Корректность одной математической задачи атмосферного электричества Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

КОРРЕКТНОСТЬ ОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ АТМОСФЕРНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСТВА

© 2009 г. АА. Жидков, А.В. Калинин

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]

Поступила в редакцию 01.02.2009

Рассматривается одна из математических моделей для описания квазистационарных электромагнитных полей в атмосфере. Предлагается и обосновывается итерационный метод решения рассматриваемой задачи.

Ключевые слова: математическая модель, атмосферное электричество, система уравнений Максвелла, электромагнитные поля, функциональные пространства, корректность, итерационный метод.

Введение

В атмосфере Земли происходят весьма сложные электрофизические процессы, приводящие к появлению электромагнитных полей. Учет электромагнитных полей является важной составляющей при изучении крупномасштабных и мезомасштабных атмосферных явлений. В частности, достаточно сложные конвективные механизмы приводят к инициации грозовых образований, при которых создаются высокие разности потенциалов как внутри грозового облака, так и между грозовым облаком и поверхностью земли. Хорошо известно, что между поверхностью земли и верхними слоями атмосферы поддерживается достаточно устойчивая разность потенциалов (порядка 300 кВ), что осуществляется за счет сбалансированного распределения в атмосфере Земли токов проводимости, заряженных частиц и ряда других явлений. В этом случае говорят о глобальной электрической цепи в атмосфере. Исследованию этих вопросов посвящена достаточно обширная литература [1-3]. Строго говоря, полная система уравнений, описывающая электрофизические процессы, должна включать в себя нелинейную систему уравнений, описывающих перенос заряженных частиц различной природы, и, собственно, систему уравнений Максвелла. Попытки математического и численного моделирования этих процессов отражены в литературе [1, 4-6], но построение полной теории ре-

ально протекающих процессов далеко от завершения.

В настоящей работе рассматривается лишь одна часть проблемы, связанная с определением электрических полей, в предположении, что задана так называемая объемная плотность сторонних токов, которая и концентрирует в себе всю информацию о сложных процессах переноса заряженных частиц. Определение электрических полей в этом случае является самостоятельной и важной задачей, и изучение соответствующих математических формулировок задач открывает, в свою очередь, возможность для анализа и нахождения объемной плотности сторонних токов в рамках известных методов решения обратных задач.

Для описания электромагнитных полей используется система уравнений Максвелла, имеющая в гауссовой системе единиц следующий вид:

ч 4п - . 1 dD(x, t)

rot H (x, t) = — J (x, t) +--------------, (1)

c c dt

- . 1 dB

rot E (x, t) =----, (2)

c dt

div B( x, t) = 0, (3)

div D( x, t) = 4np( x, t). (4)

Здесь x = (xbx2,x3)eQcR , Q - область, диффеоморфная шаровому слою в пространстве R3 с границей Г, состоящей из двух компонент

связности Г1 и Г2, диффеоморфных сфере в

R3, где Г - поверхность земли, Г2 - поверхность, ограничивающая верхние слои атмосферы; t е (0, Т) - время (Т > 0); с > 0 - скорость

света в вакууме.

Неизвестные функции

Н : Ох(0,Т) ^R3, Е:Ох (0,Т) ^R3,

В : Ох(0,Т) ^R3, б :Ох (0,Т) ^R3,

3: Ох(0,Т) ^R3 , р:Ох (0,Т) ^R1 в линейной теории связаны материальными соотношениями [7, 8]

В(х, t) = ц(х)Н(х, t), б(х, t) = в(х)Е(х, t), (5) 3( х, t) = с( х, t) Е (х, t) + 3 по( х, t). (6)

При моделировании электромагнитных процессов в атмосфере обычно полагается

в(х) = ц(х) = 1, х еО; (7)

при этом удельная проводимость с( х, t) может существенно зависеть от координат х е О. Помимо экспоненциального возрастания в целом при удалении от поверхности земли, удельная проводимость подвержена локальным изменениям в зависимости от температуры, химического состава и многих других факторов, детализация которых является отдельной задачей физики атмосферных явлений. В настоящей работе полагается, что а удовлетворяет условиям

0 <а*<а( х, t) <а*, х еО, t е [0,Т ].

При отсутствии возмущений в атмосфере при-

нято считать [9], что

с(x, t) = с0 • exp

x\ — R

0

\

h

(8)

где Ro - радиус Земли, h и Co - некоторые положительные постоянные.

Как отмечалось выше, Jпо - объемная плотность сторонних токов - считается известной функцией.

