—1 п

г п г

+(а0 - т3) J У ш2^ж^т + е^У J^ж^т < г1(ж^У ш2(ж, ¿^ж + г2(ж^У w2(ж,t1)dж+ 0 п г—1 0 п п п

г2 п +^2г3(ж^У У ш2^ж^т + г4(ж^У ш^ж,^)^ + 77 max А1(ж, 0) ^ J (ж,t1)dж+ 0 п п г—1 п

г2

+7;'™^ А3(ж, У ^т + 2 m_ax А^(ж, 0) ^ J (ж,^)^ + Ж3, (20)

г—1 0 п г—1 п

где Ш3 = Ш1 + 5т2¿г , постоянная N3 определяется лишь входными данными задачи.

г2 2

В силу условия (10) первые три слагаемых левой части неравенства (20) будут ограничены сверху правой его частью. Полагая в этом следствии £ = ¿1, получим

1п

2 - Г2(ж)

(ж, ¿1)^ж +

17

- - - max а2(ж 0) 2 2 п

п г—1 п

10 л

+ Щ1п[2аг(ж, ¿) + Ь(ж, ¿)] - г1(ж^^У ш^ж,^)^ < ¿2г3(ж^У J ш2^ж^т+г4(ж^У w2(ж,t2)dж+

п 0 п п

п г2 п

+2¿2 m_ax А2(ж, 0)^ У ^ж^т + 2 m_ax А4(ж, 0) ^ J (ж,^)^ + Ж3. г—1 0 п г—1 п

В силу условий (12) и (13) теоремы из неравенства (20) имеем

1 У ш2 (ж^^ж + 2Е У (ж,^)^ж + (а0 - т3) J ^ ^ж^т + е^ J ^ ^ж^т+

1 щ1п[2аг(ж, ¿) + ^(ж^У ш^ж^^ж < ¿2г3(ж)?(ж^У Jш2^ж^т + г4(ж)г(ж^У ш2(

п 0 п п

п г2 п

+2¿2 max А2(ж, 0)г(ж) ^ ^ж^т + -max А2(ж, 0)г(ж) ^ (ж,^)^ + N4 (21)

пп - и и п - и

г—1 0 п г—1 п

где число N4 определяется лишь входными данными задачи.

Положив в одном из следствий последнего неравенства t = ¿2, в силу условий (13), (14) теоремы не трудно прийти к следующему соотношению

1 щш^а^ж, ¿) + ^(ж^)] I ш^ж^^ж + 1 I ш^ж^^ж + 1 ^ /(ж,t)dж+

2 п У 2 У 2 ^ у 1

п п г—1 п

* П * *2 +(ао — т3) J У „^^ж^т + ^^ж^т < *2г3(ж)г(ж)^(ж^У J„2^ж^т+ о п г—1 о п о п

п *2

+7*2 шах А3(ж, 0)г(ж)^(ж) V „2¿ж^т + N5, (22)

2 п '

г—1 о п

постоянная N5 определяется лишь входными данными задачи.

Проинтегрировав одно из следствий неравенства (22) по переменной т от 0 до * и положив в полученном соотношении * = ¿2, получим

........ •—)/1-+

п *2

+ — 7*2 шах А3(ж, 0)1-(ж)й(ж^^ ! J „2, ¿ж^т < N6,

1=1 о п

постоянная N6 определяется лишь входными данными задачи.

