О разрешимости пространственно нелокальной краевой задачи для псевдогиперболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

О РАЗРЕШИМОСТИ ПРОСТРАНСТВЕННО НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПСЕВДОГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ*)

Н, С, Попов

Введение

Настоящая работа представляет собой исследование разрешимости пространственно нелокальных краевых задач с граничным условием А. А. Самарского с переменными коэффициентами для одномерных линейных псевдогиперболических уравнений второго порядка.

Пусть Л — интервал (0,1) оси Ох, Q — прямоугольник П х (0, Т), 0<Т<+ <ж. В облас ти Q рассматривается уравнение

пи - а(х,г)пхх + с(х,г)п - иххг = Цх,г), (х,г) е Q, (1.1)

с нелокальными краевыми условиями 1

их (о = о,г) + а2(г)п(1,г), о<г<т, (1.2) пх{М) = + о<г<т, (1.3)

с нелокальными краевыми условиями 2

,г) + а2(г)их( 1,г), о<г<т, (1.4) и(1,г) = А(г)их(о + (1.5)

Работа выполнена в рамках реализации фцп «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009^2013 гг. (соглашение №14.132.21.1349).

© 2013 Попов Н. С.

а также с нелокальными краевыми условиями 3

ux(0,t) = a(t)u(0,t) + a2(t)ux(M), 0 < t < T, (1.6)

u(l,t) = ei(t)u(0,t) + &(t)ux(l,t), 0 < t < T, (1.7)

где a(x, t), c(x,t), f(x,t), a (t), a(t), fti(t), A(t) — заданные функции, определенные при ж G Q = [0,1], t G [О, Т].

u x, t

моугольнике Q решением уравнения (1.1) и такую, что для нее выпол-

..

условия

u(x,0)=0, ut(x,0) = 0, x eQ. (1.8)

u x, t

Q.

..

.

u x, t

Q.

..

.

Отметим, что в [1] методом регуляризации и продолжения по параметру исследована разрешимость начально-краевой задачи для гиперболического уравнения

utt - uxx + c(x,t)u = f(x,t) (1.9)

с краевыми условиями 1, 2 или 3. В настоящей работе доказывается разрешимость краевых задач 1-3 методами, использованными при исследовании уравнения (1.9). В случае локальных краевых условий (1.2), (1.3), или (1.4), (1.5), или (1.6), (1.7), т. е. при выполнении условий a(t) = A(t) = 0, теоремы разрешимости аналогичных краевых задач для уравнений (1.1), называемых псевдогиперболическими,

доказаны в [2,4]. Отметим также, что в [5] для волнового уравнения (1.9) в случае с = с(х) методом Фурье исследованы общие пространственно нелокальные краевые задачи с постоянными коэффициентами а^ в2 при выполнении условия самосопряженности в Ь2 оператора --¡¡¿я + с(х), определенного на функциях, удовлетворяющих краевым условиям.

Разрешимость краевой задачи

Определим пространства V и Щ:

V = {ь(х,г): ь(х,г) е ьж)о,т-,щЦЩ,

Уь{х,г) е и(о,т; Щ(П)) п ито(о,т-Щ(П)), «„(х,4) е иМ)},

Щ = {у(х,г): у(х,г) е Ух, ю^х,4) е V}.

Нормы в этих пространствах определим естественным образом:

\Мк = \М\ь^(о ,т + \Ы\ь2(о,т;ж|(п))

+ \Мьх(о,т-^(П)) + Ьи\\ь2(Я),

1МК = \Мк + К\к .

