О разрешимости некоторых линейных обратных задач для ультрапараболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УЛЬТРАПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ*)

Ю, А, Кошелева

Работа посвящена исследованию разрешимости линейных обратных задач нахождения вместе с решением ультрапараболического уравнения неизвестного внешнего воздействия специального вида. Следует отметить, что как линейные, так и нелинейные обратные задачи нахождения вместе с решением неизвестного внешнего воздействия или же неизвестных коэффициентов достаточно хорошо изучены для параболических уравнений (см., например, монографии [1-5] и имеющуюся в них библиографию). В то же время обратные задачи для ультрапараболических уравнений ранее не изучались.

Пусть Л — ограниченная область пространства Rn с гладкой (для простоты, бесконечно дифференцируемой) границей Г, t — число из интервала (О, Т), 0 < Т < + ж, a — число из интервала (О, А), 0 < А < Q — цилиндр П х (О, Т) х (О, А). Далее, пусть c(x,t,a), f(x,t,a), h{x,t,a), hk(x,t,a), к = 1,..., m, N{x,t,a) суть заданные при х £ П, t £ [0, Т], a £ [0, А] функции, t\, t?,..., tm — заданные числа такие, что О < ti < • • • < tm < Т.

Обратная задача I. Найти функции u(x, t, a), qi (x, a), ... , qm(x, a),

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 0ЕМ)1Ч)0422а).

© 2011 Кошелева Ю. А.

связанные в цнлнндре Q уравнением

т

Ьп = щ + па — А п + с(х,Ь, а)п = /(х,Ь, а) + ^^ Нк( х,4, а)^к( х, а) (1)

к=1

(А — оператор Лапласа по переменным хх,..., хп), при выполнении для функции п(х,£, а) условий

п(х, 0, а) = 0, х е О, а е (О, А, (2)

п(х,г,0) = 0, х еПе(0,Т), (3)

и(х,г,а)\хедП,4е(о,т),ае(о ,А) = 0, (4)

п(х, ¿к, а) = 0, к = 1,..., т, х е П, а е (О, А. (5)

Обратная задача II. Найти функции п(х, а), д(х, а), связанные в цилиндре Q уравнением

Ьп = /(х,~Ь) + Н(х,1,а)ц(х,а), (1')

при выполнении для функции п(х,£, а) условий (2)-(4), а также условия

т

J Ж(х, а)п(х, а) ^ = 0, х еП, а е(О, А. (6)

о

В обратных задачах I и II условия (2)-(4) суть условия обычной первой начально-краевой задачи для ультрапараболических уравнений, соотношения (5), (6) суть условия переопределения на временных слоях и интегрального переопределения; наличие этих условий обуславливается наличием дополнительных неизвестных функций (х, а), . .. , дт(х, а) или же ц{х, а).

Проведем некоторые формальные (пока) построения, касающиеся вначале обратной задачи I.

Обозначим для краткости через С область П х (О, А). В уравнении (1) положим последовательно £ = ¿1, £ = ¿2, ... = Получим следующую алгебраическую относительно функций яДж, а), ... , Ят(ж, а) систему:

Я1 (ж, а)^1 (ж, ¿1, а) + • • • + дт(ж, а)^т(ж, ¿1, а) = мДж, ¿1, а)-/(ж, ¿1, а),

, а)+ .. . +ят(ж, а)^т(ж,£т, а)=м4(ж,гт, а)-/(ж,£т, а. Обозначим через ¿(ж, а) определитель этой системы. Считая выполненным условие

|й(ж, а)| ^ (¿о > 0 при (ж, а) (Е С, выразим функции дк(ж, а):

(7)

Як

(ж, а) = ак(ж, а) + вкг(ж, а)м;(ж, , а), к = 1, . .., т.

г=1

Подставим найденные представления в уравнение (1): М + ма — Ам + с(ж, а)м = /(ж, а)

^Мж,£, а)

к

^а^ж, а) + ^вкг(ж, а)м4(ж,£;, а)

г=1

г=1

= ^ ж,£, а)ак( ж, а) + ^ Л-к( ж,£, а) ^вкг( ж, а)м4( ж,£;, а).

