О разрешимости некоторых гиперболических обратных задач с двумя неизвестными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ*)

И, Р, Валитов, А. И, Кожанов

Пусть В — интервал (0,1) оси Ох Я — прямоугольник В х (0, Т),

/(х,г), щ(х), щ(х), фо(г), ^{г), К(х) и К(х) — заданные функции, определенные при х € В, Ь € [О, Т], хд и х\ — заданные точки В такие, хх

Обратная задача I. Найти функции и(х,г), ^{г) и связан-

ные в прямоугольнике Я уравнением

иа - ихх + д2(г)и = /(х,г), (1)

при выполнении для функции и{х,€) условий

и(х,0) = щ(х), щ(х,0) = щ(х), х € В, (2)

и(о,г) = и(м) = о, о<г<т, (з)

и(х0,ь) = щ{ь), их( = о<г<т. (4)

Обратная задача II. Найтп функции и(х,г), ^(г) и связан-

ные в прямоугольнике Я уравнением (1), при выполнении для функции и(х,г) условий (2), (3), а также условий

и(х0,г) = щ{ь), и(хъ1) = ^(г), о<г<т. (5)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 06-01-00439) и Сибирского отделения РАН (междисциплинарный интеграционный проект № 48).

© 2007 Валитов И. Р., Кожанов А. И.

Обратная задача III. Найти функциии(х,1), gi(t) n^(t), связанные в прямоугольнике Q уравнением (1), при выполнении для функции u(x,t) условий (2), (3), а также условий

1 1

j Ko(x)u(x,t) dx = ^o(t), j Ki(x)u(x,t) dx = ^i(t), 0<t<T. (6)

В изучаемых обратных задачах НИ условия (2) и (3) суть условия обычной первой начально-краевой задачи, условия же (4), (5) и (6) суть условия переопределения; наличие этих условий объясняется тем, что помимо неизвестной функции и(х,~Ь) требуется найти также еще две неизвестные функции щ^) и

Нелинейные обратные задачи для гиперболических уравнений в различных постановках изучались во многих работах (см., например, [1-14] и имеющуюся там библиографию). Предложенные выше обратные задачи отличаются по постановке от изученных ранее, методы их исследования соответствуют лишь методам работы [14].

Введем обозначения

= (%!(*) - МЫ(*),

«01 (*) =

лл У1 ЛЛ Уо^)

ап(*)= АГЙ' а21(*) = -д1М' ь т - ^ ь т - г'0®

а,т = уга1тта01(£), Ац = угштах\ац (¿)|, г = 1,2, о^г^т о<г<т

Ба = уга!т ах|Ьй Ш\, ¡ = 0,1,2, о<г<т

Mi =

1 11

— J Uq"2 (x) dx + — J u'i'2(x)dx + J fxx{x, 0)uq" (x) dx о oo

T 1 1

У J flxt dxdt + + vrùrnœj f%x(x, t) dx

о 0

M2 = -(1 + 2B0I) + 4(BII +B2I), M3 = -(1 + 2B0I)T + 4MI, t) t)

Mn =

4M,

(2 - М2л/МдТ)2 ' Определим пространства ^ и V:

t *_

M2VM3

V0 = {v(x,t) : v(x,t) e Lœ(0,TWD П Wl(D)), Vt(x,t) e Lœ(0,T-,W\(D)), v«(x,t) e L^o,TLD))}; V = {v{x,t) : v(x,t) e Lœ (0,T;Wi(D) П W(D), Vt{x,t) e Lx(0,T-,W\D)) Vxxt(x,t) e L2(Q), Vtt{x,t) e L2(Q)}. Теорема 1. Пусть выполняются условия

T < T*;

Ait > ¿о>0 при t e [0 ,T};

Soi - (Au+A^Mo > 0.

f x, t

f(x,t) e L(0,T;Wi(D)nwlD)), ft(x,t) e L2(0,T;Wi(D)пЩ(D)), и для любых функций uq(x), ui(x), <^o(t) и фi(t) таких, что

u0(x) e WD) п Ww\D), Mx) e W\D),

<x e WD) п Ww\D), <(x) e W\D), Mt) e Wl([0,T]), Mt) e Wl([o,T}),

u0(x0) = <fo(0), u'0 (xo) = ^i(0), ui(x0) = ф°(0), u'1 (xo) = ¥°(0), обратная задача I имеет решение {u(x,t),q(t),q(t)} такое, ч то u(x,t) e Vo, uxx(x,t) e V0, e Lœ([0,T]), ®(x) e L^[0,T]).

