Гидродинамические и электромагнитные поля общность и различие в силовых воздействиях и некоторые обобщения формулы Н. Е. Жуковского Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том XXXI

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ __

№1-2

УДК:53.072.13

532.5

ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ — ОБЩНОСТЬ И РАЗЛИЧИЕ В СИЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ И НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ ФОРМУЛЫ Н. Е. ЖУКОВСКОГО

М. А. Головкин

Проведен сравнительный анализ стационарных уравнений гидродинамики и соотношений стационарного магнитного или квазиста-ционарного электромагнитного поля. Показано, что, несмотря на отсутствие аналогии между тензорами напряжений в идеальной несжимаемой жидкости и в указанных электромагнитных полях, существуют аналогии между силами и моментами, действующими на тела, помещенные в соответствующие гидродинамическое или электромагнитное поля. Показана возможность определения гидродинамических реакций, действующих на тело в идеальной несжимаемой жидкости, с применением теории подобия за счет непосредственного измерения главных векторов силы и момента, приложенных к телу, помещенному в стационарное магнитное поле. Доказана аналогия между формулой Н. Е. Жуковского о подъемной силе и формулой Ампера для силы, действующей на проводник с током в стационарном магнитном или квазистационарном электромагнитном поле. Получены обобщенные выражения для главных векторов силы и момента, действующих на тело в идеальной несжимаемой жидкости, в виде интегралов от векторного произведения скорости и плотности вихрей, распределенных по объему или поверхности тела, которые могут быть полезны при проведении практических расчетов.

Методы моделирования течений идеальной несжимаемой жидкости на основе аналогии между гидродинамическим и электромагнитным полями получили значительное развитие [1]—[5]. При этом во всех указанных работах моделирование ведется по кинематическим параметрам течения, например, за счет аналогии между скоростью гидродинамического поля и вектором магнитной индукции электромагнитного поля или между соответствующими потенциалами. Вместе с тем, сила и момент, действующие

на тело, находятся в этих работах путем интегрирования давления по поверхности тела, определенного из уравнения Бернулли. Однако, как показывает анализ, подобие между указанными гидродинамическим полем и стационарным магнитным (или квазистационарным электромагнитным) полем имеет гораздо более глубокий характер. Так, несмотря на существенное отличие тензоров напряжений в указанных полях, плотность кинетической энергии гидродинамического поля аналогична плотности магнитной энергии. Пондемоторная сила, действующая на проводник с током — сила Ампера, полностью аналогична подъемной силе Н. Е. Жуковского. При соответствующем моделировании трехмерных течений аналогия сил, действующих на тело в указанных полях, также имеет место. Поэтому, например, моделирование и определение гидродинамических сил, действующих на тело в идеальной несжимаемой жидкости, возможно производить путем проведения непосредственных весовых измерений в стационарном магнитном поле.

Помимо некоторого исторического оттенка, который несет данная статья в части гидромагнитной аналогии, она имеет и практическое значение, поскольку электромагнитные интеграторы, в которых происходит такое моделирование, являются по сути аналоговыми вычислительными машинами, они имеются до сих пор на ряде предприятий и используются для решения практических задач аэрогидродинамики.

Кроме того, в работе получены обобщенные выражения для главных векторов силы и момента, действующих на тело в идеальной несжимаемой жидкости, в виде интегралов от векторного произведения скорости и плотности вихрей, распределенных по объему или поверхности тела, которые могут применяться при проведении практических расчетов.

Следует отметить, что автору не удалось отыскать литературу, в которой затрагивались бы эти вопросы. Ни в указанной выше специальной литературе, ни в известных курсах физики [6]—[8], ни в работе [9], в которой сделана попытка единым образом описать физическую картину мира, ни в многочисленной литературе по механике сплошных сред, аэрогидродинамике или электродинамике эти вопросы не отражены. В связи с этим и предлагается настоящая работа.

1. Некоторые исходные соотношения и замечания. Как для гидродинамического, так и для электромагнитного полей будем использовать систему единиц измерений СИ. Это позволяет получить одни и те же константы в гидродинамических величинах и их электромагнитных аналогах.

Запишем интегралы, представляющие собой закон Био-Савара: для гидродинамики — формулы для возмущенных скоростей, для электромагнитного поля — формулы для возмущенного вектора магнитной напряженности [10], [11]:

Г(г) = |{/(,) -сИ(0,

1(0

t/1

'Ч1Я

'w^G<o

G« Г

(O3

/ = 1, 2,

(1.2)

to(/)=ro tu(i),

y(i) = Rott/(0,

Здесь и далее — радиус-вектор, направляемый из точки М'\ в которой вычисляется интеграл lf'\ в точку Л^0 интегрирования. Значение i = 1 соответствует гидродинамическому, i-2-— электромагнитному полю.

Пусть сначала / = 1. Тогда в (1.1): lf[) = V — скорость, индуцированная вихревой нитью L<]), Lm - ее единичный направляющий вектор, Г(1) = = Г — циркуляция скорости по контуру охватывающему нить, — направляющий вектор вдоль этого контура. В (1.2): С/|} =U — скорость, индуцированная непрерывно распределенными по области G+^ объемными вихрями о>^ — о = votU. В (1.3): lf-{) = U — скорость, индуцированная непрерывно распределенным по поверхности ст(1) бесконечно тонким вихревым слоем у ^ = у = RotU.

Пусть теперь i - 2. Тогда в (1.1): lf2> = Н— вектор магнитной напряженности, индуцированный нитью 1<2) тока Г(2) = J, определяемый циркуляцией вектора Н по контуру /2) с направляющим вектором Р\ охватывающему L(2). В (1.2): lP] = Н— вектор магнитной напряженности, индуцированный распределенным по объему g|2-* объемным вектором тока с

объемной плотностью - j- rot Н. В (1.3): f/2) - Н — вектор напряженности магнитного поля, индуцированный распределенным по поверхности о(2) поверхностным вектором тока у*-2-* = / = Rot Н.

