Взаимосвязь объемных и поверхностных вихреобразований и их потенциалов в гидромеханике Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том XXXVI

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2 00 5

№ 3 — 4

УДК 532.527

ВЗАИМОСВЯЗЬ ОБЪЕМНЫХ И ПОВЕРХНОСТНЫХ ВИХРЕОБРАЗОВАНИЙ И ИХ ПОТЕНЦИАЛОВ В ГИДРОМЕХАНИКЕ

М. А. ГОЛОВКИН

Выведены условия замкнутости поверхностных и объемных вихревых образований. Проведен анализ свойств скалярного и векторного потенциалов от вихрей, распределенных по объему или поверхности. Получена интегральная связь между скалярным и векторным потенциалом для вихревого объема и гидродинамическим импульсом. Дано гидродинамическое обоснование вихревой модели в виде объемных и поверхностных вихрей, используемой для моделирования вращательного движения трехмерного тела. Получено выражение для векторного потенциала от системы объемных и поверхностных вихрей, удовлетворяющих условиям замкнутости, в виде интеграла по объему, аналогичное формуле Био — Савара для скорости от завихренной области, при этом выражение для скорости аналогично выражению для вектора завихренности. Показано, что скалярный потенциал на внешней поверхности от такого распределения завихренности постоянен вдоль этой поверхности, что значительно облегчает нахождение распределения давления.

В работах [1], [2] для двумерных течений введены объемные вихри постоянной интенсивности, заполняющие внутреннюю область тела, совершающего поступательное и вращательное движения. В случае трехмерного тела при распределении внутри него объемных вихрей постоянной интенсивности встает вопрос о замыкании этих вихревых образований. Для частного случая вращающейся относительно своей оси сферы такой пример содержится в [3]. Автором в работе [4] для трехмерной задачи было найдено решение для замыкания таких объемных вихрей постоянной интенсивности и дано выражение для вектора поверхностной завихренности. Позже в книге [5] в упражнении на стр. 172 автором обнаружено специальное выражение для векторного потенциала от объемного (необязательно постоянного по объему) и поверхностного распределения завихренности с предложением показать, что этот векторный потенциал соответствует завихренности всюду в объеме, ограниченном такой поверхностью. Поэтому в данной работе исследована взаимосвязь объемных и поверхностных вихреобразований и их потенциалов в механике идеальной жидкости.

1. Некоторые следствия из теоремы Остроградского — Гаусса. В дальнейшем будем пользоваться теоремой Остроградского — Гаусса в ее изначальном (1.1) и обобщенных (1.2),

(1.3) видах [7]:

[ А -пё с = Аё т,

(1.1)

[ (п х А)ёс = го! Аёт,

(1.2)

с т

(1.3)

где с — некоторая поверхность, ограничивающая объем т; n — внешняя нормаль к поверхности с. На вектор A и скаляр ф накладываются условия существования и непрерывности как самих этих функций, так и их производных на с и внутри т.

Выведем некоторые важные следствия из теоремы Остроградского — Гаусса, которые будут использоваться в дальнейшем.

А) Пусть некоторая векторная функция u может быть представлена в т и на с как

u = grad ф (1.4)

и как

u = rot A. (1.5)

В виде (1.4), (1.5) в гидродинамике может быть представлена скорость от завихренной области вне этой области. Тогда, подставляя эти соотношения в (1.2), (1.3) и приравнивая их, получим

[jj фпdc = [jj (n xA)dс. (1.6)

с с

Выражение (1.6) в дальнейшем будет использоваться для исследования свойств потенциалов и установления связи между скалярным ф и векторным A потенциалами от вихревых особенностей. В двумерном случае векторный потенциал имеет вид

A = ky, (1.7)

где k — орт вдоль оси OZ, а у — в гидродинамике — функция тока. Тогда в плоскости Oxy (1.6) приобретает вид

[^ф ndi = |jj( n x A) d i или |^ф ndi = [jjyid i. (1.8)

it i i

Здесь I — некоторый замкнутый контур в плоскости Oxy, I, n — единичные векторы касательной и нормали к этому контуру, A — определяется из (1.7).

