CC BY
23
УДК 517.956
Л.С. Пулькина, А.Е. Савенкова1
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ВТОРОГО РОДА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
В статье рассмотрена задача с нелокальными интегральными условиями второго рода для гиперболического уравнения на плоскости и доказана ее однозначная разрешимость. Для доказательства этого предложен метод, основанный на преобразовании нелокальных условий к виду, позволяющему эффективно ввести понятие обобщенного решения, базирующееся на выведенном интегральном тождестве, получить априорные оценки решения и воспользоваться свойствами пространств Соболева. Предложенный метод позволил обнаружить связь нелокальных условий с динамическими условиями.
Ключевые слова: нелокальная задача, интегральные условия, гиперболическое уравнение, обобщенное решение, динамические условия.
1. Постановка задачи
В статье рассматривается задача отыскания решения в ограниченной области Ят = (0,1) х (0, Т) гиперболического уравнения
пи - (а(х,г)пх)х + е(х,г)п = /(х,г), (1)
удовлетворяющего начальным данным
п(х, 0) = 0, щ(х, 0) = 0, (2)
а также условиям
I
п(0, £) + / К (х)п(х, €)йх = 0
0
1
п(1,Ь) + f K2(x)n(x,t)dx = 0.
0 (3)
о
Условия (3) содержат следы искомого решения во внеинтегральных членах, поэтому являются условиями второго рода. Для исследования разрешимости нелокальных задач с условиями такого вида можно применить как метод вспомогательных задач, так и метод сведения к задаче с классическими краевыми условиями для
х© Пулькина Л.С., Савенкова А.Е., 2016
Пулькина Людмила Степановна ([email protected]), кафедра уравнений математической физики, Самарский университет, 443086, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34.
Савенкова Алеся Евгеньевна ([email protected]), кафедра общей математики и информатики, Самарский государственный технический университет, 443100, Российская Федерация, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
нагруженного уравнения [1]. Заметим, что оба эти метода предполагают выполнение таких условий на ядра интегральных членов нелокальных условий, которые обеспечивают обратимость интегрального оператора, возникающего при их реализации.
Мы предлагаем в этой статье другой подход, позволяющий воспользоваться идеей метода компактности [2], который зарекомендовал себя как эффективный метод обоснования разрешимости как начально-краевых задач [3], так и нелокальных [4]. Предложенный метод позволил снять некоторые ограничения на ядра интегральных условий.
Начнем изучение поставленной задачи с доказательства утверждения, которое обнаруживает связь условий (3) с условиями, содержащими значения производных на боковой границе области Qт, в том числе по пространственной переменной.
Теорема 1. Если и € С2^т) П С т), удовлетворяет уравнению (1) и условиям (2),
К € С2(0,1) П С^ОД Д = Кх(0)К2(I) - Кх(1)К2(0) = 0, а € С[0,1] П Сх(0,0, с € С^т), I € Ь2^т), то условия (3) эквивалентны граничным условиям
а(0, Ь)их(0,£) = аци(0,Ь) + а^и(1,1) + вххии(0,Ь) + в12иа(1^)+
I I
+ f Н \(х,1)и(х,1)3,х + § вх(х)1(х,Ь)йх,
0 о а(1,Ь)их(1,Ь) = а2\и(0,Ь) + а22и(1,Ь) + в21Щг(0,Ь) + в22Щг(1^)+
1 I
+ / Н2(х,€)и(х,€)йх + / Б2(х)1 (х,€)йх,
оо
где обозначено
К2(1)К1 (0) - К1(1)К2(0) К1(1)К2(I) - К2(1)К1 (I)
ац(^ = -д-а(0,г), а12(г) = -д-а(1,г),
а21(Ъ) = К2(0)К'(0)~А К(0)К2(0) а(0Л аШ = К(0)К2(1) - К2(0)К(1) аШ
вп = К(Д, = - КМ, = КМ, в22 = - К (0)
(4)
Н(х,1) Н2(х,1)
д , Л-и д , д , Д
[(аК[)х - сК 1 ]К2(1) - [(аК2)х - КК(I) Д '
[(аК[)х - сК\]К2(0) - [(аК2)х - КК(0)
д
К(х)К2(1) - К2(х)К1 (I) с , , К(х)К2(0) - К2(х)К!(0)
вх (х) = -Д-, Б2(х) = -д-.
