Разрешимость линейной обратной задачи для параболического уравнения высокого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2014. Том 21, №2

УДК 517.946

РАЗРЕШИМОСТЬ ЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА О. Ю. Николаев

Аннотация. Данная работа посвящена исследованию линейной обратной задачи для параболического уравнения высокого порядка. Для изучаемой задачи доказываются теоремы существования и единственности решения.

Ключевые слова: уравнение параболического типа высокого порядка, обратная задача, существование, единственность.

Исследуется задача нахождения наряду с решением и(ж, 4) линейного параболического уравнения высокого порядка

т

Щ + и хххх + а(ж, 4)и = /(ж, 4) + ^ 9к(ж)^к(ж, 4)

к=1

коэффициентов дк(ж). При выполнении естественных граничных условий, некоторых условий переопределения, условий принадлежности входных данных определенным функциональным пространствам доказываются теоремы существования и единственности регулярного решения. Ранее подобные задачи изучались при специальных (менее общих, чем в настоящей работе) условиях в [1-3].

1. Постановка задачи. Пусть (т — прямоугольник {(ж, 4) | ж € (0, 1), 4 € (0, Т)}, П = {ж I ж € (0,1)}. Функции а(ж,£), /(ж,£), кк{х,1), к = 1,. .., то, заданы при I £ П, ( £ [О,?1], ..., — фиксированные точки полуинтервала (0,Т] такие, что выполняются неравенства < < • • • < < Т.

Обратная задача. Найти функции и(ж, 4), (ж), к = 1,..., то, связанные в прямоугольнике (т уравнением

т

иг + ихххх + а(ж,г)и = /(ж, 4) + ^ дк (ж)йк (ж, 4) (1)

к=1

при выполнении для функции и (ж, 4) условий

и(ж, 0) = 0, ж € О, (2)

и(ж, ¿к) = 0, к = 1,. .., то, ж € О, (3)

и(0,4) = 0, и(М)=0, их(0,4) = 0, их(1,4) = 0, 4 € (0,Т). (4)

В рассматриваемых задачах условия (2), (4) суть условия первой начально-краевой задачи для линейного параболического уравнения, а (3) — условия

© 2014 Николаев О. Ю.

переопределения, необходимые для нахождения неизвестных функций ^(ж), к = 1,. .., т.

2. Разрешимость обратной задачи. Пусть (ж), к = 1,..., т, — заданные при I £ О функции. Рассмотрим линейную алгебраическую относительно функций (ж) систему

т

У^к (ж)йь (ж, ) = (ж) - / (ж, ), j =1,...,т. (*)

А=1

Предполагая, что определитель ¿о(ж) этой системы не обращается в нуль на множестве О, найдем функции ж):

qk(ж) = Аок(ж) + ^ Aik(x)wi(ж), k = 1,. .. ,m,

i=i

где Aok(ж), А^к(ж) вычисляются через f (ж, t), h1(x,t),..., hm(ж, t). Положим

m

д(ж) = f (ж, 0) + ^ Aok(ж)Лк(ж, 0),

k=1

Гк (ж) = Акг(ж)^к (ж, 0), k =1,...,r i=1

m

С(ж, t) = ftfot) Aok (ж)Лм (ж, t),

k=1

йк(ж, t) = ^ Акг(ж)^й (ж, t), k = 1, . . . .

„л ж (ж,

i=1

Rk = sup k=l,...,m,

(x,t)£Q

rk = sup |rk(ж)|, k = 1,...,m. же [0,1]

Пусть ao и k — фиксированные положительные числа, роль которых проясним ниже.

Теорема 1. Пусть выполняются условия а(ж, i), at (ж, i), а« (ж, t) £ C(Qt), hk{x,t) £ C2(Qt), k=l,...,m,

a(x,t)>ao>0, at(x,t)>0, att(x,t)<0, (x,t) € QT, (5)

m

1 - > k > 0. (6)

k=1

Тогда для функции f (ж,t) такой, что f (ж, t) £ L2(QT), ft (ж, t) £ L2(QT), обратная задача имеет решение и(ж^) £ ), 9k(ж) £ L2(Q).

Доказательство. Рассмотрим следующую краевую задачу: найти функцию и(ж, t), являющуюся в области Qt решением уравнения

m

utt + uxxxxt + aut + atu = С(ж, t) + ^ Дк(ж, t)u^, tk) (7)

k=1

и такую, что для нее выполняется условие

иг (ж, 0) = д(ж) + V] Гк (ж)иг(ж^к), ж € О,

к=1

(8)

а также условия (2) и (4).

