CC BY
46
математика и механика
УДК 517.9 + 532.5.032
А. С. Кузиков, С. С. Кузиков
Итерационный метод решения задачи Стокса
A. S. Kuzikov, S. S. Kuzikov
Iterative Technique of Stokes Problem Solution
Предложен метод решения задачи Стокса, основанный на минимизации функционала, являющегося квадратом нормы дивергенции вектора скорости. Для этого применяется градиентный метод. Исследованы свойства функционала. Доказана сходимость последовательности приближений к решению задачи Стокса.
Ключевые слова: задача Стокса, функционал, градиентный метод, сходимость.
DOI mЛ4258/izvasu(2013)L2-10
The paper puts forward a Stokes problem solution technique based on the minimization of the functional which is the square of a velocity vector divergence norm. To do this the gradient method is used. The properties of the functional are studied and the convergence of the approximation sequence to the Stokes problem solution is proved.
Key words: Stokes problem, functional, gradient method, convergence
Пусть П — ограниченная область в Ят, т = 2,3 , с липшицевой границей дП . Рассмотрим в П систему дифференциальных уравнений — систему Стокса:
n Du + VP = f, divu = 0,
(1)
(2)
и |м= 0, _ (3)
Здесь и = (и1(х),.., ип (х)) — поле скоростей, Р = Р (х) — функция давления; / = (/г(х),..., /п (х)) — поле внешних сил; постоянная п — кинематический коэффициент вязкости; А — оператор Лапласа; V — оператор градиента.
Будем придерживаться следующих обозначений:
(I, Я, и) — функции из гильбертовых пространств
(12, н 1)1 _
(I, Я, и) — вектор-функции из гильбертовых пространств (Ь2, Н );
через (■,■) и || ■ || будут обозначаться скалярные произведения в Ь2(П) и І2(П). Стандартная норма в пространстве Соболева Н1 обозначается || || . Также используем следующие обозначения:
(Vu, Vv) = Y,
j=1
du dv
dx. ’ dx.
і i
функцию v e Ho(W). Интегрируем равенство по W, используя формулы интегрирования по частям. Второе уравнение (2) скалярно умножаем на q e L2 (W). Назовем слабым решением задачи (1) — (3) функции u e Ho(W) и p e L°2 (W), удовлетворяющие соотношениям
n(Vu, Vv) — (p, div v) = (f, v) " v e H10(W), (4)
(div u, q) = 0 " q e L22 (W) . (5)
Для существования и единственности этого решения достаточно потребовать
f e L2(W) [1, 2].
Некоторые неравенства и априорные оценки Неравенство Пуанкаре
||u|| £ Cp ||Vu|| " u e Hl(W),
где постоянная Cp зависит только от W (ограничена величиной 2l; l — диаметр W или толщина W в каком-либо направлении). Отметим, что нормы ||u|| и ||Vu эквивалентны.
Следующее неравенство очевидно
\\div u < 2 Vu\\.
(Vи, Уу) = ^ (Уи, Vvi).
1=1
Посредством Н0 = Н0 (П) обозначается пространство функций из Н1, равных нулю на границе П. н 0 — пространство вектор-функций, каждая компонента ко-
торыхпринадлежит Н0. L°2 =
0. Ь02 = ^/ е Ь2(П)|//(х)сХ = о|.
Для вывода слабой формулировки задачи (1) — (3) умножим уравнение (1) на произвольную вектор-
Неравенство Нечаса
с0І |q|| <||Vq||H-
V q є L02(W)
с положительной константой с0.
Н — пространство, сопряженное к Но(П) относительно скалярного произведения из Ь2 . Априорные оценки для вектора скоростей и и давления р приведем в более общем случае, заменив однородное уравнение (2) неоднородным
Итерационный метод решения задачи Стокса
СУи = g, g е Ь°2(П), (2’) Найдем приращение функционала I(р), задав р
а уравнение (5) в определении обобщенного реше- приращение 6р е 1^2(П). Решение уравнения (1) такта
ния примет вид получит приращение 6и(х) е Н1 (П), следовательно
(С1уи,q) = ^,q) "q е Ь°2(П) . (5’) 1 г/ - —,2
я 61 = 1( р + 6 р) —1( р) = - (Ши + 6 и)) Сх —
Для и оценка непосредственно следует из (4), 2^ ' '
если взять V = и и использовать (5’) с q = р :
1
- J(divu)2dx = J divu ■ divSudx + — Г(divSu) dx.
n Vu = (f,u) + (g,p) . (6) 2J J 2{
Используя неравенство Коши и Пуанкаре из (6), Из уравнения (1) следует; что би удовлетворяет получаем: уравнению
—\ ^й| |2 < Ср||7| |2 + -II р\\2 + є||Я І2 " є > 0 . (7) ~—Аби + Vбp = 0 . (12)
Из этого уравнения получаем оценку
Su\\ < с Sp , с = const . (13)
Оценку для давления получим, используя неравенство Нечаса. По определению функционала Vq на
Н 0 (п) неравенство Нечаса можно представить в те Следовательно, главная линейная часть прираще
(q,divv) v ^ ния SJ есть
-0 \\q\\ < sup^—=й— Vq є L2(n).
VєH0 Vv
Теперь оценка для давления следует из (4)
S1J = J divu ■ div Sudx .
n
Для получения представления градиента функцио-
С[1 ||р|| < $ир-рСУУ) = вир n(Vu,Уу)_1 | (1,у) < нала (11) уравнение (12) умножаем скалярно на вектор-
функцию ф = (ф1 (х),...,фп(х)) е Н-(П).Интегрируя полученное равенство по частям, получим
vєн1 ||Vv|| vєн10 I Vv
<—і vui+cp|f| |.