Свойства интегралов (1.1)—(1.3) достаточно хорошо изучены [12]— [17]. В частности, первый интеграл (1.1) при стремлении точки Л/° к /V'1 имеет особенности типа (к\ г(1)) я(,) и [к2 Г^0/ г(,) + к3 Г4'5 ln(l/rw)]£w; здесь

и(,) и Ь(,) соответственно нормаль и бинормаль к линии L{,) в точке hf']\ к\, к2, к3 — некоторые константы. Все компоненты интеграла (1.2) непрерывны

внутри области G+Ри при переходе через ее границу. Интеграл в (1.3) обладает следующими свойствами вне границ области а(,): нормальная к ст(,) составляющая существует в смысле главного значения Коши и непрерывна при переходе через составляющая интеграла вдоль вектора у{,) непрерывна при переходе через а(,); составляющая, ортогональная вектору у(,) и

касательная к ст0> в точке А'*'1, терпит разрыв |у(/>| = у(,) при переходе через ст(,) и выражается как

тЛ0 _ г/(*) _1__ тт(0 — tjW -I-Т— (] 4")

2 ’ --J- 0±+ 2 ’ *■ '

где U^U+^U^l — соответственно ее значения в точке V0, принадлежащей о(0, при стремлении к а(,) сверху (ст+^) и снизу (ст<_°). На границе ст(,) при -» Л'^ нормальная к ст(,) составляющая (1.3) имеет особенность типа yw cos у^) In (1 /г(1)), где Х(,) - направляющий вектор линии, ог-

раничивающей поверхность

Рассматриваемые ниже стационарные уравнения гидродинамики и стационарного или квазистационарного электромагнитного поля предполагают отсутствие в средах непрерывно распределенных моментов объемных и поверхностных сил.

2. Уравнения движения жидкости. Тензоры напряжений и энергия. Силы внутри жидкости. Рассмотрим два типа жидкостей: произвольную вязкую несжимаемую жидкость с симметричным тензором напряжений и идеальную несжимаемую жидкость. Течение будем считать стационарным.

Произвольная несжимаемая жидкость. Запишем главные векторы количества движения if = JJjV 5 m и момента количества движения

т

N = JjjV xV&m для системы материальных частиц с элементарной массой т

8т, содержащейся в объеме х, где V — скорость частиц. В соответствии с теоремами об изменении количества движения и момента количества движения индивидуальные производные от К и N по времени t равны соответственно сумме главных векторов внешних объемных и поверхностных сил и сумме главных моментов этих сил:

T,№im=\\U'6'+§i>^ (2л>

j\\\r*Vbm = \\\r* /'5т + ££гх рпЬа. (2.2)

Здесь /' — внешние объемные силы; а — поверхность, ограничивающая объем т; р„ — вектор напряжений на площадке 8ст с внешней нормалью п. Как известно [18], [19], уравнение (2.1) в случае стационарного течения в пренебрежении объемными силами / сводится с применением теоремы

Остроградского — Гаусса к уравнению движения жидкости

Р(И-У)К = ОіуР,

где оператор Біу является дивергенцией тензора напряжений

(2.3)

Рхх Рху Рхг

Рух Руу Руг

Ргх Ргу Ргг

,рп =пР.

(2.4)

При этом из (2.2) следует симметрия тензора (2.4): рху = рух, рх: = ргх, Руг = Ргу, и, таким образом, тензор Р определяется шестью компонентами. Величина (V ■ V)У, входящая в (2.3), является конвективной частью ускорения и, в силу известных из векторного анализа соотношений [10], [20], может быть представлена в виде

(V 'Ч)V = ^лxV + grлй-

ю = гоіУ.

(2.5)

Тогда, с учетом (2.5) уравнение (2.3) может быть записано в виде

,рг2

- р V х © + grad ■■ = БіуР.

(2.6)

Идеальная несжимаемая жидкость. По определению [18], [19], идеальной несжимаемой жидкостью называют такую среду, в которой вектор напряжения рп на любой площадке с нормалью и ортогонален этой площадке, ра\\п. Тензорная поверхность в этом случае является сферой, и главные компоненты тензора напряжений равны между собой: рхх = Руу = рг? = = - р, где р — давление. Знак р выбран таким образом, чтобы давление сжатия было положительной величиной. Любые три взаимно перпендикулярных направления в этом случае являются главными, и поэтому в любой ортогональной декартовой системе координат матрица компонент тензора напряжений Р может быть представлена как

(2.7)

Рхх 0 0 1 0 0

Р = 0 Руу 0 = ~Р 0 1 0

0 0 Ргг 0 0 1

Таким образом, тензор напряжений в идеальной несжимаемой жидкости задается одним числомр, и уравнения движения в форме (2.3) и (2.6) могут быть соответственно записаны в виде уравнения Эйлера

р(К-У)Г = -^га(1/7,

(2.8)

или в форме Громеки-Ламба

(2.9)

Семейство векторов Ф = aV + р со, где а и (3 — любые числа, в силу

поверхностей, ортогональных вектору V х оз, вдоль которых выполняется уравнение Бернулли:

При этом функция Бернулли, стоящая в правой части уравнения (2.10), может изменяться при переходе с одной такой поверхности Ф на другую. Если а> = rot V - 0 во всей области течения, то функция Бернулли постоянна во всей области течения. Уравнение Бернулли (2.10) может рассматриваться как закон сохранения полной механической энергии, где давление р — объемная плотность потенциальной энергии, а скоростной напор q = = pV2 /2 — объемная плотность кинетической энергии жидкости.

Силы внутри жидкости. Левые части в (2.6), (2.9) представляют собой объемные силы, действующие внутри самой жидкости. С помощью применения следующих формул, представляющих собой обобщения [20] теоремы Остроградского — Г аусса:

(2.6) и (2.9), очевидно, с учетом (2.7) могут быть сведены к одному выражению для силы, действующей на элементарный объем dx^.

С помощью преобразований, указанных в [21], уравнения (2.6), (2.9) могут быть сведены для плоскопараллельных и осесимметричных течений в вязком или невязком случае, соответственно, к видам

где W = V (\ + Ь) + а (йх V= V~ (ах grad V)V/(02. Для трехмерных, соответственно, вязких и невязких течений указанные уравнения могут быть сведены к виду

где W = V( 1 + Ъ) + а <д х V. Входящие в Wb формулах (2.13), (2.14) скалярные функции а, Ь, с являются проекциями V grad V на векторы СВ х (о х F), (а х V и аз соответственно. В работе [21] путем интегрирования

равенства Ф-grad (р + pV2/2) = 0 определяет семейство эквипотенциальных

= const.

(2.10)

dx.

