Научная статья на тему 'Обратная коэффициентная задача и связанная с ней нелокальная задача для параболического уравнения с разрывными коэффициентами'

Обратная коэффициентная задача и связанная с ней нелокальная задача для параболического уравнения с разрывными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
93
11
Поделиться
Область наук
Ключевые слова
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА / ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА / ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ / РАЗРЫВНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ / NONLOCAL PROBLEM / PARABOLIC EQUATION / DISCONTINUOUS COEFFICIENTS / INVERSE PROBLEM

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Шарин Евгений Федорович

Рассматривается обратная задача определения неизвестного коэффициента, а также связанная с ней нелокальная задача для параболического уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами. Доказана теорема существования и единственности решения исследуемых задач.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Шарин Евгений Федорович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Inverse problem and related nonlocal problem for parabolic equation with discontinuous coefficients

We consider an inverse problem of identification of a coefficients and nonlocal problem for a second order parabolic equation with a discontinuous coefficients. We prove theorem on existence and uniqueness of solutions to these problems.

Текст научной работы на тему «Обратная коэффициентная задача и связанная с ней нелокальная задача для параболического уравнения с разрывными коэффициентами»

УДК 517.954

ОБРАТНАЯ КОЭФФИЦИЕНТНАЯ ЗАДАЧА И СВЯЗАННАЯ С НЕЙ НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ*) Е, Ф, Шарин

1. Нелокальная задача дифракции

Нелокальные краевые задачи — это задачи, в которых вместо задания значений решения или его производных на фиксированной части границы задается связь этих значений со значениями тех же функций на иных внутренних или граничных многообразиях. Теория нелокальных краевых задач важна и сама по себе как раздел общей теории краевых задач для уравнений с частными производными, и как раздел математики, имеющий многочисленные приложения в механике, физике, биологии и других естественно-научных дисциплинах.

В настоящей работе рассматривается вопрос разрешимости краевой задачи для линейных параболических уравнений с разрывными коэффициентами и с нелокальным условием вида

и(х, 0) = а(х)и(х, Т) + щ(х).

Подобные задачи в классах суммируемых функций с более общими нелокальными по времени условиями изучены в работах [1—7]. Одной

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта фцп «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009^2013 гг. в рамках реализации мероприятия № 1.3.1 «Проведение научных исследований молодыми кандидатами наук» (ГК № П1182 от 27 авг. 2009 г.) и гранта Министерства образования и науки РФ № 02.740.11.0609.

© 2010 Шарин Е. Ф.

из последних работ для подобной задачи, но с локальными условиями является работа Л. В. Коробенко, А. Ж. Сакбаева [8].

Пусть Б = П х (О, Т), где П — ограниченная область из М, для простоты возьмем П = [—1, 1]. Введем следующие обозначения: Б+ = Б П {ж > 0} и Б' = Б П {х < О}. Определим пространство

У0= {«(х,*) : «(х,*) е Ь2 (О)) П Ьто(0,Т;Т^(П)),

уг(х,г) е Ь2(д), ¿гух(-о= ¿2ух(+о,г)}-,

норму в V) определим естественным образом:

1Мк0 = 1М1ь2(0 ,Т;^|(П)) + 1М1ьте(0 /Т^П) )•

Пусть Сг(х, ¿), /¿(ж, £), г = 1,2, суть заданные при (ж, ¿) £ Б и (ж, £ Б+ соответственно функции. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и(х, £), являющуюся в цилиндре Б решением уравнения

Ьи = /(х,г),

(1.1)

где

с\ (х, £)и, х < О, С2(х, ¿)и, х > О, ¿г > О — сош!;, ¿=1,2,

х < , х > ,

и такую, что для нее выполняются условия

и( -1 ,£) = и(М) = 0,

(1.2)

(1.3)

(1.4)

и(х, 0) = а(х)и(х, Т) + щ(х).

