Влияние теплообмена на несущие свойства крыла конечного размаха при дозвуковых скоростях Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том ХЬЇЇЇ

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2012

№ 1

УДК 629.735.33.015.3.025.73 533.6.011.35. 629.7.025.73

ВЛИЯНИЕ ТЕПЛООБМЕНА НА НЕСУЩИЕ СВОЙСТВА КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА ПРИ ДОЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ

А. С. ПЕТРОВ

С использованием закона сохранения импульса для сплошной среды исследованы аэродинамические силы, действующие на крыло конечного размаха при дозвуковых скоростях при наличии теплообмена со средой. Получено аналитическое выражение для главного вектора аэродинамических сил с учетом теплообмена, позволяющее, в частности, исследовать влияние теплообмена на несущие свойства крыла. Приведены результаты расчетных исследований аэродинамических характеристик крыла конечного размаха, полученные с помощью промышленных программ решения уравнений Навье — Стокса, полностью подтверждающие результаты аналитических исследований по влиянию теплообмена на подъемную силу. Проведена аналитическая оценка величины подъемной силы плоской пластинки под нулевым углом атаки, возникающей при нагреве или охлаждении одной из обтекаемых поверхностей.

Ключевые слова: подъемная сила, крыло конечного размаха, теплообмен, вязкий сжимаемый теплопроводный газ, дозвуковые скорости.

Теория влияния слабого теплообмена на несущие свойства и сопротивление плоского тела в вязком теплопроводном газе при дозвуковых скоростях была построена в работе автора [1]. До этого влияние теплообмена на подъемную силу при дозвуковых скоростях аналитически никогда не исследовалось. Численные и экспериментальные исследования, а также оценки влияния несимметричного теплообмена на подъемную силу приведены в работе [2].

Аналитические исследования по данному направлению получили продолжение в работе [3], где были получены общие выражения, позволяющие судить о качественном влиянии различным

образом организованного теплообмена на несущие свойства крыла конечного размаха, предсказывать смещение поляры сопротивления при теплообмене.

До упомянутых выше работ влияние теплообмена или теплопод-вода при околозвуковых скоростях исследовалось только в связи с его влиянием на аэродинамическое сопротивление. В работе [4] показано, как с помощью теплообмена можно управлять профильным сопротивлением. Большое количество работ посвящено исследованию возможности уменьшения волнового сопротивления с помощью подвода тепла в местную сверхзвуковую зону [5 — 7].

Подобные работы в самое последнее время приобретают определенную практическую значимость и актуальность в связи с возрастающим интересом к энергетическим методам управления аэродинамическими силами.

ПЕТРОВ

Александр Сергеевич В настоящей работе вопрос влияния теплообмена на подъемную

доктор физико- силу при дозвуковых скоростях подробно исследуется в общем про-

математических наук, г

ведущий нау4ный странственном случае обтекания тела потоком вязкого теплопровод-

сотрудник цаги ного газа.

В работе [8] задача о нахождении главного вектора аэродинамических сил при обтекании крыла конечного размаха потоком вязкого газа рассматривалась без учета влияния теплообмена. Рассмотрим общий случай обтекания крыла конечного размаха стационарным потоком вязкого, сжимаемого и теплопроводного газа при дозвуковых скоростях потока и больших числах Рейнольдса. Газ совершенный и подчиняется уравнению состояния Клапейрона — Менделеева:

р = рЯТ.

Здесь р — статическое давление; р — плотность среды; Я — газовая постоянная; Т — абсолютная температура.

Температура поверхности крыла Тм, в общем случае отлична от равновесной и может поддерживаться различной на верхней и нижней обтекаемых поверхностях. При этом может осуществляться как подвод, так и отвод тепла от обтекаемой поверхности.

В настоящей работе при выводе общих выражений для аэродинамических сил с учетом теплообмена во многом будут использованы методы, впервые примененные Н. Е. Жуковским при выводе его знаменитой теоремы о подъемной силе [9] и основанные на законе сохранения импульса.

В качестве исходного выражения при вычислении вектора силы Е, действующей на тело, будем использовать закон сохранения импульса для сплошной среды в форме Эйлера, который для пространственного случая запишем в виде:

Ц[рпйЕ + р Vфп)йЕ].

