О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых задач для линейных параболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2008. №>3(62).

УДК 517.946

165

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВЕННО НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

© 2008 А.И. Кожанов1

В работе доказана разрешимость некоторых краевых задач для параболического уравнения с нелокальными условиями

a\(t)u(a, t) + a2(t)u(b, t) + a3(t)ux(a, t) + a4(t)ux(b, t) = 0,

^i(t)u(a, t) + e2(t)u(b, t) + e3(t)ux(a, t) + e4(t)ux(b, t) = 0.

Доказательство базируется на методе регуляризации и продолжении по параметру.

Ключевые слова: нелокальная краевая задача, параболическое уравнение, метод регуляризации, продолжении по параметру.

Введение

Пусть П есть конечный интервал (a, b) оси Ox, Q есть прямоугольник П X (0, T), 0 < T < +м. В работе [1] методом Фурье была исследована разрешимость начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности

ut - uxx + c(x)u = f(x, t), (x, t) e Q, (i)

с нелокальными краевыми условиями А.А. Самарского

a\u(a, t) + a2u(b, t) + a^ux(a, t) + 04ux(b, t) = 0, (ii)

$\u(a, t) + $2u(b, t) + e?,ux(a, t) + $4ux(b, t) = 0, (iii)

ai, Pi = const, i = 1,4.

В настоящей работе некоторые нелокальные задачи указанного вида будут исследованы в иных нежели в [1], случаях — в частности, коэффициенты в условиях (ii) и (iii) будут функциями, зависящими от переменной t; даже в случае постоянства коэффициентов a,- и Pi мы не будем требовать

1 Кожанов Александр Иванович (kozhanov@math.nsc.ru), ИМ СО РАН им. С.Л. Соболева., 630090, Россия, г. Новосибирск, пр.Коптюга, 4.

самосопряженности оператора L, порожденного обыкновенным дифференциальным оператором v" — c(x)v с условиями (ii) и (iii); наконец, уравнение (i) будет заменено более общим уравнением.

Одним из условий разрешимости изученных в [1] задач было условие линейной независимости векторов (ai, a2, aз, 04) и (|3i, P2, Рз, P4); поскольку же линейная независимость указанных векторов эквивалентна отличию от нуля тех или иных миноров второго порядка, то получаем, что на самом деле вместо краевой задачи с общими условиями (ii) и (iii) достаточно рассмотреть некоторые конкретные реализации таких задач. Именно так мы и сделаем в настоящей работе.

Для простоты (точнее говоря, с целью упрощения выкладок) будем считать a = О, b = l (общий случай сводится к такому линейным преобразованием переменной x).

1. Постановка задач

Пусть a(x, t), c(x, t), f(x, t), щ(х), ai(t), a2(t), Pi(t) и P2(t) есть заданные

функции, определенные при x є П = [0, l], t є [0, T].

Краевая задача I: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

ut — a(x, t)uxx + c(x, t)u = f(x, t) (l.l)

и такую, что для нее выполняются условия

u(x, 0) = 0, x є П, (1.2)

ux(0, t) = ai(t)u(0, t) + a2(t)u(1, t), 0 < t < T, (1.з)

ux(1, t) = Pi(t)u(0, t) + e2(t)u(1, t), 0 < t < T. (1.4)

Краевая задача II: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (1.1) и такую, что для нее выполняются условие

(1.2), а также условия

u(0, t) = a1(t)ux(0, t) + a2(t)ux(1, t), 0 < t < T, (1.5)

u(1, t) = e1(t)ux(0, t) + Po.(t)ux(1, t), 0 < t < T. (1.6)

Уточним, что в рассматриваемых нами задачах предполагается, что функция a1(t)P2(t) — a2(t)P1(t) может обращаться в нуль (в том числе и тождественно) на отрезке [О, T].

2. Разрешимость краевой задачи I

Пусть V0 и V есть пространства:

V0 = W^’1(Q) П Lm(0, T; W2(Q.)),

V = {v(x, t) : v(x, t) є V0, vxxt(x, t) є L2(Q)};

нормы в этих пространствах определим естественным образом

IMIv0 = IMI W^Q) + HVL (0,T ;W2(a)),

llvHv = nvn^0 + IV xxt Hl2(Q).