Б) Выведем теорему Остроградского — Гаусса на поверхности. Пусть х1 — обобщенные криволинейные координаты [7] на некоторой незамкнутой поверхности S, ограниченной

некоторой линией L с направляющим вектором L, причем координатная линия х1 направлена по

нормали n0 к S. Выделим вокруг S некоторый объем т с малой толщиной в = сх1 так, что сверху

он будет ограничен поверхностью S1, снизу - S2, сбоку — S3. Пусть в объеме Л1 = 0,

дЛ2 / dx1 = дЛ3/ dx1 = 0, где Л проекции некоторого вектора A на обобщенные криволинейные

2 3

координаты. Таким образом, и Л , и Л , и div A, записанная в обобщенных координатах,

2 3 тт

зависят только от поверхностных координат x , x . Применим (1.1) к объему т, ограниченному

поверхностью с = S1 uS2 uS3. С учетом того, что jjA • ndS1 = jj A • ndS2 = 0,

S S2

получим: jjj div Adт = jj A -ndS3. Запишем элементарные объем и площадь в виде dт = BdS,

т S3

dS3 = BdL. При том, что в div A = div (Ab) - grad в-A и grad в-A = 0, последнее интегральное выражение преобразуется к виду

jj div (bA ) dS = |J](bA )• NdL, (1.9)

где N — нормаль к Ь, лежащая в плоскости, касательной к поверхности 5'. Вектор В = вЛ можно трактовать как вектор поверхностной плотности (конечный вектор, равный пределу при стремлении в ^ 0, |Л| ^ да), тогда (1.9) можно представить в виде

Ц ^ Вё« = ф В • ШЬ. (1.10)

« Ь

Но N = Ь хПо, тогда с учетом свойства смешанного произведения В •(Ь х По) = (В х Ь)• по = = (п0 х В)• Ь из (1.10) получаем другой вид формулы Остроградского — Гаусса для поверхности:

ЦВё« = ф(п0 хВ)• ёЬ. (111)

« Ь

Выражение для div«В в обобщенных поверхностных координатах здесь не приводится. Оно может быть легко получено из выражения для дивергенции в обобщенных трехмерных криволинейных координатах (см., например, [7]) с учетом того, что в этих координатах компонента 51 вдоль координатной линии х1 равна нулю.

Пусть на замкнутой или разомкнутой поверхности div«В = 0. Тогда из (1.10), (1.11)

следует, что для любых участков «1 и «2 поверхности « = и «2

ЦdivБ ВёБ = -]У div« ВА«. (112)

«1 «2

Для контуров Ь1 и Ь2, ограничивающих эти поверхности, в этом случае из (1.10), (1.11) получим

ф(п0 хВ)• АЬ = -ф(п0 хВ)• АЬ, фВ• NdЬ = -фВ• ^Ь. (1.12')

Ь1 Ь2 Ь1 Ь2

В) Установим локальную связь между объемным и поверхностным векторами. Как и в предыдущем подпункте, выделим вокруг « некоторый объем Т с поверхностями «1, «2, «3 с малой толщиной в. Будем считать, что поле вектора Л равно нулю в верхней части объема т, отрезаемого поверхностью «. Причем, поле вектора Л в нижней части объема, отрезаемого поверхностью «, таково, что его нормальная к « компонента уменьшается до нуля при стремлении к компонента же вдоль «, обозначаемая Л«, увеличивается при стремлении к «. Потребуем, чтобы поток вектора Л

через поверхность с = «1 и «2 и «з был равен нулю. Тогда, с учетом того, что ё«з = вёЬ,

получим Я Л+ • пё«2 =-ф(вЛ« )• NdЬ, где нижний индекс «+» соответствует значению вектора Л на

«2 Ь

«2. Вводя обозначение В = вЛ«, при стремлении в ^ 0, |Л«| ^ да, получим, опуская в дальнейшем индекс «+» у вектора Л:

Ц Л • п0ё« = - ф В • NdЬ, (1.13)

« Ь

либо

Л Л • п0 ё« = - ф( п0 х В )• ёЬ. (1.14)

« Ь

Выражения (1.13) и (1.14) означают, что суммарный поток вектора A через поверхность S и «поток» вектора B через контур L, ограничивающий поверхность S, равен нулю.

Из сравнения (1.10), (1.13) или (1.11), (1.14) следует:

JJ divs BdS = -JJ A • n0dS, (115)

S S

или

divS BdS = -A • n0dS. (116)

Таким образом, локальным источником или стоком поверхностного вектора B на S является поток объемного вектора A через эту поверхность S.

