О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых задач для параболического уравнения с разрывными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВЕННО НЕЛОКАЛЬНЫХ

КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ*) А. И, Шадрина

Пусть Л — интервал (0, а) оси Ox, Q = Л х (О, Т), 0 < T < + ж, c(x,t), f(x,t), g(x), a(t), ß(t) — заданные функции, определенные при х £ fl, t £ [О, Т]. Далее, пусть xq — фиксированная точка П, и пусть gx

(i) g{x) е C([0,xo]), g(x) > k0 > 0 при x е [0,x0],

(ii) g(x) е C([xо, а]), g(x) > k\ > 0 при x е [x0, а],

g x g x

x—>жо —0 x—>жо+0

Рассмотрим уравнение

ut - g(x)uxx + c(x,t)u = f(x,t). (1)

Q

ляется параболическим уравнением с разрывным коэффициентом при старшей производной. Пусть K(x, t) и N(x, t) — заданные функции, определенные при x е [0,xo], t е [0, Т и x е [xo,a], t е [0, Т] соответственно. Обозначим Q— = (0, x0) х (0,Т), Q+ = (x0,a) х (0, Т).

Краевая задача I. Найти функцию u(x,t), являющуюся в пря-Q— Q

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2012-2014 гг. (проект №4402).

© 2013 Шадрина А. И.

выполняются условия

u{x, 0) = 0, x еП, (2)

u(xq + 0,t) = a(t)u(x$ — О,t), ß(t)ux{xo + Q,t) = ux(x — О,t), (3)

xq a

Ц0, f) = l Kix, ^ t> ма, t> = I N(x, ^ t> t MO, П

x

(4)

u x, t

моугольинках Q- н Q+ решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условия (2), (3) и

xq a

ux(0,t) = j K(x,t)u(x,t) dx, ux(a,t) = j N(x,t)u(x,t) dx, t 0,T).

x

(5)

u x, t

моугольпнках Q- n Q+ решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условия (2), (3) и

xq a

x

(6)

В случае K(x,t) = 0, N(x,t) = 0 краевые задачи I—III представляют собой обычные задачи дифракции, и их разрешимость в пространствах Соболева известна [1,2]. С другой стороны, наличие ненулевых K x, t N x, t

с нелокальными граничными условиями интегрального вида. В случае непрерывной положительной на П функции g(x) подобные задачи активно изучаются в последнее время [3-6], однако для уравнений с разрывным коэффициентом задачи с интегральными условиями ранее не изучались.

Определим необходимое функциональное пространство V:

V-h-/^ + Ъ -< +

v Q-

I (v2 + vt + vXx) dxdt < + то;

Q+ xo

vraimax / vX(x.t) dx < +00, vraimax / vX(x.t) dx < +00 >.

x

Норму в этом пространстве зададим естественным образом:

IM W = {J^ + ^ + 4x)dx<u + J^ + ^ + 4x)dx<M}2

Q+

vX(x,t)dx\+\ vX(x,t) dx

Q-Q

XO

2 /

x vraimax o^t^T

vo

Исследуем вопрос о единственности решений краевых задач I—III. Очевидно, что если a(t) = 0 или ß(t) = 0, то краевые задачи I—III распадающиеся. Поэтому ниже будем рассматривать случай |a(t) | > о, |ß(t)| > 0 при t g [о,T}.

Теорема 1. Пусть выполняются условия (i)-(iii), а также условия sWecHl0,хо]), îWeC'd^a]), K(x,t) g c^çf), N(x, t) g С1 (q+), c{x, t) g C(çF) п C(Q+), a(t) g C[0,T], ß(t) g C[0,T], Ht) | > 0, |ß(t) | > 0, a(t) ■ ß{t) > 0 при t g [0, T].

V

решения.