Теорема 1. Пусть выполняются условия

а(х, t) £ С1 (Q), с(х, t) £ 0^(0), а(х, t) ^ «о > О,

с(х, t) ^ с0 > 0 при (х, t) е Q; (2.1)

ai(t) e СЧ[0, T]), Pi(t) e Cx([0, T]), i = i,2; (2.2)

||32(t) + a2(t)| ^ 610 < 2 при t e [0, T]; (2.3)

ai(t)^i + [a2(t) — ei(t)]4,\%2 — $2(t)^2 ^ 0

при t e [0, T], (h,Ъ) e R2, (2.4)

f (x, t) e L2(Q), ft(x, t) e L2(Q). (2.5)

Тогда существует единственная функция u(x, t) из пространства V0, являющаяся в прямоугольнике Q решением уравнения (1.1) и принимающая условия (1.2)-(1.4).

Доказательство. Воспользуемся методом регуляризации и методом продолжения по параметру.

Для е > 0, (х, t) £ Q, X £ [0,1], h, = (§i,§2>?3>?4) е К4 положим

Xx2

Yi(x, t,X) = — [Pi(0 - ai(0] + Xxax(t),

Xx2

6i(x, t,X) = — [02(0 - «2(01 + Xxa2(t),

6i(x, t, X)yi(1, t, X) yn(x,t,X) = Yi (x,t,X) + —-— —,

1 - 61(1 , t, X)

61 (x, t, X)

8„(лг,а)= 1-д,(1,д).

A0i(x, t, X, e) = —Yiit(x, t, X) + a(x, t)ynxx(x, t, X) — c(x, t)yii(x, t, X)+

+eyiixxt(x, t, X),

B0,i(x, t, X, e) = —6iit(x, t, X) + a(x, t)6iixx(x, t, X) — c(x, t)6ii(x, t, X)+ +e6nxxt(x, t, X),

Ai,i(x, t, X, e) = eyUxx(x, t, X) — Yii(x, t, X),

Bi,i(x, t, X, e) = e6iixx(x, t, X) — 6ц(x, t, X),

Ф^x, t, X, e,"%) = Ai,i(x, t, X, e)^i + Bi,i(x, t, X, е)Ц,2+

+A0i(x, t, X, e)^3 + B0,i(x, t, X, e)%4.

Обозначим w = (wt{0, t), wt(\,t), w(0, t), w(\,t)).

Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию w(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

wt - awxx + cw- zwxxt = f + <3>i (x, t, X, e, w) (2.6)

и такую, что для нее выполняются условия

w(x, 0) = 0, x e П, (2.7)

wxф, г) = wx(1, г) = 0, г е (0, Т). (2.8)

Покажем, что при фиксированном е, при выполнении условий (2.1) - (2.4), а также условия

/(X, г) е Ь2(0) (2.5')

данная краевая задача имеет решение, принадлежащее пространству V.

Обозначим через Л множество тех чисел X из отрезка [0,1], для которых краевая задача (2.6)-(2.8) при фиксированном положительном е, при выполнении условий (2.1)-(2.4), (2.5') имеет решение w(x, г), принадлежащее пространству V. Если мы покажем, что множество Л не пусто, открыто и замкнуто, то оно, как известно, будет совпадать со всем отрезком [0,1].

При X = 0 краевая задача (2.6)-(2.8) при выполнении условий (2.1)-(2.4), (2.5') разрешима в пространстве V — см. [2]. Из этого следует, что число 0 принадлежит множеству V и тем самым — что множество Л не пусто.

Открытость и замкнутость множества Л доказывается с помощью априорных оценок. Установим их наличие.

Пусть w(x, г) есть решение краевой задачи (2.6)-(2.8), принадлежащее пространству V. Положим

и( х, г) = w(x, г) + уц(х, г, Х^(0, г) + 6ц( х, г, Х^(1, г).

Используя элементарное неравенство

г г г

^[у2(0, т) + у2(1, т)] Чт ^ ^ т) dxdт + С(6) ^ ^ у2^, т) dx, (2.9)

0 0 П 0 п

в котором 6 есть произвольное положительное число, нетрудно показать, что функция и^, г) будет принадлежать пространству V. Далее, несложные выкладки показывают, что функция и^, г) представляет собой решение краевой задачи

иг — auxx + си — еuxxt = f (x, г), ux(0, г) = Х[а1(г)и(0, г) + а2(г)и(1, г)], ux(1, г) = Х[|3х(г)и(0, г) + а2(г)и(1, г)], и( x, 0) = 0.