2. Связь векторного и скалярного потенциалов для трехмерного объемного распределения завихренности. Будем рассматривать случай, когда нормальная компонента завихренности

к поверхности S, ограничивающей объем G+, где распределена завихренность Q, равна нулю. Область вне G+ и S будем обозначать G_. Внутреннюю сторону поверхности S при стремлении к S из G+ будем обозначать S+, внешнюю — при стремлении из G_ будем обозначать S_. Соответствующие значения функций при стремлении к S+ из G+ будем обозначать нижним индексом «+», а при стремлении из G_ к S_ — индексом «_».

Пусть в конечной области G+ распределены объемные вихри с интенсивностью

Q = rot u в G+, (2.1)

таким образом, что на поверхности S, ограничивающей G+, соблюдается условие

Q-n = 0, (2.2)

где n — внешняя нормаль к S. Как известно [5], в этом случае скорость, индуцируемая этим объемным распределением, как в G+, так и во внешней по отношению к G+ и S области G_, может быть найдена из равенства

u = rotA = — JJJ —X^ dG+, (2.3)

G+

где

A = — JJJ - dG+ (2.4)

4^JJJ R

есть векторный потенциал, удовлетворяющий при условии div А = 0 в G+ векторному уравнению Пуассона V2Ай - , а в G_ — векторному уравнению Лапласа V2 А = 0;

R = ^(х _ х0 )2 +(у _ у0 )2 +(г _ 20 )2 ; (х0, у0, ^0 ) — точка, в которой вычисляется А;

(х, у, г) — точка, принадлежащая G+.

Используя разложение 1/R при стремлении точки (х0, у0, г0) к бесконечности, можно получить следующее выражение [6] для векторного потенциала (2.4):

A(r0)~_~тr0 х 1 + 0(г03), (2.5)

4лг03 v '

V2 2 2

х0 + y0 + z0 , I — введенный в [5], [6] гидродинамический импульс:

I =¿ jjj irx HG, j = k + y + z , r = л]x2 + y2 + z2

2 G+

(2.6)

Потенциал скорости в области 0- может быть найден, например, путем взятия интеграла по любому пути в G_ от скорости (2.3). При стремлении точки (х0, у0, г0) к бесконечности он может быть представлен в виде [6]:

Рассмотрим объем т, образованный внешней по отношению к объему G+ поверхностью S_ и некоторой поверхностью сферы ^ радиуса т0), окружающей тело, при г Применяя к

поверхности этого объема (1.6), получим:

Проинтегрируем правую часть в (2.8), для этого выберем сферические координаты Огф0 таким образом, чтобы ось г была направлена по I. С учетом того, что на сферической поверхности 50

Выражение (2.9) соответствует интегралу от скорости по всему объему G = G+и G-, ограниченному сферой бесконечного радиуса и приведенному в [6], и совпадает с ним. Подставляя (2.9), (2.10) в (2.8), получим:

Выражение (2.11) устанавливает связь между скалярным ф и векторным потенциалом А на внешней поверхности S _ объема G+, заполненного объемными вихрями □, и гидродинамическим импульсом I. Следует иметь в виду, что нормаль п в (2.11) направлена внутрь объема G+, так как

в (1.6) и в (2.8) рассматривается внешняя нормаль к объему т. Выражение (2.11) может быть использовано, например, для нахождения силы, действующей на тело, внутри которого распределены объемные вихри, через интеграл Коши — Лагранжа, поскольку оно выполняется и в случае, если от него взять частную производную по времени.

3. Случай трехмерного объемного и поверхностного распределения завихренности. В [5] введен векторный потенциал:

1 • г0 + О

(2.7)

(2.8)

нормаль n = r0/r0, dS0 = r02 sin 0d0dф, x0 = r0sin 0 cos ф, y0 = r0 sin 0 sin ф, z0 = r0cos 0, получим, выполняя интегрирование по ортам i, j, k, а потом складывая:

(2.9)

(2.10)

(2.11)

S_

S_

(3.1)

где

и = го! А в G+ и G-, (3.2)

О = го!и = го!го!А в G+, й = 0 в G-, (3.3)

5 — поверхность, ограничивающая объем G+, по которому распределены объемные вихри О; определение Я аналогично подпункту 2; п - внешняя нормаль к S, и+ — значение скорости (3.2)

на 5+. Очевидно, что вектор п х и + можно рассматривать как вектор поверхностной

завихренности:

у = п х и+. (3.4)

Из (3.1), (3.2) может быть получено известное выражение для скорости, индуцируемой объемными О и поверхностными вихрями у:

и=¿/Я

йх1 ггухR

-dG-----11

Я2Я>. (3.5)

4л ^ Е3 4л ^ Е

в+ 5

Как известно, первый интеграл в (3.5) и его проекции непрерывны при переходе через 5. Составляющие второго интеграла при переходе через 5 ведут себя следующим образом: нормальная к 5 компонента существует в смысле главного значения Коши и непрерывна при переходе че-

рез компонента, касательная к 5 и направленная вдоль у, непрерывна при переходе через компонента, касательная к 5, но ортогональная к у, претерпевает разрыв, равный — у (3.4).

