Пространственно-нелокальные краевые задачи для ультрапараболических уравнений с интегральным граничным условием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

ПРОСТРАНСТВЕННО-НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УЛЬТРАПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ*) Г, А. Лукина

Пусть Л — ограниченная область пространства Кп с гладкой (для простоты бесконечно дифференцируемой) границей Г, ф = Л х (0, Т) х (0,Т2), 0 < Т < + <»,0 < Т2 < + ю. Пустьс(х,г,т), /(х,г,т), К(х,у,г,т) — заданные функции, определенные при х £ Л, у £ Л, £ £ [О, Т1], т £ [0,Т2], Д — оператор Лапласа по переменным х\,... ,хп. Положим С = П х (О, Т2),Б = Г х (О, Т) х (О, Т2).

Краевая задача I. Найти функцию и(х,Ь,т), являющуюся в <3 решением уравнения

иг + ит — А и + с(х, т)и = /(х, т) (1)

и такую, что для нее выполняются условия

и(х,0,т) = 0, х еП, т е(0,Т2), (2)

и(х,г,о) = о, х еПе(о,Т), (3)

1-(х,г,т) |ея = J К(х,у,ь,т)и(у,ь,т)(1у

о,

t е(о,Т), т е(о,т2).

0М,т) ея (4)

*) Работа выполнена при поддержке Мпнобрнаукп России в рамках фцп «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (ГК 02.740.11.0609).

©2012 Лукина Г. А.

Краевая задача II. Найти функцию и(х,Ь, т), являющуюся в Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условия (2), (3), а также условие

(ух = (^(х), ^(х),..., х)) — вектор внутренней нормали к Г в точ-х

Краевые задачи с нелокальными условиями типа (4), (5) достаточно хорошо изучены для параболических [1], гиперболических [2,3], псевдопараболических уравнений [4]. Многомерные пространственно-нелокальные краевые задачи с интегральным граничным условием для ультрапараболических уравнений ранее не изучались. Пространственно-нелокальные задачи для ультрапараболических уравнений, но с граничными условиями других типов рассматривались лишь в работе [5] и в работе автора [6], причем только в одномерном случае.

Обозначим для краткости У0 = Q), V = ^¿^тнор-

мы в пространствах V суть стандартные нормы в анизотропном соболевском пространстве.

Проведем некоторые вспомогательные построения. Пусть у(х, Ь, т) — заданная функция. Обозначим через Бу интегральный оператор Фредгольма, действие которого определяется равенством

(Бу)(х,Ь,т)= у(х,Ь, т) - К(х,у,г,т)у(у,г,т) ¿у, (х,Ь,т) е Q.

п

В дальнейшем важную роль будет играть следующее условие.

Условие I. Для любой функции у(х) из пространства Ь2 (О) и для всех Ь е [0, Т], т е [0, Т2] выполняются неравенства

(5)

ь е (о,Т), т е (0,Т2),

Разрешимость краевой задачи I

п

п

п

Для заданной функции v(x, t, т) определим функцию Ф(x,t,T,v) полагая

§{x,t,T,v) = J[-Kt(x,y,t,T) — Kt{x,y,t,T)}v{y,t,T) dy fi

+ J AxK(x,y,t,T)v(y,t,T) dy + J c1{x,y,t,T)K{x,y,t,T)v{y,t,T) dy fi fi

J Kyi(x,y,t,T)vyi(y,t,T)dy - J K(x,y,t,r)^- ds

VI

y

г

c x, y, t, T c x, t, T - c y, t, T

Обозначим {Bv){x,t,T) = w(x,t,T), $\{x,t,T,w) = &(x,t,T, B—w) (при выполнении условия I функция $i(x,t, t, w) определена корректно).

Теорема 1. Пусть выполняются условие I, а также условия

с(х, t, т) G С1 (Q),

_ (6)

c(x,t,r) > со > 0 при (x,t,t) G О х [0, Ti] х [О,Т2};

K{x,y,t,r) GC2(QxQx [0,21] х [0,Т2]); (7)

f(x,t,T) G L2(Q), ft(x,t,T) G L2(Q) при (x,t,T) G О x [0,Ti] x [0,T2], (8)

f(x,Q, т) = 0 при x en, T G(0,T2).

