CC BY
121
Челябинский физико-математический журнал. 2018. Т. 3, вып. 4- С. 395-407.
УДК 517.953 Б01: 10.24411/2500-0101-2018-13402
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
А. И. Кожанов1", А. Х. Кодзоков2,6
1 Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия 2Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова, Нальчик, Россия
"[email protected], [email protected]
В работе изучаются дифференциальные уравнения с кратными характеристиками (дифференциальные уравнения составного типа) вида
д3
(ut - аих) + вAyu + ju = f (x,y,t)
(a, в, Y — постоянные). Для данных уравнений предлагаются постановки новых краевых задач, для предложенных задач доказываются теоремы существования и единственности регулярных (имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в уравнение) решений. Техника доказательства основывается на методе регуляризации. Изучаемые в работе уравнения представляют по своей структуре уравнения, называемые в литературе уравнениями, не разрешенными относительно производной. Для изучаемых задач указываются некоторые возможные обобщения.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения с кратными характеристиками, краевые задачи, регулярные 'решения, существование и единственность 'решения.
m
Введение
Пусть П есть ограниченная область из пространства Кт переменных ... , у с гладкой (для простоты — бесконечно дифференцируемой) границей Г, 3 есть область из пространства Мт+2 переменных (х, у, таких, что х Е (0,1), у = (уъ ... ,ут) Е П, £ Е (0,Т), 0 < Т < Далее, пусть f (х,у,Ь) — заданная функция, определяемая при (х,у,£) Е <3, а, в и 7 — заданные действительные числа, Ау есть оператор Лапласа по переменным у\,... ,ут, к — целое неотрицательное число.
В области 3 рассмотрим уравнение
д 2 k+
1
(ut - aux) + вu + Yu = f (x,y,t). (1)
дх2к+1У ^ " ^ 1
При к = 0, а = 0 оно представляет собой модель линеаризованного уравнения Линя — Рейснера — Цзяня [1-3]. Задача Коши и начально-краевые задачи для подобных уравнений изучались в работах [4-7]. В случае к = 0, а = 0, т =1 для уравнения (1) изучалась разрешимость задачи Коши в работах [8; 9]. Заметим, что (1) можно трактовать как уравнение, не разрешённое относительно производной по времени.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (проект 18-51-41009).
По своей структуре изучаемые в работе уравнения имеют некоторое сходство с линеаризованными уравнениями Кадомцева — Петвиашвили [10]; краевые задачи для подобных уравнений изучались в работах [11; 12].
В настоящей работе будут изучаться уравнения вида (1), представляющие собой как обобщение уравнений Линя — Рейснера — Цзяня, так и уравнений, исследовавшихся в [8; 9]. Более точно, в работе будут изучаться уравнения (1) в случаях: а) к = 1, а > 0;б) к = 1, а = 0. Случай к = 1, а < 0 отдельно рассмотрен не будет вследствие того, что он очевидным образом сводится к случаю а). Заметим также следующее. Изучаемые в работе уравнения имеют модельный вид. Вместе с тем полученные ниже результаты легко можно перенести на уравнения (1), в которых а, в и 7 есть функции переменных х,у,г, оператор Лапласа Ду заменен более общим эллиптическим оператором, действующим по переменным у1,. . . ,ут, в уравнение (1) добавлены младшие члены, и т. п. Что же касается случая к > 1, то подходы, представленные ниже, вполне позволяют предложить для него постановки краевых задач, аналогичные приведённым ниже, и исследовать их корректность.
Итак, в настоящей работе будет изучаться разрешимость в области Q краевых задач для уравнений (1) в случае к =1, а > 0. В случае а = 0 разрешимость (существование и единственность решения) будет установлена в пространстве У с нормой
в случае а > 0 — в пространстве У1, норма в котором определяется равенством
Здесь и далее все производные понимаются как обобщённые по С. Л. Соболеву производные. Очевидно, что пространства У и У1 будут банаховыми.
1. Постановка задач
В области Q рассмотрим уравнение (1) в случае а), при этом для простоты будем считать, что выполняется условие а =1. Через Ь1 обозначим дифференциальный оператор, действие которого на заданной функции у(х,у,г) определяется равенством
LlV = уххх - ухххх + вДуV + чу.