Докажем, что эти объемные О и поверхностные у вихри удовлетворяют соотношениям

(1.13), (1.14). Применяя (1.13), (1.14) к этим векторам, получим:

// й • пА5' = -[| у • ШЬ', (3.6)

5 ' Ь'

// й+ • п dS' = -ф( п х у )• АЬ ' , (3.7)

5' Ь'

где 5 ' — элемент поверхности 5, а Ь' — контур, его ограничивающий; N — нормаль к Ь',

лежащая в плоскости, касательной к 5' . Подставим (3.4) в правую часть (3.7) и воспользуемся

свойством двойного векторного произведения: п х (п х и+ ) = п (п • и+ ) - и+ (п • п). Тогда получим:

-^(пх )-У = ф + Ь/ '.

ь ' ь '

Таким образом,

• пА5' = |ф и+ • dL,

5 ' Ь'

что соответствует выполнению формулы Стокса в G+ на 5+. Этот же результат может быть получен

и из соотношения (3.6). Поскольку формула Стокса в G+ вплоть до 5+ выполняется в силу

непрерывности входящих в нее функций, то отсюда следует, что О и у удовлетворяют условиям

(1.13), (1.14).

Выражения (3.6), (3.7) означают, что суммарный поток вектора О через поверхность 5 ' и вектора у через контур Ь', ограничивающий поверхность 5', равен нулю. Тогда из (1.15), (1.16)

следует:

jj div^ ydS' = - jj Й+• ndS' или div^ jdS' = -Й • ndS' . (3.8)

S ' S'

Выражение (3.8) отражает тот факт, что локальным источником или стоком поверхностного вектора у на S' является поток вектора Q через эту поверхность.

Сведем (3.1) к объемному интегралу. Проделаем это, воспользовавшись теоремой

Остроградского — Гаусса в виде (1.2), применив ее ко второму интегралу в (3.1). С учетом того, что rot (1/R u) = (1/R) rot u + grad (1/R) x u, получим:

--1 jjdS = - -! jjjrotidG = ^-L jjjf roiiu + gradi x u]dG. (3.9)

4л JJ R 4л JJJ R JJJ ^ R R )

S G+ G+

Подставляя (3.9) в (3.1) и учитывая, что grad l/R = -r/R3, будем иметь:

A^fR^- (3,0)

G+

Следовательно, выражение (3.10) для векторного потенциала A аналогично с точностью до знака формуле (2.3) Био — Савара для скорости, индуцируемой объемным распределением вихрей, но вместо вектора завихренности в (3.6) стоит скорость u. Очевидно, из (3.2), (3.3), (3.10) могут быть записаны следующие выражения для скорости и завихренности:

u = — rot fff —^dG, (3.11)

4л JJJ R3

fi = rotu = ^~ rot rot JJJ—"3~ dG в G+. (3.12)

G+

Таким образом, скорость может быть определена как из выражения (3.5), так и из (3.11). Так как (3.11) аналогично выражению для вектора завихренности, определяемого формулами (2.1),

(2.3), (2.4), то в G+ существует векторный потенциал B = —— fffUdG+, удовлетворяющий

4л R

G+

TT 2

векторному уравнению Пуассона V B = и. Кроме того, из этой аналогии следует, что при заданном распределении и в G+ значение интеграла определяется значением и в заданной точке (x0, y0, z0)е G+. Для непрерывности вектора Q, определяемого из (3.12), необходимо, чтобы функция и в G+ удовлетворяла условиям Липшица, т. е. чтобы существовали частные производные от и по координатам.

