О разрешимости начально-краевой задачи для одного класса вырождающихся уравнений соболевского типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

О РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

И, И, Кулешова

В работах [1-3] изучалась разрешимость первой начально-краевой задачи для уравнений

Ащ + Ви = /(х,£) с вырождающимися операторами А и В второго порядка по пространственным переменным (подобные уравнения часто называются уравнениями, не разрешенными относительно временной производной, или уравнениями соболевского типа). В настоящей работе мы рассмотрим некоторые простейшие модели указанных выше уравнений в случае вы-

АВ

выше статьях, цель настоящей работы — доказательство существования регулярных или «почти» регулярных решений.

Пусть В — интервал (0,1) оси Ох, Q — прямоугольник В х (0, Т), О < Т < +оо, а(х), Ъ(х), ао(х), Ьд(х) и /(ж,£) — заданные при х £ В, £ € [О, Т функции, А и В — операторы, заданные равенствами

д

Аи = — (а(х)их) + ао(х)и, дх

д

Ви = (Ъ(х)ихх) + Ъ0(х)и.

Краевая задача. Найти функцию и(х,£), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

Ащ + Ви = /(х,г) (1)

© 2006 Кулешова И. И.

и такую, что для нее выполняются условия

и(х,0) = 0, х е В, (2)

и((М) = ЦМ) = иж*(0,г) = ихх(м) = о, о<г<т. (з)

Теорема 1. Пусть выполняются условия

а(х) е С1^), Ь(х)ес3(0), а0(х)еС(О), ь0(х)ес(оу,

а(х) ^ О, ^ 0, а(х) — КХ ^ ^о > О,

а®(х) ^ — о-о < О, Ьо(х) ^ 0 при х £ |Ь«(ж)| < г =1,2, хеВ;

Ъ(0)Ъ(1) >0.

Тогда если функция/(х, такова, что /(х, е х, е

/(ж, 0) = О при х £ Б, то краевая задача (1)-(3) имеет решение такое, что

и{х,г) е Ъ(о,Т-№{В)), щ{х,г) е Ъ(о,т-,Щ(В)),

Ъ(х)ихххх(х,Ь) е и это решение единственно.

Доказательство. Воспользуемся методом регуляризации. Пусть £ — положительное число. Положим

д

аЕ{х) = а(х) + е, Аеи = —— (аЕ(х)их) + ао(х)и,

дх

ЬЕи = ЛЕЩ + Би + £Цхххххх-

Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и(х,г), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

ЬЕи = /(х,г) (1е)

и такую, что для нее выполняются условия (2), (3), а также условия

ихххх(о, г) = ихххх( 1, г) = о, о <г <т. (зе)

Краевая задача (1е), (2), (3), (Зе) при фиксированном положительном £ имеет решение ие(х,*) такое, что ие(х,Ь) € Ьто(0^Т^Ш^О)), х,*) € Ьто(0), х,*) € Ь2 (О) (см. [4]). Покажем, что для семейства функций |ие(х,~Ь)} имеют место априорные оценки, которые позволяют извлечь из этого семейства сходящуюся подпоследовательность и которые дадут для предельной функции принадлежность нужному классу и выполнимость для нее уравнения (1) и условий (2) и (3).

При получении оценок индекс «£» у решений краевой задачи (1е), (2), (3), (Зе) будем опускать. Рассмотрим равенство

г г

ЬЕпп ¿хйт = J J fu йхйт, ОБ ОБ

являющееся следствием уравнения (1е). Интегрируя по частям и используя граничные условия, нетрудно получить равенство

г

— "У а£(х)их(х, д,х + — J ао(х)ие(х, £) д,х + J J Ъи2хх<1хс1т

Б Б ОБ

г г г

Ъ$и? йхйт — £ ^ J и2ххх йхйт = J J fu йхйт.

ОБ ОБ ОБ

Условия теоремы, неравенство Юнга и лемма Гронуолла позволяют установить, что следствием данного равенства является априорная оценка

м ФИ м^ + ^м)^

Б

г г

|Ъ|иХх(x,т)dxdт + ^J ! иХхх йхйт ^ Ы\ (4)

ББ с постоянной Ы±, определяющейся лишь функцией и числами

йо и Т.

Равенство

г г

ЬЕииТ <1х<1т = J J /ит ¿хйт ОБ ОБ

столь же очевидным образом дает вторую априорную оценку

аеи2хт <1х<1т + I I иТ 3,х3,т

ОБ ОБ

\Ъ(х)\и2хх{+ ^ и2ххх{х,Ь) ¿х ^ (5)

Б Б

с постоянной М2, вновь определяющейся функцией /(х,г) и числами ао и Т.

