О классической разрешимости одномерной смешанной задачи для полулинейных бипараболических уравнений четвёртого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

11. Рыхлое В. С. О полноте собственных функций одного класса пучков дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами // Изв. вузов. Математика. 2009. № 6. С. 42-53.

12. Рыхлое В. С. О кратной полноте корневых функций одного класса пучков дифференциальных операторов // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2010. Т. 10. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 2. С. 24-34.

13. Рыхлое В. С. О свойствах собственных функций

одного квадратичного пучка дифференциальных операторов // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2009. Т. 9. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1. С. 31-44.

14. Шигаееа О. В. Кратная неполнота системы собственных функций одного класса пучков дифференциальных операторов // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2009. Т. 9. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 2. С. 50-59.

УДК 517.946

О КЛАССИЧЕСКОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОМЕРНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ БИПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЁРТОГО ПОРЯДКА

К. И. Худавердиев, М. Н. Гейдарова

Бакинский государственный университет,

кафедра математики

E-mail: [email protected]

Изучены вопросы существования и единственности классического решения одномерной смешанной задачи с однородными граничными условиями типа Рикье для одного класса полулинейных бипараболических уравнений четвёртого порядка. Методом априорных оценок доказана теорема существования в целом классического решения изучаемой смешанной задачи.

Ключевые слова: бипараболическое уравнение, классическое решение, существование в малом, существование в целом, априорная оценка.

On Classical Solvability of One-Dimensional Mixed Problem for Fourth Order Semilinear Biparabolic Equations

K.I. Khudaverdiyev, M.N. Heydarova

Baku State University, Chair of Mathematics E-mail: [email protected]

Existence and uniqueness of classical solution of one-dimensional mixed problem with Riquier type homogenous boundary conditions for one class of fourth order semilinear biparabolic equations are studied. A priori estimates method is used to prove the existence in large theorem for classical solution of mixed problem under consideration.

Key words: biparabolic equation, classical solution, existence in small, existence in large, a priori estimate.

ВВЕДЕНИЕ

Работа посвящена изучению вопросов существования (как в малом, так и в целом) и единственности классического решения следующей одномерной смешанной задачи:

2

(1)

д2 V

д 2J u(t,x) = F(t, x, u(t, x), ux(t, x), uxx(t, x), ux

(0 < t < T, 0 < x < n), u(0,x) = <(x) (0 < x < n), ut(0, x) = ^(x) (0 < x < n), u(t, 0) = u(t,n) = uxx(t, 0) = uxx(t,n) =0 (0 < t < T),

(2) (3)

где 0 < Т < F, ф — заданные функции, а и(£,х) — искомая функция, причём под клас-

сическим решением задачи (1)-(3) понимаем функцию и(£,х), непрерывную в замкнутой области [0,Т] х [0, п] вместе с производными, входящими в уравнение (1), и удовлетворяющую всем условиям (1)-(3) в обычном смысле.

Отметим некоторые работы, в определённом смысле связанные с задачей (1)-(3).

В 1969 году в работе [1] Ю. И. Ковача рассмотрена задача (1)-(3) в случае, когда F = F(£, х, и(£, х)) и специальным методом последовательных приближений доказана теорема существования и единственности ее классического решения.

В том же году в работе [2] Ю.И. Ковача рассмотрена задача (1)-(3) в случае, когда F = F(£,х, и(£ — т(£,х),х)), где т(£,х) ^ 0; принципом сжатых отображений доказано существование в малом ее классического решения.

В 2001 году рассмотрено модифицированное уравнение Буссинеска высокого порядка с затухающим членом вида [3]

Utt + aUtxx + вихххх + Y(un)xx = 0, n > 3,

где а, в, Y — константы. Найдены решения в виде уединённых волн.

В работе [4] (2007) изучены вопросы существования и единственности обобщённого (в определённом смысле) решения задачи (1)-(3).

Вопросы существования и единственности решения почти всюду задачи (1)-(3) представлены в [5, 6] (2008).

