CC BY
16УДК 517.946
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ УЛЬТРАПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ*)
Г, А. Лукина
Краевые задачи с интегральными граничными условиями для параболических и гиперболических уравнений весьма активно исследуются в последнее время (см., например, [1-8]). В то же время работ, посвященных разрешимости краевых задач с граничными условиями интегрального вида для ультрапараболических уравнений, практически нет, можно отметить лишь работы [1,2], в которых рассматривались краевые задачи в иных, нежели в настоящей работе, постановках.
1. Постановка задач
Пусть П — интервал (0,1) оси Ох, Я = П х (0,^) х (0,Т2), 0 < Т < + го, 0 < < + го. Далее, пусть с(х,£, т), /(х,£, т), К(х,£, т), К2(х,Ь,т) — заданные функции, определенные при х £ Л, £ £ [0,Т1],
т е [о,Т2].
Краевая задача I. Найти функцию и(х,Ь,т), являющуюся в параллелепипеде Я решением уравнения
щ + ит - ихх + с(х,г, т)и = /(х,г,т) (1.1)
Работа выполнена в рамках реализации фцп «Научные и научно-педагогпче-ские кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. по мероприятию 1.3.1 и при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (код проекта № 02.740.11.0609).
©2011 Лукина Г. А.
и такую, что для нее выполняются условия
м(ж,0,т) = 0, X еп, т е(0,Т2), (1.2)
м(ж,г,0) = 0, х еП€(0,^), (1-3)
1
м(0,£,т) = J К (ж, т)м(ж,£, т) ¿ж,
(1-4)
м(1,£, т) = J К (ж, т)м(ж, т) ¿ж, 4 е(0, Т),т е(О, Т2). о
Краевая задача II. Найти функцию Цж, т), являющуюся в параллелепипеде О решением уравнения (1.1) и такую, что для нее вы..
1
мж(0,4,т) = J К (ж, т)м(ж, т) ¿ж,
(1.5)
мж( 1,4,т) = J К (ж, т)м(ж, т) ¿ж, 4 е(0,Т), т е(О, Т2). о
Краевая задача III. Найти функцию Цж, ¿,т), являющуюся в параллелепипеде О решением уравнения (1.1) и такую, что для нее
.. 1
м(0,£,т) = J К(ж,£, т)м(ж,£, т) ¿ж,
(1.6)
мж( 1,4,т) = J К2(ж, т)м(ж, т) ¿ж, 4 е(0,Т), т е(О, Т2). о
2. Разрешимость краевой задачи I
Обозначим для краткости ^ = О)> V = ^гД'^.т(О> Н0Р~
мы в пространствах V суть стандартные нормы в анизотропном соболевском пространстве.
Прежде чем доказывать разрешимость задачи I, заметим, что для функций у(х, г, т) го пространства V имеют место следующие неравенства:
Т Т Т Т 1
9 /
х
У У^2(о,г,£)&<]£ < 5^ JУХ(х,г,т)з,х<ме,
0 0 ООО
Т Т 1
J J JV2 (х,г,т) зхзгз^, ООО
Т Т Т Т 1
У у у2(\,г,т) ^ ^ ^ У У уХ(х,г,т) зхзгз^
(2.1)
0 0 ООО
Т Т 1
J J J V2{х,Ь,т) ЗхЗЬЗ^,
ООО
в которых £ — произвольное положительное число, число С вычисляется вполне определенным образом через 5.
Проведем некоторые вспомогательные построения. Пусть Е^и — интегральные операторы, действие которых определяется равенствами
1
(Еiu)(t,T = J К>( у,г,т)и{у,г,т) Зу, ¿ = 1,2, о
где
■ш(х, г, т) = и{х, г, т) — (1 — х)(Еlu)(t, т) — т). (2-2)
Умножая (2.2) поочередно на КДх,г,т), г = 1,2, и интегрируя по х в пределах от 0 до 1, получим систему относительно (Еи)(г,т), (Еи)(г, т): 1
(Е1и)(г,-
1 — У (1 — х).К (х, г, т) Зх о
1
— У хК1(х,г,т)<х(Е2и)(г,т) = (Е1т)(г,т), о
1
— j(1 — t, т) т)
i
1 —J ^ dx
Обозначим через Ai(t, т) определитель этой системы. Если он не равен нулю при (t, т) £ [0, Т] х [0, ТЪ], то имеют место равенства
где функции aj(t, т), bj(t, т) вычисляются вполне определенным образом через Kj(x,t, т), i = 1, 2.