(1.1)

Интегрирование ведется по замкнутой поверхности Е, окружающей обтекаемое трехмерное тело; й Е — дифференциал площади поверхности интегрирования; п — единичная внутренняя

нормаль к поверхности интегрирования; V = (Ух V ,Уг) — вектор скорости потока. Поверхность

интегрирования Е и необходимые для дальнейшей работы обозначения представлены на рис. 1.

Строго говоря, выражение (1.1) для вязкой теплопроводной жидкости должно содержать члены, зависящие от тензора вязких напряжений, и которые должны убывать при увеличении характерного расстояния поверхности интегрирования Е от тела. Аргументы, позволяющие отказаться от учета вязких напряжений на удаленной поверхности интегрирования, приведены в работе [8].

В качестве поверхности интегрирования для дальнейших аналитических построений, так же как и в [8], удобно использовать сферу с центром в начале координат. Для практических целей удобнее куб или параллелепипед, правую грань которого в дальнейшем будем называть плоскостью Треффтца. На рис. 1 для простоты восприятия изображена только верхняя полусфера поверхности интегрирования. Характерный радиус сферы должен быть достаточно большим (но не бесконечным) и выбираться так, чтобы все возмущенные параметры на поверхности интегрирования были много меньше соответствующих параметров невозмущенного набегающего потока.

Приступим к преобразованию выражения (1.1), фактически объединяя вывод для плоского случая с учетом теплообмена [1] и для пространственного — без теплообмена [8]. Количественный учет влияния теплообмена будем производить по изменению полной энтальпии потока, которую в произвольной точке пространства и, в частности, на поверхности интегрирования можно представить в виде:

р V2

Н=^ + сТ + —

ра

Ра

+ сТа+ % + АН. (1.2)

Рис. 1. Поверхность интегрирования и условные обозначения

Е

Здесь су — теплоемкость газа при постоянном объеме; V = V — модуль вектора скорости;

АН — изменение полной энтальпии течения за счет теплообмена. Относительные изменения полной энтальпии везде будем считать малыми:

АН =А» <<,.

а»

Это условие соответствует слабому теплообмену тела со средой и позволяет в дальнейшем учитывать только линейные по АН члены.

Подвод (отвод) тепла и процессы диссипации механической энергии приводят также к изменению энтропии течения в пространстве и на поверхности интегрирования. Термодинамическая система крыло + среда, заключенная внутри поверхности интегрирования, в данном случае является открытой, и ее полная энтропия может как увеличиваться за счет подвода тепла «изнутри» тела, так и уменьшаться за счет отвода тепла. Согласно Л. И. Седову [11], энтропия в вязкой среде вводится так же, как и в идеальной. Тогда изменение энтропии в произвольной точке течения можно выразить следующим образом:

А£ = — \пР —— 1п Р» = -

у-1

у-1

* -\п-РР°

У - 1 Р»Р<

(1.3)

Здесь АS —изменение энтропии в произвольной точке пространства по сравнению с ее значением на бесконечности; у — показатель адиабаты. Выразим далее из (1.2) и (1.3) чисто алгебраическим путем статическое давление и плотность среды:

—АS

1 + 1Т1М»(1 —

V

г) + (у- 1)АН

V»

у

У-1

(1.4)

-АS

1 +^-^0 (1 -

V

г) + (у - 1)АН

V»

1

у-1

(1.5)

Здесь АS = АS / * — относительное изменение энтропии; рО, р», V..,, М» — статическое давление, плотность, скорость и число Маха на бесконечности.

Для изоэнтропических и изоэнергетических течений, для которых АS = 0 и АН = 0, полученные выражения превращаются в классические изоэнтропические формулы [13].

Введем обычным образом вектор возмущенной скорости V'

V = VО+ V'

и будем считать, что на удаленной от тела поверхности интегрирования |к'| << V» и V^ << 1.

V»

И _ _

Считая безразмерные величины = V' и АН малыми параметрами, разложим по ним выраже-

ния для статического давления и плотности, полученные выше:

— АS г „ _ /Т7 , _ А ТТЛ I „ А'1/а2'1

Р = [Р» - р» (V»V') + р»АН] + Р»О(А2):

Р = Р»^ [1

а^н , АН - (V»V')

] + р»О( А2).

(1.6)

(1.7)

Здесь через 0(Д2) обозначены все члены, содержащие квадраты безразмерных малых параметров V' и ДН .