При моделировании электромагнитных полей в атмосфере во многих случаях используется квазистационарное приближение, в котором предполагается потенциальность электрического поля. Это эквивалентно предположению, что в уравнении (2) пренебрегается изменением во времени вектора магнитной индукции.

С учетом материальных соотношений (5), (6) в квазистационарном электрическом приближении задача для определения электрического поля запишется в виде

rot E( x, t) = 0, (9)

—E (x, t) + 4nc( x, t) E (x, t) + 4nJ по( x, t) = dt

= c rot H (x, t). (10)

Учитывая, что проводимость земли существенно превышает проводимость приземных слоев атмосферы и что проводимость атмосферы возрастает с ростом высоты по экспоненциальному закону (8), будем считать, что границы рассматриваемой области Q являются идеально проводящей средой, что соответствует заданию на границе Г следующих условий для тангенциальной компоненты напряженности электрического поля [7, 8]

ET (x, t) = 0, x еГ (11)

(для вектор-функции и , определенной на Q, приняты обозначения ип = (и • п), ип = ип • n , ит = и — ип , x е Г, где п - единичный вектор внешней нормали).

Предполагается, что функция E(x, t) удовлетворяет начальному условию

E(x,0) = E0 . (12)

В работе рассматривается вопрос о корректности задачи об определении напряженности

электрического поля E(x, t) и вихря магнитного поля rotH (x, t), удовлетворяющих уравнениям (9), (10), граничным условиям (11) и начальным условиям (12), где, как отмечалось

выше, J по( x, t) является известной функцией.

Следует отметить, что если E(x, t) найдено, то из (4) определяется плотность заряда р(x, t), а из обобщенного закона Ома (6) - электрический ток J (x, t).

Зная rotH(x,t), с учетом (3) и (5) при соответствующих граничных условиях можно найти и магнитное поле H( x, t) .

В работе также предлагается и обосновывается один итерационный метод решения рассматриваемой задачи.

1. Основные функциональные пространства и их свойства

Определим функциональные пространства, необходимые для строгой постановки задачи.

Через L2 (q) обозначается гильбертово пространство функций, суммируемых с квадратом в Q; через {L2 (q)}3 обозначается гильбертово

r 3

пространство вектор-функций и : Q^ R со скалярным произведением

(« • ^){І2(0)}3 = 1 (и (х) • Ъ(х)№.

Через Н ^О) обозначается пространство Соболева

Н \0) = | и є ^(О): дХ- є ^(О), / = 1, 2, 3 |,

являющееся гильбертовым пространством со скалярным произведением

(и • V)Н1(0) = Iи(х)у(х^ + £ -дvdx .

Н (0) 0 г=1 ^

Аналогично, через {н 1(0)}? обозначается пространство Соболева вектор-функций и : О ^ Я3 со скалярным произведением (и • V){н1(0)} =

Л Г дг7 5у ^

= (и • V^2(0)}3 +1

i=1

{L2(0)}3

+

J (rot й(x) • rot v (x))dx .

равной нулю на регулярной границе Г класса

о

C2, совпадает с H (rot; Q) [8, 10].

Через Ker(rot; Q) будем обозначать ядро операции rot :

Ker (rot; Q) = {и е H (rot; Q): rot и = 0}.

Ker (rot; Q) - замкнутое подпространство

{L2 (Q)}3 , которое является гильбертовым пространством со скалярным произведением, индуцированным {L2 (Q)}3.

о

Через Ker (rot; Q) обозначается класс функций и е Ker (rot; Q), для которых тангенциальная компонента на границе равна нулю.

Определим пространства rot H (rot; Q) и

rot{H 1(Q)j3:

rotH(rot;Q) = {и = rotv : v е H(rot;Q)},

Обозначим через H (rot; Q) следующее пространство:

H (rot; Q) = {и е {L2(Q)}3: rot и е {L2(Q)}3 } со скалярным произведением

(и • V)H(rot;Q) = j (и (x) • r(x))dx +

rot

H 1(0)}3

= \u = rotv :v є

H 1(0)}3

где включение rot и е {L2(Q)}3 понимается в смысле теории распределений, то есть существует функция g е {L2(Q)}3 такая, что для любой пробной функции П е {D(Q)}3 справедливо равенство

j (и (x) • rot n(x))dx = j (g(x) • n(x))dx ,

Q Q

при этом, по определению, считается, что g = rot и .

Для функций из пространства H (rot; Q), в

3

случае когда область Q с R - открытое ограниченное подмножество с границей Г класса

C2, может быть определено понятие следа тангенциальной составляющей на границе [8, 10]

W е H—1/2(Г).