Из этих равенств и из (2.2) следует, что функция м(ж,^ т) имеет представление через функцию ад(ж, t, т):
м(ж, t, т) = ад(ж, t, т) + An (ж, t, т)
+ (2-3)
Определим операторы B и L:
(Вм)(ж, t, т) = м(ж, t, т) — (1 — X(BU(t, т) — XBU(t, т),
Lm = u + мт — + с(ж, t, т)м. Определим функцию i
Ф(ж,^т,м) = У [—1 — — жК2(уЛ т)]мто(y, t, т) dy
о
i
+ J [—1 — XK t( y,t,-r) — жК t( уЛт) 41— XK T Ы,т) — жК T Ы,т) 0
+ (с(ж, t, X — c(y, t, т))( —(1 — ж) К (y, t, т) — жК(у, t, т))]м(у, t, т) dy.
Продолжая Ф(х, Ь, т, и) с помощью (2.3), получим представление:
Ф(х,Ь,т,и) = Ф1(х,Ь,Т,'ш)
1 1
= У ^11{х,у,г,т)-Юуу{у,Ь,т)йу + У ^(х,у,Ь,т)т(у,Ь,т) ¿у,
0 о
в котором N¿1 (х, у, Ь, т) есть функции, вычисляемые через функции с{х, Ь, т), КДх, Ь,т), г = 1,2.
Интегрируя по частям, преобразуем функцию Ф1 (х, Ь, т, т) к виду
Ф1 (х, Ь, т, т) = Ф1 (х, Ь, т, т)
1 1
= -] N1 у (х, у, Ь, т)ту {у,Ь,т)Зу + J ^(х,у,Ь,т)т(у,Ь,т) ¿у о о
+ Жц (х,1,Ь, т)ту( 1, Ь, т) — Жп(х,0, Ь, т)ту (0, Ь, т).
Используя неравенство Гёльдера, нетрудно получить оценку
т т 1
УУУ Щдхдме,
ООО
" т т 1 т т 1
УУУ и>Х( х,Ь,£) ¿х<И<1^ + У У У т2 (х,Ь,£)
^ N
01
.0 0 0
т т
ООО
т Т
У у «£(1 ,г,£)сИс1£ +1
,
оо оо
в которой постоянная N01 определяется функциями с(х, Ь, т), КДх, Ь, т),
г,
Теорема 1. Пусть выполняются условия
с(х,г,т) е с1 (о), %(,т)£С2(д),; = 1,2; (2.5)
Д^т^О УЬ е [ОУт е [О(2.6) /(х,ь,т) е Ь2(д), /т(х,ь,т) е ¿2^). (2.7)
Тогда краевая задача I имеет решение и(х,Ь,т), принадлежащее пространству У0.
Доказательство. Пусть д(ж, ¿,т) — заданная функция такая, что д(ж,£, т) € Ь2(О), дт(ж, ¿,т) € Ь2(О). Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию являющуюся в параллеле-
пипеде О решением уравнения
ц + ц — и>хх + е(ж, т)ц = д(ж, т) + Ф1 (ж, т, Ц (2.8) и такую, что для нее выполняются условия
Цж,0,т)=0, ж €0, т €(0,Т2), Цж,¿, 0) = 0, ж € О€ (0, Т), (2.9)
Ц0, ¿, т) = Ц1, ¿, т) = 0, 4 € (0, Т), т € (0, Т2).
.
докажем, используя метод регуляризации и метод продолжения по параметру.
Пусть £ — фиксированное положительное число. Рассмотрим краевую задачу с параметром £: найти функцию Цж, т), являющуюся в параллелепипеде О решением уравнения
—£ЦИ + + №т — Цгж + с(ж, т)ц = д(ж, т) + $1 (ж, т, Ц (2.8е) и такую, что для нее выполняются условия
Цж, 0, т) = ж, Т, т) = 0, ж € О, т € (0, Т2),
Цж,¿, 0) = 0, ж € О€ (0, Т), (2.9*) Ц0, ¿, т) = Ц1, т) = 0, 4 € (0, Т), т € (0, Т2).
