О разрешимости краевых задач для многомерных псевдопараболических уравнений с нелокальным граничным условием интегрального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛОКАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ ИНТЕГРАЛЬНОГО ВИДА*) Н, С, Попов

Введение

Нелокальные краевые задачи для параболических и гиперболических уравнений с интегральным условием на боковой границе активно изучаются в последнее время, но при этом в основном рассматривается лишь одномерный по пространственным переменным случай (см. [1-7]). В многомерном случае исследования подобных задач ранее относились к параболическим [8-10] и гиперболическим уравнениям [11]. Многомерные псевдопараболические задачи с интегральным условием на боковой границе ранее не изучались.

Постановка задачи

Пусть Л — ограниченная область пространства М" с гладкой (для простоты бесконечно дифференцируемой) границей Г, ^ — цилиндр П х (0, Т) (0 < Т < + го), Б = Г х (0, Т) — его боковая граница, а(ж, ¿), с(ж,£) и /(ж,£) — функции, заданные в цилиндре С}, ид(х) — функция,

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2012-2014 гг. (проект № 4402) и фцд «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 20092013 гг. (ГК № 02.740.11.0609).

© 2012 Попов Н. С.

заданная на множестве П, К(х,у, — функция, заданная при х £ Л, у еП,*е [о,т].

Краевая задача I. Найти функцию и(х, являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

д

Ьи = — (и — Аи) — а(ж, Дм + с(ж, = /(ж, £) и такую, что для нее выполняются условия

и(х,0) = ио(х), х € О,

'(х,^ |(х,г)ей = J К(х, у,Ь)и{у,Ь)йу

(х,г) ей

(1)

(2) (3)

Краевая задача II. Найти функцию и(х,£), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условия (2) и условие

ди(х, £)

(х,е) ей

= J к(х,у,г)и(у,г) йу п

(х,е) ей

(4)

где ^(х) = ..., — вектор внутренней нормали к Г в текущей точке.

Разрешимость краевой задачи I

Определим оператор М по формуле

(Ми)(х, £) = и(х, £) — J К(х, у, £)и(у, £) йу. п

Оператор М однозначно и непрерывно обратим как оператор из Ь2(П) в всех £ € [О, Т], и существуют положительные постоянные

Ш1) Ш2 такие, что выполняются неравенства

(5)

при любых Ь е [О,Т] и и(х,г) е Ьто(0, Т;Ь2(П)). Пусть

У = {«(х,Ь) : V е ЩД (д) П Ьто(0,Т;Щ(П)), V е Ь (О,Т;Щ(П))} — пространство с нормой

1Мк = \М^22 -1 (Од + \Н\ь2(о,т^|(П) + 1М1ьте(о,т;ж|(П) )•

Введем обозначения

ЬМи(х, Ь) - МЬи(х, Ь) = Ф(х,Ь,и), т = Ми

и будем рассматривать уравнение относительно т:

Ьт = д(х, Ь) + Ф(х, Ь, М—т),

где д(х, Ь) = М/, которое, как показано ниже, эквивалентно исходному уравнению (1). Имеем

Ф(х,Ь,и) = J [-Кг( х,у,Ь) + Ах К«( х,у,Ь) + а(х,г)А х К(х,у,Ь) п

— с{х, Ь)К(х, у, Ь) + с{у, Ь)К(х, у, Ь)]и(у, Ь) ¿у

+ J АхК(х,у,Ь)щ{у,Ь)(у — | К(х,у,Ь)а(у,г)Ауи{у,Ь)(у п п

— | К{х,у,-Ь)Аущ(у,Ь)(у.

Пусть

т0(х) = и0(х) — J К(х, у,0)ио(у) ¿у,

и введем обозначения

Ро = тах у у (АхКУ(х,у,т)(1х(1у, п п

^о = тах / / К2(х,у,т) ¿х(у.

У У

п п

(6)

Теорема 1. Пусть выполняются условия (5), a(x,t), c(x,t) G С1^), a(x,t) ^ ao > 0, c(x,t) ^ cq > 0 при (x,t) G Q; if(x,y,t)GC3(QxQx[0,T]),

1-<5o2--^>0, прийое fo,^);

V 2 /

f(x,t) g L2(Q), w0(x) g W^^O).

