Научная статья на тему 'Коэффициентные обратные задачи для квазигиперболических уравнений высокого порядка с интегральным переопределением'

Коэффициентные обратные задачи для квазигиперболических уравнений высокого порядка с интегральным переопределением Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
49
10
Поделиться
Область наук
Ключевые слова
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА / ИНТЕГРАЛЬНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЕ / МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ / АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ / СУЩЕСТВОВАНИЕ / ЕДИНСТВЕННОСТЬ / INVERSE PROBLEM / INTEGRAL CONDITION OVERRIDE / METHOD PARAMETER CONTINUATION / A PRIORI ESTIMATES / EXISTENCE / UNIQUENESS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Павлов Степан Степанович

Исследуется линейная коэффициентная обратная задача для квазигиперболических уравнений высокого порядка. Устанавливается разрешимость обратной задачи нахождения вместе с решением внешнего воздействия для уравнений высокого порядка по временной переменной при задании условия интегрального переопределения. Доказываются теоремы существования и единственности решения коэффициентных обратных задач.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Павлов Степан Степанович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

The inverse problem for a quasi-order hyperbolic equations with integral redefinition

We investigate the linear inverse problem for a quasi-order hyperbolic equations. The solvability of the inverse problem finding together with the decision of the external action of the high-order equations the time variable when setting the conditions of integral overdetermination. Existence and uniqueness theorems proved for the solution of inverse coefficient tasks.

Текст научной работы на тему «Коэффициентные обратные задачи для квазигиперболических уравнений высокого порядка с интегральным переопределением»

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2015. Том 22, № 3

УДК 517.946

КОЭФФИЦИЕНТНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЕМ С. С. Павлов

Аннотация. Исследуется линейная коэффициентная обратная задача для квазигиперболических уравнений высокого порядка. Устанавливается разрешимость обратной задачи нахождения вместе с решением внешнего воздействия для уравнений высокого порядка по временной переменной при задании условия интегрального переопределения. Доказываются теоремы существования и единственности решения коэффициентных обратных задач.

Ключевые слова: обратная задача, интегральное условие переопределение, метод продолжения по параметру, априорные оценки, существование, единственность.

S. S. Pavlov. The inverse problem for a quasi-order hyperbolic equations with integral redefinition.

Abstract: We investigate the linear inverse problem for a quasi-order hyperbolic equations. The solvability of the inverse problem finding together with the decision of the external action of the high-order equations the time variable when setting the conditions of integral overdetermination. Taking of evidence vayutsya existence and uniqueness of the solution of inverse coefficient tasks.

Keywords: inverse problem, integral condition override, method parameter continuation, a priori estimates, existence, uniqueness.

Введение

В работе исследуется линейная коэффициентная обратная задача для квазигиперболических уравнений — задача нахождения функций u(x, t) и q(t), связанных уравнением

(_1Г-1Д2mu _Аи + f)u = /(Ж; f) + q{t)h{x^ f) ^Dk =

Впервые постановку корректной краевой задачи для квазигиперболических уравнений предложил В. Н. Врагов [1], ряд результатов о разрешимости краевых задач, о свойствах решений этих уравнений рассматривались в работах И. Е. Егорова, В. Е. Федорова [2,3], А. Н. Терехова [4], А. И. Кожанова, Е. Ф. Шарина [5]. Обратные задачи для квазигиперболических уравнений ранее не рассматривались.

Линейные и нелинейные обратные задачи для гиперболических уравнений в различных постановках изучались в работах М. М. Лаврентьева [6], В. Г. Романова [7], Ю. Е. Аниконова [8-11], Ю. Я. Белова [12,13], Б. А. Бубнова [14,15],

(g 2015 Павлов С. С.

С. И. Кабанихина [16], А. И. Прилепко [17] и др. Задачи определения коэффициентов гиперболических уравнений по некоторой дополнительной информации об их решении имеют большое практическое значение [18-20].

Исследованию разрешимости обратной задачи определения внешнего воздействия для гиперболического уравнения с интегральным условием переопределения посвящены работы [21, 22]. Подобные обратные задачи для гиперболических уравнений ранее изучались в работах [23-27]. Разрешимость обратной краевой задачи для гиперболического уравнения с несколькими неизвестными источниками была исследована в работах И. Р. Валитова, А. И. Кожанова [25].

