Подъемная сила и индуктивное сопротивление крыла конечного размаха в потоке вязкого сжимаемого газа при дозвуковых скоростях Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том X Ь

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2009

№ 5

УДК 629.735.33.015.3.025.73 533.6.011.34: 629.7.025.73

ПОДЪЕМНАЯ СИЛА И ИНДУКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА В ПОТОКЕ ВЯЗКОГО СЖИМАЕМОГО ГАЗА

ПРИ ДОЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ

А. С. ПЕТРОВ

Метод преобразования закона сохранения импульса для сплошной среды, примененный Н. Е. Жуковским при выводе теоремы о подъемной силе профиля в идеальной несжимаемой жидкости, обобщается на пространственный случай движения крыла конечного размаха в вязком сжимаемом газе. В результате получено выражение для главного вектора аэродинамических сил, являющееся аналогом теоремы Жуковского, но содержащее кроме подъемной силы боковую, а также силу сопротивления. Показана взаимосвязь силы сопротивления с подъемной силой. Получено приближенное аналитическое выражение для индуктивного сопротивления крыла в вязкой среде, исследована физическая природа его возникновения. Предельным переходом при Яе ~ получена формула Прандтля для индуктивного сопротивления крыла в идеальной жидкости.

Ключевые слова: подъемная сила, индуктивное сопротивление, вязкий сжимаемый газ.

1. Аэродинамические силы в пространственном случае. Теорема Жуковского [1] о подъемной силе профиля, выведенная почти век назад, блестяще объяснила ее природу возникновением циркуляции и оказала заметное влияние на все дальнейшее развитие теоретической аэродинамики. Как известно, Жуковский исходил из закона сохранения импульсов в форме Эйлера и в своем выводе ограничился плоским случаем обтекания профиля потоком идеальной несжимаемой жидкости. Несмотря на упрощенную модель среды, Н. Е. Жуковский первым разработал и применил регулярный подход к получению конкретных выражений для аэродинамических сил из общего закона сохранения импульса для сплошной среды.

Основой метода Н. Е. Жуковского можно считать фундаментальную идею перехода от первичных аэродинамических величин, фигурирующих в законе сохранения импульса, к которым можно отнести давление, плотность и скорость, к некоторым интегральным функциям, описывающим свойства физически существующих в реальных течениях объектов. К таким интегральным функциям в первую очередь следует отнести циркуляцию скорости, а также обильность источника-стока, толщину вытеснения, толщину потери импульса и т. п. Вторым центральным моментом работы Н. Е. Жуковского можно считать сам математический метод преобразования теоремы импульсов, приводящий к появлению в выражении для сил таких интегральных аэродинамических функций, как циркуляция.

Несмотря на то, что Н. Е. Жуковский ограничился плоским случаем, идеальной жидкостью и нахождением только подъемной силы, область применения его метода оказывается значительно шире. При ближайшем рассмотрении оказывается, что метод допускает обобщение на пространственный случай движения тела в вязкой, сжимаемой среде, и позволяет получить не только подъемную силу, но и полное сопротивление крыла, включая индуктивное.

Рассмотрим случай обтекания крыла конечного размаха стационарным потоком вязкого, нетеплопроводного газа при дозвуковых скоростях потока и больших числах Рейнольдса. Газ совершенный и подчиняется уравнению состояния Клайперона — Менделеева:

р = рЯТ .

Здесь р — статическое давление; р — плотность среды; Я — газовая постоянная; Т — абсолютная температура.

Для определения действующих на тело суммарных аэродинамических сил будем использовать закон сохранения импульса для сплошной среды в форме Эйлера [2], который для пространственного случая запишем в виде:

р = Л [ рМЪ + рУ (Гп )йЕ]. (1.1)

Е

Здесь р — главный вектор аэродинамических сил, действующих на тело; V = (Ух ,¥у ,У2) —

вектор скорости потока; йЕ — дифференциал площади поверхности интегрирования; п — единичная внутренняя нормаль к поверхности интегрирования.

Интегрирование ведется по замкнутой поверхности Е, окружающей обтекаемое трехмерное тело (рис. 1) и находящейся на большом, но конечном расстоянии от него. Очевидно, что поверхностью интегрирования может быть любая поверхность, охватывающая крыло, — сфера, куб, цилиндр и т. п. В выводе Жуковского контуром интегрирования является окружность. В рассматриваемом пространственном случае в качестве поверхности Е выберем для определенности сферу с центром в начале координат. На рисунке для простоты восприятия изображена только верхняя полусфера поверхности интегрирования.