Тогда краевая задача (l)-(4) имеет решение u(x,t,T), принадлежащее пространству V).

Доказательство. Пусть g(x,t,T) — заданная функция такая, что g(x,t,T) G L2(Q). Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию w{x, t, т), являющуюся в Q решением уравнения

wt + wT — Д w + c(x, t, t)w = g(x, t, т) + Ф1 (x, t, t, w) (9)

и такую, что для нее выполняются условия

w(x,0,T)=0, x G О, т G (0, T2), w{x, t, 0) = 0, x G О, t G (0, T±),

w{x,t,T) |( x , t , t) es = 0. (10)

Разрешимость данной краевой задачи докажем, используя метод регуляризации и метод продолжения по параметру.

Пусть £ — фиксированное положительное число. Рассмотрим краевую задачу с параметром £: найти функцию ш(х, Ь, т), являющуюся в ф решением уравнения

Ш + Шт — £ШТТ — АШ + с(х, Ь, т)ш = #(х, Ь, т) + (х, Ь, т, ш) (9е)

и такую, что для нее выполняются условия (10), а также условие

Шт(х,ь,т2) = о, х £п, ь е(о,Т). (п)

Пусть Л — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим семейство краевых задач: найти функцию ш(х, Ь, т), являющуюся в ф решением уравнения

Ш + Шт — £ШТТ — АШ + с(х, Ь, т)ш = ^(х, Ь, т) + ЛФ1 (х, Ь, т, ш) (9е,л)

и такую, что для нее выполняются условия (10), (11).

Разрешимость рассматриваемой краевой задачи для уравнения (9е,л) докажем с помощью метода продолжения по параметру [7].

Л,

которых краевая задача (9е,л), (10), (11) имеет решение ш(х, Ь, т) такое, что ш(х, Ь,т) £ V при выполнении всех условий теоремы 1, фиксированном £ и любой функции д(х, Ь,т) такой, что д(х, Ь,т) £ Ь2(ф). Если

мы покажем, что множество Л непусто, открыто и замкнуто, то оно,

,

Краевая задача (9е,о), (Ю), (11) при принадлежности #(х,Ь, т) пространству Ь2(ф) имеет решение ш(х,Ь,т) такое, что ш(х,Ь,т) £ V (см. [8,9]). Из этого следует, что число 0 принадлежит Л и тем самым — что множество Л непусто.

Открытость и замкнутость множества Л доказывается с помощью априорных оценок. Установим их наличие.

Обозначим ^л(х, Ь,т, ш) = #(х, Ь, т) + ЛФ1 (х, Ь, т, ш). Рассмотрим

равенство г

Ц[Щ + — - ^ - Д — + ф, е, ^

о о

г

о

Интегрируя по частям, используя указанные выше граничные и начальные условия для функции и(ж, т), условие (6) и применяя неравенство Юнга, от данного равенства нетрудно перейти к оценке

г

J н2(ж, т) dxdт + ^ J У —т

оо

п г г

+ / / и^ dxdтdе + / / Н dxdтd£

о

г

мгу у ^ dxdтdе, (12)

о

с постоянной М1, определяющейся лишь функцией с^, ¿,т). На следующем шаге рассмотрим равенство г

ЧIк+—т - е—тт - А н+ е тН(Ан+нтт)

о

г

= У ^а(ДН + Нтт) dxdтd£. (13)

о

Вновь интегрируя по частям, можем данное равенство преобразовать к виду

п п г

У т) + 2 У У ъихЛх1 &Т2) с1хс1£

п г г

(е + 1) J ! dxdтdе + J ^(Дн)2 dxdтdе

¿=1 о о о о

г

+ — у и>2 (ж, г) ¿хс1т + — J ! и>2(ж, 0) ¿хсМ; о

г г

J ! ад^т dxdтdе + J ! с^, е, т)и>т dxdтdе

+ е

оо г г

с^, е, т)нДн dxdтdе — J ! ст (x, е, dxdтdе

оо

г г

^Д— Ц ^ dxdтdе.