Краевая задача I: найти функцию и(х,у,г), являющуюся в области Q решением уравнения
¿1 и = f (х,у,г)
(2)
и удовлетворяющую условиям
и(х,у, 0) = 0, (х, у) е (0,1) х П,
(3)
и(0,у,г) = их(0,у,г) = 0, (у,г) е п х (0,т), ихх(1,у,£) = иххх(1,у,г) = 0, (у,г) е п х (0,т),
и(х,у,г)|хе(од),уег,4е(о,т) =
(4)
(5)
(6)
Краевая задача II: найти функцию u(x,y,t), являющуюся в области Q решением уравнения (2) и такую, что для неё выполняются условия (3) и (6), а также условия
u(0, y, t) = 0, (y,t) E (0,1) x Q,
Ux(1,y,t) = Uxx (1, У, t) = Uxxx (1, У, t) = 0, (y,t) E (0,1) x Q.
Краевая задача III: найти функцию u(x,y,t), являющуюся в области Q решением уравнения (2) и такую, что для неё выполняются условия (3) и (6), а также условия
u(0,y,t) = u(1,y,t) = 0, (y,t) E Q x (0,T), (7)
Uxx(0,y,t) = uxx(1,y,t) = 0, (y,t) E Q x (0,T). (8)
Рассмотрим теперь уравнение (1) в случае б). Через L0 обозначим дифференциальный оператор, действие которого определяется равенством
LoV = Vxxxt + ß^y v + Yv.
Краевая задача IV: найти функцию u(x, y, t), являющуюся в области Q решением уравнения
Lou = f (x,y,t), (9)
удовлетворяющую условиям (3), (4) и (6), а также условию
uxx(1,y,t) = 0, (y,t) E Q x (0,T). (10)
Краевая задача V: найти функцию u(x, y, t), являющуюся в области Q решением уравнения (9) и такую, что для неё выполняются условия (3), (6) и (7), а также условие
uxx(0,y,t) = 0, (y,t) E Q x (0,T). (11)
2. Разрешимость краевых задач I—V
Исследование разрешимости краевых задач I-V будет проведено с помощью метода регуляризации, метода продолжения по параметру и априорных оценок.
Теорема 1. Пусть выполняются условия
ß> 0, y< 0. (12)
Тогда для любой функции f (x,y,t), такой, что f(x,y,t) E L2(Q), fx(x,y,t) E L2(Q), f (1,y,t) = 0 при t E (0,T), y E Q, Ayf (x,y,t) E L2(Q), f (x,y,t) = 0 при x E (0,1), t E (0,T), y E Г, краевая задача I имеет в пространстве V1 решение, и при том ровно одно.
Доказательство. Пусть е — положительное число, L1,£ есть дифференциальный оператор, действие которого определяется равенством
Li,£v = Liv - evxxxxx + еА2v,
xxx
Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и(х,у,£), являющуюся в области 3 решением уравнения
Ll,eU = f (х,у,г) (13е)
и такую, что для неё выполняются условия (3)-(5), а также условия
ихххх(0,у,г) = 0, (у,г) е п х (0,т), (14)
Ду и(х, у, г)|хе(о,1),уег,*е(о,т) = 0. (15)
Прежде всего покажем, что при фиксированном е и при функции f(х,у,г) из пространства краевая задача (13£), (3)-(5), (14), (15) будет иметь решение
и(х,у,г), такое, что и(х,у,г) е У1, Дуи(х, у,г) е
Воспользуемся методом продолжения по параметру. Пусть Л есть число из отрезка [0,1]. Рассмотрим задачу: найти функцию и(х,у, г), являющуюся в области Q решением уравнения
иххх, еиххххх + еДуиххх Л (ихххх - вДуи - 7и) = f (х,у,г) (13в,л)
и такую, что для неё выполняются условия (3)-(5), (14) и (15). Согласно теореме о методе продолжения по параметру [13, ч. II, гл. 7, § 7.2; 14, гл. III, § 14], краевая задача (13е,л), (3)-(5), (14), (15) при фиксированном е и при всех Л из отрезка [0,1] будет иметь решение и(х, у, г), такое, что и(х, у, г) е У1, Д^иххх(х,у, г) е если
выполняются условия:
1) краевая задача (13£,0), (3)-(5), (14), (15) имеет решение, принадлежащее тому же классу;
2) для всевозможных решений и(х, у,г) краевой задачи (13£,л), (3)-(5), (14), (15), таких, что и(х,у,г) е У1, Дуиххх(х,у,г) е выполняется оценка
1|иИ?1 У и '"^У "»хх"^/ иххх5 N /2<"у<Й
д д д д
(16)
с постоянной N0, определяющейся лишь числами в, 7, Т, е и областью П.