Строго говоря, выражение (1.1) для вязкой жидкости должно содержать члены, зависящие от тензора вязких напряжений и убывающие при увеличении характерного расстояния контура от тела. Некоторые авторы, например, Г. Шлихтинг [3], Л. Д. Ландау и Е. М. Лифтттитт [4], приводя примеры применения теоремы импульсов (1.1) для вычисления сопротивления в вязкой жидкости, даже не упоминают об их существовании. При этом всеми молчаливо предполагается, что эти члены всегда исчезают при большом расстоянии поверхности интегрирования от тела и при больших числах Рейнольдса. Многочисленные экспериментальные проверки теорий профильного сопротивления, построенных на этой гипотезе, позволяют предположить, что этими членами можно пренебречь и в общем пространственном случае при правильном выборе характерного размера и положения поверхности интегрирования. В основном это касается части поверхности интегрирования, пересекающей спутный след за крылом на некотором достаточно большом, но не бесконечном характерном расстоянии (радиусе) Я1, и обычно называемой плоскостью Треффтца. Вопрос определения расстояния до плоскости Треффтца достаточно тонкий и неоднозначный. Например, в работе [5] предполагается, что существует некоторое расстояние полной диссипации возмущений £2. И если ограничиться классом хорошо обтекаемых тел, типа профилированных крыльев и фюзеляжей, то радиус Я1, определяющий положение плоскости Треффтца, находится в диапазоне В << Ях << Ь2, где В — характерный размер тела.

Позиция автора настоящей статьи состоит в том, что не существует расстояния полной диссипации возмущений и информация об обтекании содержится и на бесконечности. Это соответствует классическим результатам по вычислению профильного сопротивления из теории пограничного слоя, где оно выражается через толщину потери импульса на бесконечности.

Приступим к преобразованию выражения (1.1), обобщая на трехмерное пространство методику Н. Е. Жуковского, разработанную им для плоского случая и идеальной жидкости [1]. Одним из ключевых моментов метода Жуковского является использование связи между давлением и

'V

Рис. 1. Поверхность интегрирования и условные обозначения

модулем скорости потока, которая для идеальном несжимаемом жидкости дается классическим уравнением Бернулли или изоэнтропическими формулами для идеальной сжимаемой среды.

Для вязкой сжимаемой и завихренной в общем случае среды следует использовать более общие «неизоэнтропические» формулы связи между давлением, плотностью и модулем скорости течения. Согласно Л. И. Седову [7], энтропия в вязкой жидкости вводится так же, как и в идеальной:

AS = — lnp —— ln p

R -m-ppI

Y-1 pY Y-1 pi Y-1 pipY

(1.2)

Здесь А5 — изменение энтропии в точке пространства по сравнению с ее значением на бесконечности. Будем рассматривать далее только «изоэнергетические» течения, в которых сохраняется полная энтальпия потока Н:

p V2 p V2

H =£ + cvT + —= ^ + cvTi+^. p 2 p„ 2

(1.3)

Здесь cv — теплоемкость газа при постоянном объеме, V =

V

модуль вектора скорости.

Из (1.2) и (1.3) чисто алгебраическим путем можно получить:

p = pi e

„-AS

1 + Y-1Mi (1-

V

Y

Y-1

p = pie

-AS

1+ Y-1M i(1-

V

v,

1

Y-1

(1.4)

Здесь AS = AS/R; М» — число Маха набегающего потока; у — показатель адиабаты. Для изоэнтропических течений AS = 0, и полученные выражения превращаются в классические изо-энтропические формулы [2].

Продолжим преобразование (1.1). Будем считать, что на тело набегает невозмущенный и незавихренный поток с вектором скорости V» , и введем вектор возмущений скорости течения V по обычному принципу:

V = V. + V?'.

—►

Согласно одной из теорем О. А. Ладыженской [8, стр. 168], поле скоростей V, как решений

—►

уравнений Навье — Стокса, равномерно стремится к V» = const при удалении от тела. В связи с этим можно считать, что на удаленной поверхности интегрирования X всегда выполняется

условие

V'

<<

V,

. Тогда, считая

V'

малым параметром, разложим по нему статическое давление

и плотность среды, оставляя в разложении только члены нулевого и первого порядков малости:

p = e-AS [pi - pi (ViV')] + p,O(A2),

p = p, e-AS [1 - ] + p,O( A2).

a„

2

2

Здесь — скорость звука на бесконечности. Обозначение А принято для безразмерных членов разложений второго и выше порядков малости, с точностью до членов второго порядка

—* 2

V

—* 2

Vi

Подставляя полученные выражения в (1.2) и сохраняя под интегралами в явном виде только члены с нулевым и первым порядком малости на поверхности интегрирования, получаем для главного вектора аэродинамических сил выражение:

нов второго и выше порядков малости. Предположим далее, что на поверхности тела и внутри объема, ограниченного поверхностью интегрирования, нет источников-стоков среды. Тогда

