Краевая задача для дифференциального уравнения четвертого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ

и краевыми условиями

unUc = 0, un\х=п = 0, иПх | х=о = 0, п = 0.

(12)

Решением задачи (10), (11), (12) будет функция

un(x, t)

e(2n 1) f' sin(2n — 1)x

которая показывает, что нулевое решение этой задачи неустойчивое.

Задача 5. В области В = {(х,Ь) € В2, х € (0,п), £ € (0,1)} рассмотрим уравнение

3

(1 t)ut + ихххх + а(х,^)иххх ихх + a(x, Ь)их 7чи

с начальным условием

— ^ sin x (13)

(14)

4=0 = 0 и краевыми условиями

и| п =0, ихх\ ъ =0. (15)

1х=0, х=п ’ хх1х=0, х=п V /

Пусть а(х,Ь)- аналитическая функция. Решением этой задачи будет функция

i(x, t) = (а/1 — t — 1) sin x.

(16)

Коэффициенты и правая часть уравнения (13) -аналитические функции, но решение (16) задачи

(13), (14),(15) не принадлежит классу функций H A’1(D).

Литература

[1] Березанский, Ю. М., Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов / Ю. М. Березанский. - Киев: Наукова думка, 1965. - 800 с.

[2] Чуешева, Н. А., Об одной смешанной задаче для уравнения 4-го порядка // Н. А. Чуешева // Применение методов функционального анализа к задачам математической физики и вычислительной математики: сб. науч. тр. / АН СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т математики. - Новосибирск, 1979. -С. 146 - 151.

[3] Galahtionov, V. A. On interfaces and oscillatory solutions of higher order semilinear parabdic equations with non Lipschitz nonlinearities // V. A. Galahtionov // Stud. Appl. Math. - 2006. - 117. - № 4. - P. 353 - 389.

[4] Usman, Muhammad Forced oscillations of a olass of nonlinear dispersive wave equations and their stability / Muhammad Usman, Bingyu Zhang // J. Syst. Sci and Complex. - 2007. - Vol. 20. - № 2.-C. 284 - 292.

[5] Mamedov, Y. A. On solution of a mixed problem for an equation of the fourth order with discontinuers coefficient / Yusif A. Mamedov, Saleh Z. Akhmedov // Trans. Nat. Acad. Sci. Azerb. Ser. Phys. - Techn. and Math. Sci. - 2006. - Vol. 26.

- № 4. - P. 137 - 144.

5

n

УДК 517. 95

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

Е. В. Максимова, Н. А. Чуешева

BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR DIFFERENTIAL EQUATION FOURHT ORDER

E. V. Maksimova, N.A. Chuesheva

Исследованием разрешимости краевых задач для уравнений четвертого порядка занимаются многие математики в России и за рубежом. Данная работа посвящена исследованию 3 краевых задач для одного уравнения четвертого порядка,. Регулярное решение одной краевой задачи для дифференциального уравнения с частными производными четвертого порядка существует и единственно. Построены примеры не единственности решений двух других краевых задач для этого уравнения.

Investigation solvability boundary value problem for differential equation fourth order be occupied with many mathematicians in Russia and in abroad. This paper devoted investigation three boundary value problem for one equation fourth order. Regular solution one boundary value problem for differential equation with partial derivative fourth order exist and uniquely. Constructed examples non uniquely solutions for two other boundary value problem for this equation.

Ключевые слова: краевая задача, дифференциальное уравнение с частными производными четвертого порядка, существование решения, единственность решения, корректная постановка задачи.

Keywords: Boundary value problem, differential equation with partial derivative fourth order, existence solution, uniquely solution, correct statement problem.

Вестник КемГУ №3/І 20ІІ Вещественный анализ

В последние годы вопросам разрешимости краевых задач для дифференциальных уравнений высокого порядка были посвящены много работ.

