CC BY
28
32
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2016. № 3-4
УДК 517.956.3
В.Б. Дмитриев1
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С НЕЛОКАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО
ПОРЯДКА
В работе рассматриваются начально-краевые задачи с нелокальными граничными условиями, содержащими интегральный оператор, для уравнения четвертого порядка. Доказана единственность решения. Рассмотрены вспомогательные задачи. Применен метод регуляризации, получены априорные оценки решения. Доказана разрешимость вспомогательных задач и операторного уравнения, приводящие к результату разрешимости исходных задач.
Ключевые слова: уравнение 4-го порядка, нелокальные условия, теоремы вложения, обобщенное решение, пространства Соболева.
Введение
Нелокальные задачи с интегральными условиями для дифференциальных уравнений с частными производными в настоящее время весьма активно изучаются, однако в основном рассматриваются уравнения второго порядка. Отметим некоторые из недавних работ по исследованию нелокальных задач для гиперболических и параболических уравнений [1], [2], [3] и список литературы в них.
Многочисленные работы по исследованию уравнений высокого порядка в своем большинстве связаны с изучением классических начальных и начально-краевых задач. В книге "Неклассические уравнения математической физики высокого порядка"[4] приведен обширный перечень работ, посвященных этим вопросам. Добавим к нему несколько более поздних работ: [5], [6].
Важный шаг был сделан в работе А. И. Кожанова и Л. С. Пулькиной [8], где была доказана однозначная разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений.
В настоящей работе доказана однозначная обобщенная разрешимость задачи с нелокальным условием для уравнения четвертого порядка, содержащим как интегральный оператор от искомого решения, так и значение производной от него на границе.
х© Дмитриев В.Б., 2015
Дмитриев Виктор Борисович (dmitriev_v.b@mail.ru), Самарский колледж железнодорожного транспорта им. А.А. Буянова, 443066, Российская Федерация, г. Самара, 1-й Безымянный переулок, 18.
1. Постановка задачи
Рассмотрим уравнение
Ьи = -В^ и — (а(х, г) их)х + с(х, г) и = /(х,г) (1-1)
в прямоугольнике Qт = {(х,т) : 0 < х < 1,0 < т < Т}, и поставим для него следующие задачи:
Задача 1. Найти в области Qт решение уравнения (1.1), удовлетворяющее условиям:
и(х, 0) = иг(х, 0) = игг(х, 0) = 0, иг(х, Т) = 0, (1-2)
их (М)=0 (1.3)
и нелокальному условию:
I
их(0,г) = I к (у) и(у,г) ¿у. (1.4)
Задача 2. Найти в области Qт решение уравнения (1.1), удовлетворяющее начальным условиям (1.2), нелокальному условию (1.4) и условию
и(1,г)=0. (1.5)
Функция К (у) предполагается заданной в [0,1]. При этом мы потребуем выполнения условий:
0 <у < а(х,г) < ц. (1.6)
Обозначим w2'4(Qт) замыкание множества гладких функций, удовлетворяющих условиям (1.2), по норме
т
1|и||2'4 = | (||и||^|(0'г) + 1|в4и|||2(0'0) ¿г.
0
Введем пространство
V^т) = {и(х,г): и е ), В4 и е Ь2^т)};
введём обозначение
Б0(Х) = вир\Ха(0,г) — аг(0,г)\. г
Получим условия единственности и затем условия существования решения каждой из задач 1 и 2 из пространства ); затем получим некоторый об-
щий результат - условия существования единственного решения. Верна Некоторые оценки. Пусть выполняются следующие условия:
с е С); а, аг, ах, ахх, аххг е С(^т), (1.7)
с(х, г) > 0 У(х, г) £ QT, -сг(х, г) > 0; к е С[0,I];
(1.8)
/(х,г) е 12^т),!х{х,г);
(1.9)
I а, аи ах | < Ао;
(1.10)
далее, пусть для ко = / К2 (у) ¿у выполняются неравенства
ко Ао Т < ко Ао а(х,г) - а^х,г) > рх;
(1.11)
с(х, Т) - " + ^^ Т) а(0, Т) - ко а(0, Т) > 0;
(1.12)
ко Ао с(х,г) - сг(х,г) - Р1 + 2А 1 Ао-
Р11
(Р1 + 2(А1к + Ао) 1 + ко) В о (ко Ао) > 64 > 0;
(1.13)
с(х, Т) > 0, с(х, Т) - ахх(х, Т) > 0;
(1.14)
|с| < 5о, 1сх1 < 51 Ух,г;
(1.15)
3 ко Ао , .
^ 2 (Ао + 51)'Т<р1 /Ао
(1.16)
для некоторых положительных констант Ао, р1, 64, Б о, 51.
Основная теорема. Пусть выполняются условия (1.7)-(1.16). Тогда решение каждой из задач 1 и 2 из пространства w2'4(Qт) существует и единственно.
Доказательство теоремы проведем по следующей схеме:
1. Докажем единственность решений задач 1 и 2.
2. Сформулируем вспомогательные задачи и покажем, что задачи 1 и 2 эквивалентны операторным уравнениям относительно граничных значений решений соответствующих вспомогательных задач.