Подставляя выражения (1.6), (1.7) в (1.1) и сохраняя под интегралами в явном виде только члены с нулевым и первым порядком малости на поверхности интегрирования, получаем:

Р = Ц е“^ [V п)Г - (УГХ )п ]ё Е V Ц р(Ш)ё Е +

Е _ Е (1.8)

+Ц е“м (р» + р» ДН )пё Е +р» Ц 0(Д 2 )ё Е.

Е Е

Здесь через Ц 0(Д2)ёЕ обозначен интеграл по поверхности от всех безразмерных малых

Е

параметров второго и более высокого порядков. Очевидно, что его величина меньше, чем у главных интегралов, и должна убывать с удалением поверхности интегрирования от тела. В связи

с этим при дальнейших преобразованиях его учитывать не будем.

Сравнивая выражение (1.8) с векторным выражением для аэродинамических сил без теплообмена, полученным в работе [8], отмечаем, что первый и второй члены в них полностью совпадают как не зависящие явно от теплообмена и изменения энтальпии. Третий член, явно зависящий от изменения энтропии и энтальпии, связан, очевидно, с теплообменом и диссипативными процессами. Преобразование первого интеграла подробно проведено в работе [8]. Он зависит только от поведения возмущенных скоростей на поверхности интегрирования и в результате выражается через циркуляции скорости по соответствующим контурам. В плоском невязком случае получается формула Жуковского для подъемной силы. Второй член не требует дополнительных преобразований и очевидно связан с дополнительным расходом среды через поверхность интегрирования.

С учетом полученных ранее в [8] результатов преобразования первого интеграла, выражение (1.8) для главного вектора аэродинамических сил с учетом теплообмена можно представить в виде:

Р = РооV» X Г**] + V»Цр(Ш)ёЕ + Це“^(р» + рхДИ)пёЕ . (1.9)

Е Е

+то +то +то

Г** = ( |г>, |г>, |г>),

г* = ф (V ё т х) = ф ^ (V; ё;+V»,

^х ^х

г; = ф е_Д? (V ё т;) = ф е_Д? ^ёх + v;dz), (1.10)

; ^;

Г2 = ф е“Д (Vётг) = ф е“Д (VXdx + v;d;).

Полученное векторное выражение (1.9) для пространственного случая полностью совпадает с двумерным, полученным в [1]. Циркуляции (1.10), входящие в выражения для сил и отличающиеся от обычных циркуляций множителем е~Д под интегралом, назовем «обобщенными» циркуляциями. Напомним, что в данном случае изменение энтропии зависит не только от вязких эффектов, но и от интенсивности и направления теплообмена тела со средой.

Таким образом, в рамках принятых ограничений получено общее выражение для главного вектора аэродинамических сил в случае пространственного обтекания тела потоком вязкой сжимаемой теплопроводной жидкости.

Опираясь на полученные ранее результаты и доказательства [1, 3], можно утверждать, что в векторном выражении (1.9) содержатся как частные случаи все известные виды сопротивления (профильное, индуктивное, волновое), подъемная сила, боковая и реактивная силы, а также силы, возникающие при теплообмене тела со средой.

Выразим из (1.9) компоненты вектора силы в поточной системе координат для поверхности интегрирования в виде куба (или параллелепипеда), охватывающего обтекаемое крыло. Будем считать, что источники (стоки) среды на поверхности крыла и внутри поверхности интегрирования отсутствуют (при желании их учет не представляет большого труда). Предположим также, что на левой грани куба поток не возмущен и сохраняются параметры потока на бесконечности. Тогда для силы сопротивления и подъемной силы из (1.9) получаем:

Р = Рю И (1 - е~А)^ - Рю И е~А АНЛуЛг, (2.1)

2т £т

+ю _ _

Ру = -РюУю | Г*й2 + Це_А5 (Рю + Р^АЯ“')ЛхЛг - Л е“^+ (Рю + Р^АЯ + )ЛхЛг . (2.2)

-ю Е- Е+

В выражении (2.1) для силы сопротивления интегрирование производится только в плоскости Треффтца Еу , где изменения безразмерной энтропии и полной энтальпии потока соответственно равны А£ (у, 2) и АН (у, 2).

В выражении для подъемной силы (2.2) интегрирование производится по нижней Е- и по верхней Е+ граням куба. Изменения безразмерной энтропии и полной энтальпии потока в этих плоскостях соответственно равны на нижней грани А£_(х,г) и АН_(х,г), на верхней —

А£+(х, г) и АН + (х, г) . Отличие от плоского случая заключается фактически только в дополнительном интегрировании по оси г.

