Научная статья на тему 'О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых задач для параболического уравнения с разрывными коэффициентами'

О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых задач для параболического уравнения с разрывными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
89
12
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ / ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ / УРАВНЕНИЯ С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ / РЕГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ / АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА / СУЩЕСТВОВАНИЕ / ЕДИНСТВЕННОСТЬ / NONLOCAL BOUNDARY CONDITIONS / INTEGRAL CONDITIONS / EQUATIONS WITH DISCONTINUOUS COEFFICIENTS / REGULAR SOLUTIONS / PRIORI ESTIMATE / UNIQUENESS / EXISTENCE

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Шадрина Александра Ивановна

Изучается разрешимость краевых задач для параболического уравнения с разрывными коэффициентами. Доказываются теоремы о существовании и единственности регулярных решений.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

About the resolvability of some space nonlocal boundary problems for parabolic equations with discontinuous coefficients

It is investigated the resolvability of some space nonlocal boundary problems for parabolic equations with discontinuous coefficients. Uniqueness and existence theorems are proofed.

Текст научной работы на тему «О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых задач для параболического уравнения с разрывными коэффициентами»

УДК 517.946

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВЕННО НЕЛОКАЛЬНЫХ

КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ*) А. И, Шадрина

Пусть Л — интервал (0, а) оси Ox, Q = Л х (О, Т), 0 < T < + ж, c(x,t), f(x,t), g(x), a(t), ß(t) — заданные функции, определенные при х £ fl, t £ [О, Т]. Далее, пусть xq — фиксированная точка П, и пусть gx

(i) g{x) е C([0,xo]), g(x) > k0 > 0 при x е [0,x0],

(ii) g(x) е C([xо, а]), g(x) > k\ > 0 при x е [x0, а],

g x g x

x—>жо —0 x—>жо+0

Рассмотрим уравнение

ut - g(x)uxx + c(x,t)u = f(x,t). (1)

Q

ляется параболическим уравнением с разрывным коэффициентом при старшей производной. Пусть K(x, t) и N(x, t) — заданные функции, определенные при x е [0,xo], t е [0, Т и x е [xo,a], t е [0, Т] соответственно. Обозначим Q— = (0, x0) х (0,Т), Q+ = (x0,a) х (0, Т).

Краевая задача I. Найти функцию u(x,t), являющуюся в пря-Q— Q

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2012-2014 гг. (проект №4402).

© 2013 Шадрина А. И.

выполняются условия

u{x, 0) = 0, x еП, (2)

u(xq + 0,t) = a(t)u(x$ — О,t), ß(t)ux{xo + Q,t) = ux(x — О,t), (3)

xq a

Ц0, f) = l Kix, ^ t> ма, t> = I N(x, ^ t> t MO, П

x

(4)

u x, t

моугольинках Q- н Q+ решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условия (2), (3) и

xq a

ux(0,t) = j K(x,t)u(x,t) dx, ux(a,t) = j N(x,t)u(x,t) dx, t 0,T).

x

(5)

u x, t

моугольпнках Q- n Q+ решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условия (2), (3) и

xq a

x

(6)

В случае K(x,t) = 0, N(x,t) = 0 краевые задачи I—III представляют собой обычные задачи дифракции, и их разрешимость в пространствах Соболева известна [1,2]. С другой стороны, наличие ненулевых K x, t N x, t

с нелокальными граничными условиями интегрального вида. В случае непрерывной положительной на П функции g(x) подобные задачи активно изучаются в последнее время [3-6], однако для уравнений с разрывным коэффициентом задачи с интегральными условиями ранее не изучались.

Определим необходимое функциональное пространство V:

V-h-/^ + Ъ -< +

v Q-

I (v2 + vt + vXx) dxdt < + то;

Q+ xo

vraimax / vX(x.t) dx < +00, vraimax / vX(x.t) dx < +00 >.

x

Норму в этом пространстве зададим естественным образом:

IM W = {J^ + ^ + 4x)dx<u + J^ + ^ + 4x)dx<M}2

Q+

vX(x,t)dx\+\ vX(x,t) dx

Q-Q

XO

2 /

x vraimax o^t^T

vo

Исследуем вопрос о единственности решений краевых задач I—III. Очевидно, что если a(t) = 0 или ß(t) = 0, то краевые задачи I—III распадающиеся. Поэтому ниже будем рассматривать случай |a(t) | > о, |ß(t)| > 0 при t g [о,T}.

