CC BY
29
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2016
Математика и механика
№ 3(41)
УДК 517.977.56
DOI 10.17223/19988621/41/3
Р.К. Тагиев, С.А. Гашимов, В.М. Габибов
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ И С УПРАВЛЕНИЯМИ В КОЭФФИЦИЕНТАХ
Рассматривается задача оптимального управления для параболического уравнения с интегральным граничным условием и с управлениями в коэффициентах. Исследованы вопросы корректности постановки задачи, доказана дифференцируемость по Фреше функционала цели, найдено выражение для его градиента и установлено необходимое условие оптимальности.
Ключевые слова: оптимальное управление, параболическое уравнение, интегральное граничное условие, условие оптимальности.
Многие физические и биологические процессы описываются нелокальными краевыми задачами для уравнений параболического типа [1-3]. Нелокальные краевые задачи для уравнений параболического типа активно изучаются в настоящее время. Среди них особое место занимают задачи с интегральными граничными условиями [4-7].
Задачи оптимального управления процессами, описываемыми уравнениями параболического типа с управлениями в коэффициентах и с классическими краевыми условиями, изучены в работах [8-14] и др. Однако задачи управления, в которых процессы описываются уравнениями параболического типа с нелокальными краевыми условиями и с управлениями в коэффициентах исследованы существенно слабее.
В данной работе рассматривается задача оптимального управления для уравнения параболического типа с интегральным граничным условием и с управлениями в коэффициентах. Исследованы вопросы корректности задачи в слабой топологии пространства управлений. Найдено выражения для градиента функционала цели и установлено необходимое условие оптимальности управления.
« - (к(х, ^их )х + д(х, 0« = / (х, 0, (х, 0 е 0>Т ={(х, 0:0 < х < I, 0 < ( < Т} ; (2)
1. Постановка задачи
Пусть требуется минимизировать функционал
е
(1)
0
на решениях и = и( х, t) = и( х, /; и) краевой задачи
и(х,0) =Ф(х), 0 < х < I;
(3)
I
0 < t < Т,
(4)
соответствующих всем допустимых управлениям и = и(х, t) = (к(х, t), д(х, t)) из множества
V = {и(х,t) = (к(х,t),д(х,t)) е Н = W21(йт)х 12(йт): 0 < V < к(х,t) < ц,
|кх (х, t)<ц1, \к( (х, t)| <ц2 \д (х, t)| <ц3 п.в. на йт }. (5)
Здесь I, Т, V, ц, ц1, ц2, ц3 > 0 - заданные числа; у(х), ф(х) е W21 (0, £),
Н(х) е W21 (0,С), /(х, t) е 12(йт), я(t) е W21 (0,Т) - известные функции, и = и(х, Г) = и(х, t; и) - решение краевой задачи (1) - (3), соответствующее управлению и = и( х, t) .
Используемые в работе обозначения функциональных пространств и их норм соответствуют [15, с. 23-26]. Ниже положительные постоянные, не зависящие от оцениваемых величин и допустимых управлений, обозначаются через
С = 1,2,...).
Под решением краевой задачи (2) - (4), для каждого фиксированного допустимого управления и(х,t) еV , понимается обобщенное решение из ^1,0(йт), т.е. функция и = и(х,^ = и(х,^и) из ^1,0(ОГ), которая для любой функции П(х, t) е W21 (йт), п(х, т) = 0 удовлетворяет интегральному тождеству
Ц(-ипг + к (х, 0ихпх + ?(х, = Ц / (х, t)цdxdt-
йт
I т I
| ф( х)п( х, 0)ёх + | [ | Н (х)их (х, t )ёх + я (t )]п(^, t )Л. (6)
йт йт
I т I
0 0 0
Используя результаты работ [15, с.165-171], [7], можно показать, что при сделанных предположениях, каждое допустимое управления и(х, t) е V определяет
единственное обобщенное решение и( х, ^ и) е ^1,0(йт) краевой задачи (2) - (4) и для нее справедлива априорная оценка
ИЫ)=тат||и(х,п о)|и,о+Иих112(йт) < < М1 (I/1и) +1М12(0,.) +11Я12(0,т)). (7)
Более того, обобщенное решение из V1,0 (йт) краевой задачи (2) - (4) принадлежит пространству W22,1 (йт) и справедлива оценка
Ик2,1(йт ) < М 2(Шь2(вт ) + 1М и,1(0,0 +11я|^21(0,т )) . (8)
Оценка (7) показывает, что функционал (1) определен на V и принимает конечные значения.