3. Докажем разрешимость вспомогательных задач.
4. Обоснуем полную непрерывность операторов, входящих в полученные в пункте 2 уравнения. Затем объединим результаты условий единственности и существования в следующей теореме.
Успешная реализация пунктов 1 — 4 и позволит утверждать, что решения обеих задач существуют единственны.
Приступим к выполнению нашей программы.
2. Доказательство единственности решения задач
Докажем единственность решения рассматриваемых задач при выполнении оценок (1.7)-(1.16).
Доказательство. Предположим, что каждая из поставленных задач имеет два различных решения, и\(х,г) и и2(х,г). Умножим (1.1), где и1 — и2, на иг е-хг и проинтегрируем по области Qт. Интегрируя по частям и учитывая условия (1.2) и (1.3) или (1.4) при х = I, получим:
3X J J и2 е хг ¿хА + 1 J !(Ха — аг) Пх е хг ¿х ¿г +--—— J и'2г\г=т ¿х+
0 0 0 0 0 т 1 хт 1
+ 1 J J(Xc — сг) и2 е-хг ¿х ¿г +--—— J а(х,Т) Пх(х,Т) ¿х+
0 0 0
I т I е-хт г X3 [ Г +--—— с(х,Т) и2(х,Т) ¿х--— и2 е-хг ¿хё,г =
0 0 0 т I
= —I а(0, г) иг(0,г) ! К (у) и(у,г) ¿уе-хг ¿г. (2.1)
00
Рассмотрим правую часть равенства (2.1) и сделаем некоторые оценки. Последнее слагаемое в правой части (2.1) сначала преобразуем:
т I
^У а(0,г) иг(0,г) ! к (у) и(у,г) ¿уе-хг ¿г = 00 т I
= ! а(0, г) и(0,г) ! к (у) иг(у,г) ¿уе-хг ¿г— 00 т I
— I {Ха(0,г) — аг(0, г)} и(0,г) ! К (у) и(у,г) ¿уе-хг ¿г—
00
I
—а(0,Т) и(0,Т) е-хт I К (у) иг(у,Т) ¿у ¿г.
0
Теперь воспользуемся неравенством \ а(0,г) \ ^ А0, вытекающим из условий теоремы, и, кроме того, заметим, что имеет место равенство
0
'т = 1и ¿е+"{хг).
Отсюда легко вывести неравенство
I I
и2(0, г) < ¿¿У и2х(х ,г) ¿х + с(6г) ! и2(х ,г) ¿х, с(5,) = . (2.2)
0 0
Оно справедливо для любого г £ [0, Т]. Далее, неравенство Коши в сочетании с (2.2) приводит к оценкам:
а(0, г) и(0, г) ! к (у) щ (у, г) ¿у е-х ь ¿г
<
< 2! I а(0,г) I и2(0,г) е-хь ¿г + I а(0,г) I М к(у)щ(у,г) ¿у I е-хь ¿г <
61
о
о
т I
< 2 Ао I и2(0,г) е-хь ¿г + 1 Ао у (У К2(у) ¿у I ^ и2(у,г) ¿уе-хь ¿г <
т I
2х
оо
2 е-хь ¿хлг , ^с(61) / I и2 е-хь ¿x¿г +Л°Л° / I и2 е-м
< Ао — иХ е-хь ¿х ¿г + Ао
Ао ко
т I
и2 е ¿х ¿г;
оо
оо
! {Ха(0,г) - аь(0, г)} и(0,г) ! К (у) u(y'г)¿ye-хt ¿г
<
т I
< Во(Х) — I I и2Х е-хь ¿хдг + Во(\)^ I ¡и2 е-хь ¿,х^,г+
с(б2)
т I
2х
оо
оо
+
т I
Во (А) ко [ (^2 -хь
и е ¿х ¿г;
оо
а(0, Т) и(0, Т) е-хт I К (у) и(у, Т) ¿у <
о
I I
« | а^Т)е-хт /) ¿х + ^ )е-хт /(х,Т) ¿х+
оо
I
а(0,ТУко -хт [ 2/
2-е и (х, Т ) ах.
+
В этих неравенствах 61 выберем следующим образом:
л Р1 л Р1 х и 61 = 7ПГ, 62 = ,2 ,-:—тт, 63 =
2Ао' 2 2(Ао ко + Ао)' 3 а(0,Т)
Тогда
Р1 +2Ао I р1 + 2(А2 ко + Ао) I р1 +2Ао I
с(61) =--,с(6 2) =--,с(6з) =--.
Р11 Р11 Р11
Так как на основании теорем вложения ([7], с.143) справедливо неравенство
([4], с.11)
№и||2 < еНиН1,2 + с(е) МЮ,
2
2
где обозначено ||и||0 = ||и||^2, то с учетом того, что функция к0 А0 с(х,г) — сг(х,г)
т I
достаточно велика, получим / / и2 ¿х ¿г ^ 0, откуда и следует утверждение тео-
00
ремы.