Выполнение пункта 1) очевидно, поскольку краевая задача (13£,0), (3)-(5), (14), (15) представляет собой первую начально-краевую задачу для параболического относительно функции эд(х, у, г) = иххх(х, у, г) уравнения; найдя же функцию иххх(х,у,г), нетрудно затем с помощью условия (4) и условия ихх(1,у,г) = 0 найти саму функцию и(х,у,г) (принадлежность которой требуемому классу очевидна).
Покажем, что и пункт 2) выполняется. Рассмотрим последовательно равенства
г 1
' [иххх, - еиххххх + еД?иххх - Л (ихххх - вДи - 7и)] ^х^Т
о о п
г 1
III ^ххх«!ха!уа!т, (17)
ооп
г 1
[^иххх, еиххххх + еДуиххх Л (ихххх вДуи 7и)] Дуиххх^у^т
ооп
г 1
^ У У f Дуиххх^х^у^Г, (18)
ооп
t 1
f K«, - euxxxxx + еА?u„ - Л (u„, - ßAyu - 7u)] umdxdydT
0 0 П
г 1
II I f А2и1ххх&х<1у<1т, (19)
0 0 п
в которых £ есть произвольное число из отрезка [0, Т]. Интегрируя по частям слева, складывая полученные равенства, учитывая условие (12) и затем применяя неравенство Юнга и лемму Гронуолла, получим, что для решений и(х,у,Ь) краевой задачи (13£,д), (3)-(5), (14), (15) выполняется оценка
^xxO^ + E ulxxVi (x,y,t) + [Auxxx(x,y,t)]2 \dxdy+ 0 П i=l
t 1
/г. г. у т т х
/ \ ихххх + ^ ] и хххху^ + (Ауихххх) + ^ ] (Ауиххху1) + (А2иххх) <
0 0 п г=1 г=1
< N1 У f 2(!х(1у(И, (20)
Я
в которой £ Е [0,Т], постоянная N1 определяется числами Т и е. На следующем шаге рассмотрим равенство
г 1
I I \ихххг еиххххх + еА2иххх ^ (ихххх - вАуи - 7и)] ихххххАЫуАт =
0 0 П
t 1
= I I I fuxxxxxdxdydr, (21)
0 0 П
в котором вновь t есть произвольное число из отрезка [0, T]. Интегрируя по частям, применяя неравенство Юнга и используя оценку (20), получим, что для решений u(x,y,t) краевой задачи (13£,д), (3)-(5), (14), (15) имеет место оценка
i t 1
У У u2xxxx(x,y,t)dxdy + eJJJ u'xxxxxdxdydT < N2J f2dxdydt, (22) 0 n 0 0 П Q
в которой вновь t E [0,T], постоянная N2 определяется числами ß,Y,T и е.
Из оценок (20) и (22), а также из самого уравнения (13£,д) очевидным образом следует, что имеет место третья оценка
t 1
III u2xxxTdxdydT < N3У f 2dxdydt, (23)
0 0 П Q
в которой t E [0,T], постоянная N3 определяется числами ß,Y,T и е.
Оценки (20), (22) и (23) и дают требуемую оценку (16). Следовательно, пункт 2) для краевой задачи (13е,д), (3)-(5), (14), (15) выполняется. Вместе с выполнением
i
пункта 1) это означает, что краевая задача (13£), (3)-(5), (14), (15) имеет решение и(ж,у,£), такое, что и(ж,у,£) е VI, Ау;Иж2х(ж,у,£) е ^(Ф).
Итак, краевая задача (13£), (3)-(5), (14), (15) имеет решение м£(ж,у,£), принадлежащее указанному выше классу. Покажем, что для этого решения (а фактически для всего семейства {и£(ж,у,¿)}£>0 решений задач (13£), (3)-(5), (14), (15)) при
вы-
полнении всех условий теоремы на функцию f (ж, у, £) будет иметь место априорная оценка, равномерная по е (индекс е при получении оценок писать не будем).
Вновь рассмотрим равенства (17)-(19), но теперь в этих равенствах положим Л =1. Интегрируя слева по частям так же, как раньше, и дополнительно в равенствах (18) и (19) интегрируя по частям справа по переменным у^ ..., ут, далее, вновь применяя неравенство Юнга и лемму Гронуолла, получим, что для решений и(ж,у, £) выполняется оценка
0 п
и„
т х
г=1
4 1
+е
и„
00п
+ V и2
1 / J жжжжуг г=1
т
+ (Аи хххх )2 О , (Аи
г=1
^жжжуг
г
)2 + (А2 ижжж) Г
< N4
<э
f2 + Е £ + (Ау f )2
г=1
^ж^у^т <
(24)
в которой £ е [0,Т], постоянная N4 определяется лишь числом Т.