Теорема 1. Пусть выполняются условия

С1(ж,г) > с! >0, ж е [-1,0], г е [о,т], с2(ж,г) > с2 > 0, ж <= [0,1], £ <= [0,Т],

С1(х,*) е Ьто(б~), е2{х,г) е Ьто(Б+),

(1.5)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

и пусть

о

ах е ^^(п), I < а < 1-

(1.6)

Тогда для любой функции /(х, ¿) го пространства Ь2 (Б) и любой функ-

ции и0(х) из пространства такой, что щ( —1) = и0(1) = О,

щ(—О= ио(+0,£), ¿хщх( —0, ¿) = х(+краевая задача (1.1)-(1.4) имеет единственное решение и(х, £), принадлежащее пространству

Доказательство. Применим метод продолжения по параметру. Введем параметр А — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим семейство краевых задач: найти функцию и(х,£), являющуюся в прямоугольнике Б решением уравнения (1.1) и удовлетворяющую условиям (1.2), (1.3), а также условию

В соответствии с общей схемой метода продолжения по параметру обо,

краевая задача (1.1)—(1.3), (1.7) разрешима в пространстве У) для произвольной функции /(х, ¿) го пространства Ь (Б) и для функции ио(х), удовлетворяющей условиям теоремы. Известно, что если множество Л

непусто, открыто и замкнуто одновременно, то оно совпадает со всем

,

У

Множество Л непусто, поскольку число 0 принадлежит этому мно-А

мость которой известна [8]). Для доказательства открытости и замкнутости множества Л нам понадобятся априорные оценки решений задачи

о

У

и(х,0) = Аа(х)и(х, Т) + ио(х).

(1-4л)

J Ьи(х, £) • и(х, = J/(х,£)и(х,£)

в

в

Применяя формулу интегрирования по частям, а также учитывая условия (1.2) и (1.3), данное равенство можем привести к виду 1 1 ТО

1

J и2(х,Т)<1х — — ! и2(х, 0) ¿х + ¿1 J ! и2х(х,Ь) (кс(М, -1 -1 о -1

Т 1 Т О Т 1

41и1{ х ¿хж+11с1и2 ¿хж+11с2и2 ¿хЖ

-

Т О Т 1

J ! u(x,t)fl(x,t)dxdt + J J и(х,Ь)^(х,Ь) ¿х&

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

о о

О -1

о о

или с учетом условия (1.4д) — к виду

1 — \2а2(х)

Т о

и2(х,Т) ¿х + ¿1 / и2х(x,t)dxdt

Т 1

-

Т о

Т 1

о о

^ J ! и2(x,t)dxdt + + J ! С1и?(х,~Ь) dxdt + J J 01и2(х^) ¿Х&

-

1 1

= J а(х)щ(х)и(х, Т) <],х + — J Мд(ж) в,х -Т о Т 1

-

При выполнении условий (1.5) и (1.6) с помощью неравенства Юнга из данного равенства можно вывести следующее неравенство:

1 Т 1 Т 1

и~{х,1')+ I I их[х,г) ахаг + / / и?(х,~Ь)

-1

J и2(х,Т) + J J и2(x,t)dxdt + J J и?(х,~Ь)

--

' Т О Т 1 1

J ! f2(x,t)dxdt + J ! /^(х,^) dxdt + J и^(х) ¿Х

.0 -1

о о

,

в котором число М1 определяется лишь числами ^ и ац.

Вторая априорная оценка. Рассмотрим далее следующее ра-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

венство:

о -1

I 2,

Ту "

о

в в

Это равенство нетрудно преобразовать к виду

0 0 -1

1 о

-

т 1

—ц С1 (х, ^ «х, о ¿^—ц <» (х, ^ «х, о ¿^

-

т 0 т 1

-

Применяя неравенство Юнга, используя условия (1.5) и (1.6), а также оценку (1.7), нетрудно получить вторую оценку т о т 1

J ! и^ (x,t)dxdt + J J и^ (x,t)dxdt

о о

1 г т о

иХ(х,Т^х + J иХ(х, Т) ¿х ^ М2 J ! /^(x,t)dxdt

т о

о -1

'-о -1

т 1

JJ/l(x,t)dxdt + JuUx)dx + Ju- (х^х

,

-

в которой число М2 определяется лишь числами ¿1, ¿2, С1, С2, а > М, а также функциями а(х), С1(х^) и ^(х,

Третья априорная оценка. Рассмотрим теперь следующее равенство:

— J Ьи(х^) ■ ихх(x,t)dxdt = —J /(х,^ихх(x,t)dxdt• в в

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Данное равенство можно привести к виду

Т о Т 1

¿х j j «х^х^) dxdt + ¿2 j j и2хх{х^)с!хсМ

-

Т О Т 1 ТО

-Т 1 Т о Т 1

С2uxxudxdt — I J /1«хх (1хлЛ — I J /2«хх (1хлЛ.