Доказательство. Пусть в краевой задаче I f(x,t) = 0 при (x,t) g Q. Обозначим

g(x0 - 0)ß(t)

Y(t) =

g{x$ + 0)a(t) '

Рассмотрим равенство, являющееся следствием уравнения (1):

г х0

Ц[ит — 9(фхх + С{х,г)и]и^г

г а

+ Ц[ит — 9(Х)ихх + с(х, т)и]<у(т)и^т = 0.

о о

х

Интегрируя по частям, получим

хо г х0 а

— J и2(х,{)с1х + J ! д(х)и2сс1хс1т + — J 7(¿)-м2(ж, с£г

х

га г хо г

+ J ! ^{т)9{х)и2х йхйт — ! J 9'(х)иих йхйт — ! 9(0)и(0, т)их(0,т)йт

х

г хо га га

- 11 с(х, т)«' <1х<1г + \ Л У(г)и2 <1х<1г - 11 ,(г)9'(Х)иих <1х<1г

хх г га

+ J ^{т)9{а)и{а,т)их(а,т)йт — ^ J ^{т)с{х,т)и2 йхйт. (9)

х

Используя условия (4), применяя неравенства Гёльдера и Юнга и учитывая условия теоремы, нетрудно получить неравенство

хо а г хо га

J и2(х,Ь) йх + J и2(х,£)йх+ ^ ! и2х йхйт + J ^ и2х йхйт

хх

г хо га г г

J ! и2 йхйт + J ! и2 йхйт + J их(0,т)йт + J и2х{а,т)йт

х

(10)

в котором число С определяется функциями 9(х), с(х^), К(х,Ь), Щх,г), а(г) и

Заметим, что имеют место неравенства

х0 х0

и2{х) < 5х ! ^Х^у)(у + С(51) J ^(у) (у, X е [О,ха\,

0 ° Ы

а а V /

^(Х < ! уХхХуу)(у + С{81) J ^(у)Лу, х е [х0,а\,

хх

здесь ¿1 — произвольное положительное число. Эти неравенства неоднократно будут использоваться в дальнейшем. На следующем шаге рассмотрим равенство

г х0

! J[uт - д(хХ)Пхх + с(х, т)п](пт - Пхх) ЛхЛт о о

г а

+ У ! 1{т)[ит - д{х)пхх + с(х,т)и](ит - и,х^ ЛхЛт = 0. (11)

х

Интегрируя по частям, получим

хо а

^ J(9(х) + + ^ !(д(х) + 1)7(т)и2х(х, ¿) в,х

х

г хо га г хо

+ J ! и2т ЛхЛт + J J 7(т)ит ЛхЛт + J J д(х)и2хх (х(т

х

га га

+ 11 9^^и2хх 3,х3,Т = \ / / 1\т)(9{х) + 1)и2х<1х<1т

хх

г хо га

д'(х)ихит (хЛт - J J д'(х)^{т)ихит йхйт

х

г

- J (д(0) + 1)их(0, т)ит(0, т) (т + J(д(а) + 1)7(т)их(а, т)ит (а, т) (т

г хо га г хо

с(х, ^ йхйт — ! I ч{т)с{х, т)иит йхйт +Л ф, ^иихх йхйт

х

г а

+ 1 ! 1{тИх,т)иихх йхйт. (12)

х

Воспользуемся в полученном равенстве условиями теоремы и заменим в четвертом и пятом слагаемых ит(0, г) и ит{а, г) соответствующими интегралами с помощью условий (4), далее воспользуемся неравенствами (*), Гёльдера и Юнга, а также неравенством (10) и в результате получим

хд а хд а

J и2(х,Ь) йх + J и2(х,Ь)йх + J и^х,г)йх + J и2х{х,г)йх

хх

г хо га г хо га

иТ йхйт + J J иТ йхйт + J J и2хх йхйт + J J и2хх йхйт

хх

г хо га г хо га

^ С

и йхйт + j I и йхйт + j I их йхйт + j I их йхйт

хх

(13)

где число С2 определяется функциями 9(х), с(х,г), К(х,г), К(х,г), а{Ь)

и т.