Замечание. Можно избежать неопределенности условия «функция к0 А0 с(х,г) — сг(х,г) достаточно велика», если потребовать выполнения следующих условий, вытекающих из условий теоремы:
X2 Т2 < 4, с(х, Т) — V + 1а(0,Т) а(0, Т) — к0 а(0, Т) > 0; 3 VI
к0 А0 с(х, г) — сг(х, г) — Р1 + 2А° 1 А0 —
Р11
+2(А2 к0 + А0) I +
+ к^ Б0(к0 А0) > ¿4 > 0.
Эти условия получены в результате громоздких преобразований. Продемонстрируем их вывод. Прежде всего, заметим, что справедливо представление
г г
Вгуе-А = 1(Бг;ое-% )г ¿г = | В
2 — Х[ _х±
¡уе 2 ¿г — — I Вгуе 2 ¿г,
2
000 из которого можно получить неравенство
т I
(Вгу)2е-хг ¿хйЬ <
00
т 1 2 2 т 1
< Т2 I ¡Ву)2е-хг ¿^¿г + I 1'(Вгу)2е-хг ¿хсМ. (2.3)
0 0 0 0
Если X2 Т2 < 4, то из неравенства (2.3) следует, что т I т I
(Вгу)2е-хг ¿х ¿г < 4—^1 I (В2у)2е-хг ¿х ¿г. 0 0 0 0 Теперь выясним, можно ли подобрать число X так, чтобы выполнялось неравенство
т I
3 л _ 2 X3 Т2 _ к0А0\ [[ 2 -х г
2 4 — X2 Т2 2
00
[3 \_ 2 X3 Т2 _ кр Ар\
\ 2 4 — X2 Т2 2 )
хт 1
+ !|с(х,Т) — с(53) а(0,Т) — к0 а(0,Т)} и2(х,Т) ¿х+
0
т I
+ 111 X — сг — с(11) А0 — с(§2) Б0(\) — к0 Б0(\)^ и2 е-хг ¿x¿г+ 00
I
J|а(х, Т) — ¿3 а(0,Т)| и2х(х, Т) ¿х+
хт 1
+ Р~ /^ а(х,Т) — ¿3 а(0, Т)[ п\(
о
т I
+2 I ! (Л а — аг — ¿1 А0 — ¿2 Во(Л)^ и2х с-хг ¿х ¿г < 0,
оо
которое получено из (2.1) с помощью выведенных оценок.
Положив Л = Ао = ко Ао, убеждаемся в том, что если выполнены наши предположения, то
2 Л — ^-АТТ 2 — > 0, с(х, Т) — е(53) а(0, Т) — ко а(0, Т) > 0,
Ас — с* — е(51) Ао — е(52) Во (Л) — ко Во(Л) > ¿4 > 0, а(х,Т) — ¿3 а(0,Т) > 0, Ла — а* — ¿1 Ао — ¿2 Во(Л) > 0,
т I
откуда, в частности, / / и2 ¿х ¿г ^ 0, стало быть, и(х,г) = 0, что и доказывает
оо
наше утверждение.
3. Вспомогательная задача
Теперь, следуя плану, рассмотрим вспомогательную задачу. Задача Найти в области Qт решение уравнения (1.1), удовлетворяющее условиям (1.2) и граничным условиям
их(0,г) = ¡(г), их(1,г) = 0. (3.1)
Задача Найти в области Qт решение уравнения (1.1), удовлетворяющее условиям (1.2) и граничным условиям
их (0,г) = ¡(г), и(1,г) = 0. (3.2)
Лемма. Если выполняются условия согласования
Бк^\г=о = 0,к = 0,1, 2, Б1^\г=т = 0, (3.3)
то задачи 1 и 2 эквивалентны операторному уравнению
I
^(х,г) = ! К (у) щ(у,1) ¿у, г = 1, 2, (3.4)
о
где щ(х,г) — решения вспомогательных задач ^ и 2a соответственно.
Доказательство. Пусть задача 1 имеет решение и(х, г) е ). Тогда
существует граничное значение производной их(0,г), которое обозначим ¡(х,г). В силу условия (1.3)
I
^(х,г) = ! к (у) п(у,г) ¿у.
0
Функция и(х,Ь) удовлетворяет уравнению (1.1), начальным условиям (1.2) и граничным условиям их(0,Ь) = ), их(1,Ь) =0, т.е. является решением задачи 1а. Пусть теперь ц(х,Ь) — решение уравнения (3.4), где и(х,Ь) — решение задачи 1а, т.е. удовлетворяет уравнению (1.1), условиям (1.2) и (3.2). Но тогда эта функция, являясь решением уравнения (3.4), удовлетворяет и условию (1.3), стало быть, является решением задачи 1. Аналогичные рассуждения можно провести для задачи 2.
Теорема 3. Если выполняются условия (1.7), (1.9) основной теоремы, ц(х,Ь) €
(о,т) и
Вк^=0 =0,к = 0,1, 2, = 0, (3.5)
то существует решение задачи 1а, принадлежащее пространству ^22'4 ^т).