Теорема 1. Пусть выполняются условия (i)-(iii), а также условия sWecHl0,хо]), îWeC'd^a]), K(x,t) g c^çf), N(x, t) g С1 (q+), c{x, t) g C(çF) п C(Q+), a(t) g C[0,T], ß(t) g C[0,T], Ht) | > 0, |ß(t) | > 0, a(t) ■ ß{t) > 0 при t g [0, T].

V

решения.

Доказательство. Пусть в краевой задаче I f(x,t) = 0 при (x,t) g Q. Обозначим

g(x0 - 0)ß(t)

Y(t) =

g{x$ + 0)a(t) '

Рассмотрим равенство, являющееся следствием уравнения (1):

г х0

Ц[ит — 9(фхх + С{х,г)и]и^г

г а

+ Ц[ит — 9(Х)ихх + с(х, т)и]<у(т)и^т = 0.

о о

х

Интегрируя по частям, получим

хо г х0 а

— J и2(х,{)с1х + J ! д(х)и2сс1хс1т + — J 7(¿)-м2(ж, с£г

х

га г хо г

+ J ! ^{т)9{х)и2х йхйт — ! J 9'(х)иих йхйт — ! 9(0)и(0, т)их(0,т)йт

х

г хо га га

- 11 с(х, т)«' <1х<1г + \ Л У(г)и2 <1х<1г - 11 ,(г)9'(Х)иих <1х<1г

хх г га

+ J ^{т)9{а)и{а,т)их(а,т)йт — ^ J ^{т)с{х,т)и2 йхйт. (9)

х

Используя условия (4), применяя неравенства Гёльдера и Юнга и учитывая условия теоремы, нетрудно получить неравенство

хо а г хо га

J и2(х,Ь) йх + J и2(х,£)йх+ ^ ! и2х йхйт + J ^ и2х йхйт

хх

г хо га г г

J ! и2 йхйт + J ! и2 йхйт + J их(0,т)йт + J и2х{а,т)йт

х

(10)

в котором число С определяется функциями 9(х), с(х^), К(х,Ь), Щх,г), а(г) и

Заметим, что имеют место неравенства

х0 х0

и2{х) < 5х ! ^Х^у)(у + С(51) J ^(у) (у, X е [О,ха\,

0 ° Ы

а а V /

^(Х < ! уХхХуу)(у + С{81) J ^(у)Лу, х е [х0,а\,

хх

здесь ¿1 — произвольное положительное число. Эти неравенства неоднократно будут использоваться в дальнейшем. На следующем шаге рассмотрим равенство

г х0

! J[uт - д(хХ)Пхх + с(х, т)п](пт - Пхх) ЛхЛт о о

г а

+ У ! 1{т)[ит - д{х)пхх + с(х,т)и](ит - и,х^ ЛхЛт = 0. (11)

х

Интегрируя по частям, получим

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

хо а

^ J(9(х) + + ^ !(д(х) + 1)7(т)и2х(х, ¿) в,х

х

г хо га г хо

+ J ! и2т ЛхЛт + J J 7(т)ит ЛхЛт + J J д(х)и2хх (х(т

х

га га

+ 11 9^^и2хх 3,х3,Т = \ / / 1\т)(9{х) + 1)и2х<1х<1т

хх

г хо га

д'(х)ихит (хЛт - J J д'(х)^{т)ихит йхйт

х

г

- J (д(0) + 1)их(0, т)ит(0, т) (т + J(д(а) + 1)7(т)их(а, т)ит (а, т) (т

г хо га г хо

с(х, ^ йхйт — ! I ч{т)с{х, т)иит йхйт +Л ф, ^иихх йхйт

х

г а

+ 1 ! 1{тИх,т)иихх йхйт. (12)

