О разрешимости обратной задачи для параболического уравнения высокого порядка с неизвестным коэффициентом при производной по времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

О РАЗРЕШИМОСТИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА С НЕИЗВЕСТНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ ПО ВРЕМЕНИ*) Л, А, Телешева

Задача, которая будет изучаться в настоящей работе, относится к классу коэффициентных обратных задач, т. е. задач, в которых вместе с решением дифференциального уравнения неизвестными являются тот или иной (иные) коэффициент(ы) и (или) правая часть. Обратные задачи для параболических уравнений в различных постановках исследовались в многочисленных работах; как наиболее близкие к тематике данной статьи можно отметить монографии [1-5] и статьи [6-12].

Один из наиболее часто применяемых в последнее время методов доказательства разрешимости обратных задач — сведение обратной задачи к новой краевой задаче для «нагруженного» уравнения [13,14], существование решения которого дает существование решения исходной обратной задачи.

Перейдем к содержательной части. В работе рассматривается разрешимость обратной задачи для параболических уравнений высокого порядка с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени.

Функции /(х,£), щ(х), ^о(^), К(х), с(х,£) из-

вестны и заданы при х € [0,1], £ € [0, Т].

*) Работа выполнена при финансовой поддержке гранта БГУ-2010. © 2011 Телешева Л. А.

Обратная задача I. Найти функции {и(х,Ь),р(Ь)}, связанные в прямоугольнике Q = {(х, Ь) : (ОД) х (О, Т)}, Т < то, уравнением

р(Ь)щ + ихххх + с(х,Ь)и = ¡{х,Ь), (1)

при выполнении для функции и(х,Ь) начального условия

и(х,0) = и0(х), х е(ОД), (2)

краевых условий

и(о,г) = <р0(г),

и(\,г) = Ф0(ь),

их(о ,г) = <р!(г), и^ М) = ФЛЬ),

а также условия переопределения

1

К(х)и(х,Ь) ¿х = ^(Ь). (5)

о

В условиях (3)-(5) Ь есть точка интервала (0,Т).

Обратная задача II. Найти функции {и(х,Ь),р(Ь)}, связанные в прямоугольнике Q уравнением (1), при выполнении для функции и(х,Ь) условий (2), (3), (5), а также условий

ихх(0 ,t)=lp1{t),

Пхх{ М) = Ф\{Ь).

Для простоты изложения дальнейших выкладок введем некоторые обозначения. Здесь и далее считаем, что функция с(х, Ь) представима в виде с(х,Ь) = с±(х,Ь) + ^(х,Ь).

Пусть ро, Р1, Мо — положительные числа, роль которых будет объяснена ниже. Положим, что

и{х,Ь) = [ф!(Ь) + СР!(Ь) - 2Фо(Ь) + 2^(^]х3

+ [Зф0(*) - 3М*) - 2Ы*) - + МЬ)х +

■ш$(х) = щ(х) - и(х,0), а(х, Ь) =

1 1 1 ? 1 [

РШ = —— / К(х)/(х,1)<1х--— / с(х, {)и(х, ¿)К(х) (1х

М (ч 3

о

1 1

(p(t,v) = j K(x)vxxxx dx + j K(x)c(x,t)v(x,t) dx,

о о

v(x,t) — заданная функция,

f(x,t) = f(x,t) — c{x,t)u{x,t) — F{t)ut{ x,t),

l

Мп = Pi Mo, Mi = max / a2(x,t)dx, 0<t<T J 0

mi = max |ut(x,t) m = max |c2(x, t) m2 = max |c9(x, t) Q Q Q

(то Mi \ 6 = max —, —5— , \Po M0P0J

t 1 1 1

Ki = —J J f2(x,T)dxdT + J WQ2(x)dx + J ci(x,0)wq(x) dx,

00 0

3maM , 3m|

K2 = -Чг1 +--, Ri = [КгMl exp(K2T)}*.