Исследование влияния теплообмена на аэродинамическое сопротивление с использованием выражения (2.1) для плоского случая подробно проделано в [1], где, в частности, рассмотрена задача о сопротивлении плоской пластинки с температурой поверхности Тк, отличной от равновесной, при продольном обтекании. При малых дозвуковых скоростях потока в [1] получено аналитическое выражение для изменения коэффициента сопротивления пластинки вследствие теплообмена:

^ =-с/ Т2Г + °(А2). <2'3>

Здесь Тк = Тк /Тю относительная температура поверхности (или температурный фактор); Ц СР

Рг =-------число Прандтля; с^ — коэффициент сопротивления трения плоской пластинки при

любом, в том числе и смешанном (ламинарном и турбулентном), характере обтекания.

Теплообмен по условию задачи слабый и как следствие этого |Г№ -1| = А<< 1. В (2.3) через

0(Д2) обозначены все члены более высокого порядка малости.

Выражение (2.3) достаточно хорошо соответствует экспериментальным данным при слабом теплообмене и показывает, что при обтекании более нагретой, чем среда, пластинки ее сопротивление уменьшается [10]. Сопротивление более холодной пластинки увеличивается.

В настоящей работе основное внимание будет уделено аналитическому исследованию влияния теплообмена на подъемную силу крыла конечного размаха.

Первый член выражения (2.2) представляет циркуляционную составляющую подъемной силы и является интегралом от подъемной силы сечений крыла вдоль размаха. Отличие этого члена от классической формулы Прандтля состоит в том, что под интегралом стоит «обобщенная» цир-

* - А,~

куляция Г 2 (1.10), отличающаяся от классической множителем е , зависящим от диссипативных процессов, а также от интенсивности и направления теплообмена.

При отсутствии теплообмена в вязкой жидкости энтропия течения может только увеличиваться за счет необратимых диссипативных процессов, и подъемная сила всегда будет меньше, чем в идеальной, при том же уровне возмущенных скоростей. Факт уменьшения подъемной силы при увеличении вязкости потока (уменьшении числа Рейнольдса) хорошо известен.

При наличии теплообмена энтропия течения может как увеличиваться (при подводе тепла от тела в поток), так и уменьшаться (при охлаждении обтекаемой поверхности и отводе тепла). При этом величина циркуляционного члена при охлаждении поверхности может, в принципе, стать даже больше, чем в идеальном газе.

Однако подвод или отвод тепла от обтекаемого тела изменяет остальные члены, входящие в (2.2). Причем над и под телом величина их изменения может быть различной. Это происходит, например, при различных интенсивностях или направлениях теплообмена с верхней и нижней поверхностей. В этом случае конечный результат влияния теплообмена на подъемную силу будет зависеть от конкретного баланса всех трех составляющих.

Исследуем этот вопрос подробнее. Для малых А£ (х, г) = (х, г) / Я и АН (х, г) = АН (х, г) / аЮ,

характерных для дозвуковых скоростей и слабого теплообмена, выражение (2.2) для подъемной силы после преобразований и с точностью до членов второго порядка малости принимает вид:

+Ю

Ру = -Рю^Ю | Г*а2 + Ц (-РюАS~ + РюАН“)йхйг - Ц (-РюА& + + РюАН + )йхйг + о(1). (2.4)

-Ю Е- Е+

Чтобы ответить на вопрос, как изменяется при теплообмене подъемная сила, выразим подынтегральные выражения в двойных интегралах в общем случае, используя термодинамические соотношения.

Из всех термодинамических величин наиболее «осязаемой» и понятной является температура течения (наименее понятна, по-видимому, энтропия). В связи с этим для удобства дальнейшего анализа выразим изменения энтропии и полной энтальпии течения, входящие в (2.4), через изменение температуры течения на поверхности интегрирования АТ^ . Считая все изменения дифференциально малыми, выпишем дифференциал полной энтальпии течения и формулу Гиббса [11]:

Р йН = р й (с^Т + -Р) + рУ йУ = pcvdУ - р— + йр + рУйУ , (2.5)

Р Р

с^Т = -рй (^) + ТйБ.