х

Воспользуемся в полученном равенстве условиями теоремы и заменим в четвертом и пятом слагаемых ит(0, г) и ит{а, г) соответствующими интегралами с помощью условий (4), далее воспользуемся неравенствами (*), Гёльдера и Юнга, а также неравенством (10) и в результате получим

хд а хд а

J и2(х,Ь) йх + J и2(х,Ь)йх + J и^х,г)йх + J и2х{х,г)йх

хх

г хо га г хо га

иТ йхйт + J J иТ йхйт + J J и2хх йхйт + J J и2хх йхйт

хх

г хо га г хо га

^ С

и йхйт + j I и йхйт + j I их йхйт + j I их йхйт

хх

(13)

где число С2 определяется функциями 9(х), с(х,г), К(х,г), К(х,г), а{Ь)

и т.

Обозначим

хо а г хо га

,1^) = J и2{х,Ь)йх + J и2(х,Ь)йх + J J их йхйт + ! J их йхйт.

хх

Тогда следствием (13) будет неравенство

г

^(г) < м У ,1(т)й(т)

где число Mi определяется функциями g(x), c(x, t), K(x, t), N(x, t), a(t) и fi(t). № этого неравенства и леммы Гронуолла следует, что £i(t) = О при t £ [О, Т]. Очевидно теперь, что имеют место тождества u(x,t) = О в Q~, u(x,t) = 0 в Q+. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть выполняются условия (i)-(iii), а также условия (7) п (8). Тогда краевая задача II не может иметь в пространстве V более одного решения.

Доказательство. Пусть в краевой задаче II f(x,t) = 0 при (x,t) £ Q. Рассмотрим равенство, являющееся следствием уравнения (1):

t x0

U[ut - 9{x)uxx+

О О

t x0

//K - 9ix)uxx + Cx, T)ub(T)udxdT =

0 0

Интегрируя по частям, получим равенство (9), затем, используя неравенства Юнга, Гёльдера и (*), придем к оценке

г

z2(t) < M J г2(т)(1(т)

о где

жо а

о ж0

число Шъ определяется функциями д{х), с(х^), К(х,1), а{Ь) и

Из этого неравенства и леммы Гронуолла следует, что = О при £ £ [О, Г]. Имеют место тождества и(х,Ь) = 0 в , и(х,Ь) = 0 в <5+. Теорема доказана.

Положим

N = max I / N2(x,t)dx o<t<T \ J

Теорема 3. Пусть выполняются условия (i)-(iii), (7) и (8), а также c(x,t) € ^(0+), c(x,t) > Со > 0 при (x,t) €= (Q+), (14)

3(50 > 0 : 4(а ~ Xf°2N° + gij]No > 0. (15)

3 2 а — xo

Тогда краевая задача III не может иметь в пространстве V более одного решения.

Доказательство. Пусть в краевой задаче III f(x,t) = 0 при x, t е Q лучим

xo xo t xo t a

\ J ul(X, t)dX+U g(X)ul(x, t)dx + JJu2T dxdr + J J ,(r)u2T dxdr

x

a a t xo

Y(^) f Y(t) f ff

H--— / ux(x,t)dx-\--— / g(x)ux(x, t) dx + / / g(x)uxxdxdr

xx t a xo a

J J g(x)~f(r)uxx dxdr + — J c(x,t)u2(x,t) J c(x,t)u2 (x,t) dx

xx t xo t a

= j j c(x,r)uuxx dxdr + j j g(x)Y{r)c(x,r)uuxx dxdr

x

t a t a t xo

+ — J j (r)u2x dx + — J j д(х)У {r)u2x dx — J J g'(x)uxuT dxdr

xx t a

—U A xhir)uxuT dxdr

x

t

— [1 + ^^ + 0)] J j(r)a'(r)u{xQ — 0, ^u^x0 + О, X dr о

t a t a

+ — J j 7(r)cT(x,r)u2 dxdr + — J J 7'(r)c(x,r)u2 dxdr

xx

г ж0

+ — У J ст(х,т)и2 ё,х<1т + [\ + д(а)\ ! ^/(т)их(а,т)ит{а,т)<1т оо о

г

- [1 + д(0)] I и^О, т)ия(0, т) ¿т. (16) о

В последних двух интегралах заменим ит(0,т) и их(а,т) с помощью краевых условий (6) и проинтегрируем в первом слагаемом полученно-т