Доказательство. Положим

То1 = (АЦ + А21)М0, то2 = (бЦ + Б21)М0.

Определим срезающие функции и С2(£):

£, если |£| < то, = { ТО, если £ ^ то, —То\, если £ ^ -ТО1,

£, если |£| < то, 02(£) = ^ то, если £ ^ то, —т2, если £ ^ —то2. Далее, определим функции и д2(Ь,у) (у(х,Ь) — заданная функ-

ция):

= а01(Ь) + С1(ац(ф(х0,£) + а21{Ъ)ух{ х0,Ь)),

д2(г,у) = ъ01(г) + с2(ь11(г)ь(х0,г) + ъ21(фх( хо,*)).

Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию у(х,Ь), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

Ъы — Ухх + + ч2{Ь,у)у = ¡хх{ х,Ь) (7)

и такую, что для нее выполняются условия

«(0,Ь) = «(М) = 0, 0<Ь<Т, (8)

у(х,0) = щ(х), уг(х,0) = и'1'(х), х £ В. (9)

Разрешимость данной задачи мы докажем с помощью метода регуляризации.

Пусть £ — положительное число. Рассмотрим следующую задачу: найти функцию у(х, Ь), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

«гг — Vхх + + ч2{ь,у)у — £«ххг = 1хх{х, Ь) (7е)

и такую, что для нее выполняются условия (8) и (9).

Вследствие ограниченности функций , V) и краевая за-

дача (7е), (8), (9) при принадлежности функции ¡хх(пространству ^{Я) и при принадлежности функций и$ (х) и и"(х) пространствам

о о

П и ^г(^) соответственно имеет решение ^х,^, при-

надлежащее пространству V, — доказывается это вполне аналогично доказательству соответствующего утверждения в [14]. Покажем, что для этих решений имеет место равномерная по е «хорошая» априорная оценка.

Рассмотрим равенство

г 1

|Vтт - VXxJr ¡1 (г, v)vт + (2(т, v)v - еVxxт\ Vxxт ¿х ¿т

о о

г 1

fxxvxxт ¿х ¿т.

О О

Интегрируя по частям, используя условия (8), (9) и неотрицательность функции а также применяя неравенство Юнга, нетрудно от

данного равенства перейти к неравенству

1 г 1

е[ /«:

О о

г 1 г 1 1

1 uxx\^^ 1 ° J J xxт

О 0 0

г 1 г 1

1 + В 01 В п

^ - ' ' т 1 2 I I 1 4 / "хх

0 0 0 0 о

г /1 \ \ / 1

,,— . . . vXт(х,т)в,х\ ¿т

Ь Ви ! \ |У ^ х,т)^\ |У ^т (х

о \о / \о

В21 У К( х0,т) \ ^У vX(x,т)dx\ ¡J vXт (x,т)dx\ ¿т + Ыг.

о \о / \о

Используя элементарные неравенства

—(/<.....*)'...........(/—

нетрудно перейти от (10) к неравенству 1 t 1

Ц Ш M)+VL( М)]^//^ dxdT

о оо

t i t i

< 1 +2^01 J j v2XT dx d,T + J j v2xx dx d,T

0 0 0 0

+ (Bu + B21) J I^J vlx(x,T)dà}j I^J vlT(x,T)dx^j dr + Mb (11) Положим

i

v

xx 0

Используя элементарное неравенство a ^ |aJ + | (a ^ 0), нетрудно вывести из (11) неравенство

t

z(t) <M2 J zi(T)dT + M3. о

Известные оценки решений интегральных неравенств [15] дают для функции z(t) оценку

M

z(t) <-2=-= М0. (12)

W (2 - М2а/МЗТ)2 V ;

Следствием оценки (12) являются оценки

\v(x,t)\^M0, \vx(x,t)\ ^ М0, (x,t)eQ. (13)

Из этих оценок вытекают равенства

С1(ац(ф(ж0,£) + а21(фж( х0,г)) = ац(г)ь(х0,г) + а21(фх( хо,Ь), 02(Ьц(г)ь(хо,г) + ь21(фж( х0,г)) = Ьц(г)ь(х0,г) + ь21(фх( х0,ь).