-

Применяя неравенство Юнга, учитывая (1.7) и (1.8), нетрудно получить оценку

Т о Т 1

J ! «хх(x,t)dxdt + J ! «хх(x,t)dxdt

о о

Т о

J J /1 (х, ^ dxdt + J ! / (х, ^ dxdt

-

в которой число Мз определяется лишь числами ад, ¿2, С\, С2, а также функциями а(х), х,~Ь) и с2(х,£).

Окончательная оценка для решений краевой задачи (1.1)—(1.3), (1.4д) имеет вид

||«1к < М0[У/\\ыщ + Н«оН^п)], (1-9)

-

Т о Т 1

< М3

-

1

где постоянная Мо зависит лишь от чисел а > ¿1, ¿2, а также от функций а(х), С]Дх, ^ и с2(х,

С помощью оценки (1.9) докажем открытость и замкнутость множества Л.

Для того чтобы доказать открытость множества Л, достаточно по-

А

А А А | А|

Пусть Ао е Л, -у(х^) — произвольная функция из пространства Уд. Рассмотрим задачу: найти функцию и(х^), являющуюся в прямоугольнике Б решением уравнения (1.1) н такую, что для нее выполняются условия (1.2), (1.3) и условие

и(х, о) = ^ахих, т) + Аах^х, т)+

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

о „ о

Поскольку а(х)-у е ^^(П), то Аа(х)*(х,Т) + щ(х) е ^3,(0), и данная краевая задача будет иметь решение и(х^), принадлежащее пространству Следовательно, определен оператор С, переводящий пространство ^ в себя: С(-у) = и. Оценка (1.9) означает, что имеет место неравенство

№) — С(*2)< |А|М0Ь — ^|к,

где % (х, ^ и ^ (х, ■£) — две произвольные функции из пространства У. А

венство |А|Мо < 1> т0 оператор С будет сжимающим. Неподвижная точка этого оператора даст функцию и(х, являющуюся решением краевой задачи (1.1)—(1.3), (1.4л), (1.7) из пространства У. Это озна-

АА принадлежать множеству Л и что множество Л открыто.

Докажем теперь замкнутость множества Л. Пусть {Ат} — последовательность чисел из множества Л, сходящаяся к числу Ао, {ит(х, ^} — последовательность решений задачи (1.1)—(1.3), (1.7). Положим х,^ = ит(х,-£) — ик(х,-£). Для функции итй(х^) имеют место равенства

Ьштк = 0, (х, ^ е Б,

ытк{х,0) = \та(х)ттк(х,Т) + (Лт — \к)«к(х,Т), х е О,

ытк( — 1 = ттк( М) = О, ( ытк( —О,Ь) = ттк(+<М), I ¿1тткх( —0= ¿2тткх(+<М). Из оценки (1.9) имеем для штк неравенство

||^тк||у < |Лт — Лк|М0Уа(х)«к(х,Т)¡^(п)• (1-Ю)

Последовательность {Уа(х)«к(х,Т)У^ф)} равномерно ограничена. Сходимость последовательности {Лт} и неравенство (1.10) означают, что последовательность {«т(х, ^} фундаментальна в пространстве У). Следовательно, существует функция и(х,^ е ^ такая, что «т(х, ^ ^ и(х^) при т ^ то в пространстве У). Очевидно, что для предельной функции и{х, t) будут выполняться уравнение (1.1) и условия (1.2), (1.3). Кроме того, имеет место сходимость Лта(х)ит ^ Лоа(х)и при т ^ то в пространстве ^21(П). Отсюда следует, что для функции и(х^) выполняется условие (1.4д0). Принадлежность фупкции и(х,£) У

Л

дельной точки множества ему же означает его замкнутость.