PoM5 Po

Теорема 1. Пусть выполняются условия

f(x,t)GL2(Q), c(x,t) eC1©, c2(x,t) G C2(Q)jj,(t) G ^([O.T]), ВД G C4([0,1]), ^(x) G ^([0,1]), ^i(x) G ^([0,1]), ^o(x) G ^([0,1]), ^i(x) G ^([0,1]), uQ{x) G Wi(Q), | > M при t G [0,T}, F(t) > p0+pi npnt G[0,T],

ci (ж, t) > 0, ск(х, t) < 0 при(х, t) G Q, 1

j K(x)uo(x) dx = m(0). 0

Кроме того, пусть выполняются условия

K(0) = K(l) = K'(0) = K'(l) = О, R < М,

а также условия согласования

uo(0) = <^(0), u0(l) = ^0(l), u'0 = МО), -4(1) = ^1).

Тогда для обратной задачи I существует решение u(x, t), p(t) такое что u(x,t) g W^iQ), p(t) g loo([0, T]).

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию u(x,t), удовлетворяющую в прямоугольнике Q уравнению

1

If 1

K(x)f(x, t) (¿ж--——ip(t, u)

Щ + uxxxx + c(x,t)u = f(x,t) (7)

о

и условиям (2)—(4).

Решение данной задачи будем искать в виде и{х,Ь) = и{х,Ь) + ш{х,Ь). Тогда данная задача сведется к обратной задаче с однородными краевыми условиями, при этом начальное условие преобразуется к аналогичному для и(х, условию. Более точно, имеем задачу: найти функцию являющуюся в прямоугольнике Q решением уравне-

ния

wt + wxxxx + с(х, t)w = f(x, t) + —tp(t, w)ut (1')

МЧ 4

и такую, что для нее выполняются условия

w(x,0) = wQ{x), x G(ОД), (2')

w(0,t) = 0, t G(0,T),

w(l,t) = 0, t g(0,T), wx(0,t) = 0, t g(0,T),

wx , t , t g , T .

Определим срезающую функцию G(£):

£, если |£| < Mo, G(£) = { M, если £ > M0, -Mo, если £ < -M0-

' '

Рассмотрим уравнение

+ Ш

хххх

+ с(х,г)т = /(ж, г) + ——т)щ (1С)

и краевую задачу: найти функцию ш(ж, , являющуюся в прямоугольнике ^ ^^^^^^^^^^^^^ уравнения (1с) и такую, что для нее выполняются условия (2')-(4').

Для доказательства разрешимости этой задачи воспользуемся методом линеаризации и методом продолжения по параметру.

Пусть А е [О, 1], у(ж,Ь) — заданная функция из Рассмот-

рим краевую задачу: найти функцию являющуюся в прямо-

угольнике Q решением уравнения

н такую, что для нее выполняются условия (2')Д4').

Поскольку и для метода продолжения по параметру, и для метода неподвижной точки необходимы «хорошие» априорные оценки, покажем их наличие.

В дальнейшем систематически будет использоваться неравенство

+ Ш

хххх

+ с(ж, г)и> = /(ж,г) + ——ср(г, ю)щ {1о,у,а)

1

1

(8)

о

о

справедливое при выполнении условий (3') и (4').

Рассмотрим равенство г 1

о о

являющееся следствием уравнения (1с,«,л) •

Используя интегрирование по частям, условия теоремы, неравенство (8), неравенство Юнга и Гёльдера, приходим к неравенству

г 1

г 1

р^уу и>Т <Х<Т + J и>Хх(Х,1) <Х ^ К + К J ! и,2Хх{Х,Т)<Х<Т.

оо о оо

Применяя далее лемму Гронуолла, получаем первые оценки: 1

0 1

о

г 1

(9) (10)

о о

ЯК К Т

1л2(х,т)сШт ^ 2 1 ехр^П + Кг. (11)

Ро

о о

Рассмотрим теперь равенство

г 1 _

Р{т) -

V

о о

™т + »хххЛ с{х, т)ю \wxxxx <Х<Т

г 1

о о

/(ж> т) + "ТЛ"^1"'

также являющееся следствием уравнения (1с,«,л)-

Интегрирование по частям, неравенство Юнга и оценки (9)—(11)

позволяют из этого равенства вывести оценку г 1

J J wXxxx(Х,т)<Х<Т < М

о о

с постоянной М, определяющейся функциями с(х, ¿), /(х, ¿), (¿),

Фо(^)> и числом Т.