Отсюда в силу условий (13) и (14) теоремы из неравенства (22) получим первую априорную оценку

п * - *

У У (ж,*)^ж+У У ^ж^т+е£У У ¿ж^т+1 „2(ж,*)^ж < N7, (23)

1=1 п о п 1=1 о п

где число N7 определяется лишь входными данными задачи и не зависит от е. Далее рассмотрим равенство

£ел„Д„т^ж^т = — j J ^Д„т^ж^т — А у j гД„т^ж^т. о п о п о п

Интегрируя по частям в первом и втором слагаемых левой части равенства, используя условия (17) - (19) краевой задачи, применяя элементарные арифметические неравенства, получим

2 У] У „2,4(ж,*)^ж + 2 ^ У (ж,*)^ж + ^У У (Д„т)2^ж^т <У У а(ж,т)„тД„т^ж^т+ 1=1 п г'^=1 п о п о п

+ J ! [2ат + Ь]„Д„т^ж^т — J ! ^Д„т^ж^т — А у J г(ж,т)Д„т^ж^т+ о п о п о п

пп

+ ^ / в|(ж,0)„2,*(ж,*1)йж + 2^ / А?(ж,0)„2,ж(ж,*1)^ж + М2(ж)^ж+ 1=1 п 1=1 п п

*2

л п л

А2(ж, 0)£ J „1.х.^ж + 2^ J А4(ж, 0)„2.л.(ж,*2)^ж, (24)

1=1 п 1=1

п

п

t

t

*

*

*

*

п

п

где М1(ж) представляет собой сумму, слагаемыми которой являются функция ш^^), ее производные первого порядка, либо функции, определяемые входными данными задачи.

Применяя к первым 4-м слагаемым правой части соотношения неравенство Юнга, взяв ¿2 = 4, учитывая первую априорную оценку (23) будем иметь

2Й / ш^(ж,^ж + 1 Й / (ж,^ж + |У У (Ашт )2с

г—1 п п 0 п

п . п

< Б|(ж, 0) ^ ш2.t(ж,í1)dж + 2max А^(ж, 0) ^ (ж,t1)dж+

- 1 »/ - - 1 »/ г—1 п г>-?—1!

г2

пп

+2^ п^ А3(ж, 0) ^ ш^-ж-¿ж^т + 2max А4(ж, 0) ^ ш^-ж-(ж^2)^ж + N3, (25)

п 3 3 г 3 п У 1 3

где число N8 определяется входными данными задачи и числом е.

Полагая в одном из следствий данного неравенства t = ¿1, в силу требований (12) теоремы, из неравенства (25) будем иметь

пп

У^ / ш2.t(ж,í)dж + ^ / (ж,^ж + е / / (Ашт)2^ж^т < г—1 п г'^—1п 0 п

г2

пп

< п1(ж)^2 ^ / / + п2(ж) Е / ^^^ + ^ (26)

«—10 п «—1п

где

/ 2max Б|(ж, 0) 4max А1(ж, 0) \

Пг(ж) = 4 m_ax А2+2(ж, 0) ( 1 + 1 - 2^ Б2(ж, 0) + ) , 2 = 1, 2,

\ п п /

число N9 определяется входными данными задачи и числом е.

Полагая в одном из следствий последнего неравенства t = ¿2, в силу условия (15) получим

г2

У ш2;жз ^^^ < ё У У + N10,

^—1п 2 «—1 0 п

где число N10 определяется входными данными задачи и числом е. Таким образом, из неравенства (26) получим

пп

У] / w2.t(ж,t)dж + ^ / (ж,^ж + е I / (Ашт)2^ж^т < г—1 п г'^—1п 0 п

ч п г2

< «1^2 ( 1 + 1 -^ж^ Е / / ^т + N11, (27)

0 п

число N11 определяется входными данными задачи и числом е.

Проинтегрировав в одном из следствий неравенства (27) по переменной т от 0 до ¿,

положив в полученном неравенстве Ь = ¿2, в силу условия (15) теоремы получим

п

Е / / < Ж12>

п

где постоянная N12 определяется входными данными задачи и числом е.

В силу последнего из неравенства (27) приходим ко второй априорной оценке в случае, когда е является фиксированной величиной

г

пп

У / (ж,Ь)^ж + ^ / (ж,Ь)^ж + е / / (Ашт)2^ж^т <

г=1 п г'^=1п 0 п

где число N13 определяется входными данными задачи и числом е.