Исследуем поведение векторного потенциала (3.1) при стремлении точки (Хо, Уо, zo), в которой он вычисляется, в бесконечность. Раскладывая в ряд 1/R аналогично [6], можно получить следующее выражение для (3.1):

A(f0) f YdG -¿ЪЯ * +¿Ьtff( о •) G¿зЯ( »•) dS +0(ro-3)■ (313)

0 G+ 0 S 0 G+ 0 S

где радиус-вектор Г0 — такой же, как в (2.5); значение Q определяется согласно (3.3) или

(3.12), а величина у — согласно (3.4). Применив ко второму интегралу в (3.13) формулу (1.2), получим:

JJYdS=JJ n хu+dS = JJJrot udG = JJJ fidG,

S '

откуда следует, что сумма первых двух интегралов в (3.13) равна нулю. Преобразуем третий интеграл с использованием формулы rot (ab) = a rotb + (grad a)x b, тогда:

jjj( r0 i ) dG = fij r [( rou ) ] dG+-

gftdr (r0 • i)x dG+. (3.14)

G+ G+ G+

Первый интеграл в правой части (3.14) с использованием (1.2) сводится к виду:

jjjrot[(ro •r)u]dG = jjnx[(ro •r)u+]dS = jj( r0 • r) dS. (3.15)

G+ S S

Второй интеграл в (3.14) с учетом того, что в выражении grad (ro • r ) = ( ro • grad) r +

+(r • grad) ro + ro x rot r + r x rot ro три последних слагаемых равны нулю, преобразуется к виду:

-jjj grad ( ro • r )x udG = -ro xjjjudG = ro xJ, (3.16)

G+ G+

где

J = jjj u dG+. (3.17)

G+

Таким образом, с учетом преобразований, проделанных выше, подставляя (3.14) — (3.17) в (3.13), получим:

A (ro ) ~--Ц- ro x J + O (ro-3 ). (3.18)

4%ro

Из (3.18) в соответствии с [6] может быть получено выражение для скалярного потенциала, обусловленного объемным и поверхностным распределением завихренности, аналогичное (2.7):

9(ro ) ~ --1У J • ro + O (Г-3 ). (319)

4^ro

Проведя преобразования, совершенно аналогичные (2.8) — (2.10), можно получить

соотношение, подобное (2.11), связывающее скалярный и векторный потенциалы на внешней

поверхности S- объема G+:

j 9ndS - jjn x AdS = J. (3.2o)

S- S-

Здесь так же, как и в (2.11), в левой части (3.20) нормаль направлена внутрь объема G+, так

как для объема т в (2.8) и в (1.6) рассматривалась внешняя нормаль, в этом предположении получена и правая часть (3.20). Поэтому, изменяя в левой части знак, выражению (3.2o) придадим вид:

-j9ndS + jjn x AdS = J. (3.21)

S- S-

Подставляя в (3.21) выражение (3.17), с учетом теоремы Остроградского — Гаусса в виде (1.2), получим, что j 9ndS равен нулю.

Докажем это, исходя из свойств скорости и потенциала на поверхности S_. Действительно, скорость на S+ определяется выражением (3.11). Пусть u+= un+ + us + — ее значение в некоторой точке поверхности S+, u s + — ее составляющая на плоскость, касательную к S в этой точке, а un+ — ее составляющая на нормаль к поверхности S в этой точке. Тогда в соответствии с (3.4) вектор завихренности на S будет выражаться как у = n х u += n х u s +, а в соответствии со свойством скорости, индуцируемой поверхностным интегралом в (3.5), скорость при стремлении к поверхности S- со стороны объема G_ будет выражаться как u s_ Y u s + + n х . Но в силу свойства двойного векторного произведения ny; It Xl( IX S +) № n( u- S + )*_ s +1( n' ) =_ S +, откуда следует us -= 0. Таким образом, касательная скорость на внешней поверхности S-, индуцируемая указанным объемным и поверхностным распределением завихренности, определяемая выра-

жением (3.5), либо (3.11), равна нулю. Поскольку потенциал ф на S-, обусловленный указанным объемным и поверхностным распределением завихренности, определяется с точностью до константы и может быть вычислен как интеграл от скорости по любому пути,

ф = ! u_dL + const, то выбирая путь L, лежащий на S-, получим ф = ! u s 'dL + const = const.

L L

Тогда, как известно, ! фпdS = const ! ndS = 0, что и требовалось доказать.

S_ S_

Итак, скалярный потенциал ф на внешней поверхности S_ от объемного Q и поверхностного у распределения завихренности постоянен вдоль этой поверхности S_. Таким образом, (3.21) в рассматриваемом случае свелось к тривиальному выражению, соответствующему (1.2):

!! n х AdS = !!!rot AdG.