(2.12)

V

у

рй7 хю = -DivP, pW хсо = grad/?,

(2.13)

p(W х (й - cos) = -DivP, p(W x о» - c(a) = gradp,

(2.14)

давления по поверхности элементарного объема, заключенного между изобарическими поверхностями, были получены выражения для силы, действующей на такой объем с гладкими, не обязательно конечной кривизны поверхностями. Применяя (2.11) к (2.13) и (2.14), с учетом (2.7) получим силу, действующую:

— в плоскопараллельном течении на любой элементарный объем единичной протяженности с сечением с1хс!у

(1Р = рЦ'у.(й(1хау = рЦ'у.с1Т-, (2.15)

— в осесимметричном течении на элементарный объем сЬсс1угс1ц>, где г — расстояние от оси симметрии до сечения с1хс1у, ф — угол, примыкающий к плоскости хоу,

(1Р = рЦ^ хю с!хс1угс1(р = р1¥ х<ЛТгс1($\ (2.16)

— в трехмерных течениях на элементарный объем <Лхс1ус12

£}Р = р(№х<а + с&)с1хс}ус12, (2.17)

здесь с/ Г = аз ёхс1у = (<а/|в>|) ■ со с1хс1у = (<о/|а»|) ■ с/ Г, Г — в соответствии с

формулой Стокса — циркуляция скорости V по контуру, ограничивающе-

му сечение йх<Лу.

Таким образом, (2.15)—(2.17) обобщают полученные в [21] выражения на случай произвольного элементарного объема и вязких жидкостей широкого класса. Аналогично [21] эти выражения могут быть обобщены на случай нестационарных течений, в том числе при наличии непотенциальных массовых сил, при этом в вектор войдут соответствующие дополнительные члены.

3. Соотношения для электромагнитного поля. Энергия и объемные силы. Тензоры напряжений. Будем рассматривать магнитное поле постоянных токов — стационарное магнитное поле, а также квазистационарное электромагнитное поле, которое, естественно, удовлетворяет уравнениям поля Максвелла, но в них, из-за малости скорости изменения входящих в эти уравнения величин, пренебрегается токами смещения [11], [22]. В результате, это поле близко к полю постоянных токов, и к нему приложим закон электромагнитной индукции Фарадея. При этом будем считать, что среда обладает линейными свойствами, т. е. магнитная проницаемость среды не зависит от поля. Это обстоятельство позволяет записать вектор магнитной индукции В через вектор напряженности Н магнитного поля в виде

Д = цЯ, <3.1)

где ц — магнитная проницаемость среды. Такими средами, в частности, являются: вакуум, диа- и парамагнетики, а также ферромагнетики, но по-

следние — только при весьма малых значениях вектора магнитнои индукции.

Магнитная энергия поля и объемные силы. Магнитная энергия W электромагнитного поля и ее объемная плотность w с учетом (3.1), как известно [11], [22], могут быть представлены в виде:

r = JJJm/K, (3.2)

V

здесь V — все пространство. Исходя из того, что вариация магнитной энергии при бесконечно малом виртуальном перемещении находящихся в магнитном поле тел равна механической работе объемных сил, может быть найдено полное выражение для объемной плотности сил/[11]:

2 f Л

/ = —В х у - gradц + igradf H^g I, j = rotH. (3.3)

2 2 { dgj

Здесь g — объемная плотность среды. Последний член в правой части (3.3) представляет собой так называемые стрикционные силы, и для многих сред, особенна для случая, когда изучаемое тело помещено в вакуум, жидкую или газообразную среду, ими для определения суммарных силы и момента можно пренебречь [И], [22], что и будет предполагаться в дальнейшем. Второй член в правой части (3.3) в отсутствии магнетиков также равен нулю, очевидно он равен нулю и в областях, где ц постоянна. Первый член в правой части (3.6) представляет собой объемную плотность сил Ампера, действующих на ток у. С привлечением соотношения, аналогичного (2.5), и учитывая сказанное, (3.3) может быть представлено в виде

2

f = V(H.V)H-grad¥j-. (3.4)

Легко показать, что независимо от того, равен или не равен нулю grad(i во втором члене в правой части выражения (3.3), выражение (3.4) не изменит своего вида. Просто в случае, если grad|i = 0, входящая в grad (\хЛ212) магнитная проницаемость является независимой от координат.

Тензоры напряжений. Тензоры механических напряжений были введены в теорию электромагнитного поля Максвеллом. В отличие от подхода, который был использован для гидродинамических полей, тензоры напряжений в теории магнитного поля вводятся непосредственно из выражения для объемной плотности сил / за счет некоторых тождественных преобразований. Рассмотрим объем G среды, ограниченный поверхностью S. Тогда главный вектор внутренних объемных сил, действующих на тела внутри объема G, может быть представлен аналогично теории упругости в виде

\\\fdG = §tndS, (3.5)

где /„ — напряжения на площадке с15 с внешней нормалью п. Матрица тензора напряжений в этом случае аналогична (2.4) и имеет вид

tXX txy ^xz

т = t ух tyy tyz , tn=nT. (3.6)

tzx ‘zy tzz

Для эквивалентной замены объемных сил напряжениями необходимо, чтобы при замене оставалась неизменной не только равнодействующая (3.5) сил, но и момент этих сил:

JJJr X fdG = tndS. (3.7)

G S

Как известно, (3.7) накладывает требование симметрии тензора (3.6): txy = Цх, txz = tzx, tyz - tzy, а с применением теоремы Остроградского — Гаус-са (3.5) сводится к выражению

/ = Div7\ (3.8)

Отвлекаясь от природы сил, введенные здесь статические выражения (3.5),

(3.7) можно рассматривать как частный случай динамических — (2.1),

(2.2), если левые части в последних положить равными нулю, а объемные силы/', стоящие в них под интегралами, считать не внешними, а внутренними.

С учетом (3.4) выражение (3.8) может быть представлено в виде

[i(H ■ V)H - grad-^y— = Div Т. • (3.9)

Если в области grad ц,= 0, то из (3.3) и (3.9) следует, что в ней

-ц# xy = Div7\ (3.10)

Сравнивая (3.9) с (2.3) и (3.10) с (2.6), можно отметить, что левые части этих выражений, представляющие собой объемные плотности сил магнитного или, соответственно, гидродинамического поля, формально отличаются наличием или отсутствием градиента.

Из (3.9) Максвеллом с помощью тождественных преобразований была найдена [11] матрица Т тензора напряжений, она имеет вид

т=

уЛ2Н,

Ял2_1я^ 11НхНу \хНуНх ія2 -ІЯ2

цЯгЯ

уЛхНг

\ШуН2

/

Я* --Я' 2 2

Іп=\іНпН-^—п

(3.11)

Этот тензор представляет собой симметричный тензор второго ранга. Преобразование его к главным осям, одна из которых — ось ОХ направлена параллельно вектору Н, а две другие — ОУ и 01 ортогональны вектору Н, дает тензор Т

(хЯ2 0 0

2 •*» л 1 0 0

Т' = 0 цЯ2 2 0 \хН 2 0-10

0 0 цЯ2 2 0 0-1

(3.12)

Таким образом, вдоль вектора Н имеет место растягивающее напряжение цЯ2/2, а поперек Я— сжимающее напряжение (-p.il2/2). В итоге, напряжения с учетом (3.11), (3.12) в зависимости от направления нормали и поверхности могут быть записаны в виде:

і г.