Третья оценка получается при умножении равенства (16£д) на функцию штт, интегрирования полученного равенства по цилиндру с учетом первых двух оценок.

г

^ж^т < N14,

тт

0п

постоянная N14 определяется входными данными задачи и числом е.

Исходя из трех априорных оценок, мы приходим к финальной оценке в случае, когда е является фиксированной величиной

/Л 'П Л П Л

ш2(ж,Ь)^ж + / ^2(ж,Ь)^ж + ^ / (ж, + ^ / (ж,Ь)^ж+ п п г=1 п г'^=1 п

п г г г

+ У] У ш^г(ж, + J У т2^ж^т + J ^ ^ж^т + ^ ^ Аш^ж^т < N, (28)

^=1 п о п о п о п

где постоянная N определяется входными данными задачи и числом е.

Из данной оценки и следует открытость и замкнутость множества Л. Как уже говорилось выше, непустота, открытость и замкнутость множества Л означает его совпадение со всем отрезком [0,1], а, следовательно, и разрешимость краевой задачи (16£), (2), (3), (17) -(19) при фиксированном е в пространстве V!.

На следующем шаге рассмотрим случай, когда е не является фиксированной величиной. Вновь рассмотрим краевую задачу (16£), (2), (3), (17) - (19) и получим в этом случае априорные оценки для ее решений.

Полученная при фиксированном е первая априорная оценка (23) остается справедливой и в случае, когда е не является фиксированной величиной.

Для получения второй априорной оценки умножим равенство (16£) на функцию Ашг. Повторив ряд операций, что были произведены в случае, когда е являлся фиксированной величиной, придем к неравенству (24) с Л = 1.

Интегрируя по частям в последних двух слагаемых левой части неравенства (24), применяя неравенство Юнга, учитывая условие, налагаемое теоремой на функцию а(ж,Ь), а также первую априорную оценку (23), придем к следующему соотношению

У] У ш2.г(ж,Ь)^ж + 2У Аш2(ж,Ь)^ж + ^У У (Ашт )2^ж^т + а0 ^ J ^ ^ж^т г=1 п п о п г'^=1 о п

<—у J FAwTdxdr — J J г(ж,т)AwTdxdr + ¿2 ^ J J dxdr+ о п о п г>^=1 о n

n „ n „

+ maxB2(x, 0) 7 -ш24(ж, t^dx + 2 max A?(x, 0) 7 (x,t1)dx+

п J г п У 1 3

^п i'j=1n

t2

nn

+2t2maxA2(x,0) 7 w2.dxdr + 2maxA2(x,0) 7 w2.(x,t2)dx + C1,

п J J г 3 п J г 3

i,j=10 п i'j=1<

где число С1 определяется входными данными задачи и не зависит от е.

Интегрируя по частям в первом слагаемом правой части последнего неравенства, а также в каждом из слагаемых функции г(ж^), используя условие (19), неравенство Юнга, оценку (23), а также условия на функцию ^(ж^), придем к соотношению

/ w2ii(x,t)dx + 1 У (x,t)dx + е J J(Awt)2dxdT + a^j J w2.t<

i=1 п i'j = 1 п о п i=1 о п

/ ¿2T\ n r n Г

< (maxB2(x,0) +—^ ) ^ w2.t(x, t^dx + 2maxA2(x,0) ^ w2iXj(x,t1)dx+

^ п ' i=1 ^ п »,i=1n

п г'^=1п

¿2

nn

+2t2 m_ax A3 (ж, 0) E wtiXj dxdr + 2m_ax A4(x, 0) ^ w2iXj (x,t2)dx + C2, (29) п i,j=1 о п п

где a1 = ао — max A2tt(x, t) — 7£2, постоянная C2 определяется входными данными задачи

max w —

Q

и не зависит от е.

