УДК 517.9
С. С. Кузиков
Граничное управление и наблюдение для симметрической системы
S.S. Kuzikov
Boundary Control and Observation for a Symmetrical System
Исследуются задачи управления для симметрической системы двух дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных положительной по К. Фридрихсу. В качестве управления берется одна из компонент искомой вектор-функции на участке границы, а минимизируемый функционал представляет собой квадрат нормы отклонения решения от заданной функции на другом куске границы. Для решения этой задачи предложен итерационный метод градиента. Градиент функционала находится с помощью решения сопряженной задачи.
Ключевые слова: симметрические системы, дифференциальные уравнения смешанного типа, оптимизация, градиент, алгоритм решения.
The paper studies control problems for the symmetrical system of two first-order differential equations in partial derivatives which are Friedrichs positive. One of the components on a sector of the boundary is taken as control. Functional to be minimized is the squared norm of the deviation from the solution of a given function on the other sector of the boundary. It is proposed to solve this problem by iterative gradient method. Functional gradient is found by solving a conjugative problem.
Key words: symmetrical systems, mixed-type differential equations, optimization, gradient, solving algorithm.
В работе предлагается метод решения задачи управления для симметрической системы двух дифференциальных уравнений первого порядка смешанного типа. В качестве управления выбираются граничные условия задачи, функционал представляет собой норму отклонения решения системы от некоторой заданной вектор-функции. Исследование краевых задач для симметрических систем имеет самостоятельный интерес. Для некоторых классов краевых задач, как правило, с однородными или периодическими краевыми условиями получен ряд глубоких результатов [1-9]. Однако для задач управления характерны неоднородные граничные условия, так как недостаточная гладкость функций, являющихся управлениями, или нецелесообразность зачастую не позволяют свести их к однородным. В связи с этим следует отметить работы С.М. Шугрина [10, 11], в которых исследована корректность некоторых задач для симметрических систем с неоднородными краевыми условиями.
В данной работе рассматриваемая система является линейным аналогом квазилинейной системы уравнений, описывающей плоское установившееся безвихревое течение невязкого газа [12]. Для прямой и сопряженной задач устанавливаются априорные оценки, которые позволяют доказать существование и единственность решений, что, в свою очередь, дает возможность установить дифференци-
руемость функционала и найти явный вид его градиента.
В области О = (-1,1 )х(0,1) пространства И2 рассмотрим систему дифференциальных уравнений
Lu = Au + Bu + Du = f,
x y ■-> '
(1)
где u =(ui (xy),u2 (xy)), f = (f (xу)f2 (xy)) -вещественные вектор-функции;
f k (x) a (x, y)^ = f 0 b (x, y)^
A =
Kx y)
B =
b(x, y)
D =
dii (xy) di2 (xy)
чd2i (x, y) d22 (x, y) заданные матрицы. Предполагаются выполненными следующие условия:
A. A, B е С1 (Q), D е С(Q).
Б. kx >8 = const >0, k(0) = 0, |b(x,y)| >8.
B. 2 D + (Ax + By) >8E, E - единичная матрица.
Г. A |x=1 >8E.
Здесь С (Q), С1 (Q) - пространства непрерывных
и непрерывно дифференцируемых в Q функций.
Замечание 1. Отметим, что из условия (А) следует равномерная ограниченность евклидовых норм матриц A, B, D, а также норм производных матриц A и B с некоторой постоянной M > 0. Условие (Б) дает не-
(2)
равенство |к(-1)| > S . Тип системы (1) определяется
знаком коэффициента к(х). При x < 0 система имеет эллиптический тип, при х > 0 - гиперболический.
Будем рассматривать граничные условия вида и2 (х, 0) = и2 (-1, у) = 0, и2 (х, 1) = д>(х),
-1 < х < 1, 0 < у < 1, где ф(х) играет роль управления.
Обозначим (и| v) скалярное произведение векторов из R2. Посредством И и Нг обозначим пространство вектор-функций ип и иг, определенных на Q и Г, - граница области Q , для которых конечны нормы
/ у1/2 / у/2
И|п=1|(и | и)СхСу , \\и\\Г =1|(и | и)ds .