г г

[1 + д(а)\ ! гу(т)их(а,т)ит(а,т)3,т — [1 + д(0)] J и^О, т)их(0,т)3,т =

о о

г Г а

= [1 + д(а)] J ^{т)ит (а,т) J Ы(х,т)и(х,т) ¿х

о |_ж0

г Г х0 х0

— [1 + д(0)] J их(0,т) J К(х,т)ит(х,т)<1х + J Кт(х,т)и(х,т) ¿х

о о о

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

а /а \

= —[1 + дМ] / ^«М (/Щ^иА ¿г

хо \хо /

а /а \

— [1 + д(а)] J ^{т)и{а,т) I J Мт(х,т)и(х,т) ¿х \ ¿т

хо \хо )

а /а \

— [1 + д(а)] J 7'(т)и{а,т) I J Ы(х,т)и(х,т) ¿х \ ¿т

хх

а

+ [\ + д(а)\^1^)и(а,1) ! Ы(х,Ь)и(х,Ь) ¿х

ох

г Г х0 х0

— [1 + д(0)] / их(0, т) IКх, т)ит(х, т)*х + / КАх т)и(х, т) ¿х

Обозначим

I = [1 + g(a)]j(t)u(a,t) / N(x,t)u(x,t) dx.

Используя интегральное неравенство

1 (а) ^ - [ v2(x)dx-\----— [ v'"(x)d,x1 (

a - x0 J 3 J

Xo xo

неравенства Юнга и Гёльдера, оценим |I

a-x

25о

2(a - x0)502N0Y{t) / 2

u1X{ x,t)dx. (17)

Вернемся к равенству (16) и, учитывая (17), получим

xq xq t xq t a

\ J ul(x, t)dx+\j g{x)ul {x, t)dx +J Jul dxdr + J J ,(r)u2T dxdr

^ [ul(x,t)dx+Ш 2 / 2

g x -

oo о x0

2(a - x0)602 N0

uX(x, t) dx

t X0

J J g{x)u2xxdxdr + J J д(х)^/(т)и2хх dxdr + — J c(x,t)u2(x,t) dx

о о

<

Y(t)

t X0

0 x0 0

2Sp2Np [1 + g(a)] Ar c(x,t)----^^—N0

a - xQ 25o"

t a

u x, t dx

J J c(x,r)uuXX dxdr + J J g(x)Y(T)c(x,r)uuXX dxdr

0 0 0 X0

V

ta

{т)и2х ¿х + — / / д(х)^'(т)и2х ¿х

х

г х0

х

г а

— J ! д'{х)ихит ¿х<1т — J ! д'(х)^(т)ихит йхйт

х

г

— [1 + д{ха + 0)] У ^{т)а\т)и(ха — 0, т)и^хо + 0, т) ¿т о

га га

+ — / / 7(т)ст(ж, т)и2 (1х(1т + — / / 7'(г)с(ж, т)и2 (1х(1т

х

х

г х0

+ — у J ст{х,т)и2 ¿хйт о о

а /а \

хо \хо /

а /а \

— [1 + д(а)] J ^{т)и{а,т) I J Щт (х,т)и(х,т) ¿х\ ¿т

хо \хо )

} I} I

— [1 + д(а)} / 7^т)и{а,т) I / М(х,т)и(х,т) ¿х I ¿т

д их , т

о

х

хо

Э х0

К х, т ит х, т ¿х Кт х, т и х, т ¿х

I О

¿т

Используя неравенства Юнга и Гёльдера, неравенство (*), а также условия (14) и (15), получим

ш0

хо а хо а

У u2(x,t)dx + У и2{х,1)в,х + J и^+ J и^х,1}(1х

^ Ыя

г х0

J !(их2 + и2) dxdт + J !(их2 + и2) dxdт

х

где шо — фиксированное положительное число, определяющееся д(х), с(х^), а^) и число Ы определяется функциями д(х), с(х^),

к(х,г), Щх,г), а(г) и

Из этого неравенства и леммы Гронуолла следует, что имеют место тождества и(х,Ь) = 0 в , и(х,Ь) = 0 в <5+. Теорема доказана.