Доказательство этого утверждения становится почти очевидным после дифференцирования по переменной £ равенств (3) в предположении о выполнении условий теоремы. Преобразования, приводящие к (4), элементарны, но громоздки, поэтому мы их здесь не приводим. Предполагая затем, что выполняются равенства
I
(1), (2) и (4), интегрируя слагаемые в (4) /(аК')хийх дважды, после некоторых
о
преобразований и решения возникшей при этом задачи Коши для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений придем к (3).
Доказанное в теореме 1 утверждение позволяет перейти от задачи (1)—(3) к задаче с нелокальными условиями (4): найти в Qт решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2) и (4).
Поясним смысл перехода от задачи (1)—(3 к задаче (1), (2, (4). Заметим, что условие (4) в отличие от условия (3) содержит в качестве внеинтегрального члена значения выводящей производной искомой функции на боковой границе, а именно их(0,г), их(1,г), что и позволит нам воспользоваться основными идеями метода компактности. Это становится видно на первом шаге доказательства разрешимости задачи в процессе вывода интегрального тождества, на котором и базируется определение решения. Действительно, применяя стандартную процедуру [3], отправной точкой которой является интегрирование по <т (1), умноженного на подходящую гладкую функцию получим равенство
+ аихух + еим)3,хд;Ь + J и(0,г) + а12и(1,г)]Цг—
0 0 0
Т Т I
— !у^0,1)\в11щ(0,г) + в12щ(1,г)Цг + ^у(0,г) у и1иЯхШ—
0 0 0 Т
— J у(1, г)\а21и(0, г) + а22и(1,
0
Т Т I
+ ! юг(1,Ь)\в21Щ(0,Ь) + @22и1(1,г)]ЦЬ — J ю(1,Ь) ! И2иЦхЛ = 0 0 0 Т I Т I Т I
= / / — \ у(0,г) / ^ЦхМ + У у(г,г) ^ S2fdxdt. (5)
0 0 0 0 0 0
Обозначим
г0 = {(х,г): х = 0,г е \0,т]}, Г1 = {(х,г) : х = е \0,т]}, г = г0 и гь
ш<Т) = {и : и е шК), их(0,г) = 0, и е Ь2(г)},
Ш<т) = {у(х,г) : у(х,г) е ш<Т), у(х,т) = 0}.
Определение. Обобщенным решением задачи (1), (2, (4) будем называть функцию и(х,г) е Ш<т), удовлетворяющую условию и(х, 0) =0 и тождеству (5) для любой V е Ш(<Т).
2. Разрешимость задачи
Теорема 2. Пусть выполняются следующие условия:
(г) а е С(<Т), аг е с(<т), а(х,г) > 0 У(х,г) е <Т с е С(<Т),
(гг) И е С(<Т), Si е С\0,1], / е Ь2<Т),1г е Ь2<Т),
(ггг) ап£2 — 2а.21 & — а^г? > 0, вп^2 + — в"П2 > 0,
(гггг) а12 + а21 = 0, а'11(г) < 0, а'22(г) > 0, в12 + в21 = 0. Тогда существует единственное обобщенное решение задачи (1), (2, (4).
Доказательство.
Единственность решения. Предположим, что существует два различных решения этой задачи, и\(х,Ь) и их(х,Ь). Тогда их разность, и(х,Ь) = и\(х,Ь) -их(х,Ь) удовлетворяет условию и( х, 0) = 0 и тождеству
т I
J !\-UtVt + аихух + спу)3,хд;Ь + J у(0,1)[аци(0,1) + ах2и(1,1)]А-о о о
т т I
- ! vt(0,t)[в11ut(0,t) + в12щ(1,Ь)]31 ^У v(0,t) J НхиЯхЛЬ-
0 0 0 т
- J v(l, 1)[а2хи(0, ^ + а22и(1,1)]ЗЬ+
о
т т I
^У vt(l,t)[в21ut (0,г) + в22щ(1,1)]3;Ь - I v(l,t) J Н2ш],х(М = 0. (6)
о 0 0
Выберем в тождестве (6) функцию v(x,t), положив
t
0М)=< Т u(x, n)dn, 0 < £ < ^ т 0, т < г < т,
где т € [0,Т] произвольно.