Определим функции, которые понадобятся ниже. Пусть щ — число из отрезка [0,1]. Положим

а^х,4) = &® ~ (х-щ)2 + [щрг(4) + (1 -щ)сц(4)]{х-щ), г =1,2, Д(4) = [ 1 - - а2(1,4)] - а1(1,г)а2(о,г),

&1(ж,4) = {а1(ж,^)[1 — а2( 1,4)] + а2(х, Ь)а\ (1, 4)}, ¿±(1)

Ъ2(х,4) = ——{а1 (ж, 4)а2(0, 4) + а2(ж, 4)[1 — 01(0,4)]}, Д(4)

Лг(х,г) = {Ъ2(х,4)Ъг(1,4) - Ъг(х,4)[1 + Ъ2(1,4)]}А(4), Л2(х,4) = {Ъ1(х,4)Ъ2(0,4) - Ъ2(х, 4) [1 + ^(0,4)]}А(4).

Пусть £ — вектор (£1, £2, £3, £4) из пространства М4. Определим линейные формы Фх £), Ф2(г, £) и Ф(х,г, £):

*1&£) = [ьхх(0,г) - 2Ъ\¿(о,г)]£! + [Ъ2хх(0,г) - 2Ъ20,г)]£2 + [Ьх^о, г) - Ъг«(о, г) - с(о, г) - с(о, г) + ь.ххе(о, г)}£3

+ ьхх(о,г) - Ьг«(о,г) - с(о,г)Ъ2(о,г) + Ъ2хх^о,г)]&,

Ыг, £) = [Ьхх( 1, г - 2Ъ\1, г)]£1 + [Ьгхх( 1, г) - 2Ъ2¿(1, ^]£2

+ хх( М) - Ъ!и( М) - + Ьххг{ М)]£з

+ [Ъгхх( М) - Ъ2и( М) - с(1,г)Ъ2(1,г) - с(1,г) + Ъ2ххг{ 1,г)]&,

ф(х, г, £) = А(х, (г, £) + А(х,г)Ф2(г, £) + [ьхх(х,г) - 2Ъг¿(х,г)]& + [Ъ2хх(X, г)-2Ъ24(х, г)]£2 + [Ъ1 хх{х, г)-Ъги{X, г)-с(х, г)Ъх {х, г)+Ъххг{х, ^]£з + [Ъ2хх(х,г) - Ъ2«(х,г) - с(х,г)Ъ2(х,г) + Ъ2ххг{х,г)}£4.

Определим функцию /(х,г):

¡(х, г) = /(х, г) + А (х, г) до, г) + А (х, г)/(1, г).

Введем обозначение /х(х,г, и) = /(х,г) + (а - 1 )ихх, тогда справедливо равенство

/ (х, г, и = / (х, г) + А (х, г/(о, г) + А (х, г)М 1, г)

= /(х, г) + (а - 1 )ихх(х,г) + А(х,г)До, г) + А(х,г)(а - 1 )ихх(о,г)

+ А(х,г)/(1,г) + А(х,г)(а - 1 )ихх( 1,г)

= /(х,г) + А(х,г)(а - 1 )их^о,г) + А(х,г)(а - 1 )ихх( 1,^-Теорема 1. Пусть выполняются условия а(х,г),с(х,г) € С1^), ец(г) € С3([0,Т]), АйеС3([0,Т]), г =1,2;

|Д(г)| > 60 > 0 при г е[0,Т\, (2.1)

/(х,г) е ЫЯ), /х(х,г) е ь2(д). (2.2)

Тогда существует единственная функция и(х, г) из пространства являющаяся в прямоугольнике Я решением уравнения (1.1) и удовле-

...

Доказательство. Пусть т = (ш4(0,4),тг( 1,4),ш(0,4),ш(1,4)). Доказательство теоремы 1 основано на исследовании разрешимости в пространстве Щ следующей вспомогательной начально-краевой задачи для «существенно нагруженного» [2,3] псевдогиперболического уравнения: паптп функцию т(х,4), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

ты - тхх + с(х,4)т - Юххг = к{х,4,и) + Л (х, 4)[шхх (О,4) + (0, 4)] + А2(х, 4)[и>хх(1, 4) + и>х^( 1, 4)} + Ф(х, 4, «7) (2.3)

н такую, что для нее выполняются условия

т{х,0)=тг{х, 0) = 0, х еП, (2.4)

шх(0,4) = тх( 1,4) = 0, 0<4<т. (2.5)

Искомая разрешимость устанавливается с помощью метода продолжения по параметру. Основой для применения метода продолжения по параметру и для предельного перехода по параметру регуляризации являются априорные оценки.