о

Через H (rot; Q) обозначается замыкание пространства пробных вектор-функций {D(Q)}3 в H (rot; Q).

Может быть показано, что класс функций и е H (rot; Q) с тангенциальной компонентой,

со скалярным произведением

(и • w)rot = j (и (x) • v (x))dx.

Q

В [10] доказана справедливость следующих утверждений.

Лемма 1. rot {h 1(Q)j3 - замкнутое подпространство в {L2(Q)}3.

Лемма 2. Справедливо следующее разложение пространства {L2(Q)}3:

{L2 (q)}3 = rot{H 1(Q)j3 ® Ker (rot; Q),

причем пространства ортогональны. Справедлива

rot H 1(0)j3 и Ker (rot; O)

с

с

Лемма 3. rot{H 1(Q)j3 = rotH(rot;Q).

Доказательство. Очевидно, {h 1 (Q)}

с H(rot;Q), следовательно, rot{H1 (Q)}

с rot H (rot; Q).

Покажем справедливость обратного включения rot H 1(Q)j3 з rot H (rot; Q).

Предположим, что существует элемент

и е rot H (rot; Q) такой, что и g rot{H1 (Q)} . В этом случае справедливо разложение:

□

и = и + «2, Для каждой се C([0,T];Lx(Q)) и

где и е {L2(Q)}3 операция умножения с • и может

г?1 е rot H 1(Q)j3, рассматриваться как действие линейного огра-

о ниченного оператора

u2 е rotH(rot;Q) П Ker(rot;Q), «2 * 0. Ac (t): {l2 (q)}3 ^ {l2 (q)}3 ,

Поскольку Q)j3c{H 1(Q)j3 , то для произ- то есть c(t) •и = Ас (t)[и].

r ( 1 С учетом введенных функциональных про-

вольной функции v е C (Q)} выполняется странств задача (9)-(12) сводится к задаче оп-равенство r r ределения функций

(U2 • rotV){l2(Q)}3 = 0. (13)

Поскольку и2 е rot H(rot;Q) , вектор-функция

«2 представима в виде «2 = rot у (уе

е H(rot; Q)). Пространство Q)}

всюду

плотно в H(rot;O) [8, 1G], тогда существует dt

и начальному условию

E є C1([G, T ]; Ker (rot; O)),

F є C([G,T];rot H(rot;O)), удовлетворяющих уравнению

drrrr —E(t) + 4nAa(t)[E(t)] + 4n Jno(t) = F(t) (14)

последовательность {7k }”=l с {^1(O)j3 такая, что \vk -у||h(rot^O) ^ G при k ^<x>, и, следо- ^=G

E| g = Eg є Ker (rot; O), (15)

где Jno є C([0,T];{L2(O)}3) - заданная функция.

вательно, ||rotvk — rot y||{L (Q)}3 ^ 0.

Возьмем в (13) v = vk . Получаем 2. Корректность задачи (14), (15)

j (rot у(x) • rot vk (x))dx = 0 ,

о

В работе доказывается

переходя к пределу при k ^<х>, получаем Те°рема 1. Для любой заданн°й функции

j|roty(x)2dx = 0, Jn0 е C([0,T];{l2(q)}3) решение Iе,F} задачи

Q (14), (15) существует и единственно.

откуда следует «2 = rot у = 0 , что противоречит Доказательство. Введем операторы проек-

Л. тирования на ортогональные пространства

сделанному предположению. Утверждение

леммы доказано. Ker (rot; Q) и rot H (rot; Q):

о

Из лемм 2 и 3 следует P: {l2 (Q)}3 ^ Ker (rot; Q);

Лемма 4. Для пространства {l2(q)}3 спра- p± : {l2 (Q) }3 ^ rot H(rot- Q)

веддиво разложение в прямую сумму ортого- тт л г

Из леммы 4 следует, что для любого вектора

нальных пространств

3

{L2 (о)}3 = rot H (rot; O) © Ker (rot; O).

Лемма 5 [1G]. Справедливо равенство

йє {L2(O)}3 справедливо разложение

й = P[u] + P^[й].

Применяя оператор проектирования

з о

о ( ( .3 P: {L2(O)}3 ^ Ker (rot; O) к уравнению (14) и

Ker (rot; O) = {й є {L2(O)}3: й = grad p, 1 J

2 учитывая, что

| = уи е |^2(О)} :и =

р е Н 1(О), р = сonsti 1а еажап Г }.

