CC BY
35Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2019. Том 26, № 3
УДК 517.946
ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИЕ И ПСЕВДОГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В НЕЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПО ВРЕМЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОБЛАСТЯХ А. И. Кожанов, Г. А. Лукина
Аннотация. Исследована разрешимость новых краевых задач для псевдопараболических и псевдогиперболических дифференциальных уравнений с одной пространственной переменной. Отличительной особенностью этих задач является то, что их решения ищутся в нецилиндрических по временной переменной областях, а не в областях с криволинейными боковыми сторонами (областях с подвижной границей), как в других работах. Для изучаемых задач доказываются теоремы существования и единственности регулярных (имеющих во внутренних подобластях все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в уравнение) решений.
Б01: 10.25587/8УРи.2019.17.12.002 Ключевые слова: псевдопараболические уравнения, псевдогиперболические уравнения, нецилиндрическая область, краевые задачи, регулярные решения, существование, единственность.
Введение
Краевые задачи для эволюционных уравнений типа псевдопараболических и псевдогиперболических в цилиндрических областях достаточно хорошо изучены (см., например, [1-9]). В настоящей работе будут изучаться краевые задачи для вышеназванных уравнений в нецилиндрических областях, причем не в областях с криволинейной боковой границей, а в областях, нецилиндрических по временной переменной. Ранее подобные задачи не изучались. Частично восполнить имеющийся пробел авторы и попытаются в настоящей работе.
Уточним, о каких уравнениях и о каких областях будет идти речь ниже. Пусть £2 — интервал (0,1) оси Ож, ф(х) — определенная при х £ £2 непрерывно дифференцируемая положительная на £2 функция. Далее, пусть (3 — множество {(х, 4) : х € О, 0 < 4 < ^(х)}, а(х, 4), с(х, 4) суть заданные определенные при (ж,£) £ (3 функции, Ь и М — дифференциальные операторы, действие которых на заданной функции у(х, 4) определяется равенствами
Ь- = у - а(х, 1)ухх - уххг + с(ж, 1)у,
Работа А. И. Кожанова выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 18—51—41009), работа Г. А. Лукиной выполнена при поддержке ГАУ ДО РС(Я) «Малая академия наук РС(Я)».
© 2019 Кожанов А. И., Лукина Г. А.
Mv = vtt - a(x, t)vxx - vxxt + c(x, t)v.
Подобные операторы в последнее время называют псевдопараболическими и псевдогиперболическими соответственно, и именно для них в работе будет изучаться разрешимость в нецилиндрической области Q некоторых аналогов первой, второй и смешанных задач.
Дифференциальные уравнения с операторами L и M указанного выше вида входят в класс уравнений, называемых в последнее время уравнениями соболевского типа. Как говорилось выше, теория краевых задач для таких уравнений в цилиндрических областях на сегодняшний день представляется достаточно хорошо разработанной. Заметим также, что краевые задачи для псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений в нецилиндрических областях также изучались, но при этом рассматривались лишь случаи областей с криволинейными боковыми сторонами (областей с подвижными границами) (см.
[10-14]).
1. Краевые задачи в нецилиндрической области для псевдопараболических уравнений
В настоящем разделе исследована разрешимость в области Q краевых задач для псевдопараболических уравнений.
Пусть /(ж, t) — заданная определенная при (ж, t) £ Q функция, а — заданное действительное число.
Краевая задача I. Найти функцию u(x, t), являющуюся в области Q решением уравнения
Lu = f (x,t) (1)
и такую, что для нее выполняются условия
u(0, t) = 0, 0 <t<^(0), (2)
u(1, t) = 0, 0 <t<^(1), (3)
u(x, 0) = au(x,^(x)), x £ Q, (4)
ut(x,^(x)) = 0, x £ Q. (5)
Краевая задача II. Найти функцию u(x, t), являющуюся в области Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условия (4), (5), а также условия
ux(0,t) = 0, 0 <t<^(0), (6)
ux(1,t) = 0, 0 <t<V(1). (7)
Краевая задача III. Найти функцию u(x, t), являющуюся в области Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условия (3)-(6).