Доказательство. Введя новую неизвестную функцию ю(х,Ь), положив ю(х,Ь) =
(I - х)2
= и(х,Ь) + т(х,Ь), где функция т(х,Ь) = —2ц—1Л(^), перейдем к задаче с однородными граничными условиями:
IV = ^(х,г),г(х,г) = /(х,г) - Ьт, (3.6)
Вкv\t=0 = 0,к = 0,1, 2, В^\г=т = 0, (3.7)
vx(0,t)=0, vx(l,t)=0. (3.8)
Решающую роль в доказательстве теоремы играет априорная оценка, к выводу которой мы и приступим.
4. Априорная оценка
Воспользуемся методом регуляризации. Определим оператор
Lev = Lv — е vxxt, £ > 0,
и рассмотрим задачу: найти функцию v(x,t) £ V(QT), удовлетворяющую уравнению
Lev = F (x,t) (4.1)
и условиям (3.7), (3.8).
Хорошо известно [6, 13], что задача с условиями (3.7), (3.8) для уравнения (4.1) с фиксированным е > 0 однозначно разрешима в нужном классе функций. Рассмотрим равенство
T l T l
Le-" dxdt = 1 iF (x't) v'dxdt■
0 0 0 0
Интегрируя по частям и учитывая условия (3.7), (3.8), получим: т I т I
2Л е-хг ¿хсМ +2 (Л а — аг) У2х е-хг ¿х ¿г+
оо
оо
т I
т I
оо
+ 2 J /(Лс — сг) V2 е-хг ¿х ¿г + £ ^ !'X* е-хг ¿х ¿г + е ^ J а(х,Т) 'и2х (х,Т) ¿х+
о о о
Хт 1 Л3 т 1
+--2— J с(х,Т) у2(х,Т) ¿х--2 / У V2 е-Х* ¿х ¿г =
оо
т I
Г(х,г) V* е ¿xdt.
(4.2)
оо
На следующем этапе рассмотрим равенство
т I т I
ьеууххЛе-хг¿,х^,г = J !Г(х,г)уххЛе-хг¿x¿г. о о о о
Заметим, что с учётом (а'х)х = ах'х + а'хх имеет место
т I т I
ах'х уххЛ е-х г ¿х ¿г = — J !(ах'х)х ухЛ е-х г ¿х ¿г = о о о о
т I
(4.3)
(ахх'х + ах'хх) ухЛ е хг ¿х ¿г =
оо т I
т I
J ахх Vхе хг ¿х\т + ! J(аххг — Лахх) е хг ¿х ¿г — J ^ ах Vхх 'хге Хг ¿хйЬ.
= — I ахх е ¿х\о + J J (аххг — Лахх) ^е
о о о о о
С учётом начальных условий (-и\г=о = 0) имеем:
г г
Щ= J -тт (х, т) ¿т, Vхг = ! Vхтт (х, т) ¿т. оо Эти равенства нам понадобятся в дальнейшем. Применим их в оценке слагаемых:
т I
т I
г
ах vxx vxгe ¿х ¿г
ах vxx I ^х
оо
оо
/"х- (х'т > ¿те-ХФе-ХФ ¿^
о г
! Vxтт(х,т) ¿те-хгI2 = J Vxтт(х,т) е-хг|2 ¿т <
t t ^ \Vxtt (х,Т )\ в-Х^2 ¿Т ^ \Vxtt (х,Т )\ С-ХТ/2 ¿Т,
00
поскольку е-Хт/2 ^ с-х1/2 в силу того, что т ^ Ь.
Далее, применяя неравенство Коши-Буняковского, получаем:
т I t
I'
vxx I ^ 0 0 0 I / т
\vx.TT(х,т)\ е
00
I ^тт(хт >"те-Х,/ге-Х,/2
0
(I \vxTT(х,т)\ е-Хт/2 ¿Т ■ I \ах vxx\ &-Х1/2 ¿Ь I ¿х <
<
I / т
I / т
2 \ 2
Пу \vxTT (х,т)\е-Хт/2 ¿т I ¿х I ■ у (У К Vxx\е-ХЬ/2 ¿Ь | ¿х I <
00
00
I т
2 / I / т
<
00
vXTT(х,т)е Хт ¿т ¿х ■ Т1 ■ ^ У ^ У а2с ¿Ь^ ■ ^ J
1т \ 1 / 1т
^ С ( / / vXTT(х,т)е-Хт ¿т ¿х
а2:г ¿Ь I ■ ( / vXxe Х1 ¿Ь\ ¿х\ ^
vXxe Хt ¿Ь¿x
00
00
x 0
ству:
О'
Здесь С4 = Т ■ эир/ а2Х ¿Ь\ . Далее, преобразование (4.3) приводит к равен-
т I т I
3 X] У vxtt 2 с-Х1 ¿xdt +2 У J(Xa — ) vХx е-Х1~' ¿х ¿Ь+ 0 0 0 0
т I
т I
00
+ 2 У J(axxt—Xaxx) v22 е-Х1, ¿х ¿Ь+£ J vXxt е-Х t ¿х — J а(х,Т) vXx(x,T) ¿х+
0 0 0
I т I е-Хт г X3 Г Г +--2— {с(х,Т) — а^^х^)} vХ(x,T) ¿х--— v2xt е-Хг ¿х ¿Ь =
00
т I
(ХГ — Г^ vxt е-Х ¿х ¿Ь+
00
т I т I
Х1
+ .1 е~ ¿'хЛ — .1 Jax ^ ^ ¿хЖ.