к

Введем обозначения:

к

г=1

Л(ж,£, а) = /(ж,£, а) + ^ ж, а)ак(ж, а)

к

7г(ж,£, а) = Нк(ж, а)вкг(ж, а), / = 1, .. ., т,

к

с учетом которых уравнение (1) преобразуется к виду

т

Щ + ма — Ам + с(ж, а)м = /1 (ж, а) + 7г(ж, а)м;(ж, , а). (1

г=1

Уравнение (1") является так называемым «нагруженным» [6,7] уравнением; разрешимость его будет исследована с помощью перехода к продифференцированному по £ уравнению (см. [8,9]). Определим пространство

V = {«(ж, а) : «(ж, а) € г>г(ж, а) € ^(Ф),

г>а(ж,г, а) € Ь2(Ф), г>^(ж,г, а) € ^(Ф),

(ж,£, а € Ь2(^), г,.? = 1, . .. ,п}.

Норму в этом пространстве определим естественным образом:

1Мк = + ^ + ^ + ¿^ + ^ ¿хсМс1а^ .

Положим «(ж, а) = мг(ж,£, а). Введем еще обозначения: #(ж, а) = Д¿(ж, а, <^(ж, а) = Л (ж, О, а, ж, а) = 7;(ж, 0, а, 7г(ж, а) = 7;4(ж,£, а), / = 1, . .., т. Для функции «(ж, а) будут выполняться уравнение

«г + «а — АV + с(ж, а)« + сг(ж, а^ = #(ж, а) + ^^ 7г(ж, а«(ж, ^, а,

г=1

г

.(м^/^а^ (8)

о

и условия:

т

«(ж, о, а = ^ж, а + Фь(ж, а«(ж,¿г,а, м(ж,о,а = о, ж € с, (9)

г=1

«(ж,г,0) = 0, ж €0, £ € [О,Т, (Ю)

«(ж,£,а)|жеап,ге[о,т], ае(о,А) = 0 (11)

(условие (9) выводится, если в (1'') положить £ = 0). Именно с помощью решения краевой задачи (8)-(11) будет построено решение исходной обратной задачи I.

Краевая задача (8)-(11) является по-прежнему задачей для «нагруженного» уравнения, но при этом она также нелокальна по одной из временных переменных. Ранее подобные нелокальные задачи для «нагруженных» ультрапараболических уравнений не рассматривались, поэтому сформулируем и докажем необходимую для исследования обратной задачи теорему о ее разрешимости.

Положим Ь;д = max_\ij)i(x, а)|, / = 1,..., то, Ь0д = max bi,b^2 =

(x,a)eG ' 1=1,...,m

max |y(x, t, а)|, l = 1,..., m, bn 9 = max bl 9. q ' 0<l<m '

Для функций v(x,t, а) из пространства V таких, что v = 0 при x £ dQ, t £ [О, T], а £ (0, A), выполняются известные неравенства

t A n t A

J J J v2 dxdrda ^ bp ^^ j j j vX. dxdrda, (*)

0 fi 0 i=1 0 fi 0

n t t t £ //»X.x,< ,//<л/V«*. ,.„

® 0 fi 0 G 0 G

числа bo, ki, ^2 в этих неравенствах определяются лишь областью П. Теорема 1. Пусть выполняются условия ф, а) £ W2(G), ф1{х,а) £Wlo{G), ji(x,t,a) £ Wlo(Q), /=1,...,ш,

c(x,t, а) £ С2(Q), c(x,t, а) ^ cq > 0, ct{x,t,a)^ 0,

ctt(x,t,a) ^ 0 при (x,t, а) £ Q,

,2 , bl2T\ ^ , b0 1m Н--то < 1,

со /

g(x,t, а) £ ga(x,t, а) £ L(Q).

Тогда краевая задача (8)-(11) имеет решение u(x, t, а) такое, что u(x, t, а) £ V, ut(x, t, а) £ V.

Доказательство. Воспользуемся методом регуляризации и методом продолжения по параметру.