Р

Умножим формулу Гиббса на плотность среды и, с учетом уравнения состояния, перепишем ее в следующем виде:

рйБ = рсуйТ - рЛр. (2.6)

Р

Для того чтобы замкнуть уравнения (2.5) и (2.6), придется принять одну из гипотез о поведении на поверхности интегрирования одной из гидродинамических величин, например давле-

ния. Так как поверхность интегрирования находится достаточно далеко от обтекаемого тела (но не в бесконечности!), то обычно принимается, что статическое давление на ней выравнивается и становится равным давлению в набегающем потоке. Предположение о выравнивании статического давления встречается в теориях аэродинамических сил достаточно часто [12, 14], приводит к непротиворечивым результатам и подтверждено прямыми расчетами [3].

Предположим, что на поверхности интегрирования йр = 0, и, продифференцировав при этом условии уравнение состояния, дополнительно получим:

Тй р + рйТ = 0. (2.7)

С учетом этих условий из полученных дифференциальных соотношений (2.5) и (2.6) следует:

я=л. л..

у-1 Т

Тогда подынтегральные выражения в (2.4) в дифференциальной форме суть:

1Т

-рй8 + рdЯ = Vd (р V) + р V2 ~т^ .

Для малых изменений параметров с точностью до членов второго порядка малости полученные выше выражения можно представить следующим образом:

— у АТ 2

А? =^—+ 0(А ), (2.8)

У-1 Т0

-р^А? + р^АЯ = V00А(рV) + р00V02 ^ + 0(А2). (2.9)

О

Подставляя (2.8, 2.9) в общее выражение (2.4) и предполагая отсутствие дополнительного расхода через поверхность интегрирования, получим:

Fy = -pooVo f r*zdz + p00V2[ff dxdz —ff —^dxdz] + o(1), (2.10)

—O £— o £+ o

Г* = ф e~—S (V'dtz ) = ф e_—S (VXdx + Vydy).

Lz Lz

Здесь AT£ и —T+ — изменения температуры вследствие теплообмена на нижней и верхней гранях поверхности интегрирования.

Проанализируем качественно полученное выражение для подъемной силы (2.10) при различных вариантах организации теплообмена. Начнем с циркуляционной составляющей, для чего представим ее в более наглядном виде. Изменение энтропии, входящее в обобщенную циркуляцию rz , с помощью (2.8) также выразим через изменение температуры АТ на контуре интегрирования Lz , охватывающем крыло при z = const:

f - f ——AT

Г* = ф e_AS Vdx + Vydy) = (f e Y—1 Vdx + Vydy). (2.11)

Lz Lz

Предположим теперь, что вся поверхность тела нагрета выше равновесной температуры. Тогда изменение температуры АТ на поверхности интегрирования и контуре Lz с очевидностью

——ATz

будет положительным и циркуляционный член за счет множителя e

Y-1 <

1 получит отрицательную добавку к подъемной силе. Соответственно при охлаждении всей обтекаемой поверхности вклад циркуляционного члена в подъемную силу может увеличиться.

Вклад в изменение подъемной силы второго и третьего членов (2.10), которые назовем «теплообменными», также зависит от характера организации теплообмена. Очевидно, что при теплообмене, близком к симметричному, когда нагрета или охлаждена вся поверхность обтекаемого тела, вклады этих членов компенсируют друг друга, и изменение подъемной силы определяется в основном циркуляционной составляющей.

При несимметричном теплообмене, когда, например, у тела сильнее нагрета нижняя обтекаемая поверхность, температура на нижней грани поверхности интегрирования будет всегда больше, чем на верхней, и, по крайней мере, на части этой поверхности будет выполняться усло-

+о

вие АТг > АТ+ . Тогда сумма интегралов в правой части (2.10) будет положительной и подъемная сила получит положительное приращение. Охлаждение нижней поверхности приведет к уменьшению подъемной силы.

Из аналогичных рассуждений следует, что нагрев верхней поверхности уменьшает подъемную силу, охлаждение верхней поверхности ее увеличивает.

Суммируя результаты проведенного анализа можно утверждать, что с точки зрения увеличения подъемной силы при фиксированном угле атаки гарантированный эффект можно получить, охлаждая верхнюю несущую поверхность обтекаемого тела. При этом положительный вклад в подъемную силу дают как циркуляционная, так и теплообменная составляющие в (2.10). И, наоборот, гарантированное уменьшение подъемной силы можно получить, нагревая верхнюю поверхность (или подводя тепло со стороны верхней поверхности). Отмечу, что нагревание верхней поверхности в данном случае эквивалентно подводу тепла в поток со стороны верхней поверхности. Уменьшение подъемной силы профиля при подводе тепла со стороны верхней поверхности подтверждено прямыми расчетами [6] и расчетными исследованиями, приведенными в следующем параграфе.