VQ / VГ /
Посредством Н определяется гильбертово пространство функций u = (ип, иг) с нормой
ІИІИ < | (иа, ) СхСу +1 (иГ | иГ ) ds
Q Г
и скалярным произведением
(и, v)Н = | (иа, vQ ) СхСу +1 (иГ | vГ )ds.
Q Г
В дальнейшем, когда ясно из текста, индексы Q и Г у функций будут опускаться. Линейное многообразие непрерывно дифференцируемых функций в Q обозначим через G, L2(A) - пространство интегрируемых с квадратом функций на множестве Л.
Покажем, что при выполнении условий (А)-(Г) имеет место
Лемма 1. Пусть функция u и є G и удовлетворяет граничным условиям (2), тогда имеет место неравенство:
Ын - N
ґ A IQ +1
v
I (/? ( x)dx
-1
(3)
где N = const, не зависит от f = Lu и ф(х) = щ(х, 1), -1 < x < 1.
Доказательство. Умножим уравнение (1) скалярно на 2u и проинтегрируем равенство по Q (не ограничивая общности, считаем, что b(x, у) > 0
в Q),
і
21 (Lu | u )dxdy = I (Au | u ) £=— dy |y= dx +
Q 0
1
+21 (bu1u2) |y=0 dx + j(.D - Ax -By)u | u^jdxdy >
(4)
- I\k (OK (-1, y)dy + -[(u | ы )|x=i dy -
положительной постоянной е, будет определена в дальнейшем.
Далее, уравнение (1) умножим скалярно на вектор V = 2(у - 0,5)(и2(х, у) к(х)и1(х, у)) и проинтегрируем по области ^.
| (Ьи | V) dxdy =
1
=|(y - 0,5)2kuu2 + a(Ы + ы2 )) |)=- dy-0 і
+|(y-0,5)b( + Ы) (dx +
-і
+| ((Du | v) - 2kxu1u2 - axu2 - (ка)Ы -
Q
-((y-0,5)) (2 + u22)dxdy -
(5)
1 1 1 1 1 1
- 21 bu21y=0 dx + 21V1y=1 dx + 21bu2 |y=1 dx -
2 -1 2 -1 2 -1
-N11 IU12 |x=-1 dy + |(u | u ) |x=1 dy + Il
где постоянная Ы\ зависит только от М из замечания 1.
Оценим левые части неравенств (4) и (5) соответственно как
2\(и\и )dxdy <||\и\О +||\Ьи\О = ||\и\\О +|||/| Ю-
I (Lu | v) dxdy - IIHIq + N21|LHIq =||u||q + N
2,1 Al Q
где N2 = const > 0 зависит только от M.
Складывая неравенства (4) и (5), предварительно
8
умножив (5) на --------г-, получим
4 (N1 +1)
—I IP 2 Г IIQ +
(
-
8 (N1 +1)
- є 11 bu\ |y=1 dx +
+
-
8(N, + 1)-|~‘'1 |v=0 dx+
—
I bu12 |y=0 dx + 8 (N +1) |1 bu12 |y=1 dx+
1 ^
IU12 |x=-1 dy +1 (u | u ) |x=1 dy -0 0 J
-,—2----r-j I b (x,1)i'p(x)dx.
(N1 + 1)^J1 V
и учитывая, что b(x, y) > ô,
4 (N1 + 0 JV 0 (
-
Положив є =
4
--1-
-4
-
-е| Ь (х,1)и2dx-1Ь (х,1)^р2 (х)х + ^и|Ю .
-1 е -1
При получении этого неравенства использовались неравенства (В), (Г) и неравенство Юнга для
1
оценки снизу интеграла | Ь( х, 1)и1^( х)ск. Величина
полученное неравенство приведем к виду:
1 1
16 (N1 +1) венство п
1|ы2||Q +Iu2 |x=-1 dy + I(u | u) |x=1 dy +
0 0
+ I U22 |y =0 dx + J[ U12 |y=1 dx - N (| A|Q +I-1^2dx)
и
где величина N зависит только от д и М. Очевидно, что полученное неравенство, с учетом граничных условий (2), эквивалентно неравенству (3).