оо Используя условие (6), неравенство Юнга и оценку (12), получаем

1

2

¿=1

J ы2х.(х,г,т)(1х(1т + -^Г ! J wl.il, £,Т2)(1х(]£

¿¿

п г г

+ (е + 1) J ! н^т dxdтdе + J ^(Дн)2 dxdтdе

¿ о о

г

о

г г

+ е J ! ад^т dxdтdе + со J ^ Н dxdтdе

оо

г г

^ г г ^^ г г

/ (Д^)2 ¿хс1тс1^ + тах[с2(ж, г)] / / ¿хс1тс1^

О о 2 4 о о

9 г г

Н—- / г«2 йхйтс^ Н--тах[с2 (ж, т)1 / / Р^йхйтй^

2 7 7 сз уу

оо

9 1 1

+ J !(А«;)2 <1х<1т<1£ + У J <1х<1т<]£ ос 3 о с

9 4 4

Н—- / / ад? йхйтй£ Н--/ / -Р? (1хйтй

2 7 7 2од 7 7

ос ос

в котором ¿2, ¿з — произвольные положительные числа. Подбирая ¿2, ¿з малыми, получим оценку

(е + 1) J ! ад^.т dxdтd£ + J J(Аад)2 ¿хйтй^ г=1 о с ос

+ J ы>Тт dxdтd£ + J и>Т (х,Ь,т) dxdт

сс

+ J J wТ (x,£,0)dxd£ < М2у У ^х dxdтd^ (14)

с

с постоянной М2, определяющейся лишь функцией с^, Ь, т) и числом е. Рассмотрим равенство

Ц[Щ + ^ - ^тт - А ^ ф, £ <ь*г# = Ц ГХЩ <Ъ*гЪ

сс

Вновь интегрируя по частям, используя неравенство Юнга и оценки (12), (14), получаем оценку

У J w'| dxdтdе < ^^У J РхХ dxdтd£. (15)

сс

Доказанные оценки дают неравенство

4

У 'ш2^, Ь, т) dxdт + е J J wТ dxdтd£

т

с

г г

+ у у и^ dxdтdе + у у Н dxdтdе

¿ о о

п г г

+ (е + 1) J ! и^т dxdтdе + J ^(Дн)2 dxdтdе

¿ о о

г

+ е J ! —тт dxdтdе + J и>т (x,t, ^dxdт

оо г г г

+ УУ и^ (x,е^)dxd^^У J н| dxdтdе ^ М4 J ^ ^л dxdтdе,

оо

постоянная М4 в этом неравенстве определяется лишь функцией с^, т) и числом е.

Оценим интеграл от функции Имеем

dxdтdе ^ 2 у J 92 dxdтdе + 2 j j Ф2 dxdтdе

о о о о о о

г г

2 7 7 7А , / I 2 /

^^у у ^ dxdтdе + С у у т) dxdтdе

оо п г г 2

+ С*2 ^^ J ! г) (¿^(¿Г^ + Сз J J J ^-—

о

Известно следующее неравенство [10]: /дм\

¿

^х dxdтd£ ^ 2 j j д" dxdтd£

сс

ч2 7 7 7/-, / / 2/

¿° У У dxdтdе + С® J I u"{x,t,т) dxdтd£,

сс

где С определяется функциями К(x,y,t,т), с^^,^, областью П и ¿

Вернемся к неравенству (13). Имеем (е + 1) / / wX¿Т dxdтd£ + (А-ад)2 dxdтd£

с

4

е J J wТТ dxdтdе + J wТ (x,t,т) dxdт

сс

J ! wТ £, 0) dxdе + J ! w| dxdтdе

---- , , , w|

с

< 2М2 J J д2 d,xd,тd,е + ¿0М2 J J(Ди)2 dxdтd£

сс

2 /

+ С0М^ j u¿{x,t,т)dxdтdе. (17)