Краевая задача IV. Найти функцию и(х,Ь), являющуюся в области Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условия (2), (4), (5),
(7).
Обозначим через У\ множество функций v(x,t), принадлежащих пространству ¿2^) и таких, что их обобщенные по С. Л. Соболеву производные vt(x,t), vx(x, £), ьхх(х, £), vxt(x, £), vxxt(x, ¿) существуют и также принадлежат пространству L2(Q). Введем в этом множестве норму
я
Очевидно, что множество У\ с этой нормой будет банаховым пространством. Именно в этом пространстве и будут установлены существование и единственность решений краевых задач 1—1У.
Приведем вначале несколько утверждений об априорных оценках решений краевых задач 1—1У.
Утверждение 1. Пусть выполняются условия
ф{х) € С1 (О), ф(х) > 0 при X € Тг, ф'{х) ^ 0 при X е П; (8)
а{х,г) е с1®),^) е с1^), а(ж, > о,с{х,г) > о,с4(ж,г) < о пРи{х,г) е <2;
(9)
существует отрицательное число Ао такое, что при (х,Ь) €= С} квадратичная форма ^ + ах(х, — — [Аоа{х, £) + а^х,
положительно определена при х (Е £1 и функции
(10)
а(х,ф(х))вх°- а2а(х, 0), с(х,ф(х))вх°- а2с(х, 0) неотрицательны.
Тогда для решений и(х, £) краевой задачи I, принадлежащих пространству У\, выполняется оценка
/<и2 + и2 + иХ + иХ.) <шг < /2 (п)
я я
постоянная N в которой определяется лишь функциями а(х, £) и с(х, £). Доказательство. Рассмотрим равенство
! Ьи ■ щех°* <1х<И = У /щвх°* г!хгИ. яя
Интегрируя по частям и используя условия (2)—(5), нетрудно от данного равенства перейти к следующему:
J и2х1еХ(,г йх<И + У + аж(ж, —-[Лоа(ж, + ^(ж, |еА°* ¿ж^
Я Я
- ^ I[Л0С(ж, г) + сг(ж, ¿)]и2еА°* ¿Х(И Я
1
+ ^ У [а(ж, ф(ж- а2а(ж, 0)]и2 (ж, ^(ж)) ¿ж о
1
+ 1 1\с{х,^{х))еХо^х) -о2с{х,Щи2{х,-ф{х))ах = J /щех°г йхМ.
Используя условия (9), (10) и применяя неравенство Юнга, из последнего равенства получим оценку
/(«? + + < щ/ /2 «
ЯЯ
из которой и из условия (8) следует требуемая оценка. Утверждение доказано.
Утверждение 2. Пусть выполняются условия (8)—(10), а также условия
ф(х) е С2(Щ (12)
^'(0) > 0, ^'(1) < 0; (13)
аг(х,Ь) < 0 при (ж,£) £ ,
- (14)
а(х, ф(ж)) — а а(х, 0) > а1 > 0 при х £ О.