1. Постановка задачи

Пусть О — ограниченная область пространства К с гладкой границей Г, Q = О х (0,Т) — цилиндр с боковой границей Б = Г х (0,Т), /(х,г), с(х,г), Н(х, г), К(х, г) — заданные функции, т положительное целое число.

Обратная задача I. Найти функции п(х,г), д(г), связанные в цилиндре Q уравнением

(-1)т-1^2ти - Ап + с(х, г)п = /(х, г) + д(г)й(х, г), (1)

при выполнении краевых условий

0\и{х, 0) = 0, ¿ = 0,

(2)

0\и{х,Т) = 0, ] = 1,т—1, х (е о,

и(х,г)|я = 0, (3)

а также условия переопределения

/К(х-()п(х,()* = 0 при г6 (0'Т>• (4)

о

Обратная задача II. Найти функции п(х, г), д(г), связанные в цилиндре Q уравнением (1), при выполнении краевых условий (2) и

дп(х, г)

дv

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

= 0, (5)

5

а также условия переопределения (4) (V — вектор внутренней нормали к Г).

Без ограничения общности будем рассматривать случай т = 2. В случае т > 2 все выкладки вполне аналогичны приведенным, но более громоздкие. Введем обозначения

йо(*) = [ К(х, £)/г.(ж, £) ¿х, ао(£) = , , . [ К(х, £) ¿х,

о о

/1(3;, £) = /(ж, £) — ао{Ь)к{х, £), Н\ = тах |/г(ж,

Я

с\ = тах тах|сХ;(ж,£)|, Н2 = тах тах |/1хДж,

г=1,...,п д * г=1,...,п д

т

М1 = тах ( 23 ге[о,т ЬЦг)

М2 = тах

*е[0,т ^ НЦг)

(К2 (у, Ь) ву^ вхвЬ

Я п

(К(у,Ь)с(у,Ь))2 ву ) вхвЬ

Я п

М3 = тах

3

К2(у, Ь) ву) вхвЬ

Я п

М0 = тах (Мх, М2,М3}.

Через V будем обозначать анизотропное пространство функций, имеющих обобщенные производные по пространственным переменным до второго порядка включительно и по переменной Ь до четвертого порядка включительно. Норму в пространстве V определим естественным образом:

1|и||у

Я

+ Е + (О^У

1,3 = 1

вхвЬ

Теорема 1. Пусть выполняются условия

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

к{х, I) е С1 (я), с(ж, I) е к{х, I) е

/(х,г),/Хг(х,ь) е Ь2(Я), I = !,...,п, V*) + о, г е [о,т], с(х,т) > о при х еп, / (х,Ь)15 = Н(х,1)1з = 0 и существует Ло-' Ло > Т, [(Ао — < 0 при (ж,£) €= С},

М^ л0т2 ( Н2 +

Н2

2(1 - Л2с?Т6)

+ 2Н2 < 1.

Тогда существуют функция и(х,Ь) е V и функция д(Ь) е Ь2(0,Т), являющиеся решением обратной задачи (1)-(4).

Доказательство. Выполним вспомогательные построения. Для этого умножим уравнение (1) на функцию К(х,Ь) и проинтегрируем по области Из полученного равенства вычислим д(Ь):

Z (Ь,и)

д(Ь) = Z (Ь,и) — а0(Ь),

— | К(х,Ь)иии(х,Ь) вх п

— 1К ,х,()Ди(х,()вх + / К (^мммм)вх

Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию и(х, Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

—Щж — Ди + с(х, Ь)и = /х(х, Ь) + Z(Ь, и)Н(х, Ь),

(6)

3

2

2

и

1

и такую, что выполняются условия

щ(ж, 0) = и4(ж, 0) = и«(ж, 0) = 0, и4(ж,Т) = 0, ж е О, (7)

= 0. (8)

Докажем, что данная задача разрешима в пространстве V. Для этого воспользуемся методом регуляризации и методом продолжения по параметру.

Пусть е — положительное число. Рассмотрим новую краевую задачу: найти функцию и(ж,£), являющуюся в цилиндре Ц решением уравнения

—Щш — Ли + с(ж, — еА-щ = / (ж, £) + ^(£, и)Л.(ж, £) (9)

и такую, что выполняются условия (7) и (8).

Воспользуемся методом продолжения по параметру.