Из полученных оценок следует, что норма функции в про-

странстве (О) ограничена постоянной, зависящей только от исход-

г

ных данных:

\\W\wt-1^ К. (12)

Из доказанной оценки и теоремы о методе продолжения по параметру вытекает, что задача Дс^.а), (2')-(4') разрешима при А = 1 [15]. Рассмотрим уравнение

илч

щ + и!хххх + с(х,г)т = /(ж,£) +

ИЛ Ч

Краевая задача (1 с,«), (2')-(4') порождает оператор Ф(г>), ставящий в соответствие функции «(х,Ч) из пространства (Q) решение ш(х,Ч), принадлежащее этому же пространству. Покажем, что данный оператор имеет неподвижные точки.

Пусть Д0 — число такое, что До ^ К, и пусть В — множество: В = {у(х,г): у(х,г) е Щд(ф,

«(<М) = «(1д) = ух(0,г) = ух( м) = о, \\у(х,г)< Д}•

Пусть е В. Тогда из полученных априорных оценок и вы-

бора числа До следует, что оператор Ф переводит множество В в себя.

В

следовательность функций г>п(ж, Ь) сходится к функции г*(ж, Ь) в Ш^'1 (<?), функции гоп(ж,£) и гй(ж,£) — образы функций г>п(ж,£), г>(ж,£) соответственно при действии оператора Ф, Ши(х,Ч) есть функция ши(х,Ч) — «7(ж, £).

Для последовательности {г>п(ж,£)} и функции «7(ж, £) выполняется оценка (12). Функции Ш„(х,Ч) представляют собой решения краевой задачи

1 ]

+ ШиххххЛ- с{х, г)Шп

-иг , иг

И (ч И (ч

Ши(х,о) = о, ЩДО,г) = Ши( м) = ШиЛо= Ших( М) = о.

Повторяя доказательство оценки (12), получаем, что для функции

Шп(х,~Ь) выполняется неравенство

т 1

2

о о

т 1

< ^тах^^^, -У„)) - £?(<£>(£, -у))]2 J ! (1хЛ. ^ ^ оо

Так как функция «)) удовлетворяет условию Липшица и для

функции и>п(х, Ь) выполняется оценка (12) равномерно по п, то

II^{Я) < ^ отахт «п) - |2

1

< N тах / [«п(х,Ь) —<х. (13) о^г^т у о

Полученное неравенство и сходимость последовательности («п(х, Ь)} в пространстве '4(О) к функции «(х,Ь) означают, что оператор Ф непрерывен.

Покажем теперь, что оператор Ф компактен на множестве В.

Пусть «п(х,~Ь) — ограниченное семейство функций множества В, функции тп(х, Ь) — образы функций уп(х, Ь) при действии оператора Ф. Семейство функций («п(х,Ь)} равномерно ограничено в

Тогда из этого семейства можно извлечь подпоследовательность «пк( х, Ь) такую, что Vпк (х, Ь) сходится почти всюду, причем почти всюду равномерно к некоторой функции [16,17]. Из свойств рефлексивности гильбертова пространства следует, что можно еще раз перейти к подпоследовательности такой, что последовательности «пк| ^х «пч xx(х,Ь), xxx(х,Ь), «пч xxxx(х,ь), «пк| г{х,Ь) сходятся слабо в пространстве ¿2 (О) соответственно к функциям х, ¿), vx^х, ¿), vxx^х, ¿), «¡га^х, Ь), «г(х, Ь). При этом функция х, Ь) будет удовлетворять условиям «(0,£) = «(1,Ь) = , 1) = 1, Ь) = 0 и включению «(х,~Ь) €

Ш д (О)-

Обозначим через ы(х, Ь) образ функции «(х, Ь) при действии оператора Ф. Повторяя доказательство непрерывности оператора Ф, полу-

чим, что последовательность образов {тПк| (х,г)} сходится к функции т(х, г) в пространстве Ш24Это и означает компактность оператора Ф.