Элементарные преобразования тождества (6), состоящие, как обычно, в интегрировании по частям с выбранной указанным образом функцией v(x,t), приводят к равенству
J[u2(x,т) + а(х, 0)юх(х, 0)]3х = — J ^ а^х¿х&+
0 0 0 т
0
+а22(0^'х(1, 0) + 2а2^(0, 0^(1, 0) - аи(0>2(0, 0)+ +вххи2(1,т) - 2вх1 и(0,т)и(1,т) - вии2(0,т)+
т I т I т I
+ ! v(0,t) J Нхийхёг - J v(l,t) J ЩийхА + J J ст^хдЛ,, (7)
0 0 0 0 0 0
где уже учтено условие (гггг) теоремы. Оценим правую часть последнего равенства. Заметим, что из условий теоремы следует существование чисел С0,к0,Л,а таких, что
тах\с(х,£)\ ^ с0, тах ,а'г^ | ^ Л,г,] = 1, 2, тах ^ ах,
Ят [°>т] Я т
I
тах [ НХ(х^х < А* тахв(х) < „
[0,ти г [0,1] 0
Применяя неравенства Коши, Коши — Буняковского, неравенства
I
у2(в^,Ь) ^ 21J у2х¿х + -у V2¿х, г = 0,1, во = 0, вх = I,
о
которые легко выводятся из представления
= ! + у(х,г),
а также неравенство
2(х,г) < т|и2.
V (х,1) ^ Т J и~&,
о
вытекающее из представления функции у(х,Ь), получим
I т I т I
J[u2(x,т) + а(х, 0)уХ(х, 0)]йх ^ А\ J ^ у2х¿хА + А2 J ^ и2¿х&, (8)
о 0 0 0 0
где Ах = 21 (2А + 1), А2 зависит лишь от С0,Н,а,а\ ,А.
г
Введем функцию и(х,€) = /их(х,ц)йц. Тогда, как нетрудно заметить,
0
ух(х, Ь) = и(х, Ь) — и(х, т), ух(х, 0) = —и(х, т), у2х (х,Ь) < 2т2 (х,Ь) + 2и}2 (х,т). Учитывая эти соотношения, из (8) получим
I I
1[и2(х, т) + а(х 0)и (х тЫх < 2АхТ1и2 (х, т)йх+ 00 т I т I
22
+2Ах ! j и2(х,£)йх& + А2 у j и2(х,г)йхйг. (9)
0 0 0 0 Пусть а(х,Ь) ^ а,0 > 0 Ш(х,Ь) € Ст. Пользуясь произволом т, выберем его так, чтобы а,0 — 2Ахт > 0. Для определенности будем считать, что а0 — 2Ахт ^ Щ-. Тогда первое слагаемое правой части (9) можно перенести в левую часть, и для всех т € [0, ] будет справедливо неравенство
I т I
т0 J[и2(х,т)+ и2 (х,т)]йх ^ Аз J J[u2(x,t) + и2(х,Ь)]йхёЬ,
0 0 0
где т0 = шт{1, Щ-}, Аз = ш&х{2А1,А2}, применение к которому неравенства Гронуолла моментально влечет выполнение равенства и(х,Ь) =0, Ь € [0, 40- ]. Повторяя рассуждения для т € [, хAL- ] и продолжая этот процесс, мы за конечное число шагов убедимся в том, что и(х,Ь) =0 Ш € [0, Т], что и приводит к противоречию с предположением о существовании более одного решения.