Найдя решение т(х,4) краевой задачи (2.3)-(2.5), положим

и(х,4) = т(х,4) + Ъ±(х,4)т(0,4) + Ъ2{х,4)т{\,4).

Эта функция и будет искомым решением краевой задачи 1.

Пусть А — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим семейство начально-краевых задач: найти функцию т(х, 4), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

Шы - Шхх + ст - Юххг = Ь(х,4,и) + А[Л{х,4){тхх(0,4) + Шхх^О,4)) + А2(х,4)(и>хх(1,4) + и>хх^1,4)) + Ф {х,4,Щ (2.6)

и такую, что для нее выполняются условия (2.4), (2.5).

Покажем, что данная краевая задача имеет решение, принадлежащее пространству Щ1 для всех чисел А из отрезка [0,1]. Для доказательства воспользуемся методом продолжения по параметру.

А,

которых краевая задача (2.6), (2.4), (2.5) при выполнении условий (2.1),

(2.2) имеет решение -ю(х, г), принадлежащее пространству Если

покажем, что множество Л непусто, открыто и замкнуто, то оно будет

,

При Л = 0 краевая задача (2.6), (2.4), (2.5) ) при выполнении условий (2.1), (2.2) разрешима в пространстве (см. [2]). Из этого следует, что число 0 принадлежит множеству V, стало быть, множество Л непусто.

Открытость и замкнутость множества Л доказывается с помощью априорных оценок. Установим их наличие. Положим

Р = А (х, г, и) + л А (х, г) Кх (о, г) + ^(о, г)]

+ А2(х,г)[тхх(1,г) + тхх^1,г)] + Ф(х,г,й>)}.

Рассмотрим равенство

г

{^хтт ^ххх ""Ь С^х ""Ь СхЫ ^хххт)

О fi

dxdr

Fx

о п

-I -i)/ I

^жт i х i \ wxx ~~ь wxxtj ~~ь wxтт ^у^хххт

dxdr,

где y — фиксированное положительное число, величина которого будет уточнена ниже.

Интегрируя по частям и используя указанное выше начальное условие для функции w(x,t), нетрудно от данного равенства перейти к следующему:

\ j [wlt(x^)+wlx(x^)] dx+4~f * 1 j w2xxt(x,t)dx+1 j w2xxx{x,t)dx

fi fifi t t t

+ IIIdxdT + 7 / / dxdT+14 I[WIM T) + T) 0 fi 0 fi

т2хЛ 1,т) + и,2ххЛ 1,т)]в.Т= -А7 / Л х( х,т)(тхх(0 ,^ + тхх^О ,т))

О п

+ Л2х{х, т){тхх{ 1, т) + Шххг{ 1, т))}тхххг ЛхЛт

тхх х, 4)шххг{х, 4) ¿х

о П

п г

х - ^юххт[юхтт - и)ххх] ¿хА + J J[Л® ~ си,х ~ Сх'Ш + ЛФх]

о п

I тххтхххт

¿хйт

+ \ / / + ^ ~ / / ~ ^ О п о п

г

А^ х(х, т)(Шхх(0,т))+Л2х(х, т)(Шхх( 1,т

О п ШххД 1,^))]

Ухт - ( X - - ) (г«хх + Ыххт) + 7Ухтт

¿хйт. (2.7)

Первое слагаемое в правой части равенства (2.7) оценим с помощью неравенства Юнга:

г

А^ I/Л х^ х, ^(0, т) + Шххт(0 ,т)) + Л2 х( х,т){тххХ 1,т) о п

• Шххг( 1, ^)]®хххт ¿хйг

2 II ™*ххт 3,х3,т + 27 т-Х ^

о п ^

«4(0 ^¿^¡^хЛ 0 ^

г

1Ш хЛ1 ^

• 27тах 4)]

.