Пусть е — положительное число. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию «(ж,*, а), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

«2 + уа - е-уаа - АV + с(ж, *, а)« + с4(ж, *, а)п

т

= ^(ж, *, а) + 7; (ж, *, а)«(ж, *, а (8е) г=1

и такую, что для нее выполняются условия (9)—(11), а также условие ж,М) = О, ж е 0, * е [О,Т]. (12)

Определим пространство

V = {«(ж,*, а) : «(ж,*, а) е «Дж, а е ¿2^), «а (ж,*, а) е ¿2^), «аа(ж,*,а) е «Ж,(ж,*,а) е

«ж^ (ж,*, а е г,.? = 1, . .. ,п};

норму в этом пространстве определим естественным образом:

мк = ( i «а + ^ ^. ^ . ,

¿=1 ¿,,7—1 / /

Далее, пусть А — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим семейство краевых задач: найти функцию «(ж, *, а), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

«2 + «а - е«аа - А« + с(ж, *, а)« = #(ж, *, а)

А

. г=1

и такую, что для нее выполняется условие

7Дж, *, а)« (ж, *, а) - с2(ж, *, а)п

(8е

«(ж, 0, а) = у(ж, а) + А ф;(ж, а)«(ж, *,а), ж е С, (9л)

г=1

л

а также условия (10) -(12).

При Л = 0 краевая задача (8е,о), (9о), (10)—(12) разрешима в пространстве V (см. [10]). Согласно теореме о методе продолжения по параметру [11] для разрешимости всех задач (8е,Л), (9л), (Ю), (11) при фиксированном е достаточно, чтобы при принадлежности функции З(ж,£, а) пространству имела место равномерная по Л априор-

ная оценка

1Мк < к.

Установим ее наличие. Рассмотрим равенство г

г

• — е«аа — АV + с«)« ¿ж^т^а

о о

г

З + Л

о о ^

53 7г(ж, т, аЦж,£г, а) — Ст (ж, т,

г=1

V ¿ж^т^а,

которое нетрудно интегрированием по частям преобразовать к виду

г г ........ ' V" {х.т, А) йхйт + е I I V

I (ж, а) гШа г, А) гШг + е 11

оо П г г

¿2/(1х(1т(1а + (1х(1т(1а + | / с, (ж, а),2 (ж, а) ^а

о о о

г

11Стти2 = 2 / г'2(ж'а) оо

т г

J ! д« dжdтd^ + ^^^ J J 7;(ж, т, а)«(ж, т, а) ¿ж^т^а. (13)

Л 2

о

Заметим, что вследствие условий теоремы все слагаемые в левой части равенства (13) неотрицательны. Далее, для первого слагаемого

правой части (13) имеет место представление

о о

Если обозначить

^(ж, а) + Л ф;(ж, а)-у(ж, ¿г, а)

1=1

¿ж^а.

В = ^фг(ж, а)«(ж, ¿г, а), г=1

воспользоваться далее неравенством Юнга и элементарным числовым неравенством

+ • • • + ат)2 < т(а2 + • • • + о2т),

то нетрудно оценить величину / «2(ж,0, а) ¿ж^а:

о

J «2(ж, 0, а) ¿ж^а ^ (1 + т ^^ J ^(ж, , а)¿ж^а

1 + ^ ) I <^(ж, а ¿ж^а,

где £ — произвольное положительное число.

Для второго слагаемого правой части (13) имеют место неравенства

(1х(1т(1а < 11 Ы Н (1х(1т(1а < | / / ,2 ^а

о о о

1

о

¿1 здесь вновь есть произвольное положительное число. Оценим последнее слагаемое правой части (13):

т „ „

Л ^^ / / 7Дж, т, ^^ж, ¿г, а)«(ж, т, а) ¿ж^т^а

д2 ¿ж^т^а,

г=1

о

г

т

< ^^ / / |-у/(ж, т, а)«(ж, ¿/, а)||«(ж, т, а)| ¿ж^т^а /—1

/_1 о о

^ -2- [ [ V2 (1х(1т(1а Н—^^ [ [ г;2(ж,£;,а) (1х(1а.

2 7 7 Щ 777"!

о о ^ о о

Суммируя, получаем неравенство

г г

оо П г г

+ / / ¿ж^т^а + сд / V2 ¿ж^т^а

о о о о

^ т ~ Т т ^

^ — (1 + (52)Ьд 1т/ т'2^хйа—53 / а)(1х(1а

£ / ¿Уо /

/ о / о

9 г 9 г

+ у j v2 (1х(1т(1а + У J Лхйтйа

оо

— (1 Н—- ] [ с£>2 (ж, а) ¿хс1а Н--» [ д2 ЛхЛтЛа.

