Начально-краевая задача для дифференциального уравнения четвертого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ

риодической функции g G Wp [0,1j:

f (i)+LT f (t) + ...+Ln f (t)

n+1

g(t)\[0,T] - ^(t) - \ f(t)+LTf(t) + ...+L

при 0 <t < 1 — nT,

1f (t)

+ Z2(t),

при 1 — nT <t <T,

где функции Ыт/(г) = /(г + ТЫТ/(г) = = /(г + кТ). Функции х\(г) и х2(г) удовлетворяют линейному дифференциальному уравнению

х(2р)(г) — х(2р-2) (г) +... ± х(г) = о,

соответственно на отрезках 0 < г < 1 — пТ и 1 — пТ < г < Т. Каждая из функций х\(г) и х2(г) линейно зависит от 2р параметров, которые выбираются так, чтобы ф € W2 [0,Т], функция ф на отрезке [0, Т] была периодична периода Т и доставляла минимум (1).

Замечание 1. Доказательство теоремы 3 аналогично доказательству теоремы 2 с использованием формулы интегрирования по частям.

Замечание 2. Аналогично (1) можно сформулировать более простую вариационную задачу в пространстве Соболева W2l [а, Ь]:

J^(T) = тт 11|/' — д\\Ь2ад : д € &2,т[а, Ь^ , (4)

где / € W2 [а, Ь]. Решением будет служить периодическая составляющая / вместе с линейным трендом.

Представленный в работе численный алгоритм может быть использован при построении математического аппарата обработки сигналов, применен при создании автоматизированных систем цифровой обработки сигналов.

Литература

[1] Дмитриев, Е. В. Гармонические естественные спектры и аппроксимация коротких сигналов / [Эл. вар.]. -иИЬ: http://short-signal-sp.pochta.ru

[2] Козаченко, М. С. Выделение периодической составляющей конечного сигнала в пространстве Соболева / М. С. Козаченко, В. В. Славский // Материалы ХЫХ Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". - Новосибирск, 2011. - С. 101.

[3] Козаченко, М. С. О периодической составляющей конечного сигнала в Соболевских пространствах / М. С. Козаченко, В. В. Славский // Материалы Международной научной конференции "Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование". - Волгодонск, 2011 - С. 9.

УДК 517. 95

НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

И. О. Коркина, Н. А. Чуешева

INITIAL BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR DIFFERENTIAL EQUATION FOURHT ORDER

I. O. Korkina, N. A. Chuesheva

Исследованием разрешимости краевых задач для уравнений четвертого порядка занимаются многие математики в России и за рубежом. Данная работа посвящена исследованию 5 краевых задач для одного уравнения четвертого порядка,. Регулярное решение одной краевой задачи для дифференциального уравнения с частными производными четвертого порядка существует и единственно. Построены примеры неустойчивости решений трех других краевых задач для этого уравнения. Построен пример решения одной краевой задачи для этого уравнения, такой, что при аналитических коэффициентах и аналитической правой части данного уравнения решение не будет принадлежать пространству С. Л. Соболева H4,1(D).

Investigation solvability boundary value problem for differential equation fourth order be occupied with many mathematicians in Russia and in abroad. This paper devoted investigation five boundary value problems for one equation fourth order. Regular solution one boundary value problem for differential equation with partial derivative fourth order exist and uniquely. Examples non stability solutions for three other boundary value problem for this equation are constructed. Example solution one boundary value problem for this equation is constructed, such that under condition analyticity coeffificients and analytic on the right-hand side given equation, but solution is not belong Sobolev’s space H4,1(D).

Ключевые слова: краевая задача, дифференциальное уравнение с частными производными четвертого порядка, существование решения, единственность решения, пространство С. Л. Соболева, корректная постановка задачи, устойчивость решения.

Вестник КемГУ №3/І 20ІІ Вещественный анализ

Keywords: Boundary value problem, differential equation with partial derivative fourth order, existence solution, uniquely solution, correct statement problem and stability solution. The Sobolev’s spaces.

В работе [3] (V. A. Galahtionov) изучаются локальные свойства и асимптотика решений задачи Коши и задачи со свободной границей для уравнения ut + uxxxx + \u\p-1u = 0 в R х R+ с p < 1.

В работе [4] ( Muhammad Usman, Bingyu Zhang) показано, что если n-периодическая функция малой амплитуды, то решение задачи

О,

u(0,t) = n(t), t > 0, ux(1,t) = 0, u(1,t) = 0 становится в конце концов периодическим.