Непрерывность и компактность оператора Ф на множестве Б, а также тот факт, что оператор Ф переводит выпуклое замкнутое мно-Б

удера. Согласно этой теореме оператор Ф имеет неподвижную точку т(х, г), очевидно являющуюся решением крае вой задачи (1с), (2')Д4'). Далее заметим, что имеет место неравенство

1 1

1

Учитывая неравенство (8) и оценку (12), имеем

Ы^т) | < Еь

Вследствие условия Е± ^ Мо получаем О^^,™)) = Другими

словами, функция т(х, г) является решением краевой задачи (1'), (2')-(4').

Вернемся к функции и{х,г)'. и(х,г) = и(х,~Ь) + т(х,г). Очевидно, что для функции и(х,г) выполняются начальные и краевые условия (2)—(4). Далее очевидно, что функция и(х,г) будет решением уравнения (7).

Положим

1

1 ? 1

И И (г)

о

Очевидно, что функции и{х, г) и р(Ь) в прямоугольнике Q связаны уравнением (1). Умножим уравнение (1) на функцию К{х) и про,

равенству

1

р(г)Ф'(г) = о, Ф(г) = - У К(х)и(х, г) ¿х. (14)

Так как функция р(г) строго положительна и Ф(г) обращается в нуль при г = 0, из равенства (14) следует, что для функции и(х,г) будет выполняться условие (5). Это и означает, что построенные функции и(х,Ь) и р{Ь) дают решение обратной задачи I. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть {и\(х,г),р\(г)}, {щ(х,г),^(г)} —решения обратной задачи I такие, что функции щ(х,г), и2{х,г) из пространства (ф), функципр^Ь) и р2 (г) из пространства Ьто([0,Т]). Пусть также выполнены следующие условия:

ЙЙ > Ро>0, йМ > РО>0 прнг €[о,тI К(0) = К(1) = К'(0) = К'(1) = 0.

Тогда эти решения совпадают.

Доказательство. Пусть } и |и2(х, г),р2(г)} — ре-

шения обратной задачиI такие, чтор\{~Ь) € Ьто([0, Т]),р2(г) € Ьто([0,Т]). и\(х,Ь) £ и2(х,Ь) £ И/2'1((3)- Тогда для них выполняются ра-

венства

Р1 (г)щг + щ хххх + с(х, г)щ = /(х, г),

Р2^)иг + иххххЛ с(х,г)и2 = /(х,г).

Обозначим и{х,г)= и2(х,г) — и\(х,г). Получим, что при (х,г) € ф выполняются уравнение

Р1(г)и4 + Щхххх + с(х,г)и= (Р1^) — р2{Ь))и2 г, (15)

начальное условие

и(х,0) = 0,х € (0,1)

и граничные условия при г € [0 ,Т\.

( г/и(0Д) = 0, ( и ДО Д) = 0,

\ и(1Д) = 0; { иД 1Д) = 0. Учитывая, что функции рДг) имеют вид

1

1 ? 1

и (г) ) и (г)

о

уравнение (15) можно записать следующим образом:

1

Р1 + ихххх + с{х,г)и = —— / а(х,г)и(х,г) ¿х • м2((ж,¿). (16)

и т.]

о

Покажем, что и(х,Ь) = 0. Рассмотрим равенство г 1

У У (р(т)ит + ихххх + с(х, г)и)ит 3,х3,т

о о

= 11 |У а(у,т)и(у,т) ¿у I и2т{х,т)ит д,хд,т.