Рассмотрим задачу, которую назовем формально сопряженной к задаче п. 1.
Ь\ = - (Лу)х - (Бу)у + В*у = g, (6) 1
где у = (у1, у2), g = g2), а В* - транспонированная
матрица В.
Граничные условия имеют вид:
| (у | Амх + Вму + Ом') сСхСу -1 Ъм2у, \у=1о сіх + а -і
і
+|(ауі - у ) и- су = К у | м^СхСу + (9)
0 а
1
+К(уі + аг2 )м2 + (аг1 - г2 )х=і )
о
гДе /, £єНа, фєЬ2 [-1.1] , г1 , г2єЬ2 [о.і] , а м є О -
у2 (х,0) = у2 (х, 1) = (£у + ау2) |х=-1 = 0 произвольная функция.
(7) Покажем, что полученные решения краевых задач определяются однозначно. Допустим, что у со-
у 1х=1 = г (у) = ((у), Гг(у)), -1 < X < 1, о < у < 1.
При выполнении условий как и в п. 1, пряженной задачи при заданных g и г существуют
может быть доказана два решения У1 и У2, такие, что IV - У2II Ф 0 . Пола-
Лемма 2. Пусть функция у е О и удовлетворяет н
„ ,-ч гая У1 - У2 = у, из равенства (9) получим:
граничным условиям (7), тогда имеет место 1 2 ^ 1
| (у | Лмх + Бм>у + Вм) сСхёу -1 Ьм>у2 | с1х +
п 1 -1 (10)
+{( - у2) |х=-1 Су = 0.
С і Л
?і іа+
(8)
■|(г|г )СУ
V о
где постоянная N зависит только от д и М.
Пусть и, у е О , тогда, посредством интегриро
о
вания по частям выражения (Ьи | у), получим ра- Рассм°трим специальные операгоры °среднения.
Пусть ®(И) - четная бесконечно дифференцируе-
венство
мая функция одного переменного, причем
\(Ьи | у )сМу -\ Ъи1у2|уу=0 Сх + Г(ау1 - ау2 )и2|х=-1 Су = (и) . 0 (и) 0 || ик , і (.)с. , П
а -і о ®(И)^о, ю(И) = о при ||ирі и )а(и)си = і. По-
і і -1
= | (у | и ) СхСу +1 Ъу1и2 ЦЦ Сх -1 + ку2) и, |х=-1 Су + ложим
а -1 о Г стрх - х'^ Г ст^у - у + 2р
Мі (x, у)= — М — ® 2
р а V
+|((^і + ау2+ (2 + у1 )2) |х=^ ).
о х и1 (х', у') Сх'Су' = З,1 3и = Зри,,
Поскольку множество О плотно в Н, то, как не
1 л ( х__х'_2 р
трудно видеть, система однородных краевых усло- м2 (х, у) = — I ®
вий (2) порождает однородную систему (7) и на- р2 а
оборот, т.е. системы краевых условий (2) и (7) яв ляются сопряженными. Кроме того, доказанные
Г у -стру' + 2рЛ
V
<и2 (х',у'} Сх'Су' = 3\322и2 = 3е2и2,
оценки (3) и (8) позволяют классифицировать их где = 1 - 2е, а2 = 1 - \е , а 3/ соответствующие
как правильные [7]. операторы осреднения. Функция м = (м1, м2) удов-
Далее по стандартной схеме определяются сла- летворяет однородным краевым условиям (2) для
бые и сильные расширения операторов исходной и любой и е Нп . Из (10) получаем
сопряженной задач при выбранных граничных ус- , * * *
ловиях. Неравенства (3) и (8) гарантируют сущест- ] (-к° (у1 )х _ ао1 (у2 )х _ Ьо2 (у2) +
вование хотя бы одного слабого решения из Н [7, п
т. 3] каждой из задач, к°торые определяются как +С1131*2у1 + С1231*2у2)и)у-[(а(32*2у1 ) -(32*2у2) -
функции из Н, удовлетворяющие интегральным \ х х
тождествам:
дествам. і * * *
\(и | -(Ам) -(Вм)у + ІЇм}) + ~Ъуі)у +^Сі23г‘у + С2232‘у2)и2 +
і і +(rlrlsl и)) Схёу = |(Ь^*у + Vrlsl и )хСу = о,
Ъм1и2 |уу=о Сх\(км1 + ам2)и1 |х=-1 Су +
(іі)
а
+ 1 ....._.................. .
