О разрешимости обратных задач для псевдопараболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.543.1

О РАЗРЕШИМОСТИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ*)

Г, В, Намеараева

Работа посвящена исследованию разрешимости линейных обратных задач для псевдопараболических уравнений (называемых также уравнениями соболевского типа). Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято называть такие задачи, в которых вместе с решением неизвестными являются те или иные коэффициенты самого уравнения или (и) его правая часть (внешнее воздействие). В случае если неизвестны коэффициенты, обратная задача нелинейна, если же неизвестна правая часть, то обратная задача линейна (именно такая задача рассматривается в настоящей работе).

Исследованиям разрешимости обратных задач посвящены многочисленные работы как математиков, так и специалистов по математическому моделированию. Все эти работы перечислить невозможно, но как наиболее близкие по постановке задач и используемым методам отметим монографии [1-5]. Рассматриваемые в работе уравнения сами по себе изучаются также довольно давно (см., например, [5-10]), но исследованиям именно обратных задач для таких уравнений посвящено сравнительно мало работ, отметим лишь [11—14].

Пусть Л — интервал (0,1) оси Ох, Я — прямоугольник П х (0, Т), 0 < Т < + то, а(ж,£), с(ж, £), /(ж,£), Н(ж,1), Н\(х,1), — известные

функции, определенные при ж £ Л, £ £ [0,Т].

Обратная задача I. Найти функции и(ж,£) и связанные в

*) Работа выполнена в рамках проекта «Государственное задание высшим учебным заведениям (2012-2014 гг.) для проведения НИР» (код проекта № 1.926.2011).

©2013 Намеараева Г. В.

прямоугольнике Q уравнением

иг - пххг + а(х, Ь)пхх + с(х, Ь)п = /(х, г) + д(Ь)Н(х, г), (1)

при выполнении для функции и(х, г) условий

и(о,г) = и(м) = о, о <г<т,

(2)

и(х, 0) = О, х £ Л,

их (о ,г) = о, о <г<т.

(3)

(4)

Обратная задача II. Найти функции и(х, г), ^ (г) и ^(г), связанные в прямоугольнике Q уравнением

иг - иххгЛ а(х, г)ихх + с(х,г)и = /(х, г) + ^ (х, г) + д2(г)Мх, г), (5)

при выполнении для функции и(х, г) условий

а также условий (2) и (3).

В рассматриваемых обратных задачах (2) и (3) суть условия обычной первой начально-краевой задачи для псевдопараболического уравнения (1) (или (5)) с известной правой частью, условия же (4) и (6) можно трактовать как условия переопределения. Необходимость этих условий диктуется именно наличием неизвестных коэффициентов или и Заметим, что ранее обратные задачи для псевдопа-

раболических уравнений с неизвестным коэффициентом, зависящим от временной переменной г, изучались лишь в случае переопределения интегрального вида [11-14]. Кроме того, обратная задача с неизвестной правой частью составного типа ранее не изучалась.

Выполним некоторые формальные построения, касающиеся задах

^(0, г) Ф 0 . Тогда из равенства

игХо- иххг(0,г) + а(0,г)ихх(0,г) + с(0,г)и(0,г) = /(о,г) + д(г)Мо,г)

их(о,г) = их( М) = о, о <г<т,

(6)

можно найти

_ ~иххгМ + а(0,г)ихх(0,г) - /(О,*) Введем обозначения:

— ЫжА), . а(ОЛ)ЫжЛ) сАхл) = —г-Ц/, о>(хл) = /У ,

к ' ; Но,г)

Получим

Щ-иххг+а(ж,г)ихх+с(ж,г)и = с^ж,Ь)ихх4(0 , ¿)+с2(ж, ¿)ихх(0 ,£)+/!(ж, г).

(7)

ж

М) - иххг{ М) + а(1,г)ихх( М) + с(1,г)и(1,г)

= С1 (1, ^ихх^о, г) + с2(1, г)иххф, г) + /1(1, г).

Следовательно, для функции «(ж, г) = ихх(ж, г) выполняется условие

м) + а(ммм) = с!(мЬ(о ,г) + с2(м)«(о,г) +/(м). (8)

жж

их^О,г) - иххх^О,г) + а^О,г)ихх(0,г) + а(0,г)иххх(0,г) + с^О,г)и(о,г) + с(0,г)их(0,г) = ^х(0,^иххД0+ с2х(0,г)ихх(0,г) + /х(0,г).

Отсюда

- ^(0,г) = -а^0,г)«(0,г) - а(0,фх(0,г) + с1х(0,ф4(0,г)

+ с2 х(0 ,гМ0,г) + / х(0 ,г). (9)

ж

V - «ххг + ахх« + 2ах«х + а«хх + сххи + 2схих + с«

= ^хх(ж,гН(о,г) + с2хх(ж,г)«(о,г) + /хх{ж,г). (10)

В результате пришли к нелокальной задаче для функций и(х,г) и у(х,г). С помощью решения этой задачи и будет построено решение исходной обратной задачи.

Введем еще обозначения:

ь±(х,г) = ахх( х,г) + с(х,г), Ъ2(х,г) = 2ах( х,г), Ъз(х,г) = а(х,г), Ъ±{х,Ь) = 2сх( х,Ь), Ъ5(х,г) = Схх( х,г),

Щх,ь) = ^ хЛ х,г)уг{ о ,г) + с2 хх( х,г)у(о,г) + / хх( х,г),

ъ(г) = -а(1,г), = 7з(г) = с2(м),

т(г) = -а(о,г), т(г) = с!х(о,г), %(г) = с2х(о,г) - а^о ^/М), Ы^ = к х(о ,ь).

Поскольку построенная нелокальная задача для уравнений вида (1) ранее не изучалась, исследуем ее независимо от исходной обратной задачи.