о о \о /

Применяя формулу интегрирования по частям и неравенство Юнга, получим неравенство

г 1 1 9 4 1

Ро У J ит <1хс1т + У и2хх (ж, £) (1х ^ У У Мт <1хс1т оо о оо

г 1 4 1

"о" / / мт ^х¿т + —^ / / С2 (у, г)м2 <1х¿т

1 } } т 2${ и и оо оо

г 1 /1

и

о о \о /

Положим ¿1 = ¿9 = -у/^- Учитывая (8), приходим к неравенству

о о о V о /

1

Поскольку функция /[1 + и|г(х, ¿)] ¿х суммируема па [0, Т], из леммы о

Гронуолла следует и(х,Ь) = 0, т. е. и\{х,Ь) = и р\(1) = (£)•

Теорема доказана.

Пусть V и V — пространства: V = Мх,г) : у(х,г) е д№), «ххххДх,*) е ь2(д),

= «(м) = ^(оУх( 1,г) = 0п-риг е [о,т]},

V = Мх,г): ь(х,г) € V, Ухххх(х,г) € V}; нормы в этих пространствах определим естественным образом:

1Мк = Ы^-1(од + 1Кхххгць2(д,, Му2 = У^к + Ц^ххххУV •

Положим

М = J К2{х) ¿х, о

Т 1

С*1 = I У 11^2(х) <1х Н— J ! /2(ж, т) <1х<1т I ехр

о о

Т 1

С2 — — У ¿¿ж Н—^ У У /2(ж, г) ¿хс1т Н—

о оо

(е — положительное число, роль которого будет пояснена ниже)

Кз = I / и"2 (х) ¿х

1 4 1

/С1 (ж, О)мд(ж) <1х Н--/ / /2(ж, г) <],хс1,т ехр 2

РР

о оо

1

К = Ро У и"2 (х) ¿х

Т 1

1

2 [ [ 2ш, С1(ж, 0)«5(ж) (¿ж Н—5- / / /"(ж, г) (¿жйг Н--

Р Р Р

о оо

N =

^ 2 + 1

2 \7а/5 У\7АД А/3

Т 1

Мг = \ / 2 ^+^ УС1 ^ [мо4) 2 ^+~ у у

о о

N2 = Ni + —KzTmwi((?x{x,t)) + — mwi((?xx{x,t))KzT

¿PO Q PO Q

20

PO Q

+ —max(clxx(x,t))TK3 + — ma,x(c2xxxx(x, t))TK3, POQ PO Q

15

'xxxx

Po Q

N3 = — max PO Q

(c2x(x,t))N0 + — max(c|(x,i)), K5 = 2.V . oxp(2.V:i).

Po Q

K6 = —(N2 + N2N3T exp(2N3j),

1

v7 ш^з].

Теорема 3. Пусть выполняются следующие условия: f(x,t) e

L2(Q), ft(x,t) G L2(Q), fxxxx(x,t) G L2(Q), fxxxxt(x,t) G L2(Q), c(x,t) G

C\Q), M(t) G C^M), K(x) G ^([O.T]), «o(i) G W26([0,1]), |n\t)| > ^ при t e [0,T], F(t) > Po+Pi при t e[0,T],

^o(t) = ^i(t) = ^o(t) = ^(t) = о при t e [o,T],

f(o,t) = f(i,t) = fx(o,t) = fx(i,t) = o при t e [o,T]. uo(0) = u0(l) = u^(0) = u^(l) = u<4)(0) = 44)(1) = 45)(0) = 45)(1) = 0.

ci(x,t) ^ 0, clt(x,t)^0 при (x, t) £ Q.

Тогда для обратной задачи I существует решение {u(x,t),p(t)} такое, что u(x,t) G W^iQ), p(t) G Loo([0,T]).

Доказательство. Вновь рассмотрим вспомогательную краевую задачу (7), (2)Д4). Ее разрешимость установим с помощью методов срезки, регуляризации и неподвижной точки. Рассмотрим краевую задачу (7g), (2)-(4). Пусть v(x,t) — заданная функция из пространства

о

V, е — фиксированное число. Рассмотрим следующую задачу: найти функцию и(х, £), удовлетворяющую в прямоугольнике ф уравнению

т-^тт-м^^о))

Щ + ихххх + с(х, Ь)и + еиххххг = /(х, ¿) (7о,у,е

п условиям (2)-(4) (уточним, что здесь и(хД) = 0). Разрешимость задачи (7о,у,е), (2)-(4) в пространстве V при е > 0,/(хД) € известна [18]. Докажем наличие «хороших» априорных оценок для решений этой задачи.

