Задача с нелокальными динамическими условиями для уравнения колебаний толстого стержня Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Самарского университета,. Естественнонаучная серия. Том 23 № 4 2017

МАТЕМАТИКА

УДК 517.95, 624.07 Б01: 10.18287/2541-7525-2017-23-4-7-18

А.Б. Бейлин, Л.С. Пулькина1

ЗАДАЧА С НЕЛОКАЛЬНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ТОЛСТОГО СТЕРЖНЯ

В статье рассматривается начально-краевая задача с динамическим нелокальным граничным условием для псевдогиперболического уравнения четвертого порядка в прямоугольнике. Динамическое нелокальное граничное условие представляет собой соотношение, в которое помимо значений искомого решения и его производных по пространственным переменным входят производные второго порядка по переменной времени, а также интеграл от искомого решения. Эта задача может служить математической моделью процессов, связанных с продольными колебаниями толстого короткого стержня, и демонстрирует нелокальный подход к изучаемому явлению. Основной результат статьи состоит в обосновании разрешимости поставленной задачи. Доказано существование единственного обобщенного решения. Доказательство базируется на полученных в работе априорных оценках, методе Галеркина и свойствах пространств Соболева.

Ключевые слова: псевдогиперболическое уравнение, динамические граничные условия, продольные колебания, нелокальные условия, обобщенное решение.

Введение

Теоретические исследования продольных колебаний относительно толстого и короткого стержня базируются на математической модели, содержащей уравнение четвертого порядка с доминирующей смешанной производной. Этот факт был отмечен Рэлеем [1, Т. I, с. 273-274] и в дальнейшем развит в работах [2-4]. Использование этой модели позволяет проводить более точный анализ процесса, так как присутствие в уравнении смешанной производной четвертого порядка отражает эффекты деформации стержня в поперечном направлении. Вид краевых условий обусловлен способом закрепления концов стержня. В случае колебаний тонкого длинного стержня условия, заданные в точках границы области, в которой ищется решение, достаточны для адекватного описания процесса колебаний. Однако, если речь идет о колебаниях толстого короткого стержня, то следует предположить, что краевые условия, заданные на разных участках границы, могут оказаться связанными между собой некоторым соотношением. Задача, в которой учтена такая возможность, рассматривалась В.А. Стекловым для уравнения теплопроводности [5]. Краевые условия, возникающие при таком подходе, впоследстии былы названы нелокальными, а упомянутая статья оказалась отправной точкой многих исследований нелокальных задач для уравнений с частными производными различных типов [6-9]. Следующим шагом в постановке нелокальных задач явились статьи [10; 11], в которых вместо краевых условий на решение уравнения теплопроводности рассматриваются нелокальные условия, заданные в виде интегралов от искомого решения. Такой подход оказался весьма эффективным. В настоящее время задачи с нелокальными условиями активно изучаются, опубликовано большое количество работ, из которых мы отметим лишь наиболее близкие к теме нашей статьи, а именно те, в которых рассмотрены нелокальные задачи с интегральными условиями для гиперболического и псевдогиперболического уравнений [12-16]. Нелокальные задачи оказались в сфере интересов многих математиков как теоретическое обобщение классических краевых задач. Разработаны методы доказательства их разрешимости. В то же время гипотеза о разумности нелокального подхода к математическому моделированию многих явлений современного естествознания, в том числе колебаний твердых тел, выдвинута и со стороны инженеров [17]. Многие идеи, представлен!© Бейлин А.Б., Пулькина Л.С., 2017

Бейлин Александр Борисович ([email protected]), кафедра АСиИС, Самарский государственный технический университет, 443010, Российская Федерация, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 133.

Пулькина Людмила Степановна ([email protected]), кафедра уравнений математической физики, Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, 443086, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34.

ные в этой статье, могут быть реализованы с помощью теперь уже известных методов, разработанных для исследования именно нелокальных задач.

Приведенные соображения обусловили постановку задачи с нелокальными условиями для псевдогиперболического уравнения, которая и является основным объектом исследования предлагаемой статьи.

1. Постановка задачи

Рассмотрим продольные колебания толстого короткого стержня, которые возбуждаются распределенной силой ](х,Ь). Будем считать, что стержень представляет собой тело вращения относительно оси 0х. Продольные смещения, подлежащие определению, обозначим и(х,Ь).

Рассмотрим следующую задачу: в области Qт = (0,I) х (0, Т) найти решение уравнения

Ьи = а(х)ии — (а(х)их)х — (Ъ(х)иих)х + си = Г(х, Ь), (1.1)

удовлетворяющее начальным данным

и(х, 0) = 0, иг(х, 0)=0 (1.2)

и нелокальным условиям

I I

J P1(x)u(x,t)dx = Е1(Ь), J Р2(х)и(х,Ь).х = Е2(Ь). (1.3)

о о

Функции Рг(х), Ei(t) заданы, а коэффициенты уравнения имеют физический смысл: а(х) = р(х)А(х), а(х) = А(х)Е (х), Ь(х) = р(х)у1 (х)1р (х),

где А(х) — площадь поперечного сечения, р(х) — массовая плотность стержня, Е(х) — модуль Юнга, ^(х) — коэффициент Пуассона, 1р(х) — полярный момент инерции.

