Краевые задачи с интегральными граничными условиями для линеаризованного уравнения Кортевега де Фриза Текст научной статьи по специальности «Математика»

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ЛИНЕАРИЗОВАННОГО УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА - ДЕ ФРИЗА

Г.А. Лукина

BOUNDARY VALUE PROBLEMS WITH INTEGRAL CONDITIONS FOR THE LINEARIZED KORTEWEG - DE VRIES EQUATION

G.A. Lukina

Для линеаризованного уравнения Кортевега - де Фриза исследуются краевые задачи с заданием граничных условий интегрального вида. Доказываются теоремы разрешимости в классах регулярных решений.

Ключевые слова: линеаризованное уравнение Кортевега - де Фриза, интегральные граничные условия, регулярное решение, существование и единственность.

The boundary value problems with integral conditions for the linearized Korteweg - de Vries equation are investigated. We prove the existence and uniqueness theorems in the class of regular solutions.

Keywords: linearized, Korteweg - de Vries equation, integral boundary conditions, regular solution, existence and uniqueness.

Введение

Уравнения с кратными характеристиками активно изучаются в школе академика АН Республики Узбекистан Т.Д. Джураева - см. [1,2]. Но нелокальные задачи с интегральными условиями для таких уравнений ранее не исследовались. Используемый в данной работе метод будет близок к методу [3, 4].

1. Постановка задач

Пусть есть интервал (0,1) оси Ох, есть прямоугольник О х (0, Т), 0 < Т < +оо. Далее, пусть ц(х,Ь), /(х, £). К\ (х, ¿), КгОМ), Кз{х,£)~ заданные функции, определенные при х € О, £ € [0,Т\.

Краевая задача I: найти функцию и(х, Ь), являющуюся в прямоугольнике <3 решением уравнения

Щ + иххх - ц(х,г)и = /ОМ) (1-1)

и такую, что для нее выполняются условия

и(х, 0) = 0, х е Л, (1.2)

1 1 и(0, = J К1(х^)и(х,{)(1х, «(!,£) = J К2(х^)и(х,1)с1х,

і

гіх(1)^) = J Кз(х,і)и(х,Ь)сІх, 0 < і < Т. (1.3)

о

Краевая задача II: найти функцию и(х,і), являющуюся в прямоугольнике <5 решением уравнения (1.1) и такую, что для нее выполняются условия (1.2), а так же условия

і і ихх( о, г) = / Кі(х,і)и(х,і)йх, и( 1,і) = J К2(х,Ь)и(х,Ь)с1х, о о

і

«х(М) = / Кз(х,і)и(х,і)сІх, 0 < і < Т. (1.4)

о

2. Разрешимость краевой задачи I

Обозначим для краткости

уо =

норма в пространстве УЬ есть стандартная норма в анизотропном соболевском пространстве. Пусть є есть фиксированное положительное число, Ух есть пространство

Уі - {«(ж, г); и(х, г) є Ро, Уи(х,г) є ь2(Я) ) ^хххххх

(х,і) Е Ь2{Я)У,

норму в определим равенством

т і

Прежде чем доказывать разрешимость задачи I, заметим, что для функций у(х, I) из пространства V] имеют место следующие неравенства:

г 1 1

J ух(х^)д,х < 6о J ьххх(х,1)с1х + С(5о) J v2(x,t)dx^, (2.1)

0 0 о

11 1 У и1х(х,$йх < 60 I ь1хх(х,г)<Ь + С{6о) I ь2(х,г)(1х, (2.2)

оо о

в которых ¿0 есть произвольное положительное число, число С вычисляется вполне определенным образом через ¿о-

Проведем некоторые вспомогательные построения. Пусть Вги есть интегральные операторы, действие которых определяется равенствами

і = 1,3,

ги(х, і) есть функция

ю(х,і) = и(ж,і) — (ж — 1)2(£?ігг)(£) + х(х — 2)(£?2^)(і) — х(х — 1)(і?зи)(£). (2.3)

Серия «Математическое моделирование и программирование;», вып. 8 53

Умножая (2.3) поочередно на Ki(x,t),i = 1,3 и интегрируя по ж в пределах от 0 до 1, получим систему относительно (Biu)(t), (B2u)(t), (B3u)(t):

