Научная статья на тему 'О разрешимости пространственно нелокальных краевых задач для уравнения третьего порядка'

О разрешимости пространственно нелокальных краевых задач для уравнения третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
67
10
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
УРАВНЕНИЕ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА / НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА / УСЛОВИЯ САМАРСКОГО / РЕГУЛЯРНОЕ РЕШЕНИЕ / СУЩЕСТВОВАНИЕ / ЕДИНСТВЕННОСТЬ / THIRD ORDER EQUATION / NONLOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEM / SAMARSKI CONDITIONS / REGULAR SOLUTION / EXISTENCE / UNIQUENESS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Лукина Галина Александровна

Рассматриваются пространственно нелокальные краевые задачи с граничными условиями А. А. Самарского с переменными коэффициентами для уравнения третьего порядка. Доказывается разрешимость поставленных задач в классах регулярных решений.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Solvability of the space nonlocal boundary value problems for third order equations

Considering the space nonlocal boundary value problems with the Л. Л. Samarski conditions for third order equations. We prove the existence and uniqueness theorems.

Текст научной работы на тему «О разрешимости пространственно нелокальных краевых задач для уравнения третьего порядка»

УДК 517.946

О РАЗРЕШИМОСТИ ПРОСТРАНСТВЕННО

НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА*)

Г, А. Лукина

Различные краевые задачи, локальные или нелокальные по времени, для уравнений нечетного порядка исследовались в [1-4]. В работе [5] методами регуляризации и продолжения по параметру исследована разрешимость некоторых пространственно нелокальных краевых задач для линейных параболических уравнений. В настоящей работе методами регуляризации и продолжения по параметру доказывается разрешимость пространственно нелокальных краевых задач с граничными условиями А. А. Самарского с переменными коэффициентами для уравнения третьего порядка.

1. Постановка задач

Пусть Л — интервал (0,1) оси Ох, Я — прямоугольник П х (0, Т), 0 <Т < + <ж. В области Я рассматривается уравнение

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 0ЕЮ1Ч)0422а) и аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала» (код проекта АХ-23/11 пр. от 12 декабря 2008 г.).

Щи + ихх - ^(х, Ь)п = /(х, ¿)

(1.1)

с нелокальными краевыми условиями

Мх(0,г) = а1(г)и(0,г) + а2(£)и(М), 0 < t < Т,

пх(М) = о,г) + вККМ), о < t < Т,

(1.2)

© 2010 Лукина Г. А.

либо

u(0,t) = a(i)Ux(Oайи^ l,t), 0 < t < T,

u(l,t) = A(t)ux(Û,t) + fo(t)ux( 1 ,t), 0 <t<T, (L3)

где ^(x,t), f(x,t), ai(t), fîi(t), e(t) — заданные функции, опре-

деленные при ж (Е О, t G [О, Т].

u x, t

моугольнике Q решением уравнения (1.1) и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия (1.2), а также условия

u(x, 0) = ut(x, 0) = u(x,T) = 0, x Е О. (1-4)

u x, t

Q.

.

u(x,0)=ut(x, 0)=utt(x,T) = 0, x GÛ. (1.5)

u x, t

Q

няются нелокальные краевые условия (1.3) и (1.4).

u x, t

Q

няются нелокальные краевые условия (1.3) и (1.5).

2. Разрешимость краевых задач I и II

Определим необходимые пространства. Именно, пусть vq, wq — следующие пространства:

Vo = W*;lt(Q), W0 = Mx,t) : v(x,t) Е V0, vx(x,t) Е V0}.

Норма в пространстве V0 есть стандартная норма в анизотропном соболевском пространстве, норма в пространстве Wo определена естественным образом:

IMIw = IlvxMV..

Прежде чем доказывать разрешимость задачи I, заметим, что для функций -у(х, го пространства Wo, для которых выполняется условие (1.4), имеют место следующие неравенства:

1 1

(2.1)

«2(0,г) ^ ¿г J УХ( + 1) J v2{x,t)dx,

о о

1 1

о о

т т т

¡^.т « ^¡.ЪМЬ + ЪМ)}^)*; (2.2,

оо о

т т т

IVКх, г) А < ¿3 / VIг (х, О С № ,Т) / (х, 0 л, (2.3)

оо о

в которых ¿1, ¿2, ¿з — произвольные положительные числа, числа С1, С5 С вычисляются вполне определенным образом через ¿1, ¿2, ¿3 и Т.

Теорема 1. Пусть выполняются условия

/1(1,1) е с'й), /х(ж, г) > /х0 > о при (х,г) е^; (2.4)

а,(г) е С3([0,Т]), Ш е С3([0,Т]), ¿=1,2; (2.5)

а^ + ййЛ Ш е[0,Т]; (2.6)

+ [а(г) - - ^ 0 при г е [о, Т], (й, 6) е К2;

.