Условия (1.3) являются интегральными условиями первого рода. Исследование задач с такими условиями сопряжено со значительными трудностями, но методы их преодоления разработаны и успешно применяются [18]. Однако в нашем случае есть одно препятствие, не позволяющее сразу применить эти методы, так как коэффициент а(х) в уравнении (1.1) не есть постоянная. Проведенные исследования позволили предложить эффективный прием, который приводит к возможности применить разработанные методы исследования разрешимости задачи с нелокальными интегральными условиями вида (1.3). Выберем функции К\(х),К2(х) так, чтобы aKi — (К'(х)Ь(х))' = Р^х), и

Д = Кг(0)К2(1) — К1(1)К2(0) = 0. (1.4)

Предположим, что существует решение задачи (1.1)—(1.3). Умножим (1.1) на К^х),{ = 1,2, и проинтегрируем каждое из полученных равенств по (0,1). Получим

К(0)а,(0)ихХ(01 Ь) + К(0^(0)^^(0, Ь)] — К(1)а(1)их(1, Ь) + К()Ь(1)ихЫ(1, Ь)] —

—К'(0)а(0)и(0,Ь) + +К'(1)а(1)и(1,Ь) — Щ(0)Ь(0)ии(0,Ь) + К'(1)Ь(1)иа(1,Ь)+

I I I

+ ¡^„.ь + — (аК'^ = / ^ (1.5)

0 0 0 В силу условия (1.4) систему (1.5) можно разрешить относительно двух первых слагаемых. Получим

а(0)ихх(0,Ь) + Ь(0)ихи(0,Ь) + апи(0,Ь) + а12и(1,Ь)+

х

I

+виии(0,Ь) + в\2ии(1,Ь) + / Н1 (х)и(х, Ь).х = д\(Ь),

0

а(1)их(1,Ь) + Ь(1)ихЫ (1,Ь) + а2\и(0,Ь) + а22и(1,Ь)+

1

+в2\иы(0,Ь) + в22ии(1,Ь) + / Н2(х)и(х, Ь).х = д2(Ь),

о

(1.6)

где обозначено

ац = аД)[К1(1)К2(0) — К2(1)К1(0)], аи = аД-[К2(1)К{(1) — К1 (1)К2(1)], ви = ЬД)[К1(1)К2(0) — К2(1)К1(0)], в!2 = ЬЬДД)[К2(1)К[(1) — К1(1)К2(1)], а21 = аД)[К1(0)К2(0) — К2 (0)К1(0)], а22 = ОД) [К 2(0) К 1(1) — К1(0)К2(1)],

в21 = Ъ-^[К1(0)К2(0) - К(0)К[(0)], в22 = ЬД-[К2(0)К[(1) - К'(0)К2(1)], Н'(х) = Д[(сК' - (аК[)')К2(1) - (К - (аК2)')К1(1)], Н2(х) = Д[(сК' - (аК[)')К2(0) - (сК2 - (аК2)')К'(0)],

91$) = Д [(£ / - е'1 (г))К2(1) - (0 / - Е'2(г))К1([)], 92&) = Д [(^ К'!йх - Е'1 (г))К2(0) - (0 / - Е2(г))К'(0)].

1

д1 1

д'

Таким образом, решение уравнения (1.1), удовлетворяющее условию (1.3), удовлетворяет и условию (1.6). Покажем, что при выполнении условий согласования Ei(0) = 0, Е-(0) =0 из условия (1.6) следует выполнение условия (1.3). Действительно, повторив процедуру умножения (1.1) на Ki и интегрирования по (0,1) после применения условия (1.6) получим равенства

I

J Р1(х)п11(х,1)3х = Е- (г),{ = 1, 2,

каждое из которых представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функ-I

ций / Р-(х)и(х,1)йх. Из условий согласования получаем начальные условия

о

I

■ым-,»* = °. ¡ЫЫ*°Х'х = <>.

I

Тогда очевидно, что решением каждой из полученных задач Коши являются функции § Р-(х)и(х,1)ё,х =

о

= (Ь), что означает выполнение условий (1.3) и, следовательно, условия (1.3) и (1.6) эквивалентны в описанном выше смысле. Для удобства дальнейших ссылок сформулируем полученный результат в виде леммы.

Лемма. Условия (1.3) и (1.6) эквивалентны, если Д = К'(0)К2(1) - К'(1)К2(0) = 0 и выполнены условия согласования Е-(0) = 0, Е-(0) = 0.

Заметим, что условия (1.6) являются динамическими нелокальными условиями. Задачи с динамическими краевыми условиями возникают при математическом моделировании многих физических явлений. Не останавливаясь здесь на их описании подробно, отметим некоторые работы [3; 19-22]. Простейшие задачи с динамическими условиями приведены в качестве примеров в [19].

Будем теперь рассматривать задачу (1.1), (1.2), (1.6), что обосновано леммой. Обозначим Г = Г0 и Г;, где Г0 = {(х,Ь) : х = 0,Ь е [0,Т]}, Г1 = {(х,Ь) : х = е [0,Т]}

Ш(Ят) = {и : и е Ш2'(Ят), иг е ш'(Ят), их1 е Ь2(Ят), и е Ь2(Г)},

У(Ят) = {V : V е Ш(Ят), ь(х,Т) = 0}.