Аналогично, рассматривая равенство (21), взятое при Л =1, дополнительно интегрируя справа по частям (по переменной ж), получим вторую априорную равномерную по е оценку
4 4 1
/ / + е / /
0п
0 0 п
< N5
3
f2 + Е & + (Ау f )2 + *
г=1
постоянная N5 в которой определяется лишь числами в, 7 и Т. Последняя требуемая оценка
(25)
4 1
0 0 п
Мжжжт ^Ыу^Т < N6
<э
f2 + Е £ + (Ауf )2 + £
г=1
(26)
вновь очевидным образом вытекает из предыдущих; постоянная N здесь определяется лишь числами в, 7 и Т.
Все необходимые равномерные по е оценки получены. Покажем, что эти оценки дают возможность осуществить процедуру предельного перехода и в пределе получить решение краевой задачи I.
Выберем последовательность {ег}г°=1, такую, что ег > 0, ег ^ 0. Соответствующие решения краевых задач (13£г), (3)-(5), (14), (15) будем обозначать и (ж, у,£).
1
Оценки (24)-(26) и свойство рефлексивности гильбертовых пространств означают, что существуют последовательности {1^ }^=1 натуральных чисел и функция u(x,y,t), такие, что при k ^ <х имеет место слабая в пространстве L2(Q) сходимость последовательностей
Щк (x,y,t) ^ u(x,y,t), utk xxxx (x ,y,t) ^ uxxxx(x,y,t) , ulkxxxt(x, y,t) ^ uxxxt(x,y,t),
Ayuik (x,y,t) ^ Ayu(x,y,t),
elk ulkxxxxx (x, y,t) ^ 0, eik
Ayulkxxx (x, y,t) ^ 0.
Заметим, что из свойства слабой замкнутости гильбертовых пространств следует, что предельные функции u(x,y,t), uxxxx(x,y,t), uxxxt(x,y,t), Ayu(x,y,t) будут принадлежать пространству L2(Q). Далее, отсюда очевидным образом следует, что для предельной функции u(x, y, t) будет выполняться уравнение (2) и краевые условия (3)-(5). Следовательно, предельная функция u(x, y, t) будет искомым решением краевой задачи I.
Единственность решений краевой задачи следует из простейшего анализа равенства (17), взятого при е = 0, Л = 1 и f (x,y,t) = 0. Из этого равенства и граничных условий (3)-(5) вытекает u(x,y,t) = 0 в Q. А это и означает единственность решений краевой задачи I.
Теорема полностью доказана. □
Теорема 2. Пусть выполняется условие
ß < 0, y > 0.
Тогда для любой функции f (x,y,t), такой, что f(x,y,t) E L2(Q), fx(x,y,t) E L2(Q), f(1,y,t) = 0 при t E (0,T), y E Q, Ayf(x,y,t) E L2(Q), f(x,y,t) = 0 при x E (0, 1), t E (0, T), y E Г, краевая задача II имеет в пространстве Vi решение, и при том ровно одно.
Доказательство этой теоремы проводится полностью аналогично доказательству теоремы 1.
Перейдем к исследованию разрешимости краевой задачи III. Прежде всего заметим, что в этой задаче, в отличие от задач I и II, стороны цилиндра Q {x = 0} и {x = 1} равноправны, и что эта задача требует применения иных подходов, нежели те, которые применялись при исследованиях разрешимости задач I и II (для сравнения см. работы [6] и [12]).
Теорема 3. Пусть выполняется условие
ß < 0, y > 0.
Тогда для любой функции f (x,y,t), такой, что f (x,y,t) E L2(Q), ft(x,y,t) E L2(Q),
ftt(x,y,t) E L2(q), fx(x,y,t) E L2(Q), fxt(x,y,t) E L2(Q), f (x,У, 0) = 0 при x E (0,1), y E Q, f (0, y, t) = f (1,y, t) = 0 при y E Q, t E (0, T), краевая задача III имеет, в пространстве V1 решение, и при том ровно одно.
Доказательство. Вновь воспользуемся методом регуляризации и методом продолжения по параметру. Для произвольного числа е и для числа Л из отрезка [0,1] определим оператор L1,£,д с помощью равенства
Ll,s^u = е(uxxtt - uxxxxt - Ayuxxt) + )^Llu.