Перейдем к вопросу о существовании решений краевых задач 1-Ш.

Положим

Л1(х)=(^)\ В1{х)=(^ V.

V х0 ) \а, - х0)

Теорема 4. Пусть выполняются условия (1)-(Ш), (7), (8), а также

хо а

х/щ^М**!, Щ^тъ?! (Ш)

х

при X е [0,1], 4 £ [0, Т]. Тогда краевая задача I имеет решение, принадлежащее пространству V.

Доказательство. Воспользуемся методом продолжения по параметру. Пусть X — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим семейство краевых задач: найти решение уравнения (1) такое, что для него выполняются условия (2), (3), а также условия

хо а

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

м(0,£) = Ху К(х,Ь)и(х,Ь) dx, и(а,Ь) = X J Ы(х,Ь)и(х,Ь) dx. (4д)

х

Обозначим через Л множество тех чисел X из отрезка [0,1], для которых краевая задача (1)-(3), (4д) имеет решение, принадлежащее пространству V, для любой функции /(х, го пространства Как известно [6], если окажется, что множество Л непусто, открыто и замкнуто (в топологии отрезка [0,1]), то оно будет совпадать со всем

отрезком [0,1], и тогда исходная краевая задача будет разрешимой в нужном классе.

Итак, требуется показать, что множество Л непусто, открыто и замкнуто. Множество Л непусто, что очевидным образом следует из того, что число 0 принадлежит ему [1,2].

Докажем открытость Л. Пусть Ао — точка множества Л, Л = Ао + А. Покажем, что при малых |А| число А также принадлежит Л.

Пусть у(х,Ь) — произвольная функция из пространства V. Рассмотрим краевую задачу: найти решение уравнения (1) такое, что для него выполняются условия (2), (3), а также условия

х0 х0

»(0 ,.)=*/к<х ,Ц»(х ,.)* + А/к(х № ,0*,

О О и \

а а (4Л,„)

хх

Преобразуем данную задачу к задаче вида (1)-(3), (4д).

Рассмотрим функцию

*(х,*) = < (19)

= х0<х<а, 0<*<Т,

где

= 1к(у,г)у(у,г)Лу, Ф2(г) = ^ Щу,г)у(у,г)Лу,

х

хо а

71 (г) = 1 - а0 у к(х, г)а (х) ¿х, 12 (г) = 1 - а0 ^ м(х, г)в (х) ¿х

х,

х

(заметим, что вследствие (18) функция г(х,г) определена корректно). Имеют место равенства

хо

г"(0,г) = А0 / К(х,Ь)г-(х,£) ¿х + А$1 (г), г"(хо,г) = 0, гх"(хо,г)=0,

а

г+(а,г) = А0У М(х,г)г+(х,г) ¿х + Аф2(г), х+(хо,-£) = 0, хХ+(х0,г) = о.

Хо

Положим и(х,Ь) = ц{х,Ь) + г(х, £). Тогда согласно (4л) получим

ц - д(х)цхх + с(х,Ь)ц =/0{х,Ь), (20)

Цх,0) = 0, (21)

Цхо + 0, £) = а(£)Цхо — 0р(1)цХ{хо + 0,£) = цХ(хо — 0(22)

жо а

ц(0,1) = Ао J К(х,~Ь)ц(х,~Ь) ¿х, т(а,1) = Ао J ^(х,Ь)ц(х,1) ¿х, (23)

Х

где

/(х, ¿) — + д(х)г~Х — с(х, , 0 < х < щ, 0 <1 <Т,

/ (х £) _

' /(х, £) — х^ + д(х)гЖХ — с(х, щ < х < а, 0 < £ < Т.