Рассмотрим равенство

г г

//о,,— + а, — ^ — ^} <ъ<н = // / (и, — ^) ЧЫ,. (2.10)

0 П 0 п

Интегрируя по частям и используя указанные выше граничные и начальные условия для функции и^, г), нетрудно от данного равенства перейти к следующему г

^ ^[и2 + (I + е)м^. + Еи2^] dx dx + — ^ а(х, 1)и2х(х, г) dx+

0п

п

+Ю + <о/ ы^о,Т) + - Ц.МК (°, ф,о,Т) - Ш^О, Т)1 л =

§ X<\^а%и2хх + ^ + с^их + сг“2] " ахихиї - СхШІхг} йхйх+

t t ^ ^ ^ххг dxdx + {а(1, х)их (1, т)[р,(т)и(0, т)+

г

♦Л fUxxx 4x4т + {а(1, т)„т (1, т)[ в 1 (

0 п 0

+в2(т)и(1, т)] — а(0, т)их (0, т)[а1(т)и(0, т) + а2(т)и(1, т)] +

+(1 + е)[Р1(т)ит(1, т)и(0, т) + в2(т)ит(1, т)и(1, т)—

—а'1(т)ит(0, т)и(0, т) — а2(т)ит(0, т)и(1, т)]+

+с(1, т)и(1, т)[в1(т)ит (0, т) + в2(т)ит (1, т) + в1(т)и(0, т) + в2(т)и(1, т)] —

—с(0, т)и(0, т)[а1(т)ит (0, т) + а2(т)ит(1, т) + а1(т)и(0, т) + а2(т)и(1, т)]} Чт.

Используя условия (2.1), (2.2) и (2.4), применяя неравенство Юнга и неравенство (2.9), используя, наконец, лемму Гронуолла, получаем, что следствием равенства (2.10) будет априорная оценка

\\u\W < С0М\\ыв), (2.11)

с постоянной С0, определяющейся функциями а^, г), с^, г), а1(г), а2(г), РКО и в2(г), а также числами Т и е.

Покажем, что из оценки (2.11) следует замкнутость множества Л. Пусть {Хп} есть последовательность точек множества Л, сходящаяся к числу Х0, ^п(x, г)} — последовательность решений из пространства V краевой задачи (2.6) - (2.6) с Х = Хп, ип(x, г) есть функции

ип( x, г) = wn(x, г) + у11^, г, Хп^п(0, г) + бц^, г, Хп^п(1, г).

Положим уп£^, г) = ип(x, г) — ик&, г). Для функций Упк^, г) выполняются равенства

Упк — aуnkxx + сУпк — еvnkxxt = 0,

vnкx(0, г) = Хк[а1(г)Упк(0, г) + а2(г)Упк(1, г)]+

+(Хп — Хк)[а1(г)ип(0, г) + а2(г)ип(1, г)],

Уnkx(1, г) = Хк [в1(г)Упк (0, г) + в2(г)Упк (1, г)]+

+(Хп — Хк)[в1(г)ип(0, г) + в2(г)ип(1, г)},

Упк^, 0) = 0.

Повторяя для функций Упк^, г) доказательство оценки (2.11) и при этом используя тот факт, что для самих функций ип^, г) оценка (2.11) выполняется, нетрудно показать, что имеет место неравенство

\\УпкIV ^ С1\Хп — Хк1

постоянная Ci в котором определяется функциями a(x, t), c(x, t), ai(t), a2(t), Pi(t), $2(t) и f(x, t), а также числами T и e. Из этого неравенства следует, что последовательность {un(x, t)} фундаментальна в пространстве V. Фундаментальность, в свою очередь, означает, что существует функция uo(x, t) такая, что uo(x, t) е W^2’1(Q) ПLx(0, T; W2(Q)), uoxxt(x, t) e L2(Q) и при этом функции uo(x, t) и uoxxt(x, t) являются пределами в соответсвующих пространствах последовательностей {un(x, t)} и {unxxt(x, t)}. Очевидно, что функция uo(x, t) будет решением краевой задачи

uot — auoxx + cuo - euoxxt = f,

uox(o, t) = lo[ai(t)uo(o, t) + a2(t)uo(1, t)],

uox(1, t) = Xo[|3i(t)uo(o, t) + fa(t)uo(1, t)], uo(x, o) = o.

