CC BY
124
УДК 517.994
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА СОЛЕНОИДАЛЬНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К УРАВНЕНИЯМ ЭЙЛЕРА И НАВЬЕ-СТОКСА
В.И.СЕМЕНОВ
Кузбасский региональный институт повышения квалификации и переподготовки работников образования
e-mail: visemenov@rambler.ru
Доказаны важные интегральные тождества для соленоидальных векторных полей. Они дают новые априорные оценки к тем оценкам, что доказала О. А. Ладыженская. В частности, мы имеем априорную оценку, которая не зависит от коэффициента вязкости, и существование глобальных решений для уравнений Эйлера. Почему нет явления турбулентности в плоском случае? Это объясняется одним из тождеств. Другие тождества представляют интерес для вывода новых законов сохранения.
Ключевые слова: интегральные тождества, обобщенное решение, априорные оценки, тензор напряженности, уравнения Навье -Стокса и Эйлера.
Введение
В первой части работы изучаются свойства соленоидальных векторных полей. Интегральные тождества для таких полей играют важную роль в выводе законов сохранения и свойств решений начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса и Эйлера. Иллюстрация некоторых приложений интегральных тождеств в динамике жидкости дается в пункте 1 и описывается теоремами 1.1-1.3,
1.4. Важная роль отводится следствию 1.1 с помощью которого обосновывается лучшая сходимость приближенных решений уравнений Навье-Стокса.
Вторая часть работы (пункты 3,4) посвящена начально-краевой задаче для уравнений Навье-Стокса и Эйлера на плоскости:
Dtuk + £i=i ЩЩл = vAuk + fk - Pjc, k = 1,2, (1.1)
divu = 0, (12)
где - односвязная область с кусочно-гладкой границей, ii - скорость потока, р -функция давления, f = (Д,/У) - внешняя сила и divf = 0. Символы Dtu = —,
uki = (иь.-г = д ы* и т.д.) означают частное или обобщенное
к-‘ Эщ v KlJ dxi dxj
дифференцирование, A - оператор Лапласа, v - неотрицательная постоянная
(коэффициент вязкости жидкости). Относительно векторного ПОЛЯ (р
предполагаем, что оно принадлежит соболевскому классу И^3 (П), если не оговорено
иное. (Определение и свойства этих пространств см. в [13,14].)
Другие стандартные обозначения, которые применяются в работе: матрица
Якоби отображения и относительно пространственных переменных обозначается
^ 1
символом Vti. Ее модуль есть |Vii| = (£i j ufj):. Употребляемые нормы:
|| || - (Г | ( )\Pd || || - (/f с/ | (t )prft)4
где Г <Г Иногда вместо области П в нормах подразумеваем пространство Я2.
Начально-краевая задача на плоскости для уравнений Навье-Стокса изучена
О.А. Ладыженской в [1] (см. подробности в [2, глава VI]). Новые интегральные тождества и модификация конструкции О.А. Ладыженской и А.А. Киселева из [3], которую автор применил в пространственной задаче Коши в [4], дают возможность получить новые априорные оценки норм градиентов скоростей в размерности п = 2 (см. теорему 3.1). Важность этих оценок заключается в том, что они не зависят от коэффициента вязкости. Из результатов в [2] такие оценки не выводятся. Следствием новых оценок является доказательство существования в целом обобщенного решения для уравнений Эйлера (уравнений Навье-Стокса с нулевым коэффициентом вязкости) на плоскости (теорема 4.1). Этот факт также из результатов в [2] не следует. Найденное решение уравнений Эйлера принадлежит классу ¿44 - классу, в котором имеет место теорема единственности решений уравнений Навье-Стокса (см. [23, 24]).
Всюду в работе повторяющийся индекс в произведении означает суммирование этих произведений в границах изменения индекса или индексов. Например, щи][д, = £*,=1 и{)и},, и1и]1Ли) = Х";=1 щи^¿Аи^, и
т. д.
Скалярное произведение в пространстве ¿г(П) обозначаем стандартно:
1. Основные интегральные тождества
Пусть и, ” -*■ Я” - произвольная тройка финитных соленоидальных
векторных полей класса (Яп). Полагаем
с^(и) =икЛ-ик4, к, ¿ = 1,2......п. (1.4)
Лемма 1.1. Для каждой тройки и, г, иг: Кп —> Еп финитных соленоидальных векторных полей класса (К ™) справедливо интегральное тождество:
/ + ^,1)ск1(г)ск](и)ёх = - / \к((ск1(и)Дгк + ск1(у)Дик№х.
Доказательство. Интеграл из левой части равенства леммы обозначим символом /, а из правой части - символом /. Преобразуем /, приметая формулу интегрирования по частям. Тогда из (1.4) после изменения индексов суммирования имеем
/ = -;-/ (IV,(г)ск](и) + ы1ск1,](и)ск](и))с1х. (1.5)
Используя равенство ск^ = — с^к. вновь преобразуем (1.5) по формуле
интегрирования по частям. Тогда
/ = -у - / + счМ(и)ск](\))с}х. (1.6)
В (1.6) еще раз выполним интегрирование по частям. Затем в произведениях 'Л71,кс\}ск} индекс суммирования к заменяем индексом / и наоборот. В результате (1.4) и условия соленоидальности имеем
/ = -/-;
и, -
Условие кососимметричности Сч = —с,, используем во всех слагаемых последнего равенства. Отсюда выводим равенство: 1 = —]. Лемма доказана.
Следствие 1.1. В размерности п = 2 для каждой тройки н, V, ш финитных
Доказательство. В размерности п = 2, в силу условия кососимметричности су = — С]Ь для сумм произведений выполняются равенства: сЯ;1(и)сК2(17) = О, :: : = (повторяющийся индекс означает суммирование).
Поэтому условие = 0 и лемма 1.1 дают утверждение следствия.
Следствие 1.2. В произвольной размерности п любое финитное соленоидальное векторное поле и класса Сдг+2(ДИ) удовлетворяет интегральному тождеству:
Доказательство. В качестве тройки полей в лемме 1.1 следует взять
:.. Следствие доказано.
Другая часть интегральных тождеств связана с интегралом импульса (см.[5]). Для достаточно широкого класса соленоидальных полей импульс (интеграл теоремы 1.1) оказывается нулевым. Его обращение в нуль есть следствие условия квазиконформности поля скоростей. Требование квазиконформности деформации (не отображения!) здесь естественное, так как в условиях несжимаемости потока оно означает ограниченность компонент тензора напряжений
Интегральные представления векторных полей через тензор напряжений в ограниченной области впервые указаны в [6]. Отсюда в силу теорем вложения С.Л. Соболева [13] следует непрерывность векторных полей с ограниченными компонентами тензора напряжений.