Нормы в этих пространствах определим естественным образом

\М2\¥ (Ят ) = Ыш^Ят) + \\ихг\\2Ыдт) + \Ы\12(г),

1М1у (Ят) = \М\^Ют) + \\^л\\12(Ят). т I

Следуя [24, с. 92, 210], из тождества / §(Ъи - /^¿хсИ = 0 получим равенство

о о

т I т

И(-^+аи^- Ьим+см)^ Ч ^ь)[а11и(0,ь)+^^

о о о

т т

+ У v(l,t)[a2lu(0,t) + а22и(1,Ь)]Л + ^ Vt(0,t)[вllUt(0,t) + в12Щ(1^)]А-оо

т т I

- ! vt(l,t)[в21ut(0,t) + в^и^^^А - J v(0,t) J Н1(х)и(х,^хА+

т I

о

Т I т

= \I ^У '"(0,Ь)д1(Ь).Ь ^У у(1,Ь)д2(Ь).Ь. (1.7)

0 0 о о

Определение. Обобщенным решением задачи (1.1), (1.2), (1.6) будем называть функцию и € Ш^т), удовлетворяющую начальному условию и(х, 0) =0 и тождеству (1.7) для любой функции V € V(^т).

2. Разрешимость задачи

Теорема. Пусть выполняются условия

1. I € Ь2^т), а, Ь € С 1[0,I], с, а € С[0,1]; 2. К € С2(0,1) и СЧ0Д К1(0)К2(I) — К1(1)К2(0)=0;

3. Е € С2[0,Т], Е^0)= Е((0)=0;

4. в12 + в21 =0, в11 < 0, в22 > 0;

5. а.22^2 + 2а.12^2 — ап < 0, в22^2 + 2012&& — ви < 0, причем равенство нулю возможно лишь при всех ^ =0, г = 1, 2.

Тогда существует единственное обобщенное решение задачи (1.1), (1.2), (1.6).

Доказательство. Доказательство теоремы проведем в несколько этапов. На первом докажем единственность обобщенного решения. Реализацию второго этапа начнем с построения последовательности приближенных решений. Затем получим априорную оценку решений, которая позволит выделить из построенной последовательности приближенных решений слабо сходящуюся в пространстве Ш ^т) подпоследовательность. На заключительном этапе покажем, что предел выделенной подпоследовательности и есть искомое обобщенное решение.

Единственность. Предположим, что существует два различных обобщенных решения задачи (1.1), (1.2), (1.6), и,1 и и2. Тогда их разность, и = и,1 — и2, удовлетворяет условию и(х, 0) =0 и тождеству т I т

Л(—аи^+аи^х—Ьим+си^хЖ Ч ^)[а11и(0,Ь)+а12и(1,^+

о о о

т т

+ У v(l,t)[а2lu(0,t) + а22и(1,Ь)].Ь + ^ Vt(0,t)[вllUt(0,t) + в12Щ(Ц)].Ь— оо

т т I

— ! vt(l,t)[в21ut(0,t) + в22щ(1,Ь)].;Ь — J v(0,t) J Н1 (х)и(х, Ь).,хАЬ+

о 0 0

т I

^У v(l,t) J Н2(х)и(х,Ь).х.Ь = 0 (2.8)

Положим в (2.8)

^ = J § и(х, 0 ^ Ь ^ т,

(2.9)

0, т < Ь < Т,

где т € [0, Т] произвольно, и преобразуем его, интегрируя по частям. Получим равенство

I

J[аи2(х, т) + av2x(x, 0) + Ь^(х, т)].х—

о

—вци2(0,т) + 2в21и(0,т )и(1,т) + в22и2(1,т)+ +а22(I, 0) + 2а^(0, 0^(1, 0) — а1^2 (0, 0) =

т т I

= 2(а21 — а 12) J и(0,Ь^(1,Ь).Ь + 2J ^ ст^х.Ь—

и(0,Ь^(

о 0 0

т ; т ;

-2 ! v(0,t) J Н'исЬсИ + v(l,t) J НМХМ+

0 0 0 0 т

+2(в'2 + в21) ! ^0,^(1,^.

(2.10)

Заметим, что в силу условий теоремы существуют положительные числа С0,Ь,А,В такие, что

;

тахСМЖ С, тахтах{[ Н^х} < ^

Ят - [0,т] ]

0

тах \а^ \ ^ А, тах \вч \ ^ В. Перейдем к выводу оценок. Применив неравенство Коши, получим :

т I т I

2 } У cvvtdxdt

00

^ С0 (и + vt )dxdt;

00

т т

2(а2' - а12) ! u(0,t)v(l,t)dt < А^[и2 (0,Ь) + vt (1,у)^Ь;

00 т I tau т I

2 ! v(0,t) J Н'udxdt < J v2 (0,t)dt + ^ Ju2 dxdt;

0

t аи

00 т I

2 ! v(l,t) J Htudxdt < J v2 (l,t)dt + Ь^ Ju2d,xd,t.