Тогда для решений и(х, £) краевой задачи I, принадлежащих пространству VI, выполняется оценка
¿х<и < ж2/ /2
ЯЯ постоянная Ы2 в которой определяется лишь функциями а(х, £) и с(х, £). Доказательство. Рассмотрим равенство
ы ■ ихх< ^=/ихх<
ЯЯ
Это равенство нетрудно преобразовать к виду
1
J{и1г + и1хг) -7, I <и{х, 1)и2хх ¿хМ
яя 1
+ 11 ф{х)) - аМх, ,)п2хх{х, 0)] сь
о
= У (си - /)uxxt <1х<И. (15) я
Условия (4) и (5) дают при х € О соотношение
uxx(x, 0) = а[uxx(x,ф(x)) + ^^ф^ф^х)]. С учетом этого соотношения от (15) можно перейти к равенству
1
J(ult + ulxt) dxdt - i J at(x, t)u2xx dxdt
Q Q
1
+ \jHxMx))-a2a(xMulxM(X))dx
: J (cu — f )uxxt dxdt + a2 J a(x, 0)uxx(x, ^>(x))uxt(x, ф(^))ф'(x) dx Q 0
1 2
+ ^ja(x,0W\x)u2xM(x))dx. (16)
0
Имеем
Q Q Q
■0(1) V>(0) 1
+ ф'(1) J Uxt(1, t)dt — ф'(0) J uxt(0,t)dt — J ф^^и2^^^)) dx. (17) 0 0 0
Равенства (16), (17), условие (12), оценка (11) и неравенство Юнга дают неравенство
1
J uxxtdxdt +-j- J ихх(х, ф{х)) dx < 5 J uxxtdxdt + C(S) J f2 dxdt, (18)
Q 0 Q Q
в котором 6 — произвольное положительное число, а число С(6) определяется собственно числом 6 и функциями а(х^), с(х^) и ф(х). Подбирая число 6
i
малым, из (18) получаем требуемую оценку. Утверждение доказано.
Утверждение 3. Пусть выполняются условия (8)—(10), (12) и (14). Тогда для решений u(x,t) краевой задачи II, принадлежащих пространству Vi, выполняется оценка
Hulk < KJ/||l2(q), (19)
постоянная Ki в которой определяется функциями a(x, t), c(x, t) и ф(х).
Утверждение 4. Пусть выполняются условия (8)—(10), (12) и (14), а также условие
Ф'(1) < 0. (13')
Тогда для решений u(x, t) краевой задачи III, принадлежащих пространству Vi, выполняется оценка (19).
Утверждение 5. Пусть выполняются условия (8)—(10), (12) и (14), а также условие
Ф'(0) > 0. (13'')
Тогда для решений u(x, t) краевой задачи IV, принадлежащих пространству Vi, выполняется оценка (19).
Доказательство этих утверждений проводится последовательным повторением доказательств утверждений 1 и 2.
Теорема 1. Пусть выполняются условия (8)—(10), (12)—(14), а также условие a = 1. Тогда для любой функции f (x, t) из пространства L2(Q) краевая задача I имеет решение u(x, t), принадлежащее пространству Vi, причем ровно одно.
Доказательство. Пусть А — фиксированное число из отрезка [0,1]. Рассмотрим семейство краевых задач: найти функцию u(x, t), являющуюся на множестве Q решением уравнения
ut - А[a(x, t)uxx - c(x, t)u] - uxxt = f (x, t) (1A)
и такую, что для нее выполняются условия (2)—(5). Покажем, что при выполнении условий теоремы для любого фиксированного числа А из отрезка [0,1] нелокальная задача (1a), (2)—(5) будет иметь решение, принадлежащее пространству Vi.
Вследствие условия (8) уравнение (1о) на любом сечении t = const (0 < t < max(^(0), ^(1))) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение (с параметром t) относительно функции v = ut: v — vxx = f. Краевые условия (2), (3) и (5) означают, что в граничных точках этого сечения функция v обращается в нуль. Следовательно, функция v(x, t) однозначно определяется.
Далее, имея функцию г>(х,Ь), нетрудно построить собственно функцию и(х,Ь):
■ф(х)
и(х, £) = / v(x,т)dт ^--/ у(х, т)с1т.
} 1 - а }
о
Принадлежность этой функции пространству У\ и выполнение для нее краевых условий (2)—(5) очевидны. Отсюда получаем, что краевая задача (1о), (2)—(5) однозначно разрешима в пространстве У\.