Лемма 1.2. (См.[4, лемма 1.3.]) Если непрерывное отображение \и: принадлежат классу И^(Дт), р > 1, то для любых точки х и показателя а,
Отметим некоторые свойства соленоидальных квазиконформных деформаций.
Лемма 1.3. Пусть соленоидальное векторное поле и: Еп -*■ Кп,п > 2, принадлежит классу Л Ь^И.11) и имеет ограниченные компоненты
тензора напряжений и1} 4- и}1 для всех 1,]. Тогда имеет место интегральное представление:
соленоидальных векторных полей класса С$(Е2) справедливо интегральное тождество:
х.
где <^„-1 - площадь единичной сферы.
Доказательство. Для проверки равенства леммы следует применить теорему Стокса в шаровом слое е < |у — а | < г для интеграла из правой части равенства леммы. К интегралу, содержащему выражение теорему Стокса применяем дважды и учитываем условие (Но и = 0. Предельный переход, когда £ —* 0, г —* с
применением леммы 1.3 дает требуемое равенство. Лемма доказана.
Лемма 1.4. Пусть соленоидальное векторное поле и: Нп -* Кп,п > 2, принадлежат классу И/г1(Дп)П іі(Яп) и имеет ограниченные компоненты тензора напряжений , для всех і,}. Тогда векторное поле и ограничено.
Доказательство. Интеграл в интегральном представлении леммы 1.3 разбиваем на два интеграла: по шару |з> — ї| < 1 и его внешности )у — х\ > 1. Интеграл по шару оцениваем, учитывая ограниченность компонент тензора
напряжений. Тогда | /, |<;1 (:)^у\ < М /
ау
■ - ■: _ ..
ЗдеСЬ
площадь п — 1 - мерной единичной сферы. Интеграл по внешности шара оцениваем, применяя неравенство Гельдера. В результате имеем
і Г -—"-и '* йу
•| <2||Уи||2
4 1 |х-у|
ограниченность векторного поля и. Лемма доказана.
-Vі- ■ £ :.". Из этих оценок следует
Теорема 1.1. Пусть
принадлежат классу И^1 (Я '*) П
тензора напряжений + и^л для всех Если г J^_r
или 11;(х) | = о(|х|_”), когда |л | -» щ то
соленоидальное векторное поле и: Яп Яп іі(Я") и имеет ограниченные компоненты _] . |и(х)|£/5 -* 0, когда г -» оо
/
га
1х = 0
Доказательство. Векторное поле и порождает однопараметрическую группу {Фс} квазиизометрических отображений пространства (см. [7, 5 6, теорема 6]). Тогда имеем соотношения:
фг = и о фг> е_тГ|дг — з'| < |Фг(.г) - Фг(з01 ^еш\х—у\ (1.7)
с некоторой константой т. Из группового свойства = Фс ° Ф3 имеем
равенство:
и сфг =
ІкЛ I
(18)
выполняющееся почти всюду. В силу теоремы Лиувилля якобиан }(х, Фг ) = 1 почти всюду. тогда по формуле замены переменной в силу (1.8) выводим равенства:
По теореме Стокса, из условия Літі = 0, имеем равенство:
¡.V.
Так как /|д |=г (Ф()
Ні,
■ ' 1 то из второго соотношения в (1.7) получаем
оценки:
И
г.)*
|*|=г
те™* flx=r |u(x)|ctS.
1 —
Г
*Ji
|*| = г
Тогда из этой оценки, условия теоремы и предыдущих двух равенств выводим утверждение теоремы.
Можно освободиться от ограничений роста на векторное поле в бесконечно удаленной точке.
Теорема 1.2.
принадлежит классу
Пусть соленоидальное векторное поле и: R71 -»йи ’'■:f имеет ограниченные компоненты
И£|
тензора напряжений + г^д для всех ? и ограничено в размерности ц = 2. Тогда
Доказательство. Считаем векторное поле и гладким, иначе рассматриваем усреднения. Компоненты тензора напряжений усреднений ограничены теми константами, которыми ограничены компоненты тензора напряжений векторного поля и. Возьмем произвольную гладкую финитную функцию 77, которая равна единице, если |а | < 1, и обращается в нуль , если |*| > 2. Векторное поле 17(Л') = ч(лг/г)ц(1г),г > 1, финитное. Так как векторное поле и ограничено, либо по условию, либо по лемме 1.4, то компоненты тензора напряжений ограничены универсальной константой при всех г > 1. Тогда векторное поле порождает однопараметрическую группу {Ф^} квазиизометрических отображений пространства (см. [7, 5 6, теорема 6]). В силу равенства вида (1.8) и финитности у имеем соотношения:
Так как div v = r_1(VT7(;/r),u), то в силу ограниченности и с некоторой константой М, независящей от г, имеем неравенство \div v\ < М/r. Тогда из групповых свойств {Ф?} для якобианов выводим неравенства:
e-M|t|/r < ](х < eM\t\jr (1 ш)
В интеграле из левой части (1.9) делаем замену переменной х = Ф_г(г). В результате имеем
I v°<Pt(x)dx = I t](z/r)u(z)J(z, <X>_t)dz. (1.11)
В силу выбора функции rj имеем равенство:
По теореме Лебега в силу оценок (1.10) первый интеграл из правой части стремится к значению когда г — оо. Второй интеграл правой части в силу
суммируемости и и (1.10) стремится к нулю. Поэтому из (1.9) и (1.11) имеем требуемое равенство леммы. Теорема доказана.
Утверждение теоремы 1. 1 можно распространить на ограниченные области.
Теорема 1.3. Пусть соленоидалъное векторное поле и\П -» Нп для ограниченной выпуклой области П принадлежат классу (Л), имеет ограниченные компоненты тензора напряжений { для всех іЕсли на
границе области для вектора нормали п скалярное произведение (п, и(х)) = 0, то
¿А = 0.
Доказательство. Оно аналогично доказательству предыдущей теоремы. Обращение скалярного произведения в нуль на границе области
обеспечивает существование однопараметрической группы {Фгї квазиизометрических отображений области П на себя.(Существование полугрупп (ФгЇгіо, {Фгїгао с инфинитезимальными образующими к и —и следует из [8, § 3, теорема 3]. Взаимная обратность отображений Ф,,Ф^ доказывается также, как и теорема 2.2 из [9, § 2]. Теорема доказана.