0 0 0 0 0 Для продолжения вывода оценки нам будут полезны неравенства

,2 /

I

I

(0, т) < 2^ иХ(х, т)dx + ; / и2(х, т)dx,

и2^, т) ^ 2^ иХ(х, т)dx + ; / и2(х, т)dx, 0 0

(2.11)

которые являются следствиями представлений

0

а также неравенство

и(0,т) = J их-+ м(х,Ь), м(1,т) = J и^^ + м(х,Ь),

хх т

<т / и{х'т'

0

которое вытекает из представления функции v(x,t). Отметим, что неравенства (2.11) выполняются и для v(x,t). Теперь из (2.8) с помощью полученных неравенств, условия (5) и первого из условий (4) теоремы получим неравенство

; т ;

J[аu2(x,т)+ ам2Х(х, 0) + Ьи2Х(х,т)]dx ^ С^ /и + vХ + uХ]dxdt

0 0 0

(2.12)

где С1 выражена через С0,Ь, А, В,1,т. Нетрудно видеть, что применению к (2.12) леммы Гронуолла препятствует присутствие в левой части (2.12) функции гоХ(х, 0). Поэтому введем функцию т^х^) =

0

= / ux(x,n)dn, которая дает возможность получить равенства

vx(x, Ь) = т(х, т) - т(х, Ь), vx(x, 0) = т(х, т).

Тогда (2.12) примет вид

; т ;

I[аи2 (х,т) + аи)2(х,т) + Ьи2Х(х,т)^х ^ С' J [и2 + u2x\dxdt+

т

т I

+2С11 ! т2.х.Ь + 2тС^ т2(х, т).х. (2.13)

0 0 0

Заметим, что из физического смысла коэффициентов уравнения (1.1) следует, что а(х) ^ а,0 > 0, Ь(х) ^ ^ Ь0 > 0, а(х) ^ а0 > 0. Пользуясь произволом, выберем т так, чтобы а,0 — 2С1т > 0. Пусть а,0 — 2С1т ^ ^ а20. Перенесем последнее слагаемое правой части неравенства (2.13) в правую часть, в результате чего получим

I

т0 J [и2(х,т)+ Ш2(х,т)+ и2х(х,т )].х ^ ![и2 + 1Ю2 + и2х].х.Ь,

0 0 0 где т0 = шт{<70, а0, Ь0}, М = 2С1. Применение к последнему неравенству леммы Гронуолла приводит к равенству и(х,Ь) =0 Ш € [0, ац]. Повторив рассуждение для Ь € [ац, ], убедимся, что и на этом промежутке и(х,Ь) = 0. Продолжив этот процесс, в конечное число шагов докажем, что и(х,Ь) =0 на всем промежутке [0,Т]. Итак, в условиях теоремы существует не более одного решения поставленной задачи.

Перейдем к доказательству существования решения.

Существование. Пусть т к € С2 [0,1] линейно независимы и образуют полную систему в (0,1). Будем искать приближенное решение задачи в виде

т

ит(х,Ь) = ^ Ск(Ь)тк (х)

к=1

из соотношений

I

(аи™+ и!тт'^ + Ь^ит^ + сити>^ .х—

0

(0)[а11и(0,Ь) + а12ит(1,Ь) + вии™ (0,Ь) + в12и% (1,Ь)].Ь+

(1)[а.21и(0,Ь) + а.22ит(1, Ь) + вци%(0,Ь) + в22и%(I, Ь)]сЬ—

I I

—т^ (0) J Н1и.х + (1)1 Н2и.х =

00

I

= т, (0)д1(Ь) — т, (1)д2(Ь) + ^ /т^.х, (2.14)

0

которые представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно Ск (Ь) :

т

]Г [Акзс'к(Ь) + БкзСк(Ь)] = ¡3 (Ь), (2.15)

к=1

коэффициенты которой выражаются формулами

I

Ак3 = !(аткЩ + Ьт'к Ц ).х —

0

—тк(0)[ви тк (0) + в12тк(1)] + (1)[в21^к (0) + в22 т (I)],

I I I

Бкз =1ат^<Ъ — ц (0) IН1ткЬ + ц (1) IН2тк<Ъ—

0 0 0 —тз (0)[ацт к (0) + а12т к (I)] + (0)[а.21т к (0) + а^т к (I)], I

/з (Ь) = ! /(х,Ь)тз (х).х + д1(Ь)тз (0) — д2(Ь)т^ (1).

0

Добавив начальные условия

ск (0)=0, ск (0) = 0, (2.16)

получаем задачу Коши для системы (2.15).

т

Выясним, разрешима ли эта система относительно с^(Ь). Рассмотрим матрицу А = (Ак^)кк']=1 при старших производных и покажем, что она положительно определена. Введем квадратичную форму с матрицей А

к

Ч = Акз £к£з,

к,З = 1

где £к,£ч — коэффициенты линейных комбинаций £ = ^ £-т-(х). Преобразуем квадратичную форму,

-=1

учитывая представление ее коэффициентов:

к

Ч (атктз£к£з + -т'ктЗ£к£з )dx + [в22^к (^т^ (^ - впЩ (0)тк (0)]£к£з -

к,0 = ' 0

-[в12^з (0)тк(0 + в21Щ (Отк (0)]£к£з. Изменив порядок суммирования и интегрирования, получим

I

Ч = I (а\£\2 + Ь\У£\2) dx +(в22\т\2 +2в21\£(0)\Ш- ви\е(0)\2) > 0

0

в силу условий 4 и 5 теоремы.