Для банахова (и гильбертова) пространства функций Н определим пространство сильно непрерывных функций и : [0,ТН, которое получаем уравнение для нахождения Е :

P

dt

dt ’

обозначается С([0,Т];Н), и, аналогично, через —Е^) + 4ПРЛ (t)[Е^)] +

С1([0,Т ]; Н) обозначается пространство функций и е С([0,Т];Н), для которых определена + 4пР[3 ^)] = 0'

dt (16)

du

Покажем, что семейство операторов

сильная производная — є C([0,T];H). {PAa(t)}tW] сильно непрерывно по t , то есть

о

lim ||PAa (t + Лt) - PAa (t)|| = G,

Лt ^G

где || • || - операторная норма отображения PAc (t): {L2(Q)}3 ^(Q)}3. Пусть и е {L2(Q)}3 и ||w|| = 1, тогда ||PAc (t + At) — PAc (t )|| =

= sup ||(PAc (t + At) — PAc (t))[U]||{L2(Q)}3 .

Из неравенства Коши - Буняковского следует ||(PAc(t + At) — PAc(t))[«]||{l2(q)}3 <

— ||(Ac (t + At) — Ac (t)) [U]||{L2(Q)}3 <

J ((a( x, t + Лt) - a( x, t ))й (x))2 dx

Vo

< a(, t + Лt) -a(, t)

Lx (O)

J\й(x)| dx

Vo

'\ У2

<||a(, t + Лt) -a(, t )|

A» (O)'

E (t) = exp

- 4nP J Aa (^—

G

[EG]-

\

3. Итерационный метод решения задачи (14), (15)

Для решения задачи (14), (15) может быть использован итерационный метод.

Пусть E(0) = E0 е Ker(rot; Q). Определим

последовательность {е(1+1),F(1+1)}, j = 0,1,..., с помощью рекуррентных соотношений

—E(1+1) (t) + 4 пАс (t)[ E(1+1) (t)] + dt

+ 4п J n0(t) = F(j+1)(t),

E(j+У)(0) = E0,

F(j+У) (t) = 4nP x [ Aa (t)[ E(j) (t)]] +

+ 4nP x [ J n0(t)].

(19)

(2G)

Поскольку с е C([0,T];Lx(Q)), то из полученных оценок следует ||PAc (t + At) — PAc (t{L2(Q)}3 ^ 0 при At ^ °.

Используя известные результаты о разрешимости линейных операторных уравнений [11], зао

1

ключаем, что решение E е C ([0,T ]; Ker (rot; Q)) уравнения (16) с начальными условиями (15) существует и единственно, и может быть записано формулой

( t ^

Справедливо следующее утверждение: Теорема 2. Рекуррентные соотношения (19),

(20) однозначно определяют последовательности функций

о

E(1+1) е C1([0,T ]; Ker (rot; Q)),

F(1+1) е C([0,T];rotH(rot;Q)),

о

при этом E(1+1) ^ E в C1([0,T ]; Ker (rot; Q)), F(1+1) ^F в C([0,T];rotH(rot;Q)) при

1 ^ да , где E , F - решение исходной задачи (14), (15).

Доказательство. Основываясь на формуле (17), решение уравнения (19) можно записать в

(17) следующем виде:

— 4п j exp 4nP j Ас (%)—% P[ Jn0(x)]dx.

0 V t у

Здесь exp А - операторная экспонента, задаваемая формулой

да 1

exp А[-] = £ - Ап [•].

п=0 п!

При этом вектор-функция F(t) определяется единственным образом по формуле

F(t) = 4nPх[Ас (t)[E(t)]] + 4nPх[ Jn0(t)]. (18) Следует отметить, что теорема 1 может быть доказана для случая нелинейного семейства операторов AC(t) при дополнительном предположении о липшицевости данного семейства. В этом случае для доказательства могут быть использованы, например, результаты, приведенные в [12].

- 4nj Ас (%)—%

E(1+1)(t) = e 0 [E0] +

т

t 4nj Ас (%)d%

+ j e t [F(1+1) (т) — 4nJn0(x)]dx .

0

Оценим норму разности функций E(1)(t) на

первом и нулевом шагах:

E (1)(/) - E (0)(/)

Ker (rot;O)

f t ^ -4nJ Aa (§d 0 -1

v

[Eg] +

t 4nJ Aa

+ J e t [F(1) (т) - 4J п0(т)]—т

G

Ker (rot;O)

О

Т

Т

4nJ Aa

<

<J

[ F(1) (т) - 4J п0(т)]—т

{L2(O)}3

4nJ Aa > t

F(1) (т) - 4nJ no(T)

{L2(O)}3

—T.