Лемма 1.5. Пусть соленоидалъное векторное поле и: Кп —* Кп принадлежит классу И^1 (Яп), имеет ограниченные компоненты тензора напряжений и1} +
для всех Е.,у; и ( Тогда
о(1/);ї)п+1), когда а —■ м, и интеграл ) |.\| | и(
/ х]ик(х)с1х = — / хки/(х)Ых
конечен.
для любой пары чисел },к
Доказательство. Применяем идею доказательства теоремы 1.1. Пусть {Ф^}-однопараметрическая группа квазиизометрических отображений пространства, порожденная векторным полем гг По формуле замены переменной имеем равенство (якобиан отображений ФГ равен единице):
|г|<г ф((х)гіх -^|г|<г
В силу (1.8) имеем:
К
В правой части применяем теорему Стокса. Тогда
/|д:|<г (Ф^)} (Х)(Ф(\)кд С*.
_^|<г
С ф
IX.
)] (Х)(Фі\)/£\:
IX.
IX
);СО(Ф г)й(х)и4(х)^гі5.
В объемном интеграле правой части воспользуемся (1.8). В поверхностном интеграле учитываем, что Фс)(х) = 0(|х|), когда х —» сс (см. второе соотношение
(1.7)). Тогда предельное значение поверхностного интеграла при условии, что ■ - равно нулю. Поэтому в результате предельного перехода и замены переменной из предыдущих равенств имеем:
/ -уМ
IX
IX.
Лемма доказана.
Остановимся сейчас на неожиданных законах сохранения в задаче Коши для уравнений Навье-Стокса, которые найдены в [10] для пространства и в [11] в общем случае. Они получены в предположении, что решения и все их первые производные убывают в бесконечно удаленной точке быстрее, чем 1/|ж|"+1. На самом деле условия на рост можно ослабить до показателя п/2, что является существенным для приложений (см. [5]). Это, во-первых. Во-вторых, здесь важен фактор соленоидальности поля, а не фактор решения.
Пусть соленоидальное векторное поле и: -* > 3, таково, что
м
У - (1+|х|)Т+1' І“ '".
ч'
(1+]*і)г+г
. і, І = 1-------------------------------л.
(112)
где С - некоторая постоянная, показатель у > л/2. Рассмотрим новое векторное поле
V = = щ + 'ЧР, (113)
которое разложено на соленоидальную и потенциальную составляющие. Здесь
W{
ІІ,
1*-у
Ц| ;ООИ;.і(у)(*-уКУ
■'Я" |*-у|"
(1.14)
где - площадь единичной сферы. Интегрирование по частям приводит к
формулам:
-'Я
Ц|.;(У)Ц;(У)(^|-У<)ДУ \*~У Г *
(1.15)
(116)
где Т{к -подходящий сингулярный интегральный оператор. Оценки (1.12), формула
(1.15) и неравенство Харди-Литтлвуда-Соболева (см. [12, с. 141]) обеспечивают суммируемость функции Р в любой конечной степени р > 1. Оценки (1.12), формула
(1.16) и ограниченность сингулярного интегрального оператора дают суммируемость в любой конечной степени р > 1. Требуя интегрируемость этих отображений в
степени р = 1, можно усилить результаты из [10] и [11].
Теорема 1.4. Пусть соленоидалъное векторное поле к: Яп ^ Кп,п > 3. удовлетворяет оценкам (1.12), функция Р из (1.14) суммируема, Р(х) = о(1/]зс]п),
когда х — со, и интеграл / |л|| (л) |п!\ - конечен. Тогда. Тогда
равенства:
/ и)щ<1х = -£\\и\\1, ),к = 1.....п,
где д;к - символ Кронекера.
Доказательство. Отметим, что имеет место равенство:
имеют место
(1.17)
которое следует из оценок (1.12) и формулы интегрирования по частям. Применяем разложение (1.13) и заметим, что векторное поле № удовлетворяет условиям леммы
1.5. Ограниченность его первых производных следует из оценок (1.12), равенства
IV,
= (“¿Кг).;
S.
|*-уГ ’
в котором интеграл ограничен. Ограниченность интеграла показывается его разбиением на два интеграла по шару \х — у\ < 1 и его внешности с последующими оценками при помощи (1.12). Поэтому в силу леммы 1.8 имеем равенства:
/ xkwj(x)dx = - / xjwk(x)dx, j,k = 1,...,
п.
(1.18)
|*|£Г
(л) dx +1 Р (л ) d S.
J J|r|=r К J г
Из теоремы Стокса выводим:
Тогда предельный переход дает равенство:
/ xkPj(x)dx = -f SJkP(x)dx. (1.19)
Таким образом из (1.17),(1.13) и (1.19) выводим:
Сделаем перестановку индексов /,к в этих равенствах и выполним сложение пар таких равенств с фиксированными индексами j,k. Применим (1.18) и получим
Следовательно, =—п j P(x)dx. Тогда предыдущие равенства дают
утверждение теоремы. Теорема доказана.
Замечание 1.1. В размерности п = 2, используя фактор решения, в [20] дается простое и красивое доказательство этого факта.
2. Оценки приближений начально-краевой задачи в ограниченной области на плоскости для уравнений Навье-Стокса
Опишем изменение конструкции, предложенной в [3] и развитой в [2], применительно к плоской ограниченной односвязной области П (односвязность важна на завершающем этапе доказательства существования слабого решения). Рассмотрим финитные соленоидальные векторные поля ф:П—класса С™. Замыкание этого класса по норме соболевского пространства (Ш обозначаем символом /о (О). Пространство /о(П) сепарабельное, как подпространство соболевских пространств И^(П)Д < р < оо. Поэтому существует счетная совокупность 0^п)н.=1..., бесконечно дифференцируемых векторных полей, подчиняющихся условиям:
1) (Ни грп = 0;
2) замыкание линейной оболочки совокупности по норме (П) совпадает с пространством /3 (ГГ).
Применим ортогонализацию Сонина-Шмидта по фундаментальной системе (фп)п=1... и построим счетную систему элементов (¿”3^=1..,. , которая обладала бы свойством ортогональности лапласианов в пространстве ¿2(Й), те- скалярное произведение
оаьп,дьт) = /п ДЬ?АЬ™с1х = 5Ч, (2.1)
где 8^ - символ Кронекера. Тогда каждое отображение есть конечная линейная комбинация отображений (фк). Пусть
ДЬп=аи. (2.2)
г- 1
Не ограничивая общности, считаем первым элементом векторное поле а = —,
где соленоидальное векторное поле <р С С“(П) определяет начальное условие в задаче (1.1)-(1.3). (К фундаментальной системе всегда можно присоединить первым элементом любой элемент.)