Тогда краевая задача I имеет решение u(x,t), принадлежащее пространству V, н это решение единственно.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию w(x, t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Lw = g(x, t) + Ф1 (x, t, w) (8)

и удовлетворяющую условиям

w(x,t)\s = 0, w(x,0) = wq(x), x GÛ, (9)

где

u(x, 0) - J K(x, y,0)u(y,0) dy = u0(x) - j K(x, y,0)uo(y) dy = w0(x),

fi fi

x, t, w ) = $(x,t, M—w).

Докажем, что при выполнении условий теоремы краевая задача (8), (9) разрешима в классе W = {v(x,t) : v(x,t) G V, w(x,t) = Mv(x,t) G V} для любой функции g(x, t) из пространства L2(Q). Воспользуемся методом продолжения по параметру. Именно, для чисел А из отрезка [0,1] определим семейство операторов {La}: Law = g +

АФ1 (x, t, w). Рассмотрим краевую задачу: найти функцию w(x,t), яв-Q

Law = g(x, t) + АФ1 (x, t, w)

(7a)

при выполнении условий (9). Обозначим через Л множество тех чисел А из отрезка [0,1], для которых краевая задача (7л), (9) разрешима

в классе Ж для произвольной функции д(х,Ь) из пространства

,

свою очередь, означает разрешимость краевой задачи (8), (9) в требуемом классе.

Убедимся прежде всего, что множество Л непусто. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и(х,Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Ьи = д(х, Ь)

при выполнении условий (9).

Как следует из результатов работ [12-14], при выполнении условий теоремы эта задача имеет решение, принадлежащее пространству V.

Пусть и(х,Ь) — решение краевой задачи (7л), (9) из пространства V. Если имеет место априорная оценка в том же пространстве V, то задача разрешима при А е [О,1] (см. [15]).

л

сапное в переменных х и т, па функцию иу — Аит и результат проинтегрируем по области Оипо переменной т в пределах от 0 до Ь. Таким образом, преобразуем равенство

г г

J ! Ъли(ит — Аиу) ¿х<1т = J !(д + АФ1)(иг — Аиу) ¿х&т. о п о п

Интегрируя по частям, с учетом краевых условий (9) придем к равенству

о п

ит

¿х

К)2+ 2 ^Кгт)2 + (Аг

i=l

■ — J(Аи)2 (ж, £) (¿ж + — J[а(ж, £) + с(ж, ¿)]и2^ (ж, £) 3,х

г

с

— J с(ж, ¿)и>2 (ж, £) (1х = — J ! ат(Ди>)2 ¿хс1т

о п

Е К

(а^ + ет,)- а^ ш - е^

] ¿ж^т

о п

с

■ J J сти>2 (1хс1т + —! с(ж, 0)и>д (¿ж + — У а(ж, 0)(Ди>о)2 с£г

о п

■ / [а(ж, 0) + е(ж, 0)]Шх ¿ж + /(д + АФ1)(шт — Дшт) ¿,жЛт.

(10)

о п

Для получения априорной оценки из равенства (10) рассмотрим оценку интеграла

с

У У «Т (у, т)йуйт

о п

через функцию ш. № равенства ш = Ми имеем

«т(у,т) — J К(у,г,г)Пт{г,т)ё,г = Шт(у,т) + Кт(у, г,т)и(г,т) ¿г. п п

Используя (5) и неравенство Юнга, получим

«т (у,т)^у <

1

Ш1

-{у,т) — Кт(у, г,т)и(г,т) ¿г

¿у

<

У ш2т{у,т)ё,у + 2 У |шт(у,т) |- У Кт{у,г,т)и{г,т) ¿г

¿у+

Кт(у, г,т)u(г,т)¿г ¿у

п п

<

Ш (у, т)с!у

1

] ™т(у>т) г]'У + 1:2 у ^у кЛу,г,т)и(г,т)<1г) ¿у п п п

Кт(у, г,т)и(г,т)&г ¿у

п п 1 + £2

<

1 / „ .2

ит{у,т)&у + С(^ / и(у,т)&у, (11)

где малое ^ > 0 подберем позже, а последний интеграл оценивается через (5).