0 0 0 0
Наконец, рассмотрим равенство
(4.4)
2 \ 2
2
2
T l T l
Lev Dfv e-xt dxdt = - J J F(x, t) Dfv e-x t dxdt. 0 0 0 0 После преобразований получим:
T l
3.
T l
(Df v)2 e-xt dxdt +2 Xe / \ (Df vx)2 e-xt dxdt+
00
T l
00 T l
+e di vxt e xt dxdt = - (avx)x Df ve xt dxdt
00
00
T l T l
+ У JcvDf ve-xt dxdt -J J F(x,t) Df v e-xt dxdt. 0 0 0 0
(4.5)
(Здесь di = const.) Приступим к выводу оценок. Применив неравенство Коши, получим из (4.2):
T l
T l
2 X vft ex dxdt +2 I I (Xa - at) vx e xt dx dt+
00
00
T l
T l
00
+ 2 J J(Xc - ct) v2 e-xt dxdt + e J J vXt e-xt dxdt + e ^ J a(x,T) v2x(x,T) dx+
0 0 0 xT l T l
+ J c(x,T) v2(x,T) dx < S5 J j vf e-xt dx dt+
T l
X3
00 T l
+c(S5) F (x,t) e-xt dxdt + — vf e-xt dxdt.
(4.6)
00
00
В (4.4) проинтегрируем по частям
T l
T l
T l
cvvxxt e dxdt = - / cx vvxt e dxdt - / cvx vxt e dxdt,
00
00
00
а затем оценим слагаемые в правой части. Преобразовывая подынтегральное выражение и затем применяя неравенство Коши-Буняковского, получаем:
T l
cx v vxte dx dt
T 1 t
cx v x
0 0 0
Iv- ('-t) dTe-x"Xe-x"2 dxd
0
l T T
J [J \vxrr (x,t )| e-xT/2 dr J \cx\^\v\e-xt!2 dt I dx <
0 0 0
<
ьт \ '''' / I / т\/ т \\2
2 „-\„ — Хт гр 1 I III „2 1, 1 I I „,2 -Хг
^ I I I гохтт(х,т)е т ¿т ¿х ■ Т
оо
^ I / / vXтт(х,т)е Хт ¿т ¿х
ь т \ 2 / ь т
2 „-Хт
с2х¿г] ■ V2е—хг¿г | ¿х | ^
о о о
¿г ¿х
V2 е—Хг
(Т ■ вир т сх ¿П .
хо
т \ 2 Здесь С5 = I Т ■ вир / сх ¿г
хо
Далее, имеем
т ь
„-хг
т ь
vxг е ¿хсМ = ~ / (Л с — сг) гох е ¿хсМ.
оо
Теперь из (4.3) получим: т ь
оо
т ь
-Л I I vltt е хг ¿х ¿г + — I I (Л а — аг) vхx е хг ¿х ¿г+
оо
оо
т ь
т ь
+ 2 I I (Л с — сг + аххг — Лахх) V2 е ¿х ¿г + £ / / vxxt е ¿х ¿г+
оо
оо
е-хт 2 е-хт 2
+--^ а(х,Т) vlx(x,T) ¿х +--— {с(х,Т) — ахх(х,Т)} V2 (х,Т) ¿х <
т ь
< сз(¿в)! ¡Г — Гх\2 е—Хг¿^¿,г+
оо
+¿6
2
Л3
Vихтт (х,т) ¿т | е ¿х ¿г + —
о о о о о о
-(х,т) ¿т ] е ¿х ¿г+
+С4 { / vXтт(х,т)е—Хт ¿т^х
ь т \ 2
vXx.e~Xt ¿г¿x | +
оо
+С5 I / / vXтт(х,т)е Хт ¿т ¿х v2e хг ¿г ¿х
(4.7)
Умножим (4.6) на произвольное число ¿ > 0 и сложим с (4.7), получим:
2
2
V
2
т I т I
3 , , I I п 1
^¿Х I I vXt е Х1 ¿х ¿Ь + -¿ (Ха — ) V22, е ^ ¿х ¿Ь+
2 } } tt 2
0 0 0 0
т I т I
+ 3>Х / е-Х ¿х ¿Ь +2/ !(Ха — е-~Х1 ¿х ¿Ь+
0 0 0 0 т 1 т 1 Хт 1
+2 ¿ / У (Хс—с1) v2 e-Хt ¿х ¿Ь+£ ¿ ^^ ¡^ е-Х1 ¿х ¿Ь+ е ^ ¿ J а(х,Т) у12,,(х,Т) ¿х+ 0 0 0 0 0
т I т I
+ 2/ !(Хс — сн + axxt — Xaxx) v2x е-Х t ¿х ¿Ь + е^ J vXxt е-Х t ¿х ¿Ь+
0 0 0 0
I I
е-Хт Г , _ „ , _ , е-Хт
е-Хт Г е-Хт Г
+--2— а(х,Т) vХx(x,T) ¿х +--2— ¿ с(х,Т) ^2(х,Т) ¿х+
00 I
е-Хт ■
+--^ {с(х,Т) — axx(x,T)} vХ(x,T) ¿х <
2
0
т I т I / t \ 2
< ¿ Ц е- ** + £ ¿ Ц ( / .тт (х,Т) ¿Т I е-Х ¿-¿Ь +
0 0 0 0 0 т I т I
+¿5 |vX е-Хг ¿хйЬ + с3(56)! J Г — ГХ\2 e-Хt ¿х ¿Ь+
0 0 0 0
т I / t \ 2 т I / t 4 2
+'6Пу^м¿т] е-Х¿-¿ь+/и"^)¿л е-х1 ¿.¿ь+
0 0 0 0 0 0
( г т \2 ( г т \2
+С4 ( / / vXTT (х,т)е-Хт ¿т¿x\ ■ ( vXxe-Хt ¿Ь ¿х ] +