2 2

(я || Я); /я=і^_и, (я±Я).

(3.13)

Итак, в отличие от введенных выше тензоров напряжений гидродинамического поля, система напряжений в магнитном поле может быть сведена к некоторому упругому состоянию среды, которая вдоль и поперек вектора Н испытывает указанные напряжения (3.12), (3.13). Как можно видеть, эти напряжения по абсолютной величине равны плотности м> магнитной энергии (3.2), взятой с соответствующим знаком.

4. Гидродинамические задачи и их электромагнитные аналоги. Кратко рассмотрим типичные граничные задачи стационарного обтекания тел идеальной несжимаемой жидкостью:

— задача 1 — бесциркуляционное плоскопараллельное или трехмерное потенциальное обтекание;

— задача 2 — циркуляционное потенциальное плоскопараллельное течение;

— задача 3 — трехмерное течение со сходом с тела следа в виде по-

верхностей тангенциального разрыва скоростей (это течения с постоянной константой Бернулли вдоль всей поверхности обтекаемого тела за исключением выколотых точек или линий);

— задача 4 — плоскопараллельное вихревое обтекание тела, когда вдоль поверхности тела константа Бернулли не изменяется.

Течения жидкости. Область внутри тела будем обозначать 1, всю область течения вне тела и следа . Поверхность тела будем обозначать

5-0)

, эту поверхность со стороны области будем обозначать 5'|! >, со стороны области , соответственно, . Положительное направление

нормали к 5”^ — внешнее, направленное в . Если с поверхности тела сходят поверхности тангенциальных разрывов скоростей по линиям (линии) , то их будем обозначать .

Рассмотрим сначала задачи 1—3. Обозначим через IV ^ = У^ ^ невозмущенную телом (или телом и следом б^) скорость, 11^ — возмущенную ими скорость, а через У ^ — суммарную скорость. В Г/11 ^ вне

и б(1) ШУ^ = сэ^ =0, и все указанные скорости могут быть выражены как

цг(1) = У<\) = 8ПМ1ф^ , и® = 8га<!ф[}),

(4.1)

К(1} = И^(1) +17(1) =

где , ф^, ф^ = ф|Р + Ф(Р — потенциалы, удовлетворяющие уравнению Лапласа, причем возмущенная скорость II^ стремится к нулю на бесконечности перед телом. На 5^ ставится условие непротекания

К(1)-я(1)0, или (]^(1) +^(1))-и(1) =0. (4.2)

Следует иметь в виду, что для плоскопараллельных течений потенциалы фц, ф;/ являются циклическими, а на острой кромке тела ставится условие Чаплыгина — Жуковского об ограниченности скорости.

В трехмерных течениях (задача 3) со сходом свободных поверхностей

на ()^ ставятся условия отсутствия деформаций поверхностей <2^ и равенства давлений сверху и снизу <2^, что равносильно следующим выражениям

=¥<;}}= 0, р+=р„, (4.3)

здесь индекс п означает проекцию У^ на единичную нормаль п к знаки плюс и минус означают, соответственно, что величины взяты при стремлении к <2^ с верхней или нижней стороны. В этом случае необходимо решать (например, итерационным методом) нелинейную задачу построения следа а в окрестности линии выполнять условия конечности скорости, которые были сформулированы Манглером и Смитом [23] и обобщены для нестационарных течений и различных типов задних кромок в [17]. При таком нелинейном подходе вихревые линии вектора завихренности у^ (1.3) на <2^ должны направляться по местным линиям тока, при этом первое из условий в (4.3) будет выполнено, поскольку в силу указанного построения следа £)^ нормальные к нему компоненты скорости будут отсутствовать. Покажем, что при этом будет выполнено и второе условие в (4.3). В этом случае векторы скорости при стремлении к сверху и снизу с учетом (1.4) могут быть представлены как

УЯ =К0(1) — /и(у(1) 12), У[Х) =К0(1) + #и(у(1) 12), (4.4)

где — скорость в точке, принадлежащей <2^\ т = п х У^ /\п х

х У^ |. Применяя уравнение Бернулли (2.10) сверху и снизу с учетом

(4.4) получим, что второе условие в (4.3) выполнено.

В гидродинамике задачу обтекания решают либо в потенциалах, либо

ищут поле возмущенных скоростей 17^ в виде распределения особенностей типа вихрей по объему (1.2) или по поверхности тела (либо

тела 5^ и следа б^) (1-3). Тогда из (4.2) с учетом (1.2), (1.3) могут быть получены векторные интегральные уравнения относительно со либо у:

В случае схода с поверхности тела следа @У) и распределения вихрей по объему и поверхности тела, в левой части уравнения типа (4.6) будет присутствовать интеграл по объему, входящий в (4.5).

В работе [24] показано, что в случае моделирования возмущенных скоростей только поверхностными вихрями, при переходе во внутреннюю

область тела 6+^ скорость внутри него равна нулю, и задача сводится к

решению уравнений Фредгольма II рода относительно проекций вектора завихренности, распределенной по поверхности . При этом на скорость У^ при стремлении к 5^ со стороны области течения С/11^ связана с у*-1^ соотношением

7(1>=я(1)хк11), (4.7)

где — нормаль к . В смысле выполнения условия (4.7) и распределения завихренности эта гидродинамическая задача аналогична рассматриваемому ниже моделированию задач гидродинамики с использованием квазистационарных электромагнитных полей.

Обратимся теперь к задаче обтекания тела плоскопараллельным вихревым потоком (задача 4). В этом случае невозмущенная телом скорость

№^=У^+и^ складывается из потенциальной части, определяемой

вектором У^ =gradф[P , и непотенциальной (1.2), которая для плоскопа-

^00

раллельного случая может быть записана в виде

„<■>,_!_ ГГ (4.8)

2*Д г™2

На вектор «<*> накладывается условие [14], обеспечивающее существование интеграла в (4.8): |ш(1) |<Л/|г(1) |1+8 при || —>оо, где Л— некоторая константа, 0 < е < 1. Тогда, аналогично рассмотренным выше задачам 1—3, из (4.2) могут быть получены интегральные уравнения типа

(4.5), (4.6), но с более низкой размерностью пространства интегрирования ,

в правой части которых будет отсутствовать интеграл по но будет

входить проекция скорости и(1) (4.8) на нормаль к телу п°\ Можно отметить, что и в этом случае задача может быть сведена к решению уравнения Фредгольма II рода относительно плотности завихренности, распределенной по поверхности тела, которая также будет определяться на 51^ соотношением (4.7).

