О разрешимости линейной обратной задачи для параболического уравнения высокого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

О РАЗРЕШИМОСТИ ЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

Л, А, Телешева

1. Постановка обратной задачи

Пусть Q — прямоугольник {(х, г) : х £ (0,1), г £ (О, Т),Т < то}. Далее, пусть /(ж, с(х, Ь(х, — функции определенные в С}, щ(х) — известная функция, определенная при х £ [0,1]. Требуется найти функции и(х, г), д(г), связанные в прямоугольнике Q уравнением

щ + ихххх + с(х, г)и = /(х, г) + д(г)Н(х, г), (1)

причем для функции и(х,г) должны выполняться условия

и^О ,г) = 0, и^ 1, г) = 0, (2)

ихх^о, ^^ = о, иххх{ 1, г^ = о, (з)

и(о,г) = о, (4)

и(х,0) = 0, х £ [0, 1]. (5)

Обратные задачи для параболических уравнений высокого порядка изучены сравнительно мало. В работах [1,2] неизвестный параметр

х

раболического уравнения с параметром, зависящим от временной пег

реопределения [3,4]. В подобной постановке задачи ранее не изучались. Для доказательства существования решения поставленной обратной задачи нам потребуется разрешимость нелокальной задачи для уравнения параболического типа.

© 2013 Телешева Л. А.

2. Разрешимость нелокальной задачи

Пусть f(x, t), с(х, t) — заданные функции, определенные в Q, функ-

ции ai(t), fii(t), Yi{t), 5i(t) (i = 0,1, 2) заданы и определены при t G

[О, Т]. Требуется найти функцию v(x,t), удовлетворяющую в прямоугольнике Q уравнению

vi ""Ь vxxxx ""Ь c(x, t)v = f(x,t), (6)

для которой выполняются условия

Vx(0,t) = ai(t)v(0,t) + a2(t)v(l,t) + ^(t), t G(0,Т),

vx(l,t) = ei(t)v(0,t)+&(t)v(l,t)+ft(t), t G(0,T),

vxx^o,t) = 7l(t)v(o,t) + 72(t)v(i,t) + 7o(t), t g(o,t), vxxx(m) = ^(t)v(o,t) + £2(t)v(i,t) + £0(t), t g(o,t),

v(x,0) = 0, x G(0,1). (9)

Для простоты изложения теорем и доказательств введем обозначения:

m(t) = ¿i(t) - 3'(t) + a2(t)c(0,t),^(t) = ¿2(t) - в'(t) - c(l,t)&(t),

m(t) = a' (t) - + ai(t)c(0,t),n4(t) = a'(t) - Y2W - A(t)c(l,t), %(t) = a'(t)c(0,t) - 3' (t)c(l,t).

В дальнейшем будет существенно использоваться следующее интегральное неравенство:

1 1

w2(y,t) ^ Sq w%.(x,t) dx Н--/ w2(x,t)dx, (10)

J S0 J

о 0

в котором ¿о — произвольное положительное число, y G [0, 1], t G (0, Т).

Теорема 1. Пусть выполняются включения c(x,t) G C,1(Q)) f(x,t) G ¿2(0), /t(x,i) G L2(Q), Oi(i) G CH&T}), Pi{t) G ^([O.T]), 7i(t) G С^ММЛt) G ^([0,T]) (i = 1,2).

Кроме того, пусть выполняются условия

ai№2 + [a2(t) - 3i(t)]£C - ШС* ^,

с((ж,£) < 0 при (х, € <5,

с(х^) - А [72(г) + 7|(4) + + ^

с(х,г) - щ [^(г) + 7|(*) + + > о, где 6 и ¿о — положительные числа такие, что

Л2Л2 . 1 4(502 1

Тогда существует решение нелокальной задачи (6)-(9) такое, что-у(х,£) е

Доказательство. Пусть

у = : ^х,^ е Шухх^х,г) е ь2(д)}.

Воспользуемся методом регуляризации. Пусть е — фиксированное положительное число. Рассмотрим вспомогательную задачу: найти решение уравнения

щ + гохххх - еуххг + С(Х, = /(Х, (6е)

удовлетворяющее условиям (7)-(9)

Доказательство разрешимости этой задачи будет проведено ниже с помощью метода продолжения по параметру, решение задачи (6)-(9) будет получено с помощью предельного перехода. Поскольку и для применения теоремы о методе продолжения по параметру, и для последующего предельного перехода необходимы хорошие априорные оценки, установим вначале их наличие. Рассмотрим равенство:

г 1

К + «хххх - ег>ххг + с(х, т)у](ут - «ххт) <1х<1т

о о

г 1

j у/х, т)(г>т - г>ххт) <х<т.