1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ФАКТЫ

В этом разделе приведём некоторые известные и установим ряд новых вспомогательных фактов. 1. Так как система {sin nx}^=1 образует базис в пространстве L2(0, п), то очевидно, что каждое классическое решение задачи (1)-(3) имеет вид

те

u(t,x) = ^^ un(t)sin nx, (4)

n=1

п

un (t) = — u(t,x)sin nxdx (n = 1, 2,...; t e [0, T]). (5)

п J 0

Тогда после применения метода Фурье нахождение функций un(t) (n = 1, 2,...) сводится к решению следующей счётной системы нелинейных интегродифференциальных уравнений:

t п

un (t) = (1 + n2t)e-n21^ + te-n21фп + 2 J J F(u(r, x)) sin nx(t - т)e-n2(t-T)dxdr (6)

00

(n = 1, 2,...; t e [0,T]),

п п

= — ^(x)sin nxdx, -0n = — -0(x)sin nxdx (n = 1,2,...), (7)

пп

00

F(u(t, x)) = F(t, x, u(t, x), ux(t, x), uxx(t, x), uxxx(t, x), ut(t, x), utx(t, x)), (8)

причём нужно иметь в виду обозначения из (4) и (5).

2. Исходя из определения классического решения задачи (1)-(3), доказана

те

Лемма. £сли u(t,x) = un(t)sinnx — любое классическое решение задачи (1)-(3) то функ-

п=1

ции un(t) (n = 1, 2,...) удовлетворяют системе (6).

3. С целью изучения вопроса существования классического решения задачи (1)-(3) систему (6) при предположениях

д д2 F(u(t,x)), —{F(u(t,x))} e C([0, T] x [0,п]), ^{F(u(t,x))} e C([0,T]; ¿2(0, п)), (9)

F(u(t,x))|x=o = F(u(t,x))^=п =0 V t e [0,T], (10)

интегрируя по частям по x два раза в правой части (6), преобразуем к виду

un(t) = (1 + n2 t)e-n2Vn + te-n2t^n -

t п

2

{F(u(T,x))} sinnx(t - т)e-n2(t-TWt (n = 1, 2,...; t e [0,T]). (11)

пп2 J J dx2

00

jao,...,a¡

4. Обозначим через Вв^""'^^ совокупность всех функций и(£,х) вида (4), рассматриваемых на [0, Т] х [0, п], для которых все функции ип (£) е С(1)([0, Т]) и

l Г те , л в'.

I I (i)

n

0<t<T n

г=0 ^n=1 v

(u) = na rnax u«(t)

. ^ i/e¿

где l ^ 0 — целое число, аг ^ 0, 1 ^ вг ^ 2 (i = 0,l). Норму в этом множестве определим так: l|u|| = Jt(u). Все эти пространства банаховы [7].

те

5. Очевидно, что если u(t,x) = un(t) sin nx e T, то для всех t e [0, T]:

n=1

тете

1/2

те2

1/2

||u||<- 1 = £n'-10^aft|un(t)|ME-2 ÍEК^|un(t)|) f = "76||u|kt; (12)

n=1 ^ ^ \n=1 / l^n=1 ^ ^ ^ ' ) v

аналогично

V u e b2;2 ,T ||uHBj7l1j-i < " ||u|B2;22it (0 < t < T), (13)

где k,i, j — любые натуральные числа.

те

6. Пусть u(t,x) = Y^ un (t) sin nx e b2'2T . Тогда, пользуясь оценкой (12) для k = 5 и k = 3, для

n=1

всех t е [0, T] и x е [0, п] имеем:

те

|дгu(t,x)/dxlI < V^П |un(t)| < V^n% max |un(r)| < V^n4 max |un(r)| —

те те те

V ^ ! I ^ / ' V -L-L-LCUíV I U^n \ 1 ! I ^ / J-L-LCL-iV I U^n \

n=1 n=1 n=1

- I|u|kt < ^ ^^ < ^ hte* (i = 04), (14)

п ^ п

тете

j lU (t)i ^ V^ n2

|d1+ju(t,x)/dtdxj I < V^ nj |иП(t)| < V^ n2 max |«4(r)| = —' —' ^t

n=1 n=1

= ll^tNB-.t ^ ^ "«t ||B3t < ^ "M^ (j = M). (15)