Обозначим

хо а г хо га

,1^) = J и2{х,Ь)йх + J и2(х,Ь)йх + J J их йхйт + ! J их йхйт.

хх

Тогда следствием (13) будет неравенство

г

^(г) < м У ,1(т)й(т)

где число Mi определяется функциями g(x), c(x, t), K(x, t), N(x, t), a(t) и fi(t). № этого неравенства и леммы Гронуолла следует, что £i(t) = О при t £ [О, Т]. Очевидно теперь, что имеют место тождества u(x,t) = О в Q~, u(x,t) = 0 в Q+. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть выполняются условия (i)-(iii), а также условия (7) п (8). Тогда краевая задача II не может иметь в пространстве V более одного решения.

Доказательство. Пусть в краевой задаче II f(x,t) = 0 при (x,t) £ Q. Рассмотрим равенство, являющееся следствием уравнения (1):

t x0

U[ut - 9{x)uxx+

О О

t x0

//K - 9ix)uxx + Cx, T)ub(T)udxdT =

0 0

Интегрируя по частям, получим равенство (9), затем, используя неравенства Юнга, Гёльдера и (*), придем к оценке

г

z2(t) < M J г2(т)(1(т)

о где

жо а

о ж0

число Шъ определяется функциями д{х), с(х^), К(х,1), а{Ь) и

Из этого неравенства и леммы Гронуолла следует, что = О при £ £ [О, Г]. Имеют место тождества и(х,Ь) = 0 в , и(х,Ь) = 0 в <5+. Теорема доказана.

Положим

N = max I / N2(x,t)dx o<t<T \ J

Теорема 3. Пусть выполняются условия (i)-(iii), (7) и (8), а также c(x,t) € ^(0+), c(x,t) > Со > 0 при (x,t) €= (Q+), (14)

3(50 > 0 : 4(а ~ Xf°2N° + gij]No > 0. (15)

3 2 а — xo

Тогда краевая задача III не может иметь в пространстве V более одного решения.

Доказательство. Пусть в краевой задаче III f(x,t) = 0 при x, t е Q лучим

xo xo t xo t a

\ J ul(X, t)dX+U g(X)ul(x, t)dx + JJu2T dxdr + J J ,(r)u2T dxdr

x

a a t xo

Y(^) f Y(t) f ff

H--— / ux(x,t)dx-\--— / g(x)ux(x, t) dx + / / g(x)uxxdxdr

xx t a xo a

J J g(x)~f(r)uxx dxdr + — J c(x,t)u2(x,t) J c(x,t)u2 (x,t) dx

xx t xo t a

= j j c(x,r)uuxx dxdr + j j g(x)Y{r)c(x,r)uuxx dxdr

x

t a t a t xo

+ — J j (r)u2x dx + — J j д(х)У {r)u2x dx — J J g'(x)uxuT dxdr

xx t a

—U A xhir)uxuT dxdr

x

t

— [1 + ^^ + 0)] J j(r)a'(r)u{xQ — 0, ^u^x0 + О, X dr о

t a t a

+ — J j 7(r)cT(x,r)u2 dxdr + — J J 7'(r)c(x,r)u2 dxdr

xx

г ж0

+ — У J ст(х,т)и2 ё,х<1т + [\ + д(а)\ ! ^/(т)их(а,т)ит{а,т)<1т оо о

г

- [1 + д(0)] I и^О, т)ия(0, т) ¿т. (16) о

В последних двух интегралах заменим ит(0,т) и их(а,т) с помощью краевых условий (6) и проинтегрируем в первом слагаемом полученно-т