Для того чтобы оценить в (10) интеграл

г

J ! — Аиу) ¿х&т7

(12)

о п

рассмотрим оценку интеграла от Ф(х,Ь,и) вида

г

J ! (у! АхК(х,у,т)ит (у,т)ф^(ит — А иу) ¿х&т о п п

I II

<J J J хК)2{х,у,т)йу^ Ци1(у,г)^ \wr-Awr\dxdr о п п п

¿8

г

^ 2 J ] (и>т ~ <~1хс1т

о п

г

(/^хкпх,у,т)&у)а ии у,т)&у)&х&т

о п п

г

л

г

I I («V ~ Аит)2 с£ейт + ^ I I и2т{у,т) <1у<1т, (13) о п 0 о п

где Ро задано равенством (6).

Продолжая (13), с учетом неравенства Юнга и (11) получим

г

J ! (у ! АхК{ж,у,т)ит{у,т) ¿у^(шт — ДШт) ¿ж¿т

о п п

<

(иу — Диу)2 ¿ж¿т ■

Ро(1 + &

о п

261

ит (ж, т)¿ж¿т

о п

г

ЛиЧж,т)гШг. (14)

о п

Для того чтобы оценить в (12) интеграл вида

г

J ! (у ! К(ж,у,т)Ауит{y,т)¿^j{■Wт — ДхШт) ¿ж¿т,

о п п поступаем, как выше. Имеем г

J ! К{ж,у,т)А у ит{ y,т)¿y^(wТ — Д ит) ¿ж¿т

Яо (1 + 62 С

о п п

^ -г- / / («у — Диу(Iж<1т о п

ОХ9 / I (&уитУ(у,т)(1у(1т,

Щт { I (15)

где Яо задано формулой (6).

Зафиксируем ¿о € (0, и потребуем выполнения неравенств (7):

Р

Яо

= 1 - ¿5 - — >0, р2 = 1- — > 0,

(16)

которые, очевидно, выполняются при малых | ДхК(ж, у,~Ь) | и |К(ж, у,~Ь) Подбирая малое ^ > 0 из неравенств

Р

Р1

6)т1

> 0, Р2 —

>,

(17)

г

применяя неравенство Юнга и используя лемму Гронуолла в равенстве (10), получим априорную оценку

г

о п

(Ыт

г=1

(Аыт

¿х &

1=1

ы^Х х,Ь) + ы2(х,~Ь)

¿х ^ К / / g2(x,t)dxdt (18)

о п

с положительной постоянной Ко, определяемой лишь функциями а{х, Ь), с(х,Ь), отелами Т, ад, сд, а также областью П.

Очевидно, аналогичная оценка имеет место и для функции и(х,~Ь)

Мк < К|М|у < КI

\ь2(Я)

(19)

КК

К

Из оценок (18), (19) следует открытость и замкнутость множества Л (см. [1,11]). Следовательно, краевая задача (8), (9) разрешима в классе Ж.

Покажем, что с помощью решения вспомогательной краевой задачи (8), (9) можно найти решение исходной краевой задачи (1)-(3). Так как д(х,Ь) = М/(х,Ь) и в силу условия (5) следует, что из принадлежности функции /(х, Ь) пространству Ь?^) функция М/(х,1) также будет принадлежать пространству Ь^^), согласно доказанному краевая задача (8), (9) с такой функцией д{х,Ь) разрешима в пространстве V. Тогда легко показать, что исходное уравнение (1) эквивалентно (8). В самом деле, уравнение (8) имеет вид ЬМи = М/+Ф, откуда получим ЬЫи = М/ + ЬЫи — ЫЬи, т. е. Ы(Ьи — /) = 0. Поскольку оператор М взаимно однозначен (из условия (5)), решение и(х,~Ь) уравнения (8) будет решением уравнения (1). Выполнение условий (2), (3) для функции и(х,~Ь) очевидно.