Из оценок (14), (15) и структуры пространства В5'3 т следует, что

u(t,x), Ux(t,x), Uxx(t,x), Uxxx (t,x), Uxxxx(t,x), Ut (t,x), (t,x), Utxx (t, x) G C([0,T] X [0,n]). (16) Кроме того, очевидно, что для всех t G [0, T]:

П те

2 / \ П v-^ , 5 , ,,2 П .. м2 П .. м2

. X (n (t)) U СБ U об,2

, , 71 , с / \\2 71 ,, ,,2 'I ,, и2 /1-7\

(t,x)dx = 2 (n un(t)) < 2 ^ 2 ' (17) 0 n=1 ' п те

J (t,x)dx=2 (n3 |un (t)o2 ^ 2 iiut 11 B2,t < 2 iiunB2:2,t • (i8)

0

Из (17) и (18) следует, что

иххххх (¿,х), и^ххх (¿,х) е С([0, Т]; 1,2 [0,п]). (19)

7. Пусть для натурального числа к:

^(х) е С(к-1)([0,п]), ^(к)(х) е ¿2(0,п), (0) = ^(25)(п)=0 = 0, [^^ .

Тогда с помощью интегрирования по частям, пользуясь неравенством Бесселя, легко получить,

ж__ 2 2 2

ЕК ^^2 < - (х) , (20)

^ п ¿2 (0 'П)

что

те

n

! ' п

n=1

где числа (п =1, 2,...) определены соотношением (7), причём очевидно, что оценка (20) верна и при к = 0, если ^(х) е ¿2(0,п).

8. Условимся всюду здесь считать все величины вещественными, все функции действительнозначными, а интегралы всюду понимать в смысле Лебега.

2. ЕДИНСТВЕННОСТЬ КЛАССИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (1)-(3)

Теорема 1. Пусть

1. F (t,x,ui,...,u6) € С ([0,T] х [0, п] х (-те, те)6).

2. При любом R > 0 в [0,T] х [0, п] х [—R, R]6

6

|F(t, x, u1,..., u6) — F(t, x, ul5..., u6)| < Сд ^^ |u — u|, CR = const > 0.

i = 1

Тогда задача (1)-(3) не может иметь более одного классического решения. Так как каждое классическое решение задачи (1)-(3) является и её решением почти всюду, то справедливость теоремы 1 следует из теоремы о единственности решения почти всюду задачи (1)-(3), доказанной в работе [6], причём под решением почти всюду задачи (1)-(3) понимаем функцию u(t,x), обладающую свойствами:

а) u(t, x), ux(t, x), ttxx(t, x), uxxx(t, x), ut (t,x),utx(t,x) € С([0, T] х [0, п]); uxxxx (t,x), utxx(t,x), utt(t,x) € С([0,T], L2(0,n));

б) все условия (2) и (3) удовлетворяются в обычном смысле;

в) уравнение (1) удовлетворяется почти всюду в (0,T) х (0,п).

3. СУЩЕСТВОВАНИЕ В МАЛОМ КЛАССИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (1)-(3)

В этом разделе с помощью принципа сжатых отображений доказывается следующая теорема существования в малом (т. е. справедливая при достаточно малых значениях T) классического решения задачи (1)-(3)

Теорема 2. Пусть

1. <(x) € С(4)([0, п]), <(5)(x) € ¿2(0,п) и <(2s)(0) = <(2*)(п) = 0 (s = 072); 0(x) € С(2)([0,п]), 0//;(x) € L(0, п) и -0(0) = ф(п) = ф''(0) = ф''(п) = 0.

2. F(t,Co,Ci,...,&), FSi(t,Cc,Ci,...,C6) (i = 076), F^.(t,Cc,£i,...,&) (i,j =0,6) € С([0,T] х

х [0, п] х (—те, те)6).