Замечание 2.1. На самом деле можно не требовать условия <р Е С00. Все рассуждения, предшествующие замечанию 2.1, и рассуждения в доказательствах
о
лемм 2.1-2.3 остаются в силе, если ограничиться требованием <р 6 И^3(Д).
Последовательные приближения г п определяем, слегка изменив
конструкцию
О.А.Ладыженской [2 с.197]. Полагаем
Ль^(1,х)=^=1сяпта^хГ (2.3)
Тогда приближенное решение уп строится, как гидродинамический потенциал
Функции есть решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений: (Оггп,яч) - у(Лгп,а^) + /р Я = 1,2 ...,п, (2.5)
с начальными условиями: ^ц(О) = | \Д<р\\25^п, где 5^ - символ Кронекера. Тогда
¿Vі
(2.6)
Выясним промежуток существования гладкого решения системы (2.5). Каждое уравнение из (2.5) умножаем на функции , а затем их суммируем. В результате имеем:
(0^п,Апп)-у\\Дпп\\22 + /п v¡lvZiДvïdx = (/.Дпп).
Так как v^v^лAv^dx = v^cki(vл')Av^dx, то из следствия 1.1 и формулы интегрирования по частям выводим соотношение:
1еУ»“,Тю“)+у|Мю“||| =
(2.7)
Отсюда ¿Г № Ч
имеем < ІІ^ЯІ
очевидную оценку:
6
¿г
III — 2||7/||;|
или
2 Интегрируя по отрезку [О, Г], выводим неравенство:
(2.8)
Существование гладких решений системы (2.5) на некотором промежутке [0, гг0) гарантируется теоремами существования и гладкости решений для обыкновенных дифференциальных уравнений. Последняя оценка показывает, что эти решения продолжаются на каждый отрезок [О, Г] , где смешанная норма 11V/"! 12.1- конечная.
Таким образом, верно следующее утверждение.
Лемма 2.1. Пусть плоская область П произвольная и смешанная норма Р?!Рг1 на прямом произведении [О, Т\ X й конечная. Тогда при каждом С £ [0, Т] для приближений V™, построенных по формулам (2.3)-(2.5), справедливы оценки:
где смешанные нормы вычислены на множестве [0, Г] X П, и константа С зависит только от Г, f, <р.
Доказательство. Справедливость первой оценки установлена выше. Докажем вторую оценку. Интегрируем (2.7) по отрезку [0, £] и оцениваем правую часть неравенством Коши-Буняковского. Используя первую оценку, выводим:
IV
п II2
+ VI
Отсюда имеем оценку 2). Оценка 3) есть оценка леммы 1 из [2, с.19], потому что в
этом случае имеем неравенства
2 Г.; II "¡¿І 12
(V
П I 14
1 ■ -. Так как
- - -2 '■ ■ то из оценок 1) и 2) следует оценка 3). Лемма доказана.
Лемма 2.2. Пусть плоская область П ограничена. Предположим, что норма ||7/(0/)||2 и смешанные нормы ПУ/’Цгд, Ц^гЛЬ.х на прямом произведении [0, Т] X П для каждого t <Т конечные. Тогда при каждом г £ [0,7] для приближений г?п, построенных по формулам (2.3)-(2.5), справедливы оценки:
1) ||*"||2<С(П)(рИ|2+/о
2)
>^п||2<(||7Я0,)||2 + ||7Г1||2 + /о
Щ\ъп\\ 1.
где постоянная С(П) зависит только от области, Т1(х) = уД<р(х) — * (х),
и смешанная норма вычислена на множестве [О, Г] х П.
Доказательство. В ограниченной области для финитных векторных полей выполняется неравенство:
|К1Ь < С(П)||Угп||2,
(2.8')
где постоянная С(П) оценивается сверху через первое собственное число оператора Лапласа (см. [13, с. 135]). Тогда оценка 1) следует из первого неравенства леммы 2.1. Докажем вторую оценку. В равенствах (2.5) заменим интеграл |п
интегралом _)а р?скі(уп)а£ІІх, поскольку они равны. Затем равенства
дифференцируем по аргументу і. После этого каждое из них умножим соответственно на 0,н(г.) и сложим. В результате имеем:
(0^,А0^п).
Отсюда, в силу следствия 1.1 выводим равенство:
(Опгп,ОгЛгп) -у\\Лй(уп\\22 + /п 0&£ск1(у)А0&$Ах = (ОЛ,ДО^п).
Выполним интегрирование по частям и запишем это равенство в следующем виде:
+ у\\Ай^п\\\ = /п й^?ск1 {у)Лй^йх + (У0Г/, УОгг;").
Правую часть оценим, используя неравенства Гельдера и Коши -Буняковского. Тогда, учитывая формулу (1.4), имеем
--\\DtУvn\\22+v\
2 ЙГ 112 1
*17
п 112
Ї^ЯІІ2 +
'ІІ II 2I
Рассматривая это неравенство, как квадратное неравенство относительно нормы
| \ADfV11 ||2, заключаем, что его дискриминант должен быть неотрицательным. Поэтому имеем оценку:
^НЪТг»||1<>4гИ4
""2"^1?гец|2 +
Ч/ ІІ2І
^"112-
Так как (см. лемму 2 из [2, с.19] и [13,
,пц2
ІР " 114 <
^п||2||УОсгп||2 < 2С(П)||70{гп||2, то из (2.9) имеем
2С(П) ,,
7vn\\9 <
Ьк'ЧШ”71"2
(2.9)
с.135])
Обозначим z(t) = | ” 11 л. c(t) = 2
неравенство равносильно соотношению:
а
dt
hfWi-e c(t)-
Заменим экспоненту в правой части единицей и проинтегрируем по отрезку [0, £]. Тогда
-Ф: -
Г
Jo
?dt.
(2.10)
Оценим значение г(0). В равенствах (2.5) считаем Е = 0. Умножим их на с^п( сложим. В результате из (2.6) имеем
и
Выполним интегрирование по частям. Тогда получим
VX^Z)tun(o,0).
tV
В
силу неравенства Коши-Буняковского выводим
п
оценку:
\ Из неравенства (2.10) и определения
функции с = с(£) имеем вторую оценку леммы. Лемма доказана.