Разрешимость данной краевой задачи докажем, используя метод продолжения по параметру. Обозначим у(ж,4) = иг(ж, 4). Пусть Л — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим следующую задачу: найти функцию у(ж,4), являющуюся в области (т решением уравнения

^Дк(ж)у(ж, 1к) - аги

,к=1

Уг + V хххх + ау = С(ж, 4) + Л

и удовлетворяющую условиям

т

V(ж, 0) = д(ж) + Л^Гк(ж)у(ж,4к),

к=1

Д0,*) = у(1,4) = Ух(0,4) = Ух(М) = 0.

(9)

(10)

(11)

При Л = 0 данная задача является начально-краевой задачей для линейного параболического уравнения высокого порядка, разрешимость ее в пространстве Ж^т) при выполнении некоторых условий согласования и гладкости известна (см. [4]). Для того чтобы получить разрешимость задачи при всех Л (в том числе и при Л = 1), достаточно установить наличие равномерной по Л априорной оценки решений этой задачи в пространстве Ж2'1((т).

Для получения первой априорной оценки умножим уравнение (9) на функцию у(ж,4) и проинтегрируем обе части уравнения по области (т = {(ж,т) | ж € (0,1), т € (0,4), 4 € (0,Т)}. Интегрируя по частям с учетом условий (11), получим

\ I Ь) *п - \ I Л*, 0)<Ь + 1 г) ¿Ыг + I а(х, т)АХ, г) ¿Ыг

о о Яг

=/с(ж,т )у(ж,т) +Л/

Яг

Нетрудно видеть, что

Дк (ж, т)у(ж, ) — аг(ж, т)и(ж, т)

к=1

у(ж, т) ¿ж^т.

J агиу с1Хс1т = — J[(агИ2)4 — а^г/2] = — J аг(ж, ¿)и2(ж, I) с1,Х — — J аци

и в силу условий (5) это положительная величина.

С помощью неравенства Юнга можно получить следующие неравенства:

I С(ж, т)г>(ж, т) йжйт I С2(ж, т) йжйт +У г>(ж,т)

¿ж^т,

Л I Да (ж, т)г>(ж, ¿а )г>(ж, т) ¿ж^т

д* А=1

¿2 ^ 1 ^ т

< / у2(х,т) йхйт +/ га ^^ т)г>2(:г, ¿¿Ыт д* д* А=1

<— [ У2(х,т)с1хс1т^--[ У2(х,1к)с1,х.

2 Л

д* А=1 о

Используя условие (10) и неравенство Юнга, получим

«2(ж,0)

д(ж) + Л^га(ж)г>(ж, ¿а)

=1

/ 1 \ т

=1

Тогда

J Ь2(х,0) ¿X < + J д2(х) ¿X + 771 (1 + ¿з) Г2 J У2(х,Ьи)с1х.

В силу условий (5) можно подобрать ¿1, ¿2 так, что

¿2 ¿2

у- у >0.

При произвольном 4 £ [0,Т] ^ [ у2(х, г) ¿х < А +

тТ

¿37 ^' А

=1

25?

=1

г>2(ж, 4 а) ¿ж,

где

Обозначим

о д*

В = 8ир / «2(ж, ¿) ¿ж. ^ [о,т]./

Тогда

гр т

=1

' А - '""3 ^ ' А

=1

¿2

=1

и в силу условия (6) можно подобрать ^ иГ ^ Д^, так, что

=1

тпТ

=1

Г а - ^ / А

=1

¿2

=1

2

2

к

В результате приходим к следующему неравенству:

к ~2

1 J г>2(ж, £) ¿х + J у2х(х, т) с1хс1т < 2А.

о я

Обозначив к2 = ш1п{к1/2,1}, получим первую априорную оценку J г>2(ж,£) Ах + J ухх(х,т) ¿хв,т<—А.

(12)

Для второй априорной оценки умножим уравнение (9) на функцию уг(ж, 4) и проинтегрируем обе части уравнения по области (г = {(ж, т) | ж € (0, 1), т € (0,4), 4 € (0,Т)}. Интегрируя по частям с учетом условий (11), получим

/ ^т) +\ I ^ *)<ь~У оих+1аущ ЛхЛт

= J С(ж,т) ¿ж^т + Л J

Яг Яг

^ Дк(ж, 4)у(ж,4к) — аги

к=1

уг ¿ж^т.

Слагаемое

J аууг йхйт = — J аг>2(ж, £) ¿ж — — J а^2 йхйт

1

2 } 2

Яг О Яг

ограничено в силу первой оценки (12).