Пусть ЪДх,г), { = 1,2,3,4,5, — заданные функции, опре-

деленные при (ж,£) £ <5, з = 1,2,3, — заданные

функции, определенные при г £ [0, Т].

Нелокальная задача I. Найти функции г) и п(х, г), которые удовлетворяют уравнениям

«г-г>ххг + Ъ1(х,г)«+Ъ2(х,г)«х + Ъ3(х,г)«хх + ЪА(х,г)их + Ъ5(х,г)и = ^(х,г),

-УгХ 1,г) = ъ(г)у(1,г) + 72(гЬ(о ,г) + 7з(гМо,г) + ^(г), о<г<т,

(13)

-«х^о ,г) = ъ(г)Ух(0 ,г) + ,г) + %(гМ0,г) + ф^г), о<г<т,

(14)

V = и

•хх 1

(11) (12)

а также условиям

у(х, 0) = 0, х £ Л,

и(1,г) = о, и^о,г) = о, о<г<т.

(15)

(16)

Определим для дальнейшего исследования пространство

V- /(,+ , + ~<+ .}■

Q

Положим

Y = max Yit)k = 1- Ô1Y2Ô2,

O^t^T

Здесь ¿1 и ¿2 — некоторые фиксированные положительные числа, величины которых будут уточнены ниже.

Теорема 1. Пусть выполняются условия

bi(x,t) G C(Q), «=1,2,3,4,5, (17)

F(x,t) G L2(Q), ^(t) G l2([o,t]), Mt) g l2([o,t]), (18)

rn(t) >o, t g[o,T]), (19)

и существуют положительные числа ¿1 н S2 такие, что

h >о, h>o, h >o. (20)

Тогда нелокальная задача (11)-(16) имеет решение u(x,t), v(x,t) такое, что u(x,t) G V, v(x,t) G V.

Доказательство. Установим наличие подходящих априорных оценок решений настоящей задачи.

Умножим уравнение (11), записанное в переменных x и т, на функцию vT — vxxt и результат проинтегрируем от 0 до t по временной пере-

tx интегрирование по частям, получим t 1 t 1 t 1

vXXT dxdT+2 J j vXT dxd,T+ j j vT dxdT

00 00 00

t t t 1

2 j vXT ( 1,t)vt( l,T)dT + 2 j vXT(0 , t)vt(0 ,T)dT + J j b\vXXvT dxdT о 0 00

г 1 г 1 г 1

Ъ2Vxvт йхйт + J J йхйт + J ! Ъ±их«т йхйт

0 0 0 0 0 0

г 1 г 1 г 1

<х<гI * «хх«ххт <х<гI Ъ^хт <х<г

оо оо оо

г 1 г 1 г 1

Ъ^ххт <хйТ - / I ^^ <хйТ Ч I ^^ <хйТ 0 0 0 0 0 0

г 1

(«т - «ххт) йхйт.

о о

Воспользовавшись краевыми условиями (13) и (14), условиями теоремы, неравенством Юнга, неравенством

о о

справедливым при всех х £ [0,1] (здесь 6 — произвольное положительное число), а также представлением

т

<х,г) = 1'Ч{ х,№ о

получим, что выполняется неравенство

г 1 г 1 г 1

- 60) J ! Vххт й,хй,г+(к2 - 6о) J ! V2хт йхйг+(кз - 6о) ! J Vт йхйт оо оо оо

г т 1 г т 1

^ с I II 1«2ххАх,айхй£йт+ I 11«х4К

с !«2ххх,0<х^т + 1Л«х?(х,0йх<£йт

\о о о ООО

г т 1 \ / т >

III^ ^х, & ¿хй^йг I + с I У (<А (г) + Ф\ (г)) <и+ ! ^ (г) йхйг

V

ООО

в котором ¿о — произвольное положительное число, числа С и С2 определяются функциями х,£), ^ = 1,2,3,4,5, х,£)> 7«(х, £), г = 1, 2, 3. Поскольку числа к1, к2, кз положительны, фиксируя ¿о настолько малым, чтобы выполнялось

кх- ¿0 > 0, к2 - ¿о > 0, к3 - ¿0 > О,

получим t 1

о о

t T 1 ООО

//(v-+vT) dxdT t T 1

C / / / X' X' x'£)) dxd^dT

+ C i У (<Pi(i) + ^2(t)) dt + J Ff{t) dxdt J . \0 Q

Применив лемму Гронуолла, приходим к априорной оценке t 1 / т

j /(«4Г +* +vT) dxdT < C Цш + ) dt + / ^w dxd

0 0 \0 Q )

(21)

в которой число C определяется функциями jx,t), j = 1, 2,3,4, 5, Пг{x, t), Yi(x, t), г = 1, 2,3, a также числом T. Из (21) следует очевидная оценка

T

v -t" Hullv ^ Д/Г

llv||?,+ Hull?, £

М (J (>? (*) + ^ (*)) dt + J (*) I . (22)

\о Я '

Воспользуемся методом продолжения по параметру. Пусть А € [0,1]. Рассмотрим задачу: найти функции и(х,£) и -у(х,£), удовлетворяющие в прямоугольнике Q уравнению

Щ - уххг + Ьх (х, + Ь2 (х, ¿)«х + Ь3 (х, ¿)«хх

= Щх,г) — А[^(х,^их + Ьб(х,£)и], (11л)

а также условиям

1,г) = л [71 (г^(1, г) + 72^^(0 ,г) + 7з(гМо,г)] + ^(г), о<г<т,

(13л)

^хг(0 ,г) = л[т(гЫо ,г)+^(гЬ(о ,г)+^(гМо,г)] + ф1(г), о<г<т,

(14л)

0) = 0, X е П, и , г , их , г , < г < т.