В этом случае выражение (1.5) для главного вектора аэродинамических сил принимает вид:

В общем случае член с источниками-стоками можно без особого труда учитывать и далее. Рассмотрим второй интеграл в (1.6), который представляет собой вектор, являющийся частью главного вектора аэродинамических сил и зависящий от изменения энтропии и значений возмущенных скоростей на поверхности интегрирования (в отличие от первого, который зависит только

—►

от изменения энтропии). Обозначим его ^ и займемся его преобразованием. С использованием хорошо известных формул векторного анализа [9], представим его в виде двойного векторного произведения:

Рассмотрим, чему соответствует полученное выражение в случае плоского (или бесконечного цилиндрического) тела, для которого в поточной системе координат

Раскрывая векторное произведение под интегралом, получаем для единицы длины вдоль размаха крыла:

Видно, что в этом случае ^ дает вклад только в подъемную силу, причем при ДО = 0 (идеальное, незавихренное течение без теплообмена) превращается в классическую теорему Жуковского для крыла бесконечного размаха:

Здесь Гz — циркуляция скорости по замкнутому контуру интегрирования L, образованному

пересечением плоскости Z = const с поверхностью интегрирования X. В случае идеальной жидкости циркуляция скорости по контуру L равна циркуляции скорости по контуру профиля крыла.

—►

Таким образом, показано, что часть аэродинамической силы F имеет циркуляционную природу и, по крайней мере, в идеальной жидкости и для плоского случая равна подъемной силе.

F = Цe-ASpindE + Pi jje-AS [(Vin)V' - (VVi )n]dE +Vi jjp(V*)dE + jjO(52)dE. (1.5)

Здесь через

условно обозначены интегралы по поверхности от размерных чле-

Vi jj P(Vn )d E = 0.

E

F = ft e-AS Pi nd E + Pi jj e-AS [(Vi n) V' - (V Vi )n ]d E + jj O(52 )d E

(1.б)

EE E

E

E

E

Vi = (Vi ,0,0), V ' = (VX ,Vy ,0), nd E = dndz, dn = (-dy, dx,0).

F2 = (0, - PiVir*, 0), Г* = j> e~A (VXdx + Vydy)

L

F2 j = - PiV^ z, Г z = <j) (V> + Vydy)

L

Рассмотренный плоский случай подсказывает направление дальнейших преобразований F2 . Выразим (1.7) через циркуляции скорости по контурам, образующимся при пересечении поверхности интегрирования перпендикулярными плоскостями Z = const и Y = const (см. рис. 1). Пусть поверхность интегрирования X (сфера) пересекается с перпендикулярными плоскостями Z = const и

Y = const по контурам, которые обозначим через Lz и Ly . Введем также единичные касательные

вектора к контурам Lz и Ly , обозначив их Tz и Ty . Направим касательную Ty в сторону положительного направления оси Oz . В этом случае единичную внутреннюю нормаль n к поверхности интегрирования X можно выразить через векторное произведение касательных как n = [ Тy XTz ] . Отметим, что в этом случае система векторов Tz, n, Ty сонаправлена с системой координат Oxyz. Аналогичные направления касательных и нормали были приняты Н. Е. Жуковским [1] в плоском случае при выводе теоремы о подъемной силе. Тогда подынтегральное выражение в (1.7) с использованием формул двойного векторного произведения можно выразить следующим образом:

jje~AS[V'Xn]dX = jje-AS[V'X[Ty xtz]]dX = jje-AS[(V%)Ty - (V'Ty %]dX .

XX X

Представим дифференциал площади поверхности интегрирования в виде:

dX = |Ty xTz|dsydsz ,

где dsy и dsz — дифференциалы длин дуг вдоль контуров Lz и Ly соответственно. Но так как [Тy X Tz ] = n , а нормаль по определению единичная, то |Ty X Tz | = 1, и dX = dsydsz. Введем далее дифференциалы касательных векторов dTy = Tydsy = (dx, 0, dz), dTz = Tzdsz = (dx, dy, 0). Подставляя все в полученное выше выражение, после несложных преобразований получаем:

jje-AS [(V%)Ty - (V'Ty)Tz ]dX = jje-AS [(V'dTz )dTy - (V'dTy)dTz ].

X X

—►

Подставляем далее преобразованные члены в выражение (1.7) для F2 :

F = P~V» X jje-AS [V' X n ]dX = p„V„ X jje-AS [(V'dTz)dTy - (V'dTy )dTz ].