Поскольку /о(х, £) принадлежит пространству Ьъ(0) (что очевидно) и число Ао принадлежит Л, краевая задача I для функции ц(х,1), т. е. задача (20)-(23), имеет решение, принадлежащее пространству V. Возвращаясь к функции и(х,£), получим, что задача (1 )-(3), (4л,^) при всех из V имеет решение и(х,1), принадлежащее простран-

ству V. Тем самым эта задача порождает оператор О, переводящий пространство V в тебя: О(у) = и. Покоем, что при малых |А| этот оператор будет сжимающим.

Пусть VI (х, £) и V2 (х, £) — две функции из пространства V, щ (х, £) и и2(х,Ь) — образы функций щ(х,1) и щ(х,1) при действии отображения О, х\{х, £) и г2(х,~Ь) — функции, определенные формулой (19) ПО функциям Vl(x,t) и щ(х,~Ь), ^х,^ = щ(х,1) — щ(х,~Ь), и{х,£) = и\(х,-Ь) — и2(х,~Ь), г(х,~Ь) = г\(х,-Ь) — г2(х,~Ь), ц(х,~Ь) = и(х,~Ь) — х{х,£), /(х,Ь) = /$(х,1) — /(х, £). Для функции ц{х,Ь) выполняются равенства (21)-(23) и уравнение

ц — д(х)цхх + с(х,г)ц = /(х,г). (24)

Рассмотрим равенство, являющееся следствием (24): г хр

[»Т - д{х^хх + с(х, т)т - /(х, + тт - »хх] <х<т

о о

г а

[»т - д(х)»хх + с{х, т)» - /(х, т)]^(т)[» + »т - »хх\ <х<т = 0.

х

Интегрируя в данном равенстве по частям, используя условия (7), (8), (23) и применяя неравенства Гёльдера и Юнга, имеем

хо а хо а

J »2{х,г)<х + J »2{х,г)<х + J »х( х,г) <х + J »2х{ х,ь)<х

х

о

х

г хо га г хо га

»х ¿х<<т + »х ¿х<<т + »Т <х<т + I I »Т <х<т

о о

г х0

х

г а

о о

х

»хх <х<т ■

»хх <х<т ^ Сз

о о

х

г х0

о о

»<х<т ■

г х0

» <х<т

х

+ J »х(0,т)<т + J »х(а, т) <т + J ! »х <х<т

О О 0 0

га г хо га

+ J ! »х <х<т + J J /2 <х<т + J J /2 <1х<1т

хх

где число С определяется функциями д(х), с(х,г), К(х,г), К(х,г), а(г)

и т.

Используя далее неравенство (*) и применяя лемму Гронуолла, получим

\\»(х,г)< М\\/(х,г)\\12{я),

где число М4 определяется функциями д(х), с(х,г), К(х,г), М(х,г), а(г) и

га

Перейдя к функции и(х,~Ь) = + г(х,~Ь), имеем

|КМ)Ну < М5|А|Кх,Ь)|мч), (25)

где число М также определяется функциями д(х), с(х, Ь), К(х, Ь), К(х, Ь), а(г) и ^Ь).

А

М|А| < 1.

Для таких чисел А отображение О сжимающее и, следовательно, имеет неподвижную точку и(х,~Ь)'. О(и) = и. Эта неподвижная точка принадлежит пространству V, будет решением уравнения (1), и для нее выполняются условия (2), (3), а также

жо а

и(0, Ь) = (Ао +А) У К(х,Ь)и(х,Ь) ¿х, и{а,Ь) = (Ао + А) J М(х,Ь)и(х,Ь) ¿х.

о ж0

АА

самым множество Л открыто.