л

ча (11л), (13л), (14л), (12), (15) и (16) разрешима в пространстве V для произвольной функции Щх,Ь) £ Ь2(ф) и функций ф\(г) и ф1(г) из пространства Ь2([0,т]). Если будет доказано, что множество Л непусто, открыто и замкнуто (в топологии отрезка [0,1]), то оно будет совпадать со всем отрезком [0,1] [15].

Непустота Л очевидна, так как число 0 принадлежит ему [10]. Открытость и замкнутость следуют из априорных оценок, полученных выше.

Отсюда по теореме о методе продолжения по параметру [15] краевая задача (11л), (13л), (14л), (12), (15), (16) разрешима для Л £ [0,1]. Теорема доказана.

Вернемся к нелокальной задаче, полученной редукцией исходной обратной задачи. Положим

с! = тах |с!хх{х,г)|,

0<х<1,

о<г<т

к'1 = к1- к'2 = к2- -^р к'3 = к3 - щ + ^.

Здесь 63 и ¿4 — некоторые фиксированные положительные числа, величины которых будут уточнены ниже.

Сформулируем теорему существования решения для задачи: найти функции ^х, г) и п{х, г), которые удовлетворяют уравнениям (10) и (12), а также условиям (8), (9), (15) и (16).

Теорема 1'. Пусть выполняются условия

Н(0, Ф 0, /»(х,()еС2Й), tG[0,T}, (23)

!(х,Ь) € /х(М) € /хх(х,£) € Ь2([0,Т]), (24)

а(х^),с(х,*) €= С2(д), с1хх(х,г) < О, * € [0,Т], (25) п существуют положительные числа ¿з и ¿4 такие, что

к' >0, к' >0, к' >0. (26)

Тогда нелокальная задача (10), (12), (8), (9), (15) и (16) имеет решение «(х, £) и и(х, £) такое, что «(х, £) € V и и(х,£) € V.

Доказательство. Повторяя доказательство теоремы 1, т. е. умножая уравнение (10), записанное в переменных х и г, на функцию «т — «ххт и интегрируя результат от 0 до £ по временной переменной и от 0 до 1 по пространственной, воспользовавшись краевыми условиями (8) и (9), условиями теоремы, неравенством Юнга, неравенством (*), представлением

т

^(х,т) = J

О

а также леммой Гронуолла, придем к оценке вида (22). Из этой оценки и теоремы о методе продолжения по параметру следует разрешимость задачи (10), (12), (8), (9), (15), (16). Теорема доказана.

Перейдем к изучению разрешимости исходной обратной задачи I.

'

обратная задача I имеет решение и(х,£) и такое, что и(х,£) € V,

</(*) € Ь2([0,Т).

Доказательство. Пусть и(х, £) и «(х, £) — функции, являющиеся решением нелокальной задачи (10), (12), (8), (9), (15) и (16). Положим

ад(х, ¿) = иь(х, £) — иххь(х, £) + а(х, £)ихх(х, £) + с(х, £)и(х, £)

— /(х,^ — ^(х,^иххД0,£) + С2(х,г)ихх(0,£).

Имеем

^хх(х,г) = о, (х,г) £ ф, ^(о,г) = цм) = о, о<г<т.

Из этих равенств следует, что т(х,г) = 0 в ф. Положим

м _ -и-ххХо,*) + д(0,г)ихх(0,г) - /(о,¿) д()~ Ц о, г)

Очевидно, что функции и{х, г) к связаны в прямоугольнике ф уравнением (1). Осталось показать, что выполняется условие и(0,г) = 0.

х иг , г с , г и , г

равенства и условия и(0, 0) = 0 следует и(0, г) = 0. Принадлежность и(х,г) и ^г) требуемым классам очевидна. Теорема доказана.

и х, г

таким, что функция ихх(х, г) также является элементом пространства V.

Приведем еще один вариант теоремы о разрешимости обратной задачи I.

Вновь начнем с формальных построений. Продифференцируем

хх пяется условие /гх(0,г) ф 0, вычислим

, л _ ~ихххг(0,*) + ах(0, ¿)цхх(0, ¿) + а(0, ¿)мххх(0, ¿) - /ж(0,

МО,*)

Положим у(х,г) = ихх(х,г). Тогда ^г) можно записать в виде _ -^(0, *) + Дх(0, Ф(0, *) + Д(0, ¿К(0,*) ~ /х(0, *)

Введем обозначения:

-Ь{х,г) а(0,г)Н(х,г)

«до мо ,г)

Получим

иг — г>г + а(х,г)у + с(х,г)и

= ^(х,г)Ух^о,г) + а2(х,г)Ух(о,г) + а3(х,г)«(о,г) + Ь(х,г). (27)

х

иь(о, г) — «До, г) + а(о, г)«(о, г) + с(о, г)и(о, г)

= адо^кдо ,г) + а2(о,г)«х(о ,г) + а3(о,г)«(о,г) + /2(о,г).

Следовательно, выполняется условие

— «До ,г) = —а(о,г)«(о,г) + ,г) + а2(о,г)«х(о ,г)

+ а3(0,г)«(0,г) + /2(0,г). (28)

х

иД 1,г) — «Д1,г) + а(1,г)«(1,г) + с(1, г)

= аДМ^ДО,г) + а2(1,фх(0,г) + а3(ММ0,г) + /2(М).

Отсюда

— «Д1,г) = —а(м)«(о,г)+ ^(1^)^(0 ,г)

+ а2(мыо,г) + а3(1,г)«(о,г) + /2(1,г). (29)

х

— «хх4 + «хх« + 2ах«х + Я«хх + Схх^ + 2Схи^ + с«

= «1 хх(х,^«хД0,г) + Я2хх(,г) + Я3хх(х,г)«(0,г) + /хх(х,^.