2. Корректность постановки задачи
Следующая теорема показывает, что задача (1) - (5) корректно поставлена в слабой топологии пространства Н.
Теорема 1. Пусть выполнены условия, принятые в п. 1. Тогда множество оптимальных управлений задачи (1) - (5) V» = {и» е V: J (и») = J» = inf {J (и): и е V}} непусто, V» слабо компактно в H и любая минимизирующая последовательность {и n = (kn (x,t), qn (x,t ))}cV функционала J (u) слабо в H сходится к множеству V» .
Доказательство. Покажем, что функционал J (и) слабо непрерывен на V. Пусть и = (k(x, t), q(x, t)) c V - произвольный фиксированный элемент и {иn = (kn(x,t), qn (x,t))} c V - произвольная последовательность, такая, что un ^ и слабо в H, т.е.
kn (x, t) ^ k(x, t) слабо в W2, (QT); (9)
qn (x, t) ^ q (x, t) слабо в L2 (QT). (10)
Из компактности вложения W2, (QT) ^ Lr^ (QT) при любом конечном rl > 2 [16, с.78] и соотношения (9) следует, что
kn (x, t) ^ k (x, t) сильно в Lr(QT). (11)
Кроме того, в силу однозначной разрешимости задачи (2) - (4) и оценки (8), каждому un eV соответствует единственное решение un (x,t) = u( x,t;un )eW22,1(QT) задачи (1) - (3) и справедлива оценка
l|Unllw221(QT) < M3, (n = 1,2,.Л (12)
т.е . последовательность {un} равномерно ограничена в W22,1 (QT) .
Известно, что вложение W22,1 (QT) ^ L (QT) компактно при любом конечном r2 > 2 [17, с. 33, 39]. Кроме того, следы элементов u(x,t) е W22,1(QT) определены при каждом фиксированном t е[0, T] как элементы W2:(0, £) и справедлива оценка [15, с. 98]
sup ||u(xt)W21(0,O < M4 IIuIIw22,1(Qt) . (13)
0<i <T 2 2 T
Отсюда и из компактности вложения W2:(0, £) ^ C[0, i\ [15, с. 84] следует, что отображение u(x,t) ^ u(x,T) пространства W22,1(QT) в C[0,i] компактно. Тогда в силу перечисленных фактов, из (12) следует, что из последовательности {un} можно извлечь подпоследовательность {u^}, такую, что
u (x, t) ^ u (x, t) слабо в W22,1 (QT) и сильно в L (QT); (14)
u (x, T) ^ u(x, T) сильно в C [0,1], (15)
где u = u(x, t) - некоторый элемент из W22,1 (QT).
Покажем, что u(x,t) = u(x,t; u), т.е. u(x,t) является решением задачи (2) - (4), соответствующим управлению ue V. Ясно, что справедливы тождества
Л (-и„к П + к„„ (x, 1:)ип„хПх + Ч„к(х1:)unk п) =
йт
т I
+ кп - к Ь„Л 11пх1Ь (й ) ^ 0. (17)
II „к Щ(<йт )Н „кх\\Ь6{йт ) хПЬ2(йт)
< 01 \\и„ - и П г л +
II „к ЩСйт Г 2(йт)
^ 0.