Отсюда
—^ би ■Аф йх + ^ бр ■йУф йх = 0 . (14)
П П
р||2 < —-(—||Vu|| + ср||/|І) = Преобразуем б] следующим образом
б] = —^би ^й^ийх . (15)
n V^ + 2—cJ\Vu\\ f + сЛf
< (8)
< -< с22
n21 |Vu| |2 + A\f\ |2
П
Потребовав, чтобы вектор-функция ф являлась обобщенным решением уравнения
—Аф = Vdivu, (16)
получим вид градиента функционала (11)
]'(р) = йтф Є Ь°2(П). (17)
—|^и|| < --р||/|Г + -—II ||2 (9) Уравнение (16) имеет ту же структуру, что и урав-
II I < — II I с^ ИЯИ . нение (1). Следовательно, верны оценки
Из неравенства (8) получаем оценку для давления -||й^ф||<||ф|| <с||й^и||, ||divu||2 <-6—'^йпф||2. (18)
Используя это неравенство и неравенство (7) при е = — , получим оценку
—м2
^11-1|2 16n,
0
||р|| < 2 I1! + 4 1И1 . (10) Покажем, что I(р) является сильно выпуклым
0 0 функционалом. Действительно, "а е [0,1], используя
Организация итерационного процесса реше- оценку (10), получаем
ния задачи (1)-(3) - _
При заданном р(х) е Ь°2(П) уравнение (1) имеет I(ар1 + (1 — а)р2) = — Сууаш + (1 — а)и2)
единственное решение и = и(х,р) е Н1^(П), для которого С1уи = g(х) в общем случае не равна нулю, т. е.
уравнение (2) не выполняется. Введем функционал с4 ,, и2
. _ 2 < а1 (р-) + (1 — а)I(р2) — а(1 — а)-°-||р- — р2\\ ,
I (р) = — |\(С1уи(х, р)|| (11)
211 11 что и доказывает сильную выпуклость функционала.
и поставим задачу минимизации этого функционала, В свою очередь, градиент функционала I'(р) = С1у ф
считая управлением давление р(х). удовлетворяет условию Липшица. Для произвольных
= 1 ja| |div u11 + (1 - a)| |dzv u^| - a(1 - a)|\div{ ыг - u2)||2
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
давлений р1(х) и р2(х), используя оценки (18), получаем неравенство
||/'(р1) — I'(р2)\1 = ((Суф1 — СУф2) Сх =
П
= ((С1у(ф1 — ф2)) Сх < 4с21\й1у(и1 — и2)|| < 16с41|р1 — р2||.
П
Следовательно, в качестве постоянной Липшица может быть взята постоянная Ь = 4с2.
Эти свойства функционала (11) позволяют организовать итерационный процесс минимизации на основе градиентного метода.
Пусть известно п -е приближение давления р (х).
—п
Решая уравнение (1) с р = рп, найдем и (х).
—п
Подставляя и (х) в правую часть сопряженного уравнения (16), найдем фп(х) и, следовательно, I'(рп) = С1у фп (х).
Следующее приближение рп+1(х) найдем по схеме рп+1(х) = рп (х) — а!'(рп) , где ап > 0 — итерационный параметр, который определим по методу скорейшего спуска. Заметим, что рп+1 (х) е Ь (П). Введем функцию
/п (а) = I (рп — aI'(рп)) (19)
и определим ап из условия:
fn (a”) = inf fn (a) .
Для данной задачи, в силу ее линейности, ап можно найти непосредственно следующим образом.
Заметим, что: и(х,ар2 + (1 — а)р1) = аи(х,р2) + (1 — а)и(х,р1).
Полагая р2 = р1 + к , получим и(х,р1 + ак) = и(х, р1) + а(и(х,р1 + к) — и(х,р1)). Отсюда выражение для функционала примет вид
1 II м2
I (р1 + ак) = -|ру(и(х, р1)) + а(и(х, р1 + к) — и(х, р^Ц =
Из этой формулы при и(х, рп) = ип, р1 = рп, к = —I' (ип) получим явное представление для функции (19):
/п (а) = I (рп) + а(СУ(ип), СУ(и(х, рп — I' (р)) — ип)) + +1 а2|\й1у(и(х,рп — I'(рп)) — ип\| .
Этот квадратный трехчлен достигает своей нижней грани при
(СУип, СУ(и(х, рп — I' (рп)) — ип)
a = a.„ = —
\\div(u(x, pn - J'(pn) - un)
(20)
В данном случае можно применить теорему 1 о сходимости [3, стр. 70], которая утверждает, что
1) lim J'(pn) = 0 и, следовательно, в силу (18)
lim J(pn) = 0 ;
П®¥
2) {pn} сходится к единственной точке p(x) e L°2(W), и имеют место неравенства
J(pn) < J(p°w и ||pn — pll < -bn,
m m
где b = 1 — ~j~, m > 0 — постоянная, получаемая из условия сильной выпуклости; L — постоянная Липшица.
Данные неравенства дают информацию о скорости сходимости.
Из сходимости {pn} следует сходимость {un(x)}
к функции u(x) e H 1(W).
Следовательно, функции (u(x), p(x))e H 1(W)xL°2(W) являются решением задачи (1) — (3).
= — jdivu(x, p1)||
-a(divu(x,p1), div(u(x,p1 + h) — u(x,p1))
~~\\div (u(x, p1 + h) — u(x, p1 )|| .
Библиографический список
1. Ладыженская О. А. Математические вопросы дина- 3. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных за-
мики вязкой несжимаемой жидкости. — М., 1970. дач. — М., 1981.
2. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. — М., 1981.