С помощью неравенства Юнга придем к следующим неравенствам:

/т

Дк(ж, т)у(ж, )уг ¿ж^т

п к=1

Я 2

< / г>| ¿жйт +

2^2

^ Дк (ж, т )у(ж,4к)

,к=1

¿ж^т,

агиуг ¿ж^т

¿2

1

< — / г>+ ¿жйт Н--гт7 а+и ¿жс?т,

" 2 1 г 2^2 I г

Яг Яг Яг

где вторые слагаемые в правых частях ограничены в силу первой оценки (12),

¿2 Л ^ • 1

С(ж, т)уг ¿ж^т Яг Яг

Используя условие (10), получим

< -Г [ V? (1хс1т + —т; [ С2 (ж, т) (¿ЖС?Т.

" 2 У г 252 У

Яг Яг

Ухх(ж, 0) = дхх(ж) + Л^[Гкхх(ж)у(ж, ) + 2гкх(ж)Ух(ж, ) + Гк(ж)Ухх(ж, )].

к=1

Применим неравенство Юнга и придем к неравенству 1

2

Ухх(ж

(*>0) < + + (1 +

2

1

+ 2rkx(x)vx(x,tk) + rk(x)vxx(x,tk)]2 < + j2^9xx(X)9xx(X)

( 1 A m

+ m( 1 + S§) + JJr2xx(x)v2(x,tk)

+ m( 1 + S|) (1 + S2) [2rfexvx(x, tk) + rfe(x)vxxj2. k=1

Учитывая (12), (6) и существенную ограниченность функций (ж), г^(ж), rkxx(x), выводим оценку

&з У vXx(x,t) dx < A1, где к > к3 > 0, A1 = const, t G [0,Tj. о

В результате имеем вторую априорную оценку

j vt(x,T) dxdT + j vXx(x,t) dx < A2, где A2 = const. (13)

Q о

Третья априорная оценка получается после умножения уравнения (9) на функцию vxxxx(x,t) и интегрирования по области Qt и имеет следующий вид:

У vXxxx(x,T) dxdT +У (x,t) dx < ^ (14)

Q О

где постоянная A3 определяется функциями f (ж, t), Л^(ж, t), к = 1,..., m.

Наличие оценок (12)—(14) означает существование равномерной по Л априорной оценки решений задачи (9)—(11). Следовательно, задача (9)—(11) имеет при Л =1 решение v(x, t) G W2 '1(Qt). Тогда существует решение и(ж, t) G W24'2(Qt) задачи (7), (8), (2), (4).

Положим

m

qk(x) = Aok (ж)+^ Aik (x)ut(x,tj), к = 1,...,m. (15)

i=i

Проинтегрируем уравнение (7) по переменной t в пределах от 0 до tk, к = 1,..., m. После выкладок с учетом (2), (8) и (*) придем к равенствам Uxxxx(x, tk) + а(ж, tk)и(ж, tk) = 0, к = 1,. .., m.

Из первого неравенства в условии (5) следует, что и(ж, tk) = 0, к = 1,. .., m, т. е. для найденного решения выполняются условия (3).

Далее выполним интегрирование уравнения (7) по временной переменной от 0 до текущей точки, используя представление (15). В результате имеем

m

Ut + и xxxx + а(ж, t)u = f (ж, t) + ^ qk(x)hk(ж, t).

k=i

Следовательно, найденное решение и(ж, t) краевой задачи и функции qk(ж), к = 1,..., m, определенные по формулам (15), связаны в области Qt уравнением (1). Учитывая выполнение для функции и(ж^) условий (2)—(4), а также полученную по ходу доказательства принадлежность функций и(ж, t) и qk (ж), к = 1,...,m, пространствам W2 '1(Qt) и L2(Q) соответственно, окончательно получим, что функции и(ж, t), qk (ж), к = 1,. .., m, представляют собой требуемое решение обратной задачи (1)—(4).

Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть {и(ж, д1(ж),..., от (ж)} и {«(ж, ¿), (ж),..., ^т(ж)} — решения обратной задачи (1)-(4), и(ж,4), «(ж,4) £ ), ?1(ж),..., ?т(ж),

^1(ж),..., ^т(ж) £ Ь2(О). Пусть выполняются условия (5), (6) теоремы 1. Тогда и(ж, ¿) = «(ж, ¿) и оа(ж) = (ж), к = 1, ..., т.