Рассмотрим равенство г 1

о о

г 1

+ и_х + си + еиххххД иххххТ dxdт-JJ /иххххТ <Ьд.т.

о о

Применим к левой части интегрирование по частям и условия теоремы, а к правой — неравенство Юнга. Получим следующее неравенство:

г 1 1 г 1

Р0 / / У^хт<]'ХЗ'Т+\ / и1ххх(Х^) ^ + £ ! J и1хххЛх,т)<1х<1т 0 0 0 0 0

1 г 1 т 1

^ ^ / J ! и1хххЛх,т)<1х<1т + +¿2 J ! 12{х,т)(1х(1т

О 0 0 1 о о

9 г 1 г1

+ уУУ Т) 3'х3'Т + J ! С2(х,т)и2(х, т)(1х(1т.

0 0 о о

Положим ¿1 = ¿2 = уД- Учитывая ограниченность функции с(жД), введенные выше обозначения и неравенство (8), приходим к неравен-

ству

1

< -Г«*

о

Т 1 4 1

Н—J ! /2(ж, т) <1хс1т Н--J ! ь2хххх(х, т)д,хд,т.

0 0 0 0 Используя лемму Гронуолла, имеем оценки

1

J ихххх(х,Ь) ^ С1,

о

4 1 4 1

J I иХххх^^)^^ < ТС1' / / иХхххт(х,т)Лх<1т < С2. 0 0 0 0 Из полученных оценок следует, что функция и (ж, Ь) ограничена по норме пространства V, т. е. выполняется неравенство

\\п{х,1)< Со (17)

С

лом £.

Продифференцируем (7а,у,е) четырежды по х. Получим равенство иг + ихххх + с(х,г)и + еиххххь = И(х,Ь,и), (18)

и т

в котором

и(х,г) — ихххх( Н(х,г,и) — /хххх( х,Ь) ЗсДх, £)иххх

4 схх( х^)ихх ^сххх( х^)их схххх( х,^)и-

Заметим, что имеют места равенства

ихххх(0 = ихххх{ М) = иххххх(0, Ь) = иххххх( М) = 0 при Ь € [О ,Т].

Повторяя выкладки, которые привели к оценке (17), нетрудно показать, что вследствие условий теоремы, равенств (19), а также в силу самой оценки (17) для решения уравнения (18) имеет место неравенство

\\и\к < С'

с постоянной С', определяющейся лишь исходными данными и числом е. Из этой оценки следует, что для решений краевой задачи (7о,у,е), (2)—(4) выполняется оценка

ПиН^ < С''

с постоянной С'', определяющейся лишь данными задачи и числом е.

Пусть Д0 — число такое, что До ^ С'', множество В — шар в пространстве У радиуса До- Краевая задача (2)-(4) порождает оператор Ф, ставящий в соответствие функции у(х,Ь) из пространства У решение и(х,£), принадлежащее этому же пространству. Компактность и непрерывность оператора Ф доказываются аналогично тому, как это делалось при доказательстве теоремы 1. Согласно теореме Шаудера существует функция и(х,£) из пространства У, являющаяся решением краевой задачи (7с,«,е), (2)-(4).

е

щие перейти к пределу. Рассмотрим следующее равенство:

о о

ад-^адг,«))

с(х, т)и

Ъ 1

Ъ 1 1 Ъ 1 1

//''^•'•'"Ч/+е / /ы < \ I<2 {х) *х

о о

Используя интегрирование по частям, неравенство Юнга и введенные выше обозначения, получим неравенство

Ъ 1 1

РО [ [ 2 , 1

2

0 0 О 0 0 о

1 Ъ 1 Ъ 1

Н— / с\ (х, О)мд(ж) (1х + Н--/ / /2(ж, г) (1х(1т Н--- / / и2 <1х<1т.