X X

Перейдем в полученном выражении от интеграла по поверхности к двойному [9], причем в первом и во втором членах примем свою последовательность интегрирования:

_ +R _

F2 = p„V„x jje-AS [(V'dTz )dTy - (V'dTy )dTz] = P. j (j) e-AS (V'dTz )[VLxdTy ] -

-р„ | фе-А?(У'Лу)[^х^]. (1.8)

- Й1 ^

Видно, что скалярные произведения в подынтегральном выражении являются дифференциалами циркуляции вектора возмущенной скорости по соответствующим направлениям. В свя-

* >к >к >к

зи с этим введем пространственный вектор Г = (Г х, Г у , Г z) («трехмерный скаляр» в терминологии Л. И. Седова [7]) с компонентами:

Г

= ф е—д? (Уй ту) = ф е—д? (Ух'йх + У^2), (1.9)

З-’у З-’у

Г* = ф е~д (У'йт2) = ф е~д (У^х + У'ус1у).

Компоненты введенного вектора отличаются от классических циркуляций по соответст-

—д? - „ „

вующим контурам множителем е , который равен единице для идеальной незавихренной

^ *

жидкости при Д? = 0. В связи с этим компоненты вектора Г (1.9) можно условно назвать «обобщенными» циркуляциями. (Аналогичная терминология использована в работе [6].)

Будем далее предполагать, что радиус сферы интегрирования стремится к бесконечности. Тогда интегрирование вдоль осей 2 и у можно вести в бесконечных пределах и окончательно век-—►

тор % (1.8) можно представить в виде:

+— +—

% = р- | Г* [У- х йТу ] — р- | Гу [У- х йт2 ].

—— ——

Раскрывая векторные произведения, получаем его компоненты:

+— +—

%2 = (0, — р-У- | Г>, р-У- | Г*уйу). (1.10)

—— ——

*

Отметим, что компонента вектора «обобщенной» циркуляции Гх, несмотря на то, что она может быть отличной от нуля в общем случае, не дает никакого вклада в суммарный вектор силы в выбранной (поточной) системе координат.

—►

Подставляя % в виде (1.10) в общее выражение для сил (1.6), получаем окончательное выражение для главного вектора аэродинамических сил в пространственном случае. Отметим, что

оно полностью совпадает по векторной структуре с выражением для плоского изоэнергетическо-го случая, рассмотренного в работе [6]:

%

= Р- ДО е"Д?«йХ+рте [У-хГ**]. (1.11)

** * * *

Здесь введено обозначение Г = ( I Гхйх, I Гуйу, I Г2й2). Предполагается также, что ин-

—— —— ——

тегралы от членов второго и выше порядков малости стремятся к нулю при бесконечном увеличении радиуса сферы интегрирования. В компонентах выражение для сил (1.11) будет выглядеть

следующим образом:

%х = Р-е~Д?йЕ, (1.12)

+—

% = -р„у„ I Г>, (1.13)

——

+—

% = р-У- I Г*уйу . (1.14)

Е

Таким образом, в рамках сделанных ограничений получено общее выражение для главного вектора аэродинамических сил в случае пространственного обтекания тела потоком вязкой сжимаемой жидкости.

Проведем общий анализ полученных выражений (1.11 — 1.14). Начнем с подъемной силы (1.13), так как сопротивлению будет посвящен следующий раздел работы. В идеальной жидкости

при Д? = 0, Г2 =Г2 и (1.13) превращается в хорошо известное в теории крыла выражение для подъемной силы, полученное с помощью классической теоремы Жуковского и гипотезы плоских сечений:

+—

%у = -р-у- I Г2йг .

—Основным и принципиальным отличием вязкого случая от идеального является то, что под интегралом в (1.13) стоит «обобщенная» циркуляция Г* , определяемая выражениями (1.9).

«Обобщенная» циркуляция, зависящая, помимо поля скоростей, от энтропии течения на контуре интегрирования, в отличие от классической, учитывает все вязкие эффекты обтекания, связанные с образованием завихренности. Так как энтропия течения при реальном обтекании тела (без теплообмена со средой и подвода механической энергии) может только возрастать, то всегда

Д? > 0 и множитель е_д? под интегралом всегда меньше единицы. Как следствие этого, «обобщенная» циркуляция по фиксированному контуру интегрирования всегда будет меньше классической Г2 < Г2, и подъемная сила крыла в вязкой жидкости всегда будет меньше, чем в идеальной при прочих равных условиях.

Этот факт хорошо известен и подтверждается всеми имеющимися экспериментальными данными. С другой стороны, это означает, что подъемная сила крыла зависит от его полного сопротивления, так как оно, согласно (1.12), зависит только от возрастания энтропии.

В связи с этим подъемная сила крыла должна возрастать с уменьшением его полного сопротивления. Факт роста несущих свойств крыла при увеличении числа Рейнольдса и уменьшении сопротивления при неизменном характере обтекания хорошо известен в литературе.