Докажем теперь, что множество Л замкнуто. Пусть {Ак} — последовательность элементов множества Л такая, что Ак ^ Ао- Покажем, А

Пусть ик(х, Ь) — решение краевой задачи (1)-(3), (4лк). Вследствие принадлежности чисел Ак множеству Л функции Ак будут принадлежать пространству V. Обозначим через ■кт(х, Ь) функцию ик(х,Ь) — ит(х,Ь). Имеют место следующие равенства:

■кт — д{х)-шктжж + с{х,г)-юкт= 0, (26)

Пкш( х, 0) = 0, (27)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(х0—о

(28)

х0 х0

тт(0 ,Ь) = Ак ! К(х,г)цкт( х,г)ё,х + {Аи — А^^ К{х,г)ит{ х,г)ё,х, о о

а а

Цкт{ а,ь) = Ак ! Щх,Ь)цкт{ х,-Ь)3,х+(Ак — Ат) J Щх,Ь)ит{ х,г)с!х.

ХХ

(29)

Рассмотрим равенство, являющееся следствием уравнения (26):

г х0

11[ШктТ — дЫЦктхх + ^^ ^ + — ^ ^

О о

г а

+Лытг —сМтш]ф)[Цкт+Цктт —= 0.

О х0

Интегрируя по частям, используя условия (7), (8), (29) и применяя неравенства Гёльдера, Юнга и (*), получим

хо а хо а

! Ц\Л + J ц1т( х,г)<1х + J ц1тх( х,г)<1х + J ц\тх{ х,г)^х

х

х

г хо га г хо га

Цктт dxdт+J ! Цктт dxdт+J ! Ц1тхх dxdт+J ¡^ Ц\тхх ¿.Ыт хх

г хо га г хо

^ С

Цкш ¿хЛт ■

Цкт dxdт ■

Цктх ¿.хЛт

О о

Цктх ¿.хЛт

х

х

г хо га

1 Ак — Ап

¿х ¿>т

¿х ¿>т

о о

х

г х0

,

х

где число С определяется функциями д(х), с(х,1), К(х,1), К(х,1), а(1)

и т-

Обозначим

х0

а

Z4.it) = / x,t)dx

+ / ыкт2(x,t)dx

I

о

х

г х0

Ь а

+

II

II

т2ктх dxdr.

о о

х

Заметим, что имеет место оценка ||мт||у ^ М с постоянной М7, определяющейся функциями д(х), с(х^), Ж(х,-£), а^) и Тогда следствием неравенства (30) и леммы Гронуолла будет оценка

где число С определяется функциями д(х), с(х, К(х, Ж(х, а^) и числом Т. Из (31) получим

где С определяется числами С и Т.

Из (32) следует, что {мк(х,Ь)} — фундаментальная в пространстве V последовательность. Поскольку V банахово, существует функция м(х^) из этого пространства, являющаяся пределом семейства {мк(х,-£)}. Переходя теперь к пределу в семействе задач (1)-(3), (4дк) при к ^ то, получим, что предельная функция м(х^) будет решением задачи (1)-(3), (4д0), принадлежащим пространству V. Это означает, что число Ао принадлежит множеству Л.

Итак, множество Л непусто, открыто и замкнуто. Как говорилось выше, следствием этого является совпадение множества Л со всем отрезком [0,1]. Но тогда задача (1)-(3), (4д), а значит, и исходная задача (1)-(4) разрешимы в пространстве V.

Теорема доказана.

Положим

¿4^) < С |Ак - Ат|2,

(31)

||^кт( х,Ь) У2 < С |Ак - Ат|2,

(32)

Теорема 5. Пусть выполняются условия (1)-(Ш), (7), (8) и

хо а

\ ! К{х,г)А2(х)<1хф 1, \ ! Щх,Ь)В2{х)Охф 1 (33)

х

прн X е [О ,1], 4 € [О, Т]. Тогда краевая задача II имеет решение, принадлежащее пространству V.

Доказательство. Вновь воспользуемся методом продолжения по параметру. Пусть X — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим семейство краевых задач: найти решение уравнения (1) такое, что для него выполняются условия (2), (3) и

хо а

мх(0,~Ь) = X J К(х,~Ь)п(х,~Ь) Ох, пх(а,Ь) = X J Щ(х,~Ь)п(х,~Ь) Ох. (5л)

х

Снова обозначим через Л множество тех чисел X из отрезка [0,1], для

л

пространству V, для любой функции /(х, ¿) го пространства Нужно показать, что множество Л непусто, открыто и замкнуто.