Рассмотрим семейство краевых задач: найти функцию и(ж,у, £), являющуюся в области Q решением уравнения
¿М,л« = f (ж,у,£) (27е,л)
и такую, что для неё выполняются условия (3), (6)-(8), а также условие
и, (ж, у, 0) = 0, (ж, у) е (0,1) х П. (28)
Через ^^У^^) обозначим линейное пространство функций г>(ж,у, £), принадлежащих пространству и таких, что их обобщённые производные ^Х(ж,у,£), ^хх(ж,у,£), Ууг(ж,у,£), г^.(ж,у,£), г, = 1.. .т, ^(ж,у,£) существуют и также принадлежат ¿2^), с нормой
Далее, определим пространства У2, У3 и д:
У2 = {^(ж,у,£) : ^(ж,у,£) е Уь^О^у^ е ^¿ЛФ} , Уз = {^(ж,у,£) : а(ж,у,£) е У>,^(ж,у,;£) е У>} , д = Мж, у, £) : и(ж, у, £) е ¿2^), ^(ж, у, £) е ¿2^), ^(ж, у, 0) = 0, ж е (0,1), у е П}. Зададим нормы в этих пространствах:
II II _ и ц2 и |,2 \1/2
1Мк = ^Мк + 11^ Ц^1,^); , 1Мк = Ыъ + N1*,)1/2, П^Нд = ОМ!^) + 1ЫЦ2Ю))1/2.
Очевидно, что все определённые выше пространства будут банаховыми.
Покажем с помощью теоремы о методе продолжения по параметру, что краевая задача (27е,л), (3), (6)-(8), (28) при фиксированном е и при принадлежности функции f (ж,у,£) пространству д будет разрешима в пространстве У3 для любого числа Л из отрезка [0,1].
Прежде всего заметим, что краевая задача (27е,0), (3), (6)-(8), (28) при фиксированном е и при функции f (ж, у,£) из пространства д имеет решение и(ж, у,£), принадлежащее пространству Уз — это следует из общей теории параболических уравнений [15; 16], поскольку краевая задача (27е,0), (6), (8), (28) представляет собой первую начально-краевую задачу для параболического уравнения относительно функции и>(ж, у, £) = и22;(ж, у, £); найдя же функцию эд(ж, у, £), нетрудно с помощью условий (3) и (7) найти и саму функцию и(ж,у,£).
Далее, необходимая априорная оценка
1Мк < СсП/Пд, (29)
равномерная по Л, всевозможных решений и(ж,у, £) краевой задачи (27е,л), (3), (6)-(8), (28) также является очевидной, поскольку она представляет собой обычную энергетическую оценку [15; 16] решений первой начально-краевой задачи для параболического относительно функции и22;(ж, у, £) уравнения с подчинёнными младшими членами, а также для этого же уравнения, продифференцированного по переменной £ (уточним лишь, что необходимое для продифференцированного уравнения
условие игг(х,у, 0) = 0 очевидным образом вытекает из условия (3) и из условия
I(х,у, 0) = 0).
Как уже говорилось выше, из разрешимости в пространстве V задачи (27£,0), (3), (6)-(8), (28), оценки (29) и теоремы о методе продолжения по параметру следует, что краевая задача (27£д), (3), (6)-(8), (28) будет иметь решение и£(х,у,Ь), принадлежащее пространству У3. Покажем, что для семейства [п£(х, у, ^}£>0 имеет место априорная оценка, равномерная по е и позволяющая организовать процедуру предельного перехода.
Положим О = (0,1) х П. Интегрируя по частям в равенствах
г г
J У Ь1^£11П£и£ххтйхйуйт = J J Кхт йхйуйт,
о а о а
г г
J J(Ь1£1 и£)т и£хтт йхйуйт = J ¡и и£хтт йхйуйт,
о а о а
г г
J У ¿1,£,1и£(и£хххт + АУи£хт)АхАу^т = У У 1 (и£хххт + АУи£хт)dxdУdт,
о а о а
используя условия теоремы на функцию I(х,у, ¿) и применяя неравенство Юнга, получим, что для решения и£ краевой задачи (27£,1), (3), (6)-(8), (28) имеет место оценка
^ у, tyixdy + J J )2 + (Д.^)2] } +
. G 0 G
t))2 + (uXXXX(x,V,t))2 + (Дуи£(Х, y, t))2] dxdy <
< CJ (f2 + f2 + f2t + f2x + f2t)dxdydt, (30)
Q
в которой постоянная C не зависит от е. Этой оценки вполне достаточно для предельного перехода, т. е. для выбора сходящейся последовательности {u£l (x, y, t)}i°=1, такой, что предельная функция u(x, y, t) будет принадлежать пространству V1 и будет представлять собой решение краевой задачи II (см. завершение доказательства теоремы 1).