Из утверждений 1 и 2 следует, что для любого решения и(х,Ь) краевой задачи (1а), (2)—(5) выполняется равномерная по Л априорная оценка
1Мк < Ко\\!\\Ыд)
(с постоянной Ко, определяющейся лишь функциями а(х,Ь), с(х, Ь) и ^(х)). Согласно теореме о методе продолжения по параметру [15, гл. III, § 14] разрешимость в пространстве У\ краевой задачи (1о), (2)—(5) и данная оценка означают, что краевая задача (1а), (2)—(5) разрешима в пространстве У\ для любого фиксированного Л из отрезка [0,1], в том числе и для Л =1. Это и дает существование требуемого решения и(х, Ь) краевой задачи I.
Единственность в пространстве У\ решений краевой задачи I очевидным образом вытекают из оценки (11).
Теорема полностью доказана.
Теорема 2. Пусть выполняются условия (8)—(10), (12) и (14). Тогда для любой функции /(х, Ь) из пространства Ь2(^) краевая задача II имеет решение и(х, Ь), принадлежащее пространству У\, причем ровно одно.
Теорема 3. Пусть выполняются условия (8)-(10), (12), (13') и (14). Тогда для любой функции /(х,Ь) из пространства Ь2(^) краевая задача III имеет решение и(х, Ь), принадлежащее пространству У\, причем ровно одно.
Теорема 4. Пусть выполняются условия (8)-(10), (12), (13'') и (14). Тогда для любой функции /(х, Ь) из пространства Ь2(^) краевая задача IV имеет решение и(х, Ь), принадлежащее пространству У\, причем ровно одно.
Доказательства теорем 2-4 проводятся полностью аналогично доказательству теоремы 1.
2. Краевые задачи в нецилиндрической области для псевдогиперболических уравнений
В настоящем разделе будет исследована разрешимость некоторых краевых задач в нецилиндрической области Q для псевдогиперболических уравнений с оператором М. Более точно, будет изучена разрешимость некоторых аналогов первой, а также смешанных начально-краевых задач.
Краевая задача V. Найти функцию и(х,Ь), являющуюся в области Q решением уравнения
Ми = / (х,Ь) (20)
и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3), а также условия
и(х, 0) = щ(х, 0) = 0, х е П, (21)
и«(х,ф(х)) = 0, х е П. (22)
Краевая задача VI. Найти функцию и(х,Ь), являющуюся в области Q решением уравнения (20) и такую, что для нее выполняются условия (2), (21) и (22), а также условие (7).
Краевая задача VII. Найти функцию и(х, Ь), являющуюся в области Q решением уравнения (20) и такую, что для нее выполняются условия (3), (21) и (22), а также условие (6).
Краевую задачу V можно трактовать как аналог первой начально-краевой задачи в цилиндрической области для псевдогиперболических уравнений, краевые задачи VI и VII — как аналоги смешанных начально-краевых задач в цилиндре для тех же уравнений.
Обозначим через У2 множество функций г>(х, Ь), принадлежащих пространству Ь2(^) и таких, что их обобщенные по С. Л. Соболеву производные г4(х, Ь), гх(х,Ь), гхх(х,Ь), vxt(x,t), «и(х,Ь), vxxt(x, Ь) существуют и также принадлежат пространству Ь2(^), с нормой
1141V, - (/(«а + + ^ + + ^ + 4 + <Ь<*) 2.
Я
Очевидно, что множество У2 с этой нормой будет банаховым пространством. Утверждение 6. Пусть выполняются условия ф(х) € С1 (О), ф{х)> 0 при же Тг, ф'{х)^ 0 при жеО; (23)
а(жа4(ж,г) е с(<2), а{х,г) > о,<ц(х,г) < о при (ж, г) е д. (24)
Тогда для решений и(х, Ь) краевой задачи У, принадлежащих пространству У2, выполняется оценка
1Мк < Яо\\/\\ь2(Я), (25)
постоянная Но в которой определяется лишь функциями ф(х), а(х, Ь) и с(х, Ь).
Доказательство. Пусть ^ — отрицательное число, величина которого будет уточнена ниже. Рассмотрим равенство
- J Ми ■ ихх4ем* ¿х<И = - J /ихх4ем* г!хгИ.