Заметим, что квадратичная форма ч обращается в нуль только при £ = 0, а тогда в силу линейной независимости тк(х) £к =0, Ук = 1,...,т. Следовательно матрица А положительно определена, и поэтому система (2.15) разрешима относительно старших производных. Так как из условий теоремы следует ограниченность ее коэффициентов и принадлежность правой части пространству Ь2(Ят), то задача Коши (2.15)-(2.16) разрешима и с^(Ь) е Ь2(Ят).

Итак, последовательность приближенных решений {ит(х,Ь)} построена. Следующий шаг в доказательстве теоремы состоит в получении априорных оценок. Априорная оценка.

Умножим (2.14) на сЗ(Ь), просуммируем от ] = 1 до ] = т, а затем проинтегрируем полученное равенство от Ь = 0 до Ь = т, в результате чего получим:

т I

(аиЦиТ + аиХи^ + Щ) dIdi+

00

- J ик(0, Ь)[а11ит(0, Ь) + а12и™(1,Ь) + вии™(0,Ь) + в12ит 0

т

+ У ик(К Ь)[а.21ит(0, Ь) + а^и™^, Ь) + в21и%(0, Ь) + в22и%]сИ-

0

т I т I

J ит(0,Ь) ! H1umdxdt + ! и^У^) ! H2umdxdt =

0

т I

= \/ /ukdxdtд^и™^,^д^и^^Ь^. (2.17)

0 0 0 0 Интегрируя по частям, как и при доказательстве единственности, и учитывая условие в'2 + в21 = 0 приходим к равенству

;

| (а(ик(х, т))2 + а(ик(х, т))2 + Ь(и™(х, т))2) dx+

+ [а22(ит(^ т))2 + 2а21 ит(0, т)ит(^ т) - ап(ит(0, Ь))2] + + ^22(^1™ (^ т))2 + 2в21иТ(0, т)м™(1, т) - ви(иТ(0, Ь))2] =

т т I

= 2(а'2 + а2') J ир(0,Ь)ит(1,Ь)аЬ - J сити™(Ш1+

0 0 0

т

т

т

т I т I

+2 J ит(0,Ь) ! Н1итСхСЬ — 2 ! ит(1,Ь) ! Н2итСхСЬ+

0 0 0 0 т I т т

+2 11 ^СхСЬ + 2J д1(Ь)ит(0, Ь)СЬ — 2^ д2(Ь)ит(1,Ь)СЬ. (2.18)

0 0 0 0 Оценим правую часть (2.18), заметив, что левая часть этого равенства неотрицательна.

Применив неравенство Коши и неравенства (2.11), с помощью той же техники, что и при доказательстве единственности, получим

I

У (а(ит(х, т))2 + а(ит(х, т))2 + Ь(и™(х, т))2) Сх+

0

+ [а22(ит(1, т))2 + 2а21ит(0, т)ит(1, т) — ап(ит(0, Ь))2]

+[в22(ит(1, т ))2 + 2в21ит(0, т )ит(1, т) — ви(ит(0, ь))2] <

т I

С\! У [(ит)2 + (ит)2 + (ит)2 + (ит)2хМх.ь+

00

т I т

| I /„2 , 2

+С4 I у у /2С,хЛЬ + !(д2 + д% I СЬ (2.19)

00

В частности

У (а(ит(х, т))2 + а(ит(х, т))2 + Ь(и£(х, т))2) Сх <

т I

Сз у у [(ит)2 + (ит)2 + (ит)2 + (ит)2хмх.ь+ 0 0

+с4 [УУ /2.х.ь + !(д1 + д21

0 0 0

Прибавим к обеим частям последнего соотношения неравенство

т

(ит (х,т ))2 < т ! (ит(х,Ь))2.Ь,

0

являющееся следствием применения неравенства Коши — Буняковского к представлению

т

ит(х,т) = У ит(х,Ь).Ь,

0

I

У ((ит(х, т)2 + а(ит(х, т))2 + а(ит(х, т))2 + Ь(и™(х, т))2) Сх <

0

т I

С\1 У [(ит)2 + (ит1)2 + (ит)2 + (ит)1№хаь+

00

+С4 П У /2СхЖ + 1'(д2 + д\ I СЬ,

0 0 0

С5 = С4(1+т). Обозначим ц1 = шт{1,ст0,а0,Ь0,}, М1 = С5/р1, М2 = С4/р1. Тогда последнее неравенство примет вид

I

У ((ит(х,т)2 + (ит(х,т))2 + (ит(х,т))2 + (и£(х,т))2) Сх <

получим

т I

< И'! | [(и™)2 + (икк)2 + (икк)2 + (ит)2Х^Ь+ 00

т I т

+И N ! /2dxdt + !(д2 + д2 | dt. (2.20)

0 0 0 Применив к (2.20) лемму Гронуолла, получим

I

| ((ик(х,т)2 + (ик(х,т))2 + (икк(х,т))2 + (ик(х,т))2) ¿х <

т I т

< И2еМ1т ¡11 /2dxdt + 1(91 + 92 I ¿Ь.