Другими словами, решение кривой задачи (7е), (8), (9) будет

решением уравнения

V« - ухх + [а01(г) + ац(г)ь(х0,г) + а21{Ь)ух{х0,Ь)]уг

+ [ь01(г) + Ьц(г)ь(х0,г) + - Жххг = 1хх(х,ь). (14)

Кроме того, для функции ю(х,Ь) будет выполняться априорная оценка

1 г 1

V"

J Шx, *) + ^хЛx, *)] ¿х + £ ! J -и2ххт ¿х ¿т < М4 (15) о оо

с постоянной М4, определяющейся лишь функциями /(х, Ь), щ(х), щ (х), и числом Т. Следующая априорная оценка:

г 1

У у иТт ¿хат < и5, (16)

о о

представляет собой простое следствие оценок (13) и (15).

Оценки (13), (15), (16) и являются нужными априорными оценками. Из них вытекает возможность предельного перехода в уравнении (7е) при £ ^ 0, а также принадлежность предельной функции пространству V) (необходимые детали доказательства можно найти в [14]). Определим функцию и(х,Ь) как решение задачи

ихх = V, и(0,Ь) = и(1,Ь) = 0.

Положим

= а01(Ь) + ац(г)ихх( х0,Ь) + а21(Ь)иххх( хо,Ь), = ь01(Ь) + Ьц{ь)ихх{ х0,г) + ь21{ь)иххх{ х0,г).

Функции и(х,Ь), д^Ь) и д2{Ь) и дадут решение обратной задачи I из требуемого класса (необходимые детали доказательства вновь можно найти в [14]).

Теорема доказана.

Определим класс

Ш = {{и(х,ь),д1(ь),д2(ь)}: и{х,ь) е У0, ихх(х,г) е У0,

Ф) е ьж([0,Т), » = 1,2, >0нРиЬ е[0,Т]}.

Теорема 2. Пусть для функций /(хщ(х), и

выполняются все условия теоремы 1. Тогда в множестве Ш обратная задача I не может иметь более одного решения.

Доказательство. Предположим, что обратная задача I имеет в множестве Ш два решения {и(х,Ь),д1(Ь),д2(Ь)} и {у(х,Ь), д1(Ь), д2(Ь)}. Положим = и(х,~Ь) — у(х, Ь). Для функции ,ш(х,Ь) выполняются

равенства

^ххгг ^хххх ""Ь д1

= [&(*) — д!(*)Ь + [д2(г) — д2(ф, (х,г) е (17) т(0,г)=тхх(0 = ^(1,Ь) = г^хх( М) = 0, 0<1<Т; (18) Цх, 0) = х, 0) = 0, х е В. (19)

Рассмотрим равенство г 1

/ —™хххх+ъю^ ™ххт ^

о о

г 1

= У У {[д\{т) — д\{г)]ют 'Шххг + дт — д2{т)]кШххг} ¿хбг.

о о

Интегрируя по частям, используя условия (18) и (19), представление функций д\(1), д2&), д^Ь), (Ь) через функции и(х,Ь) и принад-

лежность решений классу Ш и применяя лемму Гронуолла, нетрудно

показать, что будет выполняться тождество wxx(х, Ш) = 0 при (х, Ш) € Я-Очевидно, что оно дает следующее тождество: -ю(х, Ш) = 0 при (х, Ш) € Я. Из этого тождества и следует требуемое. Теорема доказана.