Интегрируя по частям и используя краевые условия (2), (3), (21) и (22), нетрудно от данного равенства перейти к следующему:
2 у г1хгИ - - I ихт~ . „ „„ 2
Я дя я
^ [ аиххе¿хсИ — — I гС„е'
— J и2х1.е^гщ йв — — J (циххе^ йхсИ
- ^ J аи2ххе^ ¿хМ - ^ J и2ххе^иг ¿в + ^ и2хх1е^ ¿хМ
я дя я
= J cuuxxtв^t в,х<И - J /uxxtв^t в,х<И. яя
Учитывая отрицательность числа ц, условия (23), (24) и применяя неравенство Юнга, нетрудно от данного равенства перейти к неравенству
^ J и2х1е¿хМ + ! и2хх1е¿хМ < б2 J и2хх1е¿хЛ
я я я
+ тах[с2(ж, [ и2е^ ¿хЛ + [ /2ем* ¿хЛ. (26) 20-2 о ) 2ЬЛ )
я
Имеют место равенства
д_ т
яя
1'[-ф(х) -1]^{и2е^)(1,х(И = I ¿хсИ — I [ф(х) - 1]и2е^щ йв
я дя
= 2/[фМ - <]ии,^ <х< + ,/[ф(х) - фЛ* <27,
яя Следствием этих равенств и неравенства Юнга является оценка
/ и2е^ г1хгМ < 4 т&х{ф2(х)} / и2е^ йх<И. (28)
.] о .]
яя
Имеют место также равенства д
1'[-ф(х) -А-Ц- (и2ейхЛЬ = - I ф'{х)и2е^ йх<И
я
- ![ф(х) - г]и2е^ ¿в = 2 ![ф(х) - ^щи^в^ <х<И. (29)
яя
Вследствие условия (22) выполняется
|'г/'/(ж)1 > Фо > 0 при а; £ О.
Отсюда, из (29) и неравенства Юнга вытекает оценка
1
фо ! и2е^йх<И<8\ J и2е^ йхсИ + тах[^2(ж)] J и2^1 г!хгМ. Я Я 1 Я
Положив ¿х = (-тг)1^2, получим
йхсИ < тах[^2(ж)1 [ г!хгМ. (30)
Фо п ]
ЯЯ
Неравенство (30) позволяет от (28) перейти к неравенству
и2
ЯЯ
и2ем* йх<И < ф^ и2хге^ йхйЬ, (31)
в котором число ф1 опредляется лишь функцией ф(х).
Вернемся к неравенству (26). Положим в этом неравенстве 5 = Полу-
^ J и2ге^ ¿хМ +7¿J гtLteMt ^жсЙ
Я Я
< фг тах [с2(ж, / и2х1е^ г!хгМ + / /2ем* йхйг. (32) о 7 }
Зафиксируем число ^ так, чтобы выполнялось неравенство
— — — ф\ тах [с2(х, £)] > 0. 2 Я
При таком выборе числа ^ неравенство (32) дает априорную оценку
/("Х« + "Хх') < Н'1/гё1Л (33)
с постоянной Н1, определяющейся лишь функциями ф(х) и с(х,Ь). Неравенства (28), (30) и (33) дают дополнительную оценку
У (и2 + и2) ¿х<И < Н2 I /2 ¿х<И (34)
ЯЯ
с постоянной Н2, определяющейся лишь функциями ф(х) и с(х,Ь). Равенства
I \ф{х) — (и2) ¿ХсИ = I и2 ¿ХсИ — I \ф{х) — 1]ихщ йв,
J\ф{х) - А = J и2хх йх<И - J [ф(х) - г]и2ххщ йв
Я Я дЯ
вместе с неравенством (33) дают еще одну оценку
/(иХ + ^ ^ < ^ (35) я Я
с постоянной Дз, определяющейся лишь функциями ^(ж) и с(ж,£). Наконец, равенство
- аихх - +сп)пи ^ =//пи ^ яя
дает очевидную оценку
J п^ < Й4 J /2 (36)
яя
с постоянной Й4, определяющейся лишь функциями а(ж, £), с(ж,£) и ^(ж). Неравенства (33), (35) и (36) дают требуемую оценку (25). Утверждение доказано.