Существование решения. Доказательство существования обобщенного решения проведем по следующей схеме: построим последовательность приближенных решений; выведем априорную оценку; покажем, что полученная оценка позволяет
т
выделить слабо сходящуюся подпоследовательность; убедимся в том, что предел выделенной подпоследовательности и есть искомое решение.
Перейдем к реализации нашего плана. Пусть функции wk (х ) € Сх[0,1] образуют линейно независимую и полную в ШХ;(0,1) систему. Будем искать приближенное решение задачи в виде
т
ит(х^) = ^ си(х) (10)
к = 1
из соотношений
I
J (и"" + аиИт^^ + сumwj )3,х+ 0
I
+-}лк(0)[а11ит(0^) + а^и"^^) + в11 ит(0^) + впи"^^) + ^ H1(x,t)u(x,t)dx]-
0 I
-ыи^ах^"^, ^ + аххи^ + вх1и"(0, ^ + вххи^ + ! Нх (х, ^и(х, =
0
I I I
= ! лмь шх - + адлмх*, (и)
0 0 0 Дополнив соотношения (11), которые представляют собой систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно си начальными условиями си (0) = 0, ск (0) = 0, приходим к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (11), разрешимость которой гарантирована
условиями теоремы. Прежде всего покажем, что система (11) разрешима относит
тельно старших производных. Подставив в (11) ит(х,1) = ^ си (^)ыи (х), запишем
к = 1
ее в виде
тт
ЕЛ^ Ф) + Е Оси (^ = I ^),
и=1 и=1
I
Лм = ! ыи(x)wj(x)dx+
0
+виыи(0^(0) + в12Ыи^^(0) - в21Ыи(0^(^ - в22wk(l)wj(V),
I
(a(x,t)w'k (хш4 (х) + с(хлши \x\Wa
= J ^(х^^'и (х^ (х) + ^х^^и (x)wj (x))dx+ 0
+аllwk(0)wj(0) + а^и^^(0) - ах^и(0^(^) - а22Wk(0)wj(0),
I I I
и т = / / омь - ,„; «»/ь^ш № + ю/ад/^
0 0 0
т
Рассмотрим квадратичную форму с коэффициентами Лkj : д = ^ Л^^ &,
и,1 = 1
где г = ^ ^щ(х). Подставив выражение коэффициентов А^, получим
г=1
I
Я = !\г(х)\23х + в11\г(0)\2 + 2ви\г(0)\\г(1)\ — ^МЩ2.
0
В силу условия (ггг) теоремы 2 я ^ 0, причем равенство нулю возможно лишь при г = 0. Так как функции иг(х) линейно независимы, то г = 0 только в том случае, когда =0 Шг = 1,..., т. Стало быть, квадратичная форма я, ас ней и матрица из коэффициентов при старших производных системы (11) положительно определена, что и означает разрешимость системы относительно старших производных. В силу условий теоремы коэффициенты системы ограничены, а свободные члены fj € Ь1 (0,Т). Таким образом, мы приходим к выводу о существовании решения задачи Коши для системы (11), причем с€ Ь1(0,Т). Это в свою очередь означает, что последовательность приближенных решений построена.
Для дальнейших шагов в доказательстве существования обобщенного решения поставленной задачи нам потребуется априорная оценка, к выводу которой мы и перейдем.