0 0 0 0
( г т \ ^ ( г т ^
+С5 ( / / vXTT (х,т )е-Хт ¿т¿x\ ■ ( v2e-Хt ¿Ь ¿х
0 0 0 0 Заметим, что теоремы вложения для анизотропных пространств гарантируют существование и принадлежность нужным классам всех производных, возникающих при интегрировании исходных равенств [4]. Далее, мы используем следующие неравенства:
1 1 1т \ 2 / 1т \ 2
С4 [ / vXTT (х,т)е-Хт ¿тс1х] ■ [ vXxe-Хt ¿Ь¿x\ <
Vxтт (х, Т I | III ^-'xХ'"
0 0 0 0
ь т ь т
< -у/ ^2Хтт (х, т )е—Хт ¿^¿,х + ^^е^ ¿г ¿х;
о о о о
( г т \2 ( г т \2
С5 [ / vXтт (х,т)е—Хт ¿тс!х] ■ { v2e—Хг ¿г ¿х ] <
ь т ь т
< Щ! J vXтт (х, т )е—Хт ¿тс1х + Щ! ¡V2 е—хг ¿¿¿х.
о о о о
Заметим, что в силу условий теоремы существования
с(х, Т) > 0, с(х, Т) — ахх(х, Т) > 0.
Тогда, приводя подобные слагаемые и требуя неотрицательности коэффициентов и слагаемых в левой части, после умножения на 2 получаем следующие условия, нужные нам для наших целей:
3Л > ^ ■ Т2 + ¿5 ■ Т2,
т \ 1 ( т \ 2 Лз
3 Л > ( Т ■ вир а2х ¿г] + I Т ■ вир с2х ¿г] + — ■ Т2 + ¿в ■ Т2,
1 1 т \ 2 / т
Л а — аг > I Т ■ вир J а2х ¿г^ , ¿ (Л с — сг) > ^Т ■ вир J с2х ¿г ] ,
¿ (Л а — аг) + Л с — сг + аххг — Л ахх > 0. Возьмём ¿5 = ¿в, тогда первое ограничение пропадает.
Заметим, что если \ах\ ^ Ао, \с\ ^ Бо, \сх\ ^ Б1 Ух,г, то для выполнения второго ограничения достаточно положить
3 Л > Т (Ао + Б1) + Л3 ■ Т^ + ¿в ■ Т2. (4.8)
В этом равенстве параметр Л можно положить практически любым и подобрать Т. Но, исходя из некоторых соображений удобства и из доказательства единственности решения, мы положим Л = Ло = ко Ао. Далее, можно положить
Л а — аг > Т Ао, ¿ (Л с — сг) > Л С5,
(4.9)
¿ (Л а — аг) + Лс — сг + аххг — Л ахх > Т Бо, (4.10)
Первое неравенство в (4.9) будет выполняться для нашего Л = Ло согласно условиям теоремы, поскольку Т < р1/Ао, а для выполнения второго, если положить ¿ достаточно большим, достаточно потребовать Л с — сг ^ ¿7, где ¿7 > 0. При этом, в силу условий теоремы достаточно положить ¿7 = ¿4.
Условие (4.10) выполняется в силу условий теоремы: поскольку слагаемые ограничены, то \Хс — с1 + аХХЛ — ХаХХ\ < то, а тогда существует такое число М, что Хс — с1 + о,хх1 — ХаХХ > —М. Тогда неравенство (4.10) будет выполняться, если
¿ >
ТБ0 + М Р1
. Таким образом, мы сможем выбрать достаточно большое ¿ для
того, чтобы неравенства (4.9) и (4.10) выполнялись.
Далее, для выполнения неравенства (4.8) достаточно потребовать выполнения условий 3 Х/2 > Т (А0 + Б1), 3 Х/2 > Х3 ■ Т2/2+ ¿6 ■ Т2. Тогда для Т получаем следующие условия:
Т <
3
Т2 <
3
2(^0 + 51^ Х3 + 2 6б' Таким образом, Т должно удовлетворять всем этим условиям, то есть, должно быть достаточно мало.
В силу произвольности ¿6 достаточно потребовать Х2
Т2
< 3, а это выполняется
2
в силу условий теоремы. (В силу условий теоремы к0 А0 Т < —; к0 А0 а(х,Ь) — а^х,Ь) > р1.)