Утверждение 7. Пусть выполняются условия
ф(х)&С1(Т1), ф(х)>0, ф'(х)<0 при же О, (23')
а также условие (24). Тогда для решений п(ж, £) краевой задачи VI, принадлежащих пространству У2, выполняется оценка (25).
Доказательство . При выполнении граничных условий краевой задачи VI равенство (29) преобразуется к виду
■Ф( 1)
- П^2« ** + / [„!, - «^Ц. ^ * = 2 /[«ж> - (]п,п>,2«
я О Я
Условие (23') означает, в частности, что при ж е £1 выполняется неравенство
^'(ж) < --0О < 0.
Учитывая это неравенство и повторяя все остальные выкладки и рассуждения из доказательства утверждения 6, получим, что для решений п(ж, £) краевой задачи VI выполняется априорная оценка (25). Утверждение доказано.
Утверждение 8. Пусть выполняются условия
ф(х)ес1(1г), ф(х)>о, ф'(х)>о при же о, (23")
а также условие (24). Тогда для решений и(ж, 4) краевой задачи VII, принадлежащих пространству У2, выполняется оценка (25).
Доказательство . При выполнении граничных условий краевой задачи VII равенство (29) преобразуется к виду
ф( 0)
J ф'(ж)и2ем* ¿ж^ + J [-0(0) - -£]и2(0,-£)е^ = -2^-^) - £]и4их<ем* ¿ж^.
Я 0 я
Условие (23'') и выкладки и рассуждения, выполненные при доказательстве утверждения 6, дадут требуемую оценку (25).
Утверждение доказано.
Теорема 5. Пусть выполняются условия (23) и (24). Тогда для любой функции /(ж, 4) из пространства краевая задача У имеет решение и(ж, 4),
принадлежащее пространству У2.
Доказательство. Вновь воспользуемся методом регуляризации и методом продолжения по параметру.
Для положительного числа е и для числа А из отрезка [0,1] рассмотрим краевую задачу: найти функцию и(ж,4), являющуюся в области Q решением уравнения
Им - еиххм - + - си] = /(ж, 4) (20е,л)
и такую, что для нее выполняются условия (2), (3), (21) и (22). Данная краевая задача при А = 0 и при фиксированном е представляет собой распадающуюся на две независимые (по переменной ж и по переменой 4) задачи; существование ее решений и(ж, 4) таких, что и(ж, 4) € У2, ихх^(ж, 4) € очевидно. Далее,
для всевозможных решений и(ж, 4) краевой задачи (20е,л), (2), (3), (21), (22) имеет место равномерная по А априорная оценка
1Мк + \\иххц\\ь2(я) < ||ь2(я)
с постоянной Й5, определяющейся лишь функциями ф(ж), а(ж, 4) и с(ж, 4), а также числом е. Из этой оценки и теоремы о методе продолжения по параметру следует, что при фиксированном е и при принадлежности функции /(ж, 4) пространству краевая задача (20ед), (2), (3), (21), (22) будет иметь решение и(ж, 4) такое, что и(ж,4) € У2, иххи(ж,£) € Повторяя для решений этой задачи доказательство утверждения 6, получим, что выполняется априорная оценка
\\и\\у2 - е J иХх-^ ^ < й6 J /2 ¿ж^; (37)
^ Я
здесь <г — кривая {(ж, 4) : 4 = ф(ж), ж € О}, число Дб определяется лишь функциями ф(ж), а(ж,£) и с(ж, 4); кроме того, очевидно, что выполняется также
оценка
"ж"й /2 "ж" (38)
я я
с постоянной Й7, определяющейся лишь функциями ^(х), а(х,Ь) и с(х,Ь).