с

Из равенства

и^^тт) ='ш^^тт) + J K(x,y,t,т)u(y,t,т)dy (18)

п

и условия I следует неравенство

(Ажи)2 <2(Ах^+м1 w2{y,t,т)dy (19)

с постоянной М5, определяющейся функцией К{х, Ь, т) и числом шо-Пользуясь неравенством (19), можем перейти к следующему:

(е + 1) у у ¿х<1т<1£ + I I (Дю)2 ¿хётё^

г=1 о с ос

г

+ J ы>Тт ЗхЗттЗ^ + J и>Т (х,ь,т)3,х3тт

ос с

г г г

+ УУ и>Т ! J и>| ЗхЗтЗ^ ^ N J ^ д2 ЗхЗтЗ^

сс г г

+ ^N2 J !{А-ю)2 ЗхЗтЗ!^ + С^Ы^ ! У ю2 (х,Ь,т) ЗхЗтЗ^, сс в котором постоянные N1, N определяются функциями К(х,у,Ь,т), с(х,Ь,т), областью П, числом е, а постоянная N определяется функциями К{х,у,Ь,т), с{х,Ь,т), областью П и числом ¿о-

Подбирая 30 малым, окончательно из (12), (14), (15), (17) и (19) получаем

г

У ю2{х, Ь, т) ЗхЗт + е J J ЮТ ¿ххЗтЗ£

сс

п г г

+ У У и>Х ЗхЗтЗ^ + У У ад2 ЗхЗтЗ^

®=1 о с ос

п г г

+ (е + 1) У У юХ.Т ЗхЗтЗ^ + У У (Дю)2 ЗхЗтЗ^ ®=1 о с ос

г

+ У юТТ ЗхЗтЗ^ + У и>Т (х,Ь,т) ЗхЗт сс г г

+ У у юТ ! У < N. (20)

Т

с

г

Как говорилось выше, этой оценки достаточно для применения теоремы о методе продолжения по параметру. Следовательно, при выполнении условий теоремы 1 краевая задача (9е,л), (10), (11) имеет решение ю(х, Ь, т), принадлежащее пространству V, при всех значениях А, в том числе и при А = 1.

Итак, краевая задача (9е), (10), (11) при фиксированном положительном £ разрешима в пространстве V- Покажем, что для семейства {юе(х,Ь, т)} решений этой задачи имеют место априорные оценки, рав-£

Прежде всего заметим, что для семейства {юе(х,Ь,т)} сохранится неравенство (12).

Рассмотрим равенство г

/ /К + ^ - ^ - *^ ^ ^

Р^Аш ЗхЗтЗ^.

о с

г

о с

Вновь интегрируя по частям, можем перейти к равенству

J т) 3x3т + — ^^ J ! Т2) ЗхЗ£

4=1 с 4=1 о п

п г г

+ £ ^^ / / ЗхЗтЗ£ + (Дю)2 ЗхЗтЗ£

о с

г г

= J ! с(х, £,т)юАю ЗхЗтЗ£ — J ! ^^АюЗхЗтЗ^. ос ос

Используя неравенство Юнга, условие I и неравенства (16), (19), получаем

п п г

J т) ^ 2 J ! ъихЛх1 £> Т2 ) ЗхЗ£

е ^^ / / юХ.Т ¿хётё£+ (Дад)2 ЗхЗтЗ^

о с ос

9 г г

^ / / (Д«;)2 ЗхЗтЗ^ + —^ тах[с2(ж, г)] / / г«2 ЗхЗтЗ^

сс 9 г г

Н—- / (Ди>)2 ¿хс1т(к; Н--^ д2 3хЗ,тЗ,£

2 7 7 2о| 7 7

сс

9 г г

+У J(Ди>)2 ЗхЗтЗ^ + (74(^4) J ! и>2 ЗхЗтЗ!;

сс 9 г п г

Н—- / (Ди>)2 ЗхЗтЗ^ + 05(^4) / / гу24 ЗхЗтЗ^

2

г г

ос г_1 о с

J !(Ди>)2 ЗхЗтЗ£ + J J (Д^)2 <}х ) ЗхЗтЗ£

сс

г

, ОД 1111 ...2

2^4

,9 1 1 \ 1 ги" с1х ) ЗхЗтЗ^,

с

в котором ¿4 — произвольное положительное число.