Пусть Л — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим задачу: найти функцию и(ж,£), являющуюся в цилиндре Ц решением уравнения

—и«« — Ли + с(ж, — еА-щ = /1(ж, £) + Л^ (£, и)Л.(ж, £) (10)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

и такую, что выполняются условия (7) и (8).

Покажем, что при фиксированном е и при принадлежности функции /1(ж, £) пространству Ь2(Ц) краевая задача (10е,л), (7) и (8) разрешима в пространстве V.

Согласно теореме о методе продолжения по параметру [28, гл. 3, § 14] задача (10е,л), (7), (8) будет разрешима в пространстве V, если она разрешима при Л = 0 и для всевозможных ее решений из пространства V имеет место равномерная по Л е [0,1] априорная оценка в том же пространстве [3, 29].

Разрешимость краевой задачи (10е,о), (7), (8) при фиксированном е и при принадлежности функции /1(ж,4) пространству Ь2(Ц) известна [3]. Покажем, что для всевозможных решений краевой задачи (10е,л), (7), (8) из пространства V имеет место нужная априорная оценка. Рассмотрим равенство

/[-^М) — ММ) + сммм) — ^^ммх^ —^ я

= У[/1(ж,г)+ Л^(¿,щ)^(ж,4)]щ4(ж,4)(Ло — ¿) ^ж^, (11) я

являющееся следствием уравнения (10е,л). Имеем т

— J ! Щыг(ж,1)щ(ж,1)(Ло — ■£) ¿ж^ о о

= ~У J ( ' ^ 0-¿хсИ + — J J и^г(х,1)с1х<И

о о о о

т

= ° 2—- J и^1.(х,Т)(1х + — J У £) с1хсИ, о о о

J ! Ди(х,Ь)щ(х,Ь)(Л0 — Ь) вхвЬ

п0

= I Ё / / —— ЛхМ + | Ё I I и2Х1(х, г) йхМ

^ ° J их^х>Т)с1х + — ^^ J У и2. (ж, £) скссИ,

! I ->:> **

т

1 [ Г д(и2(х,Ь)с(х,Ь)(Л0 — Ь))

п0

2У У дЬ

п0

т

+ \ I I Иж

п0

вхвЬ

11 (с(х'() — с'Ш)(Л°— ())"2(х,() вхв(

^ 0 ^ J и2(х, Т)с(х, Т) с1х

2

п т

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1

+

— J !(с(х, £) — с4(ж, ¿)(Ао — 1))и2(х, £) г1хгМ,

2 п0

т

—е Дщ(х,Ь)щ(х,Ь)(Л0 — Ь) вхвЬ = е^^ / / и2Х1±(х, Ь)(Л0 — Ь) вхвЬ.

п 0 1-1 п 0

Интегрируя по частям и используя неравенство Юнга, из (11) нетрудно получить неравенство

^ J и2г(х, £) ¿хсИ + — J и2, (ж, £) ¿хсИ

1-1 Я

+ — J(с(х, £) — С((ж, ¿)(Ао — 1))и2(х, £) йхМ Я

+ J и2Х11(х,Ь)(\о — Ь) с1хскЬ+ —- J и2г(х,Т)с1х 1-1Я п

(Л° 2 Т) Е / ^ + (Л° ~ Т) I с(х,Т)и2(х,Т)ах

1-1 п п

$2 + ¿2 [■ 1С

< 1 2 2 у и2{х,Ь) ¿хМ + Щ у /2(ж, £)(Ао -Ь)2йх(И

+ щ J(Ао - г)2г2ц, и)к2(х, г) ¿х<и

2 я

(здесь ¿1 и ¿2 — произвольные положительные числа). Имеет место неравенство

J и2(ж, £) < Тщ^ж,^ (12)

яя Положим ¿1 = ¿2 = С учетом неравенства (12) и условий теоремы 1 получим

J щ^ж,^ + ^^ J (ж,4)

Я 1=1 я

я

+ 2еЛо ^^ J иХи (ж, + (Ло — Т) J щ^ж, Т) ¿ж

г=1 Я о

п ,,

+ (Ло — Т/ (ж, Т) ¿ж <

г=1 о

< Л2Т^ /2(ж, ¿) ¿ж^ + Л2 Я?Т^ Z2(4, и) ¿ж^. (13) яя Умножим уранение (10) на функцию (—Ли4(ж, £))(Ло — £). Интегрируя по частям в левой части и применяя неравенство Юнга в правой части, получим неравенство