В работе [5] ( Yusif A. Mamedov, Saleh Z. Akhmedov) о решении смешанной задачи для уравнения четвертого порядка с разрывным коэффициентом найдено решение смешанной задачи для уравнения:

du д4 u 32u

та=p(x) тх4+q(x) дх •0 <х< 1’t>0

в виде контурного интеграла.

В данной работе рассматривается несколько начально-краевых задач для одного дифференциального уравнения с частными производными четвертого порядка. Нужно найти начально-краевые условия, при которых поставленная задача будет корректной. Привести примеры начально-краевых условий, при которых поставленная задача будет некорректной.

Задача 1. В области D = {(x,t) G R?, х G (0,1), t G (0,1)} рассмотрим уравнение

k(t)ut +uxxxx + c(x, t)uxxx + b(x, t)uxx +

+a(x,t)ux+d(x,t)u = f (x,t) (1)

с начальным условием

u\t=0 = 0 (2)

и краевыми условиями

x=0, x=1

О, ux \

x\x = 0, x=1

О.

(З)

Введём некоторые обозначения. Через Сь обозначим класс функций из пространства Сж (В) , удовлетворяющих начально-краевым условиям (2),(3). Через И4’1(В) обозначим пространство, полученное замыканием пространства Сь по норме

\и\и4-1(0) =

dD

Лемма 1. Пусть правая часть уравнения (1)

/(х,€) € Ь2(Б). Пусть для коэффициентов уравнения (1) выполнены условия:

1) к(€) € С 3[0,1], с(х,€), Ъ(х,Ь), а(х,Ь),

d(x,t) € С3(Б).

2) Пусть существуют вещественные постоянные X, 61, 62, такие, что

хк(Ь) к^ ах (х,Ь) + Ъхх (х,Ь) сххх (х,Ь) +

+ 2d(x, Ь) > 61 > 0, (х, Ь) € Б;

3) -2Ъ(х, Ь) + 3сх(х, Ь) > 62 > 0, (х, Ь) € Б;

4) к(1) < 0.

Тогда для решения задачи (1), (2) верна априорная оценка:

1М||2(В) + Нмх|||2(в) + \\ихх\\2ь2(в) < СЛ!Н|2(В).

Доказательство. Умножим скалярно уравнение (1) на функцию и(х, Ь)вм и проинтегрируем по частям.

Замечание. Из леммы 1 следует, что функции и(х,Ь), ихх(х,Ь), их(х,Ь) € Ь2(Б). Тогда уравнение (1) можно переписать в виде:

к(Ь)щ + и

хххх

+ с(х,Ь)и

ххх

= -Ъ(х,Ь)ихх-а(х,Ь)их-с!(х,Ь)и+/(х,Ь) = /1(х,Ь),

где Ь(х,Ь) € Ь2(Б).

Лемма 2. Пусть правая часть уравнения (1) /(х,€) € Ь2(Б). Пусть для коэффициентов уравнения (1) выполнены все условия леммы 1 и следующие условия:

5) с(0,Ь) < 0, с(1,Ь) < 0, сх(х,Ь) < 0, (х,Ь) € Б. Тогда для решения задачи (1), (2), (3) верна априорная оценка:

||иххх|1ь2(_о) + ||ихххх|1ь2 (О) < С2 Ц/1 Нь2(д).

Доказательство. Умножим скалярно уравнение (1) на функцию ихххх(х, Ь) и проинтегрируем по частям.

Замечание. Из леммы 1, леммы 2 и уравнения (1) следует, что функция щ(х,Ь) € Ь2(Б). Следовательно, для решения задачи (1), (2), (3) будет верна априорная оценка:

|и|Я4.1(В) < С№||2L2(D).

Теорема единственности. Пусть правая часть уравнения (1) /(х,Ь) € Ь2(Б). Пусть для коэффициентов уравнения (1) выполнены условия:

1) к(Ь) € С 3[0, 1], с(х,Ь), Ъ(х,Ь), а(х,Ь),

с!(х,Ь) € С3(Б).