3. F(t, 0, 0, С2, 0, С4, 0, С6) = F(t, п, 0, С2, 0, С4, 0, С6) = 0 для всех t € [0, T], £2, С4, С6 € (—те, те).

4. При любом R > 0 в [0,T] х [0,п] х [—R,R]6

F^j (t, Ce, Ci,..., Ce) - F^j (t, Co, Ci,..., Ce) < C^ |Ci - e

i = 1

где = 0,6, а Сд > 0 — постоянная.

Тогда существует в малом классическое решение задачи (1)-(3).

Доказательство. В пространстве B5'3 T определим оператор H:

H(u(t, x)) = u(t, x) = ^^ un(t) sin nx,

n=1

где

t п

2 2 2 Г Г д2

ün(t) = (1 + n2t)e-n t^n + te-n t^n - dx2 {F(u(t>x))} sinnxx

0 0

x(t - T)e-n2(t-T}dxdT (n = 1, 2,..., t e [0,T]),

а числа , фп (n = 1, 2,...) и оператор F определены соотношениями (7) и (8). Тогда из (21) получаем, что для всех u, V e Bi'2 т:

(21)

IIH (u)||

u) „5 = u d5 =

У^ un (t) sin nx

n=1

B5 B2,T

0 / y

I] h50maxT |un(t)|

n=1 V ^ '

e

00

2

т п

те те „ „ „ ^ ^2 ^

< 3^ (п5^п)2 + 3^ (п3фп)2 + 2П / / №(т,х))]} йхйт,

п=1 п=1 п п ^

||(Н(и))* ИВ| т = IIй* |||з т =

0 0 2

эт пх

п=1

те , ч 2

5Дп30та<хТ^СОП <

п=1 ^ < < '

Т п

■2 ■ 15 [ [ { д2

п у у 1 дх2 о о

2

тете

< 3^ (п52 + 3^ (п3фп)2 + п I I №(т,х))]^ йхйт,

П=1 П=1

||Н(и)|В25;3 ,т = ||й||Вав;2,т = (|й|в|,т + ||Й*к3,т) ^ 2 ||й||В|,т +2 ||й*ПВз,т ^

Т п

39 г г ( ^2 12

< ао + — ! \ дх2[^(и(т,х))Ц йхйт,

(22)

о о

где

тете

ао = 12 X (п5^п)2 + 12 X (п3фп)2,

П=1 П=1

причём конечность а0 следует из (20) для к = 5 и к = 3; аналогично

Т п

||Н(и) — Н(V)||В2;3,т < 13 // {д^[^(и(т,х))] — [^(V(т,х))Ц Йх^т.

00

(23)

Пусть Кд — любой фиксированный замкнутый шар пространства В5'3 т радиуса Д и с центром в

нуле. Тогда в силу оценок (14),(15) и (17),(18), очевидно, что при любых и, V е Кд:

х)

< — Д (« = 0,4),

с(дт) V6

ди(*,х)

< — Д (^ =0, 2),

с (дт) V6

х)Йх < 2 Д х)Йх ^ 2 Д У * е [0, Т];

(24)

(25)

||ди(*,х)/дхг — (*,х)/ах||С(дт) < —6 ||и — V||в2;3,т (* = 0,4),

ди(*,х)/б»*бх — дV(*,х)/д*дх^|| ) < — ||и — V||В2,з (^ =0,2),

с(дт) у/6 " "-"2,2,т

2п2

{иххххх (*,х) — Кехххх (*,х)} Йх < ^ Ни — VН^ т ^ * е [0,Т],

(*,х) — (*, х)}2 Йх < П ||и — V||В2.33 т V е [0,Т], дт = [0,Т] X [0, п].

(26)

(27)

(28) (29)

Пользуясь условиями 2, 4 теоремы, оценками (24)-(29) и развёрнутым выражением

дх2

{^(и(т, х))}, получаем, что при любом и, V е Кд для всех т е [0, Т]:

д 2 1 2 ^ [^(и(т,х))П йх < АД,

/А2 ^(и(тх))] д2 ^(тх))И ^ ^ т т-и2

1дх2 [^(и(т,х))] — ^ [^(V(т,х))^ ^х < БД ||и — V||В2 .3 ,т ,

(30)

(31)

где Ад > 0 и Вд > 0 — некоторые постоянные, зависящие от Д.