о о

Интегрируя по частям и используя условия (7)-(9), нетрудно от данного равенства перейти к следующему:

г 1 г 1 1

J ! v2 ¿хс1т + (1 + е) J ! Ухтс1хс1т+ — J ухх(х^)с1х

0 0 0 0 о

1 1

о о

г 1 1

0 0 о

г 1 г

J ! ст(х, т)у2 (1т - - ! J ст(х, т)у1 (1т + (1 + е) ! [а1{т^{д,т)

г 1

~ \ У У ат ~ 2 У У ст(х,туи~ат+(1 + е) J [аг(т)^т

0 0 0 0 о

+ Ыт) - в(т)К( 1,тК(0,т) - в(т)^( 1,т)] <т = (¿(¿МО,*) + ¿2(Ф(М)Кх( М) - Ы*м<м) + 72(*ММЖх(0 + ¿о(фхх( М) - 7о(фхх(о,4)

г

, л[^(т) - ев'(т)]'

У 2

о

г

т)с(1, т)]-у" (1, т) <т

Ыт) - ев' (т)к(1 ,тм0,т)<т

о

г Ыт) - еа' (*)]'

- а' (т)с(0,т)]«2(0,т)<т

о

г

- j[Щ{т) - еа'(т)]«г(0, т)«(1,т)<т о

г г

iв(т) - (т)м0,тКх( 1,т)«т+ i[а(т) - ¿1(т)К(0,тКх( 1,т)<т

о о

г г

у [в' (т) - ¿' (т)] Н1, т) Ухх( 1, т) <т + у [в (т) - ¿2 (т)] УТ( 1,т)Ухх( 1, т) <Т

+ IК (т) - а' (т)М0,т)«хх(0,т)ат+ IЬМ - «1(т)К(0,т)ьхх(0,т)<т

0 о

г г

+ У Ь' (т) - а' (т)И1,т)«хх(0 J ЫМ - 1,т)«хх(0 ,т)<т

о о

г

- ![60(т) -(1 +е)во(т)К(1 ,т)«т-

о г

|[(1 + £)а' (т) + 7о(т)К(0 ,т)<т о

г г

-/[а'(т)с(О, т)-в' (т)с( 1, т)М1, т)*(0, т) <т(т)-в'(т)Кх(1, г) <т

о о

г г

+ /[а'(т) - 7'(т)Кх(О,т)<т + У (т)*(1,т)<т

о о

г

- J с(0,г)а'о(т)-у(О,т) <т о

г

- I [МТ» - (1 (т) - с(1,т)в2(т)К(\,т)и{1,т)<т о

г

-^[(1 + £)а! М - - 71(т)К(0 ,т)и{{),т)<т

о

г 1 г 1 1 г

сх(х,г)тхт <1х<1т + J ! ¡(х,т)ут <1х<1г - J J /(х,т)уххт <х<т. оо оо оо

Учитывая, что три последних слагаемых левой части данного равенства неотрицательны (из условий теоремы) получим неравенство

г ± г ± ±

J ! V2 (1х<1т + (1 + е) J ! v'^тdxdт+—J ухх(х,1)с1х 0 0 0 0 о

1 1 г 1

+ \ / (*, *) <** + \ / С(х, ф» (X, />,,.,-// «4. ^

О О 0 0

1 г 1

+ — У с(ж,£)г12(ж, £) (1х — — J ! ст(х, т)у2 <1т ^ |Ф|, о оо

где через Ф обозначена правая часть предыдущего равенства.

Применим к первым двум слагаемым в правой части неравенство Юнга, затем используем интегральные неравенства (10), получим следующую цепочку неравенств

| [^(¿мо,*) + ¿2(Ф(МЖх( М) + Ы*М0,*) + 72(*ММЖх(0 |

< + ^¡Й(Ф2(М) + ¿22(Ф2(М)] +

+ ^[712(ф2(0,*) + 722(ф2(М)] °о

1

< + ¿К*) + 7? (¿) + 722(^)] I «2(М) ¿х

0 о

1

- + + 722^ /*2(М) <х

о

1 1

о о

Остальные слагаемые входящие в выражение Ф, с помощью неравенств Юнга и (10) будут подчиняться неотрицательным слагаемым левой части. Покажем это на примере шестого слагаемого:

г

|[т(т) - ев'(т)К(1 ,т)у(0,т)<т о

г г

[ Гыт)_£р1{т)]2у2{0гт)(1т

г 1

^2 с Г Г с

< — У У {у2хт + V2) д,х<1т + — ^тах (¿) - е(3[ (г)}2 \ о о

г 1

х J У («X + V2) ¿х^ о о

Применяя все вышесказанное к правой части неравенства и используя лемму Гронуолла, получим оценку г 1 1 1

«Т dxdт + У + У x,t)dx

0 0 о о

г 1 г 1

-у2т (1хс1т + е У У г12жт (1хс1т ^ Ж. оо оо

где N — постоянная, зависящая только от исходных данных и числа е.