Оценим

F(1) (т) - 4nJ no(T)

{L2(O)}3

из формулы (2G)

F(1) (т) - 4nJ no(T)

{L2(O)}3

4nPJ

Aa (Т)[ E(G)]

+

+ 4nP x[ J no(T)] - 4nJ no(T)

{L2(O)}3

<

< 4n

< 4nl 2a

p % (т)[ E(G)] P[ J П0(т)]

E(G)

+

{L2(O)}3 <

+

{L2(O)}3 Таким образом, получаем

E (1)(t) - E (G)(t)

< 4rceWT J( 2a*||E,

{L2(O)}3

P[ J n0(T)]

+

{L2(O)}3 J

+

P[ J no(T)]

0 < Ker (rot;O)

01 {L2(O)}3 + dT <

{L2(O)}

< 4ne4na TI 2a*TEG. .3 +

II Gll{L2(O)}3

+

T

J P[ Jn0(T)]

\

{L2(O)}3

= Cg(T ).

Оценим норму разности E(2) (t) и E (1)(t):

E (2)(t) - E (1)(t)

Ker (rot;O)

4nJ Aa

[ F (2)(т) - F (1)(т)]—т

{L2(O)}3

< e 4na*T J F(2)(T) - F(1)(T)

{L2(O)}3

Для

F (2)(т) - F(1) (т)

{L2(O)}

3 справедливо

следующее неравенство

F (2)(t) - F (1)(t)

Исходя из вида оператора Ла (X), можем получить следующую оценку:

т

4п1 Ла * *

< 4лст (х—) < 4лст Т

{L2(O)}3

4пР х [ Aa (t)[ E (1)(t) - E (G)(t)]]

{L2(O)}3

< 4na*C0(T).

. Исходя

< 4па* Е(1)(х) - Е(0)(х)

Кег (гс^;О)

Таким образом, получаем оценку

о < 4гса*е4™ТС0(Т) • X.

Кег (го^О) 0

С помощью метода математической индукции может быть показано

E (2)(t) - E (1)(t)

E(J+1)(t) - E(J)(/)

I о < 4nc*e4nc*TC0 (T)—.(21)

ii ilKer(rot;Q) 1'!

Отсюда следует, что последовательность {E(1 )(t)} фундаментальна в гильбертовом про-

о

странстве Ker (rot; Q), то есть она сходится к

о

E(t) е Ker (rot; Q). Из неравенства (21) также может быть получена равномерная сходимость данной последовательности, откуда следует

непрерывность по t функции E(t) [11, 13].

Сходимость

dE (t) dt

и непрерывность по t полу-

чается из равенств (19) и (20).

Равномерная сходимость последовательности

{Р(1) (X)} очевидным образом следует из сходимо-{Е(1) (X)}. Таким образом, теорема 2 доказана.

сти

Работа выполнена при финансовой поддержке в рамках программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» (регистрационный номер 2.1.1/3927).

Список литературы

1. Морозов В.Н. // Прикладная метеорология. Вып. 7 (555). СПб.: Гидрометеоиздат, 2GG6.

2. Давыденко С.С., Беспалов П.А. // Геомагнетизм и аэрономия. 2000. Т. 40. № 2. С. 71-77.

3. Hays P.B., Roble R.G. // J. Geophys. Res. 1979. Part I. V. 84. № A7. P. 3205-3305.

4. Illingworth A.J. and Latham J. // Journal of the Atmospheric Sciences. 1975. V. 32. P. 2206-2209.

5. Hager W.W., Nisbet J.S., Kasha J.R., Shann W.-C. // Journal of the Atmospheric Sciences. 1989. V. 46. № 23. P. 3542-3558.

J

e

G

G

Т

G

*

G

G

t

J

e

G

6. Browning G.L., Tzur I., Roble R.G. // Journal of the Atmospheric Sciences. 1987. V. 44. № 15. P. 21662177.

7. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1989.

8. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.

9. Mareev E.A., Anisimov S.V. // Proc. 12th Int. Conf. on Atmospheric Electricity, Versailles, 2003. P. 797-800.

10. Темам Р. Уравнения Навье - Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.

11. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. М.: Наука, 1967.

12. Гаевский Х., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

13. Шварц Л. Анализ. М.: Мир, 1972.

CORRECTNESS OF ONE MATHEMATICAL PROBLEM OF ATMOSPHERIC ELECTRICITY

A.A. Zhidkov, A. V. Kalinin

One of mathematical models developed to describe quasi-stationary electromagnetic fields in the atmosphere is considered. An iteration method for the solution of the problem considered is proposed and proved.

Keywords: mathematical model, atmospheric electricity, Maxwell equations, electromagnetic fields, functional spaces, correctness, iteration method.