= И / (х, t )п ^хЛ +| ф( х)п( х, 0)^х +| [ | Н (х)ищх (х, t )ск + я ^ )]п(А t )Л,
йт 0 0 0
Уп = п(х,t) е W21(йт), п(х,т) = 0 (к = 1,2,...). (16)
Используя соотношения (11), (14), оценки (12) и неравенство (1.8) из [16, с. 75], имеем
Ц к„к (^ ^ЧхПх ^ - {{ к(X, ОихПх ^
йт йт
< Цк(x, 1:)[и„кх -их]пх^: + {{[к„к (x,) - к(x,)]и„кхпХ^1
йт йт
< Цк(x,t)[unkx -их]Пх^
йт
Кроме того, используя соотношения (10), (14) и оценки (12), получаем И (х, t)и„к П ^хЖ - Ц д(х, t)ип dxdt
йт йт
< Ц(х,t)[и^ -u]ndxdt + Ц[д„^ (х,0 - д(х,t)]uпdxdt
йт йт
И[д„* (х, t) - х, t)]uпdxdt
йт
Наконец, используя соотношение (14), имеем
И Н (х)ищх (х, t)п(1, t) dxdt ^ ЦН(х)их (х, t)п(1, t) dxdt;
йт йт
И и* (х, t)П: dxdt ^ Ц uní dxdt.
йт йт
Тогда переходя к пределу при „к ^го в тождестве (16) и учитывая соотношения (17) - (20), получаем, что функция и(х,Г) удовлетворяет тождеству (6), т.е. является решением из V1,0 (йт) задачи (2) - (4), соответствующим управлению ие V . Отсюда и из включения и(х,0 еW22,1(йT) следует, что и(х,t) = и(х,t; и).
Используя единственность решения краевой задачи (2) - (4), соответствующим управлению иеV, нетрудно показать, что соотношения (14), (15) справедливы с
функцией и(х,t) = и(х,V, и) не только для подпоследовательности {и^}, но и для всей последовательности {и„}, т.е.
и„ (х, t) = и (х, ^ и„) ^ и (х, t) = и (х, ^ и) слабо в W22,1 (йт) и сильно в Ь (йт); (21) и„(х,т) = и(х,т;и„) ^ и(х,т) = и(х,т;и) сильно в С[0,£]. (22)
Тогда, используя соотношение (22) и равенство (1), получаем, что 3(и(„)) ^ 3(и) при „ ^го .
(18)
(19)
(20)
Таким образом, установлено, что функционал J (и) слабо непрерывен на V. Кроме того, множество V, определяемое равенством (5), выпукло, замкнуто и ограничено в гильбертовом пространстве H и поэтому слабо компактно в H [18, с. 51]. Тогда применяя результат из [18, с. 49], устанавливаем, что справедливы все утверждения теоремы 1. Теорема 1 доказана.
Замечание 1. Из теоремы 1 следует, что задача (1) - (5) имеет хотя бы одно решение. Следующий пример показывает, что решение задачи (1) - (5) может быть не единственным.
Пример 1. Пусть в задаче (1) - (5) l = T = 1, v = 1/2п, ц = 2/ п, ц = ц2 = 1, ц3 = п , f (x,t) = 3пcosnxsinnt, H(x) = 1, g(t) = 2sinnt, <p(x) = 0, y(x) = 0.
Тогда нетрудно проверит, что минимальное значение функционала достигается на управлениях
u*1) (x, t) = (k(1) (x, t) = 4n, qíi) (x, t) = п), и u(2) (x, t) = (k*2) (x, t) = 2/п, q(2) (x, t) = 0) и J(u(1)) = J(u(2)) = J( = 0, u(x, t; u(1)) = u(x, t; u(2)) = cos nxsinnt, (x, t) e QT,
т.е. решение (1) - (5) не единственно.