Очевидно, что множество Л непусто. Для доказательства открытости Л рассмотрим краевую задачу: найти решение уравнения (1) такое, что для него выполняются условия (2), (3) и хо х0

о о

а а

„( м) = л0 / щ^оы] Щ^ФЛО*

хх

(здесь у(х— произвольная функция из пространства V).

л

Рассмотрим функцию

г-(х,1) = 0 < х < х0, 0 < * < Т,

= хо < х < а, 0 < £ < Т,

где

жо а

73(г) = 1 - Л0 J К{х,г)Л2{х) (х, 74 (г) = 1 - \о ! Щх,Ь)Б2{х)(Ь.

О ж0

Имеют место равенства

жо

гж-(0,г) = Ла ! К(х,г)г~(х,г) ¿х + Л^!^), гхо,г) = 0, гж-(хо,г)=0, о

а

гж+ (а,-Ь) = Ла ! Щх,-Ь)г+(х,-Ь) ¿х + Л$г+(хо,г) = 0, гж+(хо,г)=0.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ж

Рассуждая так же, как при доказательстве теоремы 4, получим сжимающий оператор О, переводящий пространство V в тебя: = и. В силу справедливости априорной оценки (25) получим, что множество Л открыто. Замкнутость множества Л доказывается аналогично теореме 4.

Итак, множество Л непусто, открыто и замкнуто, а стало быть, совпадает со всем отрезком [0,1]. В итоге задача (1)-(3), (5л), а значит, и исходная задача (1)-(3), (5) будут разрешимы в пространстве V. Теорема доказана.

Теорема 6. Пусть выполняются условия (^-(Ш), (7), (8), (18) и (33). Тогда краевая задача III имеет решение, принадлежащее пространству V.

Доказательство. Снова используя метод продолжения по параметру, рассмотрим семейство краевых задач (1)-(3) с условиями

жо а

и(0,г) = Л J К(х,Ь)и(х,Ь) (х, иж( а,г) = Л J Ы(х,Ь)и(х,Ь) (х. (6л)

ж

Л,

л

страпству V, для любой функции ¡(х, г) го пространства

Очевидно, что множество Л непусто.

Для доказательства открытости Л рассмотрим краевую задачу: найти решение уравнения (1) такое, что для него выполняются условия (2), (3) и

х0 х0

о о

а а

«х( М^/^ММ^ + Л/ММММ)*.

хх

Преобразуем данную задачу к задаче вида (1)-(3), (6л). Рассмотрим функцию

_ I = 0<Х<Х0, 0 <1<Т,

{ = х0 <х<а, 0<t<T,

где

хо

г-(0,1) = Хо J К(х,Ь)х-(х,Ь) ¿х + АФ^), г-(хо,£) = 0, хх-(хо,£)=0, о

а

гх+(а,Ь) = Ао ! Щх,1)г+(х,1) ¿х + АФх+(хо,1) = 0, хх+(хо^)=0.

х

Рассуждая, как при доказательстве теорем 4 и 5, получим сжимающий оператор О, переводящий пространство V в себя: С(у) = и. В силу справедливости априорной оценки (25) получим, что множество Л открыто. Замкнутость множества Л очевидна.

Итак, множество Л непусто, открыто и замкнуто, стало быть, сов-,л исходпая задача (1)-(3), (6) разрешимы в пространстве V. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1973.

2. Олейник О. А. Краевые задачи для линейных уравнений эллиптического и параболического типа с разрывными коэффициентами // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1961. Т. 25, №1. С. 3-20.

3. Пулькина Л. С. Нелокальная задача для уравнения теплопроводности // Неклассические уравнения мат. физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2005. С. 231-239.

4. Кожанов А. И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых задач для линейных параболических уравнений // Вест. Самарск. ун-та. Естественнонаучная сер. 2008. №3. С. 165-174.

5. Кожанов А. И. О разрешимости краевых задач с нелокальными и интегральными условиями для параболических уравнений // Нелинейные граничные задачи. 2010. Т. 20. С. 54-76.

6. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

г. Якутск

12 января 2013 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.