г

г

X

Для второго слагаемого правой части равенства (2.7) имеет место оцен-

ка

J ^х --^jwxt(x,t)wxx(x,t) dx < -J wxt(x, t) dx + — J w2xx{x,t)dx. fi fifi

(2.9)

Для третьего слагаемого правой части равенства (2.7) имеет место оценка

Т I wxx{xi t)tVxxt(x: t) dx\ ^gj wxx(x,t) dx + - J wxxt(x,t) dx. fi fifi

.

Используя неравенство Юнга и элементарные неравенства вложения, нетрудно показать, что оставшиеся слагаемые правой части равенства (2.7) оцениваются сверху величиной

t t Y I I WxxxT dxdT+ f (WXx(0,t)+w2xxt(°,T)+w2xx(V

0 fi

WxxÁ dT

K

dxdT

.0 fi

t

¡ J (f? + fix) dxdT

0 fi

с произвольным положительным числом 6 и числом К, определяемым функциями а(х,~Ь), е(х,г), а2(г), А (г) и @2(г), а также числами 6

и 7. Так как Д(х,г,и) = /(х,г) + (а — 1)[гшхх{х,г) + хх(х,г)-ю(0,г) + Ъ2хх(х,г)т(1,г)], справедливы оценки

f (x, t, U) < K2 [f (x, + w2xx(x, + bl xx ( x> + b\ xJx, (1, ,

fLix,t,U) < Kz[fHx,t)+w2xx(x,t)+b21 xxix,t)wH0,tHbÍxxix,t)w(1

+ wxxÁx> bíxxxix> ^ (0, Ь\xxxix (M)] .

Имеем

^м + ^м) < К( мн^м) ] ¿х

п

< С2 ! [и^хх^^) +ш2хх(х,4:)] ¿х. п

Далее выберем число 7 так, что

27 тах { тах (х> > п1§х \$>х (х>4)] } < 7 • Я Я 4

Используя неравенства (2.8)-(2.10), а также подбирая число 3 малым,

нетрудно получить, что из (2.7) следует неравенство

п п

г г

+ Ц тхххт (х, 4 ^¿Т + I ^О, Т) + ^(0, т) + ^(1, Г) О п о

^ххЛ 1,т)] ¿т < К4

[ш2хт + ихх+ ш2ххт + ш2хтт + ш2ххх) ¿'х^'т

|_о п

г

/ / (Р + Рх ) ¿X¿T

О п

,

в котором число К определяется лишь функциями а(х, 4), с(х, 4), а (4), а2(4), 01(4) и 02(4). Из (2.11) с помощью леммы Гронуолла нетрудно

получить первую априорную оценку

[]

п

[ШЛx, 4) + ихх(х, 4) + иххлХх, 4 + и"ххх\х,

4) + ихтт (х,Щ ¿х

г г

! J ихххт (X,4)¿X¿T+ ! [ии2хх(® ,т) + и*ххЛ® ,ТНихЛ1,Т)

о п

.(1,т)] ¿т < К ] I (/2 + /) ¿хЛт, (2.12) о п

т

постоянная К в которой определяется числом Т, а также функциями а(х,г), е(х,г), ^(г), ^(г), в (г) И Д(г). Наконец, продифференциро-

х

априорную оценку

г т

/ / ^ + ] < К / / Ю + П ) ^ (2.13)

о п о п

К Т а х, г

е(х,г), ^(г), ^(г), ^(г) и р2{г)-

Оценок (2.12) и (2.13) вполне достаточно для доказательства открытости и замкнутости множества Л. Действительно, эти оценки означают выполнение неравенств

ник < М(II/IIЬ2(Я) + Ю\ь2(д)), \\РНь2(д) + НРхНЫф < МНИК.

С помощью полученных неравенств, применяя стандартные приемы доказательства открытости и замкнутости множества Л (см. [6]), нетрудно установить требуемое. Конкретные реализации можно найти, например, в [7,8].