Подбирая вначале ¿4, а затем £ малыми и применяя лемму Грону-олла, получаем оценку

г п

J !(Дю)2 ЗхЗтЗ£ + J т2 (х, Ь, т) ЗхЗт + J х,Ь,т) ЗхЗт

ос с г=1 с

п г

+ е ^ / / тХгТ ¿хёт^ < М6 (21)

г=1 О с

с постоянной Мб, определяющейся функциями К{х,у,Ь,т), с{х,Ь,т) и областью П.

Рассмотрим равенство

/ /К + ^ - ^ ^" + ^ ^ ^

г

J ! + ит)

о о

о о

Вновь интегрируя по частям, можем данное равенство преобразовать к виду

г

J !(и>£ + иу)2 + — J и2 (ж, т) (1хс1т

оо

1 " г

+ J Г1ХС1'Т + 2 ! J ^тС1' £,0)с1хс1(;

®=1 о о п

п г г

+ — ^^ J ! "Хд= —J ! с{х,£,т)и{и^ + ит) йX ®=1 о п о о

г

+ + иу) ¿хйтй^.

о

Применяя неравенство Юнга и используя (21), получаем оценку г

J + иу)2 < М7 (22)

о

с постоянной М7, определяемой функциями К(х,у,1,т), с(х,1,т) и областью П.

Пусть для функции д(х, I, т) выполняется условие дг(х, I, т) € Ьъ^). Пусть для простоты дг(х, 0,т) = 0, тогда можем вычислить значение функции и(х,0, т) = 0. Переходя к продифференцированному по £

ки

г

о с

уравнению (9е) и повторяя все предыдущие действия, получаем оцен-г

//<Л/*

с

п п г

+ J и2х.г{х, Ь, т) ¿хЗт + е^^ J J ^

J !(т^ + иу^)2 ЗхЗттЗ^ ^ Мд о с

с постоянными М^, Мд, определяющимися функциями К(х,у,Ь,т) с(х,Ь,т) и областью П.

Окончательно получаем оценку

г г

2 7 7 !/• I / / 2

и>| ЗхЗтЗ^ + I I иТ ЗхЗтЗ^ ^ Мо (23)

ос ос

с постоянной Мо, определяющейся функциями К(х,у,1,т), с(х,Ь,т) и областью П.

Априорной оценки (23) вполне достаточно для перехода в семействе решений задачи (9е), (10), (11) к пределу при е ^0, предельная функция и(х,Ь,т) будет решением краевой задачи (9), (10), принадлежащим пространству У0.

Выберем функцию д(х,Ь,т) специальным образом:

9(х,*,т) = (В/)(х,Ь,т). Заметим, что из условия (8) теоремы 1 следует, что

д(х^,т) = /(х,г,т) + ! К(х,у,г,т)/(у,г,т) ¿у. п

Определим теперь функцию и{х, Ь, т) с помощью (18). Имеет место равенство

В(Ьи - /) = 0.

Вследствие взаимной однозначности оператора В следует Ьп = /.

Очевидно теперь, что функция п(х,Ь,т) есть решение краевой задачи I. Принадлежность п(х, Ь, т) пространству У) очевидна. Теорема 1 доказана.

Разрешимость краевой задачи II

Вновь проведем некоторые вспомогательные построения. Пусть К\{х,у,Ь,т) — функция, определенная на множестве П х О х [0,11] х [0, Т2] и такая, что

Щ^И = к(х,у,г,т).