Положим wo(x, t) = uo(x, t) + Yi(x, t, Xo)uo(o, t) + 6i(x, t, Xo)uo(i, t). Очевидно, что функция wo(x, t) принадлежит пространству V и что она является решением краевой задачи (2.6)—(2.8), соответствующей значению X, равному Xo. А это и означает, что Xo есть точка множества Л. Принадлежность предельной точки множества ему же и означает его замкнутость.

Докажем теперь, что множество Л открыто. Пусть Xo есть точка множества Л, X = Xo + X. Покажем, что при малых | X | число X также будет принадлежать множеству Л.

Положим

Oi(x, t, X, e, h) = Ф^x, t, X, e, h) — Ф^x, t, Xo, e,h).

Пусть v(x, t) есть функция из пространства V. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию w(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

Lrw = f + Q\(x,t,Xo,г,w) + Q>\(x,t,X,г,v) (2.12)

и такую, что для нее выполняются условия (2.7) и (2.8). Имеет место неравенство

Pi(x,?,X,e,v)||L2(e) ^ M\X\\\v\\v (2.13)

с постоянной M, определяющейся лишь функциями a(x, t), c(x, t), ai(t), a2(t), Pi(t) и fa(t) (доказательство этого неравенства нетрудно провести, используя условие (2.3), теорему о конечных приращениях и неравенство (2.9)). Из этого неравенства и из предположения о принадлежности числа Xo множеству Л вытекает, что краевая задача (2.12), (2.7), (2.8) имеет решение w(x, t), принадлежащее пространству V. Следовательно, краевая задача (2.12), (2.7), (2.8) порождает оператор G, переводящий пространство V в себя: G(v) = w. Повторяя для данной краевой задачи в случае f(x, t) = o доказательство оценки (2.11) и учитывая неравенство (2.13), получим, что при выполнении условия CoMIXI < i оператор G будет сжимающим. Неподвижная точка оператора G, очевидно, даст решение уравнения

Lew = / + Ф(х> К е, w);

Следовательно, число Х при малых \Х\ (именно, при выполнении указанного выше неравенства С0М\Х\ < 1) будет принадлежать множеству Л. А это и означает, что множество Л открыто.

Итак, определенное выше множество Л не пусто, открыто и замкнуто. Значит, оно совпадает со всем отрезком [0,1]. Другими словами, краевая задача (2.6) - (2.8) при фиксированном е и при выполнении условий (2.1)

- (2.4), (2.5') имеет решение wе(x, г), принадлежащее пространству V, при всех значениях Х, в том числе и при Х = 1 .

Положим uе(x, г) = wе(x, г) + уц^, г, 1^е(0, г) + бц^, г, 1^е(1, г).

Пусть для функции /^, г) выполняется условие (2.5). Вернемся к равенству (2.10). Положим в этом равенстве Х = 1 ив слагаемом правой части, представляющем собой интеграл от функции /и^, выполним интегрирование по частям по переменной т. Применяя к возникшим интегралам неравенство Юнга, повторяя все остальные выкладки, проделанные ранее при анализе равенства (2.10), придем к неравенству г

^ ^и + иехх) 4x4т + ^[иг ^, г) + „х (x, г) + и^^, г)] dx+

0 а а

t

+е ^ ^ и^ 4x4т ^ С ^ ^(ие + „х + и^) 4x4т + ^ ^(/2 + /г2) dxdг 0 а 10 а 0 а

постоянная С в котором определяется лишь функциями а(x, г), с(x, г), а1(г), а2(г), Р1 (г) и в2(г). Используя далее лемму Гронуолла, получим априорную оценку

||Ме||у0 + ^\\ии\Ь2(Л) < К{\\/\\ыд) + \Ш\ыв)) > (2-14)

постоянная К в которой определяется лишь функциями а(x, г), с^, г), а1(г), а2(г), в1(г) и в2(г), а также числом Т. Из этой оценки следует, что существует последовательность {иЕп(x, г)}, сходящаяся при п ^ <х к функции и^, г), являющейся решением краевой задачи (1.1)—(1.4), принадлежащей пространству Vo.