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

J иХ;«(ж,£) + У [Ли(ж, £)]2 "'_1 Я Я

п «

+ ^^ / (ж,£)[с(ж,£) — с4(ж,£)(Ло — £)]

г=1 Я

П ^ П р

+ (Ло — Т) /

Т) ¿ж + (Ло — Т) ^ / с(ж, Т(ж, Т) ¿ж

г=1 о г=1 о

+ 2е У[Ли4(ж,4)]2(Ло — ¿) ¿ж^ Я

< + ^ ! /12(ж,4)(А0-¿) ¿жсЙ

я 3 Я

+ ¿4 У^ [ и2 АхйЬ + 72 [ h2i(x,t)(Xo—t)2Z2(t,u)dxdt г=1 Я г_1 Я

П л 1 п л

+ J (Ао — ¿)2с2. (ж, Ь)и2(х, Ь) с1хсИ + ^ ^^ J и2 .¿(ж, Ь) с1,хс1,1.

г_1 Я

Положим

8з = тД, ¿4 =

л/2(1 ~А2с2Тв) У2

З-УЬ, 04- -?-,

С учетом неравенства (12) и условий теоремы 1 получим

J и2.и(х,Ь) вхвЬ + J[Дu(x,t)]2 вхвЬ 1-1Я Я

п ,,

+ / (с(х,Ь) — с1(х,Ь)(Л0 — Ь))и2. (х,Ь) вхвЬ

1-1 Я

+ е ^[Дщ(х, Ь)]2(Л0 — Ь) вхвЬ + (Л0 — Т) и1гЫ(х, Т) вх Я 1-1 п

+ А2Н2Т2

J Z2(Ь,и) вхвЬ. (14)

2(1 — Л2 с2Т6)

Я

Рассмотрим равенство /(—^ Ь) — Ди(х,Ь) + ф,Ь)и(х,Ь) — еДЩ(х, Ь))(—Щш(х,Ь)) вхв

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Я

= !(/1(х,Ь)+ ЛZ(t,u)h(x,t))(—utttt(x,t)) вхвЬ. (15) Я

Положим 82 = З2 = Интегрируя по частям и используя неравенство Юнга, из (15) получим неравенство

J и2ш(х,Ь) вхвЬ — J и221Ы(х,Ь) вхвЬ — 2J с(х,Ь)и^1. (х,Ь) вхвЬ Я 1-1Я Я

^^ (м) вхвЬ+4/ ^^ (м) вхвЬ ЯЯ

+ е ^^ J и11Ы(х,Т) вх + J и2(х,Т)сш(х,Т) вх 1-1 п п

= — 2 ! с1 (х,Т)и(х,Т)ии(х,Т) вх — 2 ! с(х,Т)и(х,Т)uttt(x, Т) вх п п

< 2 ! /2(х, Ь) вхвЬ + 2Н2 ! Z2(Ь, и) вхвЬ. (16)

ЯЯ

Из неравенств (13), (14), (16) вытекает неравенство J п^111(х,Ь) вхвЬ + J[Дu(x,t)]2 вхвЬ + еЛ0 J[Ди^х,^]2 вхс

Я Я Я

+ / [1 + (с(ж, — с*(ж,г)(Ло — ¿))]иХ, (ж, *) ¿ж^

г_1 Я

Я Я

п ,,

— С^ш(ж, ¿))и2(ж, *) ¿жй* — ^^ / ^«(ж,*) ¿жй*

г_1 я

п „ п „

+ 2еЛо^ / ¿ж^ + (Ло — Т/ (ж, Т) ¿ж

г_1 Я г_1 о

+ 4 J (ж,

¿)щ2(ж, *) ¿ж^ + (е + (Ло — Т)) ^ / Щ^й(ж, Т) ¿ж Я г_1 о

+ (Л0 - Т) J и%{х, Т) йх < [\20Т2 + у + J Д2(ж, йх<И

о Я

+ (л2т2 (Я2 + _%2Т6)) + 2Я12) /^ (1?) о 1 Я

Числовое неравенство

(й1 + • • • + ар)2 < + • • • + ар), и неравенство Гельдера дают неравенство

2 /п \ 2

г2(г,и)< 3

лос*)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

К(у,г)щт(у,г) ¿у + к(у,*)Ли(у,*) ¿у

о

+ V./ к (у,*)с(ж,*)и(у,*) ¿у

о

Имеют место неравенства

3 {[ \2

к{у,г)иии{у,г) лу

2п

ло(*)