Другими словами, краевая задача (2.6), (2.4), (2.5) при выполнении условий теоремы имеет решение и(х, г), принадлежащее пространству при всех значениях Л, в том числе и при Л = 1. Положим

и(х,г) = и(х,г) + ъ±(х,г)и(о,г^ + ъ2{х,г)и{\,г).

Очевидно, что функция п{х, г) принадлежит пространству V и является решением поставленной краевой задачи.

Единственность решений краевой задачи (1.1)—(1.3), (1.8) в пространстве V следует из оценки (2.12). Теорема полностью доказана.

Разрешимость краевых задач 2 и 3 Теорема 2. Пусть выполняются условия

а(1,г),ф,г)ес2(д), «¿(г),$(г) е с3([о,т]), ¿=1,2; (3.1)

a%(t) + pl(t) <2^(t)^(t) npnt e [0,T\, (3.2)

ай - ай >0 npnt e [0(3.3) ай + 3i(t) = о npnt e[0,T]; (3.4)

3Mo e (0; 3/2) : + 5а'+ 4а'(t)£i£2 + [Mo - 53'(t)]£f > 0

np^t e [o,T, e e R2; (3.5)

f(x,t) G L2(Q), ft(x,t) G L2(Q), fxt(x,t) <= L2(Q),

f(x, 0) = 0 npHxeïl, fx(o, 0) = /ж(1,0) = 0.

Тогда существует единственная функция u(x,t) из пространства являющаяся в прямоугольнике Q решением уравнения (1.1) и удовле-

...

Доказательство разрешимости краевой задачи 2 основано на методе регуляризации этих задач краевыми задачами вида 1, использовании теоремы 1, априорных оценок и предельном переходе. Пусть е — положительное число. Положим

а Л t) = «i(t) + е, в е( t) = 32(t) - е.

Рассмотрим следующую вспомогательную краевую задачу: найти u x, t Q

.. а также нелокальные условия

u(0,t) = ai £(t)ux(0 ,^ + а2(фх( l,t), 0<t<T, (3.7)

u(\,t) = fr(t)ux(0 ,t) + /32 E( t)ux( l,t), 0<t<T. (3.8)

Покажем, что полученная краевая задача для любого е > 0 при вы-

u x, t u x, t e

V, ut(x,t) e V\.

Положим До e( t) = а e( t)32 e( t) — ^(t)^(t). Заметим, что в силу t e , T

е

A0£(t) = -e2 + e(/32(t) - ai(t)) + ai(t)p2(t) - a2(t)p±(t) < - — ,

или £2 —2ев (г) — а(^)—2а1(г)в2(г)+2а2(г)Д(г) > 0, где дискриминант неположительный:

Шг) — Мг))2 + — ^(г)^(г))

= вЦг) + аЦг) — 2^(г)^(г) < о.

Следовательно, условия (3.7), (3.8) эквивалентны исследованным условиям краевой задачи 1:

ПхМ = ^^гиМ -О <*<Т, (3.7')

△ 4 г) До 4 г)

= + о <г<т. (3.8')

△ 4 г) △ 4 г)

Если положить щ = О, то функцпя Д(г), вычисленная по этим условиям, имеет вид

Согласно (3.3) имеем Д (г) ^ 1. Выполнение этого неравенства и условия (3.1), (3.5) означают, что для краевой задачи (1.1), (1.8), (3.7'), (3.8') выполняются все условия теоремы 1. Тогда эта задача будет

иметь решение, принадлежащее V- Более того, если вместо задачи . ' . ' г

задачу: найти функцию и(х, г), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

иш — а(х,г)иххг — аг( х,г)ихх + с(х,г)щ + сн( х,г)и — иххгг = /г( х,г)

.

△ 4 г) До 4 г)

(Л /п , а1е№ 1Л

то нетрудно показать, повторяя доказательство теоремы 1, что данная задача будет иметь решение и(х, 4) такое, что и(х,1) € У, иг(€ У.

