Нелокальная задача для одного класса уравнений составного типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ СОСТАВНОГО ТИПА

Р. Р. Сафиуллова

Нелокальными краевыми задачами принято называть задачи, в которых вместо задания значений решения или его производных на фиксированной части границы задается связь этих значений со значениями тех же функций на иных внутренних или граничных многообразиях. Теория нелокальных краевых задач важна и сама по себе как раздел общей теории краевых задач для уравнений с частными производными, и как раздел математики, имеющий многочисленные приложения в механике, физике, биологии и других естественно-научных дисциплинах.

Особое место (прежде всего вследствие многочисленных приложений) среди нелокальных задач занимают краевые задачи для нестационарных уравнений с нелокальным по времени условием. В настоящее время достаточно хорошо изучены подобные задачи для параболических уравнений (см. работы [1-7]), в случае же уравнений второго порядка столь же исчерпывающие результаты отсутствуют. Именно последнему вопросу — исследованию разрешимости новой нелокальной по времени задачи для одного класса уравнений второго порядка — и посвящена настоящая работа.

Пусть Q — цилиндр

{(я,*): х е в = (од), г е (о,т),о<т<+ ж},

а(х, г), ао(х,*), Ъ(х,г), Ьо(х, *), /(ж,*), «о(х), щ(х) — заданные при х е в, г е [о, т] функции.

© 2008 Сафиуллова Р. Р.

Определим операторы А и Б:

д д Аи = ——(а(х, ^их) + ао(х, 1)и, Би = — (Ъ(х, 1)их) + Ъ${х, 1)и, дх дх

и пусть эти операторы будут эллиптическими.

Определим пространство V:

У= {у(х,Ь):у(х,$ е ъто(0,Т;ШЦВ) П Щ(В)),

Уг(х,г) е ъто(оВ) п ь2(о,т;шЦв)), «и(х,г) е ЫЯ)}•

Пусть Ф, Фо) 1 — линейные операторы, переводящие пространство V в пространство Ь2(В).

Краевая задача. Найти в Я решение уравнения

В случае нулевых операторов Ф, Ф0 и Ф1 рассматриваемая краевая задача есть обычная начально-краевая задача для уравнения составного типа (1); результаты о разрешимости такой задачи приведены, например, в монографии [8].

•••

лишь входными данными задачи» означает, что данная постоянная

АБ

щ(х) и щ(х) через величины, которые будут конечны в силу выполнения условий соответствующей теоремы. Положим

ии - Ащ - Би = /(х,г),

(1)

удовлетворяющее условиям

и х, и и х , х е В,

щ(х, 0) = Фои + Ф;^ + щ (х), х е В,

и(о,г) = и(м) = о, о<г<т.

(2)

(3)

(4)

Ъ1 = тах |Ъ0(х, 0)Ъ2 = тах Ъ(х,0).

[ОД]

[ОД]

Теорема 1. Пусть выполняются условия

a(x,t),b(x,t) G C2{Q), a0(x,t),b0(x,t) G C{Q)-, (5)

a(x,t) > a0 > 0, b(x,t) > b0 > 0, (x,t) G Q; (6)

aQ{x,t) < -a0 < 0, b0(x,t) < -bo<0, (x,t) G Q; (7)

at{x,t) <0, bt{x,t) <0, bm{x,t) >0, (x,t) G Q. (8)

Далее, пусть операторыФ, Фо, i представимыв виде Ф = Ф1+Ф2, Фо = Фо1 + Фо2) ф1 = Ф11 + Ф12 и для операторов Фг, Фо1) Фо2) Фп, Ф12 выполняются условия

\\ф 1 vWl2(d) < a\\v(x,t)\\12q,

~ ~ d ~

: ^v = BÏ^v -ф\ф!v\L(D < a\\v(x,t)\\L(q,

\\фоН\|2^) < a\Kx,t)\\12Q,

\\ф1iv\\12(d) < a\\vix,t),

\\ф2v\\|2(d) < в\kx,t)\\l^0,t;l2(d)) ' ~ ~ d ~

$2 : $2V = dX$2V - ф2Vx, |\ф2v\l(d < в\\lœ(0,t;l2(d)) ' \\ф<н\|2р) < &\\V(X,t)\\l^0,t;l2(d)) ' \\ф1 2v\\i2(d) < ^ \\V(X,t)\\l^0 ,t;l(d))5

b0 > 4,3^2 + a2b2) + 2abi]T

- ^ + 4^ + 4,31^ + 4,^2,0), (10)

1 >4^4, a0 > 2a4, b0 > 2^1. Тогда для любой функции f(x,t) из пространства ^(D) н любых

о

функций uQ(x) из пространства (D) ПWj(D), U (x) из пространства

о

W\(D) краевая задача (1)-(4) имеет решение u(x,t), принадлежащее пространству У, п это решение единственно.