(30)

В результате пришли к нелокальной задаче для функций и(х, г) и «(х, г). С помощью решения этой задачи и будет построено решение исходной обратной задачи. Введем еще обозначения:

¿1(х,г) = ахх( х,г) + с(х,г), ¿2(х,г) = 2ах( х,г), ¿3(х, г) = а(х, г),

(х, г) = 2сх(х,г), ¿5(х,г) = Схх(х,г),

■^2(х,г) = а1(х,г)«х4(о ,г) + а2(х,г)«х(о ,г) + а3(х, г)«(о, г) + /2(х,г), = = = — а(о,г),

д(г) = аДм), д(г) = а2(1,г), вз(г) = а3(1,г) — а(1,г),

^(t) = /2(0,t), ^2(t) = /2(i,t). Изучим нелокальную задачу в общем виде независимо от исходной обратной задачи.

Пусть dj(ж, t), i = 1,2,3,4,5, — заданные функции, опре-

деленные при (x,t) G Qj aj(t), Pj{t)-, j = 1, 2, 3, y2(i), ^(i) — заданные функции, определенные при t g [о, T].

Нелокальная задача II. Найти функции t) и Цж, t), которые удовлетворяют уравнениям

Vt-Wxx^4 (ж, + ++ +4 (ж, t)u = ^2(ж, t),

(31)

v = uxx, (32)

а также условиям

-vt(0,t) = a(tKi(0(33) -wt(i,i) = A(i)«xt(0,i) + &(tK(0,t) + /%(*М<М) + V>2(i), (34) «(ж,0) = 0, же О, (35)

u(l,t)=0, мж(0 ,t) = 0, 0<t<T. (36)

Положим Д = max |A(t)|,

Здесь ¿5 и ¿g — некоторые фиксированные положительные числа, величины которых будут уточнены ниже.

Теорема 3. Пусть выполняются условия

di(x,t) eC(Q), «=1,2,3,4,5, (37)

F^t) g l2(Q), <^(t) g L([o,t]), Mt) e L([o,T]), (38)

ай >0, t e[o,T]), (39)

и существуют положительные числа ¿5 и ¿g такие, что

mi > 0, m > 0. (40)

Тогда нелокальная задача (31)-(36) имеет решение м(ж, t), v^,t) такое, что м(ж^) g У «(ж, t) g V.

Доказательство. Установим наличие подходящих априорных оценок решений настоящей задачи.

Умножим уравнение (31), записанное в переменных x и т, на функцию «т — «ххт и результат проинтегрируем от 0 до £ по временной переменной £ и от 0 до 1 по пространственной х. Проинтегрировав дополнительно по частям, получим

г 1 г 1 г 1

«Ххт dxdт + 2 J ! «Хт dxdт + J ^ «Т dxdт

оо оо оо

г г

— 2 J «хт( 1,т)г>т( 1,т^т + 2 J «хт(0, т)«т(0, т) dт

о о

г 1 г1

<1\тт dxdт + J ! dxdт

оо оо

г 1 г 1

^ «т «т dxdт

0 0 0 0

г 1 г 1

^ ^ —// dxdт

0 0 0 0

г 1 г 1

&2Ъхуххт dxdт — / dзvxxг'xxт dxdт

оо оо

г 1 г 1

^хт ^ —// ^

0 0 0 0

г 1

— «ххт) dxdт.

о о

Воспользовавшись краевыми условиями (33) и (34), условиями теоре-

мы, неравенством Юнга, неравенством

О О

справедливым при всех x £ [0, Т] (здесь 6 — произвольное положительное число), а также представлением

«■.

о

получим

т

о^т) = у x,od£,

г 1 6 1

— 6')/ /<4т dxd^(m — 6')/ {«1т dxdт 0 0 0 0

г 1 / г т 1

+ (тз — 6'о) J ! «т dxdт ^ С' I J J ! x, £) dxd£dт

оо \о о о

г т 1 г т 1 \

+ УУУ x, £) dxd£dт + J J J «|(x,£)dxd£dт

ООО ооо У

+ С' Ы (<р1(г) + фЦ-ь)) dt + J ^(г) dxdt

\о Я /

где 6' — произвольное положительное число, числа С' и С' определяются функциями dj(x,t), = 1,2,3,4,5, вг(x,t), «¿(x,t), г = 1,2,3. Поскольку числа Ш1, т, т положительны, фиксируя 6' настолько малым, что т — 6' >0, Ш2 — 6' > 0, т — 6' >0, имеем

г 1

//Кхт + ^ + «т) dxdт г т 1

С'///(«хх^x, 0 + x, )

о о

г т 1

^ о

0 0 0

с' ( J(<pl(t) + фЦг)) dt + JF|(t) dxdt

. 0 Q

Применив лемму Гронуолла, получим априорную оценку

rxxr + vxT + v;) dxdT

о о

< C' if (<^i(t) + ^f (t)) dt + J F%(t) dxdt I , (41) \o q '

в которой число C' определяется функциями dj(x,t), j = 1, 2,3,4, 5, x, t), «¿(x, t), i = 1, 2, 3, а также числом T. Из (41) следует очевидная оценка

||v||V + IHIV < M'(j(<pl(t) + фЦг)) dt + у Ff(t)dxdt1 . (42)

\0 Q /

Повторяя доказательство с использованием теоремы о методе продолжения по параметру [15], получим, что краевая задача (31)-(36) разрешима в пространстве V. Теорема доказана.