2

те

п

п

п

2

д

п

п

Теперь, пользуясь оценками (30) и (31), из (22) и (23) получаем, что при любом и, V е Кд:

39 13

||Н(и) ИВ^ < «с + - АДТ, ||Н(и) - Н(V< -ВДТ ||и - VЦВ«.« т •

Пусть число Д фиксировано и удовлетворяет условию

те те 1 1/2

R>V«0 (n5)2 + 12^ (n3. (32)

(П + 12 in

n=1 n=1

Тогда очевидно, что при достаточно малых значениях T:

а0 + 39 ART < R2, - BRT < 1.

7Г 7Г

Следовательно, для любого фиксированного R, удовлетворяющего условию (32), при достаточно малых значениях T оператор H преобразует шар Kr в себя и удовлетворяет в нём условию Липшица с коэффициентом меньше единицы, т.е оператор H является в K сжатым. Тогда в силу принципа сжатых отображений при достаточно малых значениях T оператор H имеет в Kr единственную неподвижную точку:

те

5 3

(t) sin nx e B,

n=1

n oin i b.ju e ±J2 2 T ?

причём функции ип (£) (п =1, 2,...) удовлетворяют системе (11).

Легко показывается, что

те , ч 2

||и«т = ^ (пс^^т|иПФИ <

п=1 ^ ^ '

т.е. е В1, т. Отсюда следует, что

и»М) е С([0,Т] х [0,п]), и«*М) е С([0,Т];¿2(0,п)). (33)

Таким образом, функция и(£,ж) е В5 ' 3 '2 т обладает свойствами (16), (19) и (33). Тогда, в силу условий 2 и 3 данной теоремы и свойств (16) и (19) функции и(£,ж), очевидно, что функция Т(и(£,ж)), определённая соотношением (8), обладает свойствами (9) и (10). Поэтому функции ип(£) (п = 1, 2, •••), удовлетворяющие системе (11), удовлетворяют и системе (6). Далее, пользуясь этим, легко показывается, что функция и(£,ж) является классическим решением задачи (1)-(3). Теорема доказана. □

Замечание 1. Так как из условия 2 теоремы 2 следует выполнение всех условий теоремы 1, то при условиях теоремы 2 классическое решение задачи (1)-(3) не только существует в малом, но и оно единственное в целом.

Замечание 2. Как видно из процесса доказательства теоремы 2 (см. соотношение (32)), при условиях теоремы 2 о существовании в малом классического решения задачи (1)-(3) для доказательства существования и в целом классического решения задачи (1)-(3) достаточно показать, что всевозможные классические решения задачи (1)-(3), принадлежащие пространству В5'3 т, априори ограничены в В 5 ' 3

в В2 2 т .

4. СУЩЕСТВОВАНИЕ В ЦЕЛОМ КЛАССИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (1)-(3)

В этом разделе с целью доказательства теоремы о существовании в целом (т.е. для любого конечного значения Т) классического решения задачи (1)-(3) и для полноты изложения приведём следующие три теоремы об априорной ограниченности (в определённых смыслах) решений почти всюду задачи (1)-(3), доказанные в работе [6], которые остаются в силе и для классических решений задачи (1)-(3).

Теорема 3. Пусть правая часть уравнения (1) имеет вид F(*, х, и, их, ихх, иххх, и*, их) = /(*, х, и, их, ихх, иххх, и*, их)+/0(х, и) + Д(*, и*)и*х + (/2(х, их))х, (34) причём

а) /0(х, и) е С([0, п] х (—те, те)) и при любых х е [0, п], и е (—те, те) имеет место оценка

и

У /0(х,СК = ^0(х,и) < С(1+ и2), 0

б) /1 (*, V) е С([0, Т] х (—те, те)), (35)

в) /2(х, V) е С(1)([0, п] х (—те, те)) и при любых х е [0, п], V е (—те, те)

— / /2 (х,СК = ^2 (х, V) < С + ¿V2, 0 <5< ^ , 0

г) /(*, х, и1,..., и6) е С([0, Т] х [0, п] х (—те, те)6) и в [0, Т] х [0, п] х (—те, те)6

/(*, х, и1,..., и6)и5 < С(1 + и1 + и2 + и3 + и2) + ¿0и6, 0 < ¿0 < 2, С> 0.