Поиск энтропии течения за крылом, необходимой для расчета «обобщенной» циркуляции и подъемной силы, является сложной самостоятельной задачей, решение которой возможно только в рамках уравнений Навье — Стокса, что выходит пока за пределы настоящей работы.

Безусловно, главным отличием полученных выражений (1.11 — 1.14) от тех, что можно получить в идеальной жидкости, является наличие силы сопротивления (1.12), зависящей только от возрастания энтропии течения и исчезающей, если изначально положить Д? = 0. В работах [6, 10] показано, что все виды сопротивления в плоском случае — профильное и волновое, для изоэнер-гетических течений определяются ростом энтропии в плоскости Треффтца. В пространственном случае для крыла конечного размаха появляется еще одно сопротивление — индуктивное.

2. Индуктивное сопротивление крыла в вязком сжимаемом газе. О физической природе возникновения индуктивного сопротивления в классической литературе нет единого мнения. Все соглашаются с тем, что оно имеет вихревую природу и тесно связано с системой свободных вихрей за обтекаемым крылом, индуцированным ими скосом потока в области крыла и подъемной силой. Само индуктивное сопротивление наиболее часто трактуется как часть подъемной силы (или главного вектора сил) в потоке, скошенном вблизи несущей линии крыла. Причем под главным вектором силы подразумевается сила Жуковского, имеющая чисто циркуляционную природу. Например, у Л. Г. Лойцянского [2, стр. 364]: «...отмечая вихревую природу сопротивления, представляющего часть подъемной силы в потоке, скошенном вблизи несущей линии, благодаря индуктивному действию вихревой пелены, это сопротивление называют индуктивным».

Следуя В. В. Голубеву [11], можно сказать, что такое чисто механистическое объяснение природы индуктивного сопротивления больше похоже на «наглядное истолкование» формул теории несущей линии Прандтля. Подобное истолкование индуктивного сопротивления, сыграв в свое время большую роль в теории крыла, никак не может претендовать на объяснение физических причин его возникновения.

Рис. 2. Плоскость Треффтца, пересекающая завихренную зону за крылом

О причине возникновения индуктивного сопротивления в вязкой жидкости высказываются, например, Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц [4]: «Существенную часть силы сопротивления, испытываемой хорошо обтекаемым крылом (конечного размаха), составляет сопротивление, связанное с диссипацией энергии в тонком турбулентном следе. Это сопротивление называют индуктивным».

Дж. Бетчелор [12] объясняет возникновение индуктивного сопротивления следующим образом: «По мере увеличения длины этих спутных вихрей тело непрерывно передает кинетическую энергию жидкости. Эта энергия определяет сопротивление, известное как индуктивное сопротивление... ».

Объяснение причин возникновения индуктивного сопротивления в рамках идеальной жидкости без видимого участия вязкости среды вызывало, по-видимому, наибольшее затруднение у классиков. Понимая физическую неординарность явления, они, как правило, дипломатично обходили этот вопрос стороной. Из всех классиков только Л. И. Седов [7, т. 2, стр. 289] высказывается именно о физической причине возникновения индуктивного сопротивления в идеальной жидкости: «.в рамках теории идеальной жидкости в установившемся движении в бесконечности сзади крыла . остается возмущенное движение жидкости (нет выравнивания давлений и скоростей), за счет нарастания энергии этого возмущенного движения получается индуктивное сопротивление в идеальной жидкости». Ключевыми словами этого высказывания являются «.за счет нарастания энергии этого возмущенного движения...».

Приступим к выводу конкретных выражений, определяющих величину индуктивного сопротивления и проясняющих глубинную физическую природу его возникновения. Полное сопротивление крыла определяется выражением (1.12). В качестве контрольной поверхности интегрирования выберем, например, куб, на передней грани которого поток невозмущен. Предположим, что вихревой след за крылом пересекает контрольную поверхность только в плоскости Треффтца, перпендикулярной оси ох (рис. 2). Тогда, согласно (1.12), полная сила сопротивления крыла будет выражаться следующим образом:

Здесь Д?(у, 2) — распределение энтропии (возрастания энтропии) в плоскости Треффтца Ет . Интегрирование по другим плоскостям контрольной поверхности не дает вклада в силу сопротивления.

При малых значениях возрастания энтропии, что является достаточно хорошим приближением при дозвуковых скоростях потока и малых углах атаки, выражение для сопротивления (2.1)

Д? (у, 2 )

(2.1)

можно упростить, разложив его в ряд Тейлора и оставив в разложении только главный член. В этом случае оно принимает вид:

Полученное выражение содержит все известные и традиционно различаемые виды сопротивления — профильное, волновое и индуктивное, причем каждому виду сопротивления соответствует свой источник («генератор») энтропии. Наиболее привычным и изученным источником энтропии является скачок уплотнения и связанное с ним волновое сопротивление. Впервые выражение (2.2) было получено Т. Карманом [13] именно для волнового сопротивления.