Пусть А — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим семейство краевых задач: найти функцию Цж, т), являющуюся в параллелепипеде О решением уравнения
—£ЦИ + + №т — Цхж + с(ж, т)ц = д(ж, т) + М1 (ж, т, Ц (2.8е , л)
н такую, что для нее выполняются условия (2.9*).
Разрешимость рассматриваемой краевой задачи для уравнения (2.8е , л) докажем с помощью теоремы о методе продолжения по параметру [9].
А,
которых краевая задача (2.8£1Л), (2.9*) имеет решение Цж, т) такое, что Цж,4, т) € У, цт (ж, ¿,т) € V при выполнении всех условий теоремы 1, фиксированном £ и любой функции д(ж, т) такой, что д(ж,¿,т) € Ь2(О), дт(ж,¿,т) € Ь(О)- Если мы покажем, что множество
Л непусто, открыто и замкнуто, то оно, как известно (см. [9]), будет
,
Заметим, что из уравнения (2.8е,л) вытекает принадлежность функции цт(ж, ¿,0) пространству Ь2(П х [0, Т]).
Краевая задача (2.8е1о), (2.9*) при выполнении условия (2.5) и в силу принадлежности д(ж, ¿,т) и дт(ж, т) пространству Ь2(О) имеет решение Цж, т) такое, что Цж, т) € У, ц (ж, т) € У (см. [10,11]). Из этого следует, что число 0 принадлежит Л и тем самым множество Л непусто.
Открытость и замкнутость множества Л доказывается с помощью априорных оценок. Установим их наличие. Рассмотрим равенство
ООО
Интегрируя по частям, используя указанные выше граничные и начальные условия для функции Цж, ¿,т), неравенство Юнга и неравенства (2.4), (2.1), получим неравенство
т т 1
т т 1
[—+ ц + Ц — + с(ж, £)Ц(ц — Ц:Х)
ООО
т Т 1
III
[д(ж, £) + АФ1 (ж, Ц] (ц — Ц:Х)
ООО
Т 1
о о
Т 1
о о
т Т 1 т Т 1 т Т 1
^ J J У д2(х,1,£) + У У У и>Х dxdtd£ + J J J т2 dxdtd£
.ООО ООО ООО
Т Т 1 Т Т 1
¿111 т2хх dxdtdе + С(5) J J J тх dxdtdе
ООО ООО
Далее, подбирая число 6 малым и применяя неравенство Гронуол-ла, нетрудно получить оценку
Т Т 1
///[£т2^ т2х] ^
ООО
Т 1
[w2(x,t,т) + ^x,t,т)] dxdt < И (2.10) о о
с постоянной И1, определяющейся функциями с^^^т), КДx,t,т), г =
1, 2, и д(x,t,т).
Заметим, что из (2.10) и (2.4) следует оценка
Т Т 1
щ dxdtdе < И (2.11)
ООО
с постоянной И2, определяющейся функциями с{x,t,т), КДx,t,т), г = ,
На следующем шаге рассмотрим равенство
Т Т 1
[—£»>«£ + + - »хх^
ООО
+ с^, t, + x, ^ £)т](и>£ — тхх^ г^сМс^
Т Т 1
= УУ У^^Ле) + АФ^^,^, т)](т5 — »хх^ dxdtd£.
ООО
Вновь интегрируя по частям, используя указанные выше граничные и начальные условия для функции w(x, t, т), от данного равенства переходим к следующему:
т T 1
III + + ewte + + c(x ^ £)wf] dxdtd£ 0 0 0
T l
+ (М,т)+^т( :M,T)]dxdt
о 0 T l
— — J J t, 0) + w2XT(x, t, 0)] dxdt о о
т 1
о 0
т T 1
= JJx,t,£)ww« + £«( x,t,£)w«
ooo
+ Ф^(x, t, £, Ww^ c(x, t, £)w?Wxx5 + C?(x, t, ^WWBi
- x, t, ^wxxf - Фx, t, £, ^wxxd dxdtd£.
Повторяя действия, проделанные на предыдущем шаге, приходим к оценке
т T 1
III [£wXt«+ wXx« ] dxdtd£ 0 0 0
T 1
wT (x,t,-r) + w^ (x,t,-r)] dxdt < M3 (2.12)
о о
с постоянной M3, определяющейся функциями c(x, t,Kj(x, t, т), г = 1,2, и g(x, t, т).