Единственность решений краевой задачи (1.1)-(1.4) в пространстве Vo следует из оценки (2.14), справедливой и при е = 0.

Теорема полностью доказана.

3. Разрешимость краевой задачи II

Введем некоторые обозначения. Именно, для x е а, г е [0, Т], Х е [0,1], Ч = (Чь Ч2, Чъ, Ча) е К.п положим

У2(x, г, Х) = Хx[вl(г) — а1(г)] + а1(г),

&2(x, г, Х) = Xx[в2(г) — а2(г)] + а2(г),

А(г, Х) = {1 — Х[р1(г) — а1(г)]}{1 — Х[рг(г) — а2(г)]} — Х2[р1(г) — а1(г)][в2(г) — а2(г)],

7210, X) = д 1 ^ {уг(^, г, Ш - ?Фг(0 + ^а2(г)] + ^&2<Х г, ?0[Р1<Х> - а^г)]},

Ь21(х, г, Л) = —Ц-{Ху2(х, г, Л)[|32(0 - а2(г)] + Ь2(х, г, Л)[1 - Лр^г) + а^г)]}, А(г, Х) А0,2(x, г, Х) = —у21г(x, г, Х) — с(х, г)у21(х, г, Х), В0,2(х, г, Х) = —б21г (x, г, Х) — с(х, г)б21( x, г, Х), А1^(x, г, Х) = —у21(х, г, Х), В1^(x, г, Х) = —б21(х, г, Х),

Ф2(х, г, Х, Ч) = А1,2(х, г, Х)Ч1 + В1,2(х, г, Х)Ч2 + А0,2(х, г, Х)Чз + В0,2(х, г, Х)Чд,

F (х, Ч) = аШ! + [а2(г) — Ыг)Ш2 — ШЧ2+ +а1(г)Ч1Ч3 + а2(г)Ч1Ч4 — в\(г)Ч2Ч3 — в'2(г)Ч2Ч4.

Теорема 2. Пусть выполняются условия (2.1), (2.2) и (2.5), а также условия

А(г, Х) ^ 620 > 0 при г е [0, Т], Х е [0,1]; (3.1)

г г

^ F(т, Н1 (т), Н'2(т)) Чт = Н(г) + ^ F0(т, Н1 (т), Н'2(т), Н1(т), Н2(т)) Чт+

00

г

+ fFl(т,ьы,„2Ы)чт, н(,) > 0 Р<0(,,„1(,),т,„м,нм)» а

0

\ Г1(г, Н1(г), Н2(г))\ ^ к0[н\(г) + к\(г)], ^ ^ 0, г е [0, Т],

Ъ{(г), г = 1, 2 — произвольные функции из пространства W^([0, Т]). (3.2)

Тогда существует единственная функция из пространства Vo, являющаяся в прямоугольнике Q решением уравнения (1.1) и принимающая условия

(1.2), (1.5) и (1.6).

Доказательство. Вновь воспользуемся методом регуляризации и методом продолжения по параметру.

Рассмотрим вспомогателдьную краевую задачу: найти функцию w(х, г), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

wг — awxx + cw — еwxxг = / + Ф2(х, г, Х, Wxг(0, г), Wxг(1, г), Wx(0, г), Wx(1, г)) (3.3)

и такую, что для нее выполняется условие (2.7), а также условия

w(0, г) = w(1, г) = 0, г е (0, Т). (3.4)

Покажем, что при фиксированном е и при выполнении условий (2.1), (2.2), (2,5'), (3.1) и (3.2) эта задача имеет решение, принадлежащее пространству V.

Определим множество Л так же, как определяли его при доказательстве теоремы 1. Это множество не пусто, поскольку число 0 ему принадлежит — см. [2]. Установим, что множество Л открыто и замкнуто.

Пусть w(x, г) есть решение краевой задачи (3.3), (2.7), (3.4). Положим

и(х, г) = w( х, г) + У21 (х, г, Х^х(0, г) + 621 (х, г, Х^х(1, г).