2 V ^ /7 2о{ 7

оо Зафиксируем ¿1 и ¿2- = \[Щ$2 = а/со- Получим

г г

— j v2 (ж, а) (1х(1а + 2 У j (х1т> А) (1х (1т + е j ^ v2 (1х(1т(1а

о о о

г г

53 / / ^ <И,хс1,т(1,а Н—^ / V2 (1хс1т

4

о

1

< -

(1 + <52)Ь21«+^

с

/ «2(ж, ¿/, а ¿ж^а

— ( 1 Н—- ] [ <у52 (ж, а) ¿хс1а Н--[ д2 ЛхЛтЛа. (14)

2 \ У V 7 с0 7

о

Положим

Ф(£) = J

Следствием (14) является неравенство

тах Ф(^ < 0<г<Т

(Л I £247,2 , ^5,2Т

(1 + о )о0 ^ Н--:—

Со

т тах Ф(^

0<г<Т

1 + — ) [ <р2(х, а) ¿хс1а Н--[ д2 длдггда.

^ /7 Со 7

с с

Из этого неравенства и условий теоремы при выборе числа £ малым

вытекает, что имеет место первая априорная оценка

J v2{x,t,^ dxda ^ К, (15)

с

в которой t £ [О, Т], число К определяется лишь исходными данными задачи.

Вернемся теперь к неравенству (14). Вследствие (15) правая часть в нем конечна. Значит, конечной будет и его левая часть. Получаем, что для решений краевой задачи (8е,Л), (9л), (Ю)-(12) выполняется вторая априорная оценка:

г 1 п 1

V (х, т, А dxdт + £ J ! у2а dxdтda + ^^ J ^ dxdтda

о п ос г=1 о с

г

у2 dxdтda ^ К, (16)

с

в которой t £ [О, Т], число К определяется лишь исходными данными задачи.

Рассмотрим равенство

(уг + у2 — £у22 — Д у + сю) (—Д у) с1хс!тс1а

с

тг т

д+\

с

7;(х, т, а)у(х, ^, а) — ст(х, т, а)и

1=1

(—Ду) с1хс!тс1а,

от которого нетрудно перентн к неравенству

тг т тг т п тг т

(1х(1т(1а+ / / (Ау)2 (1х(1т(1а-\—^^ / / у2.(х,т, А) ¿х<1т

2

ос ос о п

п тг т тг т

+ е ^^ J J <1х(1т(1а ^ -—— J J(А-у)2 (1х(1т(1а 4=1 о п ос

тг т тг т

Н--— тахс2(ж, г) / / у2д,хд,т(1,а-\--— / / д2 (1х(1т(1а

2»* д 7 7 у у

сс

г

С

Н--- / / м2 ¿хс1тс1а Н—°'2 / у2(хЛ1, а) ¿хс1а.

262 У У 2б2 ^.] К ' ' ;

ос '-1 с

Выберем (5: (т+3)г = I. Тогда

пп

— / г^ (ж, а) с1хс1а — — ^^ / г^ (ж, 0, а) с1хс1а

^ 4=1 с

п г п

(А-у)2 (1х(1т(1а + — ^^ / / ^ А ^х (1т 4=1 о п

тг т тг т

J dxdтda ^ J J у2 dxdтda + м J ^ д2 dxdтda

4=1 о с ос ос

г т г

+ Мз / / и2 dxdтda + / / у2(х^1 ,a)dxda ^ М.

с

гт

с

Используя условие (9л) для представления функции х, О, а), соображения, приведшие к (15), а также неравенство (16), нетрудно получить третью оценку:

пт

/ х^,а)сШа ^ К, (17)

'-1 о с

и далее — четвертую:

г „ г

J !(Д«)2 ¿ж^т^а + ^^ J ! «X (ж, т, А ¿ж^т

о

е ^^ / / ¿ж^т^а ^ К, (18)

где 4 € [0,Т], числа Кз, К определяются лишь исходными данными задачи.

Если воспользоваться неравенствами (*) и (**), нетрудно получить пятую априорную оценку:

п г п г А

53 / / ¿ж^т^а + е ^^ I I I «а ¿ж^т^а ^ К, (19)

го о г=1 о о о

в которой 4 € [0,Т], число К5 определяется лишь исходными данными задачи.