Возращаясь к нелокальной задаче (30), (32), (28), (29), (35), (36), полученной редукцией исходной обратной задачи, сформулируем теорему разрешимости этой задачи. Положим

, °7«1°9 °8а1°Ю ai

a1=maxalxx(x,t), m1=mi---------—

Q Z Z Zdj

'2 '

/ Л , М ^ах ( 1 \ , аг

Здесь ^ и ¿ю — некоторые фиксированные положительные чис-

ла, величины которых будут уточнены ниже.

Сформулируем теорему существования решения для задачи: найти функции у(х, ¿) н и(х, ¿), которые удовлетворяют уравнениям (30) и (32), а также условиям (28), (29), (35) и (36).

t 1

Теорема 3'. Пусть выполняются условия

МО,*) 7*0, *е[0,Т], a{x,t) GC2(Q), c(x,t) gC2(Q), (43)

h(x,t) e l2(q), ы*,*) e l2{Q), f2xx(x,t) e l2([o,t]), (44)

/i(x,t) G C2(Q), а1жж(х,*) <0, ÍG [0,21, (45) и существуют положительные числа ¿7, ¿8, ¿9 и ¿ю такие, что

m' > 0, m' >0, m' > 0. (46)

Тогда нелокальная задача (30), (32), (28), (29), (35) и (36) имеет решение v(x,t) п u(x,t) такое, что v(x,t) e V и u(x,t) e V.

Доказательство. Повторяя доказательство теоремы 3, т. е. умножая уравнение (30), записанное в переменных x и т, на функцию vT — vxxt и интегрируя результат от 0 до t по временной переменной и от 0 до 1 по пространственной, воспользовавшись краевыми условиями (28) и (29), условиями теоремы, неравенством Юнга, неравенством (*), представлением

т

v(x,T) = J x,0d£

О

а также леммой Гронуолла, придем к оценке вида (42). Из этой оценки и теоремы о методе продолжения по параметру следует разрешимость задачи (30), (32), (28), (29), (35), (36). Теорема доказана.

Перейдем к изучению разрешимости исходной обратной задачи I.

Теорема 4. Пусть выполняются все условия теоремы 3'. Тогда обратная задача I имеет решение u(x,t) н q(t) такое, что u(x,t) e V н

q(t) e l2([o,t]).

u x, t v x, t

еся решением нелокальной задачи (30), (32), (28), (29), (35) и (36). Положим

w(x,t) = ut( x,t) — uxxí( x,t) + a(x,t)uxx( x,t) + c(x,t)u(x,t) — f xx( x,t) — ai xx( x,t)uxí(0 ,t) — a¡ xx( x,t)u^0 ,t) — a3 xx( x,t)u(0,t).

Имеют место равенства

Ыхх(х,4) = 0, (х,г) е

^(о,4) = цм) = о, о<г<г.

Тем самым = О в Положим

, л _ ~ихххг(0,4) + аж(0,4)цжж(0,4) + а(0,4)цжжж(0,4) - /2ж(0,4)

ч{)~ М<М)

Очевидно, что функции и(х, 4) и связаны в прямоугольнике ( уравнением (1).

Осталось показать, что выполняется условие и(0,4) = 0. Положим в (1) х = 0. Получим и4(0+ с(0,4)и(0,4) = 0 . Из этого равенства и условия и(0, 0) = 0 следует, что и(0, 4) = 0. Принадлежность и(х,г) и требуемым классам очевидна. Теорема доказана.

Построим нелокальную задачу для обратной задачи II. Вновь нач-

х

х

М(М)ММ) - ММ)ММ) ^ 0.

Тогда из системы уравнений

иД0, 4) - иххДо, г) + а(о, ^их^о, г) + с(о, 4)и(о, 4) = /(о + 91(4)^(0,4) +

иД 1,4) - иххг( М) + а(1,г)ихх( М) + с(1,4)и(1,4) = /(1,4) + 91(г)ЫМ) + Я2№2(1,г). можно найти ^(4) и ^(4):

[-иххДоа(о,г)ихх(о- /(о,4)]ММ)

=

Мо,4)ММ) - ЫМ)М<М)

_ [-^(М) + а(1,4)Мжж(1,4) - Дм)]Мо,г)

/г,1(о,4)ММ) - Ьг(1,г)ь2(о,4)

-[-^(о,*) + а(о,4)цжж(о,4) - /(о,г)]ММ) /11(0,^/12(1,^) - ММ) МО, г)

[-^(М) + а(1,4)цжж(1,4) -

кг (0, 4)к2 (1, 4) - /11 (1,4)/12 (0,4)

Введем обозначения:

щ = ММ)ММ) — ММ)М<М),

—Mx,t)h2(l,t) + Н^1,г)Н2{:с,г)

Xl(x,t) = х^г) =

т

а(0,t)[hl(x,t)h2(M) — /1(1,-) /2 (x, -)]

хзОМ) =

Х^,-) =

7

а(1, ¿)[/г-1 (ж, ¿)/г-2 (0, - /11 (0,*)/12 (ж,*)]

/з(ж ^ = -7(о,*)[ММ) - ММ)] + /(М)[М<М) ~ Ы<М)] + /(ж ^

Получим

иг — иххг + а^Ь^хх + с^^и = /з^Ь) + x(x,^Mxx^0,Ь)

+ х^Ь^х^Xг{x,t)uxxг{ М) + X4(x,t)uxx( 1,^- (47) Продифференцируем уравнение (47) по переменной ^ ^ можим x = 0: ихг(0,Ь) — иххх^Оа^О,Ь)ихх(0,^^ а(0,Ь)иххх(0,Ь)

+ МО ,г)и(о,г) + ф,г)их(о ,г) = / х(о ,г) + х х(о ,ь)иххг(о ,г) + х х(о ,г)ихх(о ,г) + х х(о ,ь)иххг( М) + х х(о ,г)ихх( 1,г).