Эта функция принадлежит пространству V (что вновь следует из неравенства (2.9)) и является решением краевой задачи

иг — аихх + си — е иххг = /, и(0, г) = Х[а1(г)их(0, г) + а2(г)их(1, г)], и(1, г) = Х[$1(г)их(0, г) + $2(г)их (1, г)], и(х, 0) = 0.

Вновь расмотрим равенство (2.10). Интегрируя по частям, используя граничные и начальные условия для функции и(х, г), условия (3.1) и (3.2), неравенство (2.9), а также применяя лемму Гронуолла, получаем, что для функции и(х, г) будет выполняться оценка (2.11). Из этой оценки и следует открытость и замкнутость множества Л (детали см. доказательство теоремы 1).

Из непустоты, открытости и замкнутости множества Л следует, что краевая задача (3.3), (2.7), (3.4) разрешима при всех Х из отрезка [0,1] , в том числе и при Х = 1 . Повторяя рассуждения о предельном переходе по параметру регуляризации, проведенные при завершении доказательства теоремы 1, получаем, что при выполнении всех условий теоремы 2 краевая задача II будет иметь решение, принадлежащее требуемому классу.

Единственность решений очевидна.

Теорема доказана.

Дополнение

1. Помимо теорем о разрешимости нелокальных краевых задач I и II, фактически в работе получены теоремы о разрешимости аналогичных задач для уравнений, называемых псевдопараболическими [2] или же уравнениями Аллера [3] — именно, для уравнений

щ - а(х, г)ыхх + с(х, г)и - ыхМ = /(х, г).

Соответствующие теоремы отличаются от теорем 1 и 2 лишь тем, что в них условие /(х, г) Є Ь2(0) отсутствует.

2. Помимо теорем о разрешимости нелокальных краевых задач I и II для параболических или же псевдопараболических уравнений, в работе фактически получены теоремы о разрешимости первой или же второй начально - краевых задач для так называемых ’’нагруженных” [4, 5] уравнений с правой частью /(х, г) + Ф(х, г, wxt(0, г), wxt(1, г), wt(0, г), wt(\, г)) для первой начально-краевой задачи или же /(х, г) + Ф(х, г, wt(0, г), wt(1, г), w(0, г), w(1, г)) для второй начально-краевой задачи с функцией Ф, являющейся линейной формой по последним четырем аргументам.

Литература

[1] Laretic, N.L. On classical solutions of mixed boundary problems for one dimensional parabolic equation of second order / N.L. Laretic // Publ. de l’Institut mathematique. - Nouvelle serie. - V. 67(81). - 2000. - P. 53-75.

[2] Якубов, С.Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения / С.Я. Якубов. - Баку: Элм., 1985.

[3] Нахушев, А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных / А.М. Нахушев. - М.: Наука, 2006.

[4] Нахушев, А.М. Уравнения математической биологии / А.М. Нахушев. -М.: Высшая школа, 1995.

[5] Дженалиев, М.Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений / М.Т. Дженалиев. - Алматы: Ин-т тео-ретич. и прикл. матем., 1995.

Поступила в редакцию 16/FT/2008; в окончательном варианте — 16/FT/2008.

ON SOLVABILITY OF CERTAIN SPATIALLY NONLOCAL BOUNDARY PROBLEMS FOR LINEAR PARABOLIC EQUATIONS

© 2008 A.I. KozhanoV2

In this work, the solvability of certain problems for parabolic equation with nonlocal conditions

a\(t)u(a, t) + a2(t)u(b, t) + a3(t)ux(a, t) + a4(t)ux(b, t) = 0,

fii(t)u(a, t) + e2(t)u(b, t) + e3(t)ux(a, t) + fi4(t)ux(b, t) = 0.

is proved. The proof is mainly based on the regularization method and the method of continuation with respect to a parameter.

Keywords: nonlocal conditions problem, parabolic equation, regularization method, continuation with respect to a parameter.

Paper received 16/FT/2008.

Paper accepted 16/FT/2008.

2Kozhanov Alexander Ivanovich (kozhanov@math.nsc.ru), Sobolev Institute of Mathematics, 630090, Novosibirsk, Russia