Заметим, что имеет место следующая оценка:
т т 1
Ф^ ЗхЗЬЗС < М4 (2.13)
ООО
с постоянной М4, определяющейся функциями с(х,1,т), КДх,Ь,т), г = 1,2.
Анализируя равенство
т т 1
[-£тщ + + - тхх5
ООО
+ с{х, Ь, + х, Ь, ЗхЗЬЗС
т т 1
J ! J+ 1^х,Ь,С, ЗхЗЬЗС
ООО
и используя неравенства (2.10), (2.12), получим оценку
т т 1
/ / / ^ ¿х^С < М (2.14)
ООО
с постоянной М5, определяющейся функциями с(х,Ь,т), х,Ь,т), г = 1, 2, и д(х,г,т).
Рассматривая равенство
т т 1
- £ / / /[-£-«« + + - Шхх£ ООО
+ с(х, Ь, С)—£ + с^(х, Ь, ЗхЗЬЗС
т т 1
У У У [д^(х, Ь, С) + АФх, Ь, С, -)]-«£ ЗхЗЬЗС
ООО
и используя доказанные оценки, получаем, что очевидным образом следует оценка
т т 1
2
£
ООО
У У У ¿х^С < М6 (2.15)
с постоянной Мб, определяющейся функциями с(ж,£,т), КДж,¿,т), г = 1, 2, и д(ж,г,т).
Из (2.15) вытекает оценка
т т 1
ООО
с постоянной М7, определяющейся функциями с(ж,£,т), КДж, ¿,т), г = 1,2, и д(х,-£,т).
Все оценки (2.10)^(2.16) дают очевидную априорную оценку
Как уже говорилось выше, этой оценки достаточно для применения теоремы о методе продолжения по параметру. Следовательно, при выполнении условий теоремы 1 краевая задача (2.8^), (2.9*) имеет решение т), принадлежащее пространству V, при всех значениях А, в том числе и при А = 1.
Априорной оценки (2.17) также вполне достаточно и для перехода в семействе решений задачи (2.8е), (2.9*) к пределу при е ^0, предельная функция ад(ж, т) будет решением краевой задачи (2.8), (2.9), принадлежащим пространству V.
Определим теперь функцию м(ж,4, т) с помощью (2.3). Справедливо равенство
Выберем д(ж, ¿,т) специальным образом: д(ж,£, т) = (Б/)(ж, ¿,т). Следовательно, функция м(ж, т) есть требуемое решение краевой задачи I. Принадлежность м(ж, т) пространству V) очевидна. Теорема 1 доказана.
3. Разрешимость краевых задач II и III
Вновь проведем некоторые вспомогательные построения. Пусть Б^м суть интегральные операторы, определенные в п. 2, ад(ж, т) —
.
Нк + 1К1к < М,.
.
БЬм = (Ьад)(ж, т) — Ф1 (ж, т, ад) = д(ж, т). (2.18)
функция
/ X \ X
и>(х, т) = м(ж, т) — (ж--— ) (В\и){р, т)--— (В2и)^, т). (3.1)
Умножая (3.1) поочередно на х,Ь, т), г = 1,2, и интегрируя по х в пределах от 0 до 1, получим систему относительно (Вм)^, т), (В2и)(!, т): 1
1 — J ^х—— (ж, г) (¿ж {В\и){Ь, т) о
- / — К1{х,г,т)<1х{В2и){1,т) = (В1 «;)(£, г),
х —— ) К2(х, г) скс{В\и){р, т)
1- I '—к2{х,г,т)3х (в2и)(г,т) = (в2т)(г,т). о
Обозначим через А2^,т) определитель этой системы. Если он не равен нулю при (I, т) € [О, Т] х [0, Т2], то вновь можно выразить функции (В,и)(!,т) через функции (В^ад)^, т), г = 1,2. Снова функция и(х, I, т) имеет представление через функцию т):
и(х, I, т) = ад(х, I, т) + ^12(х, I, т) + ^22(х, I, ^(В^(^) т).
.
Определим оператор В:
(Ви)(х, г) = м(ж, т) — ( х--— ] (В\и){р, т)--—(В2и)(Ь, т).
Определим функцию
Ф(х, I,
х, I, т, и =
1 9 9
о
/ 2 \ 2 / х \ х
- ( ж - у - —К2т{у^,т)
2 \ 2
X \ X
(с(х,г,т)-с(у,г,т))[ -( ж—- 1 (у,г, т)—-к2(у,г,т)
и{у,г,т)йу.