Пусть « = ихх. Отсюда

«х^о ,г) = а^0 ,М(о,г) + а(о,г)МО ,г) — / х(о ,г) — х х(о ,ь)«г(о ,г)

— х х(0 ,Ь)«(0,Ь) — х х(0 ,Ь)«г( М) — X х(0 ,-)«{!,-). (48) При x = 1 получим

«хг( М) = а^М)«(М) + а(М)М М) — /зЛМ) — хЛ МЬ(0

— ххЦ М)«(о,г) — хх( ММ М) — Хх( МММ)- (49) Дважды дифференцируем уравнение (47) по x:

«г — «ххг + ахх(x,t)v + 2ах(:с,гуи^ а(т,

Ь)«хх ""Ь схх(x, г)и

+ 2сж( x,t)ux + c(x,t)v = Xo xx( x,t) + X xx( X,t)uxxt(0 ,t) + X xx( X,t)uxx(0 X xx( X,t)Uxxt{ M) + X xx( X,t)uxx{ l,t). (50)

v x, t u x, t

казав разрешимость этой задачи, сможем доказать разрешимость исходной обратной задачи II. Поскольку построенная нелокальная задача для уравнения вида (5) ранее не изучалась, исследуем ее независимо от исходной обратной задачи. Для этого вновь введем обозначения:

r\(x,t) = a{x,t), ^(x,t) = 2ax(x,t), гз(х, t) = axx(x,t) + c(x,t),

Ti(x,t) = 2cx(x,t), r5(x,t) = Cxx(x,t),

F3(x,t) = f xx x, t Xxx x, t uxxt , t Xxx x, t uxx , t

Xxx x, t uxxt , t Xxx x, t uxx , t ,

= -X x(0 ,t), ^(t) = -X x(0 ,t) + ax(0 №(t) = -Xx(0

Mt) = —X x(0 ^5(t) = a(0,t), <f3(t) = -f x(0 ,t),

vi(t) = -X x( 1,^, v2{t) = -X2xX 1,t), V3(t) = -XzxX 1,t),

vi{t) = - x x( l,t) + ax( l,t), ^^ = a(l,t), = -f xX 1,t)-

Пусть rj(x,t), г = 1, 2,3,4, 5, F3(x,t) — заданные функции, определенные при (x,t) £ Q, Hj(t), Vj(t), j = 1,2,3,4, уз(i), фз (t) — заданные функции, определенные при t £ [0, T],

v x, t u x, t

рые удовлетворяют уравнениям

Vt -Vxxt + Г\(x, t)Vxx+ Г2 (x, t)Vx+ r3 (x, t)v + r4(x, t)ux + r5 (x, t)u = F3 (x, t),

(51)

V = uxx, (52)

а также условиям

Vxt(0Mi(tb(0,t) + ^(t)V(0,t) + ^{t)Vt{l,t)

+ MtMM) + Ms(t)Vx(0^W, (53)

Vxt( l,t) = v!(t)vt(0 ,t) + v2(t)v(0,t) + Mt)vt( M)

+ Mt)v(l,t) + Mt)vx( l,t)Mt), (54) v(x, 0) = 0, ж GO, (55)

ux( 1, t) = 0, ux(0, t) = 0, 0<t<T. (56)

Положим ш = max |u4(t)|, щ = max |v3(t)|,

0<t<T O^t^T

1 о x^ x V3°12 Л г ш°14

"-1 = 1, n2 = 2 - 0110l2--^--О13О14--^—,

¿11 ¿13

3 " ( + ¿12 ) ¿11 ( + ¿12 ) 13 ( + su ) ( + ¿14

0 0 0 0 числа, величины которых будут уточнены ниже.

Теорема 5. Пусть выполняются условия

n{x,t) eC(Q), « = 1,2,3,4,5, (57)

F3(x,t) е l2(Q), Mt) e l2([o,t]), Mt) e l2([o,t]), (58) шй , , t e[o,T]), (59)

0 0 0 0 n > 0, n3 > 0. (60)

u x, t v x, t

что u{x,t) e V, v(x,t) e V.

Вернемся к редуцированной нелокальной задаче (50), (52), (48),

(49), (55), (56). Обозначим X = mQx |xixx(x,t)|, X = mQx |X3xx(x,t)

Q Q

' Xl°17 X°21

«1 = П1 —

2 2

■2 „-. x x2

n2=n2- —2

XiOie XiOis X^o^ X3O22OJ1

00

^ = Пз _ (i + Л + ±)_ Mi

3 3 ¿15 V ¿16 / ¿?7 V ¿18. °

X

-2X3^1 + ^-2x^1, ^ ^

Здесь ¿15—¿22 — некоторые фиксированные положительные числа, величины которых будут уточнены ниже.

Теорема 5'. Пусть выполняются условия J(t) ф 0, t G [О,Т], a(x,t), c(x,t) GC2(Q), f3(x,t) G L2(Q), (61) hÁx,t) G L2{Q), hxx{x,t) G L2([0,T]),

о — (62)

MM) G C2(Q), Xxx(x,t) < 0, Xi(x,t) < 0, t G [0,T], (63)

существуют положительные числа ¿15-¿22 такие, что

П >0, n' > 0, n' >0. (64)

Тогда нелокальная задача (50), (52), (48), (49), (55) и (56) имеет решение v(x,t) и u(x,t) такое, что v(x,t) G Ун u(x,t) G V.

Перейдем к изучению разрешимости исходной обратной задачи II.

'

обратная задача II имеет решение u(x,t), qi(t), q2(t) такое, 4Tou(x,t) G

V, q^t) G L2([0,T]),q2(t) G L2([0,T]).

'

'

Приведем еще один вариант теоремы о разрешимости обратной задачи II.

