Нелинейная обратная задача для некоторых классов вырождающихся параболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

НЕЛИНЕЙНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ*)

А. В, Прокопьев

Целью работы будет исследование разрешимости нелинейной обратной задачи для вырождающегося параболического уравнения. Заметим, что нелинейные обратные задачи для невырождаюгцихся параболических уравнений изучены достаточно хорошо (см. [1-5] и имеющуюся в них библиографию), в случаях вырождающегося уравнения это уже не так.

Пусть Л — ограниченная область пространства Rn с гладкой границей Г, Q — цилиндр 0 х (О, T), 0 < T <+ го, S = Г х (О, T), jx), i,j = 1,... , n, a(x, t), f (x, t), K(t) — заданные функции, определенные при ж G О, t G [О,Т].

Пусть выполняются условия

n

koRa{x)|£|2 aij(x)&Zj < кгра(х)|Z|2, aij(x) = aji(x), (*)

i,j=l

С = ,£n) G Г, 0 < ко < ki, а > 0, p(x) = dist(x,r;x G П),

В работе рассматривается эллиптико-параболическое уравнение

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2012-2014 гг. (Проекты № 4402, № 5562)

© 2013 Прокопьев А. В.

вида

n д ••

Ut(x,t) — У ——(a13 (x)ux.(x,t)) + a(x,t)u(x,t) + q(x)u(x,t) = f(x,t),

dxi j

«j=i

(1)

Обратная задача. Найти функции u(x,t), q(x), связанные в цилиндре Q уравнением (1) и такие, что для функции u{x, t) выполняется начальное условие

u(x, 0) = uo(x), (2)

а также условие переопределения

т

j K(t)u(x,t)dt = ^(x). (3)

о

Введем пространства V= {v(x,t) : / [v2(x,t) + vt(x,t) + x)vXH{x,t) \ dxdt < + то},

Q V i=i * )

V0 = V П (Q), VV

[г/ , n ^ ч tV*

l|v||v = / + (x,t) + ^^pa(x)vXi{x,t) dxdt ,

_Q V í=I * /

IMk = IMk + vraimaxH.

Q

Введем понятие обобщенного решения рассматриваемой задачи для функций u(x,t) £ Vq, q(x) £ ¿2(П).

Определение. Функции u(x,t) £ V, q(x) £ L2(fí) называются обобщенным решением задачи (1)-(3), если выполнено интегральное равенство

/ ( utn + aijux¿+ ащ + qwq\ dxdt = / f'qdxdt

Q V Л / Q

для любых г] € С00 (С2).

Введем понятие срезающей функции: Пусть Ыд есть положительное число. Определим срезающую функцию С(£):

£, если |£| < Ы0; С(£) = { Ы, если £ > Ы0;

—Ы, если £ < -Ы0.

Пусть ги(х, — функция из пространства С2((5) такая, что 0) = щ(х).

Введем необходимые ниже обозначения:

т

Й х)=Мх) — / К«Мх,^,

(у

/1 (х, ¿) = /(х, ¿) — г^ (х, ¿) — а(х, ¿)го(х, ¿) + \ -г—М^ж -

^^ ах, 3

Ь3=1

т

/п Л

о Хг

Кг(х,г) = К(г)а(х,г) — К'(

т

= гп§х |/о(ж)|> К0 = тах / К"((х,1) сМ п п 7

1

ф{х, у) =

м(х

■ш(х, г)

т

/о(х) — ^Кг(х,г)у(х,г)¿г — К(т)у(х,т)

Кг(х,г)у(х,г) ¿г + К(Т)у(х,Т)

ю

__г /х\ 2 _

f(x, = /].(ж, --——■ш(х, А = -— угацпах |/(ж,

а0 - М0 ф

Сх = I I \K1(x,t)\dt+ \К(Т)\ I vraimaxM aiMo W / Q

Л 1 wT ^2/rrx л ¿i + ¿1 w0TK0

Ai = 1 - "72 (T), Л2 = ai------—2-,

OiMo 2 ¿o2mo

где ¿i, ¿2 — положительные числа.