Умножим каждое из равенств (11) на Сj (Ь), просуммируем по ] от 1 до т, а затем проинтегрируем от 0 до т, в результате чего придем к равенству
т I
( г Г + Г Г + Г т)аа+
(иггиг + аихихг + си иг )ахМ+
00
+ У ит(0,Ь)[а11 ит(0,Ь)+ а12ит(1,Ь) + в11 (0,Ь) + в12(¿,Ь)]Л+
0
т I
+1IИГЫ^-
0 0
т
— I иТ(1, Ь)[а21 ит(0, Ь) + а.22 ит(1, Ь) + /З21 и%(0, Ь) + /З22 и%(1, Ь)]А—
о
т I т I
И2 (х,Ь) ьт(х,Ь)3хЛ = J ! / (х,Ь) уг(х,Ь)3,хА—
г \1 / ^ ь} ^ ь}^^^^ — J ^ J
0 0 0 0
I т I
— ! ^(0^)! в1(х)/(х,г)ахМ + у ит(1,Ь) J Б2(х)/(х,Ь)3х3Ь. (12) 0 0 0 0 Интегрируя по частям, преобразуем равенство (12). Получим
I т I т I
\1[(и:Т)2 + а(ит)2]\г=т 3х + У У сититс1хЛ — У У аг(ит)2ахЛ—
О 0 0 0 0
т т
-1 J а'11(и т(0,г))2Л + У а12 ит(0,Ь) ит(1,Ь)3Ь+
о
т
т
+ 1 ац(т )(и"(0,т ))2 + ! в12ит(0Ж (ьт-
0
Т I т I
- ! ит(0^) ! H1(x,t)um(x,t)dxdt - ! ит(0^) ! H1t(x,t)um(x,t)dxdt+ 0 0 0 0
I Т т
+и"(0,т) ! Н1(х,т)ит (х,т)Сх + У а^и"^,^" (0,^ + ^ а'21 и"^,^"^,^-
0 0 0
т
-ах1(т )и"Чт )и"(0,т ) + \! а,22(um(l,t))2dt - 1 ахх(т ^и"^,т ))2 +
0
т
+ 1 вх1 и"(^"МсИ - вх1 <1(1,т)и"(0, т) - 1 вхх^^т))2+ 0
т I т I
+ ! um(l,t) J Нх и"СхА + у и"^^) ! Н^СхСЛ,-0 0 0 0 I Т I т I
-и"(1,т) ! Нх(х,т)и"(х,т)Сх ^ ! /umdxdt + ! и"^^) ! Ь^СЬСЬ-
0 0 0 0 0 I Т I I
-и"(0,т) ! Ь1/Сх - J и"^^) ! Ь2/1СхЛ + и"(1,т) ! Ь/Сх. (13)
0 0 0 0 Прежде чем приступать к оценке, учтем условие (ггг) теоремы и сгруппируем оставшиеся слагаемые в удобном для дальнейших рассуждений порядке.
I т т
![(и")2 + а^и")2]]^Сх - I а'11(и"(0,t))2dt + ^ а'22(um(l,t))2dt+ 0 0 0 +ап(т)(и"(0,т))2 - 2ах1 (т)и"(^т)и"(0,т)+ ахх(т^и"^,т))2 + +вп(и"(0, т))2 + 2в2lum(l, т)и"(0, т) - вххК1^, т))2 =
т I т I
= -2 ! ! си^и'рСхЛ + ! J а^и")2СХС£+ 0 0 0 0 т I т I
4-\ I и / ~ 4-\и"П < ~ ^ Л— I О I 4-\ I и
и"^^) ! Н^х^^^^^хА + и"^^) ! H1t(x,t)um(x,t)dxdt-
0 0 0 0 I т
-2и"(0,т) ! Н;(х, т)и"(х,т)Сх - 2 ! а'21um(l,t)um(0,t)dt-00 Т I т I
-2! um(l,t) J Н2и"Сх& - 2 ! и"^) ! Н^и" СхС£+
т
+ит(0,т) ! И2(х,т)ит(х,т)3х + У J ¿иуСхОЛ, + ^ ит(0,Ь) J Б^СхЖ—
О 0 0 0 0
I т I I
—ит(0,т) ! Б1/3,х — J ит(1,Ь) ! Б^ахаЛ + и^^^т) I Б2иг3х. (14)
ООО о
Применяя условие теоремы (гггг), неравенства Коши, Коши — Буняковского, оче-
т
видное неравенство (ит(х,т))2 ^ т /(ит(х,Ь))2аЬ и условия теоремы, с помощью
о
той же техники, что и при доказательстве единственности решения, получим из (13) неравенство
I т
¡Кип2 + («г)2 + (ит)2]\= ах + 1[(ит(0,Ь))2 + (ит(1, Ь))2\Л <
« А4 0 0 к«"+ №^ + («ГУ^ + м 0 и + ИЖ (15)
оо оо
где Аг зависят лишь от постоянных С0, &0, С1, а0, а1, Л-0 и не зависят от т. Из этого неравенства, справедливого для любого т, в силу леммы Гронуолла вытекает априорная оценка
\\ит\\12-^Т) + \\«Г\\!2(Г) < х. (16)
Стало быть, из построенной последовательности {ит(х,Ь)} приближенных решений можно выделить слабо сходящуюся в Ш(Ст) подпоследовательность, за которой во избежание громоздкой записи сохраним прежнее обозначение.