Замечание 2. Из теоремы 1 следует, что задача (1) - (5) корректно поставлена в слабой топологии пространства H. Однако, вообще говоря, это задача некорректна в метрике пространства H, т.е. могут существовать минимизирующие последовательности функционала J(и), не сходящиеся к множеству V* по норме пространства H. Следующий пример показывает, что минимизирующая последовательность функционала J(и) может не иметь предела в пространстве H.
Пример 2. Пусть в задаче (1) - (5) l = T = 1, v= 1, ц = 2, ^ = ц2 = 1, ц3 =п2 +1, f (х, t) = - exp(t )sin nt, H (x) = 1, g (t) =n exp(t), ф( x) = - sin nx, y( x) = - expsin nx.
Тогда и* = (k*(x, t) = 1, q*(x, t) = -л2) - оптимальное управление и u(x,t;и*) = -exp(t)sinnx, (x,t) e QT, J* = J(u*) = 0. Рассмотрим последовательность управлений u(m) (x, t) = (k(m) (x, t) = 1, q(m) (x, t) = -n2 + sinnmx) e V (m = 1,2,...). Тогда u(m) ^ и слабо в H , и поэтому из теоремы 1 следует, что J(и(m)) ^ J(u) = J* = 0, т.е. последовательность {и(m)} является минимизирующей для функционала J(и). Однако эта последовательность не имеет предела в H, так как {sinnmx} сильно не сходится в L2(QT).
3. Дифференцируемость функционала цели и необходимое условие
оптимальности
Для задачи (1) - (5) введем сопряженную краевую задачу [ 18, с.128]
yt + (k(x,t)yx)x - q(x, t)y- H'(x)y(i, t) = 0, (x,t) e QT ; y(x, T) = -2[u (x, T; u) - y(x)], 0 < x < í ; yx (0.t) = 0, yx (l, t) = 0, 0 < t < T .
(23)
(24)
Под решением краевой задачи (23) - (25), соответствующим управлению иеV, будем понимать обобщенное решение из ^1,0(йт), т.е. функцию у = у(х, t) = у (х, 1; и) из V1,0 (йт), удовлетворяющую интегральному тождеству
т I
Ц (уп: + к (х, :)у хпх + д( хХ )уn)dxdt -1 [ | Н (х)пх (х, t)dx]у(í, t)dt =
йт 0 0
I
= -21 [и (х, т; и) - у(х)]п(х, т )йх (26)
0
при любой функции п = п(х, 1) е W21 (йт) равной нулю при 1 = 0 .
Используя методики работ [15, с. 165-171], [7], можно показать, что для каждого заданного ие V краевая задача (23) - (25) имеет единственное обобщенное
решение из V1,0 (йт). Более того, это решение принадлежит пространству ^22,1 (йт) и справедлива оценка
1|у| 1^2,Чйт) <м 511и (х т;и) - у( х)1 к'(0,/). (27)
Учитывая здесь неравенство (13) и оценки (8), имеем
1|у| ) <мб[1/1Ь2(йт) +Ифк1(0,/) +11я|^21(0,т) + Ык>,г)]. (28)
Теорема 2. Пусть выполнены условия, принятые в п.1. Тогда функционал (5) дифференцируем по Фреше на V и его дифференциал в точке ие V при приращении Ди = (Дк, Дд) е Н определяется равенством
dJ(и, Ди) = Ц (ихухДк + uуДq)dxdt. (29)
йт
Доказательство. Пусть и, и + Ди е V - произвольные управления и