Тогда для всевозможных решений почти всюду и(*,х) задачи (1)-(3) справедливы априорные оценки:

п п Т п

/и?^ « С0, « С0 v * е [0,Т //и?х (*,х) « О, (З6)

0 0 0 0

Следствие 1. Так как и(*, 0) = и(*, п) для любого * е [0, Т], то существует такое число £ = = £ е (0, п), что их ) = 0. Тогда очевидно, что для всех * е [0, Т] и х е [0, п]:

х

их (*, х) = и55 (*,£)«£,

п I п п

их(*,х) М / |и^(*,£)| «О ^ п и?е= п ихх(*,х)«х (37)

¿х(*,х) ^ J |иее )| ^ п J и££ (^ <£)«<£ = п J ихх (

0 J 0 0

п п п

У и,(*,х)«Ь < ^ «х.(*,х)^ = ^ «ххЛ^ (38)

0 0 0

Тогда, пользуясь соотношениям и(*, 0) = 0 (0 ^ * ^ Т) и оценкой (38), получаем, что * е [0, Т] и

х е [0, п]:

х п п

и(*,х)^У и (*,£)«£, и2(*,х) < п^ и2 (*,£)«£ < п3^ ихх(*,х)«х. (39)

0 0 0 Таким образом, из второй априорной оценки (36), в силу оценок (39) и (37), следует справедливость априорных оценок:

||и(*,х)||с(дт) ^ Д0, ||их(*,х)|с(дт) ^ Д0. (40)

Замечание 3. Как видно из (35), от функции /1 (*, V), фигурирующей в (34), при IV| ^ +те ничего не требуется, т.е. на порядок её роста при IV| ^ +те никакого ограничения нет. Кроме того, как видно из формулировки теоремы 3, объединение всех функций, фигурирующих в правой части (34), в одну функцию / или же F нецелесообразно.

Далее, пользуясь априорными оценками (36) и, в частности, априорными оценками (40), в работе [6] доказана следующая теорема о более сильной, чем (36), априорной оценке для решений почти всюду задачи (1)-(3).

К. П. Худавердпев, М. Н. Гейдарова. О классической разрешимости одномерной смешанной зада1 Теорема 4. Пусть

1. Выполнены все условия теоремы 3.

2. При любом Д > 0 в [0,Т] х [0, п] х [-Д, Д]2 х (-те, те)4

,...,ив)| < Се { 1 + |из| (|из| + |из| К| + и2 + К|) + + М (1 + К|) + |и5 |3 + К| |ие | + К|} , Сд > 0.

Тогда для всевозможных решений почти всюду и(£,х) задачи (1)-(3) справедлива априорная оценка:

К*,ж)||Вз; 2 < Сс. (41)

В2 ; 2 ; Т

Следствие 2. Из априорной оценки (41) в силу оценки (13) для г = 3, ] = 1 и структуры пространства В3' 1 т следует справедливость априорных оценок:

||и(*,х)||с(От)' ||их(^,х)УС(дт)' |ихх(*,х)||с(Зт)' ||и*(*,ж)|с(дт) ^ Дс; (42)

п п

< Д, ^ « До V,е [0,Т]. (43)

сс

Кроме того, пользуясь теоремой 4, а по существу, априорными оценками (42) и (43), в работе [6] доказана следующая теорема о более сильной, чем (41), априорной оценке для решений почти всюду задачи (1)-(3).

Теорема 5. Пусть

1. Выполнены условия 2 и 3 теоремы 2.

2. Выполнены все условия теоремы 4.