Я

^ J к2(у^)<1у ) ( / иии(у^)<1у ) ^^

о Я о

I ! и "! Нп, \ I { 1ч,

Нш(

^ / ( I (К2^'*)^ ) I ( I иии(у^)<1у ) ^^

Я о Я о

3 2 2

< I (.К" (у,Ь)йу^ йхвЛ^ j игш{х,Ь) йхвЛ

о Я о я

0 Я

3

</( I {К{у,1)с{у,г))2 йхМ

п

Я п

(К(у,Ь)с(у,Ь))2 ву^ вхв^ ! и2(х,Ь) вхвЬ

Я

< М2 и2(х, Ь) вхвЬ, Я

3 (

- Ч(Ь) J

Я п Я п

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

< тах( , „, . ' ' ' л„. \ \ / „.2/

т

Я п Я

-¡Щ ^ к{у,1)&и{у,1)<1у 0 Я

3

<

<

Я п

3

К2(у, Ь) ву [Ди(у, Ь)]2 ву вхвЬ

п

К2(у, Ь) в^ вхвЬ ^ ![Ди(у, Ь)]2 ву^ вхвЬ

л

Я п Я п

< J (У К2(у,Ь) <1у^ ¿хсИ^ ![Аи(х,Ь)]2 ¿хсИ

0 Я п я

< М^[Ди(х, Ь)]2 вхвЬ, Я

постоянные М1, М2, М33 здесь определяются ^х,Ь), К(х,Ь) и областью О,

Н2

Л^Т2 ( Я2 + 2 \ I о 1^2 \ /

о-1 I "1 ^ оп _ I + 2Я12) / ^^

2(1 — Л2с2Т 6)^

Я

<М0(Л2Т2(Я12+2(1Д2Г6))+2Я12) Х /(/ и2(у, Ь) ву + /ЦшЫ) ву + ![Ди(у, Ь)]2 в^ вхвЬ

Я п п п

Щ \

2(1-Х2с2Т^) 22

< М0 ( Х2Т2 Я2 + —- 2 ) + 2Н\

х j (и2(х, Ь) + и2ш(х, Ь) + [Ди(х, Ь)]2^ вхвЬ. (18)

Я

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Неравенства (18), (17) и условии теоремы 1 дают априорную оценку

^1-М0(Л2Т2(Я12+2(1_^г6))+2Я12

2

х и2ш(ж,4) + У[Ди(ж,£)]2 д д

+ еАо J[Ди4(ж, £)]2 + ^^ У[1 + (с(ж,4) — с4(ж,£)(Ао — (ж, £) д 1=1 д

+ /(I - *<*. о)«) ** + /0 - «<*. „(Л. -.) - о

д д

- М0 (А*Г2 (ях2 + 2(1_д1с2Г6)) + 2Я?) ) ¿хс11

п п п

— / + 2еАо ^^ / £)

г=1д 1 г=1д

+ (А0 — Т) ^^У (ж,Т) ¿ж + с«(ж,¿)и2(х, £) г=1 о д

+ <е + <Ао — т» £ / ^„,ж.т)* + ,Ао—т, / 4с,Т) *

г=1 о о

< ^т2 + у + У ¡1{х, I) йхйг + м4, (19) д

где М4 определяется функциями Л.(ж,£), /(ж,£), К(ж,£) и числами е, Т, Ао, Я1.

Из оценки (19) и теоремы о методе продолжения по параметру [28, гл. 3, § 14] следует, что при фиксированном е краевая задача (10е,л), (7), (8) разрешима в пространстве V для всех чисел А из отрезка [0,1]. Другими словами, краевая задача (10е,л), (7), (8) имеет решение ие(ж, £), принадлежащее V.

Далее получим равномерные по е оценки и обоснуем предельный переход при е ^ 0.