1 1

[1 — f(x — l)2K\(x, t)dx](Biu)(t) + f x(x — 2)Ki(x,t)dx(B2u)(t)—

0 о

l

— f x(x — l)Ki(x,t)dx(B3u)(t) — (B\w){t),

0

1 l

— f(x — 1)2K2(x, t)dx(Biu)(t) + [1 4- / ж(ж — 2)K2{x, t)dx](B2u)(t)—

0 о

1

— / x(x - l)K2(x,t)dx(B3u)(t) = (B2w)(t),

0

1 l

— f(x — l)2K3(x,t)dx{B\u)(t) + f x(x — 2)K3(x,t)dx(B2u)(t)+

o о

+[1 - /x(x - 1 )Ks(x,t)dx](B3u)(t) = (B3w)(t). о

Обозначим через Ai(i) определитель этой системы. Если он не равен нулю при t £ [0,Т], то имеют место равенства

(Biu)(t) = ai{t){Biw){t) + a,2(t){B2w)(t) + a3(i)(jB3io)(i),

(.B2u)(t) = bi(t){Biw){t) + b2(t)(B2w)(t) + b3(t)(B3w)(t),

(.B3u){t) = ci(t)(Biw)(t) + c2(t)(B2w)(t) + c3{t)(B3w)(t),

где функции aj(i), bi(t), Ci(t) вычисляются вполне определенным образом через Ki(x,t),i =

тгз.

Из этих равенств и из (2.3) следует, что функция u(x,t) имеет представление

u(x,t) = w(x,t) + An(x,t)(Biw)(t) + A2i{x,t)(B2w)(t) + A3X(x, t)(B3w)(t). (2.4)

Определим операторы В и L:

(.Bu)(x,t) = u(x,t) — (x — l)2(Biu)(t) + x(x — 2)(B2u)(t) — x(x — l)(B3u)(t),

Lu = ut + uxxx - ц(х, t)u.

Далее, определим функцию Ф(x,t,u)

1

Ф {x,t,u) = f[(x - l)2Ki{y,t) -x(x - 2 )K2(y,t) +x{x - l)K3(y,t)]uyyy(y,t)dy+ o

+ J[~(x ~ l)2Ku(y, t) + x(x - 2)K2t(y, t) - x(x - l)K3t(y, t)+ о

+(fj.(x,t) - fj,{y,i))({x - l)2Ki(y,t) +x(x - 2)K2(y,t) + x(x - 1 )K3(y,t))}u(y,t)dy. Продолжая функцию Ф(x,t,u) с помощью (2.4) и используя условие

Ki{0,t) =Ki(l,t) =Kiv(0,t) = 0, * = М, (2.5)

получим представление:

1

Ф (x,t,u) = Ф1 (ж, = f Ni(x,y,t)w(y,t)dy,

о

в котором Ni(x,y,t) есть функция, вычисляемая через функции Кг(х. t),i = 1,3, и ц(х, t).

Используя неравенство Гельдера, нетрудно получить оценку

__ і

Ф? < / 'Ш2(х,і)с1х, (2.6)

о

В которой постоянная N1 определяется функциями /і(х, і), Кі(х,т),І = 1,3.

Введем обозначения: дх = шах |/іжжз:(ж, і)|; /і2 = щах \цхх(х, £)|; цз = тах \цх(х, і)|.

Я Я Я

Теорема 1. Пусть выполняются условия (2.5) и

ц(х,{) Є С3((д), — м(х,і) > до > 0 при (х,і)€(3; (2.7)

Иі(х,Т) < 0 при х Є О,; (2.8)

0; (2.9)

Кі(х,і) ЄС3(£), * = ЇД

Ах (і) ¿0 У£ Є [0,Т];

¡{х,і) є ь2(Я).

Тогда краевая задача I имеет решение и{х,Ь), принадлежащее пространству У\.

Доказательство. Пусть д(х,*) есть заданная функция из 1/2(<9)- Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию и)(х^), являющуюся в прямоугольнике С} решением уравнения

Щ + и)ххх - ц(х,1)ь) = д{х,г) + Фх(ж,г,го) (2.10)

и такую, что для нее выполняются условия

«;(ж,о) = о, х е п, (2и,

ад(0, ¿) = го(1,^) = гиж(1,^) = 0, £ 6 (0, Т).