S_ G+

Случай вращения завихренной области как твердого тела. Рассмотрим, как

трансформируются полученные в данном подпункте результаты и соотношения в случае, когда объем G+ вращается как твердое тело. Тогда скорость и завихренность в G+ согласно (3.11),

(3.12):

uct IX в G+, (3.22)

fi = rotu = 2ю в G+, (3.23)

а вектор поверхностной завихренности (3.4) преобразуется к виду:

у = n х(ю х r). (3.24)

В (3.22) — (3.24): ю — угловая скорость вращения объема G+ ; определение радиуса-вектора r такое же, как в (2.6). Тогда вектор J (3.17), входящий в (3.18) — (3.21), может быть записан в виде:

2!!!

ш-НИ хив = -

в+

где I — гидродинамический импульс, определяемый выражением (2.6), в котором О дается выражением (3.23). Очевидно, что и в этом случае объемные О и поверхностные у вихри будут обладать указанными выше локальными свойствами (3.6) — (3.8). Кроме того, поскольку в рассматриваемом случае завихренность О (3.23) постоянна по объему в+, то в соответствии с

(1.1): Я п • пА« = 0, тогда для любых двух поверхностей и «2, «+ = и «2 :

«+

Я п • пА8 = - Я “ • пА8. Из этого также следует, что в соответствии с (1.15), (1.11) — (1.12):

S- S2

Ц^ ydS = -ЦdivS ydS, ф(п ху)-dL = _ф(п ху)-dL, ^у • NdL = -^у • NdL,

Sí S2 ¿1 ¿2 ¿1 ¿2

где —', ¿2 — контуры, ограничивающие поверхности Sí и S2 , S = Sí и S2, N — нормаль к ¿2,

лежащая в плоскости, касательной к поверхностям Sí, S2 .

Очевидно, что и в этом случае вращения завихренной области как твердого тела потенциал ф на внешней поверхности S_ постоянен и не влияет на распределение давления в соответствии с интегралом Коши — Лагранжа при изменении его по времени.

Для рассматриваемого случая вращения завихренной области как твердого тела сведем объемный интеграл в (3.1) к поверхностному, вычислять который бывает удобнее. Для этого перепишем (3.1) в виде

A = Aí + A2, (3.25)

где

^ = — ГГГ—dG, A2 =_— ГГ ^ dS. (3.26)

1 4я^ Я 4я" Я

G+ S

Преобразуем ГГГ~dG, используя теорему Остроградского — Гаусса в виде (1.1). Пусть Я

Ж1 дС дС у дС 1

—dG = Ыгу CdG, где div C = —— +------------------------------------------------------------— +- = —. Найдем вектор ^ для этого положим

Я -Ш дх ду д- Я

G+ G+ *

дСх _ дСу дС2 11 _ , _ гдСх

. Тогда первообразная функция Сх = Г——-Ах =1 Г—Ах = 11п |(х - х0 ) + Я|

дх ду дг 3 Я х 3 дх 3^ Я 3 ^ 0; 1

х х

и аналогично Су = 11п |(у - уо ) + Я|, С2 = 1-1п |(г - г0) ) + Я|. Непосредственной подстановкой

убеждаемся, что при этом соотношение div C = 1/Я будет выполнено. Таким образом, C = i Сх + jCy + ^2. Используя (1.1), получим:

Ж R

—dG =

R

G+

+ (3.27)

= - jj[ln|(х - х0 ) + r| cos(n, x) + ln |(y - y0 ) + r| cos(n,y)+ln |(z - z0 ) + r|cos(n,z)JdS.

3 S

Таким образом, соотношения (3.25) — (3.27) позволяют вычислять векторный потенциал A от объемного и поверхностного распределения завихренности только через поверхностные интегралы.

4. Двумерные течения. Пусть в области G+ распределены объемные вихри с плотностью Q. Область вне G+ будем обозначать G_. Начало декартовой системы осей координат Oxy

поместим внутри области G+. Как известно [8], потенциал ф в области G- удовлетворяет 2

уравнению Лапласа V ф = 0 и может быть представлен в виде:

ф = А_ J[Q0dG+ + C1, (4.1)

2П G+

где C1 — некоторая константа, 0 = arctg [(y - y0 )/(x -x0 )], (x, y)e G+, (x0, y0 )e G- — точка, в которой вычисляется потенциал ф. Функция тока [8] как в G+, так и в G- может быть представлена в виде:

у = [|Ъ ln-1 dG++ C2, (4.2)

2nJJ R

G+

где C2 — некоторая константа, R = ^(x - X0 )2 + (y - У0 )2 . Функция тока у удовлетворяет в G+