Вооружившись полученными оценками, продолжим доказательство теоремы существования решения. Для этого применим рассуждения, совершенно аналогичные тем, с помощью которых доказана теорема единственности. При соответствующих предположениях относительно коэффициента с(х, Ь) мы можем воспользоваться и вариантом, представленным в замечании 1. Из (4.5) и (4.7) будем иметь:
т г т г
М1/ J К + vXtt + V2 + v2 + -2Х] e-Хt ¿х ¿Ь + е ! J vXxt е-Х t ¿х ¿Ь+
0 0 0 0
т г т г
+¿е J ! vХt e-Хt ¿х ¿Ь < К2 ! J (Г2 + Г2) e-Хt ¿хйЬ. (4.11)
0 0 0 0
В правой части (4.5) сделаем оценки, заметим, что с учётом равенства: (avx)x = = аХгоХ + агоХХ имеет место:
т I
В4 V (axvx + avxx) е ¿х ¿Ь
00
<
т г
т г
т г
< у У J (В4 V)2 e-Хt ¿х ¿Ь + с1 (¿8) ! J vXx e-Хt ¿х& + с2(68^ уо2х е-Х1 ¿х^ьЬ. 0 0 0 0 0 0 Здесь зависимости ^(¿8) и с2(¿8) определяются постоянными ц, А0. Далее, имеем:
т I
с(х, Ь) vВí4 V е-Х t ¿x¿Ь\ ^
00
т г
т г
< 2 1 I (В4 V)2 e-Хt ¿хаЬ + с2^8) I I V2 e-Хt ¿x¿Ь;
00
00
т ь
г (х,г) V б4 V е—Х г ¿^¿г
оо
<
¿8
т ь
т ь
< 2 j у (°4 V)2 е—хг ¿хаь + c3(¿8) j у Г2 е—хг ¿^¿г. о о о о
Положим в этих неравенствах ¿8 = 1/2 и используем полученное ранее неравенство (4.11). В результате получим:
т ь т ь
\б4 V)2 е—хг ¿x¿г + £М3 ! J(Б2 Vх)2 е—хг ¿х ¿г < о о о о
т ь
< К3 у J (Г2 + Г2) е—Хг ¿х ¿г. оо
Итогом проделанных преобразований и оценок является неравенство:
(4.12)
"'^(Ог) + £(\\DtVx\\L2{Qт) + Ьхг\\ь2{Ят) + Ьххг\\ь2{Ят)) ^
< К \Г^ЦОг
(4.13)
2 г)
справедливое для функций, принадлежащих пространству V. Эта оценка позволяет завершить доказательство теоремы 2. Действительно, обозначим {Vе(х,г)} — семейство решений задачи (4.1), (3.7), (3.8) для £ > 0. Для любой из этих функций справедлива оценка
^Л^От,) + 4^1x^2^) < К
(4.14)
где К > 0 и не зависит от £. Но тогда из семейства {Vе(х,г)} можно выделить подпоследовательность {vEn(х,г)} слабо сходящуюся к v(x,г) е W^'A(QT) при £п ^ 0,п ^ то. Этот предел и есть единственное решение задачи 1а с однородными граничными условиями для п.в. (х,г) е Qт. Тогда и(х,г) = v(x,г) — -)Л1(х,г) — решение задачи 1а.
Теорема 4. Если выполняются условия (5), (7) основной теоремы, ¡(х,г) е ) и
¡ (х, 0) = ¡ г(х, 0) = ¡ гг(х, 0) = 0,
(4.15)
¡ г(х, Т) = 0.
(4.16)
то существует единственное решение задачи 2a, принадлежащее пространству
Доказательство почти полностью совпадает с доказательством теоремы 1. Единственное отличие состоит в выборе функции ■>л2(х,г) = (х — I) ¡(х,г), с помощью которой задачу 2a можно свести к задаче с однородными условиями. Получена оценка
b\Vw2,4{QT) + e{\\Divx\\i2{QT) + \\vxt\\i2{QT) + \\Dtvxx\\i2{QT)) <
< М \\0(х,Ь)\\2^, 1(Ят), (4.17)
где по-прежнему v(x,Ь) — решение вспомогательной задачи 2а с однородными условиями, 0(х,Ь) = /(х,Ь) — Ь,Ш2(х,Ь) — новая правая часть после перехода к задаче с однородными условиями.
Перейдем к завершающему этапу доказательства основной теоремы. Обозначим и^(х,Ь) — решение задачи 1а для однородного уравнения (1.1), а (х,Ь) — решение задачи 1а для уравнения (1.1), но с нулевыми условиями. Тогда и(х,Ь) = и^(х,Ь) + и$(х,Ь) в силу линейности задачи. Применив теперь к решению вспомогательной задачи интегральное условие из (1.3), получим:
г
ц(х,Ь)^ К (у) и„(у,Ь) ¿у + д(х,Ь), (4.18)
0
г
где д(х,Ь) = §К (у) и$ (у,Ь) ¿у и не зависит от ¡(х,Ь). Заметим, что в силу
0
полученных оценок и условий теоремы д(х,Ь) € Ш2(0,Т). Оператор Кл =
г
= / К (у) и^(у, Ь) ¿у представляет собой композицию ограниченного в силу получен-
0
ных оценок оператора и(р) и вполне непрерывного интегрального, вследствие чего является вполне непрерывным оператором, действующим из Ш2(0,Т) в Ш2(0,Т). Но тогда в силу леммы об эквивалентности задачи 1 и доказанной в теореме 1 единственности ее решения операторное уравнение (4.18) однозначно разрешимо. Это означает, что существует функция ¡(х,Ь) такая, что решение задачи 1а удовлетворяет интегральному условию (1.3). Проведенные рассуждения полностью применимы к задачам 2 и 2а. Теорема полностью доказана.