2 У Ро ] ] Ро ] ]

О 0 0 0 0

Из этого равенства вследствие леммы Гронуолла имеем

1 Ъ 1

J и?хх{х,~Ь)3,х ^ К, J ! иТ(х,Ь)ахЛт ^ к, о оо

1 II

¡и'МЬ < К„ ¡¡^.Ш. <

О О

4 1

J I и2х{х, Ь) <х<т ^ ТКз.

о о

Для получения следующей оценки рассмотрим равенство, являющееся следствием уравнения (7а,и,е)'-

4 1

о о

ит

4 1

+ ^ + си + еихххх^ ит = ] у Жх,т, и)ит ^

о о

Применяя интегрирование по частям, неравенство Юнга и учитывая вид функции И{х, Ь, и) и условия теоремы, получаем неравенство

4 1

4 1

^ J ! II2 <1хс1т + — J £/хж(жД) д,х + е J ! 11ххт<1х(1т

о о

< ЛГ1 + —

о о

Ро

4 1

4 1

4 1

с2и2 <х<т + 15 / / схиххх <х<т+20 / / с1хи2 <х<т

.о о

о о

о о

4 1

4 1

+ 15 у у схххих <х<т + 5 у у с2ххххи2 <х<т оо оо

Для оценки функции иххх(х,Ь) воспользуемся равенством

.

1 1 J У2ххЛх,Ь)<1х=ихх{ 1,Ь)иххх( М) - ихх(0Д)иххх(0Д) - J 1

хх хххх

<х.

Имеем соотношения У

uxx(М)= / \ y2U(y,t)dy\ dx,uxx(Q,t)

о Vo У

1 / x

= У 1- y)2U(y,t)dyj dx,

о \о

1 / x

О \0

1 / x

О \0

1 / x

Uxxxil,t) = J |У y2U(y,t)dyj dx

/ x \ 1

У"(1- y)2U(y, t) dy ) dx+ I yU{y,t)dy, ^o /о

uxxAQ ,t)=J Uy2uiy,tdy)dx 0 \0 /

-J (j( 1- y)2U{y,t)dy j dx - J( 1- y)U{y,t)dy. 0 \0 / 0

uxx , t

uxxx , t uxx , t uxxx , t

неравенство

Iii

J u2xxx(x,t) < N0 J U2(x,t)dx + i J u2xx(x,t)dx. (20) 0 0 0 Возвращаясь к неравенству (19) и используя полученные выше

u x, t ux x, t uxx x, t t 1 1

Po

2

t ± ± ■ J JU2 dxdr + — J Uxx(x, t) d,x

о о

t i t i + £ J J U%T dxdr < N2 + N3 J J Ulx dxdr. 0 0 0 0

Лемма Гронуолла дает нам оценки

г 1 4 1

иХххх < КьТ> ] ] иХхххт < К. (21)

0 0 0 0 Из выведенных оценок следует, что норма функции и{х,Ь) в пространстве V ограничена постоянной, не зависящей от е:

\\и{х,Ь)Н^ < К

. Теорема о рефлексивности гильбертова пространства означает существование последовательности {ик(х,г)} такой, что ик(х,г) ^ и(х,г), —> щ(х,г), икхххх(х,г) —> ихххх(х,г), у/еикххххг 0 слабо в Ь2. Переходя, если нужно, еще раз к подпоследовательности, можно считать, что для {ик(х,г)} выполняются сходимости икхх(х,1) ^ ихх{х,г),икх{х,г) ^ их{х,г),ик(х,г) ^ и(х, г) почти всюду в V [17].

Вследствие непрерывности и)) и указанных сходнмостей по-

чти всюду имеет место сходимость С((р(г,ик)) ^ С((р(г,и)). Из всех данных сходимостей следует, что функция является решением

уравнения

тт^мм)) ил ч

Щ + ихххх + с(х, Ь)и = /(х, г

и что для нее выполняются условия (2)Д4).

Из оценок для функций и(х,г) и ихххх(х,г) (при фиксированном г) вытекает, что имеет место неравенство

Ыг,и)| < я2.