г г

[1 + д(а)\ ! гу(т)их(а,т)ит(а,т)3,т — [1 + д(0)] J и^О, т)их(0,т)3,т =

о о

г Г а

= [1 + д(а)] J ^{т)ит (а,т) J Ы(х,т)и(х,т) ¿х

о |_ж0

г Г х0 х0

— [1 + д(0)] J их(0,т) J К(х,т)ит(х,т)<1х + J Кт(х,т)и(х,т) ¿х

о о о

а /а \

= —[1 + дМ] / ^«М (/Щ^иА ¿г

хо \хо /

а /а \

— [1 + д(а)] J ^{т)и{а,т) I J Мт(х,т)и(х,т) ¿х \ ¿т

хо \хо )

а /а \

— [1 + д(а)] J 7'(т)и{а,т) I J Ы(х,т)и(х,т) ¿х \ ¿т

хх

а

+ [\ + д(а)\^1^)и(а,1) ! Ы(х,Ь)и(х,Ь) ¿х

ох

г Г х0 х0

— [1 + д(0)] / их(0, т) IКх, т)ит(х, т)*х + / КАх т)и(х, т) ¿х

Обозначим

I = [1 + g(a)]j(t)u(a,t) / N(x,t)u(x,t) dx.

Используя интегральное неравенство

1 (а) ^ - [ v2(x)dx-\----— [ v'"(x)d,x1 (

a - x0 J 3 J

Xo xo

неравенства Юнга и Гёльдера, оценим |I

a-x

25о

2(a - x0)502N0Y{t) / 2

u1X{ x,t)dx. (17)

Вернемся к равенству (16) и, учитывая (17), получим

xq xq t xq t a

\ J ul(x, t)dx+\j g{x)ul {x, t)dx +J Jul dxdr + J J ,(r)u2T dxdr

^ [ul(x,t)dx+Ш 2 / 2

g x -

oo о x0

2(a - x0)602 N0

uX(x, t) dx

t X0

J J g{x)u2xxdxdr + J J д(х)^/(т)и2хх dxdr + — J c(x,t)u2(x,t) dx

о о

<

Y(t)

t X0

0 x0 0

2Sp2Np [1 + g(a)] Ar c(x,t)----^^—N0

a - xQ 25o"

t a

u x, t dx

J J c(x,r)uuXX dxdr + J J g(x)Y(T)c(x,r)uuXX dxdr

0 0 0 X0

V

ta

{т)и2х ¿х + — / / д(х)^'(т)и2х ¿х

х

г х0

х

г а

— J ! д'{х)ихит ¿х<1т — J ! д'(х)^(т)ихит йхйт

х

г

— [1 + д{ха + 0)] У ^{т)а\т)и(ха — 0, т)и^хо + 0, т) ¿т о

га га

+ — / / 7(т)ст(ж, т)и2 (1х(1т + — / / 7'(г)с(ж, т)и2 (1х(1т

х

х

г х0

+ — у J ст{х,т)и2 ¿хйт о о

а /а \

хо \хо /

а /а \

— [1 + д(а)] J ^{т)и{а,т) I J Щт (х,т)и(х,т) ¿х\ ¿т

хо \хо )

} I} I

— [1 + д(а)} / 7^т)и{а,т) I / М(х,т)и(х,т) ¿х I ¿т

д их , т

о

х

хо

Э х0

К х, т ит х, т ¿х Кт х, т и х, т ¿х

I О

¿т

Используя неравенства Юнга и Гёльдера, неравенство (*), а также условия (14) и (15), получим

ш0

хо а хо а

У u2(x,t)dx + У и2{х,1)в,х + J и^+ J и^х,1}(1х

^ Ыя

г х0

J !(их2 + и2) dxdт + J !(их2 + и2) dxdт

х

где шо — фиксированное положительное число, определяющееся д(х), с(х^), а^) и число Ы определяется функциями д(х), с(х^),

к(х,г), Щх,г), а(г) и

Из этого неравенства и леммы Гронуолла следует, что имеют место тождества и(х,Ь) = 0 в , и(х,Ь) = 0 в <5+. Теорема доказана.

Перейдем к вопросу о существовании решений краевых задач 1-Ш.

Положим

Л1(х)=(^)\ В1{х)=(^ V.