2) Пусть существуют вещественные постоянные X, 61, 62, такие, что

Хк(Ь) к£(Ь) ах (х,Ь) + Ъхх (х,Ь) сххх (х,Ь) +

+ 2d(x, Ь) > 61 > 0, (х, Ь) € Б;

3) -2Ъ(х, Ь) + 3сх(х, Ь) > 62 > 0, (х, Ь) € Б;

u

1

2

Вестник КемГУ №З/І 20ІІ Вещественный анализ

4) k(1) < 0; Предельная функция будет слабым решением

5) c(0,t) < 0, c(1,t) < 0, cx(x,t) < 0, (x,t) e D. поставленной задачи (1), (2), (3).

Тогда решение задачи (1), (2), (S) из простран- Приведем примеры некорректных постановок ства Н (D) единственно. других начально-краевых условий для уравнения

Теорема существования. Пусть правая (1).

часть уравнения (1) f(x,t) e L2(d). Пусть для Задача 2. В области D = {(x,t) e R2,

коэффициентов уравнения (1) выполнены условия: /п ч , чм

1) т e С°0 1], c(x',t), b(x,t), a(x,t), * e (0’1)1 ра“мотр»“модель»оеурав-

d(x,t) e С (D). (k(t) = - 1, c(x,t) = b(x,t) = a(x,t) = d(x,t)=0):

2) Пусть существуют вещественные постоянные X, Si, S2, такие, что: _yn + yn =0 (4)

-Xk(t) - kt(t) - ax(x,t) + bxx(x,t) - cxxx(x,t)+ * xxxx

+ 2d(x,t) > Si > 0, (x,t) e D; _ с начальным условием

S) -2b(x, t) + 3cx(x, t) > S2 > 0, (x, t) e D;

4)k(1) <0; _ ,„n\ =sinnx

5) c(0,t) < 0, c(1,t) < 0, cx(x,t) < 0, (x,t) e D. \t=0 n5

Тогдарешение задачи (1), (2), (S) из простран- и краевыми условиями ства He,i(D) существует.

Доказательство. Доказывать существование un\x=0, x=n = 0, u'nx\x=0x=n = 0. (6)

решения задачи (1), (2), (3) будем методом Галер-

кина с выбором специального базиса. То есть при- Решением задачи (4), (5), (6) будет функция ближенное решение этой задачи ищем в виде

i(x,t) =^2 gim(t)wi (x),

n4t

n en t sin nx

un(x,t) = -----------------5-,

і 1 которая показывает, что нулевое решение этой за-

где п,(х)- собственные функции следующей зада- дачи неустойчивое.

чи' Задача 3. В области Б = {(х,Ь) Є Ё2,

Рп,(х,Ь) = піхххх(х) = Х,и)і(х), і = 1, 2,..., х Є (0,п), ь Є (0, 1)} РассмотРим модельное урав-

нение

пі(х)\х=о, х=1 = 0, 'шіх(х)\х=0, х=1 = °. (к(Ь) = -1, с(х,Ь) = Ь(х,Ь) = а(х,Ь) = 3,(х,Ь)=0)'

В [1] показано, что в пространстве С. Л. Соболева

W2(0,1) существует счетная полная система соб- —иі + и хххх = 0 (7)

ственных функций оператора Р.

Коэффициенты діт(Ь) найдем из системы диф- с начальным условием

ференциальных уравнений первого порядка: С08 пх

ип\г=о = ---5— (8)

(к(Ь)итЬ + итхххх + с(х,Ь)

итххх + Ь(х,г)

итхх + п

+а(х і)и + іїх і)и п,-) = ( f (х Ь) п,-) и краевыми условиями

\а\х , ь ) итх \ , ь , ш-) — \х , ь ), ) ,

3 = 1, 2,...,т, иП\х=о,х=п =0, Кхх\х=0. х=п =0. (9)

x\x=0, x=n ’ Ujxxx\x=0, x=n

Решением задачи (Т), (В), (9) будет функция

с начальным условием Ягт(^)\1=0 = 0.

1

Здесь скалярное произведение (.,.) = / . ■ Ах.

0 £

Аналогично, как в лемме (1), можно получить и п/х Ъ) = е с°йпх

и (х , Ъ ) 5 ,

равномерную по т априорную оценку приближен- п5

ного решения поставленной задачи.

которая показывает, что нулевое решение этой за-

дачи неустойчивое.