Для выделения только индуктивного сопротивления из общей «кучи» (2.2) необходимо найти источник роста энтропии Д? в плоскости Треффтца Хт, определяющий возникновение именно индуктивного сопротивления. Но если в идеальной несжимаемой жидкости понятие индуктивного сопротивления сформулировано точно, так как других видов сопротивления просто нет, то в вязкой жидкости, где могут присутствовать все виды сопротивления, и все они тесно взаимосвязаны, необходимо уточнить, что следует понимать под термином «индуктивное сопротивление».

Согласно классическим уравнениям Крокко, для «эффективно невязких» (в терминологии Дж. Бетчелора [12]) изоэнергетических течений возрастание энтропии теснейшим образом связано с наличием завихренности:

Здесь Й = rot (V) — вектор завихренности потока, образование которой в «эффективно невязкой» среде приходится постулировать.

При дозвуковом или околозвуковом обтекании крыла вязким потоком источник завихренности можно условно разделить на три части. Это, во-первых, пограничный слой. Завихренность, попадающая в поток из пограничного слоя, определяет профильное сопротивление. Во-вторых, — скачок уплотнения. Завихренность, рождающаяся за скачком уплотнения, определяет волновое сопротивление. И, наконец, завихренность, сходящая с задней кромки в виде «свободных вихрей» (в терминологии идеальной жидкости) вследствие изменения циркуляции вдоль размаха крыла и в соответствии с теоремой Гельмгольца. Все составляющие вектора завихренности в вязкой среде теснейшим и нелинейным образом «переплетены» друг с другом, и такое деление достаточно условно.

По аналогии с идеальной жидкостью будем считать, что индуктивное сопротивление связа-

—►

но только с вектором завихренности Йг-, сходящей с задней кромки крыла вследствие изменения циркуляции скорости вдоль размаха крыла. Такое определение индуктивного сопротивления в вязкой среде будет непротиворечиво при предельном переходе к идеальной при Re .

—►

Решение задачи о нахождении вектора завихренности Йг-, необходимого для определения индуктивного сопротивления и энтропии за крылом в вязком газе, возможно только в рамках полных уравнений Навье — Стокса, что само по себе является сложнейшей задачей. В связи

—►

с этим будем считать, что вектор завихренности Йг- в плоскости Треффтца каким-то образом уже определен и известен. Будем также считать, что обтекаемое крыло достаточно большого удлинения и углы атаки малы, а набегающий поток — несжимаемый, и его температура постоянна. В этом случае вихревую зону за крылом в плоскости Треффтца в первом приближении можно

—►

считать двумерной и образованной вектором завихренности Йг-, у которого отлична от нуля

—►

только одна компонента Йг- = (Йx ,0,0) .

С другой стороны, вязкое течение далеко за крылом при больших числах Рейнольдса можно считать «эффективно невязким» и описываемым классическими уравнениями Крокко (2.3) для

(2.2)

T grad(S) = [Йх V ].

(2.3)

изоэнергетических течений. Для такого двумерного течения в плоскости Треффтца уравнения Крокко в компонентах будут иметь вид:

T.f = -ВД, T»dS = QxVy. (2.4)

dy dz

Здесь Й x = Й x (y, z) — заданное распределение завихренности в плоскости Треффтца.

Таким образом, задача сводится к нахождению энтропии завихренной зоны в невязкой несжимаемой жидкости с произвольным распределением завихренности и при постоянной температуре. Приступим к ее решению.

Введем обычным образом [14] функцию тока течения I(y, z) в плоскости Треффтца и выразим с ее помощью компоненты вектора скорости:

Э! Э!

V = -— V =-—-

y 3z ’ z Эу '

Подставляя их в (2.4), получаем:

TJA = п . «I, T.® = ЙХ » (2.5)

го ^ го ^ X -\

oy oy dz dz

Для нахождения интеграла от энтропии, фигурирующего в выражении (2.2), воспользуемся одним из фундаментальных свойств энтропии — ее аддитивностью [7, т. 2]. Принцип аддитивности гласит, что для нахождения общей энтропии системы ее можно разбить на произвольное количество независимых элементов и, найдя энтропию каждого, потом их сложить. Принцип аддитивности наиболее очевиден при постоянной температуре термодинамической системы, когда интегральная энтропия каждого элемента, по определению, пропорциональна количеству его тепловой энергии.