Разрешимость рассматриваемой краевой задачи для уравнения (2.10) докажем, используя метод регуляризации и метод продолжения по параметру.

Пусть е есть фиксированное положительное число. Рассмотрим краевую задачу с параметром е: найти функцию и>(х^), являющуюся в прямоугольнике <3 решением уравнения

-еи)и + го* - еи)хххххх + и)ххх - ц{х, г)ги = д{х, г) + Фх(ж, £, из) (2.10е)

и такую, что для нее выполняются условия

уо(х,0) = т^х,Т) = 0, х £ О,

го(0,£) = ги(1,£) = гих(М) = 0, (2.11*)

^хжж(О) ^) = ^ха:л(1) ¿) = и)хххх{0, ¿) = 0, t Е (0, Т”).

Пусть А есть число из отрезка [0,1]. Рассмотрим семейство краевых задач: найти функцию гп(х,1), являющуюся в прямоугольнике <5 решением уравнения

-еюи + Щ - ешхххххх + и)ххх - ц(х,г)ги = д(х,г) + АФх(ж,*,и;) (2.10е,л)

и такую, что для нее выполняются условия (2.11*).

Разрешимость рассматриваемой краевой задачи для уравнения ((2.10ед) докажем с помощью теоремы о методе продолжения по параметру [5].

Обозначим через А множество всех чисел А из отрезка [0,1], для которых краевая задача (2.10£)а), (2.11*) имеет решение 1и(х, £), принадлежащее пространству У\ при выполнении всех условий теоремы 1, фиксированном е и любой функции д(х, /;) из ¿г(<3)- Если мы покажем, что множество Л не пусто, открыто и замкнуто, то оно, как известно (см.[5]), будет совпадать со всем отрезком [0,1].

При А = 0 краевая задача (2.10е,о), (2.11*) при выполнении всех условий теоремы 1 разрешима в пространстве У\ - см. [6]. Из этого следует, что число 0 принадлежит Л и тем самым - что множество Л не пусто.

Открытость и замкнутость множества Л доказывается с помощью априорных оценок. Установим их наличие.

Рассмотрим равенство

т 1 т 1

I ¡{-СПа + щ _ + _ ф, ()+« = / /ь<х, ч + Л*, (х, *,

0 0 0 0

Интегрируя по частям, используя указанные выше граничные и начальные условия для функции и)(х, ¿), неравенство Юнга и условие (2.7), нетрудно перейти к следующему неравенству

Г 1 1 г

1/М + £и11хх + №У]2)ах<И + ^¡ю2(х,Т)йх + ^/ш2(0, ¿)<й <

0 0 0 0 Т 1 Т 1 Т 1 Т 1

— 12“ II ^^ХсИ +2^// д2(х^)с1хсИ + / / 1П2(1хсИ + 25^ / / Ф2(х^,и!)с1хсИ,

00 1 О О 00 2 о о

в котором , §2 есть произвольные положительные числа.

Пусть ¿2 = \fiMh тогда получаем неравенство

г 1 1 т

//[его| + £У}2хх + ^и)2]<1хй1 + \ ¡ги2(х,Т)с1х + ^ / г^(0, £)сЙ <

0 0 0 0 Т 1 Т 1 Т 1

— Ц; 11 ш2йхсИ + 2^ / / д2(х, 1)(1х(Ы + 2~~ / / Ф2(х,Ь,и>)(1х(И. оо 1 о о оо

Далее, продолжаем полученное неравенство с помощью (2.6)

Г 1 1 т

/ ¡[еш2 + £ш\хх + Щ-ги2)(1х<И + \ / ш2(х,Т)ёх + 5 / ги^(0, £)сЙ <

оо оо

Т \ т X _ Т 1

— ^2 / / ^^хМ + от? / / д2(х,Ь)ёхсИ + / / и12с1хсИ.

0 0 1 О О 0 0

Используя условия (2.9) и подбирая число <5х малым, нетрудно получить оценку

т 1

J У + еи)1хх + < Мх, (2.12)

0 0

с постоянной М\, определяющейся числом ца и функцией д(х, ¿).