Покажем теперь, что предел выделенной подпоследовательности, и € Ш(Ст), и есть искомое приближенное решение.
Умножим каждое из равенств (11) на dj € С1(0,Т), dj(Т) = 0, просуммируем по I от 1 до т, а затем проинтегрируем от 0 до Т. После интегрирования первого
т
слагаемого полученного равенства по частям и обозначив ц(х,Ь) = ^ (t)иj (х),
j=l
получим
т I т
J !(—игпг + аихцх + сиц)3х& + J п(0,Ь)[аци(0,Ь) + а.12и(1,Ь)]3;Ь—
0
т т I
— ! пг(0,Ь)[в11иг(0,Ь) + в12иг(1,Ь)]Л ^У п(0,Ь) У И1и3хЛ—
0 0 0 т
— J п(1,Ь)[а21и(0,Ь) + а.22и(1,Ь)]3;Ь+
0
т т I
^У щ(1,Ь)[в21Щ(0,Ь) + в22 иг(1,Ь)]3Ь ^У п(1,Ь) ^ И иЗхЗЬ = 0 0 0 т I т I т I
У У ипЗхЗЬ — У п(0,Ь) У БиахСЬ + 1 п(1,Ь) У Б2¡3,хЖ. (17)
00
0 0 0 0 0 0
т
т
т
m
Совокупность функций вида ^ dj(t)wj(x) обозначим Nm. Зафиксируем произ-
j=i
вольно функцию n(x,t) из какого-либо множества Nmi. В (16) можно перейти к пределу при m ^ œ в силу обоснованной выше слабой сходимости выделенной подпоследовательности. В результате мы приходим к тождеству (5) для предельной функции u G W(Qt), справедливому для произвольной функции n G Nmi. Так
как У Nm плотно в W, полученное в результате предельного перехода тожде-
m=1
ство выполняется для любой функции из W(Qt), что и завершает доказательство существования обобщенного решения и, следовательно, теоремы.
Замечание 1. Однородность начальных условий (2) не ограничивает общность. Действительно, если u(x, 0) = ф(х), ut(x, 0) = ф(х), то, введя новую неизвестную функцию v(x,t) = u(x,t) — <^(x) — t^(x), получим для нее уравнение, отличающееся от (1) лишь правой частью, тогда как начальные условия для v(x,t) однородны.
Замечание 2. Новые интегральные условия (4) интересны еще и тем, что являются динамическими. Некоторые задачи с динамическими граничными условиями рассмотрены в [5-8], с динамическими нелокальными — в [9].
Замечание 3. Отметим некоторые статьи, в которых авторы обращают внимание на особенности нелокальных задач, не позволяющие применять для обоснования их разрешимости методы доказательства разрешимости классических начально-краевых задач: [10-17].
Литература
[1] Кожанов А.И., Пулькина Л.С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 9. С. 1166-1179.
[2] Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.
[3] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973. 407 с.
[4] Дмитриев В.Б. Нелокальная задача с интегральными условиями для волнового уравнения //Вестник СамГУ. 2006. № 2(42). С. 15-27.
[5] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 2004. 798 с.
[6] Федотов И.А., Полянин А.Д., Шаталов М.Ю. Теория свободных и вынужденных колебаний твердого стержня, основанная на модели Рэлея // ДАН. 2007. T. 417. № 1.
[7] Doronin G.G., Lar'kin N.A., Souza A.J. A hyperbolic problem with nonlinear second-order boundary damping // EJDE. 1998. № 28. P. 1-10.
[8] Корпусов М.О. Разрушение в неклассических волновых уравнениях. М.: URSS, 2010. 237 с.