Воспользовавшись теперь этим принципом, а с другой стороны, просто по определению, заменим интеграл в (2.2) интегральной суммой

п N

Fx = lim ^ + O(A2). (2.6)

N R i=i

Здесь N — число элементов разбиения завихренной зоны; АХг- = AyiAz. — площадь i-го элемента разбиения; ASi — значение удельной энтропии в какой-либо точке i-го элемента разбиения.

Будем считать также завихренность постоянной в пределах каждого элемента и равной завихренности, например, в его геометрическом центре. Очевидно, что это всегда справедливо для достаточно гладкого распределения завихренности. Тогда для каждого i-го элемента разбиения с постоянной завихренностью Йxi уравнения (2.5) можно записать в виде одного векторного уравнения, справедливого в границах элемента:

gradCOAS. -Йхг I) = 0.

Полученное уравнение имеет очевидный интеграл:

TroASi - ЙI = const.

Выражая энтропию элемента, получаем:

AS. (у, z) = ASoi + TLЙ^I(y, z). (2.7)

го

Здесь I( y, z) — функция тока течения в пределах i-го элемента; AS0i — постоянная интегрирования для выделенного i-го элемента разбиения, которую можно положить равной нулю, так как энтропия определяется с точностью до аддитивной постоянной.

Воспользуемся теперь известным [14] выражением для функции тока в полубесконечном завихренном пространстве:

* (Р) =-4П Я ^х ^ )1п! ^ - Р ё ¥ п,

ЕТ

Р = (У, г), Я = (£, п).

Здесь интегрирование ведется по плоскости Треффтца в пределах завихренной зоны и интеграл понимается в смысле главного значения. Тогда значение энтропии (2.7) в пределах

/-го элемента можно представить в виде:

^ (Р) = -ТЦГДОЦ(^)1пЯ - Р|^п . (2.8)

* го V

ЕТ

Подставляя полученное выражение в (2.6), получаем:

р N

Р = -^Ейх,[ЦЦх(Я)1пIЯ -Р^ШЛуМ.

/=1 Ет

При N и стягивании элемента разбиения в точку выражение для индуктивного сопротивления окончательно принимает вид:

Р =-РпИЦ(Р)[{{Ц(я)1п|Я - Р\d^dп]dydz + 0(Л2). (2.9)

Ет Ет

Проведем анализ полученного выражения (2.9) с максимально общих позиций и постараемся получить ответ на вопрос о физической природе возникновения индуктивного сопротивления. Начнем с анализа его размерности. Нетрудно заметить, что выражение (2.9) имеет размерность энергии на единицу длины:

г 2 2 т [М ][¥2] энергия

[Р ] = [плотность х завихренность х площадь ] =---=---------.

[Ь] длина

Здесь [М] — размерность массы, [V] — скорости, [Ь] — длины.

Учитывая тот факт, что индуктивное сопротивление с точностью до множителя представляется интегралом от энтропии, являющейся мерой механической энергии, необратимо перешедшей в тепло, а сама энтропия возрастает только благодаря образованию завихренности, то можно утверждать, что индуктивное сопротивление равно части механической энергии потока, необ-

—►

ратимо тратящейся на образование завихренности Ц и переходящей в тепло на единицу пройденного телом пути.

Данному определению наиболее близко по смыслу объяснение Л. Д. Ландау и Е. М. Лиф-шица [4], приведенное в начале раздела и связывающее возникновение индуктивного сопротивления «...с диссипацией энергии в тонком турбулентном следе...». Таким образом, вопреки самому распространенному мнению скосы потока, индуцируемые свободной вихревой пеленой в области несущей линии крыла, прямого отношения к физической природе индуктивного сопротивления не имеют.

Индуктивное сопротивление в идеальной жидкости можно получить из общей формулы (2.9), переходя к пределу при Яе . Для этого оценим порядки входящих в выражение величин по числу Яе. С этой целью рассмотрим структуру вихревого следа, образованного компонентой завихренности Цх в потоке вязкой жидкости при больших числах Яе. Сама завихренность Цх, как уже отмечалось выше, появляется вследствие изменения циркуляции скорости вдоль размаха крыла и в соответствии с теоремой Гельмгольца. Разность поперечных скоростей над и

под следом напрямую не связана с вязкостью потока, что хорошо подтверждается при больших числах Рейнольдса всеми имеющимися данными и определяется, как и в идеальной жидкости:

г;- vr= "М.

dz

Здесь Г( г) — распределение циркуляции по размаху крыла.

Очевидно, что влияние вязкости сводится к тому, что изменение скорости в следе от VZ+ к V~ происходит не скачкообразно, как в идеальном случае, а «размазывается» на расстояние порядка толщины пограничного слоя в следе 5 = 0(1/л/Яё) для ламинарного характера течения [3]. Тогда завихренность Цх в следе будет иметь порядок величины:

Ц х = -V4V^ = 0(л/Яё).