2 2 уравнению Пуассона V y = -Q, а в G- — уравнению Лапласа V у = 0. Как известно, если

ввести обозначения: x = r cos 0, y = r sin 0, x0 = r0 cos 00, y0 = r0 sin 00, r = -y/ x2 + y2,

r0 = д/x02 + y02, 00 = arctg(y0¡x0), то разложения 0 и lnR по малым параметрам x/r0, y/r0 при Г) ^ да дают следующие выражения для ф и у:

ф = І00 I Г1 sinе0 Г2 C0s60 + Г3 sin2e0 Г4 COS260 + (4 3)

2п 0 2п r0 2п r0 2п г02 2п г02 ’

_і01п r + Г1 c0S00 + Г2 Sin00 + Г3 cos200 + Г4 Sin200 + (44)

2п 0 2п r0 2п r0 2п Г()2 2п Г()2 ’

Г0 = JJ QdG+, Г1 = JJ QxdG+, Г 2 = JJ QydG+

G+ G+ G+

Г3 = JJq (x2 _ y2 ) dG+, Г4 = JJ QxydG+.

G+ G+

Здесь Го — циркуляция скорости u = grad ф, обусловленная обходом области G+ по замкнутому контуру I _; Г^ Г2 — аналогичны моментам первого порядка в гравитационном потенциале [8]; Г3, Г4 — аналогичны соответствующим осевому и центробежному моментам инерции.

Если обозначить через I длину односвязного замкнутого контура в G-, не охватывающего G+, то к нему применима формула (1.8). Применение в общем случае формулы (1.8) к контуру I, охватывающему G+, недопустимо, поскольку интеграл от потенциала (4.1) в правой части (1.3) не существует в G+. Кроме того, в силу двусвязности области G- он является неоднозначным (циклическим) в G-, если контур охватывает G+.

Рассмотрим контур 1—2—3—4—1, образованный: участком 1—2, лежащим в

G-, охватывающим с внешней стороны область G+ и лежащим на контуре I _, причем точка 1 лежит над осью Ох, а точка 2 — под осью Ох; отрезком 2—3, расположенным под осью Ox и простирающимся до некоторого расстояния r0; окружностью 3—4 радиуса r0, причем направление обхода контура 3—4 противоположно обходу контура 1—2; отрезком 4—1,

лежащим над осью Ох, причем расстояние 5 между участками 4—1 и 2—3 мало. Остановимся сначала на вычислении интеграла по этому контуру:

ф ф^і = ф ф^і + ф ф^і + ф фndі + ф фndі,

(4.5)

1_2_3_4_1

1_2

2_3

3_4

4_1

при условии, что 5 ^ 0, г0 ^да. Интеграл от константы С (4.1) по замкнутому контуру 1—2— 3—4—1, как известно, равен нулю.

Вычислим сначала интеграл по участку 3—4. С учетом (4.3) и того, что n = r0/r0 = i cos 0О + jsin 0О, при r0 ^да получим:

2п

[| фndI = J ф(Cos00І +sin00j)r0d0=Г0r0j + ^Г1 j _^Г2i + O

'O

3_4

V r0 J

(4.6)

Вычислим интегралы по линиям 2—3 и 4—1. Обозначим потенциал в точке 2 через ф2, тогда значение потенциала в точке 1: ф =ф2 +Г0. Потенциал ф на участке 2—3 может быть представлен как ф2-3 = ф2 + /, а на участке 4—1: ф4-1 =ф2 + / + Г0, где /— непрерывная функция при переходе через ось Ох. В результате при 5 ^ 0 получим:

'0

J фndі + J фndі = J j(ф2_3 _ф4-1)dx = _Г0 (r0 _ x) j.

2_3

4_1

Тогда, подставляя (4.6), (4.7) в (4.5), получим

Г , 1 1

I фпёI = I фпёI + —Г —Г21+ Г0 ] + О

* * 2 2

1-2-3-4-1 1-2

Иначе, если ввести гидродинамический импульс для плоских течений [6]

V r0 J

I

=JJJ

r х dG,

(4.7)

(4.8)

(4.9)

где г = х1 + у\, О = Ок, то с учетом формул для Гь Г2 входящих в (4.3), (4.4), выражение (4.8) можно записать в следующем виде:

J фndі = J фndі +11 +Г0 xj + O

1—2—3_4_1

1_2

'О

V r0 J

(4.10)

Вычислим теперь интеграл по контуру 1—2—3—4—1 от функции тока у, разбив его аналогично (4.5), на четыре интеграла:

Ф y£dі = ф y£dі + ф y¿dі + ф y¿dі + ф yfdі.