-і о где, по лемме К. Фридрихса [7], ||г о при
і
+1 ( + ам2) и1 + ( - м2) и2) |х=1 (Су = р ^ о; - операторы осреднения сопря-
о женные 3р, 3р .
= \(/1 м)СхСу - [ Ъм,ф | 1 Сх, Пусть Р = (Рі, Р2), Ч = (?і, ?2) - функции, опреде-
а у ляемые посредством
рх =м(-к (-1)3 3 2у - а (-1, у)3^ 3 \у2 +
+ а2 (-1, у У2 3+ а (-1, у)2 3& ),
Р2 = /“(а(-1,у) к(-1)3123+ а2 (-1,у)23^у1 -
- к (-1) а (-1, у )3^ 3 + 3^ 3 & ),
51 = 3132у1, ^2 = 31 32у2, ^ = -27 \ ) 7~( ту.
а (-1,у)-к(-1)
Функция у = 2 ((1 - х )р + (1 + х Д) удовлетворяет однородным краевым условиям (7) и \\у - уп||п ^ 0 при £ ^ 0.
Преобразуем равенство (11) к следующему виду: | (у + / | и) УхУу = 0 , (12)
а
где / =Л2+ Ь*у-Ь*у .
Свойства операторов осреднения [6] позволяют доказать, что ||/|| ^ 0 при £ ^ 0. Так как и произвольно, то из (12) следует, что Ьу + / = 0 . Для этого уравнения верна оценка (8), т.е.
МН * *Ц/ 1а,
из которой следует, что \\у\\ ^ 0 при £ ^ 0. Следовательно, ||уа||а = 0. Из равенства (10) получаем, 1 1
что | Ьм1у2г |уу=0 Ух + |(ау1Г - у2г Д2 |х=-1 Уу = 0 . Так
-1 0
как множество О плотно в Н, то из этого равенства и условий (7) следует, что уг = 0.
Аналогичные рассмотрения позволяют доказать, что решение задачи (1), (2) единственно. Таким образом, имеет место
Теорема. При выполнении условий (А)-(Г), для любых /, g е На, сре Ь2 (-1,1), г1, г2 е Ь2 (0,1)
задачи (1), (2) и (6), (7) имеют единственное решение из Н.
Теперь рассмотрим задачу минимизации функционала
3 (ф) = | (( (х,0)- р (х))2) Ух, (13)
-1
где и = (и1, и2) - решение задачи (1), (2), в которой ф(х) является управлением, а р = р(х) е Ь2 (0,1) -заданная функция.
Доказанная разрешимость задачи (1), (2), свойства решения позволяют утверждать, что если последовательность {фк} сходится слабо в Ь2(-1, 1) к ф, то 3(фк) ^ 3(ф), т.е. функция (13) слабо непрерывна на Ь2(—1, 1). Из [13, т. 3.2] следует, что в задаче (1), (2), (13) множество и* оптимальных управлений не пусто. Покажем, что функция (13) дифференцируема в Ь2(-1, 1). Для этого возьмем произвольные управления ф и ф + Дф. Пусть
и(х, у, ф) и и(х, у, ф + Дф) - соответствующие решения задачи (1), (2). Обозначим Ди = и(х, у, ф + Дф) -и(х, у, ф). Очевидно, что Ди является обобщенным решением задачи
ЬДи = 0, (14)
Ди2 |у= 0 = 0 Ди2 |х=-1 = 0 Ди2 |у =1 = ДФ • (15)
Приращение функции (13) можно записать в виде Д3 (и) = 3 (р + Др) - 3р =
1
= | 2 (и1 (х, 0) - р (х — Ди1 — Ух У
-1
1
+| (Ди | и) |у=0 Ух.