Единственность решений очевидна — она вытекает, например, из неравенства (19). Теорема доказана.

Разрешимость краевой задачи II

Пусть K\{x,y,t) — функция, определенная на множестве ПхОх [О, Т] и такая, что при (x,y,t) £ Г х П х (О, Т) выполняется равенство

(как можно построить данную функцию, обсудим ниже). С помощью Ki (x, y, t) определим оператор Mi и функцию &(x,t,u):

(.M\u)(x, t) = u(x,t) — j K(x, y, t)u{y, t) dy, fi

&(x, t, u) = LMi_u(x, t) — MLu(x, t),

значение оператора M па функции u(x, t) будем обозначать через w = M\u{x, t) и определим детальную функцию w(x, 0) = w±(x):

wi(x) = u0(x) — j K{x,y^)uQ{y)d,y. fi

ML в всех t £ [0,T] и существуют положительные постоянные

шз, Ш4 такие, что выполняются неравенства

msJ u (x, t) dx [.MMx, dx < mf u (x, t) dx (20) fifi fi при любых t £ [0, T и u(x, t) £ LTO(0, T; L2(Q)). Имеем

^(x, t, u) = J[—Kt(x,y,t) + AxKt(x,y,t) + a(x) ДxKi(x,y,t) fi

— c(x, t) K (x, y, t) + c(y, t) K (x, y, t)]u{y, t) dy

x

fi

Ax K{x,y,t)ut{ y, t) dy — j K{x,y,t) a{y,t) A y u{y,t)dy

fi

— J Ki(x, y, t)Ayщ(y, t) dy.

Как и выше, введем обозначения

У У (АхКх)2 (х, у,г) ¿хЛу,

Р1 = тах

ге[о ,т

п п

(21)

п п

Теорема 2. Пусть выполняются условия (20), а(х,г), с(х,г) £ а(ж, ¿) ^ ад > 0, с(ж,£) ^ со > 0 при (ж,£) £ <5; к^х.у.г) е с3(П х п х [о,т]),

^->0. 1--£->0 пои^О.^П: (22)

1 - ¿о - >0, 1 " >0 при <5о € 0, V ¿отз ¿5тз

/(х,г) е Ы1(х) е ^П),

ды (х)

.

жег

3и(х)

Тогда краевая задача II имеет решение и(х,г), принадлежащее пространству V, п это решение единственно.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию и{х, г), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Ью = д(х, г) + Ф(х, г, и) (23)

н удовлетворяющую условиям дю(х, г)

81/(3

= 0, т(х, 0) = Ы1(х), х еП, (24)

я

где д(х, г) — заданная функция. Разрешимость данной краевой задачи в пространстве Ж устанавливается стандартным (в рамках настоящей работы) способом — с помощью метода продолжения по параметру. Необходимые априорные оценки выводятся из равенств г г

Ь\й( иу — А иу) ¿хЛт= / (д + АФ1)(й»г — А аду) ¿хЛт,

о п о п

где ю) = Ф{х,Ь,Ы— Щ.

Как и выше, при осуществлении схемы метода продолжения по параметру основная априорная оценка определяется положительной постоянной К в правой части, зависящей лишь от функций а(х,~Ь), с(х, чисел Т, ао, со, а также области П. Имеем

\\u\v < К\\9\\ЫФ. (25)

Как и ранее, с помощью решения вспомогательной краевой задачи (23), (24) строим требуемое решение краевой задачи II, а именно, с помощью выбора функции д(х,Ь) = Ы\/(х,Ь) и перехода к уравнению

Ы{Ьи - /) =0.

Единственность решений краевой задачи II в пространстве V оце-видна из априорной оценки (25). Теорема полностью доказана.

Замечание 1. В теореме 1 условия малости па функции К{х, у, Ь), ДхК(х, у, Ь) можно заменить условиями симметричности К(х,у,Ь) = К(у, х,~Ь) и обращения в нуль на границе:

К(х,у,г) = Ку^х,у,г) = о {% = 1,... ,п) при у ег.