Главные векторы силы и момента, действующие на тело, во всех рассмотренных задачах могут определяться путем интегрирования давления

(2.10) по поверхности тела.

Электромагнитное моделирование рассмотренных гидродинамических задач. Обсудим существующие подходы к моделированию указанных гидродинамических задач. Будем рассматривать стационарное и квазиста-ционарное электромагнитные поля и среды, указанные в начале п. 3. Для квазистационарных полей будем рассматривать области (размеры изучаемых тел) I) « А,, где X — длина электромагнитной волны. Как известно

[4], для частот поля от килогерц до мегагерц заряды и токи концентрируются в тонком поверхностном слое 5 = -^2(cojха)-1, где <х> = 2пУф - АТ1 —

частота поля, Рф — фазовая скорость распространения электромагнитных волн, ц — магнитная проницаемость тела, а — его электропроводность. Это явление называется скин-эффектом.

Все геометрические параметры исследуемого тела или следа, моделирующего поверхность тангенциального разрыва, будем считать подобными с телом или следом гидродинамического поля, за ними сохраняются те же буквенные обозначения, но придается надстрочный индекс (2). Будем, за исключением оговоренных случаев, считать, что магнитная проницаемость ц тела и среды, в которую оно помещено, одинаковы.

Рассмотрим аналогии с гидродинамическими задачами 1—4. Запишем

электромагнитные величины: W^2) — невозмущенная телом (или телом и следом Q^) напряженность магнитного поля, — возмущенная ими напряженность магнитного поля, =Н — суммарный вектор напряженности магнитного поля. В вне и rotV^ = rotН =

= «<2> = j = О, W(2) =V^2) +и(2) =НЖ +и(2) =grad9//oo +«(2). Пусть

= i = RotН — поверхностная плотность тока, и(2) — непотенциальная часть невозмущенного телом вектора напряженности магнитного поля, аналогичная (4.8), которая для задач 1—3 равна нулю. Тогда соотношения

(4.1)—(4.8), за исключением второго* в (4.3), после соответствующей замены индексов (1) на (2) переходят в соотношения для магнитного поля.

Особенно удобно производить решение граничной задачи — аналога

(4.1)—(4.3) с использованием квазистационарного поля, поскольку возникающие на поверхности S^ тела токи приводят к автоматическому выполнению условия (4.2). При моделировании плоскопараллельного течения дополнительно к условию (4.2) необходимо выполнить условие, аналогичное условию Чаплыгина — Жуковского на задней кромке. Для этого необходимо подобрать такой полный ток I (1.1), чтобы вектор Н на этой кромке был ограничен, причем частота этого тока должна совпадать с частотой Н. При моделировании трехмерного циркуляционного обтекания тела к поверхности тела по линии (линиям) необходимо «пристыковать» след Q^ . Его моделирование может осуществляться либо дискретно с помощью отдельных полубесконечных проводников [4], либо с помощью тонкой фольги [5]. По этим проводникам пропускается ток, частота

* В электромагнитном поле нет этого условия, однако, если при электромагнитном моделировании на следе будет выполнено условие — аналог первого соотношения в (4.3), то, как было показано выше, и в гидродинамической задаче второе условие в (4.3) — для давления, будет выполнено автоматически.

которого совпадает с частотой изменения вектора Н, при этом в каждой точке следа Q^ вектор поверхностной плотности тока / (1.3) должен

совпадать по направлению с =Но —аналогом (4.4), а в окрестности линии А/2-* должны быть выполнены специальные условия ограниченности вектора Н, аналогичные указанным выше для задач гидродинамики. Функционал для поиска решения, удовлетворяющего этим условиям, и итерационная процедура построения такого решения описаны в [4]. Там же описана методика определения Н на поверхности тела и следа с использованием специальных соленоидов. При таком моделировании задач

гидродинамики на поверхности тела 5'12^ будет выполнено условие, аналогичное (4.7): 1-пхН_.

При использовании стационарного магнитного поля условие - аналог

(4.7) может быть также получено при пропускании постоянных токов только по поверхности тела (в направлении ОI в случае двумерных полей) или поверхности тела и следа (для трехмерных полей). Итерационный процесс поиска решения, удовлетворяющего условиям, аналогичным (4.2), (4.3), в этом случае является более сложным. При этом, аналогично предыдущему, должна быть также организована процедура выполнения условий на линии а в трехмерном случае — еще и деформации следа

При моделировании задачи 4 во внешней области с!2- необходимо

пропустить ток ы(2) = /, который индуцирует вектор «(2> и удовлетворяет условиям, аналогичным указанным для (4.8).

Иногда условие непроницаемости тела в электромагнитной аналогии моделируется за счет существенно меньшей величины магнитной проницаемости тела по сравнению с магнитной проницаемостью внешней по отношению к телу среды [3].

В известной литературе не указаны электромагнитные аналоги гидродинамической силы и момента, а при электромагнитном моделировании гидродинамическая сила и момент находятся за счет аналогии между V и Н непосредственным интегрированием распределения давления по поверхности тела, найденного из уравнения Бернулли (2.10).