Доказательство. Воспользуемся методом продолжения по параметру. Пусть А — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим семейство краевых задач: найти функцию и(х,£), являющуюся в цилиндре Я решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условия

и х, А и и х , х е В,

(2.

и4(х, 0) = А[Фди + Ф].и(] + щ(х)

(зл

а также условие (4). Обозначим через Л множество тех чисел из отрезка [0,1], для которых краевая задача (1), (2л), (Зл), (4) разрешима в пространстве V при произвольных функциях /(х,1), ио(х) и щ(х) из

о о

пространств Ъ^Я), В) П ШЦВ) и W\(В) соответственно. Как известно, если множество Л непусто, открыто и замкнуто одновременно,

,

скольку число 0 принадлежит ему [8]. Для доказательства же открытости и замкнутости множества Л нам понадобятся априорные оценки решений задачи (1), (2л), (Зл), (4). Установим их наличие.

Пусть есть цилиндр {(х, т) : 0 < т <Ь,х е В} (t < Т).

Рассмотрим равенство

Ъиит ёхйт = / /ит ¿хйт.

Яь

Интегрируя по частям в левой части данного равенства, приходим

к равенству

4 1 4 1

— JЩ4 (х,Ь) ¿х — — J Щ4 (x,0)dx + J J аи2хт <1х<1т — J J адиТ ¿х<1т

О О 0 0 0 0

1 1 4 1

+ \1 Ъ{х, ^ (х, — Ц Ых^иКх,0)<Ъ — ЦIЬтих ^ О О 0 0

1 1

— — J Ъо(х,г)и2(х,Ь) ¿х + — J Ъо(х,0)и2(х,0) ¿х

о

4 1 4 1

' ' Ъоти <1х<1т = J ! /ит ¿хв,т. оо оо

Используя условия (6)-(8) теоремы и применяя к правой части данного равенства неравенство Юнга, приходим к неравенству

4 1 4 1

(х, г) ¿х + 2 «Ц Щхт ьь + ъЦ ЩТ <Ъ*Т + их (х, о ¿х

о оо оо о

11 1 1

+ ъ01иЧх,г)¿х ^щ(х^)* + щ(х^)<Ь + ЪIих(х,о)¿х

0 0 о о

4 1 4 1

+ ^ У J /2 <1х<1т + З2 J ! и2т ¿хё,т, оо оо

где З есть произвольное положительное число.

лл

слагаемые правой части данного неравенства:

т 1

/и?(х,0)Зх <(4 + *) «3Ци2ЗхЗт

о I о о

т 1 1

«4 / / иТ ЗхЗт + тах / и2(х,г) Зх

„/4 . и.........-

т 1

Ъ\ J и2(х,0) Зх < (2 + )Ъ\ J J и2 ЗхЗ* + ттх J и2(х,г) Зх

оо о

1

+ Ъх + ^^ J и$(х) Зх]

т 1

т 1

Ъ2 J иКх, 0) Зх < (4 + ^ )Ъ2 а1 f J и1 ЗхЗг + ^^ J и2 ЗхЗг

о о

о о

1 1 +01 тах / иХ(х, г) Зх + & тах / и (х, г) Зх

[о,т]У ^ к [о,П У

Ъ

л0ж

х Зх

(здесь ¿1 — произвольное положительное число). Следствием выше-

приведенных неравенств является неравенство

т 1

к\ тах / и4 (х, г) ¿х + 2ап / иХт ¿,хЗ,т

..}//,...