Равенство

J Ъ{х)и2х{х,Ь) ¿х

Б

= —I Н^ах, г)и{х, — I ъ'( х, г)и{х, г) ¿х,

ББ

неравенство Юнга, условия теоремы и оценка (5) дают оценку

J \Ъ(х)\и2х{х,1) ¿х ^ М3

Б

с постоянной М3, определяющейся лишь числами Ы\, М2 и С • Данная оценка вместе с оценкой (4) и неравенством а{х) — Ъ{х) ^ > 0 из

их

J и2х{х,Ь) ¿х ^ М4 (6)

Б

с постоянной М4, определяющейся лишь числами Ы\, М3 и кд.

Равенства

г г

(.ЬЕи)тит <1х<1т = J J /тит <х<т,

ОБ ОБ

г г

{Ьеи)титт <1х<1т = J J fтитт <х<т ОБ ОБ

и аналогичные вышеприведенным рассуждения дают оценки, аналогичные оценкам (4)^(6), но для функции щ{х,Ь):

м ^¡^ х,Г,«х

Б

г г

Щиххт ¿х<т + ^ ! иХххт <х<т * Шь, (7)

ББ

аеи2хтт ¿х<!т + ь?тт <х<т

ОБ О Б

2

+ 1 Мх)^(М^ + ^ххЛМ)** * (8)

ББ

1и1г(^^ * Ш (9) Б

постоянные Ш5-Ш7 здесь определяются лишь функцией /(хкоэффициентами уравнения (1) и числом Т (уточним, что вследствие условия /(х,0) выполняется равенство щ{х, 0) = 0 при х € О; другими словами, для функции щ{х, Ь) выполняются те же граничные условия, что и для самой функции и(х,Ь)). Рассмотрим равенство

г г

ьеиихх ^=1 ¡/ихх <х<т.

ББ

Интегрируя по частям, нетрудно от данного равенства перейти к равенству

t t i J ae{х)и2хх(x,t)dx - J J bu2xxx dxdT + £ J J u2xxxx dxdr

D 0 D 0 D

t t t

auXTuxx dxdr —Il oqutuxx dxdr + — I I b"uxxxux dx dr

Б Б Б

г г г

+ Щ Ъ"'иххих — 11 Ъиихх <ъ*г +Ц /ихх ,ь*г.

ОБ ОБ ОБ

Применяя неравенство Юнга, используя условия теоремы и оценки (4)— (6) и (9), мы можем с помощью данного равенства получить неравенство

г г

J аЕ(х)и2хх{x,t)dx + J J \Ъ\и2ххх ёхйт + £ J ^ и2хххх ¿хйт

Б ОБ ОБ

г

^ 5 / / и?х х + М%

xx

D

5М

ющимся числом 5, функцией /(х,~Ь), коэффициентами уравнения (1) и Т

J Ъ{х)и2хх{х,г) ¿х

Б

= — J Ъ(х)иххх(х,г)их(х, г) ¿х — ! Ъ'(х)ихх(х,г)их(х,г)с!х, (10)

ББ

вновь неравенство Юнга и оценка (6) дают неравенство

г г

J аЕ(х)и2хх{x,t)dx + J J \Ъ\и2х dxdт ^ ^ J ^ и2хх dxdт + Мд Б ОБ ОБ

с произвольным положительным числом ^ и числом Ы$, определяющимся коэффициентами уравнения (1), функцией /(x,t) и числом Т. Неравенство а(ж) — Ь(ж) ^ ^ > 0 из условий теоремы и данное неравенство дают при малых фиксированных числах ¿1 априорную оценку для решений краевой задачи (1е), (2), (3), (Зе):

иХх dxdт+еj j иХххх йхйт < Ыю (11)

О В О В

Ы

функцией /(х, Ь) и числом Т.

Анализируя аналогичным образом равенство г г

J !(ЬЕп)тПххт dxdт = J J /тПххт СлСт, О В О В

используя равенство, аналогичное равенству (10), но для функции иг(x,t), оценку (9) и подбирая нужный параметр, возникающий вследствие применения неравенства Юнга, малым, получаем, что для решений краевой задачи (1е), (2), (3), (Зе) выполняется оценка

dxdт < Ып (12)

ххт В

Ы

(1), функцией /(x,t) и числом Т. Следующие равенства:

г г

Ь£иЬихххх с^Ст = I I /Ьихххх с^Ст,

ВВ г г

£//ЬЛххххх ГШТ = £/}/их ВВ

неравенство Юнга и ранее полученные оценки (7), (9), (11) и (12) дают последние необходимые априорные оценки решений краевой задачи

(1е), (2), (3), (Зе):

г г

ЪЧ^ <Ь*г + еЦ ^ * М1Ъ (13)

О В О В

г

ахат *м (14)

о В

с постоянными М12 и Ы±з, определяющимися лишь коэффициентами уравнения (1), функцией Ь) и числом Т.