0 0 0 т I т

Заметим, что в силу условий теоремы функция / / /2dxdt+f (д2+92 )dt ограничена. Пусть она ограничена

0 0 0

некоторым числом к. Тогда мы получаем оценку

I

I ((ит(х,т)2 + (ик(х,т))2 + (икк(х,т))2 + (ик(х,т))2) ¿х < 0

< И3еМ1т, И3 = И2к. (2.21)

Интегрируя (2.21)по т от 0 до Т, получим т I

[(ит(х, т))2 + (ик)2 + (икк(х, т))2 + (и™)2^Ь < И(еМ1т - 1). 001

Обозначив М(еМ1т - 1) = К', перепишем полученное неравенство

[(ик(х, т))2 + (и™)2 + (ик(х, т))2 + (и™)2^,хЖ < К'. (2.22)

00

Вернемся к (2.19). В силу полученной оценки (2.22) из него следует

вt2(uT(l,т))2 +2в21и]п(0,т)м™(1,т) - в'1 (иТ(0,Ь))2] « С3Е'.

Перенесем удвоенное произведение из левой части в правую и оценим с помощью неравенства Коши. Тогда

(в22 - ЫЫТ^т))2 + (-ви - \в21\)(и:г(0,т))2 < СзК' + сАк.

Так по условию теоремы в22-\в21\ > 0, -ви-\в21 \ > 0, то, обозначив И3 = тш{в22-\в21\, -ви-\в21\}, К2 = (С3К' + С4к)/И3, получим

(МТ(1,Т))2 + (иТ(0,Ь))2 < К2. (2.23)

Из (2.22) и (2.23) следует оценка

\\ито\\жЯ) < К, (2.24)

где мы обозначили В? = К' + К.2.

Так как пространств Ш(Ят) гильбертово, то полученная оценка позволяет утверждать, что из построенной последовательности приближенных решений {иш(х,Ь)} можно выделить слабо сходящуюся в норме Ш(Ят) подпоследовательность, за которой сохраним прежнее обозначение.

На завершающем этапе доказательства покажем, что предел выделенной подпоследовательности и есть искомое обобщенное решение. Умножим (2.14) на ¿з е С2(0,Т), ¿з(Т) = 0, просуммируем от ] = 1 до ] = т, а затем проинтегрируем по Ь от 0 до Т. Получим равенство

т I

[аи™ п + аи+ Ьu'Хttпx]dxdt—

00

т

- I пМациМ + а^и™^, Ь) + впиЩ (0,Ь) + в12и% (¡,фМ+

T

+ j n(l,t)[a21u(p,t) + a22um(l,t) + fomm(0,t) + fo^t (l,t)]dt— 0

T l T l

Hiudxdt + j ri(i,L) j П2

0 0 0 0 T l T T

— j n(0,t) J Hiudxdt + J n(l,t) J H2udxdt =

0 0 0 0 T l T T

= i I fndxdt + У n(0,t)gi(t)dt — J n(l,t)g2(t)dt, (2.25)

0 0 0 0

m

где n(x,t) = dj (t)wj (x). Доказанные сходимости позволяют перейти к пределу при m ^ ж в ра-

j=i

венстве (2.24). Мы получим тождество вида (1.7), но пока справедливое только для функций n(x,t) =

m

= 2 dj (t)wj (x). Однако множество всех функций такого вида всюду плотно в пространстве W(Qt)

j=i

[24], поэтому мы вправе утверждать, что u(x,t), слабый предел выделенной из {um(x,t)} подпоследовательности удовлетворяет тождеству (1.7) для любой v £ V(Qt), т.е. является искомым обобщенноым решением задачи (1.1), (1.2), (1.6), а в силу леммы и решением задачи (1.1)-(1.3). Теорема доказана.

Литература

1] Re Стретт Дж.В. Теория звука. М.: ГИТТЛ, 1955. Т. I.

2] Rao J.S. Advanced Theory of Vibration. N.Y.: Wiley, 1992.

3] Федотов И.А., Полянин А.Д., Шаталов М.Ю. Теория свободных и вынужденных колебаний твердого стержня, основанная на модели Рэлея // ДАН. 2007. T. 417. № 1.

4] Бейлин А.Б., Пулькина Л.С. Задача о продольных колебаниях стержня с динамическими граничными условиями // Вестник СамГУ. 2014. № 3(114). C. 9-19.

5] Стеклов В.А. Задача об охлаждении неоднородного твердого тела. // Сообщ. Харьковского мат. о-ва. 1896. № 5(3-4). C. 136-181.

6] Лажетич Н.Л. О классической разрешимости смешанной задачи для одномерного гиперболического уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. 2006. № 42(8). C. 1072-1077.

7] Ильин В.А., Моисеев Е.И. О единственности решения смешанной задачи для волнового уравнения с нелокальными граничными условиями // Дифференц. уравн. 2000. Т. 36. № 5. С. 656-661.

8] Кожанов А.И., Пулькина Л.С. О разрешимости некоторых граничных задач со смещением для линейных гиперболических уравнений // Математический журнал института математики МО и НРК, Алматы. 2009. № 2(32). C. 78-92.

9] Пулькина Л.С., Дюжева А.В. Нелокальная задача с переменными по времени краевыми условиями Стек-лова для гиперболического уравнения // Вестник СамГУ. 2010. № 4(78), C. 56-64.

10] Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy // Quart. Appl. Math. 1963. № 21. P. 155-160.

11] Камынин Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1964. № 4(6). C. 1006-1024.

12] Гордезиани Д.Г., Авалишвили Г.А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды // Матем. моделир. 2000. № 12(1). C. 94-103.

13] Bouziani A. On the solvability of a nonlocal problems arising in dynamics of moisture transfer // Georgian Mathematical Journal. 2003. № 4. P. 607-622.

14] Avalishvili G., Avalishvili M., Gordeziani D. On integral nonlocal boundary problems for some partial differential equations // Bulletin of the Georgian National Academy of Sciences. 2011. № 5(1). P. 31-37.

15] Кожанов А.И., Пулькина Л.С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. № 42(9). C. 1166-1179.

16] Дмитриев В.Б. Нелокальная задача с интегральными условиями для волнового уравнения // Вестник СамГУ 2006. № 2(42). C. 15-27.

17] Zdenek P. Baiant, Milan Jirasek, Nonlocal Integral Formulation of Plasticity And Damage: Survey of Progress // American Society of Civil Engineers. Journal of Engineering Mechanics. 2002. P. 1119-1149.

[18] Пулькина Л.С. Краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными условиями I и II рода // Изв. вузов. Математика. 2012. № 4. C. 74--83.

[19] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. M.: Наука, 2004. 798 с.

[20] Корпусов М.О. Разрушение в неклассических волновых уравнениях. М.: URSS, 2010.

[21] Doronin G.G., Lar'kin N.A., Souza A.J. A hyperbolic problem with nonlinear second-order boundary damping // EJDE. 1998. № 28. P. 1-10.

[22] Pulkina L.S. A nonlocal problem for a pseudohyperbolic Equation // EJDE. 2014. № 116. P. 1-11.

[23] Пулькина Л.С. Задача с динамическим нелокальным условием для псевдогиперболического уравнения // Известия вузов. 2016. Т. 60. № 9. С. 42-50.

[24] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

References

[1] J.W.S.Rayleigh. Theory of sound. New York: Dover, 1945. (translated in Russian in 1955). M.: GITTL, 1955, Vol. I [in Russian].

[2] Rao J.S. Advanced Theory of Vibration. N.Y.: Wiley, 1992 [in English].

[3] Fedotov I.A., Polyanin A.D., Shatalov M.Yu. Teoriia svobodnykh i vynuzhdennykh kolebanii tverdogo sterzhnia, osnovannaia na modeli Releia [Theory of free vibration of rigid rod based on Rayleigh model]. DAN [Doklady Physics], 2007, Vol. 417, pp. 56-61.

[4] Beilin A.B., Pulkina L.S. Zadacha o prodol'nykh kolebaniiakh sterzhnia s dinamicheskimi granichnymi usloviiami [A problem on longitudinal vibration in a short bar with dynamical boundary conditions]. Vestnik SamGU [Vestnik of Samara State University], 2014, no. 3(114), pp. 9-19 [in Russian].

[5] Steklov V.A. Zadacha ob okhlazhdenii neodnorodnogo tverdogo tela [The problem of cooling of inhomogeneous solid] Soobshch. Khar'kovskogo mat. o-va [Communications of Kharkov Mathematical Society], 1896, Vol. 5, Issue 3-4, pp. 136-181 [in Russian].

[6] Lazhetich N.L. O klassicheskoi razreshimosti smeshannoi zadachi dlia odnomernogo giperbolicheskogo uravneniia vtorogo poriadka [On the classical solvability of the mixed problem for a second-order one-dimensional hyperbolic equation]. Differents. uravneniia [Differential Equations], 2006, Vol. 42, Issue 8, pp. 1134-1139 [in Russian].

[7] Ilin V.A., Moiseev E.I. O edinstvennosti resheniia smeshannoi zadachi dlia volnovogo uravneniia s nelokal'nymi granichnymi usloviiami [Uniqueness of the solution of a mixed problem for the wave equation with nonlocal boundary conditions]. Differents. uravneniia [Differential Equations], 2000, Vol. 36, Issue 5, Pages 728-733 [in Russian].

[8] Kozhanov A.I., Pulkina L.S. O razreshimosti nekotorykh granichnykh zadach so smeshcheniem dlia lineinykh giperbolicheskikh uravnenii [On solvability of certain boundary problems with shift for linear hyperbolic equations]. Matematicheskii zhurnal instituta matematiki MO i NRK, Almaty [Matematical Journal. Institute of Mathematics and Mathematical Modelling. Almaty], 2009, Vol. 2(32), pp. 78-92 [in Russian].

[9] Pulkina L.S., Dyuzheva A.V. Nelokal'naia zadacha s peremennymi po vremeni kraevymi usloviiami Steklova dlia giperbolicheskogo uravneniia [Nonlocal problem with time variable boundary Steclov's conditions for hyperbolic equation]. Vestnik SamGU [Vestnik of Samara State University], 2010, no. 4(78), pp. 56-64 [in Russian].

[10] Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy. Quart.Appl.Math., 1963, no. 21, pp. 155-160 [in English].