5

Порядки изменения остальных переменных достаточно очевидны. Окончательно имеем:

Ц х = 0(1) = 0(л/Яё), dz = 0(1), dy = 0(1/л/Яе), d £ = 0(1), dn = 0(1/л/Яе).

5

Подставляя все в (2.9), убеждаемся, что сила сопротивления при Яе не исчезает, а имеет некий ненулевой предел, не зависящий от числа Рейнольдса:

Р(Яе ^~) = Рх0. (2.10)

Аналогичное доказательство можно провести и при турбулентном характере течения в следе с другим характером зависимости толщины пограничного слоя от числа Рейнольдса.

Полученный предел (2.10) можно трактовать как индуктивное сопротивление крыла в идеальной жидкости. Найдем в явном виде предел выражения (2.9) для индуктивного сопротивления при Яе . Будем считать, что при этом предельном переходе вихревой след за крылом (вихревая пелена) становится бесконечно тонким. Предположим также, что он плоский, расположен в плоскости у = 0 и простирается вдоль оси ог по всему размаху крыла. Аналогичные условия приняты Прандтлем в теории несущей линии. В этом случае завихренность Цх будет отлична от нуля (и будет стремиться к бесконечности) только в точках самой вихревой пелены. В этом случае ее можно представить в виде обобщенной функции:

Ц(У,г) = 5(у) . (2.11)

аг

Здесь 5(у) — дельта-функция Дирака [15] (не путать ее с характерной толщиной пограничного слоя, введенной выше). Распределение циркуляции вдоль размаха крыла будем считать известной.

Подставляя завихренность в виде (2.11) в выражение (2.9) и проводя интегрирование с учетом свойств 5-функции, получаем в главном члене знаменитую формулу Прандтля для индуктивного сопротивления, выведенную им из теории несущей линии в предположении плоской вихревой пелены [16]:

Таким образом, два изначально абсолютно разных подхода к теории индуктивного сопротивления в пределе пересекаются, давая один и тот же результат. В связи с этим можно считать, что выражение (2.9) является обобщением формулы Прандтля для случая непрерывного и произвольного распределения завихренности в вихревом следе за крылом.

Что касается физических причин возникновения индуктивного сопротивления, то они ничуть не изменились при предельном переходе от вязкой жидкости к идеальной. Механизм диссипации механической энергии потока и необратимости перехода части ее в тепло связан с самим фактом существования вихревой пелены за крылом, образование которой в идеальной жидкости постулируется.

И это количество механической энергии, переходящее в тепло при постулировании образования вихревой пелены за крылом в идеальной жидкости, постоянно возрастает с каждым метром пройденного телом пути. Образующееся тепло накапливается при этом в вихревой пелене и никуда не исчезает, так как в идеальной жидкости для этого нет соответствующего механизма.

Так и происходит, в полном согласии с Л. И. Седовым [7], постоянное «...нарастание энергии этого возмущенного движения» и образование индуктивного сопротивления в идеальной жидкости. Остается только уточнить, что под понятием «энергия» в данном случае следует понимать механическую энергию набегающего потока, перешедшую в тепло и необратимо потраченную на образование «этого возмущенного движения».

ЛИТЕРАТУРА

1. Жуковский Н. Е. О контурах поддерживающих поверхностей аэропланов. —

Избр. соч., т. II. — М. — Л., 1948.

2. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1973.

3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1974.

4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — М.: Наука, 1986.

5. Gerrit Schouten. Momentum, pressure and energy in the Trefftz-plane // J. of Aircraft. 1995. V. 32, N 5.

6. Петров А. С. Влияние реальных свойств газа на суммарные аэродинамические силы при дозвуковых скоростях потока // Теплофизика и аэромеханика. 2004. Т. 11, № 1.

7. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. I, II. — М.: Наука, 1970.

8. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. — М.: Наука, 1970.

9. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1964.

10. Петров А. С. О полном сопротивлении тела в потоке вязкого, теплопроводного газа // Ученые записки ЦАГИ. 1991. Т. XXII, № 2.

11. Голубев В. В. Лекции по теории крыла. — М.: Гос. изд. техн.-теор. лит., 1949.

12. Бетчелор Дж. Введение в динамику жидкости. — М.: Мир, 1973.

13. Фон Карман Т. Основы аэродинамики больших скоростей. — В сб.: Общая теория аэродинамики больших скоростей /Под ред. У. Р. Сирса. — М.: Воениздат, 1962.

14. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Т. 1, 2. —

М.: Физматлит, 1963.

15. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 1 — 5. — М.: Физматлит, 1961.

16. Prandtl L. Ergebnisse und Ziele der Gottinger Modellversuchanstalf // ZFM, N 3, 1913.

Рукопись поступила 2/X 2008 г.