.к, я): <,.*,/0.,,,„

ООО

1 т 1

+ Ъ\ + ^^ J и^(х) ¿х + к§ J ! и2 <1х<1т

о о

т 1 т 1

кв J J иХ ¿х<!т + — ^ ! /2 ¿хйт, (11)

оо оо

кк

к\ = 1 — (4 + ё^)^, к2 = 2ао — (4 + — ^ Ъ0 — (4 + 52 )Ъ2ръ к = Ъ0 — (4 + % )( вз + вгЬ + к5 = (4 + а2Ъ2) + (2 + 5\)а\Ъ\, к6 = (4 +

С помощью очевидных неравенств

т 1

0 0 о

мы можем от неравенства (11) перейти к следующему неравенству:

■■ЯI .......—/1 —//-Т«

; I*< :т.....« -:;...... /,,

0 о

+ + ^^ J и\(х) Зх + Ъ2 + ^^ J -ох(х) Зх

1 о 1 о

1 т 1

+ Ъ\ + ^^ J и${х) Зх + — J ! /2 ЗхЗт. 1 о оо

Первые три неравенства условия (10) позволяют подобрать числа 5 и ¿1 настолько малыми, что коэффициенты ^ и а также числа — к^Т — тах(к$Т — к±, 0) окажутся положительными. Фиксируя их (т. е. фиксируя числа 5 и 5х), мы придем к первой априорной оценке решений краевой задачи (1), (2а), (За), (4):

т 1 т 1 1

тах / и?(х,г)Зх+ / и2 ЗхЗт + / и- ЗхЗт + тах / иХ(х,г)Зх [о,т]У У У У У Т [о,т]У ^

0 0 0 0 о

1

+ тах|-и2(х,г)Зх < Сг (\\/+ ||ио + ||и1^(Д))' (12)

о

где число С1 определяется лишь входными данными задачи. Рассмотрим теперь равенство

Ч1ии- ЗхЗт=Ч/иххт ЗхЗт.

Яь Яь

С помощью неравенства Юнга, условий (6), (8) теоремы и оценки

(12) нетрудно от данного равенства перейти к неравенству

I . ........- ) и.............. I ) Щхт *.....

' ........

О

+ М (у/+ Ци0+ N|Ц2(В)). (13)

Имеют место равенства

'хх(х, 0) = Ф^хх + Ф2'хх + Ф 1'х + Ф2'х + Ф\и + &2и + и"(х),

'хДх, 0) = Фц'х4 + Ф 12'х4 + ФО'х + Ф11 '4

+ Ф1214 + Ф01' +Ъ02и + и' {х).

Условие (9) и оценка (12) позволяют перейти от данных равенств к неравенствам

1 г 1 т 1

J 'Хх(х, 0) ¿х <(2 + З1) Д т^У 'Хх(x,t)dx + alJ Щхх ¿хА

()

+ М (у/Ц12{я) + ||и0+ Ни И12{щ), (14)

1 1

J и2х4{х, 0) ¿х ^(2 + ¿1)^4 тах У и2х4{х,Ь) ¿х

()

+ м (у/ + Ни, + 11' Ищ(т) (15)

с произвольным положительным числом З1 и числами и М3, определяющимися входными данными задачи и числом З1. Следствием

неравенств (13)—(15) является неравенство

1 1

[1 —(2 + ¿1)^4] тах У и%?(х,г) Зх+[Ъо — (2 + 5{)Ъ\Р\] та,х J иХх(х,г) Зх

о ' о

т 1 т 1

+ <*//иХхх? ЗхЗ <(2 + ^//^х ЗхЗг 0 0 0 0

+ м (\/\\|2(Я) + И-О+ . (16)

На следующем шаге рассмотрим равенство

Ч1иихх ЗхЗт=Ч/ихх ЗхЗт.

Яь Яь

Интегрируя по частям, применяя неравенство Юнга, используя условия (7) и (8), приходим к неравенству 1 ? 1

2 а0/и1х( х,Ь)Зх+(2Ъ0 — ^Ц^х ЗхЗт

о

12

+ м (\\/\|2(я + \\и0 + К\\12(щ) (17)

с произвольным положительным числом ^ и числом М4, определяющимся лишь входными данными задачи и числом

Четвертое неравенство условия (10) означает, что при достаточно малых числах ¿1 будет выполняться неравенство

Ъ0 — (2 + Ь)Ъ1^>0. (18)

Если ¿1 — именно такое число, то следствием неравенства (16) будет следующее неравенство:

тах [ у2хАх,Ь)Зх < ———1 / / -хх ЗхЗг

[о,ти 1 —(2 + Ь^и У

О 0 0

+ М (\\/\и2(я) + и-о+ ).

Оценивая с помощью данного неравенства правую часть неравенства (17), приходим к оценке

„, . 2(2+Ji)aibi t 1

2»о — 02 —

о 0

1 —(2 + 0i)e4_

< M(II/IH2(Q) + IK+ IKIIWW (19)

с постоянной Ме, определяющейся входными данными задачи и числами ¿1 и ¿2- Последнее неравенство условия (10) означает, что можно найти числа ¿1 и ¿2 настолько малыми, что будет выполняться неравенство (19), а также неравенство

2(2+^6!