Для получения следующей априорной оценки рассмотрим равенство г

(«г + — е«аа — Д« + Су)«т ¿ж^т^а

о

г

'з + л

о/

которое преобразуется к виду

7/(ж, т, а)«(ж, 4/, а) — ст(ж, т, (

J ! У2с1хс1тс1а + — J V2 (ж, а) (1х(1а = — J v'2a{x,Q,a) dxda

о о о

г г

« « т

¿ж^т^а + Л / / 53 7^ж, т, а)« (ж, 4/, а)«т ¿ж^т^а

о

г

г

г г

— Л//Ст( ^н ^ — Ц ^ ^

оо

г г

А««т ¿ж^т^а — J ! стт ¿ж^т^а.

оо

Оценивая первое слагаемое правой части данного неравенства с помощью условия (9л), неравенства Юнга и оценок (16)—(19), получаем, что для решений краевой задачи (8е ,л), (9л), (10)—(12) выполняется шестая априорная оценка

г

«т ¿ж^т^а ^ К, (20)

о

в которой 4 € [0,Т], число К определяется лишь исходными данными задачи.

Рассмотрим следующее равенство:

г

(«г + — е«аа — А« + с«) (—е«аа) ¿ж^т^а

о

г

З + Л

о

7/(ж, т, а)«(ж, 4/, а — ст (ж, т, а)м I (—е«аа) ¿ж^т^а.

/

Используя условие (9л), и неравенства (16) и (17), приходим к оценке

г

е2 «аа ¿ж^т^а ^ К, (21)

о

в которой 4 € [0, Т], число К7 определяется лишь исходными данными задачи.

Из оценок (15)—(21) вытекает требуемая оценка

1Мк < К,

и, как уже говорилось выше, разрешимость краевой задачи (8е , л), (9л), (10)-(12) при фиксированном е и при всех Л го отрезка [0,1].

Чтобы завершить доказательство теоремы, необходимо установить наличие дополнительных априорных оценок. Рассмотрим равенство

+ -а - е-аа - АV + су) (—г>аа) ¿ж^т^а

о о

= | д + 7г (ж, т, а)у(ж,^ , а) — ст (ж, т, а)и I (— -аа) dжdтdа.

о о ^ 1=1 /

Интегрируя по частям в этом равенстве как слева, так и справа,

л

краевой задачи (8е,л), (91), (10)-(12) будет выполняться оценка

^^ Л Л Л

/ ж, , а) ¿ж^а + е / / -аа ¿ж^т^а 1=1 о о о

+ J ! dжdтdа+ У J -а ¿ж^т^а ^ N1, (22)

а

о

в которой £ £ [0, Т], число N определяется лишь исходными данными задачи.

Оценка

4 , п *

-Т dжdтda + ^^ J ^ ^ dжdтda ^ N2, (23)

о о о о

теперь очевидным образом вытекает из неравенств (15), (16) и (22) (см. доказательство (19) и (20)).

Оценок (15), (16), (22) и (23) уже достаточно для выбора последовательностей |ет} и |мт(ж,£, а)} таких, что мт(ж,£, а) ^ и(ж, а), ут(ж, а ^ -(ж, а) слабо в пространстве V (ут(ж, а) = ит4(ж,£, а),

v(x,t,a) = ut(x,t,a)), £mvmaa(x,t, a) ^ 0 слабо в пространстве Q) при m ^ ж. Для предельной функции u(x,t,a) будут выполняться уравнение (8) и условия (9)—(11). Теорема доказана.

Вернемся к обратной задаче.

Теорема 2. Пусть выполняется условие (7), и пусть функции c(x,t, a), f(x,t, a), hh( x,t, a), k = 1,... ,m, таковы, что для определенных по ним функций g(x,t,a), p(x,a), фi(x,a), Yi{x,t,a), l = \,...,m, выполняются условия теоремы 1. Тогда обратная задача (1)-(5) имеет решение u(x,t,a), qi(x,a), ... , qm(x,a) такое, что u(x,t,a) £ V, ut( x, t, a) £ V, qi( x, a) £ ^{G), l = 1, .. . ,m.

Доказательство. Рассмотрим краевую задачу (8)-( 11). Соглас-

u x, t, a u x, t, a £ V

щ{x, t, a) £ V.