Очевидно, что также имеет место неравенство г 1

Ухххх ^ N.

0 0

Разрешимость задачи (6е), (7)-(9) доказывается с помощью теоремы о методе продолжения по параметру [5]. Пусть А — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию у(х,Ь) являющуюся решением уравнения (6е), удовлетворяющую условиям (9), а также условиям

«х(М) = А[Д(*М0,*) + в(Ф(М)] + во(*), * е(о,т), л) «ххх(0,*) = А[71(*М0,*) + 72(*Мм)]+7о(*), * е(о,т), ьхххМ = А[ё1(г)у(0,г) + ё2(г)у(1,г)] + ёо(г), * е(о,т). л)

Как известно, данная задача разрешима в пространстве V, если имеет место априорная оценка всевозможных ее решений в пространстве V [5]. Поскольку (11) и есть требуемая оценка, получили, что

задача (6е), (7а), (8а), (9) разрешима при всех Л го отрезка [0,1], т. е. и при Л = 1.

Далее установим оценки, равномерные по е. Повторим действия получения неравенства (11) за исключением слагаемого в правой части, представляющего собой интеграл от функции f(x,r)vxXT. Для этого слагаемого выполним интегрирование по частям по переменной т. Применяя к возникшим интегралам неравенство Юнга и повторяя все остальные выкладки, проделанные ранее, получим неравенство t 1 1 1

vT dxdT + j vXX(x,t) dx + j vXXX(x, t) dx

0 0 о 0

t 1 t 1 t 1

vXT dxdT+еJ j vXXT dxdT + J j v\XXX dxdT ^ N, oo oo oo

где N — постоянная, зависящая только от исходных данных и не зависящая от е. Эта оценка позволяет перейти к пределу при е ^Оив пределе получить требуемое решение. Теорема доказана.

3. Разрешимость обратной задачи

Рассмотрим упрощенную ситуацию: пусть c(x,t) = c(t). Для простоты изложения теоремы и доказательства введем следующие обозначения:

, , .ч ,, .ч f(0,t)h(x,t) h(x,t) fl(x,t) = flx.t)------, Пл(хЛ) = —--

Mt) = hx(0,t), fo(t) = hx(l,t), 7o(t) = hXXXx(0,t), S0(t) = fXXX^ l,t), = hx(0,t), ¡32{t) = hx( l,t), = hixx^O,t), 62(t) = hixxx{l,t).

Теорема 2. Пусть для функций c(t), f(x,t), ft(x,t), t), t),

7i(t) (i = 0,2), f\xxxx{x,t), fixxxxt{x,t), hxxxx(x,t), hxxxxt(x,t) выполняются включения c(t) G C1([0, T]), f(x,t) G L2(Q), ft(x,t) G L2(Q), ai(t) G C^M), A(i)_G C^M), 7i(i) G C^M), G С!([0,Т]) (г = 0,2), fixxxx G L2(Q), fixxxxt G L2(Q), h(x, t) G L2(Q), fxxxx{x,t) G

L2(Q), hxxxx(x,t) g C(Q), hxxxxt{x,t) g C(Q). Далее, пусть выполняются условия

«1 (*) ~ \hlxxxx(X^)

? + [a2(t) - - ewe2 ,

h(0,t) ^ 0, при t g [0,T], c(t) > c0 > 0, npHt g [0,T].

Тогда существует решение обратной задачи (1)-(5) такое, что u(x,t) g w24ll(q), ¿) g L2(Q)

Доказательство. Рассмотрим задачу: найти функцию v(x, t), удовлетворяющую уравнению

Vt + vxxxx + c(t)v = f xxxx (x,t) + hi xxxx (x, t)v(0, t) (12)

и условиям

Vx(0,t) = t g (0,T),

vx(i.^AW^^^AW, t g (o,T),

(13)

(14)

Vxx^O,t) = 7i(t)v(0,t) + jo(t), t g (0,T), Vxx^ m) = ^(t)v(l,t) + ш, t g (0,T).

v(x,0) = v0(x), x G(0,1). (15)

Разрешимость нелокальной задачи (12)—(15) покажем с помощью метода продолжения по параметру. Пусть А — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим задачу: найти функцию «(х, ¿), удовлетворяющую уравнению

Щ + ъхххх + фУи = / хххх( Х,г) + А^ хххх (х,£)^(0,£) (12л)

и условиям (13)—(15).