д"х жег

Далее, для заданной функции у(х, Ь, т) определим оператор В]^ и функцию (х, Ь, т, V):

(В\у)(х,1,т) = у(х,Ь,т) — J К(х,у,Ь,т)у(у,Ь,т) ¿у, (х,Ь,т) £ Q,

п

Ф2(х,г,т,у) = ! [—К«(х,у,г,т) — к А х,у,ь,т)}у{у,г,т) ¿у п

+ J АхК(х,у,Ь,т)у(у,г,т) ¿у + У ^(х,у,г,тЖ(х,у,Ь,т)у(у,г,т) ¿у п п

п ,,

— / куЛх,у,Ь,т)щЛу,Ь,т)^у 1 п

— У ¿в у.

г п

Условие II. Для любой функции у(х) из пространства Ь2(П) н

для всех Ь £ [0,Тх], т € [0,Т2] выполняются неравенства

Ах) ¿х * /[(ад(х)]2 ¿х * Ах) ¿х, т

Обозначим {Ву){х, Ь, т) = т(х, Ь, т), Ф2(х, Ь, т, т) = Ф2 (х, Ь, т, В-т (при выполнении условия II функция Ф2 (х, Ь, т, т) определена корректно).

Теорема 2. Пусть выполняются условие II, а также условия с(х, т) € С1 (<2), с(х, т) > с0 > 0 при (х, т) € Ох [0, 21] х [0, т2];

К(х,у,г,т) е С2 (Их Их [0,21] х [0,т2]); еь2(д), при (х, т) е П х [о, 21] х [о,т2],

/(х^,^прих е О, т е (0,Т2).

Тогда краевая задача (1)-(3), (5) имеет решение и(х,г, т), прнпад-У

Данная теорема доказывается полностью аналогично доказательству теоремы 1. Именно, вновь рассматриваем вспомогательную краевую задачу: найти функцию и(х, г, т), являющуюся в Q решением уравнения

тг + тт — Д и + с(х, г, т)ш = д(х, г, т) + Ф2 (х, г, т, и) и такую, что для нее выполняются условия

и(х,о,т) = о, х е о, т е (о, т2), и(х,г, о) = о, х е о, г е (о, т1),

Как и ранее, используя метод регуляризации, метод продолжения по параметру и априорные оценки, устанавливаем ее разрешимость. Выбирая функцию д(х,г,т) специальным образом и переходя к уравнению

получаем требуемое решение.

Замечание 1. Полностью аналогично можно установить разрешимость нелокальных краевых задач I и II для ультрапараболических уравнений (1) с общим эллиптическим оператором.

Замечание 2. Можно исследовать разрешимость нелокальных краевых задач для ультрапараболических уравнений вида

ди(х, г, т)

дУх (ж,г,т) ей

.

Вх(Ьи — /) = 0,

т

ЛИТЕРАТУРА

1. Кожанов А. И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых задач для линейных параболических уравнений // Вестн. Самарск. ун-та. Естественнонаучная серия. 2008. № 3. С. 165-174.

2. Кожанов А. П., Пулькина Л. С. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 9. С. 1166-1179.

3. Кожанов А. П., Пулькина Л. С. О разрешимости некоторых граничных задач со смещением для линейных гиперболических уравнений // Мат. журн. Алматы, 2009. Т. 9, № 2. С. 78-92.

4. Попов П. С. О разрешимости краевых задач для многомерных псевдопараболических уравнений с нелокальным граничным условием интегрального вида // Мат. заметки ЯГУ. 2012. Т. 19, вып. 1. С. 82-95.

5. Bouziani А. On the solvability of nonlocal pluriparabolic problems // Electronic J. Differ. Equat. 2001. № 21. P. 1-16.

6. Лукина Г. А. Краевые задачи с интегральными граничными условиями для ультрапараболических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, вып. 2. С. 113127.

7. Треногин В. А. Функциональный анализ М.: Наука, 1980.

8. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева П. П. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа М.: Наука, 1973.

9. Кожанов А. И. О разрешимости краевых задач для квазилинейных ультрапараболических уравнений некоторых математических моделей динамики биологических систем // Сиб. журн. индустр. математики. 2009. Т. 12, № 4. С. 64-78.

10. Ладыженская О. А., Уральцева П. П. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа М.: Наука, 1973.

г. Мирный

31 мая 2012 г.