Заметим, что имеет место следующая оценка

С ПОСТОЯННОЙ М’2, определяющейся функциями Кг(:г, , г = 1,3, и ц{х,1).

На следующем шаге рассмотрим равенство

Г 1 Т 1

- / /[-его« + го* - егихххххх + и!ххх - /л(х, ^ю]юис1х<И = - / ¡[д{х, ¿) + АФх(ж, t, ю)^идх(И. оо оо

Вновь интегрируя по частям, используя указанные выше граничные и начальные условия для функции го(ж, ¿), неравенство Юнга и условие (2.7), от данного равенства переходим к следующему неравенству

т 1

/ + 5Мй(®, £)^2(ж, *)]<*иЙ+

0 о

г 1 г

+ 5 / + 3 / (х,0)ёх — | / /¿¿(ж,Т)го2(х,Т)с?ж <

ооо

Т 1 Т 1 Т 1 XI

— ^2 11 ^¿хсИ + 2^ / / д2{х,Ь)с1х(И + ^ / / ьз^бхйЬ + ^ / / Ф?(ж» и))с1х(И,

00 3 О О 00 3 о о

в котором д3 есть произвольное положительное число.

Фиксируя (5з = 1^/5 и используя оценки (2.12), (2.13), получаем, что из данного неравенства вытекает оценка

т 1

Пы‘ + его2та< + ги$](1хсИ < Мз, (2-14)

о о

с постоянной Мз, определяющейся функциями д{х,Ь), Кг(х, £), г = 1,3, ц(х, I) и числом г. Далее, рассмотрим равенство

т 1

/ /"[ £ги** + £и>хххххх "Ь ,шххх /¿(ж, ^из\шххххххйх(И — о о

т 1

= - / ¡\д(х,Ь) + АФ 1(х,г,‘ш)]'шхххххх<1х<И. о о

Вновь интегрируя по частям, используя указанные выше граничные и начальные условия для функции т(х, ¿), переходим к следующему равенству

г 1 1 т

f /[£И)ХХХХХХ -I-£1Ухххь 1^{х, ¿)и)ххх\(1х(И + 2 _/” гоа.ет(ж, Т1)^^ + 2 X ^а;хха:(^)

0 0 0 0 Т 1

= ,/ /[Р'ххх^^ххх "Ь -(- ЪЦх^хх^ххх д (х, Ь')и)хххххх Ф] (х, ххХХХХ^^ХсЫ,.

о о

Используя условия (2.7) и оценивая слагаемые правой части с помощью неравенств Юнга, получаем

т 1 1 т

I I ХХХХХХ

Ч- ^^хххЬ 2 I '^ххх^') Т^(1х 2 S “^хххх^Х^ —

0 0 0 0

< / Л^хх + 2^и)2 + Ыхх + + Ыхх + Щ^1х]ёх<И+

Т 1 Т 1 Т 1 Т 1

^ / ^хххххх6^ + Щ 11 92(х, Ь)йхМ + ^ / / ад

2^/ /Ф 1(х^,гп)с1х(И, оо 5 о о оо оо

в котором <?4, 5$ есть произвольные положительные числа.

Далее, пусть 65 = Используя условия (2.1) и (2.2), получаем неравенство т 1 1 т

2 ^хххххх

+ [¿оИ)ххх\(1х(Ы + 2 X ^ххх(х^ Т)(1х + 2 / ^хххх(^-1 <

0 0 0 0

^ / /[^ + Ц^(м| + + / Л 2^ + 9 2Й^ (^2 + Дз)]^2^Ж^+

0 0 4 0 0 4 4

Т 1 Т 1

е 11д2(х^)йх(М + Ф|(ж,£,ги)(1х(И.

оо оо

—

3 > "О - 27(4+ц1)

щей оценке

/ I/"

Фиксируя числа ¿4 = л/3 , ¿о = 97, У, ^ и применяя (2.1) и (2.2), приходим к следую-

т 1

У У ^^хххххх — -^1' (2.15)

0 0

с постоянной М4, определяющейся функциями д(х, £), Хг(ж. £), г = 1,3, ¡л{х^) и числами е, Мо-

Оценки (2.12), (2.14) и (2.15) дают очевидную априорную оценку

1Нк < мо- (2-16)

Как уже говорилось выше, этой оценки достаточно для применения теоремы о методе продолжения по параметру. Следовательно, при выполнении условий теоремы 1 краевая задача (2.10е>л), (2.11*) имеет решение и)(х, {), принадлежащее пространству У\, при всех значениях Л, в том числе и при А = 1.