Вернемся к краевой задаче (1.1), (1.8), (3.7), (3.8). Как следует из доказанного, эта задача имеет решение иЕ( х,1) такое, что иЕ( х,1) € У, и*г(х,Ь) € У. Рассмотрим равенство

и£ТТТ и£ХХТ си£Т Т' Ст и£ХХТТ

Си*т + Ст и* — и *

О п

«етт - М ( X ~ - ) (иехт + Ме

ЛхЛт

к Т

О П

I -IV I -I

^ 2 / ^ежт ^£хтт) ^ ^еттт ^ ^еххтт

ЛхЛт,

где м € (^о>3/2). Интегрируя по частям и используя начальные условия (1.8) для функции и(х, 4), условия (3.6), нелокальные краевые условия (3.7), (3.8), от данного равенства перейдем к следующему:

\ J [и1и(х^) + и2Ехг(х,г)] ¿х + ^ ! и2Ехи(х,г) ¿х + ^ ! и1ххг{х,г)<1х

о п

и*ттт Л'^хЛ/т

г

3- 2^

и£ХТТ (1х(1т +

и£ххтт ЛхЛт

о п

о п

Л / |_Метт1"1 т/ + и£тт\*-> т) + т/ + и£хт

о

г

М . 5 , , .

4 + 4«!^)

иЦ*хтт^0, т) + а' (т)иехтт(0, т)и*хтт{ 1, т)

= »/ (х-I) «,«(*, Ь)3,х-\! пеАх, г)иЕха{х, Ь) <ь

г

г

о п

X

х 2)uexTT[aeTTT uexxT] dxdr

f т -

T СПЕТ СТ ПЕ

О fi

i -Di I _I

^етт \ X ^ J (^ежт ""Ь Uexrr) ""Ь ^ W£rTT ^^еххтт

dxdr

t t + 2 // \-u2^T + UIxt] dxdT - V J J

О fi 0 fi

t

""b I [(uext( 1? T) ""b ПЕХТТ ? TJ "T" П£ХТТ

о

t

X П£ТТ

(0, r)] dr + - [

П£ХТ\ -L ? ? TJ U£XT ? T )П£ТТТ (0, т)] dT

о

t

j usxtt(0, т)[а"'(т)иех(0,т) + 3а"(т)иехт(0,т) + а2"(т)ист(1,г) о

t

+ 3c4'(T)ueBT(l, r)] dr+^J uEXTT( 1, T)[ß["(T)uex(0, t) + 3#'(t)*w(0, r)

о

+ T)nex{ 1, т) + 3$'(т)п£хт( 1, t)] dT. (3.9) Из условий (3.2)—(3.6) вытекает выполнение неравенств

М . 5 , , ч 4 + 4aiW

У^хтЛ®,т) + а^ (т)иехтт(0,т)пехтт{ 1,т)

(l,r) \ dr > М I [u2exTT(0,T)+u2exTT(l,T)]dT,

{ (3-Ю)

Для первого и второго слагаемых правой части равенства (3.9) имеют

место оценки, аналогичные (2.9), (2.10):

J — — ^ uEtt(x, t)uEXt(x, t) dx ^ —J u2ett(x, t) dx + — J u2ext{x,t) dx, fi fifi

(3.11)

1 í 1 í' 1 í'

< g / u2EXt(x,t)dx + - / u2EXtt(x,t)dx.

fi fi

.

- I иехг(x, 4)и*хгг{х, 4) Лх П

Используя неравенство

г г г

У^2(0,т)+^2(1,т)]Лт < ^ J у2Х(х,т)ЛхЛт+ С(3) J Jv2(x,т)dт, о о п о п

в котором 6 — произвольное положительное число, оценивая правую часть равенства (3.9) с помощью неравенства Юнга и элементарных интегральных неравенств, учитывая неравенства (3.10)^(3.12) и применяя лемму Гронуолла, получаем, что для решений краевой задачи (1.1), (1.8), (3.7), (3.8) имеет место априорная оценка