(4.11)

1_ 2_3_ 4_1 1_ 2 2_3 3_4 4_1

С учетом (4.4) и того, что і = n х k = j cos 00 _ i sin 00, получим

J y^dі = 2Г1 j _ 2Г2І+O

3_4

V r0 J

(4.12)

В силу непрерывности у при переходе через ось Ох

0

+

j yid i + j yid i = j yid i - j yid i = 0.

2-3 4-1 2-3 2-3

(4.13)

Из (4.11), (4.12), (4.13) с учетом (4.9) получим

( i \

г г 1 1

I у£ё£ = I у£ё£ + -1 + О — . (4.14)

2 г0

1-2-3-4-1 1-2 V 0 У

Подставляя (4.10), (4.14) в (1.8), получим

| у£ё£ = | фпё£+ Г0х| (4.15)

£ - £ -

В (4.10), (4.15) присутствует член Г0х] зависящий от координаты х и направления ] Эта зависимость обусловлена выбором контура 1—2—3 —4—1 таким, что разрезы 2—3 и 4—1

проходят вдоль оси Ох. В силу того, что разрезы 2—3 и 4— 1 могут быть выбраны

произвольными, то нетрудно убедиться, что при таком произвольном выборе интегралы в (4.10)

и (4.11) определяются с точностью до величины Г0 | пё£, т. е. зависят от точки начала разреза

4-1

(точки 1) на контуре £ и его положения в пространстве. В частности, если начало осей координат расположить в точке начала разреза, то х = 0 и в (4.10), (4.15) Г0 х] = 0. Это отмечается и в [6].

Очевидно, этот член в (4.10), (4.15) равен нулю, если циркуляция Г 0 = Ц О ёО = 0.

о+

Рассмотрим теперь плоский случай, аналогичный трехмерному (см. п. 3), когда функция тока у и потенциал ф определяются объемным О и поверхностным у распределением завихренности:

ф = — jjQ0dG+—- jy0di + С1 в G-, (4.16)

G+ i

y = 2njJQ ln ^+-2- j ln R di + C2 G- G+ (4.17)

П G+ П -

5ф

где Y = —

di

5y

dn

. В этом случае в силу формулы Стокса Г 0 = ЦшО+- фуё £ = 0, так как по

£

определению j Ydi = Йd I = j u •dt , и таким образом, (4.15) приобретает вид:

i - i - di i -

J фndi = J yidi. (4.18)

t - i-

Тогда совершенно аналогично п. 3, исходя из свойств скорости на внешнем контуре, ф = const, откуда следует:

J фndi = J yidi = 0.

G+

Если объем G+ вращается как твердое тело, то к нему применимы (3.22) — (3.24). Аналогично трехмерному случаю интегралы в (4.16), (4.17) по области G+ могут быть сведены

к интегралам по контуру £.

Таким образом, дано гидродинамическое обоснование вихревой модели в виде объемных и поверхностных вихрей, используемой (в частности, при постоянной интенсивности) при моделировании вращательного движения тела. Доказанное постоянство скалярного потенциала от такого распределения завихренности вдоль внешней поверхности завихренной области существенно облегчает нахождение распределения давления из интеграла Коши — Лагранжа.

ЛИТЕРАТУРА

1. Казачков Л. Я. Нестационарное обтекание многорядной двумерной решетки профилей гидромашин в слое переменной толщины // Энергомашиностроение. — 1970, № 6.

2. Головкин В. А. Нелинейная задача о неустановившемся обтекании произвольного профиля со свободно деформирующимся вихревым следом // Ученые записки ЦАГИ. — 1972. Т. III, № 3.

3. К о чин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — М. —

Л.: ОНТИ. — 1937.

4. Головкин М. А. Метод решения задачи об отрывном обтекании идеальной несжимаемой жидкостью произвольно движущегося трехмерного тела // Ученые записки ЦАГИ. — 1977, Т.УШ, № 2.

5. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. — М.: Мир. — 1973.

6. Сэффмэн Ф. Дж. Динамика вихрей. — М.: Научный мир. — 2000.

7. Борисенко А. И., Тарапов И. К. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. — М.: Высшая школа. — 1966.

8. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.:

Наука. — 1972.

Рукопись поступила 20^П 2004 г.