Из оценок (37) и (38), а также из свойства рефлексивности гильбертова пространства следует, что существуют последовательности |£т}т=1 положительных чисел, {ит(х, £)}^=1 решений краевых задач (20Етд), (2), (3), (21), (22), функции и(х,Ь) и ад(х,£) такие, что при т ^ то имеют место сходимости
£т ^ 0,
um(x,t) ^ u(x,t) слабо в V2,
t) ^ w(x, t) слабо в L2(Q).
Очевидно, что функция u(x,t) принадлежит пространству V2. Покажем, что w(x,t) тождественно нулевая (в смысле пространства L2) в Q функция. Действительно, для любой функции rj{x,t) из C1(Q) имеем
"/- — = umxx„t dxdt - .. / ds.
Q Q a
В этом равенстве оба слагаемых правой части вследствие оценки (37) стремятся к нулю при m ^ то. Но тогда и левая часть будет стремится к нулю, а это возможно лишь в случае w(x, t) = 0.
Из указанных выше сходимостей с учетом, что w(x, t) — тождественно нулевая функция, следует, что функция u(x, t) и будет искомым решением краевой задачи VI.
Теорема полностью доказана.
Теорема 6. Пусть выполняются условия (23') и (24). Тогда для любой функции f (x, t) из пространства L2(Q) краевая задача VI имеет решение u(x, t), принадлежащее пространству V2.
Теорема 7. Пусть выполняются условия (23'') и (24). Тогда для любой функции f (x, t) из пространства L2(Q) краевая задача VII имеет решение u(x, t), принадлежащее пространству V2.
Доказательство теорем 6 и 7 проводится в целом аналогично доказательству теоремы 5.
ЛИТЕРАТУРА
1. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: Элм, 1985.
2. Демиденко Г. В., Успенский С. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Науч. книга, 1998.
3. Kozhanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.
4. Sviridyuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators. Utrecht; Boston: VSP, 2003.
5. Hayashi N., Kaikina E. I., Naumkin P. I., Shishmarev I. A. Asymptotics for dissipative nonlinear equations. Berlin: Springer-Verl., 2006.
6. Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М.: Физматлит, 2007.
7. Корпусов М. О. Разрушение в неклассических нелокальных уравнениях. М.: УРСС, 2011.
8. Корпусов М. О. Разрушение в неклассических волновых уравнениях. М.: УРСС, 2012.
9. Копачевский Н. Д. Интегро-дифференциальные уравнения Вольтерра в гильбертовом пространстве. Симферополь: Таврический национальный университет, 2012.
10. Cannarsa P., Da Prato G., Zolezio S.-P. The damped wave equations in a moving domain // J. Differ. Equ. 1990. V. 85, N 1. P. 1-16.
11. Da Prato G., Grisvard P. The damped wave equation in a noncylindrical domain // Differ. Integral Equ. 1994. V. 7, N 3-4. P. 735-746.
12. Кожанов А. И. Об одном сильно нелинейном уравнении третьего порядка в нецилиндрических областях // Неклассические уравнения математической физики. Тр. IV Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН. 2000. С. 107-115.
13. Иванова М. В., Ушаков В. И. Вторая краевая задача для псевдопараболического уравнения в нецилиндрической области // Мат. заметки. 2002. Т. 72, вып. 1. С. 48-53.
14. Глазатов С. Н. О некоторых задачах для нелинейных псевдопараболических уравнений в нецилиндрических областях // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 2. С. 272-289.
15. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.
Поступила в редакцию 1 августа 2019 г. После доработки 23 августа 2019 г. Принята к публикации 3 сентября 2019 г.