Ди = Ди(х, 1) = и(х, 1; и + Ди) - и (х, 1; и), и = и(х, 1) = и(х, 1; и). Из условий (1) - (3)
следует, что Ди является решением из W22,1 (йт) задачи
Ди: - ((к + Дк)Дих)х + (д + Дд)Ди = (Дких)х-Дди , (х, 1) е йт ; (30) Ди(х,0) = 0, 0 < х < I; (31)
I
Дих (0,:) = 0 , Дк(£, 1 )их (£,:) = | Н(х)Дих (х, 1 ^х - (к(£,:) + Дк(£, 1))Дих (£,:),
0
0 <: < т. (32)
Можно показать, что для решения задачи (30) - (32) верна оценка [16, с. 164-169], [7]
1НЦ °(йт) < м7[11 Мих1Ь2(йт) +11Дди1Ь2(йт)]. (33)
Используя ограниченность вложений W2,(QT) ^ Ь3(йт) [16, с.78], ^22,1(йт) ^ (йт) [17, с.33], неравенство (1.8) из [16, с.75] и оценки (9), имеем
11Дких|1ь2(йт) < 11Ак1Ь3(йт) 11их1Ь6(йт) < М8 МкЧйт) ,
1Мк(&) -||А^ 2(вт) 1Нк (вт) - м Икса-) •
Учитывая эти неравенства в (33), получаем оценку
1Н1^(вт)- мю1НН • с34)
Приращение функционала (5) имеет вид
I I
А/(и) = /(и + Аи) - /(и) = 21[и(х,Т; и) -у(х)]Аи(х,Т)& + ||Ам(х,Т)|2 dx • (35)
о о
С помощью решений краевых задачи (23) - (25) и (30) - (32) преобразуем приращение (35). Для решения краевой задачи (30) - (32) справедливо равенство
т I
Ц (Аи( у + к Аи х у х + qАuу)dxdt -1 (| Н (х) Аи х (х, t )dx)у (£, t )dt =
вт оо
= Ц Ак Аих у xdxdt - Ц АuАqуdxdt - Ц Аких у xdxdt - Ц uуАqdxdt• (36)
вт вт вт вт
Если в тождестве (26) положим п = Аи и полученное равенство вычтем из (36), то придем к равенству
I
21 [и( х, Т; и) - у( х)]Аи( х, Т ^х =
о
= И (их У х Ак + uуАq)dxdt + Ц АuуАqdxdt - Ц Ак Аиху xdxdt•
вТ вТ вТ
Учитывая это равенство, (35) запишем в виде
А/ (и) = Ц (ихух Ак + uуАq)dxdt + Я, (37)
вТ
I
где Я = ||Аи(х,Т)|2 dx + ЦАuуАqdxdt-ЦлкАихуxdxdt• (38)
о вТ вТ
Покажем, что первое слагаемое в правой части равенства (37), т^ выражение (29), при заданном иеК определяет линейный ограниченный функционал от Аи в Н • Линейность функционала (29) по Аи очевидна^ Используя ограниченность
вложений Щ2,1(вТ) ^ ^ (вТ) [17, с 33, 39], вТ) ^ Шт) [16, с 78], оценку (13) для функции у , неравенство Коши - Буняковского и оценки (8), (29), получаем неравенство
(и, Аи) =
Ц (иху х Ак + uуАq)dxdt
вТ
- Цих|1ь4(вТ ) Иу хКв ) 1М ¿4(вТ ) + 1 \и\\ь„ (вТ ) 1Нк(вТ ) 1М ¿2(вТ ) - М1 Мн •
Отсюда следует ограниченность функционала (29)
Кроме того, используя ограниченность вложения ^22,1 (вТ) ^ (в ), неравенство (13) для функции Аи и оценки (28), (34), для остаточного члена Я, определяемого равенством (38), получаем оценку
= ||Ди(х,т)||2 (0г^ -||ДихухДkdxdt <
йт йт
<М||Дм||^2,1(ет) + ||Ди||^(ет) (ет) ||Д^12(6т) +
+1К1ит)1кх112(ет)11Дк14(ет) <ММ1Н • (39)
Учитывая в (37) эту оценку, заключаем, что функционал (5) дифференцируем по Фреше на V и его дифференциал определяется выражением (29). Теорема 2 доказана.