Лемма 2.3. Пусть плоская область П ограничена. Предположим, что норма
||7/(0/)||2 и смешанные нормы ПУ/’Цгд, Ц^гЛЬ.х на прямом произведении [0, г] X П конечные для каждого числа £ < Т . Тогда
последовательность приближений (уп^п=1'2..„, построенная по формулам (2.3)-(2.5), при положительном коэффициенте V ограничена в пространстве И'/([0, Г] X П).
Доказательство. Ограниченность норм ||г?п||44 ,11Х?ГТ7п 114.4, ||Ут7п||4;4 на множестве [0, Т] X П следует из лемм 2.1, 2.3, мультипликативного неравенства леммы 1 из [2, с. 19] и неравенств вида (2. 8'). Лемма доказана.
Замечание 2.2. Можно отказаться от требования, чтобы область П была звездной относительно некоторого круга. На самом деле здесь важным является факт применимости теоремы вложения С.Л. Соболева в цилиндре [0, Т] х П.
Справедливость теорем вложения С.Л. Соболева на более широкий класс областей установлена в [14, с.81].
Пусть приближение Vй из формул (2.3)-(2.5). Рассмотрим
гидродинамический потенциал
pn(t,x) = ^-/n v?j(t,y)v*(t,y)ln\x -
(2.11)
Произведение г^"-ё 1р([017'] х П) при каждом показателе р, 1 < р < 2, в ограниченной области П. Тогда из равенства
= rJ„
1 r Vjjjty)V(*•>’)(*fc ~Ук) 2nJi! \х~у\г
(2.11')
и неравенства Харди-Литтлвуда-Соболева [12, с. 141] для потенциалов Рисса имеем оценку:
”'11, <
V
где А = А(р) - универсальная константа, а показатели р, ц таковы, что р > 1 и
1 /ц = 1 /р — 1/2. Выбираем показатель р = 4/3. Тогда из предыдущего неравенства и неравенства логарифмической выпуклости норм в пространствах имеем соответственно оценку:
I <4 —
\Ч2\
ГV
.1/2
Тогда в условиях леммы 2.1 из оценки 1) выводим неравенство для смешанных норм:
114,4 —
,<р,
14.4 ■
(2.12)
Отсюда следует такое утверждение.
Лемма 2.4. Пусть плоская область О ограничена, и смешанная норма РУ[Ргд на прямом произведении [0, г] х П конечная для каждого числа г < Т. Тогда последовательность прнблнженгш (Рп)п= ^ . построенная по формуле (2.11), имеет следующие свойства:
1) удовлетворяет неравенству (2.12) при положительном коэффициенте вязкости V;
2) ограничена в пространстве 1г([0, Г] х Л) при неотрицательном коэффициенте вязкости у;
3) существует константа С = С(17), 1 < q < 2, такая, что
^ для неотрицательного коэффициента вязкости V.
Доказательство. Неравенство (2.12) доказано выше. Последовательность
СРД)П=1 ? относительно г равномерно ограничена в (^)- Действительно, для произвольной непрерывной финитной функции £ из (2.11) имеем неравенство:
| /п Рп(1, *Жх)с*х| < ¿/п |Уг7п(с,у)|2/п К(х)1п|х-у||с*х«*у.
Применим неравенство Гельдера к внутреннему интегралу в правой части. В следствие ограниченности области Д, с некоторой константой С имеем неравенство:
I /„ Р"(г.хЖх)Ас| < С{„ |Гг»(г.)01^у|К1|2
Из оценки 1) леммы 2.1, произвольного выбора функции £ и теоремы Рисса выводим неравенство: 11Р” 112 ^ Сь где константа С1 не зависит от п. Оценка 3) доказывается аналогично с применением равенства (2.11'). Лемма доказана.
3. Свойства решений начально-краевой задачи в ограниченной области для уравнений Навье-Стокса
Считаем сейчас, что коэффициент вязкости V > 0, и ограниченная область П есть звездная область относительно некоторого круга. Тогда цилиндр [О, Г] х П есть звездная область в пространстве. В силу теоремы вложения С.Л. Соболева и леммы 2.3 последовательность приближений (^ге)п=12 с условиями из лемм 2.1 и 2.2
компактно вкладывается в пространство С([0, Г] х П). Пусть (уПт^т=%2.... ■ подпоследовательность, которая равномерно сходится, и
г, х) = Ит vnm(t,x).
т-»оо
(3.1)
Не ограничивая общности, считаем, что подпоследовательность
сходится слабо к векторному полю V в пространстве
^)т=1.2-
подпоследовательность градиентов (УРПіи)т=і2 , где функция Рп определена формулой (2.11), сходится слабо в ¿4.4([О, Г] X П) к векторному полю V?. В силу оценки 2) леммы 2.1 можно также считать, что вторые производные г/1™ сходятся слабо к і? у в пространстве Ь2([О, Г] х О). (Для вторых производных отображений и11 с подходящим сингулярным интегральным оператором выполняется равенство:
,Я
і?'Л = аі}Атп + Ті
•г
Таким образом, имеем место
Лемма 3.1. Пусть область П ограниченная и звездная относительно некоторого круга. Предположим, что выполнены условия лемм 2.1 и 2.2. Если г -слабый предел из (3.1), то векторное поле 17 Е №±(\0, Г] х /2), имеет вторые обобщенные производные 17 у и удовлетворяет неравенствам:
|2<С(П)(||У^||2+/0 ~>М\г — (І І^/(0-)ІІ2 +
где смешанные нормы вычислены на множестве [0, г] х О., константа С зависит только от Т, [, <р, постоянная С(П) зависит только от области,
Доказательство. Утверждение следует из леммы 2.3, оценок лемм 2.1 , 2.2 и полунепрерывности норм слабых пределов.
Лемма 3.2. Пусть область П ограниченная и звездная относительно некоторого круга. Предположим, что выполнены условия лемм 2.1 и 2.2. Если у -слабый предел из (3.1), то почти всюду выполняются равенства:
7,а«) + /п і>ркЛа1<1х = С/, а«), <7 = 1,2
где векторные поля я4 из (2.2).