-1
Покажем, что
1
12 (и1 (х,0)- р (х ))Ди1 + Ух =
1 (16)
1
= | Ь (х,1+у1 (х,1+ Др(х )Ух,
-1
где у = (у1(х, у), у2(х, у)) - обобщенное решение задачи
Ь*у = 0, (17)
у2 (х,0Д = 2 (и1 (х,0Д - р (х)) , ( + ау2 ) |х=-1 = 0 „ оч
(18)
у (1, у) = у2 (1, у) = 0, -1 < х < 1, 0 < у < 1.
Действительно, с учетом (14), (15), (17), (18), получим
1
| (ЬДи | у) = | ( Ди | Ь*) +1 Ьу1 Др |у=1 Ух -
а а -1
1
-1 Ьу2 Ди1 |у=0 Ух -1
отсюда и следует равенство (16).
1
Из оценки (3) следует, что | (Ди | Ди)|у=0 Ух <
-1
1
< N | Др2Ух . Следовательно, линейная часть при-
-1
1
ращения Д3(ф) равна -| Ь (х,1)у1 (х, 1) ДрУх , откуда
-1
получаем явный вид градиента 3(ф):
3 (р)=Ь (х,1)у1 (х,1+. (19)
Таким образом, для получения градиента функции (13), при фиксированном ф, нужно решить две краевые задачи: сначала из (1), (2) определяется функция и(х, у, ф), затем в (18) нужно подставить полученное значение и1(х, 0, ф) и из (17), (18) найти у(х, у) и, наконец, у1(х, 1) подставить в (19).
Для численного решения краевых задач (1), (2), (17), (18) можно использовать разностные схемы, приведенные и исследованные в [12, 14, 15]. Для построения минимизирующей последовательности {фк} применяется один из градиентных методов
Библиографический список
1. Friedrichs K.O. The identity of weak and strong extensions of differential operators // Trans. Amer. Math. - 1944. -V. 55.
2. Friedrichs K.O. Symmetric hyperbolic linear differential equations // Comm. Pure Appl. Math. - 1954. - V. 11.
3. Friedrichs K.O. Symmetrical positive linear differential equations // Comm. Pure Appl. Math. - 1958. - V. 11.
4. Агранович М.С. О положительных граничных задачах для некоторых систем первого порядка // Труды Московского математического общества. - 1967. - Т. 16.
5. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. - Киев, 1965.
6. Дезин А.А. Теоремы существования и единственности решений граничных задач для уравнений с частными производными в функциональных пространствах // УМН.
- 1959. - Т. 14, вып. 3.
7. Дезин А.А. Граничные задачи для некоторых симметричных линейных систем первого порядка // Математический сборник. - 1959. - Т. 49, №4.
8. Мозер Ю. Быстросходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения // УМН. -1968. - Т. 23, вып. 4.
9. Peyser G. Symmetric positive system in comer domains // Journal of Differential Equations. - 1975. - V. 18.
10. Шугрин С.М. Симметричные дифференциальные уравнения // Сибирский математический журнал. -1970. - Т. 11, №3.
11. Шугрин С.М. Сильное и слабое расширение дифференциальных операторов // ДУ. - 1975. - Т. 11, №11.
12. Кузиков С.С. Об одном методе расчета околозвуковых течений в плоских соплах // Динамика сплошной среды: сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. - 1976. - Вып. 25.
13. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. - М., 1981.
14. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Методы решения одномерных эволюционных систем. - Новосибирск, 1993.
15. Кузиков С.С. К методам решения обратных задач трансзвуковой газовой динамики // Известия АлтГУ. -2010. - №1(65).