Единственность в пространстве Vi решений краевой задачи III очевидна (вы-
t
текает, например, из анализа равенства f f L1uuxxTdxdydr = 0). Теорема доказа-
0 G
на. □
Перейдем к исследованию разрешимости краевых задач IV и V. Теорема 4. Пусть выполняется условие
ß < 0, y > 0.
Тогда для любой функции f (x,y,t), такой, что f (x,y,t) Е L2(Q), ft(x,y,t) Е L2(Q), fx(x, y, t) Е L2(Q), ftt(x,y,t) Е L2(Q), fxt(x, y, t) Е L2(Q), fxtt(x, y, t) Е L2(Q),
t
е
f (ж, у, 0) = 0 при (ж, у) е С, f (0,у,£) = f (1, у, £) = 0 при у е П, £ е (0,Т), краевая задача IV имеет в пространстве У решение, и при том ровно одно.
Доказательство. Вновь воспользуемся методом регуляризации. Именно, для положительного числа е рассмотрим задачу: найти функцию и(ж,у, £), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения
иххх4 еижжжж + в Ауи + f (ж, y, £)
и такую, что для неё выполняются условия (3), (6)-(8). Согласно теореме 3, эта задача при выполнении всех приведённых выше условий на функцию f (ж,у,£) имеет решение и£(ж,у,£), принадлежащее пространству У1. Для семейства {м£(ж,у,¿)}£>0 имеет место априорная оценка
У [<22;(ж,у,£)]2^у + У [Ауи£(ж,у,£)]2 ^у + ^У (иХ222< Я0 с с д
с постоянной Я0, определяющейся лишь функцией f (ж, у, £), числами Т, в и 7. Её доказательство проводится так же, как проводилось доказательство оценки (30). Эта оценка позволяет стандартным образом организовать процедуру выбора последовательности, сходящейся к решению краевой задачи IV, принадлежащему пространству У).
Единственность решений очевидна. Теорема доказана. □
Теорема 5. Пусть выполняется условие
в > 0, 7 < 0.
Тогда для любой функции f (ж,у,£) такой, что f (ж, у,£) е /;(ж,у,£) е
/х(ж,у,£) е ¿2^), /;;(ж,у,£) е ¿2^), Л*(ж,у,£) е ¿2^), /2;;(ж,у,£) е ¿2^), f (ж, у, 0) = 0 при (ж, у) е С, f (0,у,£) = f (1, у, £) = 0 при у е П, £ е (0,Т), краевая задача V имеет в пространстве У решение, и при том ровно одно.
Доказательство. Заменой г =1 — ж краевая задача V сводится к краевой задаче IV (в частности, условие (11) сводится к условию (10)). Имея же разрешимость в пространстве У краевой задачи IV автоматически получим разрешимость краевой задачи V. Теорема доказана. □
Список литературы
1. Lin, C. C. On two-dimensional non-steady motion of a slender body in a compressible fluid / C.C.Lin, E.Reissner, H.S.Tsien // Journal of Mathematical Physics. — 1948. — Vol. 27, no. 3. — P. 220-231.
2. Мамонтов, Е. В. Об уравнениях малых возмущений в нестационарном околозвуковом потоке газа / Е.В.Мамонтов // Нестационарные проблемы механики: сб. науч. тр. — Новосибирск : Сиб. отд-е АН СССР, Ин-т гидродинамики, 1978. — № 37. — С. 139-143.
3. Глазатов, С. Н. О разрешимости пространственно-периодической задачи для уравнения Линя — Рейсснера — Цзяня трансзвуковой газовой динамики / С. Н. Глазатов // Мат. заметки. — 2010. — Т. 87, вып. 1. — С. 137-140.
4. Ларькин, Н. А. К теории линеаризованного уравнения Линя — Рейсснера — Цзяня / Н. А. Ларькин // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики: сб. науч. тр. — Новосибирск : Сиб. отд-е АН СССР, Ин-т математики, 1980. — С. 126-131.
5. Ларькин, Н. А. О линеаризованном уравнении нестационарной газовой динамики / Н. А. Ларькин // Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа: сб. науч. тр. — Новосибирск : Сиб. отд-е АН СССР, Ин-т математики, 1983. — С. 107-118.
6. Кожанов, А. И. О постановке и разрешимости краевой задачи для одного класса уравнений, не разрешённых относительно временной производной / А. И. Кожанов // Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики: сб. науч. тр. — Новосибирск : Сиб. отд-е АН СССР, Ин-т математики, 1987. — С. 84-98.