Продолжая функцию Ф(х, т, и) с помощью (3.2), получим представление:
Ф(х, т, и) = Ф2(х,£, т, ад)
1 1
= У ^2(х,у,г,т)адуу(у,Ь,т)йу + J Ж22(х, у, т)ад(у,£,т) ¿у, о о
в котором N¿2 (х, у, т) суть функции, вычисляемые через функции с(х, т), КДх, т), г = 1,2.
Интегрируя по частям, преобразуем функцию Ф2(х, ¿,т, ад) к виду
Ф1 (х, т, ад) = Ф2 (х, т, ад)
1 1
= _/ ^2у(х,уЛт)аду {у,Ь,т)йу + J К22{х,у,г,тЫу,г,т)Лу. о о
Теорема 2. Пусть выполняются условия
с(х,г,т) £Сг(0), ¿=1,2;
Д2(*,т)^0 V* е[о,Т], Vт е[0,т2]; /(х,*,т) е /г(х,*,т) е
Тогда краевая задача II имеет решение и(х, т), принадлежащее пространству V).
Данная теорема доказывается полностью аналогично доказательству теоремы 1. Именно, вновь рассматриваем вспомогательную краевую задачу: найти функцию ад(х, т), являющуюся в параллелепипеде Q решением уравнения
ад( + адт — адхх + с(х, т)ад = д(х, т) + Ф2 (х, т, ад)
и такую, что для нее выполняются условия
Цж,о,т) = о, x еП, т е(о,т2),
w(x,t,0)=0, x еП, t е(0,T),
w,(0Лт) = ™я(М,т) = 0, t е(0,T), т е(0,T2).
Используя метод регуляризации, метод продолжения по параметру и априорные оценки, устанавливаем ее разрешимость. Выбирая функцию g(x, t, т) специальным образом и переходя к уравнению вида (2.18), получаем требуемое решение.
Для доказательства краевой задачи III вновь проведем некоторые вспомогательные построения. Пусть Bj-u — интегральные операторы, определенные в п. 2, w(x, t, т) — функция
w(x, t, т) = u(x, t, т) — (Biu)(t, т) — x(B2u)(t, т). (3-3)
t, т
(Biu)(t, т), (BU(t, т), полученной из (3.3) умножением поочередно на Kj(x,t, т), г = 1, 2, и интегрированием по x в пределах от 0 до 1.
Теорема 3. Пусть выполняются условия
c(x,t,r) £Сг(0), Ki{x,t,r) £ C2(Q), г =1,2;
ДзМ^О Vt е[0Ут е[0,T2]; /(x,t,^ е UM), /(x,t,^ е UM)-
Тогда краевая задача III имеет решение u(x, t, т), принадлежащее пространству V).
Данная теорема доказывается полностью аналогично доказательству теоремы 1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bouziani A. Strong solution for a mixed problem with nonlocal condition for certain pluriparabolic equation // Hiroshima Math. J. 1997. V. 27. N 3.
2. Bouziani A. On the solvability of nonlocal pluriparabolic problems // Electronic J. Differential Equations. 2001. N. 21. P. 1-16.
3. Пулькина Л. С. Нелокальная задача для уравнения теплопроводности // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2005. С. 231-239.
4. Кожанов А. П., Пулькина Л. С. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, N 9. С. 1166-1179.
5. Пулькина Л. С. Нелокальная задача с двумя интегральными условиями для гиперболического уравнения на плоскости // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2007. С. 232-236.
6. Абдрахманов А. М., Кожанов А. И. Задача с нелокальным граничным условием для одного класса уравнений нечетного порядка // Изв. вузов. Математика. 2007. N. 5. С. 3-12."
7. Кожанов А. П., Пулькина Л. С. О разрешимости некоторых граничных задач со смещением для линейных гиперболических уравнений // Мат. журн. Алматы.
2009. Т. 9, № 2. С. 78-92.
8. Абдрахманов А. М. О разрешимости краевой задачи с интегральным граничным условием второго рода для уравнения нечетного порядка // Мат. заметки.
2010. Т. 88, вып. 2. С. 163-172.
9. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.
10. Ладыженская O.A., Солонников В. А., Уральцева П. П. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1973.
11. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.
г. Мирный
20 июля 2011 г.