Теперь получим явную формулу для градиента функционала (5). Поставим следующую вспомогательную краевую задачу для определения функции ю = ю (х, t) = ю (х, /; и) из условий
-юхх - Ю + Ю = их Vх , (X t) 6 °т ; (40)
юх1х=о = юх1х= =0, 0 < х <1; (41)
ю^=0 = ю(|(=т = 0, 0 < х < т. (42)
Под решением задачи (40) - (42) при заданном ие V будем понимать функцию ю = ю(х,t) = ю(х,^ и) из У1(йт), удовлетворяющую интегральному тождеству
Ц [юхПх + п +юn]dxdt = || ихух ndxdt (43)
От От
при любой функции п = п(х, t) е У2: (йт).
Из результатов работы [16, с. 197-202] следует, что краевая задача (40) - (42) при заданном ие V однозначно разрешима в У2:(йт).
Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда градиент функционала (5) в произвольной точке ие V определяется равенством
3 '(и) = (ю( х, V, и), и (х, Г, и)у( х, Г; и)) (44)
и отображение и ^ 3'(и) непрерывно действует из Vв Н.
Доказательство. Пусть и, и + Ди е V - произвольные управления, где Ди = (Дк, Дд) е Н - приращение управления на элементе и = (к, д) е V . Полагая в тожестве (43) п = Дк, получаем равенство
|| [юх Дкх + Дк1 +юДк ]dxdt = || их у х Дkdxdt,
От От
учитывая которое в (29), имеем
dJ (и, Ди) = 3 '(и), До)Н = || (юх Дкх Дк( +юДк + uуДg)dxdt,
йт
где (3'(и), До)Н - скалярное произведение элементов 3'(и), Дие Н на Н . Отсюда следует, что градиент функционала (5) определяется равенством (29).
Используя априорные оценки для краевых задач (1) - (3), (23) - (25), (40) - (42) и рассуждая аналогично выводу оценки (39), можно показать, что справедливо
неравенство ||J'(и + Ди) - J'(u)||H < М||Ди||H . Отсюда следует непрерывность отображения и ^ J'(и) из V в H . Теорема 3 доказана .
Необходимое условие оптимальности в задаче (1) - (5) устанавливает Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда для оптимальности управления и» = (k», q» ) е V в задаче (1) - (5) необходимо, чтобы неравенство
И [ro»x (kx - k»x ) + ro»t (kt - k»t ) + ro» (k - k» ) + u»y» (q - q» )]dxdt > 0 (45)
Qt
выполняюсь для любого u = (k, q) eV , где u» = u(x,t; u»), y»=y(x,t; u»), ro» = ro( x, t; u» ) - решения задач (1) - (3); (23) - (25); (40) - (42) соответственно, при u = u».
Доказательство. Множество V, определяемое равенством (4), выпукло в H. Кроме того, согласно теоремам 2 и 3, функционал (5) непрерывно дифференцируем по Фреше на V. Тогда в силу теоремы 5 из [18, с. 28] на элементе u» е V» необходимо выполнение неравенства J'(u), u - u»)H > 0 при всех ue V . Отсюда и из (44) следует справедливость неравенства (45). Теорема 4 доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ионкин Н.И. Решение краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. № 2. С. 294-304.
2. Самарский А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 11. С. 1925-1935.
3. НахушевА.З. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301 с.
4. Иванчов Н.И. Краевые задачи для параболического уравнения с интегральными условиями // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 4. С. 547-564.
5. Кожанов А.Н. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием для линейных параболических уравнений // Вестн. Самар. гос. тех. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2004. № 30. С. 63-69. DOI 10.14498/vsgtu308.
6. Пулкина Л.С. Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Изд-во Ин-та мат. СО РАН, 2005. С. 231-239.
7. Данилкина О.Ю. Об одной нелокальной задаче для уравнения теплопроводности с интегральным условием // Вестн. Самар. гос. тех. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2007. № 1(14). С. 5-9.
8. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 416 с.
9. Серовайский С.Я. Задачи оптимального управления в коэффициентах для уравнения параболического типа // Изв. вузов. Сер. матем. 1982. № 12. С. 44-50.
10. Искендеров А.Д.,Тагиев Р.К. Задачи оптимизации с управлениями в коэффициентах параболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. № 8. С. 1324-1334.
11. Тагиев Р.К. Оптимальное управление коффициентами в параболических системах // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 10. С. 1492-1501.
12. Тагиев Р.К. Задача оптимального управления для квазилинейного параболического уравнения с управлениями в коэффициентах и с фазовыми ограничениями // Диффе-ренц. уравнения. 2013. Т. 49. № 3. С. 380-392. DOI 10.1134/S0374064113030138.
13. Hem R.J. Optimal control of the convective velocity coefficient in a parabolic problem // Nonlinear Anal. 2005. V. 63. P. 1383-1390.
14. Тагиев Р.К., Гашимов С.А. Задача оптимального управления в коэффициентах параболического уравнения при наличии фазовых ограничений // Автоматика и телемеханика. 2015. № 8. С. 27-45.
15. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.
16. Ладыженская О.А.,Солонников В.А.,Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.
17. Лионе Ж.Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Мир, 1987. 368 с.
18. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.
Статья поступила 15.02.2016 г.
Tagiyev R.K., Gashimov S.A., Gabibov V.M. (2016) ON AN OPTIMAL CONTROL PROBLEM FOR A PARABOLIC EQUATION WITH AN INTEGRAL CONDITION AND CONTROLS IN COEFFICIENTS. Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 3(41). pp. 31-41
DOI 10.17223/19988621/41/3
In this paper, an optimal control problem for a parabolic equation with an integral boundary condition and controls in coefficients is considered. Let it be required to minimize the functional
i
J(u) =|l u(X,T; и) - У(x) |2 dx
0
on the solutions u = u( x, t) = u( x, t; o) of the boundary value problem
ut - (k (x, t )ux )x + q(x,t)u = f (x, t), (x, t) e QT ={(x,t):0 < x < 1, 0 < t < T} u (x,0) = ф(x), 0 < x < I,
i
ux(0,t) = 0, k(l,t)ux(I,t) = |H(x)ux(x,t)dx + g(t), 0 < t < T,
0
corresponding to all allowable controls о = o(x,t) = (k(x,t), q(x,t)) from the set
V = {u( x, t) = (k (x, t), q( x, t)) e H = W2,(QT) x L2(QT) :0 < v < k (x, t )< |i, |kx (x, t)<|1, |kt (x, t)| <|2 |q (x, t)| <|3 a.e. on QT}.
Here, l,T,v,|1, |2, |3 > 0 are given numbers and y(x),ф(x) e №^(0,H(x) e W2'(0, f (x, t )e L2(Qt ), and g (t )eW2(0,T) are known functions.
The work deals with problems of correctness in formulating the considered optimal control problem in the weak topology of the space H = W2^(QT) x L2(QT). Examples showing that this
problem is incorrect in the general case in the strong topology of the space H are presented. The objective functional is proved to be continuously Frechet differentiable and a formula for its gradient is found. A necessary condition of optimality is established in the form of a variational inequality.
Keywords: optimal control, parabolic equation, integral boundary condition, optimality condition.
TAGIYEVRafiq Kalandar (Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Baku State University, Azerbaijan)
E-mail: r.tagiyev@list.ru
HASHIMOV Sadiq Akif (Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Baku State University, Azerbaijan) E-mail: s.hashimov@list.ru
GABIBOV Vaxab Mexti (Senior Lecturer, Lenkaran State University, Azerbaijan) E-mail: vahab.hebibov@mail.ru
REFERENCES
1. Ionkin N.I. (1977) Reshenie kraevoy zadachi teorii teploprovodnosti s neklassicheskim kraevym usloviem [The solution of the boundary problem of the theory of heat conduction with a nonclassical boundary condition]. Differentsial'nye uravneniya - Differential Equations. 13(2). pp. 294-304.