5. Силы и моменты, действующие на тела. Запишем сначала выражения для силы и момента, действующих на тела, помещенные в поток идеальной несжимаемой жидкости. Рассматривается класс задач 1—4, указанных в п. 4, в которых функция Бернулли постоянна, по крайней мере, вдоль поверхности тела, за исключением выколотых точек или линий. Причем, вдоль всей поверхности тела выполнены соответствующие условия ограниченности скорости. Как известно, в этом случае в силу того, что интеграл по поверхности тела от константы Бернулли обраща-

ется в нуль, выражения для главных векторов силы и момента могут быть записаны в виде

R= -М= jjqr{]) xn(1)dSW, q = ^~. (5.1)

sm sw 2

Тогда для рассмотренного выше класса задач, моделирующих указанные в п. 4 гидродинамические течения, с учетом соотношений (3.2), (3.5), (3.12),

(3.13) могут быть записаны электромагнитные аналоги выражений (5.1):

Получим формулы пересчета гидродинамических реакций с соответствующих реакций, действующих на тело в электромагнитном поле, и, наоборот, с использованием теории подобия. Будем считать, что тела, помещенные в жидкость и электромагнитное поле, геометрически подобны и имеют линейные размеры 1У, 1Н соответственно (1ННу = М\). Соответствующие масштабы для отношения магнитной проницаемости внешней среды и плотности жидкости, модулей вектора магнитной напряженности и вектора скорости обозначим как: ц/р = М2, Н!У- М3. Тогда из (5.1), (5.2) следует

В случае использования разных физических систем единиц измерения в

(5.3) появятся еще дополнительные коэффициенты — масштабы, характеризующие соответствующие отношения констант. Формулы (5.3) позволяют определять гидродинамические реакции непосредственно из экспериментов в электромагнитном поле, в частности, в результате весового определения сил, действующих на тело в стационарном магнитном поле. Заметим, что выражения (5.2), (5.3) в известной литературе по электромагнитогидродинамическим аналогиям не указаны и не использовались, а для нахождения сил и моментов, действующих в гидродинамике, при моделировании течений применялись непосредственно (5.1) с учетом аналогии между V и Н.

Можно отметить, что в электродинамике для определения главных векторов силы и момента непосредственно из (3.3), (3.5), с учетом того, что по области интегрирования ц = const, могут быть записаны также следующие выражения через объемную плотность тока

F = -JJw»(2>dS(2), /V = -JJw<2W2><(S<2>, „ = (5.2)

s(2)

(5.3)

F =

lL$HxjdG{+2), N = -njjjrx(Hxj)dG[2). (5.4)

В случае если токи / распределены только в поверхностном слое тела, выражения для FиNпринимают вид

^ = |р/0х|^(2), ЛГ = -Ц Лгх(Я0х/)й?5(2). (5.5)

5(2) 5(2)

(2)

При распределении токов по объему в} ив тонком поверхностном слое

*<2> сила и момент будут определяться суммой соответствующих интегралов (5.4), (5.5). Следует подчеркнуть, что в гидродинамике выражения для сил и момента, соответствующие (5.4), (5.5), не используются и в литературе неизвестны, хотя они и могли бы быть выведены непосредственно из теории подобия за счет указанной выше аналогии. Однако, отмеченное в п.п. 2, 3 отсутствие аналогии в тензорах напряжений*, действующих внутри жидкости и в электромагнитном поле, видимо, существенно затрудняло обобщение этих формул электродинамики на гидродинамические реакции. В п. 6 соответствующие формулы для силы и момента, действующих на тело, помещенное в поток идеальной несжимаемой жидкости, будут доказаны непосредственно, без привлечения теории подобия.

О классических формулах Ампера и Н. Е. Жуковского. Отмеченное отличие в тензорах напряжений, видимо, мешало считать подобными формулы Ампера для силы, действующей на проводник с током в магнитном поле, и формулу Н. Е. Жуковского для подъемной силы профиля крыла.

Формула для силы dF, действующей на элемент dLil) проводника Ь(2\

dF = -\^lHaoxdL{1), I= |#-<*У(2) (5.6)

/(2)

была получена Ампером сначала экспериментально в 1820 году, а затем доказана им теоретически. Для проводника единичной протяженности 1(2) = 1 она может быть записана также в виде

— —\хНоо х /, 1 = 1Ь{2) 1\Ь{2) \. (5.7)

В формулах Ампера (5.6), (5.7) вектор Нх не обязательно ортогонален Ь<2).

Тензоры напряжений в электромагнитном поле были введены Максвеллом в 1860-е годы при разработке теории эфира.

Формула Н. Е. Жуковского о подъемной силе профиля была получена им в 1904 году, и является, по сути, следствием теоремы сохранения количества движения. В несколько видоизмененной по отношению к первоначальной форме она может быть представлена следующим образом:

* При этом, очевидно, отсутствует аналогия и в силах, действующих на элементарный объем проводника и внутри самой жидкости. В гидродинамике в соответствии с п. 2 эта сила выражается формулами (2.12) или (2.15)—(2.17), в правые части которых входит вектор Vgrяd V. В электродинамике эта сила Ампера в соответствии с (5.4) может быть записана в виде формулы ёР = - ц Н х }(Ю±, в которую не входит аналог вектора ^гас! V.

Д^р^хГ, Г = Г£(1)/|1(1)|, Г- |г-^/(1), (5.8)

/(1)

здесь Г — циркуляция скорости вокруг профиля. Формула (5.8) записана для профиля или вихря единичной протяженности £(|) = 1. Она может быть также переписана в виде формулы для отрезка вихря длины Л(|)

ст = рГУтхсИ{1). (5.9)

Формулы Н. Е. Жуковского (5.8), (5.9) в своем изначальном виде предполагали ортогональность векторов У„ и £(1), хотя можно доказать, что они справедливы и в случае их неортогональности, что и будет проделано ниже в п. 6. Видно, что с точностью до знака (5.8), (5.9) аналогичны (5.7),

(5.6), в случае ортогональности в последних векторов Нх и Ь{2).

И формула Ампера (5.7), (5.6) и формула Н. Е. Жуковского (5.8), (5.9) справедливы, вообще говоря, только для прямолинейного отрезка тока или вихря. При переходе к криволинейным отрезкам тока или вихря в силу описанных свойств интеграла (1.1) в нелинейной постановке на ток или вихрь будет действовать бесконечно большая сила.

6. Обобщения формулы Н. Е. Жуковского. Везде предполагается, что выполнено условие непротекания (4.2). Как и ранее полагается, что

функция Бернулли постоянна вдоль поверхности 51^, за исключением выколотых точек и линий, при этом вблизи линий схода потока выполнены соответствующие условия ограниченности скорости. Для всех рассматриваемых ниже случаев записи формул достаточно доказать, что они сводятся к формулам, которые следуют из (5.1):

Д = р —я(1)й5(1), М = р || — г(1) *яШ^(1). (6.1)

5(1) 2 5»» 2

В общем случае будем рассматривать как двумерные, так и трехмерные течения. Рассмотрим различные случаи распределения завихренности

По поверхности тела распределен тонкий вихревой слой. Докажем, что в этом случае выражения для силы и момента могут быть записаны в виде

Д = р Ц>0ху^(1), >^ = р||г(1)х[РЬхУДО(1). (6.2)

5(1) / 5(1)

Действительно, как отмечалось в п. 4, в этом случае в области 0+ скорость У+ = О, К0 = У_ /2 = (у /2) х и. Подставляя это выражение в (6.2), получим, что они сводятся к (6.1), что и требовалось доказать. Следует отметить, что формулы, аналогичные (6.2), но записанные в дифференциалах, могут быть применены также и для тонкой несущей поверхности, но только не на ее границе, и, по сути, они будут выражать теорему Н. Е. Жу-

ковского в малом [15]. Неприменимость (6.2) в общем случае на границе тонкой несущей поверхности обусловлена логарифмической особенностью в нормальной к поверхности скорости (1.3), которая при интегрировании должна дать дополнительные подсасывающую силу и момент.