3. Для любого Д > 0 в [0,Т] х [0,п] х [-Д, Д]3 х (-те, те) х [-Д, Д] х (-те, те)

(*,Со, С1,...,Се)| < Сд (1 + С4 + С2) (г = 0,1,2), (*, Со,С1,..., Се)| < Сд (1 + |С41 + |Сб|) (г = 3, 5), (¿,С0,С1,..., Се)| ^ Сд (г = 4,6), Сд > 0—постоянная.

Тогда для всевозможных решений почти всюду и(£,х) задачи (1)-(3) справедлива априорная оценка:

К*,ж)||В4; 2 < Со. (44)

В2 ; 2 ; Т

Следствие 3. Из априорной оценки (44) в силу оценки (13) для г = 4, 3 = 2 и структуры пространства В24 22 т следует справедливость априорных оценок:

дги(£, х)

дх*

^ До (г = 0, 3),

С (От)

ди(£,х)

< До (^ =0,1); (45)

С(От)

(от)

п

(¿,ж) йх < До, / и2хх(£,х) йх < До V е [0, Т]. (46)

Замечание 5. Так как каждое классическое решение задачи (1)-(3) является и её решением почти всюду, то все теоремы 3-5 и из них вытекающие следствия 1-3 остаются в силе и для классических решений задачи (1)-(3).

Наконец, пользуясь теоремой 2 о существовании в малом классического решения задачи (1)-(3) и теоремой 5 об априорной ограниченности в В24 22 т всевозможных решений почти всюду (и, тем более, классических решений) задачи (1)-(3), докажем следующую теорему о существовании в целом классического решения задачи (1)-(3).

Теорема 6. Пусть выполнены все условия теорем 2, 3, условие 2 теоремы 4 и условие 3 теоремы 5. Тогда задача (1)-(3) имеет единственное классическое решение.

Доказательство. По теореме 2 классическое решение задачи (1)-(3) существует, по крайней мере, в малом, причём в силу замечания 1 оно единственное в целом.

п

Кроме того, как отмечено в замечании 2, при условиях теоремы 2 для доказательства существования и в целом классического решения задачи (1)-(3) достаточно показать априорную ограниченность в В5 ' 3 т всевозможных классических решений задачи (1)-(3), принадлежащих пространству '3 т.

те

Итак, пусть u(t,x) = ün(t) sinnx — любое классическое решение задачи (1)-(3), принадлежащее

n=1

пространству В55 '3 т. Тогда в силу леммы из разд. 1 функции un(t) (n = 1,2,...) удовлетворяют системе (6).

Далее, так как из условий данной теоремы следует выполнение всех условий теоремы 5, то по этой же теореме 5 для всевозможных решений почти всюду задачи (1)-(3) и, тем более, для всевозможных классических решений u(t,x) задачи (1)-(3), принадлежащих пространству В2 ' 3 т, справедлива априорная оценка (44), из которой, как объяснено в следствии 3, следует справедливость априорных оценок (45) и (46).

Кроме того, очевидно, что при условиях данной теоремы для классического решения u(t,x) e В55 ' 3 т задачи (1)-(3) функция F(u(t,x)), определённая соотношением (8), удовлетворяет всем условиям (9) и (10). Тогда очевидно, что функции un(t) (n = 1, 2,...), удовлетворяющие системе (6), удовлетворяют и системе (11). Пользуясь этим, совершенно аналогично (22) получаем, что

T п

иЦдб , з ^ а0 +

— [ [ |д~2 [F(u(T,x))U dxdT.

00

(47)

В силу априорных оценок (45) и (46), очевидно, что для всех т е [0, Т] и х е [0, п]: д 2

дх2

[F (u(T,x))]

< Ci + C2 {uXxxx (t, x) + u^xx (t, x) + |Uxxxxx (t, x) | + |urxxx(T,;

dL

dx2

[f(u(t, x))] > dx < 5C2n + 5C2 < / uxxxx(T, x)dx +

0

п п п

4 2 2

I / Ü4xx(t, x)dx I / üxxxxx (t, x)dx I / ü,2xxx(t, x)dx V , CCí » 0.