Доказательство. Пусть и(ж, о1(ж),..., дт(ж) и «(ж, (ж), ..., (ж) — решения обратной задачи (1)-(4). Тогда для них выполняются равенства

т

и + и хххх + а(ж, ¿)и = /(ж, ¿) + 53 Оа (ж)^а (ж,

А=1

т

+ V хххх + а(ж, = /(ж, ¿) + 53 (ж, ¿),

А=1

где

т

9а(ж) = Аоа(ж)+53 АгА(ж)и4(ж,^),

г=1 т

^А (ж) = Аоа(ж) АгА (ж)«4(ж, ¿г),

г=1

для функций и(ж, ¿), «(ж, ¿) выполняются условия (2)-(4), а также условия

т

и^ж, 0) = д(ж) + 53 га(ж)и^ж, ¿а), ж £ О,

А=1 т

0) = д(ж) + 53ГА(жН(ж^А), ж £ О.

А=1

Рассмотрим функцию

ад(ж, ¿) = и(ж, ¿) — «(ж, ¿). Она удовлетворяет уравнению

тт

^ + Вдхххх + а(ж,4)ад = 5353 ААг(ж)^г(ж,4)ад4(ж, ¿А),

А=1г=1

условиям (2)-(4) и условию

т

0) = 53 ГА (Ж^^Ж^А).

А=1

Продифференцируем уравнение для ад(ж,£) по 4 и обозначим ^(ж, ¿) = ад4(ж, ¿). Функция ^(ж, ¿) будет удовлетворять уравнению

т

^ + ^хххх + а^ = 53 ДА(Ж, ¿)^(ж, ¿А) — (16)

А=1

и условию

т

^(ж, 0)^53 Га(ж)^(ж,*А). (17)

А=1

Умножим уравнение (16) на функцию ^(ж, ¿) и проинтегрируем обе части уравнения по области = {(ж, т) | ж £ (0,1), т £ (0, ¿), £ £ (0, Т)}. Интегрируя по частям, получим равенство

— J ф2(х, £) ¿ж + J ф2х с1хс1т + J аф2 с1хс1т

д* д*

— J ф2(х,0)Ах + J Дк(х, т)ф(х, 1к)ф(х, т) АхАт — ^ агиофАхАт.

2

Как замечено выше

о д* А=1

J ^тф с1хс1т = — J{(аг'ш2)1: — аиш2] с1хс1т

д* д*

= — J (ц(х, 1)т2(х, £) ¿ж — — У айн? АхАт

и в силу условий (5) это положительная величина.

Используя неравенство Юнга и условие (17), можно оценить

— J ф2{х,Ь) Ах + J ф2хАхАт + J аф2АхАт о д* д*

82 [ \ т [ \ т [ < / ф2 АхАт + ~2 тТ УЗ Да / ф2{х,Ьи) Ах +—т'^^^'к / ф2{х,Ьи)Ах. 1

¿2

В силу условия (5) ¿1 можно подобрать так, что а(ж, £) —о" > 0.

Обозначим

2(

4е[о,т].

В = 8ир / ^2(ж, ¿А) ¿ж. ^ [о,т]./

т ^ т \

1 - —шТ^З< 0.

о

Тогда

т

-2__

2о-,

V А=1 1 А=1

т _2

Условие (6) при достаточно малом значении Т ^ Нк гарантирует выполнение

А=1

неравенства

ш ^ ш

1 - ТО 53 ^ - ^2тТ 53 - 0'

А=1 1 А=1

что влечет за собой равенство

(х,<) * = 0. ( £ [„.я.

о

Тогда ад^ж,^ = ^(ж, = 0 и с учетом условия ад(ж, 0) = 0 можно утверждать, что ад(ж, = 0, т. е. и(ж, = «(ж, и оа(ж) = ^а(ж), к = 1,. .., т. Теорема 2 доказана.

*

ЛИТЕРАТУРА

1. Кириллова Г. А. Обратные задачи для параболических уравнений высокого порядка: автореф. дис.... канд. физ.-мат. наук. Рубцовск, 2004.

2. Кожанов А. И., Кириллова Г. А. О некоторых обратных задачах для параболического уравнения четвертого порядка // Мат. заметки ЯГУ. 2000. Т. 7, № 1. С. 35—48.

3. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн. вы-числ. математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 4. С. 694—716.

4. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: Элм, 1985.

Статья поступила 10 сентября 2014 г.

Николаев Олег Юрьевич Бурятский гос. университет, ул. Смолина, 24а, Улан-Удэ 670000 п1ко1аеу.о1eg1@уапдех.ги