/М)/х,г) е Ь2(д). (2.8)

Тогда краевая задача I имеет решение м(х,г), принадлежащее пространству Wo.

Доказательство. Проведем некоторые вспомогательные построения. Для (ж, 4) (Е <5, А (Е [0,1] положим

Ах2

ск(ж,4, А) = -[&(*) — 0:1(4)] + Ажо:1(4),

ß(x,t, А) = —[fo(t) - a2(t)] + Лxa2(t),

w(x, t) = u{x, t) — a(x, t, A)u(0, t) — ß(x, t, A)u(l, t).

Полагая в равенстве, определяющем функцию w(x,t), поочередно x = 0, x = 1, получаем, что функции u(0,t), u(l,t) можно вычислить через функции w(0, t), w(l,t) с помощью алгебраической системы

[1 — а(0, t, A)]u(0, t) — ß(0, t, A)u(l, t) = w(0,

—a(l,t,A)u(0,t) + [ 1 — ß(l,t,A)]u(l,t) = w(l,t).

Поскольку определитель этой системы не равен нулю при t € [0, T] (это следует из условия (2.6)), то функции u(0,t) и u(l,t) можно выразить через функции w(0,t) и w(l,t):

u{Q,t) = w(o,t), u(i,t) = ъ^ащо^)+ Y2(t,A)w(i,t),

где

A[ai(t) +/3i(t)] = 2

1 ' ^ 2 - A[a2(t) + ß2(t)]' 721 ' ; 2 - X[a2(t) + ß2(t)]'

Определим функции a(x,t,\), b(x,t,\):

a{x, t, A) = [a(x, t, A) + ß(x, t, A)]yi (t, X),

b(x,t,A) = ß(x,t,A)Y2{t,A). Имеет место равенство

u x, t w x, t a x, t, A w , t b x, t, A w , t .

u x, t . w x, t

будет выполняться равенство

Witt + wxx - fj,(x,t)w = f(x,t) + Ф(ж,г, A,w(t)),

wt

w(t) = (wm(0, t), wtttX l,t), w«(0, t), wtt{ 1, t), wt{ 0, t), wt{ l,t), w(0, t), w(l, t)),

Ф(x,t, X,w) — линейная по w(t) форма, коэффициенты которой определяются функциями a(x,t, А), b(x, t, A) и ^(x,t):

$(x,t,\,w(t)) = A1(x,t,\)wttt(0,t) + A2(x,t,\)wttt(l,t)

+ A (x, t, A)w« (o, t) + A (x, t, A)w« ( i,t)

+ A (x, t, Aw^O, t)+ A (x, t, A)wt (1, t)

+ A(x,t, A)w(o,t) + A(x,t, A)w(i,t),

A(x, t, А = —a(x, t, A, A(x, t, А = —b(x,t, A), A(x,t, А = —3at(x,t, A, A(x,t, А = —3bt(x,t, A, A(x,t, A) = —3att(x, t, A, A(x,t, A) = —3btt(x, t, A, A(x,t, A) = — [аш(x,t, A — ажж(x, t, A — Mx, t)a(x, t, A], A(x,t,A) = — [бш( x,t, A — bx^ x,t, A — Mx,t)b(x,t, A]-

Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию w(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

Witt + Wxx - fj,(x,t)w = f + Ф(ж,г, A, w) (2.9) и такую, что для нее выполняются условия

w(x, 0) = wt(x, 0) = w(x, Г) = 0, x G О,

Wx(0,t) = wB( l,t) = 0, t e(0,T). (2'10)

Разрешимость рассматриваемой краевой задачи для уравнения (2.9) докажем с помощью теоремы о методе продолжения по параметру [6].

A,

которых краевая задача (2.9), (2.10) при выполнении всех условий теоремы 1 имеет решение w(x, t), принадлежащее пространству Wo. Если

мы покажем, что множество Л непусто, открыто и замкнуто, то оно,

,

A

W

ет, что число 0 принадлежит Л и тем самым множество Л непусто.

Открытость и замкнутость множества Л доказываются с помощью априорных оценок. Установим их наличие.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Пусть т(х,г) — решение краевой задачи (2.9), (2.10) из пространства Wo. Используя неравенство (2.1), нетрудно показать, что функция и(х, г), определенная выше, также будет принадлежать Wo. Далее, несложные выкладки показывают, что функция и(х,~Ь) представляет собой решение краевой задачи

ида + ихх — х,г)и = ¡(х, г), их(о ,г) = А[«1(г)и(о,г) + а2(г)и(М)], их( М) = Щк (г)и(о, г) + /32 (г)и(м)], и(х,0) = щ(х, 0) = и{х, Т) = 0. Рассмотрим равенство

т 1 т 1

— J ![иш + ихх — ^(х,г)и]и <х& = — ^ J /иёхА. (2.11)