7. Глазатов, С. Н. Задача с данными на характеристике для линеаризованного уравнения трансзвуковой газовой динамики / С. Н. Глазатов // Сиб. мат. журн. — 1996. — Т. 37, № 5. — С. 1019-1029.
8. Умаров, Х. Г. Полугруппы операторов и точные решения задач анизотропной фильтрации / Х. Г. Умаров. — М. : Физматлит, 2009. — 219 с.
9. Умаров, Х. Г. Явный вид решения линеаризованного трехмерного уравнения Линя — Рейсснера — Цзяня с постоянными коэффициентами / Х. Г. Умаров // Вестн. Уфим. гос. авиац. техн. ун-та. — 2011. — Т. 45, № 5. — С. 113-119.
10. Кадомцев, Б. Б. Об устойчивости уединённых волн в слабо диспергирующих средах / Б. Б. Кадомцев, В. И. Петвиашвили // Докл. АН СССР. — 1970. — Т. 192, № 4. — С. 753-756.
11. Абылкаиров, У. Т. Разрешимость краевой задачи для линейного уравнения Кадомцева — Петвиашвили / У. Т. Абылкаиров // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики: сб. науч. тр. — Новосибирск : Сиб. отд-е АН СССР, Ин-т математики, 1980. — С. 3-6.
12. Кожанов, А. И. Краевые задачи для некоторых классов уравнений, не разрешённых относительно временной производной / А. И. Кожанов // Мат. заметки Якут. гос. ун-та. — 2013. — Т. 20, вып. 1. — С. 35-43.
13. Берс, Л. Уравнения с частными производными / Л.Берс, Ф.Джон, М.Шехтер. — М. : Мир, 1966. — 352 с.
14. Треногин, В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. — М. : Наука, 1980. — 496 с.
15. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. — М. : Наука, 1967. — 736 с.
16. Ладыженская, О. А. Краевые задачи математической физики / О. А. Ладыженская. — М. : Физматлит, 1973. — 407 с.
Поступила в 'редакцию 07.07.2018 После переработки 11.09.2018
Сведения об авторах
Кожанов Александр Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, Новосибирск, Россия; e-mail: [email protected].
Кодзоков Азамат Хасанович, старший преподаватель кафедры алгебры и дифференциальных уравнений, Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова, Нальчик, Россия; e-mail: [email protected].
406
A. H. Ko^aHOB, A. X. Kog3OKOB
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2018. Vol. 3, iss. 4. P. 395-407.
DOI: 10.24411/2500-0101-2018-13402
BOUNDARY PROBLEMS FOR A CLASS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH MULTIPLE CHARACTERISTICS
A.I. Kozhanov1a, A.Kh. Kodzokov2,6
1Sobolev Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the RAS, Novosibirsk, Russia
2Kabardino-Balkarian State University named after H.M. Berbekov, Nalchik, Russia [email protected], [email protected]
In this paper we study differential equations with multiple characteristics (differential equations of the composite type) of the form
d3
dx (ut - aux) + ft Ay u + ju = f (x, y, t),
(a, ft, y are constants). For these equations, we propose the formulation of new boundary-value problems, for the proposed problems we prove the existence and uniqueness theorems for regular solutions (having all the generalized in the sense of S.L. Sobolev derivatives entering the equation). The technique of proof is based on the regularization method. The equations studied in this paper represent, by their structure, equations that are called in the literature by equations that are not resolved with respect to the derivative. Some possible generalizations are indicated for the problems under study.
Keywords: differential equations with multiple characteristics, boundary value problems, regular solutions, existence and uniqueness of a solution.
References
1. Lin C.C., Reissner E., Tsien H.S. On two-dimensional non-steady motion of a slender body in a compressible fluid. Journal of Mathematical Physics, 1948, vol. 27, no. 3, pp. 220-231.
2. Mamontov Е.V. Ob uravneniyakh malykh vozmushcheniy v nestatsionarnom okolozvukovom potoke gaza.[On the equations of small perturbations in a nonstationary transonic flow of gas]. Nestacionarnye problemy mekhaniki [Nonstationary problems of mechanics], Novosibirsk, Siberian Branch of USSR Academy of Sciences, Hidrodynamics Institute, 1978, no. 37. Pp. 139-143. (In Russ.).
3. GlazatovS.N. On solvability of a spatial periodic problem for the Lin — Reissner — Tsien equation of transonic gas dynamics. Mathematical Notes, 2010, vol. 87, iss. 1-2, pp. 130-134.