Аналогичное верно для функции К±(х,у,Ь) в случае теоремы 2.

Замечание 2. В теоремах 1 и 2 от условий а(х,Ь) ^ ао > 0, с(х,Ь) ^ со > 0 можно отказаться, но тогда, как и выше, при получении априорных оценок возникнут условия малости на функции а(х, Ь), с{х, Ь) и их производные.

Замечание 3. Функцию К(х,у,Ь) можно построить, например, как решение второй краевой задачи для оператора Лапласа:

АКг(х,у,г) = АК(х,у,г), дК(х,у,г)

где переменные у и Ь являются параметрами.

= К(х,у,г) |х£г,

хег

Заключение

1. Метод доказательства разрешимости краевых задач I и II основан на переходе от задачи с неклассическим краевым условием к задаче с классическим условием, но для неклассического уравнения — так называемого нагруженного [13] уравнения, доказательстве разрешимости полученной задачи с помощью метода продолжения по параметру и априорных оценок, и далее — к построению решения исходной задачи. Ранее подобные методы в близкой ситуации эффективно использовались в работах [1-7,9-11].

2. В краевой задаче II условие (4) можно заменить условием

3. Теоремы 1, 2 остаются справедливыми и для уравнения вида

при соответствующих ограничениях на коэффициенты уравнения.

1. Кожанов А. И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых задач для линейных параболических уравнений // Вестн. Самарск. ун-та. Естественнонаучная сер. 2008. Т. 62, № 3. С. 165-174.

2. Кожанов А. И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых задач для линейных гиперболических уравнений второго порядка // Докл. РАН. 2009. Т. 427, № 6. С. 747-749.

3. Кожанов А. И. О разрешимости краевых задач с нелокальным условием Би-цадзе — Самарского для линейных гиперболических уравнений // Докл. РАН. 2010. Т. 432, № 6. С. 738-740.

4. Lazetic N. L. On classical solutions to mixed boundary problems for one-dimensional parabolic equation of second order // Publ. Inst. Math., Nouv. Ser. 2000. V. 67(81). P. 53-75.

5. Попов H. С. Разрешимость задачи со смещением для псевдопараболического уравнения с нелокальным интегральным краевым условием //II Всерос. научи. конф. и VII Всерос. школа-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных

д n д n

— (и-Аи) - Y^ Q^ib11 (X,t)ux3) + Y1 Ьг(х>*)ихг +b(x,t)u = f(x,t) i,j=l г i=l

ЛИТЕРАТУРА

территорий Российской Федерации»: Тез. докл. Якутск: Филиал изд-ва ЯГУ, ИМИ ЯГУ, 2009. С. 68-69.

6. Попов П. С. О разрешимости некоторых задач со смещением для псевдопараболических уравнений // Материалы XLVIII Междунар. науч. студенческой конф. «Студент и научно-технический прогресс». Математика / Новосибирск: Новосибирск, гос. ун-т, 2010. С. 58-59.

7. Попов П. С. О разрешимости некоторых задач со смещением для псевдопараболических уравнений // Материалы Междунар. науч. форума «Ломоносов-2010». Математика. Электронный ресурс. М.: Макс Пресс, 2010.

8. Ftidman A. Monotone decay of solutions of parabolic équations with nonlocal boundary conditions // Quart. Appl. Math. 1986. V. 44, N 3. P. 401-407.

9. Кожанов A. И. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием для линейных параболических уравнений // Вестн. Самарск. гос. техн. ун-та. 2004. вып. 30. С. 63-69.

10. Абдрахманов А. М., Кожанов А. И. Задача со смещением для уравнений в частных производных // Изв. вузов. Математика. 2007. № 5. С. 3-26.

11. Кожанов А. П., Пулькина Л. С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 9. С. 1116-1172.

12. Kozbanov А. Г. Composite type équations and inverse problème. Utrecht: VSP, 1999.

13. Нахушев A. M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006.

14. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: Элм, 1985.

15. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

г. Якутск

9 февраля 2012 г.