Определим функции qh(x, a):

m

qk( x, a) = afc( x, a) + ^ßhi( x, a)ut( x,ti, a), k=\,...,m.

i

u x, t, a

u x, t, a

вается полностью аналогично тому, как это было сделано в работе [9]. Выполнение условий (2)—(4) очевидно. Теорема доказана.

Обратимся теперь к обратной задаче II. Вновь выполним некоторые формальные построения. Положим

т

m$(x, a) = j N(x,t,a)h(x,t,a) dt, о

Nq(x, t, a) = ---r[c(x, t, a)N(x, t, a) — Nt(x, t, a) —

m x, a

- Na(x,t,a) + AN(x,t,a)],

АТ, , ч 2NXi(x,t,g) .

Ni(x,t,a) = ----—, г = 1,. .. ,п,

шо(ж, а)

т

/ \ N^^ ^ , T, а) т, . 1 I* , чл/ \7

m\(x,a) = -;-—, Мх, а) =-;-- / N(x,t,a)j(x,t,a) at,

mo(x, а mo(x, а) 7

о

t, а) = /(x, t, а — t, а), Цх,t, а = mi(x, t, а),

Mo(x,t, т, а) = M(x,t, а)-Mo(x, т, а), Mj(x,t, т, а) = M(x,t, а)-Nj(x, т, а).

Умножим уравнение (1') та функцию N(x,t, а) и проинтегрируем по переменной t от 0 до T. Предполагая, что выполняется условие

то(х, а) ф 0 при (х, а) (Е С, (24)

вычислим из полученного равенства функцию q(x, а):

т

я(x,^Ыx,aHx,т,^Jщx,t,aHx,t,adt

о

т

n „

+ / x,t, x, t, а) dt — F(x, а).

i=1b

Подставим q(x, а) в уравнение (1'):

ut + ua — Au + c(x, t, ^u = F (x, t, а) + m(x, t, ^u(x, T, а)

т n т

+ j M(x, t, т, ^u(x, т, ^ d^ ^ ^ j Mj(x, t, т, ^u^x, т, а) ¿т. (25) о i=1 о

u x, t, а

ел в цилиндре Q решением уравнения (25) и такую, что для нее выполняются условия (2)—(4). Именно с помощью решения данной краевой задачи (25), (2)-(4) будет построено решение обратной задачи II.

Краевая задача (25), (2)-(4) является задачей для «нагруженного» ультрапараболического уравнения. Ранее подобные задачи не изучались. Поэтому сформулируем и докажем необходимую для исследования обратной задачи теорему о разрешимости задачи (25), (2)-(4).

Положим

я я ■)

о

то2 = тах тах / Мг2(ж, г, а) <1т.

1 <г<п о у

Я о

Теорема 3. Пусть выполняются условия

с(х,г,а) е с1 (о), М0(х, г, •, а е Ь([о, МЛх, г, •, а) е -Ы[о, м4(х,г, ^а) е д;ь2([о,т])), м,а(х,г, ^а) е ь2^;ь2([о,т])),

г= 1,...,п;

с(ж, а) ^ со > 0 при (х, а) (Е <5;

2с0 — (т§ + Ш1 + то2)Т > 1;

е ь2{Я), ^Лх,г,а) е ь2{Я).

Тогда краевая задача (25), (2)-(4) имеет решение и(х,г,а) такое, что и{х, г, а) е V.

Доказательство. Вновь воспользуемся методом регуляризации и методом продолжения по параметру.

Пусть £ > 0. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и(х, г, а), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Щ + иа — £иаа — А и + с{х, г, а)и = Е± (х, г, а) + ш{х, г, а)и{х, Т, а)

т п т

+ J Мр(х, г, т, а)и(х, т, а) ¿т + J М^х,г,т, а)иХн(х,т, а) ¿т (25е) о г=1 о

и такую, что для нее выполняются условия (2)—(4), а также условие (12). Разрешимость этой задачи будет установлена с помощью метода продолжения по параметру.