Положим

ой (*) = ¿у шты^) - ¥#(*)] - мшхъ*) - <р"ш, Ът{г) = дГй - - ^ (*)[/(*<>,*) - ,

«02 = уга1тт ^Ш, В02 = уга! тах \Ъп2 ШI, М2 = |(1 + 2В02) + 4(Вц +В21), = |(1 + 2В02)Т + 4Мь

О О

= -- 3_ .„, Т** =

(2-WsVlVgT)2' Теорема 3. Пусть выполняются условия

T < т**

Ai(t) > 60 > 0 при t е [О,T}-, «02 - (Au +A21)N0 > О. Тогда для любой функции f(x,t) такой, что

f(x,t) е Ь2 (О ,T;Wi(D) iWj (D) ), ft{x,t) е L2 (О ,T;Wi(D) nW (D) ), н для любых функций щ(х), ui(x), po(t) и фi(t) таких, что

щ(х) е WD П Wv\D, Mx) е W\(D),

<(x) е WD n W(D), <(x) е W\(D), Mt) е Wl([0,T]), Mt) е Wl([o,T}),

uo(xo) = фо(0), u0(xi) = ^i(O), ui(x0) = y>o(°), uifa) = p[(0),

обратная задача!! имеет решение {u(x,t),qi(t),q2(t)} такое, 4Tou(x,t) е

uxx(x,t) е У0, qi(t) е LTO([0,T), е L^[0,T]).

Доказательство этой теоремы проводится вполне аналогично доказательству теоремы 1. Функции и вычисляются через функцию п(х,€) следующим образом:

91 (¿) = а02^) + ац(г)ихх( х0,г) + а21{-Ь)пхх( хл,Ь),

Ы^) = ъ02^) + Ъц{-ь)пхх{ х0,г) + ъш{ь)пх^ х

Вспомогательное уравнение имеет вид = пхх(х,Ь))

Ъы - Ухх + [а02(г) + С1(ац(г)ь(хо,г) + а21(гУи(х1,Щу1

+ [М^ + с2(Ъ11(ф(х0^) + = 1хх( х,г),

Доказательство разрешимости вспомогательной задачи проводится точно так же, как проводилось доказательство разрешимости задачи (7)-(9). Найденная функция п(х, и указанные выше функции и 92 (¿) и дадут искомое решение обратной задачи II. Теорема доказана.

Для обратной задачи II имеет место теорема единственности, аналогичная теореме 2. Формулировать и доказывать эту теорему ввиду ее очевидности мы не будем.

Обратимся теперь к обратной задаче III. Положим

1

= J Ki(x)f(x,t)dx, ¿ = 0,1, о

к® = МШ® - Ж- М№№ -

= ^(да® - ж- ж(да® - ^

Далее, для заданной функции определим функции и

ш):

- Жо®

1

К0(1)и>х( 1,® - Ко(0)их(0- ! Ко(х)шх(х,^ dx

о

1

К1(1)шх( М) - - ! К(х)шх(х,^сЪ

ф2(Ь,т) = <р'0 (¿)

- ^ Ш

К1(1)мх( М) - Кф^О- I К[(х)юх(х,г)ё,х

о

1

К0(1Ж( М) - Ко(0Ж(0 - IК (х)ых {х,Ь)3,х

Определим необходимые постоянные:

к= ( |К0(1 Ж |К(0Ж ) \К'а(х)| ¿х ) угштгс|

|К(1 К (О/ К(х)| ¿х ) угштахЫ^)|

к2 = ( |Ко(1 ж |Ко(0Ж I Кх| ¿х ) угштгс КШ|

^(1 Ж К (0ж I К (х) | ¿х ) угштгс (¿) |,

/г3 = \-rai тах , к± = к2 [\-rai тт Д1(¿)1 1,

о^МТ А 1(£) о<е<т '

ш = \Taimm шШ, о<г<т

=

1

■ |к2(

^^ и х

(х)] ¿х

Т 1

/(х, О)мо(ж) (1х + - J J 1т (1хс1т + \Taimax J /2(х, (¿ж

о о

Д2 = -(1 + 2Л3) + 4 Л4, Л3 = -(1 + 2кз)Т + 4ДЬ

О О

^п —

4Д3

(2- Н2^/ЩТУ-

т ***_

Теорема 4. Пусть выполняются условия

т < т*** -Д^г) > ¿о>0 при г € [0 ,Т}; ¡1 - кхЯо > 0.