Затем, заменяя Wj (х) на ,ш^хххх(х), анало-

гично как в лемме 2, можно получить равномерную по т априорную оценку приближенного ре- Задача 4. В °бласти Б = {(х,Ъ) € R ,

шения задачи (1), (2), (3). Следовательно, будет х € (0, 2^ Ъ € (0,1)} рассмотрим модельное урав-верна равномерная по т априорная оценка при- нение

ближенного решения задачи (1), (2), (3) (к(Ъ) = -1, с(х,Ъ) = Ъ(х,Ъ) = а(х,Ъ) = й(х,Ъ) = 0):

\\ит\\2Н4,1(В) < С||/\\12{в), -иП + иПххх =0 (10)

из которой следует, что из семейства функ-

с начальным условием

ций \иш(х,г)} можно выделить такую подпоследовательность функций {и^(х,Ъ)}, что &[п(2п — 1)х

и^(х,Ъ) ^ и(х,Ъ), при \1 ^ 0, слабо в И4,1(В). иП\г=о =----------5----

u

Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ

и краевыми условиями

unUc = 0, un\х=п = 0, иПх | х=о = 0, п = 0.

(12)

Решением задачи (10), (11), (12) будет функция

un(x, t)

e(2n 1) f' sin(2n — 1)x

которая показывает, что нулевое решение этой задачи неустойчивое.

Задача 5. В области В = {(х,£) € В2, х € (0,п), £ € (0,1)} рассмотрим уравнение

3

(1 £)иЬ + ихххх + а(х,£)иххх ихх + a(x, £)их — и

с начальным условием

— ^ sin x (13)

(14)

4=0 = 0

и краевыми условиями

и1 п =0, ихх\ п =0. (15)

1х=0, х=п ’ хх1х=0, х=п V /

Пусть а(х,Ь)- аналитическая функция. Решением этой задачи будет функция

i(x, t) = (а/1 — t — 1) sin x.

(16)

Коэффициенты и правая часть уравнения (13) -аналитические функции, но решение (16) задачи

(13), (14),(15) не принадлежит классу функций H A’1(D).

Литература

[1] Березанский, Ю. М., Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов / Ю. М. Березанский. - Киев: Наукова думка, 1965. - 800 с.

[2] Чуешева, Н. А., Об одной смешанной задаче для уравнения 4-го порядка // Н. А. Чуешева // Применение методов функционального анализа к задачам математической физики и вычислительной математики: сб. науч. тр. / АН СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т математики. - Новосибирск, 1979. -С. 146 - 151.

[3] Galahtionov, V. A. On interfaces and oscillatory solutions of higher order semilinear parabdic equations with non Lipschitz nonlinearities // V. A. Galahtionov // Stud. Appl. Math. - 2006. - 117. - № 4. - P. 353 - 389.

[4] Usman, Muhammad Forced oscillations of a olass of nonlinear dispersive wave equations and their stability / Muhammad Usman, Bingyu Zhang // J. Syst. Sci and Complex. - 2007. - Vol. 20. - № 2.-C. 284 - 292.

[5] Mamedov, Y. A. On solution of a mixed problem for an equation of the fourth order with discontinuers coefficient / Yusif A. Mamedov, Saleh Z. Akhmedov // Trans. Nat. Acad. Sci. Azerb. Ser. Phys. - Techn. and Math. Sci. - 2006. - Vol. 26.

- № 4. - P. 137 - 144.

5

n

УДК 517. 95

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

Е. В. Максимова, Н. А. Чуешева

BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR DIFFERENTIAL EQUATION FOURHT ORDER

E. V. Maksimova, N.A. Chuesheva

Исследованием разрешимости краевых задач для уравнений четвертого порядка занимаются многие математики в России и за рубежом. Данная работа посвящена исследованию 3 краевых задач для одного уравнения четвертого порядка,. Регулярное решение одной краевой задачи для дифференциального уравнения с частными производными четвертого порядка существует и единственно. Построены примеры не единственности решений двух других краевых задач для этого уравнения.

Investigation solvability boundary value problem for differential equation fourth order be occupied with many mathematicians in Russia and in abroad. This paper devoted investigation three boundary value problem for one equation fourth order. Regular solution one boundary value problem for differential equation with partial derivative fourth order exist and uniquely. Constructed examples non uniquely solutions for two other boundary value problem for this equation.

Ключевые слова: краевая задача, дифференциальное уравнение с частными производными четвертого порядка, существование решения, единственность решения, корректная постановка задачи.

Keywords: Boundary value problem, differential equation with partial derivative fourth order, existence solution, uniquely solution, correct statement problem.