J [и2гг(х,4)+и2хг(х,4)+и2хгг(х,г) + ™2ххг(х,г)] Лх п

г

+ УУ [и2ттт( х,^ + и1хтт + и2ххтт( х] ЛхЛт

О П г

+ У [и*тт(0,т) + и2етЛ 1,тНи2хт(0,т) + и2хт(1,т) О

т

+ и*2хтт(0 ,т) + и*хтМ ,т) ] Лт < У / + /Т) ЛхЛт, (3.12)

о п

в которой постоянная К определяется числом Т, а также функциями а(х,1), с(х,1), а.\ (4), «2(^)5 и ^(1). Наконец, используя эту оценку, уравнение (1.1) и продифференцированное по переменной 4 уравнение

(1.1), нетрудно получить вторую априорную оценку г т

п

о п

о п

с постоянной определяемой числом Т и заданными функциями

а(х,г), с(х,г), а±(г), а (г), ^(г) и

Оценок (3.12), (3.13) достаточно для осуществления предельного перехода при е ^ 0 в краевой задаче (1.1), (1-8), (3.7), (3.8). Предельная функция принадлежит пространству V и является искомым решением краевой задачи 2.

Теорема 3. Пусть выполняются условия

а(х,г),с(х,г) «¿(¿),АС0 е с3([о,т]), « = 1,2;

а2(г) > —1, & (г) < О при г е [О, Т];

зМо е (0; з/2) : [Мо(1 + 4(г)) — (г)]£? + Ца2(г) — > о

Тогда существует единственная функция и(х, г) из пространства V, являющаяся в прямоугольнике ^ ^^^^^^^^ уравнения (1.1) и удовле-

..

доказательство данной теоремы вполне аналогично доказательству теоремы 2. Регуляризующей будет следующая задача: найти функцию и(х,г), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравие-.. а также условия

при г е [о,Т], £ е к2; Юх,г) е иМ), /г(х,г) е /хг(х,г) е

/(ж, 0) = 0 при ж € О, /ж(1, о) = 0.

их , г а г

их , г

Эта задача имеет решение u(x,t) такое, что u(x,t) £ У, ut(x,t) £ Vi. Априорные оценки, равномерные по е, выводятся, как в доказательстве теоремы 2. Предельный переход осуществляется стандартным об-

V

решением краевой задачи 3. Теорема доказана.

Заключение

1. Утверждения теорем 1-3 справедливы и для более общих уравнений вида

utt - a(x, t)uxx + b(x, t)ux + c{x, t)ut + d(x, t)u - uxxt = f(x, t) при выполнении необходимых условий гладкости на входные данные.

2. Условия f (x, 0) =0, fx(0, 0) = fx( 1,0) = 0 теорем 2 и 3 являются техническими, и от них вполне можно отказаться. В краевых условиях задач 1-3 вполне возможно присутствие свободных членов ip(t) и ф(£).

3. Полученный по ходу доказательства теоремы 1 результат о разрешимости краевой задачи (2.3)-(2.5) для «существенно нагруженного» уравнения (2.3) имеет и самостоятельное значение.

4. Единственность решений при выполнении условий теорем 1-3 очевидна.

ЛИТЕРАТУРА

1. Bouziani A. Strong solution for a mixed problem with nonlocal condition for certain pluriparabolic equation // Hiroshima Math. J. 1997. V. 27, N 3.

1. Кожанов А. И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых задач для линейных гиперболических уравнений второго порядка // Докл. АН. 2009. Т. 427, № 6. С. 747-749.

2. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: Элм, 1985.

3. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их применение. М.: Наука, 2012.

4. Kozhanov А. I Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.

5. Лажетич H. Л. О классической разрешимости смешанной задачи для одномерного гиперболического уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 8. С. 1072-1077.

6. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

7. Кожанов А. И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 6. С. 769-774.

8. Кожанов А. И., Пулькина Л. С. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 9. С. 1166-1179.

г. Якутск

5 июня 2013 г.