Вновь построим нелокальную задачу. Продифференцируем урав-x x x

выполняется условие h\x(0,t)h2х(í,t) — h\x(l,t)h2x(0,t) ф 0. Обозначим

J{t) = hi х(0 ,t)h2x{ í,t) - h x( ht)h¡ x(0 ,t), = -uxxxt(0 ,t) + ax(0 ,t)uxx(0 ,t) + a(0,t)uxxx(0 ,t) - fx(0 ,t), G2{t) = -uxxxti M) + ax( l,t)uxx( l,t) + a(l,t)uxxx( M) - fx( l,t). Тогда из системы уравнений

( x(0,t) + q2(t)h2x(0,t) = G(t),

{ q^thx( l,t) + q2(t)h2x(M) = c2{t)

найдем

С(4)Нх(М) - С2{4)Н2х(0,4)

41(0 =-т-'

их С(4)Нх(0,4) - С(4)НА М)

--т-•

Введем обозначения:

н2 х(о + ьл х(о ,г)н2(х,г)

к(х,4) = 12(х, 4) = к(х,г) =

т

—а(1, 4)[/г-2ж(0, 4)/11 (ж, 4) - Ъ,1х(0,4)Ь2{х,4)]

Ш '

-ах(1,4)[н2х(о,г)к1(х,г) - х(о,4)к2(х,4)]

к(х, 4) = к(х,г) = 1е(х,4) =

М4)

~Ь2х(1,4)к1(х, 4) + к1х(1,4)к2(х,4) л (4)

д(0,4)[к2х(1,4)к1(х,4) - к1х(1,4)к2(х,4)} Л (4)

ах , 4 Н х , 4 Н х, 4 - Н х , 4 Н х, 4

Л (4)

Ых,4)[/х( 1,4) Н2х(0- /х(0,4)Н2А 1,4)]

кМ= Л(4)

Ч*,*Шо,*)ММ) - /,(1,^)^,(0,4)] +

Л (4)

Получим уравнение

- Ихх^ а(х,4)мхх + с(х,4)п = к{х,4)пхххг{ 1,4) + 12(х,4)пххх{ 1,4) + 1й{х,4)Пхх{ 1,4) + ^(х,^МхххД0,4)+ 15(х,4)иххх(0,4)

+ 1е(х,4)ихх(0,4) + и{х,4).

Положим х = 0. Пусть V = ихх. Тогда

- vt(0,4) + а(0,ф(0,4) = к(0,фхг( М) + Ы0,Фх( 1,4) + /3(0, 1, 4) + МО, 4НД0, 4) + /б(0,4Ы0, 4)

+ /е(<ММ<М) + /4(<М). (65) При х = 1 приходим к второму краевому условию:

- М) + а(ммм) = ммнд М) + ЫМЫ 1,*) + /3(1, г)«(1, г) + /4(1, гК^о, г) + /5(МЫ0, г)

+ /е(ММ<М) + /4(М). (66)

х

- «хх4 + ахх(х,г)« + 2ах(х,г)«х + а(х,

+ Схх( х,г)и + 2вх( х,г)их + е(х,гуи = к х^ м)

+ к хх( х,Ь)Ух{ м) + к хх( х,г)у(1,г) + к хх( х,Ь)«хг{0

+ кхх(х,фх(о,г) + кхх(х,г)«(о,г) + ЬхЛх,г)- (67)

Получили нелокальную задачу для функций «(х,г) и и(х,г). Доказав разрешимость этой задачи, сможем показать разрешимость исходной обратной задачи II. Поскольку построенная нелокальная задача для уравнения вида (5) ранее не изучалась, рассмотрим ее независимо от исходной обратной задачи. Для этого вновь введем обозначения:

^(х,г) = а(х,г), в2(х, г) = 2ах(х,г), вз(х, *) = ахх(х,г) + е(х,г), ,н{х,ь) = 2вх(х,г), в5(х,г) = вхх(х,г),

Щх,Ь) = кхх(х,Ь)«хг{М) + кхх(х,Ь)Ух{ М) + кхх{х,г)«(1,г)

+ к хх( х,ь)«хг{0 ,г) + к хх( х,г)«х(о ,г) + к хх( х,г)«(о,г) + /4 хх( х,г), -к2 х( м)Мо,г) + нг х{ м)М<М)

М*) = М*) = Ы*) =

Мг)

а((М)[ММ)Ыо,*) - ММ)М0,*)]

ах(о,г)[/*2х(М)Мо,*) - ММ)М<М)]

т

к2х(о,г)Мо,г) - ^х(о

Рб(4) =

щ(4) =

и. -а(1,4)[Н2х(0,4)40,4) - Нхх(0,4)40,4)]

Р5® --Ш)-'

-ах( М)[Н2х(0,4)40,4) - Нх(0,4)40,4)]

Л(4)

40,4)[/х(1,4)4(0,4) - /ж(0, 4)1г2х(1, 4)] Л (4)

МО,*ЩО,*)ММ) ~ /,(М)4(0,4)] Л (4)

~4(М)41,4)+ 4(1,4)41,4) Л (4)

а(0,4)[4(М)41,4) - 4(М)4М)] Л (4)

ах , 4 Н х , 4 Н , 4 - Н х , 4 Н , 4

+ /(0,4),

И(4) = ^(4) = ^(4) =

Ц(4) = ^(4) = ^(4) =

Л(4)

Н2х(0,4)41,4) - Нх(0,4)41,4)

М4)

-а( 1,4)[4(0,4)41,4) - 4(0,4)4М)] Л (4)

-ах{ 1,4)[Н2х(0,4)41,4) - ^,4)41,4)]

М4)

4М)[/х( 1,4)Н2АО,4) - /х(0,4)4( 1,4)]

= Л(4)

4М)[/х(0,4)4(М) -/х(1,4)4(0,4)]

Л(4)

Пусть вДх,4), %= 1,2,3,4,5, ^(х,4) — заданные функции, определенные при (ж,4) £ <5, Pj(4), «.¿(4), = 1,2,3,4,5,6, у>4(4), "04(4) — функции, определенные при 4 £ [0, Т].