Таким образом, множество Л непусто, открыто и замкнуто. Следо-

,

У

Оценка (1.9) обеспечивает единственность решения исследуемой краевой задачи. Теорема полностью доказана.

2. Обратная задача

Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято называть задачи определения коэффициентов дифференциальных уравнений, правой части, границы области, граничных или начальных условий. Неизвестные элементы начально-краевых задач определяются по некоторой дополнительной информации. Такой информацией служат различного рода условия переопределения. Многие

важные прикладные вопросы, касающиеся упругих смещений, электромагнитных колебаний, диффузионных процессов, геофизики, сейсмологии, компьютерной томографии, геотомографии, диагностики плазмы, квантовой теории рассеяния, подводной акустики, квазиоптики, дифракции, теории колебаний молекул, георадиолокации и др. приводят к обратным задачам.

Теория обратных задач составляет важное самостоятельное направление исследований в области дифференциальных уравнений. В настоящее время теория обратных задач математической физики активно развивается представителями целого ряда отечественных математических школ. Корректность обратных задач для параболических уравнений, а также краевые задачи определения коэффициентов или функции источника для параболического уравнения в предположении независимости искомых коэффициентов (функции источника) либо от временной переменной, либо от пространственной переменной изучались в работах Ю. Е. Аниконова, Б. А. Бубнова [9], Ю. Е. Аниконова, Ю. Я. Белова [11], Е. Г. Саватеева [12], А. И. Прилепко [18], В. В. Васина [13], А. И. Кожанова [14-19], Ю. Я. Белова [20], С. Г. Пяткова [21] и многих других. Целый ряд результатов в изучении обратных задач получили в последние десятилетия зарубежные авторы из Италии, Голландии, Швеции, США, Франции, Японии и др.

В настоящей работе рассматривается обратная коэффициентная задача для параболического уравнения с разрывными коэффициентами. Ранее такие задачи не изучались.

Пусть Б = П х (0,Т), где П — ограниченная область в М, для простоты возьмем П = [—1,1]. Введем следующие обозначения: Б+ = Б П {х > 0} и Б" = Б П {х < 0}.

Пусть /¿(х,-£), г = 1,2, ф^), ио(х) и и(х) суть заданные при х € Л, £ € [0, Т] функции. Рассмотрим обратную задачу: найти функции и(х^) и д(х), связанные в цилиндре Б уравнением

и — Ьи + д(х)и = /(х, ■£),

(2.1)

где

( druxx, x < О, ( fi(x,t), x < О, Lu = < f (x,t) = <

I d2Uxx, x > 0, [ h(x,t), x > 0,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

di, d2 > 0 — const, U x, t

u( — ,t) = p{t), u(l,t) = ^(t), (2.2)

u(-0 ,t) = u(+0,t),

(2.3)

4«х(—0 , ^ = ¿¡«х(+(М),

и х, и х ,

и(х,Т) = «\(х). (2-5)

Введем необходимые нам обозначения:

щ(х^) = +

/(х,г) = /(х,г) — '0 х^), д(х,г) = /4( х^),

/ ч 1(х,Т) + Ь«1(х) 1

= -Г^-, Р{х) =--—,

и х и х

д{х,Ь) = д{х,ь) — о.{-.х)'''о Л х,Ъ), а(х) = в(х)«о(х), Ъ(х) = Ь«о(х) + /(х,0) — а(х)«о(х),

а

Мо = — (роль числа /?о будет объяснена ниже), Ро

а

Д = тах|/?(ж)г>04(ж,г)|, ^ = ——1--/32, в 4

Т о

М1 = — / д2(ж, ¿) dxdt

¿1 7 7

-

Т 1 1 1

Н—— / д2(ж, £) dxdt Н--^ / а?(х)Ъ2(х) dx Н— / Ь2(х)с1х,

«2 7 7 1— а5 7 2у

d

0 0 -1

M 2M . 2Mi

М2 = —, М3 = —-, М4 = ——1-,

tti di d

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

т о т 1

М5 = — [ [ д2 (ж, Ь) ¿хсМ + — [ [ д2 (ж, ¿) <1х + ———1

«1 У У «2 У У «1

0-1 оо

1

^^+4М,тах|а,(ж)|+4 / Ь,2(ж) ¿ж, «2 П У

2М5 _ 2 М,

— —:--—о 1 л? —

— 2а§ ' " «2 — 2а§ Далее, пусть V) — пространство, введенное в п. 1,

V = {«(ж,*) : «(ж,*) е V), ж,*) е У0}•

Норму в пространстве V введем естественным образом:

1Мк = |Мк + 1Ык•

Теорема 2. Пусть выполнены условия

\и± (ж) | ^ ко > 0, ж € О, (и1)

а(ж) > а0 > 0, |/3(ж)| </30, ж € О, (и2)

а(ж) е ^(П), Ь(ж) € И^(П), |а(ж)| < а0 < 1, ж € П, (иЗ)

1 — ^ — 4А > О, ¿1 — 2^ > О, ¿2 — 2ад > О, (и4)

М0 <тах(Й1,Д2). (и5)

Тогда обратная задача (1.1)-(1.4) имеет решение {и(ж, *), д(ж)}, и(ж,*) е У, д(ж) е Ь^^), для любых функций /(ж,*), ио(ж), и (ж), И

таких, что /(ж,*) е Ь2(Я), Л(ж,*) е Ь2(Я), е ^|([0,Т]), е ^|([0,Т]), и0(ж) е ^|(П), и (ж) е ^|(П), и0(—1) = ^(о), и0(1) = ф(о), и( —1) = <^(Т), и(1) = ф(Т), щ(—0) = ио(+0), ¿хио^—0) = ¿2иож(+0)

и ж( —0) = ¿2^ж(+0).

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию и(ж, *) = и(ж,*) — Подставляя в уравнение (2.1) и(ж,£) = и(ж,*) +

щ(х,~Ь), получим уравнение относительно введенной вспомогательной функции и(х,~Ь)'.

щ(х, Ь) — Ъ«(х, Ь) + д(х)[«(х, Ь) + щ(х, Ь)] = /(х, Ь). (1*)

Условия (2.2)^(2.5) примут соответственно вид

«( — 1 ,^ = «(1,^ = 0, (2*)

г «(—о,Ь) = «(+О,Ь), [ ¿1«х(—0,~Ь) = ¿2«х(+О,Ь),

«(х,0) = щ(х) — 'о(х, 0) = «о(х), (4*)

«(х,Т) = «\(х) — щ(х,Т) = «\(х). (5*)

Положим в уравнении (1*) Ь = Т и выразим ц{х). Получим

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ц{х) = а(х) + [3(х)«1( х,Т). (2-6)

*

«¿(х, Ь) — Ь«(х, Ь) + [а(х) + [3(х)«1 (х, Т)][«(х, Ь) + щ(х, Ь)] = /(х,~Ь). (1**) Далее, положим в уравнении (1**) Ь = 0. Получим

«((х, 0) — Ь«о(х) + [а(х) + [3(х)щ(х, Т)]«о(х) = /(х,0).

Отсюда

«¿(х, 0) = а(х)щ(х, Т) + Ъ{х).

Если продифференцировать уравнение (1**) то переменной Ь, ввести обозначение '(х,Ь) = «¿(х,Ь), то получим следующую задачу: найти функцию '(х, Ь), удовлетворяющую в прямоугольнике Q уравнению

х, Ь) — Ь'(х, Ь) + [а(х) + [3(х)'(х, Т)] ['(х, Ь) + щ 4(х, Ь)] = д(х, Ь), (2.7)

граничным условиям

'(— 1 ='(М) = 0, (2.8)

условиям сопряжения

—о ,г) = у(+о,г), —О , г) = ¿¡ух(+о,г),

(2.9)

а также нелокальному условию

«(ж, 0) = а(ж)«(ж, Т) + Ь(ж).