4. LarkinN.A. K teorii linearizovannogo uravneniya Linya — Reysnera — Tszyanya [To the theory of the Lin — Reissner — Tsien linearized equation] Korrektnye krayevye zadachi dlya neklassicheskikh uravneniy matematicheskoy fiziki [Well-posed boundary value problems for nonclassical equations of mathematical physics], Novosibirsk, Siberian Branch of USSR Academy of Sciences, Mathematics Institute, 1980. Pp. 126-131. (In Russ.).
5. LarkinN.A. O linearizovannom uravnenii nestatsionarnoy gazovoy dinamiki [On the linearized equation of the nonstationary gas dynamics]. Neklassicheskie uravneniya i uravneniya smeshannogo tipa [Nonclassical equations and equations of mixed type], Novosibirsk, Siberian Branch of USSR Academy of Sciences, Mathematics Institute, 1983. Pp. 107-118. (In Russ.).
6. KozhanovA.I. O postanovke i razreshimosti krayevoy zadachi dlya odnogo klassa uravneniy, ne razreshyonnykh otnositel'no vremennoy proizvodnoy [On the statement and solvability of the boundary value problem for a class of equations not solved with respect to the time derivative]. Krayevye zadachi dlya neklassicheskikh uravneniy matematicheskoy fiziki [Boundary value problems for nonclassical equations of the mathematical physycs], Novosibirsk, Siberian Branch of USSR Academy of Sciences, Mathematics Institute, 1987. Pp. 84-98. (In Russ.).
7. GlazatovS.N. A problem with data on a characteristic for a linearized equation of transonic gas dynamics. Siberian Mathematical Journal, 1996, vol. 37, iss. 5, pp. 898906.
8. Umarov Kh.G. Polugruppy operatorov i tochnye resheniya zadach anizotropnoy filtratsii [Semigroups of operators and exact solutions of the anisotropic filtration problems]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2009. 216 p. (In Russ.).
9. Umarov Kh.G. Yavnyy vid resheniya linearizovannogo tryokhmernogo uravneniya Linya — Reysnera — Tszyanya s postoyannymi koehffitsientami [The explicit form of the solution of the linearized three-dimensional equations of the Lin — Reissner — Tsien with constant coefficients]. Vestnik Ufimskogo gosudarstvennogo aviatsionnogo tekhnicheskogo universiteta [Bulletin of Ufa State Aviation Technical University], 2011, vol. 45, no. 5, pp. 113-119. (In Russ.).
10. Kadomtsev A.I., Petviashvili V.I. Ob ustoychivosti uyedinyonnykh voln v slabo dispergiruyushchikh sredakh [On the stability of solitary waves in weakly dispersing media]. Doklady AN SSSR [Reports of USSR Academy of Sciences], 1970, vol. 192, no. 4, pp. 753-756. (In Russ.).
11. Abylkairov U.T. Razreshimost' krayevoy zadachi dlya lineynogo uravneniya Kadomtseva — Petviashvili [Solvability of a boundary value problem for the linear Kadomtsev — Petviashvili equation]. Korrektnye krayevye zadachi dlya neklassicheskikh uravneniy matematicheskoy fiziki [Well-posed boundary value problems for nonclassical equations of mathematical physics], Novosibirsk, Siberian Branch of USSR Academy of Sciences, Mathematics Institute, 1980. Pp. 3-6. (In Russ.).
12. Kozhanov A.I. Krayevye zadachi dlya nekotorykh klassov uravneniy, ne razreshyonnykh otnositel'no vremennoy proizvodnoy [Boundary value problems for certain classes of equations not solved with respect to the time derivative]. Matematicheskie zametki Yakutskogo gosudarstvennogo universiteta [Mathematical Notes of Yakut State University], 2013, vol. 20, no. 1, pp. 35-43. (In Russ.).
13. BersL., JohnF., SchechterM. Partial Differential Equations. American Mathematical Society, 1964. 343 p.
14. TrenoginV.A. Funktsional'nyy analiz [Functional Analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1980. 496 p. (In Russ.).
15. Ladyzhenskaya O.A., Solonnikov V.A., Ural'tseva N.N. Linear and Quasi-linear Equations of Parabolic Type. American Mathematical Society, 1988. 648 p.
16. Ladyzhenskaya О.А. Krayevye zadachi matematicheskoy fiziki [Boundary value problems of mathematical physics]. Moscow, Fizmatlit Publ., 1973. 407 p. (In Russ.).
Accepted article received 07.07.2018 Corrections received 11.09.2018