Действуя так же, как при получении оценки (19), но интегрируя по переменным ж^ в слагаемых с функциями /1(ж, £), покажем, что для семейства функций {ие(ж, £)} выполнено неравенство

У и2ш(ж, £) + У [Ди(ж, £)]2 + еАо J[Ди4(ж, £)]2 д д д

п

+ / [1 + (с(ж, £) — с4(ж, £)(Ао — ¿))]иХ. (ж, £)

г=1 д

+ У — 2с(ж, ¿) ¿хсИ

д

+ У (с(ж, £) — С4(ж, ¿)(Ао — £) — сШ4(ж, ¿))и2(ж, £) д

п „ п „

— ^^ / + 2еАо ^^ / иХ.4(ж, ¿)

+ (Ао—Т > £ / *(жТ > *+4 / °»(ж-(,"2(ж'() **

г=1 о д

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+ (е + (Ао — Т)) ¿У <„(ж,Т) ¿ж + (Ао — Т^«24(ж, Т) ¿ж

< (2 + А^Т2) / /?,) ^ + Е / Л2,(*, *) ^

д г=1 д

1 \2 И2гГ2 \ ОН2 \ ! г72!

+ (т; + + 2Я^ J и) йхйг. (20)

Из (20) получаем априорную оценку

(1 — М5)^У «?ш(ж,-£) ¿ж^ ^У[Ди(ж,4)]2 ¿ж^ + еАо У [Д«(ж,-£)]2 ¿ж^ д д д

+ У [1 + (с(ж, ¿) — с4(ж, ¿)(Ло — ¿))]и2. (ж, ¿) с1хсИ + У — 2с(ж, и2г(х, £) ¿хсИ г=1 д д

+ У (с(ж, £) — с4(ж, £)(Ао — £) — сш<(ж, £) — Мб)и2(ж, £) д

п ^ п р

— I »^¿¿(ж,^) + 2еАо / »^¿(ж,^)

•=' д ' *=1 д

+ (Л„ - Т) ¿/(ж,Т) ^ + 4/ ^Ц»^) *«

г=1 о д

+ (е + (Ао — Т)) £ У и£,й(ж, Т) ¿ж + (Ао — Т^»¿(ж, Т) ¿ж

о

М5 = М0 ( ^ + А2Я2Т2 + 2Я2 ].

< (2 + Л^Т2) У /?(*, ,) + + ^ Е У Л2. (*> ')

постоянная Мб в которой определяется функциями Л.(ж,£), К (ж, , с(ж, £), областью О, числами Ао, Т и

Из оценки (21) следует, что в семействе |»е(ж, £)} решений краевых задач (10е), (7), (8) можно переходить к пределу при е ^ 0. Предельная функция будет принадлежать пространству V и представлять собой решение краевой задачи (6)-(8).

Покажем, что решение »(ж,£) и функция д(£) дадут искомое решение обратной задачи I. Для этого умножим уравнение (1) на функцию К(ж,4) и проинтегрируем по О. Получим равенство

Фии(г) = ¿4 (У № *) = 0. (22)

о

Из однородных начальных условий обратной задачи I следует, что имеет место равенство = 0 при t £ (0,T). Это означает, что для решения u(x,t) краевой задачи (6)—(8) будет выполняться условие переопределения (4). Вместе с принадлежностью функций u(x, t) и q(t) требуемым классам все это и означает, что функция дает искомое решение обратной задачи I. Теорема доказана.

В случае обратной задачи 2 можно установить аналогичный теореме 1 результат.

Теорема 2. Пусть выполняются условия

h(x, t) G C\Q), c(x, t) G C\Q), K(x, t) G C\Q), f (x,t),fXi (x,t) £ L2(Q), i = 1,...,n, ho(t)=0, t £ [0,T], c(x,T) > 0 и существует Ao такое, что Ло > Т, [(Ло — t)c(x, t)\t < 0 при (ж, t) G Q,

Тогда существуют функция u(x, t) £ V и функция q(t) из пространства L2[0, T], являющиеся решением обратной задачи II.

Доказательство теоремы 2 проводится вполне аналогично доказательству теоремы 1.

Замечание. В заданном уравнении (1) вместо оператора Лапласа можно рассмотреть общий эллиптический оператор 2-го порядка.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Врагов В. Н. О постановке и разрешимости краевых задач для уравнений смешанного типа // Математический анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск: Наука, 1987. С. 5-13.

2. Егоров И. Е. О фредгольмовой разрешимости первой краевой задачи для уравнения смешанного типа четного порядка // Мат. заметки ЯГУ. 2013. Т. 20, вып. 2. С. 48-56.

3. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1995.

4. Терехов А. Н. Краевая задача для уравнения смешанного типа // Применение методов функционального анализа к решению задач математической физики и вычислительной математики: Сб. науч. тр. / АН ССР. Сиб. отд-е, Ин-т математики. Новосибирск, 1979. С. 128-137.

5. Кожанов А. И., Шарин Е. Ф. Задача сопряжения для некоторых неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка // Укр. мат. вюник. 2014. Т. 11, № 2. С. 181202.

6. Lavrentiev M. M. Inverse problems of mathematical physics. Utrecht: VSP, 2003.

7. Romanov V. G. Investigation methods for inverse problems. Utrecht: VSP, 2002.

8. Anikonov Yu. E. Formulas in inverse and ill-posed problems. Utrecht: VSP, 1997.

9. Anikonov Yu. E. Inverse and ill-posed sources problems. Utrecht: VSP, 1997.

10. Anikonov Yu. E. Inverse problems for kinetic and other evolution equations. Utrecht: VSP, 2001.

11. Anikonov Yu. E. Multidimensional inverse and ill-posed problems for differential equations.

Utrecht: VSP,1995.

12. Belov Yu. Ya. Inverse problems for parabolic equations //J. Inverse Ill-posed Problems, 1993.

V. 1, N 4. P. 283-305.

13. Belov Yu. Ya. Inverse problems for partial differential equations. Utrecht: VSP, 2002.

14. Бубнов Б. А. О корректных краевых и обратных задачах для некоторых классов эволюционных уравнений: Дис. ... докт. физ.-мат. наук: 01.01.02. Новосибирск, 1988.

15. Бубнов Б. А. К вопросу о разрешимости многомерных обратных задач для гиперболических уравнений. Новосибирск, 1987. (Препринт / ВЦ СО АН СССР; № 713).

16. Кабанихин С. И. О нелинейной регуляризации многомерных обратных задач для гиперболических уравнений // Докл. АН СССР. 1989. Т. ???????, № 4. С. 791-795.

17. Прилепко А. И. Обратные задачи теории потенциала (эллиптические, параболические и гиперболические уравнения и уравнения переноса) // Мат. заметки. 1973. Т. 14, № 5. С. 755-767.

18. Обратные задачи электродинамики / Кабанихин С. И., Романов В. Г. и др. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1984.

19. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2009.

20 Калинина Е. А. Численное исследование обратной задачи восстановления плотности источника двумерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии // Дальневост. мат. журн. 2004. Т. 5, № 1. С. 89-99.

21. Павлов С. С. Исследование обратной задачи восстановления плотностей источников одномерного волнового уравнения // Мат. заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, вып. 1. С. 93-99.

22. Павлов С. С. Обратная задача восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении с интегральным переопределением // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, вып. 1. С. 81-93.

23. Валитов И. Р. О разрешимости двух обратных задач для гиперболических уравнений // Труды Стерлитамакского филиала Академии наук Республики Башкортостан. Серия «Физико-математические и технические науки». Вып.3 / Отв. ред. К. Б. Сабитов. Уфа: Гилем, 2006. С. 64-73.

24. Валитов И. Р. Обратные задачи для гиперболических уравнений: Автореф. дис. . . . к. ф.-м. н. / Стерлитамакская гос. пед. академия, 2009.

25. Валитов И. Р., Кожанов А. И. Обратные задачи для гиперболических уравнений: случай неизвестных коэффициентов, зависящих от времени. Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2006. Т. 6, вып. 1. С. 3-18.

26. Kozhanov A. I., Safiullova R. R. Linear inverse problems for parabolic and hyperbolic equations // Inverse and I'll-Posed Problems, 2010, V. 18, N. 1. C. 1-24.

27. Сафиуллова Р. Р. О разрешимости линейной обратной задачи нахождения правой части составного вида в гиперболическом уравнении // Вестн. ЮУрГУ, серия «Математическое моделирование и программирование». 2009. Т. 37, вып. 4. С. 93-105.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

28. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

29. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения.

Баку: ЭЛМ, 1985.

Статья поступила 28 августа 2015 г. Павлов Степан Степанович

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Институт математики и информатики,

кафедра математической экономики и прикладной информатики, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000 ststepmath@mail.ru