(2.10)

Для решения задачи (2.7)^(2.10) воспользуемся методом срезки и методом линеаризации. Пусть М — положительное число такое, что М < М0. Определим срезку С(С):

Очевидно, что функция С(£) удовлетворяет условию Липшица па всей числовой оси. Рассмотрим «срезанное» уравнение

ж, г) — Ьу(ж, г) + [а(ж) + [3(ж)0(«(ж, Т))] («(ж, г) + щ¿(ж, г)) = д(ж, г).

Пусть т(ж,г) — произвольная функция из пространства У. Рассмотрим линейную задачу: найти функцию «(ж, г), удовлетворяющую уравнению

ж, г) — Ь«(ж, г) + [а(ж) + в(ж)С(ад(ж,т))] у(ж,г) = ^(ж,г), (2.11)

где ^ж, г) = д(ж,г) — а(ж)«о4(ж, г) — ¿(ж,^^Цж,Т)), н условиям

(2.8)-(2.10).

Согласно теореме 1 при выполнении условий теоремы 2 полученная нелокальная задача дифракции (2.11), (2.8)^(2.10) имеет решение «(ж, г), принадлежащее пространству У). Получаем, что данная краевая задача порождает оператор Ф, переводящий пространство У) в себя: Ф(«) = и. Покоем, что оператор Ф имеет в пространстве У) неподвижные точки. Для этого нам необходимо показать: 1) оператор Ф переводит шар в себя; 2) оператор Ф вполне непрерывен.

Рассмотрим следующее тождество:

Т 1

¡¡ЫхЛ) - ад + М^ «^(^»НМММ)^

О -1

Т 1

-//^'ММ)**.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

-

Учитывая условия (2.8)—(2.10), это тождество можем привести к виду

1 1 ТО

— J у2(х,Т)с1х — — J -у2 (ж, 0) (1х + (¿1 J ! (ж, £) ¿хсИ

-Т 1

+ ¿2 j j х ,t) dxdt

о о

Т 1

♦ //[аМ+ЯхЮ^ЯЛ*,«**

-

Т 1

-црын*,')*«*.

-

Применяя неравенство Юнга, а также учитывая условия (и1)^(и4) и неравенство [3(х)0(1л(х, Т)) > М0 — М > 0, из последнего равен-

ства можно получить оценку

1 Т 1 Т 1

J v2(x,Т)dx + J J v2(x,t)dxdt + J ^ x,t)dxdt

- - -

< N [1+ Мх,Т)У!^}], (2.12)

где число N зависит только от входных данных.

Чтобы получить следующую априорную оценку, рассмотрим интеграл по области Б от скалярного произведения уравнения (2.11)

на вторую производную по пространственной переменной от решения

ъхх (x, •

Т О Т 1

2 / Л\ 1 ы , 1 II 2

4/ ^^Мгшг + п^ у^м)^

о о

Т 1

J ! х,~Ь)ъхх(

о -1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Т 1

— J ! Р(х,~Ь)ухх(x,t)dxdt.

-

Т 1

-

Т 1

-

Т 1

О -1

Используя формулу интегрирования по частям, учитывая условия теоремы, неотрицательность функции а(х) + в(х)С(ад4(х,Т)) и применяя неравенство Юнга, нетрудно получить вторую априорную оценку

1 Т 1

2

(x,T)dx + J ! v2xx(x,t)dxdt < N [1+ Мх,Т) |Ц2(П)], (2.13)

Л

-1 о -1

в которой число N зависит только от входных данных.

Из полученных оценок (2.12) и (2.13) следует, что для решений краевой задачи (2.11), (2.8)-(2.10) окончательно справедлива оценка

|Кх^)||у0 < N[||д(х^)\\ыо) + \\т(х,Т)||^1(П)], (2.14)

где постоянная N зависит только от входных данных и границы области П. Из этой оценки и вытекает, что оператор Ф шар пространства у0 переводит в себя.

Покажем далее, что оператор Ф вполне непрерывен. Пусть последовательность |ът(х^)} сходится в пространстве У> к функции ъ(х,-£), мт(х, ■£) и м(х, ■£) суть образы функций |ът(х, ■£)} и

ъ(х, Ь) при действии оператора Ф, определим также функцию тт(х= ит(х, Ь) — п{х, Ь).