Нелокальная задача IV. Найти функции '(х,4) и п(х,4), которые удовлетворяют уравнениям

'VI-'Vххь + вАх, 4^хх + в2(х, 4^х + з3(х, 4)'+^(х, 4)пх + в5(х, 4Уп = Щх, 4),

(68)

V = uxx, (69)

а также условиям

- Vt (0,t) = Р! (t)Vxt (О,t)+ р2(t)Vx(0,t) + рз (t) v(0, t)

+ Pi(t)Vxt( M) + p5{t)Vx{ M) + p6(t)v(l,t) + Mt), (70)

- Vt{l,t) = n(t)Vxt(0,t) + ^(t)Vx(0,t) + tg(t)v(0,t)

+ n{t)Vxt{ M) + l5{t)Vx{ M) + I*(t)v(l,t) + Mt), (71) v(x, 0) = О, ж GO, (72)

ux( 1, t) = 0, Ux(0, t) = 0, 0<t<T. (73)

Положим

Ъ\ = max к (t)|, p4 = max Ip4(t)|, 0<t<T 0<t<T

_ 1 r ^24 „2 r

i?l — -I — "23 24--72--025"26---'

"23 "25

M ^ Л , 1 ^ X2 Л , M p4 Л , i

РЗ = 1.

Здесь ¿23—Ф26 — некоторые фиксированные положительные числа, величины которых будут уточнены ниже.

Теорема 7. Пусть выполняются условия

з^х,г)£С(д), « = 1,2,3,4,5, (74)

Щх,г) с ЫЯ), М*) е -Ы[о,т]), е ь2([о,т]), (75) Л(г) >о, и (г) <о, г е[о(76)

п существуют положительные числа ¿23 > ¿24, ¿25 и ¿26 такие, что

Р! > 0, р2 > 0. (77)

Тогда нелокальная задача (68)-(73) имеет решение и(х, г), «(х, г) такое, что и{х,г) е V, у(х,г) е V.

Вернемся к редуцированной нелокальной задаче (67), (69), (65),

(66), (72), (73). Обозначим = тах|^хх(х,Ь)

Q

Р1~Р1 2 2 Щ'

Ро=Ро-\( 1 + —)-\(1 + — 2 " 2(5|7 \ ¿28 / 2¿|в \ ¿зо

1

Р3 =РЗ

2^7

Здесь ¿27^зо — некоторые фиксированные положительные числа, величины которых будут уточнены ниже.

Теорема 7'. Пусть выполняются условия

Л ф 0, * € [О,Т], а(х,4), с(х,4) € С2(д), /3(х,4) € Ь2(д), (78)

/з*0м) еь2(д), /Зжж(х,4) 6Ь2([0,Т]), /11 (х,4), /12(х,4) е с2(д),

¿2хх(Х,4) >0, г €[0,Т], (80)

и существуют положительные числа ¿^-¿зо такие, что

р' >0, р' > 0, р' > 0. (81)

Тогда нелокальная задача (67), (69), (65), (66), (72), (73) имеет решение у(х,г) и и{х,-Ь) такое, что € Ун и(х,~Ь) € V.

Перейдем к изучению разрешимости исходной обратной задачи II.

'

обратная задача II имеет решение и(х, г), ^(г), такое, чтои(х,г) € V, Я1(г) € € Ы[{\т]).

Доказательства '

ЛИТЕРАТУРА

1. Prilepko A. L, Orlovskv D. G., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York; Basel: Marcell Dekker Inc., 2000.

2. Anikonov Yu. E. Inverse and ill-posed problems. Utrecht: VSP, 1997.

3. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type. ???: VNTL Publ., 2003. (Math. Stud. Monogr. Ser.; V. 10).

4. Belov Yu. Ya. Inverse problems for partial differential equations. Utrecht: VSP, 2002.

5. Kozbanov A. 1. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.

6. Демиденко Г. В., Успенский С. В. Уравнения и системы, неразрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Науч. кн., 1998.

7. Sviridvuk G. A., Fedorov V. Е. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroup of operators. Utrecht: VSP, 2003.

8. Алышин А. В., Свешников А. Г., Корпусов M. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М.: Физматлит, 2002.

9. Pvatkov S. G. Operator theory. Nonclassical problems. Utrecht: VSP, 2002.

10. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: Элм, 1985.

11. Кожанов А. И. О разрешимости обратных задач восстановления коэффициентов в уравнениях составного типа // Вести. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. Т. 8, №2. 2008. С. 81-99.

12. Кожанов А. И. О разрешимости коэффициентных обратных задач для некоторых уравнений соболевского типа // Науч. ведомости Белгородск. гос. ун-та. Математика. Физика. Т. 5, №18. 2010. С. 88-98.

13. Аблабеков В. С. Обратные задачи для уравнения Бенджамина — Бона — Ма-хони // Информационные технологии и обратные задачи рационального природопользования. Ханты-Мансийск: Югорск. НИИ информ. технологий, 2005. С. 6-9.

14. Fedorov V. Е., Urazaeva А. V. An inverse problem for linear Sobolev type equations 11 J. Inverse Ill-posed Probl. 2004. V. 12, N 4. P. 387-395.

15. Треногин В. А. Функциональный анализ. M.: Наука, 1980.

г. Улан-Удэ

27 сентября 2013 г.