Оценок (11)—(14) уже вполне достаточно для завершения теоремы. Возможность выбора из семейства решений |ие(х,Ь)} краевой задачи (1е), (2), (3), (Зе) нужной сходящейся последовательности |и£п(х,Ь)}, выполнение для предельной функции и(х,~Ь) уравнения (1) и принадлежность ее нужному классу вытекают из теоремы о возможности выбора из ограниченного в пространстве ¿2 множества слабо сходящейся последовательности (см., например, [5]) и из указанных выше априорных оценок.

Заметим, что из условий Ъ(0)Ъ(1) >0, Ъ(х) * 0 получаем, что числа ЪЪ

теорем вложения следует, что предельная функция и(х,~Ь) принимает граничные условия (3).

Единственность решений в требуемом классе очевидна. Теорема полностью доказана. Следствие. При выполнении условия

Ъ(х) < — Ъ0 < 0 при хёВ

п всех условий теоремы 1 для решения и(х,Ь) краевой задачи (1)-(3) будут выполняться включения п(х,Ь) £ ¿2(0, Т; "2 иг(х,Ь) £

ь2 (о ,Т"{В)).

Доказательство следствия очевидно.

Теорема 2. Пусть выполняются все условия теоремы 1 как для коэффициентов уравнения (1), так и для функции /^, Ь). Кроме того, пусть выполняются дополнительные условия

а(х) е С2(1У), а0(х) € С1 (15), Ъ0(х) € С1 (15); к0 - 4С2Т > 0; /хМ е им), /М = /М = о прнь е[о,т]. Тогда краевая задача (1)-(3) имеет решение и (г, Ь) такое, что и{т, Ь) е

и (0) щ(x,t) е и (0,Т-№№))•

Доказательство. Вновь рассмотрим краевую задачу (1е), (2), (3), (Зе) (е > 0). Для семейства решений {и^,^} этой задачи выполняются априорные оценки (4)-(9), (11) и (12). Рассмотрим равенство г г

Ьеи£и£хххх dxdт= /и%ххх dxdт.

хххх

ВВ

Интегрируя по частям как слева, так и справа, получаем равенство г г

В В В

г г

— ^ ^ ^ Ь и^хххи^хххх dxdт ^ ^ Ь иххх,ихххх dxd'т

ВВ г г

а и'ххтиххх dxdт ^ а ихтиххх dxdт

ВВ г г г

J ! аои£хтиххх dxdт + J J а$и%и%хх dx ]т + J ^ Ь$иехиеххх dxdт

О В О В О В

г г

£

Ь0и иххх ^^ / / /хиххх Жя^.

ВВ

Применяя неравенство Юнга, мы получим неравенство

г г

I ъЫ^^ + ] I\Ъ\иЕХххх ^ + г^хххх <Ь]т

в о в о В

t

« (4C + S,ff + (15,

О D

с произвольным положительным числом S и с числом М14, определяющимся лишь числом S, коэффициентами уравнения (1), функцией /(ж, i) и числом T. Равенство

/б(хК1( ж,^ж

D

= -J ^(xXxxxOMbLOM)^ "У Ь'^КххОМКхОМ)^

DD

неравенство Юнга и оценка (11) дают неравенство

t

lbl<L « S1 J J HKxxx dxdT + M15 (16)

DD

с произвольным положительным числом Si и с числом М15, определя-S

/(x,t) и числом T.

Очевидным следствием неравенств (15) и (16) является неравенство

t t JJ(a^ |b|) <1 « (4 ^ ^ )Ц <1 + Ma (17)

DD

с произвольным положительным числом Si и с числом М15, определя-S

/(x,t) и числом T.

Очевидным следствием неравенств (16) и (17) является неравенство

t t //(». + w ^ « (4 * ) // ^ + m„ (i8,

DD

с произвольным положительным числом ¿2 и с числом Ы16, определяющимся лишь числом ¿2, коэффициентами уравнения (1), функцией /(x, Ь) и числом Т. Используя теперь условия а^) — Ь^) ^ > О, — 4С|Т > О, подбирая число ¿2 малым и фиксируя, мы получим априорную оценку решений краевой задачи (1е), (2), (3), (Зе):

Ы

(1), функцией /^ Ь) и числом Т.

Полученная оценка (19), оценки (11), (12) и (14) (эта оценка, очевидно, имеет место и при выполнении условий теоремы 2), вновь тео-

и

сходящейся последовательности дают возможность перейти к пределу

е

{еп}) и в пределе получить требуемое. Теорема доказана.

1. Кожанов А. И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений // Докл. РАН. 1992. Т. 236, № 5. С. 781-786.

2. Kozhanov А. I Certain classes of degenerate Sobolev — Galpern equations // Sib. Adv. Math. 1994. V 4, № 1. P. 65-94.

3. Кожанов А. If. Вырождающиеся уравнения соболевского типа // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 1998. С. 4-13.

4. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: Элм, 1985.

5. Рисс Ф., Секефальви-Надь В. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

(19)

О D

ЛИТЕРАТУРА

г. Рубцовск

7 июля 2006 г.