По объему тела распределены объемные вихри. Покажем, что в этом случае главные векторы силы и момента, действующие на тело, могут быть представлены в виде:

Введем обозначение для плотности внутренних сил Ь = рУ х со. Тогда, по аналогии с теорией упругости и с (3.5), (3.7), объемные интегралы в (6.3) могут быть записаны через поверхностные

р'ху = р’ух > р'хг = р'гх > Руг = Р'гу ■ По теореме Остроградского — Гаусса первое выражение в (6.4) в этом случае можно свести к виду

Далее нахождение компонент тензора Р' практически сводится к максвелловскому для тензора Т (3.8). В силу (2.5) выражение для Ъ может быть представлено в виде

І^РІЦУхшКгі^, М = р|||г(1) х[Гхш]£/а|1}. (6.3)

0(1) 5(1)

м= = Лгхр;<ю(1),

О0) 5(1)

(6.4)

где р'п — некоторые поверхностные напряжения на площадке с1&]) с

внешней нормалью л(,) при стремлении к &1) из . Матрица тензора напряжений в этом случае аналогична (3.6) и имеет вид

г п' п*

Р XX Рху Рх2

Р'^р'ух Р'уу Р’ут > Р'п=ПР', (6.5)

Р 2X Р:у Р 22

(6.5)

Ь = ПЪР',

(6.6)

где

дх ду дг ’ у дх ду дг

(6.7)

дх ду дг

b = -p(V ■ V)V + grad

PV*

(6.8)

где

bx=~ p(V-V)Vx +

d pV‘ dx 2

bv=-p(V-V)Vv +

d pV‘ dy 2

-p(V-V)Vz +

d pV‘ dz 2

(6.9)

Покажем, что первая компонента (6.9) вектора (6.8) сводится к первой компоненте (6.7) вектора (6.6). Для этого воспользуемся известным из векторного анализа преобразованием div(ca) = с diva + a gradc, где с —- некоторый скаляр, а — некоторый вектор. Тогда (V ■ V) Vx = V (V Vx) = = div (V■ Vx) — Vx div V, но div V=0, откуда следует

(F-V)F^div(y.Vx) = -^(Vx-Vx) + -^(Vy-Fx) + ^-(Vz-Vx). (6.10)

ox dy dz

Подставляя (6.10) в первое из выражений (6.9), убеждаемся, что оно совпадает с первым из выражений в (6.7), если положить

2 PV2

Рхх=~Р^х 2 ’ Рху~~Р^хУу’ Pxz~~P^x^z’

Аналогичные выражения могут быть получены и для остальных компонент тензора (6.5). Таким образом, матрица тензора (6.5) может быть сведена к следующему выражению:

Р' =

-Р

\

2 VL V2 - — х 2

-pv.v.

X' у

2 У

Vі _______

у 2

-Р УуУх -Р

-pVzVx -pVzV

-pvxvz

-Р vyvz

Z' у P

2

\

,2 Vі

p'n^-pVny + ^~-n

(6.11)

Тензор (6.11) с точностью до знака аналогичен максвелловскому, переход к главным осям, одна из которых — ОХ направлена вдоль вектора V, а другие — ОУ, 02 ей ортогональны, дает тензор

Таким образом, в ^ вдоль вектора V имеет место сжимающее напряжение (-рУ2/2), а поперек V— растягивающие напряжения рУ2 /2. Напряжения (6.5), с учетом (6.11), (6.12) в зависимости от направления нормали и к рассматриваемой поверхности могут быть записаны аналогично (3.13) в виде

2 2 Р'л=~~п, (п\\Уу, (я±Ю. (6.13)

Таким образом, в области в силу (6.12), (6.13) выражения (6.4) дают

Но в силу указанных свойств интеграла (1.2) скорости непрерывны при переходе из области в область , поэтому У+=У_, и, следовательно,

(6.14) сводится к (6.1), что и требовалось доказать.

Внутри тела распределены объемные вихри, а по его поверхности — тонкий вихревой слой. Докажем, что в этом случае сила и момент сводятся к сумме интегралов (6.2) и (6.3):

Л = рЛ|Их«^1) + р

+ (6.15)

М = РД/г(1) +РДг(1) х[У0ху№^.

с(1) 5(1)

С учетом (6.14) выражения (6.15) сводятся к интегралам:

у2 т у} (]\

Покажем, что -~-я ’ + У0 х у = ——я' '. Разложим векторы У+,У- и Го

на компоненты, параллельные вектору у и ортогональные этому вектору: У+ - + У+±; Г_ц + У-±; Г0 = Г011+У01, Тогда, с учетом свойств

(1-2)—(1.4): Ущ = = У_{] = У\\, К± = У-±~У, У0± = Г-± - ?/2, получим

VI т У\?+У-1-2У-±У + У2 ,п т у2

“й +^0 ху =—--------------- -----------я + У-±уп^ -~-п =

Р12

= — ---------я =—и.

2 2

Таким образом, подынтегральные выражения (6,15), (6.16) свелись к подынтегральному выражению (6.1), что и требовалось доказать.

Полученные выше обобщенные формулы Н. Е. Жуковского (6.2), (6.3),

(6.15) применимы для всех рассмотренных выше задач 1—4, хотя, как известно, в задаче 1 сила, действующая на тело, будет равна нулю.