Положив в одном из следствий неравенства (29) t = ¿1, учитывая условие (12) теоремы, получим

п п п

У^ / w2ií(ж,í)dж + ^ / ш2.Жз(ж,^ж + 2е / / (Ашт)2^т + 2а1 ^ / / ^ж^т < *—1п ^—1п 0 п *—1 0 п

г2

пп

< С1(ж)*2 ^ / / + с2(ж) ^ / ^^^ + С^ (30)

«—10 п «—1п

где число С3 определяется входными данными задачи и не зависит от е. От неравенства (30) нетрудно прийти к соотношению

г

пп

У / (ж^^ж + ^ / (ж^^ж + 2е / / (Ашт)2^ж^т+ г'^—1п г—1 п 0 п

п л л п Л Л

+2а1 ^ / / ^ж^т < с3(ж) ^ / / ш2.жз^ж^т + С4, (31)

*—1 0 п 0 п

постоянная С4 определяется входными данными задачи и не зависит от е.

t

t

t

Проинтегрировав одно из следствий последнего неравенства по переменной т от 0 до Ь, положив в полученном выражении Ь = ¿2, в силу (15) из неравенства (31) получим вторую равномерную по е априорную оценку.

п - г

У У + ^ У (ж, + ^У У(А-шт)2^ж^т + J ^"^2.т^ж^т < С5,

'=1о 0 О »=1

0 П '=1 0 О

постоянная С5 определяется входными данными задачи и не зависит от е.

Третья априорная оценка имеет тот же вид, что и в случае фиксированного е и является очевидным следствием первых двух оценок.

Исходя из трех априорных оценок, приходим к финальной оценке вида (28), в которой правая часть определяется лишь входными данными задачи и не зависит от е.

Эта оценка и дает нам разрешимость задачи (16£), (2), (3), (17) - (19) в пространстве У0. Найденная функция и(ж,Ь) = и£(ж,Ь) является решением уравнения (16£л) с Л = 1. Учитывая, что -ш£ = и|г, исходя из финальной оценки, имеем

п

^ / (ж,Ь)^ж < к о

При Ь = справедливы оценки | |и|й(ж, 11^(0) < С, г = 1, 2.

Подпоследовательности {м|й(ж, ¿1)}, {"^¿¿(ж^)} равномерно ограничены в ^^(П). Тогда существует функция и(ж, Ь) такая, что при т ^ то имеют место следующие сходимости: «ш(ж, ¿г) ^ и444(ж,Ьг), г = 1, 2 сильно в Ь2(П), -итй(ж,Ь) ^ и4Ш(ж,Ь), ^(ж^) ^ «ш(ж,Ь), итт(ж,Ь) ^ игг(ж, Ь), Аитт(ж,Ь) ^ Аигг(ж, Ь), у^А-ит^ж,^ ^ 0 при ет ^ 0 слабо в £2(ф).

Из указанных сходимостей следует, что для предельной функции выполняется уравнение (16). Таким образом, найденная функция является решением краевой задачи (16), (2),

(3), (17) - (19).

Проинтегрировав уравнение (16) по переменной т от 0 до Ь, учитывая условия (2), (3), (17) (18), а также вид функций В (ж, 0), 71 (ж), 72(ж) и д2(ж) придем к равенству

иш (ж, Ь) — Аиг(ж, Ь) + а(ж, Ь)игг(ж, Ь) + аг(ж, Ь)иг (ж, Ь) + Ь(ж, Ь)иг(ж, Ь) + Ьг(ж, Ь)и(ж, Ь) = /1г(ж, Ь)+

+Аэ4(ж,Ь)и1(ж) + и44(ж,Ь1)А14(ж,Ь) + «¿¿¿(ж, ^^¿(ж, Ь) + Аэ4(ж,Ь^ итт ¿т + А44(ж,Ь)«й(ж,Ь2)-

0

Вновь проинтегрировав полученное равенство по переменной т от 0 до Ь, применяя условия (2), (3), (17), условия, налагаемые теоремой на функцию А.2(ж, 0), а также вид функций 71 (ж), #1(ж), /1(ж,Ь) и Аг(ж, Ь), придем к равенству