[11] Kamynin L.I. Ob odnoi kraevoi zadache teorii teploprovodnosti s neklassicheskimi granichnymi usloviiami [On certain problem in heat theory with nonclassical boundary conditions]. Zhurnal vychisl. matem. i matem. fiz. [Journal of Computational Mathematics and Mathematical Phyzics], 1964, no. 4(6), pp. 1006-1024 [in Russian].

[12] Gordeziani D.G., Avalishvili G.A. Resheniia nelokal'nykh zadach dlia odnomernykh kolebanii sredy [Solutions of Nonlocal Problems for One-Dimensional Oscillations of the Medium]. Matem. modelir. [Mathematical Modeling], 2000, Vol. 12, no.1, pp. 94-103 [in Russian].

[13] Bouziani A. On the solvability of a nonlocal problems arising in dynamics of moisture transfer. Georgian Mathematical Journal, 2003, no. 4, pp. 607-622 [in English].

[14] Avalishvili G., Avalishvili M., Gordeziani D. On integral nonlocal boundary problems for some partial differential equations. Bulletin of the Georgian National Academy of Sciences, 2011, no. 5(1), pp. 31-37 [in English].

[15] Kozhanov A.I., Pulkina L.S. O razreshimosti kraevykh zadach s nelokal'nym granichnym usloviem integral'nogo vida dlia mnogomernykh giperbolicheskikh uravnenii [On the Solvability of Boundary Value Problems with a Nonlocal Boundary Condition of Integral Form for Multidimentional Hyperbolic Equations]. Differents. uravneniia [Differential Equations], 2006, Vol. 42, no. 9, pp. 1233-1246 [in Russian].

[16] Dmitriev V.B. Nelokal'naia zadacha s integral'nymi usloviiami dlia volnovogo uravneniia [Nonlocal problem with integral condition for wave equation]. Vestnik SamGU [Vestnik of Samara State University], 2006, no. 2(42), pp. 15-27 [in Russian].

[17] Zdenek P. Baiant, Milan Jirasek. Nonlocal Integral Formulationof Plasticity And Damage: Survey of Progress. American Society of Civil Engineers. Journal of Engineering Mechanics, 2002, pp. 1119-1149 [in English].

[18] Pulkina L.S. Kraevye zadachi dlia giperbolicheskogo uravneniia s nelokal'nymi usloviiami I i II roda [Boundary value problems for a hyperbolic equation with nonlocal conditions of the I and II kind]. Izv. vuzov. Matematika [Russian Mathematics (Iz.VUZ)], 2012, Vol. 56, no.4, pp. 62-69 [in Russian].

[19] Tikhonov A.N., Samarskii A.A. Uravneniia matematicheskoi fiziki [Equations of mathematical physics]. M.: Nauka, 2004 [in Russian].

[20] Korpusov O.M. Razrushenie v neklassicheskikh volnovykh uravneniiakh [Blow-up in nonclassical wave equations]. M.: URSS, 2010 [in Russian].

[21] Doronin G.G., Larkin N.A., Souza A.J. A hyperbolic problem with nonlinear second-order boundary damping. EJDE, 1998, no. 28, pp. 1-10 [in English].

[22] Pulkina L.S. [Solutions to nonlocal problems of pseudohyperbolic equations]. EJDE, 2014, no. 116, pp. 1-9 [in English].

[23] Pul'kina L.S. Zadacha s dinamicheskim nelokal'nym usloviem dlia psevdogiperbolicheskogo uravneniia [A problem with dynamic nonlocal condition for pseudohyperbolic equation]. Izv. vuzov. Matematika [Russian Mathematics (Iz.VUZ)], 2016, Vol. 60, Issue 9, pp. 38-45 [in Russian]

[24] Ladyzhenskaya O.A. Kraevye zadachi matematicheskoi fiziki [Boundary value problems of mathematical physics]. M.: Nauka, 1973 [in Russian].

A.B. Beylin, L.S. Pulkina2

A PROBLEM ON LONGITUDINAL VIBRATION IN A SHORT BAR WITH DYNAMICAL BOUNDARY CONDITIONS

In this paper, we consider an initial-boundary problem with dynamical nonlocal boundary condition for a pseudohyperbolic fourth-order equation in a rectangular. Dynamical nonlocal boundary condition represents a relation between values of a required solution, its derivatives with respect of spacial variables, second-order derivatives with respect of time-variables and an integral term. This problem may be used as a mathematical model of longitudinal vibration in a thick short bar and illustrates a nonlocal approach to such processes. The main result lies in justification of solvability of this problem. Existence and uniqueness of a generalized solution are proved. The proof is based on the a priori estimates obtained in this paper, Galerkin's procedure and the properties of the Sobolev spaces.

Key words: pseudohyperbolic equation, dynamical boundary conditions, longitudinal vibration, nonlocal conditions, generalized solution.

Статья поступила в редакцию 18/Х/2017. The article received 18/X/2017.

2Beylin Alexander Borisovich ([email protected]), Department of Automated Machining and Tool Systems, Samara State Technical University, 133, Molodogvardeiskaya str., Samara, 443010, Russian Federation.

Pulkina Ludmila Stepanovna ([email protected]), Department of Equations of Mathematical Physics, Samara National Research University, 34, Moskovskoye shosse, 443086, Russian Federation.