Сведение выражений для сил к классической формуле Н. Е. Жуковского для тоскопараллельного течения и к случаю скользящего крыла бесконечного размаха. Выражения для сил (6.2), (6.3), или обобщенное (6.15), сводятся к формуле Н. Е. Жуковского (5.8) для подъемной силы в плоскопараллельном течении для профиля или вихря единичной протяженности вдоль оси 02. Действительно, пусть в (6.15)

V =Уао +и', Уо = Кос + и", (6.17)

где V и Ц" — возмущенные скорости, индуцированные соответственно объемным по С?+ ^ и поверхностным по распределением завихренно-

сти, определяемые выражениями (1.2), (1.3). Тогда, подставляя (6.17) в (6.15) с учетом того, что интегралы

р ЦсГ'хшЛ/!1), р||/7'ху^(1) (6.18)

(1) с(1)

в плоскопараллельном случае равны нулю, получим: Я =

= р 11^00 х <*сЮ+^ + |^00 X у = р Ух, х Г, где Г = Г<Л> /1 ы |, или что то

4»

же самое, * Г = Гу /1 у |, Г = + |у^5'(',') . Поскольку

е(1> 5(1)

ы /1 (о |= у /1 у |— /1 £(1) |, то очевидно, что полученная формула для Я

совпадает с (5.8), что и требовалось доказать.

Традиционно в классической формуле Н. Е. Жуковского обычно предполагается ортогональность векторов У„ и Х(1). Однако нетрудно показать, что она справедлива и в случае неортогональности Ут и ЬП) (скользящее

крыло бесконечного размаха). Будем предполагать, что во всем объеме G+ объемные векторы завихренности со параллельны друг другу, это касается и поверхностных вихрей у на S. Для доказательства представим векторы, входящие в (6.17), в виде: Ут =Уоо±+У\\, U' = u'± +Щ +#1хц,

U" = U]_ + £/|" + Uj_x|| ■ Здесь подстрочный индекс «!.» означает компоненту

соответствующего вектора, параллельную плоскости векторов Ух и со (или У„ и у) и ортогональную со (или у); индекс «||» означает компоненту вектора, параллельную со (или у); индекс «_1_х ||» означает компоненту, ортогональную компонентам с индексами «_1_» и «||». Тогда, подставляя указанные разложения в (6.15), получим, что У^ц xw= У^ х у = JTjj х = t/|" х у = О, а интегралы

(adG+, pj(t^l + €7j_x||)xydS аналогичны (6.18) и об-G+ S

ращаются в нуль. В итоге получим:

Л = рГоо1ГА, (6.19)

где A = (F00_Lxto)/|F00_L х<0 I, или к = (F^ ху)/| ху |. Но Vml= = Vm sin 3, где |3 — угол между векторами F„ и со (или Ух и у ), причем, он, очевидно, равен углу между F„ и L{]\ Следовательно, (6.19) может быть записано в виде: В=рУ„ х Г, Г = Г Lil)/\L<])\. Для отрезка вихря длины dll1' эта формула может быть представлена в виде: dR = pFFo х dLiV]. Итак, формула Н. Е. Жуковского в виде (5.8) или (5.9) справедлива и в случае неортогональности векторов Ух и L[X\ и, таким образом, имеет место полная аналогия между формулой Ампера и формулой Н. Е. Жуковского.

Можно отметить, что и вывод формулы Ампера в виде (5.6) или (5.7) может быть проведен совершенно аналогично из выражений (5.4), (5.5), или им подобных — при непостоянстве ц во всем пространстве. Причем, в силу равенства нулю интегралов, аналогичных (6.18), из такого вывода, в частности, следует, что сила, действующая на проводник, не зависит от магнитной проницаемости самого проводника, а зависит только от магнитной проницаемости внешней среды.

Автор благодарит Е. С. Вождаева за полезное обсуждение работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Рязанов Г. А. Электрическое моделирование с применением вихревых полей.— М.: Наука.— 1969.

2. Тетельбаум И. М. Электрическое моделирование.— М.: Физмат-гиз.— 1959.

3. Сунцов Н. Н. Методы аналогий в аэрогидродинамике.— М.: Физ-матгиз.— 1958.

4. Д и т м а н А. О., С а в ч у к В. Д., Я к у б о в И. Р. Методы аналогий в аэродинамике летательных аппаратов.— М.: Машиностроение.— 1987.

5. Макаров J1. М., Же л е з н я к В. Н., Мальцев В. Н., Пиро-г о в В. В. Моделирование методом магнитной аэродинамической аналогии трехмерного обтекания летательных аппаратов с учетом работы силовых установок// Ученые записки ЦАГИ.— 1985. Т. 16, № 6.

6. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 1—9.— М.: Наука.—1967.

7. П а р с е л Э. Берклеевский курс физики. Т. II. Электричество и магнетизм.— М.: Наука.— 1983.

8. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэнде М. Фейнмановские лекции по физике. Т. I—9.— М.: Мир.— 1977.

9. Ацюковский В. А. Общая эфиродинамика. Моделирование структур вещества и полей на основе представлений о газоподобном эфире.— М.: Энергоатомиздат.— 1990.

10. К о ч и н Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления.—М.—Л.: ОНТИ,— 1937.

11. Тамм И. Е. Основы теории электричества.— М.: Наука.— 1989.

12. Дородницын А. А. Обобщение теории несущей линии на случай крыла с изогнутой осью и осью неперпендикулярной потоку//ПММ.— 1944. Т. VIII.

13. Майкапар Г. И. К теории тонкого крыла. Приложение теории винта// Труды ЦАГИ.— 1947. Вып. 613.

14. К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И. А., Р о з е Н. В. Теоретическая гидромеханика,—М.—Л.: ОГИЗ, ГОСТЕХИЗДАТ,— 1948.

15. Белоцерковский С. М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа.— М.: Наука.— 1965.

16. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости.— М.: Мир.—

1973.

17. Головкин М. А. Метод решения задачи об отрывном обтекании идеальной несжимаемой жидкостью произвольно движущегося трехмерного тела// Ученые записки ЦАГИ.— 1977. Т. 8, № 2.

18. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа.— М.: Наука.—

1970.

19. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1.— М.: Наука.— 1970.

20. Борисенко А. И., Тарапов И. К! Векторный анализ и начала тензорного исчисления.— М.: Высшая школа.— 1966.

21. Головкин М. А. Ортогональные векторные преобразования и фундаментальные свойства уравнений Навье— Стокса и Эйлера для вихревых течений несжимаемой жидкости// Ученые записки ЦАГИ,— 1991. Т. 22, № 1.

22. Пановский В., Филипс М. Классическая электродинамика. М.: Физматгиз.— 1963.

23. Mangier К. W., Smith J. Н. Calculation of nonlifting potential flow about arbitrary threedimensional bodies//J. Ship. Res.— 1964. Vol. 8, № 2.

24. П а в л о в е ц Г. А. Методы расчета обтекания сечений крыла идеальным несжимаемым потоком//Труды ЦАГИ.— 1971. Вып. 1344.

Рукопись поступила 27/IV1999 г