Функции шт{х,€) являются решением краевой задачи

х, Ь) — Ьшт{х, Ь) + [а(х) + [3(х)0(-ш(х, Т))\и)т(х, Ь) = (2.15)

где ^ = в(х)ъ04(х,Ь)[С(1л(х, Т)) — х, Т))] + ¡5{х)пт[С(-ш(х, Т)) —

х,Т)%

Заметим, что вследствие сходимости в пространстве последовательностей {ът(х,Ь)} и {ът1(х,Ь)} к функциям и х,Ь) соответственно, а также в силу непрерывности функции 0{т), ограниченности функций а(х), р(х), а(х) следует, что правая часть уравнения (2.15) будет почти всюду в Б сходиться при т ^ то к тождественно нулевой функции. Используя оценку (2.14) и условие (2.18), нетрудно показать, что функции шт{х,€) также стремятся к нулевой функции. Получаем, что последовательность {и!т} сходится к пулевой функции, т. е.

у

Докажем компактность оператора Ф.

Пусть {ът(х,Ь)} — ограниченная последовательность функций из пространства Уо, {ит(х,Ь)} — последовательность образов функций ът(х,Ь) при действии оператора Ф. Из оценки (2.14) следует равномерная по т ограниченность в пространстве У семейства функций {ит(х,Ь)}, т. е. последовательность {ит(х,Ь)} равномерно по т огра-У

У

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

стей {ът(х,Ь)} и {ит(х,Ь)}, а также теорема о возможности выбора из сильно сходящейся последовательности подпоследовательности, сходящейся почти всюду дают нам существование подпоследовательностей {ътк(х,Ь)} и {итк(х,Ь)}, а также функций ъ(х,~Ь) и и{х,€) таких, что

— 1 = М) = О, —О ,Ь) = wm(+ —о ,Ь) =

ыт( х,0) = а(х)-шт( х,Т).

(2.16)

(2.17)

(2.18)

при к ^ то имеют место сходимости {г>тй(ж,£)} ^ {итк(х,^} ^

и(х,г), {итЫ(х,г)} ^ {итЫ{х,г)} ^ щ(х,г), {иткх(х,г)} ^

{иткх(х,£)} ^ их(х,£)-/ } ^ 'Ухх(х,£)-/ {иткх х(х,£) }

^ ихх(х, ¿) в пространстве Ь?^). Тогда для функции тк = итк — и будут выполняться уравнение (2.15) и условия (2.16)—(2.18). Как и при доказательстве непрерывности оператора Ф, из оценки (2.14) получаем, что последовательность функций {адк(х,1)} будет сходиться в пространстве Уд к тождественно нулевой функции.

Из этих сходимостей вытекает, что для всякой ограниченной в пространстве У последовательности функций {V,} из последовательности {ФV,,} можно извлечь сильно сходящуюся подпоследовательность. Это

У

Вполне непрерывность оператора Ф, его свойство переводить шар У

У

неподвижная точка, т. е. функция и (х, ¿) из пространства У, и будет искомым решением задачи (2.11), (2.8)-(2.10).

Покажем, что по решению ^х, ¿) краевой задачи (2.11), (2.8)-(2.10) можно построить решение исходной обратной задачи. Рассмотрим тождество

Т 1

/ ¡Ых о — Ьф,,) + + кмь л )Мх. тх, о "х<«

О -1

Т 1

-

Применяя формулу интегрирования по частям, используя неотрицательность функции а(х) + в(х)0^(х, Т)) и применяя неравенство Юнга, нетрудно получить оценки

1

Jv2(x,T)dx < М2, (2.19)

-

т о

J ! У2Х(х,г)<1х<И < Мъ, (2.20)

о -1

т 1

J JvХXx,t)dxdt < М- (2.21)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

о о

На следующем шаге рассмотрим равенство т 1

/ /их » - ьФ, ,) + ых> + шф, Ф'хх(х » <ш,

-

т 1

= У j[g(x,t)vxx(x,t) — в{x)vQt{x,t)G{v{x,T))vxx{x,t)}dxdt.