V х0 ) \а, - х0)

Теорема 4. Пусть выполняются условия (1)-(Ш), (7), (8), а также

хо а

х/щ^М**!, Щ^тъ?! (Ш)

х

при X е [0,1], 4 £ [0, Т]. Тогда краевая задача I имеет решение, принадлежащее пространству V.

Доказательство. Воспользуемся методом продолжения по параметру. Пусть X — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим семейство краевых задач: найти решение уравнения (1) такое, что для него выполняются условия (2), (3), а также условия

хо а

м(0,£) = Ху К(х,Ь)и(х,Ь) dx, и(а,Ь) = X J Ы(х,Ь)и(х,Ь) dx. (4д)

х

Обозначим через Л множество тех чисел X из отрезка [0,1], для которых краевая задача (1)-(3), (4д) имеет решение, принадлежащее пространству V, для любой функции /(х, го пространства Как известно [6], если окажется, что множество Л непусто, открыто и замкнуто (в топологии отрезка [0,1]), то оно будет совпадать со всем

отрезком [0,1], и тогда исходная краевая задача будет разрешимой в нужном классе.

Итак, требуется показать, что множество Л непусто, открыто и замкнуто. Множество Л непусто, что очевидным образом следует из того, что число 0 принадлежит ему [1,2].

Докажем открытость Л. Пусть Ао — точка множества Л, Л = Ао + А. Покажем, что при малых |А| число А также принадлежит Л.

Пусть у(х,Ь) — произвольная функция из пространства V. Рассмотрим краевую задачу: найти решение уравнения (1) такое, что для него выполняются условия (2), (3), а также условия

х0 х0

»(0 ,.)=*/к<х ,Ц»(х ,.)* + А/к(х № ,0*,

О О и \

а а (4Л,„)

хх

Преобразуем данную задачу к задаче вида (1)-(3), (4д).

Рассмотрим функцию

*(х,*) = < (19)

= х0<х<а, 0<*<Т,

где

= 1к(у,г)у(у,г)Лу, Ф2(г) = ^ Щу,г)у(у,г)Лу,

х

хо а

71 (г) = 1 - а0 у к(х, г)а (х) ¿х, 12 (г) = 1 - а0 ^ м(х, г)в (х) ¿х

х,

х

(заметим, что вследствие (18) функция г(х,г) определена корректно). Имеют место равенства

хо

г"(0,г) = А0 / К(х,Ь)г-(х,£) ¿х + А$1 (г), г"(хо,г) = 0, гх"(хо,г)=0,

а

г+(а,г) = А0У М(х,г)г+(х,г) ¿х + Аф2(г), х+(хо,-£) = 0, хХ+(х0,г) = о.

Хо

Положим и(х,Ь) = ц{х,Ь) + г(х, £). Тогда согласно (4л) получим

ц - д(х)цхх + с(х,Ь)ц =/0{х,Ь), (20)

Цх,0) = 0, (21)

Цхо + 0, £) = а(£)Цхо — 0р(1)цХ{хо + 0,£) = цХ(хо — 0(22)

жо а

ц(0,1) = Ао J К(х,~Ь)ц(х,~Ь) ¿х, т(а,1) = Ао J ^(х,Ь)ц(х,1) ¿х, (23)

Х

где

/(х, ¿) — + д(х)г~Х — с(х, , 0 < х < щ, 0 <1 <Т,

/ (х £) _

' /(х, £) — х^ + д(х)гЖХ — с(х, щ < х < а, 0 < £ < Т.

Поскольку /о(х, £) принадлежит пространству Ьъ(0) (что очевидно) и число Ао принадлежит Л, краевая задача I для функции ц(х,1), т. е. задача (20)-(23), имеет решение, принадлежащее пространству V. Возвращаясь к функции и(х,£), получим, что задача (1 )-(3), (4л,^) при всех из V имеет решение и(х,1), принадлежащее простран-

ству V. Тем самым эта задача порождает оператор О, переводящий пространство V в тебя: О(у) = и. Покоем, что при малых |А| этот оператор будет сжимающим.