Ni = -—— I f2 (x,t) dxdt, N2 = -Г9 [ f2(x,t) dxdt,

MM J M J

Q Q

Ns = ¿/ f2(x^dxdt>

Q

Na = a( f Pix^dxdt + ^^m + ^K2^)^

\J Mo Mo

Q

W5 = vraimaxM s' W6 = — [F0 + N5K0 + \K(T)\N5},

Q i - Oi MO

где w, Mo положительные числа.

Теорема 1. Пусть выполняются условия

a(x,t) GC^Q), aij(x) G С2(Щ, i,j=l,...,n,

(4)

K(t) g C[0,T], a < n - 1, a(x,t) > ao>Mo>0;

C <1, N < M0, (5)

и пусть существуют положительные числа w> Mo, ¿1, ¿2 такие, что

w2(x,t) < w0, (x,t) G Q, ¡л2{х) > мо > 0, ж G 0, Ai > О, Л2 > 0. (6)

Тогда существует обобщенное решение u(x,t) G Vq, q(x) G Ьг(^) задачи (l)-(3).*

Доказательство. Положим v(x,t) = w(x,t) - w(x,t). Тогда выполняется условие v(x, 0) = 0 при х g О. Умножим уравнение (1) на

K(t) и проинтегрируем от 0 до T. После несложных выкладок с учетом (3), получим

q(x) = ip(x,v) = —^

T

fo(x) - J K(x,t)v{x,t)dt - K{T)v{x,T)

о

Подставив это выражение для q(x) в уравнение (1), имеем n д ■■

vt(x,t) — ——(a1-* (x)vXj (х, t)) + a(x, t)v(x, t) + ip(x, v)v(x, t)

. . dxi

г,з=i

= /( x,t) + ^{x,v) (1')

Рассмотрим новую задачу: найти функцию v(x,t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения (1') н такую, что для нее выполняются условия

v(x,0)=0, (2')

Для доказательства разрешимости данной задачи воспользуемся методами регуляризации и срезающих функций.

Пусть £ — положительное число. Рассмотрим начально-краевую задачу: найти функцию v{x, t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

n д ••

Lev = vt - far(aV(x)vx>) ~

+ (a(x, t) + G(ip(x, v)))v = /(x, t) + x, v) (7) и удовлетворяющую условиям

v(x,0) = 0, v(x,t)\s = 0. (8)

Имеет место разрешимость вспомогательной задачи при фиксирован-

£

W (Q) n WQ) (см. [3]). Покажем выполнение

£

Умножим (7) на ^(ж, £) и проинтегрируем по Q. Получим

— J v2(x,t)dx\^ ^ J 53 а< (х)ухЛ(х, ¿) ЛхЛЬ

о, Я ^=1

+ (х,^ Лх*Ь + J(а + О(ф)^2(х,Ь) Лх*Ь

Я <=1 я

-¡¡мы*/«,,^)**. (О)

Я Я

Применяя в правой части (9) неравенства Гёльдера и Юнга, а также условие (4), получим (см. [5])

1 чщТ

-К2(Т)) ('^(х, Т) Лх | / 3

2 2^0

и

П г. п

53 агх^Хн{(х, Ь) ЛхЛЬ + £ / vХi (х,Ь) *х<И

: _1 А_1

Я Я <=1

+ +

а1--—-——^--^—- ] [ V2 (хА) <1хЛ ^ —[ Р (хЛ) ¿хсИ.

2 ) У 25? ' ^ 7

ЯЯ

Положим 5| = Л2. Тогда (10) примет вид

■з (10)

I у2(х,Т)с1х+ [ ^^ а1^ ¿хА

п Я

1) <1хсИ + I V2 (ж, £) ¿хсИ ^ I $2(х,1)<1х(И. (11) Я 4=1 Я " Я

Отсюда

¡^х-Т)*х( ¡'м** <

Я

п „ п „ (12)

53 / а1з (х^Хн (х,Ь) *х*Ь + / vХД х,Ь)*х& ^ N3.