Априорной оценки (2.16 )вполне достаточно для перехода в семействе решений задачи (2.10е, (2.11*) к пределу при е —> 0, предельная функция ю(х, ¿) будет решением краевой задачи (2.10), (2.11), принадлежащим пространству У\.

Определим теперь функцию и(х, ¿) с помощью (2.4). Далее, справедливо равенство

ВЬи = (Ьи)){х,4) — Ф^ж, ги) = д(х,1).

Выберем функцию д(х, £) специальным образом: д(х, ¿) = (В/)(х, ¿).

Очевидно теперь, что функция и{х, ¿) есть решение краевой задачи I. Принадлежность и(ж, £) пространству У\ очевидна. □

3. Разрешимость краевой задачи II

Вновь проведем некоторые вспомогательные построения. Пусть В ¿и есть интегральные операторы, определенные в п.2, т(х, I) есть функция

ги(ж,£) = и(х^) — ^(х — 1 )2(Бхи)(г) - (В2«)(<) ~ (х — 1)(.Взгл)(¿). (3.1)

Умножая (3.1) поочередно на Кг{х,Ь),г = 1,3 и интегрируя по ж в пределах от 0 до 1, получим систему относительно (В\и){1), (В2У,)(1), (В:$и)(1):

[1 — | f(x — l)2Ki(x,t)dx](Biu)(t) — f Ki(x,t)dx(B2u)(t) — о о

-f(x - l)Ki(x,t)dx(B3u)(t) = (Biw)(t), о

-$f(x ~ l)2K2(x,t)dx(Biu)(t) + [1 - / if2(a;,i)rfic](ji52«)(i)-

0 о

- J(x - l)K2(x,t)dx(B3u)(t) = (B2w)(t), о

1 l

— \ f(x — l)2K3(x, t)dx(Biu)(t) — f K3(x, t)dx(B2u)(t)+

о о

+[1 - f(x - l)K3(x,t)dx](B3u)(t) = (B3w){t).

0

Обозначим через A2(t) определитель этой системы. Если он не равен нулю при t £ [0,Т], то вновь можно выразить функции (Biu)(t) через функции (Biw)(t), г = 1.3. Вновь функция u(x,t) имеет представление

u(x,t) = w(x,t) + Ai2(x,t)(Biw)(t) + A22(x,t)(B2w)(t) + A32(x,t)(B3w)(t), (3.2)

где функции Ai2(x,t), A'22(x. t), A32(x,t) вычисляются вполне определенным образом через Ki(x,t),i = 1,3.

Определим оператор В:

(Bu)(x,t) = u{x,t) - ^{х - l)2(Biu)(t) - (B2u){t) - {х - 1 )(B3u)(t).

Далее, определим функцию Ф(x,t,u)

1

Ф{x,t,u) = j[\{x - l)2Ki{y,t) + K2(y,t) + (x - 1 )K3(y,t)]uyyy(y,t)dy+ o

+ J[-Ux ~ 1)2ки(y, t) - K2t(y, t) - (x - l)K3t(y, t)+

+(fi{x,t) - n(y,t))(l(x - l)2Ki(y,t) +K2(y,t) + (x - l)K3{y,t))]u(y,t)dy.

Продолжая функцию Ф(x,t,u) с помощью (3.2) и используя условие

Ki( 1, t) = Kiy{ 0, t) = Kiyy( 0, t) =0, i = T73, (3.3)

получим представление:

l

Ф(x,t,u) = $2(x,t,w) = f N2(x,y,t)w(y,t)dy,

о

в котором N2(x,y,t) есть функция, вычисляемая через функции Кг(х, t),i = 1,3, и fi(x,t). Используя неравенство Гельдера, нетрудно получить неравенство

__ 1

Ф2 ^ А^2 / w2(x,t)dx, о

в которой постоянная N2 определяется функциями /i(x, t), Кг(х. т), г = 1,3.