Пусть VI (х, £) и V2 (х, £) — две функции из пространства V, щ (х, £) и и2(х,Ь) — образы функций щ(х,1) и щ(х,1) при действии отображения О, х\{х, £) и г2(х,~Ь) — функции, определенные формулой (19) ПО функциям Vl(x,t) и щ(х,~Ь), ^х,^ = щ(х,1) — щ(х,~Ь), и{х,£) = и\(х,-Ь) — и2(х,~Ь), г(х,~Ь) = г\(х,-Ь) — г2(х,~Ь), ц(х,~Ь) = и(х,~Ь) — х{х,£), /(х,Ь) = /$(х,1) — /(х, £). Для функции ц{х,Ь) выполняются равенства (21)-(23) и уравнение

ц — д(х)цхх + с(х,г)ц = /(х,г). (24)

Рассмотрим равенство, являющееся следствием (24): г хр

[»Т - д{х^хх + с(х, т)т - /(х, + тт - »хх] <х<т

о о

г а

[»т - д(х)»хх + с{х, т)» - /(х, т)]^(т)[» + »т - »хх\ <х<т = 0.

х

Интегрируя в данном равенстве по частям, используя условия (7), (8), (23) и применяя неравенства Гёльдера и Юнга, имеем

хо а хо а

J »2{х,г)<х + J »2{х,г)<х + J »х( х,г) <х + J »2х{ х,ь)<х

х

о

х

г хо га г хо га

»х ¿х<<т + »х ¿х<<т + »Т <х<т + I I »Т <х<т

о о

г х0

х

г а

о о

х

»хх <х<т ■

»хх <х<т ^ Сз

о о

х

г х0

о о

»<х<т ■

г х0

» <х<т

х

+ J »х(0,т)<т + J »х(а, т) <т + J ! »х <х<т

О О 0 0

га г хо га

+ J ! »х <х<т + J J /2 <х<т + J J /2 <1х<1т

хх

где число С определяется функциями д(х), с(х,г), К(х,г), К(х,г), а(г)

и т.

Используя далее неравенство (*) и применяя лемму Гронуолла, получим

\\»(х,г)< М\\/(х,г)\\12{я),

где число М4 определяется функциями д(х), с(х,г), К(х,г), М(х,г), а(г) и

га

Перейдя к функции и(х,~Ь) = + г(х,~Ь), имеем

|КМ)Ну < М5|А|Кх,Ь)|мч), (25)

где число М также определяется функциями д(х), с(х, Ь), К(х, Ь), К(х, Ь), а(г) и ^Ь).

А

М|А| < 1.

Для таких чисел А отображение О сжимающее и, следовательно, имеет неподвижную точку и(х,~Ь)'. О(и) = и. Эта неподвижная точка принадлежит пространству V, будет решением уравнения (1), и для нее выполняются условия (2), (3), а также

жо а

и(0, Ь) = (Ао +А) У К(х,Ь)и(х,Ь) ¿х, и{а,Ь) = (Ао + А) J М(х,Ь)и(х,Ь) ¿х.

о ж0

АА

самым множество Л открыто.

Докажем теперь, что множество Л замкнуто. Пусть {Ак} — последовательность элементов множества Л такая, что Ак ^ Ао- Покажем, А

Пусть ик(х, Ь) — решение краевой задачи (1)-(3), (4лк). Вследствие принадлежности чисел Ак множеству Л функции Ак будут принадлежать пространству V. Обозначим через ■кт(х, Ь) функцию ик(х,Ь) — ит(х,Ь). Имеют место следующие равенства:

■кт — д{х)-шктжж + с{х,г)-юкт= 0, (26)

Пкш( х, 0) = 0, (27)

(х0—о

(28)

х0 х0

тт(0 ,Ь) = Ак ! К(х,г)цкт( х,г)ё,х + {Аи — А^^ К{х,г)ит{ х,г)ё,х, о о

а а

Цкт{ а,ь) = Ак ! Щх,Ь)цкт{ х,-Ь)3,х+(Ак — Ат) J Щх,Ь)ит{ х,г)с!х.