Например, в работе [1] (Д. Аманова ) рассматривалось следующее уравнение: иа + эди г и

ХХХХ I (х,г).

В работе [5] ( Ж. А. Отаровой ) рассматривалась краевая задача для уравнения

иИ + «хххх = 1 (х,£) •

Получены условия самосопряженности, при которых соответствующая задача имеет точечный спектр.

В работе [2] ( Д. Аманова, Ж. А. Отаровой) изучается самосопряженная краевая задача для уравнения иа +иХХХХ — I(х,Ь). Получены условия регулярной, сильной и почти всюду разрешимости

этой задачи.

В статье [7] ( Yan Ding Wang) исследованы вопросы существования, единственности и разрушения решений начально-краевой задачи для нелинейного уравнения:

utt uxx + auxxxx buxxtt (9(ux))x ,

0 <x < l, 0 <t <T.

В данной работе рассматривается дифференциальное уравнение с частными производными четвертого порядка. Нужно найти краевые условия, при которых поставленная задача будет корректной. Привести примеры краевых условий, при которых поставленная задача будет некорректной.

Задача 1. В области D = {(x,t) G R2, x G (0,1), t G (0,1)} рассмотрим уравнение

utt uxxxx + auxxx + buxx + cux + du + eut f (x7 t) (1)

с граничными условиями

и\ 1=0, 1=1 = 0 и\х=0, х=1 = 0 их\х=0, х=1 = (2)

Введём некоторые обозначения. Через С^ обо- Н4,2(В) обозначим пространство, полученное зазначим класс функций из пространства СЖ>(В), мыканием пространства С^ по норме: удовлетворяющих граничным условиям (2). Через

u\\h4’2(D) = I / (u2 + Ux + u2 + Uxx + Ut + u2xxx + Uxxt + Uxxxx) dD

1

2

Лемма 1. Пусть правая часть уравнения (1) I(х,£) € Ь2(В). Пусть для коэффициентов уравнения (1) выполнены условия:

1) Ь > 0; 2) 128 — & > 6 > 0. Тогда для решения

задачи (1), (2) верна априорная оценка:

\U\\L2(D) + \\ut\\L2(D) +

\uxx\\L2(D) — C\\f \\L2(D).

utt ux

= f (x,t) - buxx - cUx - du - eut = fl(x,t),

\ utx

\L2(D)

+ \\ux

\2L2(D) — 4\\fl\\2L2(D).

I\utt \\l2 (D) —

2

L2(D).

Замечание. Из леммы 1 следует, что функции и(х,Ь), иХХ(х,Ь), щ(х,1) € Ъ<2(0). Тогда уравнение (1) можно переписать в виде:

(З)

где 1\(х,г) € Ь2(П).

Лемма 2. Пусть правая часть уравнения (1) I(х,£) € Ь2(В). Пусть для коэффициентов уравнения (1) выполнены условия:

1) а > 0, Ь > 0; 2) 128 — ^ > 6 > 0. Тогда для

решения задачи (1), (2) верны априорные оценки:

Доказательство леммы 1 и леммы 2 проводится методом интегрирования по частям с применением мультипликативных неравенств.

Теорема единственности. Пусть правая часть уравнения (1) I(х,1) € Ь2(В). Пусть для коэффициентов уравнения (1) выполнены условия: 1) а > 0, Ь > 0; 2) 128 — ^ > 6 > 0. Тогда ре-

шение задачи (1), (2) из пространства Н4,2(В) единственно.

Задача 2. В области В — {(х,Ь) € Я2, х € (0,эт), £ € (0, эт)} рассмотрим уравнение

и11 иХХХХ + аиХХХ + ЬиХХ + аиХ + (Ь + 2)и - °. (4)

с граничными условиями

u\t=0, t=n ~ v U\x=0: x=n Uxx\x=0, x=n

(5)

О.