Доказательство. Равенства (2.5) умножим на произвольную гладкую финитную функцию г} £ С“ ([О, Г]) и проинтегрируем по отрезку [О, Г]. Фиксируем натуральное число д. Для всех элементов подпоследовательности (і7Мт)ш=і,2_., ранее выбранной, с номерами лН1 > д имеем равенства:
^ ^ ^ ^ ^ ^ -' ^ '
^ ^ • • • •
Равномерная сходимость последовательности {у7,171 )т= 12 и ее слабая сходимость в пространстве ([О, Г] X П) обеспечивают слабую сходимость последовательности (у!1”11^т)т=1.... в пространстве ¿2([0,Г] X П). Ее слабый предел равен ЩЪ}, где V из (3.1). Поэтому предельный переход в (3.2) дает равенства:
гт ГТ ГТ Г п
Jо *7(0(Dtv.a<<)dt-v }0 ?7(t)(di\ a4)dt + J0 Jn i7(t)r,rfc Ia^d.tdt
при каждом фиксированном значении q. Так как функция ij выбиралась произвольным образом, то отсюда следует справедливость равенств леммы. Лемма доказана.
В силу замечания 2.1 в зависимости от выбора фундаментальной системы уф ) имеет место
Следствие 3.1. Пусть область П ограниченная и звездная относительно некоторого круга. Предположим, что выполнены условия лемм 2.1 и 2.2. Если v -слабый предел из (3.1), то для каждого соленоидального векторного поля
о
ф t Cq (/?) (или i/j E W23(I2)j почти всюду на отрезке [О, Г] выполняется равенство:
Доказательство. Для элементов фундаментальной системы (фк} равенство следует из леммы 3.2 и формулы (2.2). Для произвольного поля ф из условия следствия требуемое равенство вытекает из определения фундаментальной системы. Следствие доказано.
Пусть
Я = £^17 — у/\г + 17^ — / + УР, (3.3)
где Р есть слабый предел подпоследовательности функций из (2.11), существующий в силу леммы 2.4. Тогда векторное поле Н - соленоидальное, как слабый предел соленоидальных полей. Покажем, что при определенных ограничениях на область П векторное поле И будет градиентом гармонической функции. Разложение пространств 1п в прямую сумму градиентных и соленоидальных полей указано в [15] (см. также [16, с. 333]). Однако, приемлемое для нас разложение имеется в [2, с. 41-44] (см. также [17, с. 51]). Опираясь на это разложение, докажем следующую лемму.
Лемма 3.3. Пусть область (1 ограниченная, односвязная и звездная относительно некоторого круга. Предположим, что выполнены условия лемм 2.1 и 2.2. Если V - слабый предел из (3.1), то для соленоидального векторного поля Н из
(3.3) почти всюду на отрезке [0,7] выполняется равенство И = ¥(}, где фунщия (} = (^{1, л ) - гармоническая при почти каждом фиксированном значении г.
Доказательство. Фиксируем какой-либо круг В, содержащийся в области П. В
О о
этом круге справедливо (см. [2, с. 41-44]) разложение: И = Н+¥(?, где И -соленоидальное векторное поле с носителем в этом круге, - локально суммируемая функция с квадратично суммируемым градиентом. Пусть функция £ £ С™(В). Тогда имеем обращение в нуль скалярного произведения = 0. Следовательно,
функция <3 - гармоническая. С другой стороны, для произвольного соленоидального векторного поля ф £ С^(В) из следствия 3.1 и (3.3) имеем равенство (И, Аф) = 0
С
Дф) = 0. Если поле Н достаточно гладкое по х, то этой гладкостью обладает
или {п,йц.>
о
и поле Н. Поэтому (ДН,ф) = 0. Так как поле ф - произвольное, то ЛИ = Vif (см.цитируемый выше результат из [2, с. 41-44])). Тогда скалярное произведение
С С 9
(АН,Н) = 0. Применим разложение И по собственным функциям оператора
О
Лапласа. Отсюда выводим: И = 0.
Снимем предположение о гладкости Н. Так как равенство следствия 3.1 выполняется ДЛЯ произвольного ПОЛЯ Ф Е Cq' (В ), то оно будет выполняться и для усреднения поля U. Тогда и в этом случае, в результате предельного перехода по параметру усреднения, получаем необходимое равенство в круге В. Так как круг выбран произвольно, то, из условия односвязности области ÎÏ, гармоническую функцию Q можно продолжить на всю область ÎÎ.
Лемма доказана.
Уточним сейчас результат О.А. Ладыженской, касающийся решений начально-краевых задач в ограниченной области на плоскости. Уточнения касаются равномерных оценок норм в L2(^l) градиентов решений. Ценность такой оценки состоит в том, что она не зависит от коэффициента вязкости. Приведем и другие, более точные оценки.
Теорема ЗЛ. Пусть область П ограниченная, односвязная и звездная относительно некоторого круга. Предположим, что в задаче (1.1)-(1.3)
о
коэффгщнент у > 0, соленоидальное векторное поле <р £ Ич3 (Л), соленоидальное векторное поле / удовлетворяет на отрезке [0,7] условиям лемм 2.1 и 2.2 и имеет конечную смешанную норму Р[ Рц- Тогда существует единственное обобщенное решение г задачи (1.1)-(1.3), которое принадлежит пространству ([0, Г] X й), имеет вторые обобщенные производные и удовлетворяет неравенствам:
1)
2)
3)
4)
5)
Ih+Jo' IIWII:
где смешанные нормы вычислены на множестве [0, Г] X П, векторное поле 71(.г) = уД<р(.г) — <р((х)<рк^(х'), константа С зависит только от 7, /, ср.
Доказательство. Пусть V - слабый предел из (3.1). Тогда в силу леммы 3.3 из равенства (3.3) следует, что для и = V почти всюду справедливо равенство (1.1) с
функцией р = Р — где функция Р из (2.11), функция ^ из леммы 3.3. В силу леммы 3.1 и ее оценок векторное поле V есть слабое решение задачи (1.1)-(1.3) (см. определение в [2, с.178]).
Отметим некоторые свойства функции давления р. Для приближений \? Лтп в ограниченной области П справедливо неравенство: < С(П)||УЛ^Пт||2.