-

Следствием этого равенства являются оценки о 1

У vХ (x,T)dx < Яъ ! vХ (x, Т) dx < К2. (2.22)

-

Из этой оценки и из условия (и5) следует, что выполняется равенство G(v(x,T)) = v(x, Т). Отсюда получаем, что функция v(x,t) является решением уравнения

vt(x, Ь)—^{ж, ^ + [З^^^, Т)^^, Ь) = д^, Ь)-[З^^ъДx, Т).

Определим функцию и^^), исходя из равенств

щ( x,t) = vt( x,t) + щ Д x,t), и^Д) =

Повторяя рассуждения [18], нетрудно показать, что функция и^^) и определенная равенством (2.6) функция д^) дадут искомое решение обратной задачи (2.1)-(2.5). Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Керефов А. А. Нелокальные граничные задачи для параболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 5, № 1. С. 74-78.

2. C'babrowski J. On nonlocal problems for parabolic equations // Nagoya Math. J. 1984. N 93. P. 109-131.

3. Cbabrowski J. On the nonlocal problem with a functional for parabolic equation // Funkcial. Ekvac. Ser. Intern. 198. N 27. P. 101-123.

4. Шелухин В. В. Задача со средними по времени данным для нелинейных параболических уравнений // Сиб. мат. журн. 1991. Т. 32, № 2. С. 154-165.

5. Шелухин В. В. Нелокальные по времени задачи для уравнений гидродинамики и вариационные принципы: Дис. ... д-ра физ.-мат. паук. Новосибирск, 1992.

6. Либерман Г. М. Нелокальные задачи для квазилинейных параболических уравнений // Нелинейные задачи математической физики и смежные вопросы: В честь акад. О. А. Ладыженской. Новосибирск, 2002. Т. 1. С. 233-254.

7. Кожанов А. И. Нелокальная по времени краевая задача для линейных параболических уравнений // Сиб. журн. индустр. математики. 2004. Т. 7, № 1. С. 51-60.

8. Коробенко Л. В., Сакбаев В. Ж. О постановке и корректности задачи Коши для уравнения диффузии с разрывными вырождающимися коэффициентами // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2009. Т. 49, № 6. С. 1085-1102.

9. Аниконов Ю. Е., Бубнов В. А. Существование и единственность решения обратных задач для параболических и эллиптических уравнений // Докл. АН СССР. 1988. Т. 298, № 4. С. 777-779.

10. Аниконов Ю. Е., Белов Ю. Я. Об однозначной разрешимости одной обратной задачи для параболического уравнения // Докл. АН СССР. 1989. Т. 306, № 6. С. 1289-1293.

11. Саватеев Е. Г. О задаче идентификации коэффициента параболического уравнения // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 1. С. 177-185.

12. Прилепко А. И., Костин А. Б. Об обратных задачах определения коэффициентов в параболическом уравнении. I // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33, № 3. С. 146-155; II // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 5. С. 147-162.

13. Васин И. А., Камынин В. Л. Об асимптотическом поведении решений обратных задач для параболических уравнений // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38, № 4. С. 750-766.

14. Kozbanov А. L An inverse problem with an unknown coefficient and right-hand side for a parabolic equation. II // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2003. V. 11, N 5. P. 505-522.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

15. Kozbanov A. L On solvability of an inverse problem with an unknown coefficient and right-hand side for a parabolic equation // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2002. V. 10, № 6. P. 611-627.

16. Кожанов А. И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче // Мат. заметки. 2004. Т. 76, вып. 6. С. 840-853.

17. Кожанов А. И. О разрешимости обратной задачи нахождения коэффициента теплопроводности // Сиб. мат. журн. 2005. Т. 46, № 5. С. 1054-1071.

18. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 4. С. 694-716.

19. Кожанов А. И. Задача об определении коэффициентов при младших членах в слабо связанной параболической системе // Мат. заметки ЯГУ. 2000. Т. 7, вып. 2. С. 49-61.

20. Belov Yu. Ya. Inverse problems for parabolic equations //J. Inverse Ill-Posed Problems. 1993. V. 1. № 4. P. 283-305.

21. Пятков С. Г: Некоторые обратные задачи для параболических уравнений // Фундам. и прикл. математика. 2006. Т. 12, № 4. С. 187-202.

г. Якутск

31 марта 2010 г.