<,з=1 я 4=1 я

Для получения следующей априорной оценки рассмотрим равенство

J ЬЕу • = ! }(х,1)У1{х,1)<1х(И + J ф(х,ю)ю^х,Ь) <1х<И. (13)

Я Я Я

Интегрируя по частям и используя неравенства Гёльдера и Юнга, получим

— [ V2(х,Ь) с1х<М + — / а13 уХн(х,Т)ух^(х,Т) в,х ^=1 п

— ^^ J у2х.(х,Т) <1х ^ J /2(ж,4) (¿жсЙ п Я

[ у2(х,г)с1хсМ + —К2(Т) [ у2(х,Т)сЬ. (14) ] Мо ]

Я

т0К0Т

Мо

Я "

Отсюда с учетом (12) имеем

J ^ N4,

Я Я

J агзуХн (х, Т)ух^ (ж, Г) (1х + е J у2х. (ж, Т) ¿х ^—4

N

ух. (ж, 1') (1х ^

п п

Из равенства (7) следует

утахтах |г>| < --ц- утатмх |/(ж,¿)| Н--"ТТ" ^'гахтах -у)|

а0 - М0 с} а0 - М0 ч

< -уга1_тах\1(х, I

«о - М0

т

т0

\К1(х,г)\&+ \К(Т)\ угахтах |г>| = А + С\ угатмх |г;|.

а1Мо \ J Я Я

\о /

Отсюда

А

ута1тах|г;| < --— = N5,

Я 1 -

Оценим

Ых)1

1

/о(х) - ! К\(х,1)у(х,1)& — К(Т)у(х,Т)

< — + Ы5К0 + \К(Т)\Ы5] = лг6, Мо

Поскольку на самом деле функция определяется также пара-

метром £, из семейства {г>е(х,~Ь)} можно получить семейство функций {ие(х,Ь)} с помощью равенств

ие( х,~Ь) = у£( х,~Ь) + и£( х,~Ь) 1в = 0.

Тогда для семейства {ие(х,~Ь)} в целом имеем оценку

Я

и2{х, ¿) + и2(ж, + ра{х)и2х (ж, £) (1х<М + угаипах |м| < Л^. (16)

^ * / д

¿=1

(17)

Условие переопределения т

J К(~Ь)п£(х,~Ь)3,х = р(х) о

для семейства {ие(х,Ь)} выполняется (см., например, [4]). Тогда для семейства {ие(х,~Ь)} в силу (17) выполняется равенство

п д

и£г{х,г) - -^(а11 (х)и£Х^х,г)) ¿,3=1 ¿

+ а(х, х, Ь) + де(х)и£(х, Ь) = /(х, Ь), (18)

где

«Лх) =

р(х)

/о(х) — J х,Ь) — т(х,ЬУ) &

о

— К(Т)(и£(х, Т) — т(х,Т))

Умножим (18) на пробную функцию n(x, t) и проинтегрируем по Q:

Из оценки (16) и из [5] следует, что можно выбрать подпоследовательности |em} и {um(x,t)} такие, что при m ^ ж

В пределе получим нужное нам обобщенное решение, что и требовалось.

1. Prilepko А. I, Orlovskv D. С'., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Dekker, 1999.

2. Ivancbov M. Inverse problems for equations of parabolic type. Mathematical studies. Monograph series. 2003. V. 10.

3. Кожанов A. If. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 4. С. 694-716.

4. Кожанов А. И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче // Мат. заметки. 2004. Т. 76, № 6. С. 840-853.

5. Кудрявцев Л. Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений // Тр. МИАН СССР,

о

um(x,t) ^ u(x,t), umi(x,t) ^ ut(x, t) почти всюду в Q, um(x,T) ^ u{x, T) почти всюду в П.

ЛИТЕРАТУРА

1959. Т. 55. С. 3-182.

г. Якутск

15 апреля 2013 г.