ХХ

(29)

Рассмотрим равенство, являющееся следствием уравнения (26):

г х0

11[ШктТ — дЫЦктхх + ^^ ^ + — ^ ^

О о

г а

+Лытг —сМтш]ф)[Цкт+Цктт —= 0.

О х0

Интегрируя по частям, используя условия (7), (8), (29) и применяя неравенства Гёльдера, Юнга и (*), получим

хо а хо а

! Ц\Л + J ц1т( х,г)<1х + J ц1тх( х,г)<1х + J ц\тх{ х,г)^х

х

х

г хо га г хо га

Цктт dxdт+J ! Цктт dxdт+J ! Ц1тхх dxdт+J ¡^ Ц\тхх ¿.Ыт хх

г хо га г хо

^ С

Цкш ¿хЛт ■

Цкт dxdт ■

Цктх ¿.хЛт

О о

Цктх ¿.хЛт

х

х

г хо га

1 Ак — Ап

¿х ¿>т

¿х ¿>т

о о

х

г х0

,

х

где число С определяется функциями д(х), с(х,1), К(х,1), К(х,1), а(1)

и т-

Обозначим

х0

а

Z4.it) = / x,t)dx

+ / ыкт2(x,t)dx

I

о

х

г х0

Ь а

+

II

II

т2ктх dxdr.

о о

х

Заметим, что имеет место оценка ||мт||у ^ М с постоянной М7, определяющейся функциями д(х), с(х^), Ж(х,-£), а^) и Тогда следствием неравенства (30) и леммы Гронуолла будет оценка

где число С определяется функциями д(х), с(х, К(х, Ж(х, а^) и числом Т. Из (31) получим

где С определяется числами С и Т.

Из (32) следует, что {мк(х,Ь)} — фундаментальная в пространстве V последовательность. Поскольку V банахово, существует функция м(х^) из этого пространства, являющаяся пределом семейства {мк(х,-£)}. Переходя теперь к пределу в семействе задач (1)-(3), (4дк) при к ^ то, получим, что предельная функция м(х^) будет решением задачи (1)-(3), (4д0), принадлежащим пространству V. Это означает, что число Ао принадлежит множеству Л.

Итак, множество Л непусто, открыто и замкнуто. Как говорилось выше, следствием этого является совпадение множества Л со всем отрезком [0,1]. Но тогда задача (1)-(3), (4д), а значит, и исходная задача (1)-(4) разрешимы в пространстве V.

Теорема доказана.

Положим

¿4^) < С |Ак - Ат|2,

(31)

||^кт( х,Ь) У2 < С |Ак - Ат|2,

(32)

Теорема 5. Пусть выполняются условия (1)-(Ш), (7), (8) и

хо а

\ ! К{х,г)А2(х)<1хф 1, \ ! Щх,Ь)В2{х)Охф 1 (33)

х

прн X е [О ,1], 4 € [О, Т]. Тогда краевая задача II имеет решение, принадлежащее пространству V.

Доказательство. Вновь воспользуемся методом продолжения по параметру. Пусть X — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим семейство краевых задач: найти решение уравнения (1) такое, что для него выполняются условия (2), (3) и

хо а

мх(0,~Ь) = X J К(х,~Ь)п(х,~Ь) Ох, пх(а,Ь) = X J Щ(х,~Ь)п(х,~Ь) Ох. (5л)

х

Снова обозначим через Л множество тех чисел X из отрезка [0,1], для

л

пространству V, для любой функции /(х, ¿) го пространства Нужно показать, что множество Л непусто, открыто и замкнуто.