2. Samarskii A.A. (1980) O nekotorykh problemakh teorii differentsial'nykh uravneniy [On some problems of the theory of differential equations]. Differentsial'nye uravneniya - Differential Equations. 16(11). pp. 1925-1935.
3. Nakhushev A.Z. (1995) Uravneniya matematicheskoy biologii [Equations of Mathematical Biology]. Moscow: Vysshaya Shkola.
4. Ivanchov N.I. (2004) Boundary Value Problems for a Parabolic Equation with Integral Conditions. Differential Equations. 40, no. 4. pp. 591-609.
5. Kozhanov A.N. (2004) O razreshimosti kraevoy zadachi s nelokal'nym granichnym usloviem dlya lineynykh parabolicheskikh uravneniy [On solvability of the boundary value problem with a nonlocal boundary condition for linear parabolic equations]. Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki - J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci. 30. pp. 6369. DOI 10.14498/vsgtu308.
6. Pulkkinen L.S. (2005) Neklassicheskie uravneniya matematicheskoy fiziki [Non-classical equations of mathematical physics]. Novosibirsk: Institute of Mathematics Publ. pp. 231-239. (in Russian)
7. Danilkina O.Yu. (2007) Ob odnoy nelokal'noy zadache dlya uravneniya teploprovodnosti s integral'nym usloviem [A nonlocal problem for the heat conduction equation with an integral condition] Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki - J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci. 1(14). pp. 5-9.
8. Lions J.L. (1968) Contrôle optimal de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles [Optimal control of systems governed by partial differential equations]. Paris, Du-nod, Gauthier-Villars. (In French).
9. Serovayskiy S.Ya. (1982) Zadachi optimal'nogo upravleniya v koeffitsientakh dlya urav-neniya parabolicheskogo tipa [Optimal control problems in coefficients for a parabolic type equation]. Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat. 12. pp. 44-50.
10. Iskenderov A.D., Tagiev R.K. (1983) Zadachi optimizatsii s upravleniyami v koeffitsientakh parabolicheskogo uravneniya [Optimization problems with controls in coefficients of a parabolic equation]. Differentsial'nye uravneniya - Differential Equations. 19(8). pp. 1324-1334.
11. Tagiev R.K. (2009) Optimal coefficient control in parabolic systems. Differential Equations. 45(10). pp. 1526-1535. DOI 10.1134/S0012266109100164.
12. Tagiev R.K. (2013) Optimal control problem for a quasilinear parabolic equation with controls in the coefficients and with state constraints. Differential Equations. 49(3). pp. 369-381. DOI 10.1134/S0012266113030129.
13. Hem R.J. (2005) Optimal control of the convective velocity coefficient in a parabolic problem. Nonlinear Anal. 63. pp. 1383-1390.
14. Tagiev R.K., Gashimov S.A. (2015) The optimal control problem for the coefficients of a parabolic equation under phase constraints. Automation and Remote Control. 7(8). pp. 13471360. DOI 10.1134/S0005117915080020.
15. Ladyzhenskaya O.A. (1973) Kraevye zadachi matematicheskoi fiziki [Boundary value problems of mathematical physics]. Moscow: Nauka.
16. Ladyzhenskaya O.A., Solonnikov V.A., Ural'tseva N.N. (1967) Lineinye I kvazilineynye ur-avneniya parabolicheskogo tipa [Linear and quasilinear equations of the parabolic type]. Moscow: Nauka.
17. Lions J.L. (1983) Contrôle des systèmes distribués singuliers. Paris: Gauthier-Villars. (In French).
18. Vasil'ev F.P. (1981) Metody resheniya ekstremalnykh zadach [Methods for solving extreme problems]. Moscow: Nauka.