Учитывая условие Д2 ^ Мо, получаем С((р(г,и)) = (р(г,и). Другими словами, функция и(х,~Ь) является решением краевой задачи (7), (2)-(4).

Положим

1

1 ? 1

и М) и (¿)

о

Очевидно, что функции и{х, Ь) и р(Ь) в прямоугольнике ф связа-

Кх

интегрируем по отрезку [0,1]. После несложных выкладок придем к равенству

р(г) ф' (Ь) = 0.

Так как функция р(£) строго положительна и функция Ф(£) обращается в нуль при £ = 0, из предыдущего равенства следует, что для функции и(хД) будет выполняется условие (5). Это и означает, что построенные функции и(х, £) и р{Ь) дают решение первой обратной задачи. Теорема доказана. Для следующей теоремы положим и(х,£) =

Mt) -\vi(t) - vo(t)

i i

wo(x) = uo(x) — U(x, o), M3 = j K"Xx(x) dx, M2 = j K2(x)dx,

о о

i i t i

0 0 0 0 Om2 /I m ^

if8 = -- +-h iM3 + mM2], R3 = 2[M3 + mM2}K7 exp(KST).

P0 РоИо

Теорема 4. Пусть выполняются условия

f(x,t) G ¿2(0), c(x,t) G C(Q)ci(x,i) G C^Q),

Mt) e ^(M), K(x e ^2([0Д]), Mx) e ^[0Д]), Mx) e ^[0Д]), Mx) e ^([0,1]), Mx) e ^([0,1]), Mx) e w24(Q),

(t)| > ^ при t e [0,T], F(t) > р0 +pi при t e [0,T],

ci(x,t)>0, cit(x,t)<0 при (x,t) £ Q, i

j K(x)uo(x) dx = m-о

Кроме того, пусть выполняются условия

К(0) = ВД = 0, R < и0.

Тогда для обратной задачи II существует решение u(x,t),p(t) такое, что u(x,t) G W24ll(Q), p(t) G LTO([0,21).

Доказательство теоремы проводится вполне аналогично доказательству теоремы 1.

Аналогичные результаты можно получить и для уравнений следующего вида:

Я2 mu

p(t)ut + (_1)2™+1__ + cMU = f(x, t), где m — целое положительное число, m > 2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Prilepko А. L, Orlovskv D. С., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Dekker, 1999.

2. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type. Lviv: VNTL Publ., 2003. (Math. Stud. Monogr. Ser.; Vol. 10.)

3. Belov Yu. Ya. Inverse problems for partial differential equations. Utrecht: VSP, 2002.

4. Isakov V. Inverse problems for partial differential equations. New York: SpringerVerl., 2006. (Appl. Math. Sei., V. 127).

5. Kozbanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.

6. Кожанов A. If. Параболические уравнения с неизвестными коэффициентами, зависящими от времени // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 2005. Т.45, № 12. С. 2168-2184.

7. Кожанов А. И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и связанной с ним обратной задаче // Мат. заметки. 2004. Т. 76, вып. 2. С. 840-853.

8. Кожанов А. И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 2005. Т. 12. С. 2168-2184.

9. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 4. С. 694-716.

10. Кириллова Г. А. Обратная задача для параболического уравнения высокого порядка с неизвестным коэффициентом при решении в случае интегрального переопределения // Мат. заметки ЯГУ. 2003. Т. 10, вып. 1. С. 34-35.

11. Кожанов А. И., Кириллова Г. А. О некоторых обратных задачах для параболического уравнения четвертого порядка // Мат. заметки ЯГУ. 2000. Т. 7, вып. 1. С. 35-48.

12. Belov Yu. Ya. Inverse problems for parabolic equations //J. Inverse Ill-posed Probl. 1993. V. 1, N 4. P. 283-305.

13. Нахушев A. M. Уравнения математической биологии. M.: Высш. школа, 1995.

14. Дженалиев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы: Ин-т теоретической и прикладной математики, 1995.

15. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Физматлит, 2002.

16. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

17. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

18. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: Элм, 1985.

г. Улан-Удэ

1 августа 2011 г.