2Ьо-*-1-(2 + ад >0' ¿¿

оценку в пространстве ^(Ф) для функции мхх(х,£); используя эту оценку и неравенство (16), приходим ко второй априорной оценке для решений краевой задачи (1), (2а), (За), (4):

1 1 т 1

тах / пХ.Лх,£)^х + тах / мТТ(х, / / мХ^ ¿х&

[о.ТУ [от У }}

О О 0 0

|2 , и ||2

< C(У/+ IKiiwkd + IK|Iw2w (20)

с постоянной C, определяющейся лишь входными данными задачи.

Оценка второй производной utt(x, t) в пространстве L(Q) очевидным образом вытекает из доказанных оценок. Окончательная же оценка для решений краевой задачи (1), (2а), (За), (4) имеет вид

IIuIIv < C [у/+ IKiiw|(d + IK, (21)

где C определяется лишь входными данными задачи.

С помощью оценки (21) мы и докажем открытость и замкнутость множества Л.

Для доказательства открытости множества Л достаточно показать, что при принадлежности числа Ао множеству Л число А = Ао + А при малой величине |А| будет принадлежать ему же.

Итак, пусть Ао — элемент множества Л, и пусть у(х,г) — произвольная функция из пространства V. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и{х, г), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условие (4) и условия

и(х, 0) = Ао[Ф1- + ф2и] + А[Ф^ + Ф2у] + щ(х), (2^,^)

и?( х, 0) = Ао[Фо1- + Фо2- + Фци? + Ф 12и?]

+ А[Ф0^ + Ф02« + ФцУ? + Ф 12у?] + и^х). (За0,Д

Поскольку функция Ф1У + Ф2У принадлежит пространству Ш^О), функция Фо1« + Фог« + Фц«( + Ф12«? — прострапству ШЦО), данная

и х, г

ству V. Следовательно, определен оператор О, переводящий пространство V в себя: О (у) = и.

Оценка (21) и условия (9) означают, что имеет место неравенство

\\ОЫ — О{у2)\\у < |А| • — У2\\у,

где ю\{х,г) и V2(х,г) — две произвольные функции из пространства V, число С определяется лишь числами С- Если теперь

число А настолько малое, что выполняется неравенство |А| • С < 1, то О

функцию и(х, г), являющуюся решением из пространства V краевой задачи (1), (2а), (За), (4). А это и означает, что число А при указанном

А

далее, — что множество Л открыто.

Докажем теперь, что множество Л замкнуто.

Пусть {Ат} — последовательность чисел из множества Л, сходящаяся к числу Ао, {ит(х,г)} — последовательность решений задач (1),

(2ато), (ЗАт), (4). Положим г)х, г). Для функции

х,г) имеют место равенства

х,г) = 0, (х,г) € ф, 0) = Ат[Ф 1№т^ Ф(Ат - АЙ)[Ф + Ф2«й],

^тЬ^ х,0) = Ат[Фо1 + + Ф 12» тЬ! I

+ (Ат - Ай)[ф0+ ф02«Ь + ф + ф 12^],

»т^О,£) = М) = 0. Оценка (21) дает для функций -штЬ(х,г) неравенство

||»тЬ IIV < С7| Ат - Ай |[||Ф0+ Ф02Мй + Ф + Ф 12«Ы Н^Я)]

+ С|Ат - Ай |[||Ф Ф 2МЙ||^|(Я)]. (22)

Условия (9) и вновь оценка (21) влекут равномерную ограниченность последовательностей |||Ф 1МЬ + Ф2МЬ} и {Н^01мй + Ф02«Ь + ФцмЬ( + Ф ^(д) }• Сходимость последовательности {Ат} и неравенство (22) означают тогда, что последовательность {мт(х, г)} фундаментальна в пространстве V. Следовательно, существует функция м(х, г), принадлежащая пространству V и такая, что мт(х, г) ^ и(х,г) при т ^ то в пространстве V. Очевидно, что для предельной функции м(х, г) будут выполняться уравнение (1) и условие (4). Далее, равенства

Ат[Ф 1«т + Ф2«т] - Ао[Ф1« + Фг«] = (Ат - А0)[Ф1Мт + Ф2«т]

+ - «) + Ф2(Мт - «)],

Ат[Фо 1Мт + Фо 2«т + Ф12«т^- А0 [Ф01М+Ф02«+^11+ 2^]