Теорема 2. Пусть выполняются условия (3.3) и

ц{х,Ь) € Сг{0), — ¡л(х, Ь) > до > 0 при (х^)&С2-,

дг(ж,Т) < 0 при ж 6 Л;

/4-Ж> 0;

Кг{х,г) е С3(Я), ¿ = М;

Д2(*)^0 Ше[0 ,Т];

/(ж, г) е ¿2(Ф)-

Тогда краевая задача II имеет решение и(х,Ь), принадлежащее пространству У\.

Доказательство. Пусть д(х, £) есть заданная функция из Ь2{0). Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию го(ж, ¿), являющуюся в прямоугольнике решением

уравнения

Щ + тххх - д(ж, — д{х, ¿) + Ф2(х, го) (3.4)

и такую, что для нее выполняются условия

ъи(х,0) = 0, х в П, -ч

го(0, *) = го(1, г) = гоет(1, *) = 0, (0, Т).

Разрешимость рассматриваемой краевой задачи для уравнения (3.4) докажем, используя метод регуляризации.

Пусть е есть фиксированное положительное число. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию ги(х,Ь), являющуюся в прямоугольнике решением уравнения

-его« + го* + шххх - д(ж, £)го = д(х, £) + Ф2(ж, I, го) (3.4е)

и такую, что для нее выполняются условия

(3.5*)

ю(х,0) = ш^хД) =0, х € Г2, гохх(0.,*) = го( 1, *) = гож(1,^) = 0.

Для нее выполняется априорная оценка

1М|у! < М0,

с постоянной Мо, определяющейся функциями д(х, £), Я',;(ж, £), г = 1,3, д(ж, £) и числами е, до (доказательство этой оценки проводится аналогично доказательству оценки (2.16)). Этой априорной оценки вполне достаточно для перехода в семействе решений задачи (3.4е), (3.5*) к пределу при £ —>• 0, предельная функция ъи(х, £) будет решением краевой задачи (3.4), (3.5), принадлежащим пространству У\.

Определим теперь функцию и(х^) с помощью (3.2). Далее, справедливо равенство

ВЬи = (Ь,ш)(х,1) — Ф2(;е,£, го) = д(ж,£).

Выберем функцию д(х, ¿) специальным образом: д(х^) = (В/)(х^).

Очевидно теперь, что функция и(х, £) есть решение краевой задачи II. Принадлежность и(х^) пространству V} очевидна. □

Замечание 1. В [7] рассматривалась нелокальная краевая задача для уравнения (1.1) типа задачи II, при этом нелокальное условие имело вид ихх(х,1) = \и(хо, £), другие же краевые условия были локальными.

Работа выполнена в рамках реализации ФЦП <Научные и научно-педагогические кадры инновационной России> на 2009 - 2013 гг. по мероприятию 1.3.1.

Литература

1. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно - составного типов / Т.Д. Джураев. - Ташкент: Фан, 1979. - 240 с.

2. Джураев, Т.Д. Об автомодельном решении одного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками / Т.Д. Джураев, Ю.П. Апаков // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. - 2007. - Т. 15, №2. - С. 18 - 26.

3. Абдрахманов, А.М. Задача с нелокальным граничным условием для одного класса уравнений нечетного порядка / А.М. Абдрахманов, А.И. Кожанов // Изв. вузов. Математика. - 2007. - №5. - С. 3 - 12.

4. Абдрахманов, А.М. О разрешимости краевой задачи с интегральным граничным условием второго рода для уравнения нечетного порядка / А.М. Абдрахманов // Математические заметки. - 2010. - Т. 88, №2. - С. 163 - 172.

5. Треногин, В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин - М.: Наука, 1980.

6. Якубов, С.Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения / С.Я. Якубов. - Баку: Элм, 1985.

7. Балкизов, Ж.А. Краевая задача для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками / Ж.А. Балкизов // Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики: материалы Первой Всерос. конф. молодых ученых. - Терское, 2010. - С. 39 - 41.

Галина Александровна Лукина, кафедра общей математики, Политехнический институт (филиал) Северо-Восточного федерального университета имени М.К. Аммосова в г. Мирном, [email protected].

Поступила в редакцию 2 февраля 2011 г.