Литература
[1] Кожанов А.И., Пулькина Л.С. О разрешимости краевых задач с нелокальными граничными условиями интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 9. С. 1166-1179.
[2] Кожанов А.И. О разрешимости некоторых пространствено нелокальных задач для линейных параболических уравнений // Вестник СамГУ. 2008. № 3(62). С. 165-174.
[3] Пулькина Л.С. Начально-краевая задача с нелокальным граничным условием для многомерного гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 8. С. 1084-1089.
[4] Егоров И.Е., Федоров В.Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Изд-во ВЦ СО РАН, Новосибирск, 1995. 133 с. 1.
[5] Kozhanov A.I. Composite Type Equations and Inverse Problems. VSP. Utrecht, 1999.
[6] Кожанов А.И. О разрешимости первой начально-краевой задачи для одного класса вырождающихся уравнений соболевского типа высокого порядка // Неклассические уравнения математической физики. Сб. научн. трудов. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН, 2007. С. 172-181.
[7] Гординг Л. Задача Коши для гиперболических уравнений. Изд. ИЛ-М., 1961. 122 с.
[8] Кожанов А.И., Пулькина Л.С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Доклады Академии наук. T. 404. № 5. 2005.
[9] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: "Наука 1973. 408 с.
[10] Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: "Наука 1967. 736 с.
[11] Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения [Уч-к для ун-тов]. Изд. 4-е - М.: "Наука 1974. 331 с.
[12] Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. 480 с.
[13] Якубов С.Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: Элм, 1985.
References
[1] A. I. Kozhanov, L. S. Pulkina On the solvability of boundary value problems with nonlocal boundary conditions of integral form for multidimensional hyperbolic equations.// Differents. equation. 2006. 42. No. 9. P. 1166-1179.
[2] A. I. Kozhanov On the solvability of some spatial nonlocal problems for linear parabolic equations. //Vestnik SamSU. 2008. No. 3(62). P. 165-174.
[3] L. S. Pulkina Initial boundary value problem with a nonlocal boundary condition for a multidimensional hyperbolic equation. //Differents. equation. 2008. T. 44. No. 8. P. 1084-1089.
[4] Egorov I. E, Fedorov V. E. Nonclassical equations of mathematical physics. Publishing house SB RAS computing center, Novosibirsk, 1995. 133 C. 1.
[5] A. I. Kozhanov Composite Type Equations and Inverse Problems. VSP. Utrecht, 1999.
[6] A. I. Kozhanov On the solvability of the first initial-boundary value problem for a class of degenerate Sobolev type equations of high order. //Nonclassical equations of mathematical physics. Sat. sci. works. Novosibirsk: Publishing house of Institute of mathematics of SB RAS, 2007. Pp. 172-181.
[7] L. Harding the Cauchy Problem for hyperbolic equations. Ed. IL - Moscow, 1961. 122 p.
[8] A. I. Kozhanov, L. S. Pulkina On the solvability of boundary value problems with nonlocal boundary condition of integral form for multidimensional hyperbolic equations//Doklady mathematics, vol. 404, No. 5, 2005.
[9] O. A. Ladyzhenskaya Boundary value problems of mathematical physics. M.: Nauka, 1973, 408 S.
[10] Ladyzhenskaya O. A., Solonnikov V. A., Ural'tseva N. N. Linear and quasilinear equations of parabolic type. M.: "Nauka 1967. 736 S.
[11] L.S. Pontryagin Ordinary differential equations [section for universities]. Ed. 4th - M.: "Nauka 1974. 331. with silt.
[12] Besov O. V., Il'in V. P., Nikolsky S. M. Integral representations of functions and embedding theorems. M.: Nauka, 1975. 480 S.
[13] S. Y. Yakubov, Linear differential-operator equations and their applications. Baku: Elm Press, 1985.
V.B. Dmitriev2
A NONLOCAL PROBLEM WITH INTEGRAL CONDITION FOR A FOURTH ORDER EQUATION
In this paper we consider initial-boundary problems with integral conditions for certain fourth order equation. Unique solvability of posed problems is proved. The proof is based on apriori estimates, regularization method, auxiliary problems method, embedding theorems.
Key words: equation of 4-th order, nonlocal conditions, embedding theorems, generalized solution, Sobolev spaces.
Статья поступила в редакцию 22/V7/2016. The article received 22/VI/2016.
2Dmitriev Victor Borisovich (dmitriev_v.b@mail.ru), Samara College of railway transport. A. A. Buyanova, Samara, 443066, Russian Federation.