[9] Pulkina L. Solution to nonlocal problems of pseudohyperbolic equations // EJDE. 2014. № 116. P. 1-9.
[10] Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. № 2. С. 294-304.
[11] Скубачевский А.Л., Стеблов Г.М. О спектре дифференциальных операторов с областью определения, не плотной в Ь2 (0,1) // ДАН СССР. 1991. Т. 321. № 6. С. 1158-1163.
[12] Гордезиани Д.Г., Авалишвили Г.А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды // Матем. моделир. 2000. Т. 12. № 1. С. 94-103.
[13] Лажетич Н.Л. О классической разрешимости смешанной задачи для одномерного гиперболического уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. 2006. № 42(8). C. 1072-1077.
[14] Кожанов А.И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых задач для линейных параболических уравнений // Вестник СамГУ. 2008. № 3(62). С. 165-174.
[15] Стригун М.В. Об одной нелокальной задаче с интегральными граничным условием для гиперболического уравнения // Вестник СамГУ. 2009. № 8(74). С. 78-87.
[16] Avalishvili G., Avalishvili M., Gordeziani D. On integral nonlocal boundary problems for some partial differential equations // Bulletin of the Georgian National Academy of Sciences. 2011. Vol. 5. № 1. P. 31-37.
[17] Пулькина Л.С. Краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными условиями I и II рода // Известия вузов. Сер.: Математика. 2012. № 4. C. 74—83.
[18] Пулькина Л.С. Задачи с неклассическими условиями для гиперболических уравнений. Самара: Изд-во "Самарский университет". 2012.
References
[1] Kozhanov A.I., Pulkina L.S. O razreshimosti kraevykh zadach s nelokal'nym granichnym usloviem integral'nogo vida dlia mnogomernykh giperbolicheskikh uravnenii [On the Solvability of Boundary Value Problems with a Nonlocal Boundary Condition of Integral Form for Multidimentional Hyperbolic Equations]. Differents. uravneniia [Differential Equations], 2006, Vol. 42, no.9, pp. 1233-1246 [in Russian].
[2] Lions J.L. Nekotorye metody resheniia nelineinykh kraevykh zadach [Quelques methods de resolution des problems aux limites non lineares]. M.: Mir, 1972 [in Russian].
[3] Ladyzhenskaya O.A. Kraevye zadachi matematicheskoi fiziki [Boundary-value problems of mathematical physics]. M.: Nauka, 1973, 407 p. [in Russian].
[4] Dmitriev V.B. Nelokal'naia zadacha s integral'nymi usloviiami dlia volnovogo uravneniia [Nonlocal problem with integral conditions for wave equation]. Vestnik SamGU [Vestnik of Samara State University], 2006, no. 2(42), pp. 15-27 [in Russian].
[5] Tikhonov A.N., Samarskii A.A. Uravneniia matematicheskoi fiziki [Equations of Mathematical Physics]. M.: Nauka, 2004, 798 p. [in Russian].
[6] Fedotov I.A., Polyanin A.D., Shatalov M.Yu. Teoriia svobodnykh i vynuzhdennykh kolebanii tverdogo sterzhnia, osnovannaia na modeli Releia [Theory of free vibration of rigid rod based on Rayleigh model]. DAN [Proceedings of the USSR Academy of Sciences], 2007, Vol. 417, no. 1, pp. 56-61 [in Russian].
[7] Doronin G.G., Lar'kin N.A., Souza A.J. A hyperbolic problem with nonlinear second-order boundary damping. EJDE, 1998, no. 28, pp. 1-10 [in English].
[8] Korpusov M.O. Razrushenie v neklassicheskikh volnovykh uravneniiakh [Destruction in nonclassical wave equations]. M.: URSS, 2010, 237 p. [in Russian].
[9] Pulkina L. Solution to nonlocal problems of pseudohyperbolic equations. EJDE, 2014, no. 116, pp. 1-9 [in English].