0 0 0 0 Интегрируя по частям, используя указанные выше граничные и начальные условия для функции и(х,г) и неравенство Юнга, нетрудно перейти к следующему неравенству: т 1 1

J ¡[ul + .ix^dxdt + lJuU^dx

_ x

о о

т

+ X j{a(t)w2(0,t) + [a2(t) - A(i)M0,iMM) - &(t)u2(l,t)} dt о

T 1 T 1

^ — J j и2 dxdt + J J /2 dxdt, 0 0 0 0

в котором S — произвольное положительное число. Используя условия (2.4), (2.5) и (2.7), получаем, что следствием равенства (2.11) будет

оценка

T 1

J J[u2+ Ux] dxdt < M (2.12)

о о

с постоянной Mi, определяющейся числом ко> а также функциями ai(t), ай, A(t), &(t) и f{x,t).

На следующем шаге рассмотрим равенство

T 1

/ I[Uttt + Uxx - tH (X - 1/2Ki" + Utlt] dxdt

о 0

T 1

= Hf [-Uxxttt + (x - muxttt + UXX + U»t]dxdt.

о 0

Вновь интегрируя по частям, используя граничные и начальные условия для функции u(x, t), от данного равенства переходим к следующему:

T 1 1

//[*&« + *&,+ 2U«t] dxdt+\ j^xt{X,T)dX 0 0 о

1 T T

+ / ,&(*, T) d* + i J ulM t) dt + i J ult(l,t) dt

0 0 0 T

+ xj{a^U^O.^hW - AW]U«t(0,^Uttt(i,t)

T 1

- fi2(t)nttt( l,t) } dt = J J [^(x,t)Ux Uxttt+ Kx( x,t)UUxttt о о

- (x - l/2)UxxUxttt - (x - l/2)^(x, t)UUxm + ^(x, t)UUxx + k(x, t)UUttt

T

+ fxUxttt + (x - mfUxttt + fUxx + fUttt] dxdt- xj {з « it)^ ,t)

0

+ 3«' (t)Ut(0 ,t) + a'" Ut( 0 ,t) +3a' (t)Utt( l,t) + 3a'' (t)Ut{ l,t)

+ мж«(043в'(*)ии(о+ зв"(г)щ(0,г)

+ в"Ч(0+ Зв' (*)ии( М) + Зва (М) + взЧ(М)]иш( М)} ^ т

+ У [^(0, ¿)и(0, ¿)ихШ(0, ¿) - ^(1, ¿)и(1, ¿)ижШ( 1, - 2ижД0, ¿)и«(0, ¿) о

+ 2ихг{ 1,1)игг{ М) + 1(0^)ихШ(0, - /(МКш( 1,Щ(И.

Используя условия (2.5), (2.7), оценивая слагаемые правой части с помощью неравенств Юнга, (2.1)^(2.3) и оценки (2.12), получаем априорную оценку

т 1 1

2

• Ц

Ц[и1ш + и1х + и?«] ¿^ + 1иХхАХ,Т)ПХ оо о

1 т т

+ /,4(..т^/^«.^^/^,!,,,,*«м (2.13,

ООО с постоянной М2, определяющейся числом а также функциями

ай, ай, и ЯМ).

Оценка

т 1

У |и9Ххх ^ < М3 (2.14)

о о

с постоянной М3, определяющейся числом а также функциями «1(^)5 «2(^)5 вг(^) и /(ж,£), очевидным образом следует из до-

казанных оценок (2.12) и (2.13).

Оценки (2.12)^(2.14) вместе с неравенствами (2.2) и (2.3) дают очевидную оценку

1М|ж0 < М0. (2.15)

Аналогичные оценки имеют место и для функции ад (ж, ¿). Как уже говорилось выше, этих оценок достаточно для применения теоремы о методе продолжения по параметру. Следовательно, при выполнении условий теоремы 1 краевая задача (2.9), (2.10) имеет решение

принадлежащее пространству Wo, при веет значениях Л, в том числе и при Л = 1.

Функция

u(x, t) = w{x, t) + a(x, t, l)w(0, t) + b{x, t,l)w(l,t)

принадлежит пространству Wo, из приведенных выше построений следует, что эта функция будет требуемым решением краевой задачи I.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть выполняются условия

¡j,{x,t) G CX(Q), ¡j,{x,t) > ¡jq > 0 при (x,t) G Q; ai(t) G C3([0,T), ßi(t) G O3([0,T]), ^1,2; aW+ÄW/2 Vt G[0,T]; - ßi№ib - fh№l >0 при t G [0, T], (a, 6) G R2; f(x,t),fx(x,t) G L2{Q).

u x, t

W

Данная теорема доказывается полностью аналогично теореме 1.