О

Вестник КемГУ ^З/і 2011 Вещественный анализ

Решение поставленной задачи будет не единственным. Помимо нулевого решения этой задачи, ненулевая в этой области функция u(x,y) — sin t sin x удовлетворяет краевым условиям (5) и уравнению

(4).

Задача 3. В области D — {(x,t) G R2, x G (0,п), t G (0, п)} рассмотрим уравнение

utt uxxxx + auxxx + buxx + aux + (b + 2)u — 0. (6)

с граничными условиями

1) а > 0, Ь > 0; 2) _ ^ > 5 > 0. Тогда ре-

шение задачи (1), (2) из пространства Н4,2(В) существует.

Доказательство. Доказывать существование решения задачи (1), (2) будем методом Галеркина с выбором специального базиса. То есть приближенное решение этой задачи ищем в виде

U\t=U, t=n = Ux\x=U, x=n

Uxxx\x

(7)

xxx \ x=U

x = U, x=n

О.

Решение поставленной задачи будет не единственным. Помимо нулевого решения этой задачи, ненулевая в этой области функция

u(x,y) — sin t cos x

удовлетворяет краевым условиям (7) и уравнению (6).

Теорема существования. Пусть правая часть уравнения (1) f(x,t) G L2(D). Пусть для коэффициентов уравнения (1) выполнены условия:

где Wi(x, t) — собственные функции следующей задачи:

PWi(x,t) = Witt (x, t) — Wixxxx (x, t) = XiWi(x,t),

i(x,t)\

t=U. t=1

Wi(x,t)\x=U. x=1 =°,

\x = U, x=1

Wix(x,t)\x=U, x=1 i = І, 2,....

О.

В [2] показано, что в пространстве Н4’2(В) существует счетная полная система собственных функций оператора Р. Коэффициенты діт находятся из системы алгебраических уравнений:

О

О

О

W

(umtt umxxxx + aumxxx + bumxx + cumx + dum + eumt> Wj) — (f (x,t)i Wj ) ? j — 1, 2i ...,m.

Аналогично, как в леммах, можно получить равномерные по т оценки. Тогда из семейства функций {пт(х,1)} можно выделить такую подпоследовательность, что пт(х,1) ^ п(х,1) слабо в пространстве Н4,2(В). Предельная функция будет слабым решением поставленной задачи.

Литература

[1] Аманов, Д. Краевая задача для уравнения смешанного типа четвертого порядка / Д. Аманов // Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения: Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения академика Ильи Несторовича Векуа. Новосибирск, 28 мая - 2 июня, 2007: тезисы докладов. -Новосибирск: НГУ, 2007. - С. 61.

[2] Аманов, Д. Краевая задача для уравнения смешанного типа четвертого порядка / Д. Аманов , Ж. А. Отарова // Узб. мат. ж. - 2008. -№ 3. - С. 13 - 22.

[3] Аманов, Д. Разрешимость и спектральные свойства самосопряженной задачи для уравнения

четвертого порядка/ Д. Аманов , А. В. Юл-дашева // Узб. мат. ж. - 2007. - № 4. - C. 3 - 8.

[4] Березанский, Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов / Ю. М. Березанский. - Киев: Наукова думка, 1965. - 800 с.

[5] Отарова, Ж. А. Разрешимость и спектральные свойства самосопряженных задач для уравнения четвертого порядка / Ж. А. Отарова // Uzbek. Math. J. - 2008. - № 2. - C. 74 - 80.

[6] Чуешева, Н. А. Об одной смешанной задаче для уравнения 4-го порядка / Н. А. Чуешева // Применение методов функционального анализа к задачам математической физики и вычислительной математики: сб. науч. тр. АН СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т математики. - Новосибирск, 1979. -C. 146 - 151.

[7] Wang, Yan Ding. The existence and nonexistence of global solutions for a nonlinear wave equation / Wang Yan Ding // Math. Res. and expo-2009. - Vol. 29 - № 1. - P. 164 - 168.

2б8