Кожанов Александр Иванович
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090; Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 1, Новосибирск 630090 [email protected] Лукина Галина Александровна
Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, Политехнический институт (филиал) в г. Мирном, ул. Тихонова, 5/1, Мирный 678170 [email protected]
Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2019. Том 26, № 3
UDC 517.946
PSEUDOPARABOLIC AND PSEUDOHYPERBOLIC EQUATIONS IN NONCYLINDRICAL TIME DOMAINS A. I. Kozhanov and G. I. Lukina
Abstract: We study solvability of new boundary value problems for pseudoparabolic and pseudohyperbolic equations with one spatial variable. The solutions for these problems are sought in domains noncylindrical along the time variable, not in the domains with curvilinear borders (domains with moving border) as in the previous works. We prove the existence and uniqueness theorems for the regular solutions, those having all generalized Sobolev derivatives, required in the equation, in the inner subdomains.
DOI: 10.25587/SVFU.2019.17.12.002
Keywords: pseudoparabolic equation, pseudohyperbolic equation, noncylindrical domain, boundary value problem, regular solution, existence, uniqueness.
REFERENCES
1. Jakubov S. Ya., Linear Differential-Operator Equations and Their Applications [in Russian], Elm, Baku (1985).
2. Demidenko G. V. and Uspenskiy S. V., Uravneniya i Sistemy, Nerazreshennye Otnositel'no Starshey Proizvodnoy, Nauchn. Kniga, Novosibirsk (1998).
3. Kozhanov A. I., Composite Type Equations and Inverse Problems, VSP, Utrecht (1999).
4. Sviridyuk G. A. and Fedorov V. E., Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators, VSP, Utrecht; Boston (2003).
5. Hayashi N., Kaikina E. I., Naumkin P. I., and Shishmarev I. A., Asymptotics for Dissipative Nonlinear Equations, Berlin (2006).
6. Sveshnikov A. G., Al'shin A. B., Korpusov M. O., and Pletner Yu. D., Linear and Nonliear Equations of Sobolev Type [in Russian], Fizmatlit, Moscow (2007).
7. Korpusov M. O., Blow-up in Nonclassical Nonlocal Equations [in Russian], URSS, Moscow (2011).
8. Korpusov M. O., Blow-up in Non-classical Wave Equations [in Russian], URSS, Moscow (2012).
9. Kopachevskiy N. D., Integrodifferential Volterra Equations in the Hilbert Space [in Russian], Tavr. Nats. Univ., Simferopol (2012).
10. Cannarsa P., Da Prato G., and Zolezio S.-P., "The damped wave equations in a moving domain," J. Differ. Equ., 85, No. 1, 1-16 (1990).
11. Da Prato G. and Grisvard P., "The damped wave equation in a noncylindrical domain," Differ. Integral Equ., 7, No. 4, 735-746 (1994).
12. Kozhanov A. I., "About one strongly nonlinear third-order equation in noncylindrical domains," Non-classical Equations of Mathematical Physics, Tr. IV Sib. Congr. Appl. Ind. Math., pp. 107-115, Sobolev Math. Inst., Novosibirsk (2000).
13. Ivanova M. V. and Ushakov V. I., "The second boundary-value problem for pseudoparabolic equations in noncylindrical domains," Math. Notes, 72, No. 1, 43-47 (2002).
© 2019 A. I. Kozhanov, G. I. Lukina
14. Glazatov S. N., "Some problems for nonlinear pseudoparabolic equations in nontube domains," Sib. Math. J., 48, No. 2, 214-228 (2007).
15. Trenogin V. A., Functional Analisys [in Russian], Nauka, Moscow (1980).
Submitted August 1, 2019 Revised August 23, 2019 Accepted September 3, 2019
Alexandr I. Kozhanov
Sobolev Institute of Mathematics,
4 Acad. Koptyug Avenue, Novosibirsk 630090, Russia
Novosibirsk State University,
1 Pirogov Street, Novosibirsk 630090, Russia
Galina A. Lukina
Ammosov North-Eastern Federal University, Mirny Polytechnic Institute, 5/1 Tikhonov Street, Mirny 630090, Russia [email protected]
