CC BY
68
О методе решения уравнений Навье-Стокса ...
УДК 517.9:533.7
A.C. Кузиков, С.С. Кузиков
О методе решения уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление
Краевые задачи для уравнений Навье-Стокса, как правило, не имеют сколь-нибудь простых решений, которые можно выписать в явном виде даже для областей несложной формы. Поэтому в настоящее время для нахождения приближенных решений с нужной точностью применяются численные методы с использованием ЭВМ. Большое число численных методов в плоском случае было разработано применительно к системе уравнений относительно функции тока ф и вихря ш, подробный анализ таких методик можно найти, например, в работе [1] и приведенной там библиографии. Эта форма уравнений имеет то преимущество, что выполняется уравнение неразрывности, уменьшается число уравнений. Однако при использовании переменных ф, ш возникают проблемы, среди которых выделим следующие. Общим недостатком этих методов является использование граничного условия для вихря на твердой поверхности тела, которое отсутствует в физической постановке задачи, что требует дополнительного итерационного процесса, а это лимитирует скорость сходимости численных алгоритмов. Кроме того, эти результаты невозможно перенести на трехмерный случай; возникают трудности с заданием граничных условий для функции ф в случае многосвязной области; обоснование корректности этих методов, как правило, отсутствует. Эта ограниченность методов решения (ф,ш) - системы объясняет интерес к численному решению уравнений Навье-Стокса, записанных в естественных переменных:
Ои
— + (и ■ V)« = -Х7р + уАи + /, сНуи = 0 (1)
При численном решении этой системы возникает трудность с расчетом поля давления. Отметим успешное использование идеи искусственной сжимаемости. Для решения модифицированной системы применялись различные варианты метода расщепления [1].
В работах [2; 3] рассматриваются вопросы аппроксимации краевых задач для уравнений Навье-Стокса, а также устойчивости и сходимости методов численного решения этих уравнений. Приведено большое число алгоритмов.
Особенность предлагаемого метода состоит в том, что краевая задача для системы уранений Навье-Стокса (1) формулируется как задача оптимального управления для системы эллипти-
ческого типа, в которой давление рассматривается как управление, посредством выбора которого минимизируется функционал, представляющий собой норму дивергенции скорости. Для минимизации этого функционала используется градиентный метод.
Рассмотрим этот алгоритм на примере стационарной задачи Стокса.
Итак, пусть в ограниченной области £1 С К3 с границей <9£! требуется найти решение краевой задачи
-Ди + Ур=/, ¡Ну и = 0, и|9П = 0, (2)
здесь и = (иьи2,из), р £ Ь2{£1) и (р, 1) = Jр(1х = 0. Известно, что обобщенное решение п
о
и,р £№2 хЬ2/К задачи (2) существует и единственно [4], если / £ Н_1, где пространство с негативной нормой, являющееся двойственным
о
\¥2 отностительно скалярного произведения в Ь2.
Рассмотрим задачу
-АУ + Уд = /, У|9П = 0, (3)
Ня) = Ц(¿Ш)2йх - ¿71/, (4)
п
где д £ Ь2/И играет роль управления.
Так как \7д £ Н-1, то обобщенное решение
о
V задачи (3) существует и единственно.
Выведем формулу для градиента функционала (4). Дадим приращение ¿д. Тогда управлению д + будет соответствовать решение У + 6У задачи (3), а 6V является обобщенным решением
о
из Ш2 однородной задачи.
-Д<^ + У<^ = 0, ¿1/|9п = 0, (5)
о
т.е. Мф £14721 выполняется тождество
J Уф) - 6дсИуф)с1х = 0 (6)
п
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МЕХАНИКИ
Приращение функционала (4) тогда запишет- = М ((ж^)2 + 2айгьУп ■ ¿ЫУпЛ +
ся в виде 2 .] V
гг
1(д + 6д) - 1(д) = / (сИуУ ■ (НубУёх + х
1 /■" '
+ 2 / = Д + /2. Оптимальное ап найдем из условия
^ 7Г/ \ Л р
Так как \\divSVW < ||*д||, где || • || - норма = / ! (¿ЫУпЛ)2йх = О,
в Ь2(р), то главная линейная часть приращения п п функционала есть первое слагаемое, т.е. в (7).
о
П
Пусть теперь функция ф в (6) является
обобщенным решением краевой задачи $ <ИуУп ■ йгубУп^йх
ап = __(14)
Аф = ф\ёп = 0. (8) " ¡{(Иу6УпА)2ёх
Тогда, сопоставляя (6) и получаем, что
Из уравнения (11) получаем
Д = ¿д ■ (Иуфс1х, „ „
п / (сИуУп(Иу8Упд)с?ж = / (Чфп, Ч8УП1)йх,
и, следовательно, градиент 1'(д) функционала П П
1(д) равен ёгуф, т.е. а из уравнения (13) следует, что
1'(д) = (Цуф. (9)
Опишем градиентный метод решения задачи (3)-(4). Пусть дп, (дп, 1) = 0, известно, тогда Уп определяется как решение задачи (3) с д = дп, т.е.