= (Ат - А0)[Ф01Мт + Ф02«т + Ф 11«т4 + Ф 12«т4]

+ А0[Фо1(«т - « + Ф02(«т - «) + Фц(Мте - «0 + г^т! - «()],

условия (9), сходимость последовательностей {Ат}, {мт(х,г)} и оценка (21) дают сходимость АтФ 1Мт ^ А0Ф1М, АтФ2«т ^ ^з^и т ^

то в пространстве Ш2{В), АтФ01ит ^ А0Ф01и, АтФ02ит ^ А0Фо2и, АтФ1 гит? ^ А0ФпиЙ АтФ12ит? ^ ^ци^и т ^ то в пространстве

Но тогда для предельной функции и(х, г) будут выполняться условия (2Ао), (Зл0).

Принадлежность функции и{х, г) пространству V, выполнение для нее уравнения (1) и условий (2Ао), (3Ао), (4) означают, что число Ао будет принадлежать множеству Л. Принадлежность предельной точки множества ему же и означает его замкнутость.

Итак, множество Л непусто, открыто и замкнуто. Следовательно, оно совпадает со всем отрезком [0,1]. Но тогда краевая задача (1)-(4) будет иметь решение, принадлежащее пространству V.

Единственность решения краевой задачи (1)-(4) доказывается методом от противного. Пусть задача имеет более одного решения.

Пусть и{х, г), у(х, г) — два ее произвольных решения. Тогда верны равенства

ии — Аи? — Би = /(х,г), V?? — Ау? — Бу = /(х,г).

Составим разность т = и — V. Для функции т(х,г) имеют место равенства

ти — Ат? — Вт = 0, т(х,0) = Ф\и) + Ф2т, х, 0) = Ф01т + Ф02т + Фц®( + Ф12ть Ц0, г) = Ц1, г) = 0.

Повторим рассуждения, аналогичные приведенным ранее. Придем к следующей оценке:

\Нк < С •<).

Следовательно, т = 0. А это и означает, что решение краевой задачи (1)-(4) единственно.

Теорема полностью доказана.

, , , ,

творяюгцих всем условиям теоремы.

В качестве операторов Ф1, Ф01 и фц можно взять операторы

т

т

/

K(x, t)v(x,t)dt, Фо1^

/

K2(x,t)v(x,t) dt,

0

0

т

v

K3(x, t)v(x, t) dt

0

с гладкими функциями Кх(х,г), К2(х,г) и К%(х,1); в качестве операторов Ф2, Ф02 и Ф12 можно взять следующие операторы:

о < ¿1 < • • • < гт < т, о < ^ < • • • < г; < т, о < ¿Г < • • • <

£** ^ ак(х, рк(х), х) — гладкие функции. Условия (10) будут выполняться при выполнении условий малости на функции К±(х,г), К2(х,Ь), Кй{х,Ь), ак(х), вк{х) и х). Можно привести и другие примеры.

Заметим также следущее. Результат, аналогичный полученному в работе, имеет место и в многомерном случае. Все выкладки вполне соответствуют приведенным выше.

1. Керефов А. А. Нелокальные граничные задачи для параболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 5, № 1. С. 74-78.

2. C'babrowski J. On nonlocal problems for parabolic equations // Nagoya Math. J. 1984. N. 93. P. 109-131.

3. Cbabrowski J. On the nonlocal problem with a functional for parabolic equation // Funkcial. Ekvac. Ser. Futern. 1984. N. 27. P. 101-123.

4. Шелухин В. В. Задача со средними по времени данными для нелинейных параболических уравнений // Сиб. мат. журн. 1991. Т. 32, № 2. С. 154-165.

5. Шелухин В. В. Нелокальные по времени задачи для уравнений гидродинамики и вариационные принципы: Дис. ... д.ф-м.н. Новосибирск, 1992.

m

р

r

Ф12v = x)v{x,t*k*),

ЛИТЕРАТУРА

6. Либерман Г. М. Нелокальные задачи для квазилинейных параболических уравнений // Нелинейные задачи математической физики и смежные вопросы. В честь акад. О. А. Ладыженской. Т. 1. Новосибирск, 2002. С. 233-254.

7. Кожанов А. И. Нелокальная по времени краевая задача для линейных параболических уравнений // Сиб. журн. индустр. математики. 2004. Т. 7, № 1. С. 51-60.

8. Kozbanov А. I Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.

г. Стерлитамак

15 октября 2004 г■