Пусть Л — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим задачу: найти функцию и(х, а), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Г т

Щ + иа — еиаа — А и + с(х, а)и = ^ (х, ^^ + Л

т „ т

т(х, а)и(х, Т, а '-о

+ j Мр(х, т, а)и(х, т, а ¿т + j МДх,4, т, а)ихДх,т, а)йт

о ®=1 о

(25е,л)

и такую, что для нее выполняются условия (2)—(4), (12). Покажем, что эта задача при фиксированном е разрешима в пространстве V при Л,

Как указано выше, краевая задача (25е,л), (2)-(4), (12) будет разрешима в пространстве V > если при выполнении включения ^ (х, а) £ ¿2^) будет разрешима в этом же пространстве задача (25е,о), (2)-(4), (12), и если при выполнении того же включения выполняется равно-Л

1Мк < Д (26)

с постоянной Д, определяющейся лишь числом е и исходными данными задачи.

Разрешимость краевой задачи (25е,о), (2)-(4), (12) в пространстве V при фиксированном е известна (см. [10]).

Наличие оценки (26) устанавливается с помощью техники, аналогичной той, которая была использована при доказательстве теоремы 1, с существенным использованием неравенства Юнга и условия малости.

Рассуждения, проведенные выше, дают разрешимость краевой задачи (25е), (2)-(4), (12) при любом фиксированном е, но при этом число Д в оценке (26) будет вести себя как е-1, что не позволит организовать

е

точно дополнительно проанализировать равенство — J [и + иа — еиаа — А и + с(х, а)и]иаа ¿х^Ыа

=4 F (x ^aKa dxdtda —im{x ^ aHx>T a)uaa dxdtda

Q

^ I

mq(x, t, т, a)u{x, т, a) dr uaa dxdtda

• I

МДx,t, r, a)ux.(x, r, a) dr I uaa dxdtda

Q \o

T

и при этом проинтегрировать по частям как слева в данном равенстве, так и справа (см. доказательство оценки (22)).

Собственно процедура предельного перехода осуществляется стандартным образом. Предельная функция будет принадлежать пространству V и являться решением краевой задачи (25), (2)-(4).

Теорема доказана.

Вернемся к обратной задаче II.

Теорема 4. Пусть функции c(x, t, a), N(x, t, a), f(x, t, a), h(x, t, a) таковы, что выполняется условие (24), для функций c(x, t, a), m(x, t, a), Mg(x,t,r,a), Mi{x,t,r,a), i = 1,... ,n, выполняются условия теоремы 3 и, кроме того, выполняются включения mi(x,a) £ L2{G), N$(x,t,a) £ L2(Q), Ni(x,t,a) £ L2(Q)• Тогда обратная задача II имеет решение \u{x,t,a),q{x,a)} такое, что u(x,t,a) £ V, q{x,a) £ L2{G).

Доказательство. Рассмотрим краевую задачу (25), (2)-(4). Со-

u x, t, a u x, t, a

£ V. Определим функцию q(x,a):

q(x, d) = mi {x, a)u(x, T,a) + J Щх, t, a)u(x, t, a) dt

о

T

n

+ / Ni{x,t,a)uXi(x,t,a)dt — F(x,a).

Очевидно, что функции t, а) и а) связаны уравнением (1'). Выполнение для функции t, а) условия переопределения (6) показывается аналогично тому, как это было сделано в работе [12]. Теорема доказана.

Замечание. Во всех случаях имеет место единственность решений — как для краевых задач для «нагруженных» ультрапараболических уравнений, так и для обратных задач.

ЛИТЕРАТУРА

1. Prilepko А. I, Orlovsky D. С., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Dekker, 1999.

2. Kozbanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.

3. Belov Yu. Ya. Inverse problems for partial differential equations. Utrecht: VSP, 2002.

4. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type. Lviv: VNTL Publ., 2003. (Math. Stud. Monogr. Ser.; Vol. 10.)

5. Isakov V. Inverse problems for partial differential equations. New York: Springer Sei., 2006. (Appl. Math. Sei., V. 127.)

6. Нахушев A. M. Уравнения математической биологии. M.: Высш. шк., 1995.

7. Дженалнев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы: Ин-т теоретической и прикладной математики, 1995.

8. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 4. С. 694-716.

9. Кожанов А. И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом поглощения // Докл. РАН. 2006. Т. 409, № 6. С. 740-743.

10. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1973.

11. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

12. Кожанов А. И. Об одном нелинейном параболическом уравнении и связанной с ним обратной задаче // Мат. заметки. 2004. Т. 76, вып. 2. С. 840-853.

г. Южно-Сахалинск

25 июля 2011 г.