Тогда для любой функции /(х, г) такой, что /(х,г) € Ь2^), /г(х,г) € н для любых функций щ(х), ^о(г) и ^(г) таких, что

щ(х) € ^В) П В), Мх) € В),

мг) € ^([о,т]), мг) € ^([о,т]), 1 1

J Ко(х)щ(х) ¿х = 0), J К\ (х)щ(х) ¿х = ^(О),

о о 1 1

J Ко(х)и1(х) ¿х = ^о(0), J Кх^х ¿х = ¥>[(0), о о

обратная задача III имеет решение {и(х, г), д\(г), г)} такое, что

и(х,г) € у0, Ч1{г) € ьх([о,т]), ®(г) € Ьжф,т}).

Доказательство. Определим срезающие функции и 02(£) аналогично предыдущему, но с помощью чисел кхЕд и к2Ео соответственно. Далее, определим функции дх(ги д2(г,у) (у(х,г) — заданная функция):

и х, г

шуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

и« - ихх + д± (г, и)щ + д2 (г, и)и = /{х, г) (20)

и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3). Используя метод регуляризации и метод неподвижной точки, нетрудно показать, что задача (20), (2), (3) при выполнении условий теоремы имеет решение и(х, ¿), принадлежащее пространству Ц> (технические детали доказательства вновь см. в [14]). Более того, для решений и{х,£) будет выполняться оценка

Из равенств (21) вытекает, что найденная функция u(x,t) и построенные по пей функции qi(t) и q2{t) будут связаны в прямоугольнике Q уравнением (1). Повторяя соответствующие рассуждения [14], нетрудно показать, что для функции u(x,t) будут выполняться условия переопределения (6). Следовательно, функции u(x,t), qi(t) и q2(t) дадут искомое решение обратной задачи III.

Теорема доказана.

Вопрос о единственности решений мы вновь обсуждать не будем.

Замечание. В обратных задачах I—III условия (3) можно заменить условиями

1

о

Из этой оценки следуют равенства

= Mt,u), G2^2(t,uj) = (21)

Положим

ux(0 ,t) = ux( l,t)=0, 0<t<T,

или же условиями смешанной задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Романов В. Г. Некоторые обратные задачи для гиперболических уравнений. Новосибирск: Наука, 1977.

2. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

3. Романов В. Г. Устойчивость в обратных задачах. М.: Научный мир, 2006.

4. Anikonov Yu. Е. Multidimensional inverse and Ill-posed problems for differential equations. Utrecht: VSP, 1995.

5. Anikonov Yu. E. Formulas in inverse and Ill-posed problems. Utrecht: VSP, 1997.

6. Kabanikbin S. I., Lorenzi A. Identification problems of wave phenomena. Utrecht: VSP, 2000.

7. Savateev E. G. An inverse problem for the Burger's equation and its hyperbolic regularization // J. Inverse Ill-Posed Probl. 1993. V. 1, N 3. P. 231-244.

8. Savateev E. G. Well-posedness and reduction of an inverse problem for a hyperbolic equation // J. Inverse Ill-Posed Probl. 1994. V. 2, N 2. P. 165-180.

9. Denisov A. M. Determination of a nonlinear coefficient in a hyperbolic equation for the Goursat problem // J. Inverse Ill-Posed Probl. 1998. V. 6, N 4. P. 327-334.

10. Denisov A. M. Elements of the theory of inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.

11. Priiepko A. L, Orlovskv D. G., Vasin I. A. Methods solving inverse problems in mathematical physic. New York: Marcel Deccer, 2000.

12. Scbeglov A. Yu. The inverse problem of determination of a nonlinear sourse in a hyperbolic equation //J. Inverse Ill-Posed Probl. 1998. V. 6, N 4. P. 625-644.

13. Кулиев M. А. Многомерная обратная краевая задача для линейного гиперболического уравнения в ограниченной области // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, № 1. С. 98-101.

14. Валитов И. Р., Кожанов А. И. Обратные задачи для гиперболических уравнений: случай неизвестных коэффициентов, зависящих от времени // Вестн. НГУ. Серия математика, механика, информатика. 2006. Т. 6, вып. 1. С. 3-18.

15. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

г. Стерлшпамак, г. Новосибирск

15 сентября 2007 г.