Тогда оценка 2) леммы 2.2 дает относительно тис равномерную ограниченность норм
11^рПт1Ь Отсюда для слабого предела V имеем ограниченность норм
11 0-у \ \ г г . Тогда из равенства (3.3) и леммы 3.3 в силу оценок леммы 3.1 следует, что градиент 7(Р — (?) принадлежит пространству ¿;( [0,Т] х П), как конечная линейная комбинация элементов этого пространства. (Принадлежность слагаемого этому пространству следует из условия V € Ж,1 ([О, Т] X Л) по лемме 3.1.) Полагаем сейчас в равенствах (1.1) и = V, р = Р — (? в силу равенства (3.3) и леммы 3.3. Умножим каждое из них соответственно на координату т>к, сложим и проинтегрируем по области П. В результате имеем:
Третье слагаемое слева и второе слагаемое справа обращаются в нуль. Скалярное произведение (Ли, г) < 0. Поэтому из неравенства Коши-Буняковского имеем
оценку: т “т 11^111 ^ 11/1Ь1М Ь Отсюда интегрированием по отрезку [0, г] получаем
оценку 4). Остальные оценки есть оценки леммы 3.1.
Единственность решения в классе доказана в [18]. Единственность в классе слабых решений Лере-Хопфа в размерности п = 2 показана в [2, с. 182]. Теорема доказана.
4. Свойства решений начально-краевой задачи в ограниченной области
для уравнений Эйлера
Рассмотрим сейчас начально-краевую задачу для уравнений Эйлера, т.е. ситуацию, когда в (1.1) коэффициент вязкости V = 0. Опираясь на оценку 1) теоремы
3.1, энергетическое неравенство и обобщенную теорему Арцела (см. [19, с.110]), докажем следующее утверждение.
Теорема 4.1. Пусть область П ограниченная, односвязная и звездная относительно некоторого круга. Предположим, что в задаче (1.1)-(1.3)
коэффгщиент у = 0, соленоидалъное векторное поле <р Е И^3(Я), соленоидалъное векторное поле f удовлетворяет на отрезке [0,7] условиям лемм 2.1 и 2.2, и его норма Р/Р2 равномерно ограничена на [0, Г]. Тогда существует обобщенное решение V0 задачи (1.1)-(1.3), которое принадлежит пространству 144([01 Г] х 13), имеет обобщенные производные 1?®, ( = 1,2, и удовлетворяет неравенствам:
2) МЬ
<
Для доказательства используем следующие вспомогательные утверждения.
Пусть X и У - два компактных метрических пространства, С(Х,У) -множество всех непрерывных отображений компакта X в компакт У. Расстояние в У] определим формулой:
supp(/(f),j
tex
Лемма 4.1. (Обобщенная теорема Арцела [19, с. 110].) Для относительной компактности множества V с С (X, У) необходимо и достаточно, чтобы входящие в V отображения были равностепенно непрерывны, т.е. чтобы для любого є > 0 существовало такое 8 > 0, что из р(Г1Д2) < <5 вытекает р(і?(С1)г і?(С2)) < £ каковы бы ни были г из V, ^ и г2 из X.
Лемма 4.2. Пусть V - решение задачи (1.1)-(1.3) из теоремы 3.1, где коэффициент V € (ОД], и нормы < М < со для всех г £ [0, Г]. Тогда каковы бы ни были г и с + И такие, что £, £ + к Е [0. Г], всегда выполняется неравенство: Рг(ґ + к,) — г(Г,)Р/ < С|А|, в котором универсальная константа С = С{(р,[,Т) не зависит от V.
Доказательство. Из равенства (1.1) и теоремы 3.1 выводим соотношение:
)tr(t + h, ),v(t + h. ) - r(t.)) - v(Av(t + h. ).v(t + h. ) - v(t, )) +
+ Jn Vj(t + h,x)vki(t + h,x)(vk(t + h,x) vit',)).
Отсюда выводим
îsiwt+w-
L'
17і (t + h. x)vk і (t + h. x]
\l + v(Vr(r + h, ), '
+ h. x) — vfc(t, x)
+ /і, ) - v(f,-
\ v(£ -f h,-) - v(£,-)).
(4.1)
Скалярные произведения в (4.1) оценим неравенством Коши-Буняковского и оценками 1), 4) из теоремы 3.1. Тогда
Т
KMt + A. ).V(v(t + h,) - v(t,0))| < 2(||VV||2 + J„ ||V/||2d02,
+ /1 } (. + h ) ( }}| < 2M(|| Il + 11/11 d }
Интеграл в (4.1) обозначим символом } и оценим его неравенством Гельдера. Тогда
Нормы в ¿4 оценим мультипликативным неравенством из [2, с. 19, лемма 1]. В результате получаем
+ /г, ) - v(t, )||4 < V2||r(t + h,) - v(t,-)||2/2||V(v(t + /г. ) -
,1/2 12 '
Применим к правым частям двух последних неравенств оценки 1) и 4) из теоремы
3.1. Тогда с некоторой постоянной С = С(/, ср,Т) имеем неравенство:
■ £ . Принимая во внимание предыдущие оценки скалярных
произведений в (4.1), из (4.1) выводим:
с подходящей новой константой С1. Интегрируем это неравенство по отрезку если к > 0, и [Л, 0], если /1 < 0. В любом случае получаем неравенство:
+
Учитывая условие леммы, убеждаемся в ее справедливости. Лемма доказана.
Доказательство теоремы 4.1. Фиксируем <р и f, которые удовлетворяют всем условиям теоремы 4.1. Пусть в задаче (1.1)-(1.3) коэффициент v Е (0,1]. Пусть v -решение задачи (1.1)-(1.3) из теоремы 3.1. При фиксированном г £ [0,Г] векторное поле f(f,r) G Vt/,1 (П). Из оценок 1) и 4) теоремы 3.1 следует существование константы С = C(f,cp,T) такой, что |)i?(t-1)))2 — П^С^ОМг — С ПРИ всех t Е [О, Г]. Следовательно, множество У всех таких полей и (С,-) ограничено в пространстве И^.1(П). По теореме вложения Соболева-Кондрашева [13, с.83] множество У компактно вкладывается в любое пространство ¿¿¡(П) с показателем
2 < q < м. Возьмем показатель q = 2. Пусть X = [0,7]. Тогда отображения t —* v(t,-) есть непрерывные отображения множества X в множество У по лемме 4.2. Более того, семейство отображений равномерно и равностепенно
непрерывно по лемме 4.2. Тогда по лемме 4.1 это семейство является относительно компактным в метрике
Таким образом, из последовательности решений (vn)„= 12,.„ задачи (1.1)-(1.3), каждое из которых соответствует коэффициенту v„ = l/n, можно извлечь равномерно сходящуюся относительно этой метрики подпоследовательность
lim vnk.
К-!-»
Тогда, учитывая полунепрерывность норм, из оценок 1)и 4) теоремы 3.1 выводим неравенства:
+ J¡.