[10] Ionkin N.I. Reshenie odnoi kraevoi zadachi teorii teploprovodnosti s neklassicheskim kraevym usloviem [Solution of a certain boundary value problem in heat conduction with nonclassical boundary condition]. Differents. uravneniia [Differential Equations], 1977, Vol. 13, no. 2, pp. 294-304 [in Russian].
[11] Skubachevskii A.L., Steblov G.M. O spektre differentsial'nykh operatorov s oblast'iu opredeleniia, ne plotnoi v L2(0,1) [On spectrum of differential operators with nondense in L2 domain]. DAN SSSR [Proceedings of the USSR Academy of Sciences], 1991, Vol. 321, no. 6, pp. 1158-1163 [in Russian].
[12] Gordeziani D.G., Avalishvili G.A. [Solutions of Nonlocal Problems for One-dimensional Oscillations of the Medium]. Matem. modelir. [Mathematical Models and Computer Simulations], 2000, Vol. 12, no.1, pp. 94-103 [in Russian].
[13] Lazhetich N.L. O klassicheskoi razreshimosti smeshannoi zadachi dlia odnomernogo giperbolicheskogo uravneniia vtorogo poriadka [On classical solvability of a mixed problem for one-dimensional hyperbolic equation of the second order]. Differents. uravneniia [Differential Equations], 2006, 42(8), pp. 1072-1077 [in Russian].
[14] Kozhanov A.I. O razreshimosti nekotorykh prostranstvenno nelokal'nykh kraevykh zadach dlia lineinykh parabolicheskikh uravnenii [On solvability of some spacial nonlocal boundary problems for linear parabolic equations]. Vestnik SamGU [Vestnik of Samara State University], 2008. no. 3(62), pp. 165-174 [in Russian].
[15] Strigun M.V. Ob odnoi nelokal'noi zadache s integral'nymi granichnym usloviem dlia giperbolicheskogo uravneniia [On a certain nonlocal problem with integral boundary condition for a hyperbolic equation]. Vestnik SamGU [Vestnik of Samara State University], 2009, no. 8(74), pp. 78-87 [in Russian].
[16] Avalishvili G., Avalishvili M., Gordeziani D. On integral nonlocal boundary problems for some partial differential equations. Bulletin of the Georgian National Academy of Sciences, 2011, Vol. 5, no. 1, pp. 31-37 [in Russian].
[17] Pulkina L.S. Kraevye zadachi dlia giperbolicheskogo uravneniia s nelokal'nymi usloviiami I i II roda [Boundary value problems for a hyperbolic equation with nonlocal conditions of the I and II kind]. Izvestiia vuzov. Matematika [Russian Mathematics (Iz.VUZ)], 2012, no. 4, pp. 74-83 [in Russian].
[17] Pulkina L.S. Zadachi s neklassicheskimi usloviiami dlia giperbolicheskikh uravnenii [Problems with nonclassical conditions for hyperbolic equations]. Samara: Izd-vo "Samarskii universitet", 2012.
L.S. Pulkina, A.E. Savenkova2
A PROBLEM WITH SECOND KIND INTEGRAL CONDITIONS FOR HYPERBOLIC EQUATION
In this paper, we consider a problem for one-dimensional hyperbolic equation with second kind integral conditions and prove unique solvability. To prove this statement we suggest a new approach. The main idea of it is that given nonlocal integral condition is equivalent with a different condition, nonlocal as well but this new condition enables us to introduce a definition of a generalized solution bazed on an integral identity and derive a priori estimates of a required solution in Sobolev space. This approach shows that integral conditions are closely connected with dynamical conditions.
Key words: nonlocal problem, integral conditions, hyperbolic equation, generalized solution, dynamical conditions.
Статья поступила в редакцию 28/////2016. The article received 28/////2016.
2Pulkina Ludmila Stepanovna ([email protected]), Department of Equations of Mathematical Physics, Samara University, 34, Moskovskoye Shosse, Samara, 443086, Russian Federation.
Savenkova Alesya Evgen'evna ([email protected]), Department of General Mathematics and Informatics, Samara State Technical University, 244, Molodogvardeyskaya Street, Samara, 443100, Russian Federation.