Из теоремы 1 следует существование решения задачи (12л), (13)-А

АА А

1 Для получения необходимых неравенств рассмотрим равен-

ство

г 1

У J\Vт + ухххх + с(т)у][ут - Уххт] 3,хд,Т О о

г 1

= У У /хххЛ х, т) + ЬлхххЛх, тМО, ЬамУ^т — Vxxт] дхЛт.

о о

Повторяя действия при получении неравенства (11) и учитывая условия теоремы 2, имеем оценку

г 1 1 1

У У ЗхЗт + У vXx(х,*) ¿х + У vXxx(х,*) ¿х оо о о

г 1 г 1

0 0 0 0

где N — постоянная, зависящая только от исходных данных. Из полученной оценки согласно теореме о методе продолжении по параметру

следует разрешимость нелокальной задачи (12а), (13)-(15) при всех Л

,

Покажем, что с помощью решения ^х,*), можно построить решение исходной обратной задачи. Имеем

«хххх( = (16)

их (о ,г) = о,г е[о ,Т], и^ м) = о, * е [о ,Т], (17)

иххЛ М) = 0, * е[0,Т], и(0,*) = 0, * е[0,Т\. (18)

Из этих равенств находим и(х,~Ь).

Далее, положим -ю(х, *) = vгJг vxxxx + — /(х, I). Очевидно, что выполняются равенства

дхУ Следовательно,

* = 0, * е [0,Т].

гЦх,*)=0, w(Q,t) = Q, ад*(0 ,*) = ш*(0 ,*) = 0, Ыххх{ М)=0.

Другими словами, для определенной по решению функции задачи (12)—(15), и(х,~Ь) выполняется уравнение (1). Теперь очевидно, что функции и(х^) и </(£) = связаны в прямоугольнике

ф уравнением (1). Покажем, что для функции и(х,~Ь) выполняется условие иххх(0= 0. Продифференцируем уравнение (1) трижды по переменной ж и положим х = 0, получим иххх4(0,~Ь) + с(£)иххх(0,~Ь) =

0. и так как с(Ь) ^ со > 0 при £ € [0, Т] и имеет место условие (5), то иххх(0, £) = 0. Следовательно, для функции и{х,Ь) выполняются условия (2)-(5).

Стало быть, построенные функции и(х,1), принадлежат требуемым классам и дают решение задачи (1)-(5). Теорема доказана.

В общем случае с = с(х,~Ь) вместо уравнения (12) появится уравнение с дополнительными слагаемыми сх(х,~Ь), схх(х,~Ь), сххх(х,~Ь) и схххх{х, £). Тем самым задача нахождения функции и{х,Ь) окажется не распадающейся на две независимые задачи нахождения функции по уравнению (12) и условиям (13)—(15) и далее нахождения функции и{х,Ь) по уравнению (16) и условиям (17), (18). Каких-либо принципиальных затруднений общий случай не порождает, необходимые априорные оценки легко выводятся с помощью некоторых условий малости па величины |схх(х,£)|сххх(х,£)| и |схххх(х,£)

ЛИТЕРАТУРА

1. Кириллова, Г. А. Обратная задача для параболического уравнения высокого порядка с неизвестным коэффициентом при решении в случае интегрального переопределения // Мат. заметки ЯГУ. 2003. Т.10, вып. 1. С.34-35.

2. Кожанов А. И., Кириллова Г. А. О некоторых обратных задачах для параболического уравнения четвертого порядка // Мат. заметки ЯГУ. 2000. Т. 7, вып. 1. С.35-48.

3. Телешева Л. А. Обратная задача для параболических уравнений высокого порядка: случай неизвестного коэффициента, зависящего от времени // Вестник БГУ. Математика и информатика. 2010/9. С. 175-182

4. Телешева Л. А. О разрешимости обратной задачи для параболического уравнения высокого порядка с неизвестным коэффициентом при производной по времени // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, вып. 2. С. 180-201.

5. Треиогии В. А. Функциональный анализ. М.: Физматлит, 2002.

г. Улан-Удэ

30 сентября 2013 г.