,d г,
(4.3)
Покажем, что г’° - слабое решение уравнений Эйлера. Векторные поля уПк - есть решения задачи (1.1)-(1.3). Поэтому справедливы интегральные тождества:
Т 1 jT т
/о fnvikD^dxdt~^;fo fn Vvi kVfidxdt + /о in vi 4 %jdxdt
= /0 /п <?«(*)£« * = 1.
где £ = ((Гд) - произвольное гладкое соленоидальное поле, которое обращается в нуль на границе области П и при г > Т. Так как р(уПк,га) —<■ 0 (см. (4.2)), когда ■ч — :■■■:, то предельный переход в последнем равенстве в силу оценок (4.3) дает интегральное тождество:
Т Т “Г
/о /п *1 ЭДЖв* +/0 /п =/0 /0 ^¿(х)^(0.х)АсА.
Следовательно, г° - слабое решение. Оно удовлетворяет нулевому граничному условию В обобщенном смысле, поскольку Т'П|ап= 0, и, отображения Vі* непрерывные. Векторное поле г?° удовлетворяет начальному условию:
||г7°(с, ) — <р|^ 0, если г -* 0. Это следует из равномерной и равностепенной непрерывности в среднем (см. лемму 4.2) множества полей (г(ГР )}0<уй1 и непрерывности решений 17. Наконец, из мультипликативного неравенства [2, с. 19, лемма 1] и (4.3) имеем равномерную относительно £ оценку:
Отсюда получаем включение v° Е L
|1/2.
12 I
п х
,1/2
Вместе с оценками (4.3) имеем утверждение теоремы. Теорема 4.1 доказана.
Замечание 4.1. На самом деле слабое решение г° имеет равномерно
ограниченные нормы Ці/ ||р
относительно Г Є
при любом конечном значении
показателя р > 2, что является следствием общего мультипликативного неравенства (см. [21, с. 80-84])
W
г?
1Г“1
и равномерных оценок (4.3).
6. Заключительные замечания
В размерностях п > 3 имеем принципиально иную ситуацию, на которую влияет существенным образом интеграл
/п Щик1ДикАх,
который может быть отличным от нуля (см. следствие 1.1). Его влияние на свойства решений уравнений Навье-Стокса и явление турбулентности в пространстве рассматривалось автором в [4, 22, 23]. По мнению автора с помощью интеграла ■■■■ для начальной скорости можно действительно изучить свойства
решений уравнений Эйлера в пространстве и некоторые физические особенности идеальной жидкости.
Список литературы
1. Ладыженская О.А. Решение "в целом" краевой задачи для уравнений Навье-Стокса в случае двух пространственных переменных// ДАН СССР. 1958.Т. 123. С.427-429.
2. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. Изд. второе. - М: Наука, 1970.
3. Киселев А.А., Ладыженская О.А. О существовании и единственности решения нестационарной
задачи для вязкой несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1957. Т.21. С. 655-680.
4. Семенов В.И. О свойстве гладкости решений уравнений Навье - Стокса в нелинейной нестационарной задаче Коши в пространстве. Препринт. Кемерово: Кузбассвузиздат, 2007, с.1-40.
5. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.:Мир. 1973.
6. Решетняк Ю.Г. Оценки для некоторых дифференциальных операторов с конечномерным ядром// Сиб.мат.журн. 1970. Т.11. №3. С.414-428.
7. Семенов В.И. Квазиконформные потоки в пространствах Мебиуса//Мат. сборник. 1982. Т.119(161). №3. С.325-339.
8. Семенов В.И. Полугруппы некоторых классов отображений//Сиб. мат. журн. 1977. Т.18,№4. С. 877-889.
9. Семенов В.И. Об однопараметрических группах квазиконформных гомеоморфизмов в эвклидовом пространстве//Сиб. мат. журн. 1976. Т.17,№1. С. 177-193.
10. Доброхотов М.Ю., Шафаревич А.И. О поведении на бесконечности поля скоростей несжимаемой жидкости// Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1996. №4. С.38-42.
11. Brandolese L. On the localisation of symmetric and asymetric solutions of the Navier-Stokes equations in Rn// Comp. Rend. Acad. Sei. | |aris. Ser. I. 2001. V.332. P.125-130.
12. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций.- М.: Мир, 1973.
13. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.-Новосибирск: Изд-во СО АН СССР. 1962.
14. Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения.-М.:Наука, 1983.
15. Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики//Изв. АН СССР. Сер. Мат. 1954. Т.18.№1, С.3-50.
16. Соболев С.Л. Избранные труды. Т.1.-Новосибирск: Изд-во Института математики, 2003.
17. Ладыженская О.А. Шестая проблема тысячелетия: уравнения Навье-Стокса, существование и гладкость//УМН. 2003. Т.58. №2. С. 45-78.
18. Ладыженская О.А. О единственности и гладкости обобщенных решений уравнений Навье-Стокса// Зап. науч. семин. ЛОМИ. 1967. Т.5. С. 169-185.
19. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1968.
20. Пухначев В.В. Интегралы движения несжимаемой жидкости, заполняющей все пространство// Прикл. механика и техн. физика. 2004. Т.45. №2. С.22-27.
21. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.-М.: Наука, 1967.
22. Семенов В.И. Необходимые и достаточные условия существования в целом гладких решений уравнений Навье - Стокса в нелинейной нестационарной задаче Коши в пространстве//(в печати).
23. Семенов В.И. Детерминизм динамики жидкости и уравнения Навье-Стокса//(в печати).
24. Prodi G. Un teorema di unicita per le equazioni di Navier-Stokes// Annali di Mat. 1959. V.48. P. 173-182.
25. Serrin J. The initial value problem for the Navier-Stokes equations// Nonlinear Problems/ ed. R.Langer. Madison: Univ. of Wisconsin Press, 1963. P.69-98.
GENERAL PROPERTIES OF SOLENOIDAL VECTOR FIELDS AND ITS APPLICATIONS TO 2D EULER AND NAVIER-STOKES EQUATIONS
V.I. SEMENOV
Kuzbass regional institute of professional formation development e-mail: visemenov@rambler.ru
There are proved important integral identities for solenoidal vector fields. These statements give a new standpoint on a priori estimate that O. Ladyzhenskaya proved. In particular, we have a priori estimate independent of a viscosity and the existence of global solutions for the Euler equations. Why is no there of a turbulence phenomenon for the 2d case? This fact shows one of proving identities. Other identities can be used in conservation laws.
Key words: integral identities, global solution, a priori estimate, stresses tensor, Navier-Stokes and Euler equations.