и« (ж, Ь) — Аи(ж, Ь) + а(ж, Ь)иг(ж, Ь) + Ь(ж, Ь)и(ж, Ь) = / (ж, Ь)+

3

+ У^ (ж, Ь) (а0(ж) + а1(ж)и44(ж, + а2(ж)мш(ж, + а3(ж)и4(ж, £2) + а4(ж)и«(ж, £2)) •

г=1

Положив функции ^¿(ж) равными а (ж) согласно (9), придем к уравнению (1). Таким образом, найденная нами функция и(ж,Ь) будет являться решением уравнения (1). Выполнимость условий (5) - (7) показывается аналогично. Условие (19) краевой задачи, а также условия, налагаемые на функции зд(ж), М1(ж) влекут выполнимость условия (4).

Таким образом, найденные нами функции и(ж,Ь), ^(ж), ^(ж), ^з(ж) - есть решение первоначальной обратной задачи (1) - (7) из требуемых классов. □

г

Литература

1. Романов, В. Г. Обратные задачи математической физики / В. Г. Романов. - М.: Наука, 1984.

2. Prilepko, A. I. Methods Solving Inverse Problems in Mathematical Phisic / A. I. Prilepko, D. G. Orlovsky, I. A. Vasin. - N. Y.: Marcel Deccer., 2000.

3. Anikonov, Yu. E. Multidimensional Inverse and I'll-Posed Problems for Differentional equations / Yu. E. Anikonov - Utrecht: The Netherlands VSP BV, 1995.

4. Anikonov, Yu. E. Inverse and I'll-Posed Sources Problems / Yu. E. Anikonov - Utrecht: The Netherlands VSP BV, 1997.

5. Kabanikhin, S. I. Identification Problems of wave Phenomena - theory and numerics / S. I. Kabanikhin, A. Lorenzi - Utrecht: The Netherlands VSP BV, 2000.

6. Savateev, E. G. Well-posedness and reduction of an inverse problem for a hyperbolic equation / E. G. Savateev // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. - 1994. - V. 2, № 2. - P. 165 - 180.

7. Бубнов, В. А. О корректных краевых и обратных задачах для некоторых классов эволюционных уравнений: дис. ... д-ра физ.-мат. наук / В. А. Бубнов. - Новосибирск, 1989. - 287 с.

8. Искендеров, А. Д. Некоторые обратные задачи об определении правых частей дифференциальных уравнений / А. Д. Искендеров // Изв. АН АзССР, Сер. физ-техн. и мат. наук. - 1976. - № 2. - С. 58 - 63.

9. Амиров, А. Х. К вопросу о разрешимости обратных задач / А. Х. Амиров // Докл. АН СССР. - 1986. - Т. 290, № 2. - С. 268 - 270.

10. Амиров, А. Х. К вопросу о разрешимости обратных задач / А. Х. Амиров // СМЖ. -1987. - Т. 28, № 6. - С. 3 - 12.

11. Кожанов, А. И. Задача определения решения и правой части специального вида в параболическом уравнении / А. И. Кожанов // Обратные задачи и информационные технологии / Югорский НИИ инф. технологий. - 2002. - Т. 1, № 3. - С. 13 - 41.

12. Сафиуллова, Р. Р. Некоторые задачи для одного класса уравнений составного типа / Р. Р. Сафиуллова // Мат. заметки ЯГУ. - 2004. - Т. 11, № 2. - С. 58 - 63.

13. Kozhanov, A. I. Composite Type equations and Inverse Problems / A. I. Kozhanov - Utrecht: The Netherlands VSP BV, 1999.

Кафедра алгебры и геометрии,

Стерлитамакская государственная педагогическая академия regina-saf@yandex.ru

Поступила в 'редакцию 23 марта 2009 г.