-Д К + =/, К|гп = 0. (10) Далее фп определяется как решение задачи
(V^n, VSVUil)dx = J{8qntidivipn)dx = п
-¡(di^fdx,
п
следовательно,
Ar/>n=VdivVn, фп\ёп (11) an = JJ^f;11' . (15)
|| divdVnii\\2
и, наконец,
Имеет место
дп+1 = дп-а^юфп, (12) Теорема. Пусть д0 е L2(tt) и (д0,1) = 0,
где а„ = const > 0. Заметим, что свойство тогда последовательность {V„,q„}, определен-
(g +1 1) = 0 сохраняется ная Условиями (М)-(12), (15), сходится к {и,р}
Покажем, что в равенстве (12) постоянную -решению задачи (2) в W\ xL2/R при п00.
ап можно выбрать так, чтобы Доказательство. Обозначим посредством
In+1 = I(gn+1) = I(an) = mm 1(a). Wn = Vn-V, a rn = gn -р. Очевидно, что Wn,rn
а>о и фп удовлетворяют системе уравнений
Обозначим Sqn,a = gn+1 - gn = -adivr/>n. Пусть _ + y = = y
°Vn,i решение задачи (16)
-A8Vnil + V8gni 1 = 0, = 0, (13)
тогда SVn a, в силу линейности задачи, предста-
rn+1 =rn- andivi)n
Рассмотрим
вимо в виде SVn>: = aSVn<1. J{v ^ _ = J{w ^ _ J(Wn) =
Рассмотрим функцию
1(a) = T2 j (div(Vn + aiVn)i)j dx = = j (div(Wn + anWn,i)J dx - j(divWn)2dx =
П
О методе решения уравнений Навье-Стокса
= 2ап J{<11уШп-(ИуШП11)йх-\-а2п J((ПуШп^У'йх,
гг гг
где 1 решение задачи
АРУпд + = 0, РУП)1|гп = 0.
Подставляя значение ап из равенства (15) и замечая, что сИьУ[Гп I = (НубУп I, получим
J(Vn+1) - J{Vn) = -
II divipn
\\divWnti\\2'
(17)
Так как
||di^„||4_ > \\divipn 114 > ||d^n||4
\\divWn<i\\2 ~ ||VW„,i
= | |с?гг>^„ то из (18) следует неравенство
J(Vn+1) - J(Vn) < -||^n||2.
(18)
(19)
Функционал ограничен снизу, поэтому по-
следовательность {J(Vn)} сходится как монотонно убывающая, отсюда ЦЛи^Ц —>■ 0 при п —>■ схэ, что следует из неравенства (19).
Из третьего соотношения (16) следует, что
||гп+1||2 = \ \гп\\2-2ап(гп, с1гу~фп) + а1\\с1гу~фп\\2 =
= ||гп||2-2ап||^РУп||2 + а2||^п||2. (20)
Из равенства (17) получаем ап\\сИу]¥п+1\\2 - ап\\сИу]¥п\\2 = -а2 |\сИуфп | |2, которое позволяет представить (20) в виде 11г«+1||2 =
= \\гп\\2 - ап(\\сИу]¥п+1\\2 + \\diyWnW2). (21)
Так как ап > 1, что следует из (18), то из равенства (21) следует сходимость монотонно убывающей последовательности {||г„||} и, следовательно, ее ограниченность, а также, что
ЦсЙ'-иРУпЦ —т> 0 при п —>■ схэ. Из первого уравнения (16) получаем, что \\VWnW2 = {-Гп^МуШп) < \\гп\\\\сИу]¥п\\^ 0
о
при п —>■ схэ, т.е. сходимость {Уп} к и в доказана.
Для доказательства сходимости последовательности {дп} к р в Ь2(р) воспользуемся свойством [5]:
\(д,^уУ)\ < С о вир , (22)
l|W||
где С о = const.
Первое уравнение (16) умножим на ф &\¥2. Имеем
\(гп,сИуф)\ = \{УШпУф)\. (23)
Разделим левую и правую части (23) на ||У</>||
о
и возьмем вир по всем ф еИ^1 в правой части. Получим
\{гп,сИуф)\/\\Уф\\<\\УШп\\.
Поскольку правая часть последнего неравенства не зависит от ф, то, используя (22), получаем
1Ы|<Со||УЖ||,
откуда следует сходимость последовательности {||г„||} к нулю при п —>■ схэ.
Приведенный алгоритм применялся для расчета течений, описываемых уравнениями Сток-са и Навье-Стокса при числах Рейнольдса Не = 100,200,400. Проведенные численные эксперименты показали высокую эффективность предложенного метода.
Литература
1. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М., 1984.
2. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М., 1981.
3. Кобельков Г.М. О численных ме-
тодах решения уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление//Вычислительные процессы и
системы: Сб. науч. тр. М., 1991. Вып. 8.
4. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М., 1970.
5. Кобельков Г.М. Об эквивалентных нормировках подпространств Ь2 // Analysys Mathematica. 1977. №3.