Очевидно, что множество Л непусто. Для доказательства открытости Л рассмотрим краевую задачу: найти решение уравнения (1) такое, что для него выполняются условия (2), (3) и хо х0

о о

а а

„( м) = л0 / щ^оы] Щ^ФЛО*

хх

(здесь у(х— произвольная функция из пространства V).

л

Рассмотрим функцию

г-(х,1) = 0 < х < х0, 0 < * < Т,

= хо < х < а, 0 < £ < Т,

где

жо а

73(г) = 1 - Л0 J К{х,г)Л2{х) (х, 74 (г) = 1 - \о ! Щх,Ь)Б2{х)(Ь.

О ж0

Имеют место равенства

жо

гж-(0,г) = Ла ! К(х,г)г~(х,г) ¿х + Л^!^), гхо,г) = 0, гж-(хо,г)=0, о

а

гж+ (а,-Ь) = Ла ! Щх,-Ь)г+(х,-Ь) ¿х + Л$г+(хо,г) = 0, гж+(хо,г)=0.

ж

Рассуждая так же, как при доказательстве теоремы 4, получим сжимающий оператор О, переводящий пространство V в тебя: = и. В силу справедливости априорной оценки (25) получим, что множество Л открыто. Замкнутость множества Л доказывается аналогично теореме 4.

Итак, множество Л непусто, открыто и замкнуто, а стало быть, совпадает со всем отрезком [0,1]. В итоге задача (1)-(3), (5л), а значит, и исходная задача (1)-(3), (5) будут разрешимы в пространстве V. Теорема доказана.

Теорема 6. Пусть выполняются условия (^-(Ш), (7), (8), (18) и (33). Тогда краевая задача III имеет решение, принадлежащее пространству V.

Доказательство. Снова используя метод продолжения по параметру, рассмотрим семейство краевых задач (1)-(3) с условиями

жо а

и(0,г) = Л J К(х,Ь)и(х,Ь) (х, иж( а,г) = Л J Ы(х,Ь)и(х,Ь) (х. (6л)

ж

Л,

л

страпству V, для любой функции ¡(х, г) го пространства

Очевидно, что множество Л непусто.

Для доказательства открытости Л рассмотрим краевую задачу: найти решение уравнения (1) такое, что для него выполняются условия (2), (3) и

х0 х0

о о

а а

«х( М^/^ММ^ + Л/ММММ)*.

хх

Преобразуем данную задачу к задаче вида (1)-(3), (6л). Рассмотрим функцию

_ I = 0<Х<Х0, 0 <1<Т,

{ = х0 <х<а, 0<t<T,

где

хо

г-(0,1) = Хо J К(х,Ь)х-(х,Ь) ¿х + АФ^), г-(хо,£) = 0, хх-(хо,£)=0, о

а

гх+(а,Ь) = Ао ! Щх,1)г+(х,1) ¿х + АФх+(хо,1) = 0, хх+(хо^)=0.

х

Рассуждая, как при доказательстве теорем 4 и 5, получим сжимающий оператор О, переводящий пространство V в себя: С(у) = и. В силу справедливости априорной оценки (25) получим, что множество Л открыто. Замкнутость множества Л очевидна.

Итак, множество Л непусто, открыто и замкнуто, стало быть, сов-,л исходпая задача (1)-(3), (6) разрешимы в пространстве V. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1973.

2. Олейник О. А. Краевые задачи для линейных уравнений эллиптического и параболического типа с разрывными коэффициентами // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1961. Т. 25, №1. С. 3-20.

3. Пулькина Л. С. Нелокальная задача для уравнения теплопроводности // Неклассические уравнения мат. физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2005. С. 231-239.

4. Кожанов А. И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых задач для линейных параболических уравнений // Вест. Самарск. ун-та. Естественнонаучная сер. 2008. №3. С. 165-174.

5. Кожанов А. И. О разрешимости краевых задач с нелокальными и интегральными условиями для параболических уравнений // Нелинейные граничные задачи. 2010. Т. 20. С. 54-76.

6. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

г. Якутск

12 января 2013 г.