3. Разрешимость краевых задач III и IV

Разрешимость краевых задач III и IV удалось установить, к сожалению, лишь в случае ai: ßi = const, i = 1, 2.

Краевая задача III*. Найти функцию u(x,t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (1.1) н такую, что для нее выполняются условия (1.4) п

u(0,t) = «iux(0, t) + a2ux{ 1, t), 0 <t < T,

u(l,t) = eiux(0,t) + ß2uxil,t), 0<t<T. ^

* u x, t

Q. иолняются нелокальные краевые условия (1.5) и (1.3*).

Теорема 3. Пусть выполняются условия

¡j,{x,t) G C^Q), ¡j,{x,t) ^ ¡л о>0 npn(x,t)GQ; (3.1)

а + А Ф 2;

«i£i2 + [а - - А£22 >0 при (а,6) g R2;

/М)/ж^) G

(3.2)

(3.3)

(3.4)

Тогда краевая задача III* имеет решение w(x,t), принадлежащее пространству W0.

Доказательство. Пусть аА-аА ф 0. Тогда функции ux(0 ,t),

wx( l,t) можно выразить через функции w(0,t), w(l,t), т. е. краевая

*

Рассмотрим случай, когда аА — а А = 0, и докажем разрешимость рассматриваемой краевой задачи методом регуляризации. Пусть £ > 0. Регуляризация граничного условия имеет вид

Поскольку определитель этой системы не равен нулю (это следует из условия (3.3)), функции их(0,4), их( 1,4) можно выразить через функции и(0, 4), и(1,4):

Согласно теореме 1 при выполнении условий теоремы 3 краевая задача

м(0, t) = (а + £)wx(0, t) + ам^ 1, t), о < t < T, w(i,t) = АМо,t) + (А - фж( i,t), о < t < т.

(i-з *)

мх(о,t) = аем(о, t) + аеЦ1, t), о < t < т,

l,t) = Аew(0,t) + А£w(l,t), о < t < T.

Ида + Мжж - м(ж, t)w = /(ж, t), Иж(0,t) = аew(0,t) + а£w(l,t), 0 < t < T, Иж( l,t) = Дeu(0,t) + А£w(l,t), 0 < t < T, м(ж, 0) = wt(ж, 0) = м(ж, T) = 0, ж G П,

имеет решение и(ж,4), принадлежащее пространству ^о, т. е. краевая задача (1.1), (1.5), (1.3*) имеет решение и(ж, 4), принадлежащее пространству Для этого семейства решений имеет место априорная оценка

||и||ж0 < М0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

с постоянной Мо, определяющейся числами о.\, а2, вь вг, а также функцией /(ж, 4) и те зависящей от е (доказательство этой оценки проводится аналогично доказательству оценки (2.15)). Этой априорной оценки вполне достаточно для перехода в семействе решений задачи (1.1), (1-5), (1.3*) к пределу при е ^0. Предельная функция будет решением исходной краевой задачи III*, принадлежащим пространству

Теорема 3 доказана.

Теорема 4. Пусть выполняются условия

А«(ж,г) е с1 (О), ¡л{х, ¿) ^ /х0 > о при (ж,г) е <3;

а + в2 ф 2;

+ а - в1]&& - вгй > 0 при (а,6) е М2;

/(ж,4),/х(ж, г) е Ь2(д).

Тогда краевая задача IV* имеет решекие и (ж, 4), принадлежащее пространству ^о.

Данная теорема доказывается полностью аналогично теореме 3. Замечание. Полностью аналогично можно установить существование регулярных решений краевых задач для уравнения

(-1)в1т+1 и + Пхх - м(ж,4)и = /(ж, 4)

(то ;:г 1 целое, Dt = с нелокальными условиями (1.2) или (1.3), а также условиями

и(ж,0) = ••• = П?и(ж,0) = 0, ж еП,

и(ж,Т) = ••• = В?-и(ж,Т)=0, ж еП,

либо

и(ж,0) = ■■■ = В?и(ж,0) = 0, ж еП, В^1 и(ж,Т) = ■■■ = В?ши(ж,Т) = 0, ж еП.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дубинский Ю. А. Квазилинейные эллинтико-нараболические уравнения // Мат. сб. 1968. Т. 77, № 3. С. 470-496.

2. Дубинский Ю. А. Краевые задачи для некоторых классов дифференциально-операторных уравнений высокого порядка // Докл. АН СССР. 1971. Т. 196, № 1. С. 32-34."

3. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Вычислительный центр СО РАН, 1995.

4. Джураев Т. Д., Апаков Ю. П. Об автомодельном решении одного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Вести. Самарск. гос. технического ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2007. № 2. С. 18-26.

5. Кожанов А. И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых задач для линейных параболических уравнений // Вестн. Самарск. ун-та. Естественнонаучная сер. 2008. № 3. С. 165-174.

6. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

г. Мирный

1 апреля 2010 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.