0

0

0

(48)

Далее, учитывая оценки (14) (для г = 4), (15) (для 3 =2), (13) (для г = 5, 3 =3), (17), (18) и априорные оценки (46), для всех т е [0,Т] имеем:

üxxxx (t, x)dx ^ ||uxxxx(T,x)||C ([0 ' п]) J üxxxx (T,x)dx ^ IMIb '2 T R0 ^

0

Пи „2

^ — ||ü||B5, 3 R0 = "тгR0 |M|rb, 3 ,

К 11 M-L-»o О -г- 6 11 1 1 O --

(49)

u^xx(T,x)dx < ||uTxx(T,x)|C([0 п]) / u2xx(T,x)dx < ||u|B 4• 2 R ^

0

22 П и ц2 n n2 l|2

^ T I|ü|r6,3 R0 = -7TR0 ||u||R6, 3

6 2 , 2 , т 6 2 , 2, т

2 ( )d <• П II II2

Üxxxxx (T, ^^)d^í ^^ 2 11Ü11 5,3 ,

2 ( )d <• П II II2

ÜTxxx (T, x^)dx^ ^^ 2 11Ü11 b5,3

(50)

(51)

Теперь в силу оценок (49)-(51) из (48) для всех т e [0, T] имеем:

п 2 2 2

/ {di2 [F(u(T,x))^ dx < 5nC2 + 5C22 ^уR + ^ l|uNB|'3т

(52)

п

п

2

п

п

2

п

п

п

п

К. П. Худавердиев, М. Н. Гейдарова. О классической разрешимости одномерной смешанной зада1 Таким образом, в силу оценки (52), из (47) получаем, что для всех Ь е [0,Т]:

2 39 39 /п2

МГд5,з < ас + — 5nC2T + —бе! — Ro + п

B2,2,t п 1 П 2 V 3

5,3 dr.

2,2,т

(53)

Из (53), применив неравенство Гронуолла - Беллмана, получаем

5,2 т < (ао + 195TC2) exp jl95 (3Ro + l) C|т} = Cf.

Таким образом, всевозможные классические решения задачи (1)-(3), принадлежащие про-

Б5 , 3 7""»5 , 3 т"

2 '2 t, априори ограничены в B2 '2 т. Теорема доказана.

5 3

□

Библиографический список

1. Ковач Ю.И. О краевой задаче для оператора mi-го порядка параболического или гиперболического вида // Украинский мат. журн. 1969. Т. 21, № 5. С. 579-593.

2. Ковач Ю. И. Об оценке решения нелинейной системы с запаздыванием, содержащей оператор mi-го порядка параболического или гиперболического вида //Численный анализ. Киев, 1969. Вып. 2. С. 20-38.

3. Yan Zhen-Ya, Xie Fu-Ding, Zhang Hong-Qing. Symmetry reductions, integrability and solitary wave solutions to high-order modified Boussinesg equations with damping term // Commun Theor. Phys. 2001. Vol. 36, № 1. P. 1-6.

4. Худавердиев К. И., Гейдарова М.Н. Исследование обобщённого решения одномерной смешанной задачи для полулинейного бипараболического уравнения четвёртого порядка // Вестн. Бакин. ун-та. Сер. физ.-мат. наук. 2007. № 1. С. 5-14.

5. Худавердиев К. И., Гейдарова М.Н. Исследование решения почти всюду одномерной смешанной задачи для нелинейного бипараболического уравнения четвёртого порядка // Вестн. Бакин. ун-та. Сер. физ.-мат. наук. 2008. № 2. С. 5-15.

6. Khudaverdiyev K. I., Heydarova M. N. On existence in large for almost everywhere solution of one-dimensional mixed problem for fourth order semilinear biparabolic equation // Proceedings of Institute of Mathematics and Mechanics of Nat. Acad. Sci. Azerb. 2008. Vol. XXIX. P. 79-96.

7. Худавердиев К. И. Исследование классического решения многомерной смешанной задачи для одного класса квазилинейных гиперболических уравнений второго порядка // Учен. записки Азерб. гос. ун-та. Сер. физ.-мат. наук. 1972. № 1. С. 3-27.

t

u

u