«Негарантированное» увеличение подъемной силы дает нагревание нижней поверхности (или подвод тепла со стороны нее), так как при этом увеличивается второй член в (2.10), но уменьшается циркуляционный. Конечный результат в данном случае не очевиден.

Процедура вывода выражения для главного вектора аэродинамических сил (1.9), основанная на законе сохранения импульса, позволяет сделать выводы о физической природе воздействия теплообмена на изменение подъемной силы.

Несимметричное, в связи с наличием твердой границы тела, изменение (увеличение или уменьшение) объемов жидких частиц, попадающих из набегающего потока в пограничные слои жидкости с другой температурой, приводит к изменению вертикальной составляющей их импульса. Изменение импульса жидкой частицы по закону сохранения передается с обратным знаком телу, которое в результате получает изменение действующей на нее вертикальной составляющей аэродинамической силы.

3. РАСЧЕТНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ВЛИЯНИЯ НЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕПЛООБМЕНА

НА ПОДЪЕМНУЮ СИЛУ

Расчетные исследования аэродинамических характеристик профиля КАСА 0012 и схематического крыла большого удлинения проведены на основе решения стационарной краевой задачи для уравнений Рейнольдса (ЯА^). Все расчеты проведены с помощью пакета программ АК8У8 СБХ-12.1. Использовалась двухпараметрическая модель турбулентности к — ю 88Т (с корректором для определения ламинарно-турбулентного перехода), которая позволяет задать или вычислить положение ламинарно-турбулентного перехода. Все расчеты проведены и любезно предоставлены автору доктором технических наук Г. Г. Судаковым.

Расчетные исследования основных аэродинамических характеристик профиля КАСА 0012

были проведены при числах Яе = 3.78-106 и М = 0.8. Численно были исследованы следующие варианты организации несимметричного теплообмена:

1. Вся поверхность профиля теплоизолирована.

2. Верхняя поверхность нагрета на АТ№ = +300° , нижняя — теплоизолирована.

3. Нижняя поверхность нагрета на АТК = +300° , верхняя — теплоизолирована.

4. Верхняя поверхность охлаждена на АТ№ = -100° , нижняя — теплоизолирована.

5. Верхняя поверхность охлаждена на АТ№ = -100° , нижняя нагрета на АТ№ = +100° .

Безусловно, нагревание поверхности на АТК = +300° превышает разумные для практических целей пределы. Расчеты при этих температурах были проведены для более наглядной демонстрации эффекта.

На рис. 2 приведены зависимости коэффициента подъемной силы профиля от угла атаки для всех упомянутых выше вариантов организации несимметричного теплообмена.

Рис. 2. Подъемная сила профиля при различных вариантах организации несимметричного теплообмена

Видно, что несимметричный теплообмен достаточно заметно изменяет подъемную силу профиля при фиксированном угле атаки даже при умеренном нагреве (на АТ№ = +100°) или охлаждении поверхности (на АТК =-100°). В полном соответствии с теорией, нагревание только верхней поверхности профиля (иР + 300°) заметно уменьшает подъемную силу. Нагревание нижней поверхности (LOW + 300°) ее увеличивает. Наиболее благоприятное влияние на подъемную силу при относительно небольшом энергетическом воздействии оказывает охлаждение верхней поверхности профиля (ИР - 100°). Именно в этом случае, как и предсказывает теория, теплообменная (нециркуляционная) добавка к подъемной силе и изменение циркуляционной составляющей в выражении (2.10) имеют положительные знаки и их воздействие суммируется.

Дополнительное к охлаждению верхней поверхности нагревание нижней (ИР - 100°, LOW + 100°) при малых углах атаки еще более увеличивает подъемную силу. При больших углах атаки это преимущество теряется, и вариант с охлажденной верхней поверхностью (ИР - 100°) и теплоизолированной нижней становится наилучшим по величине приращения подъемной силы и наиболее линейным. Результаты проведенных расчетов качественно совпадают с экспериментальными результатами работы [2].

С целью дальнейшего подтверждения теории о влиянии несимметричного теплообмена на подъемную силу и аэродинамическое качество были проведены расчеты аэродинамических характеристик схематического крыла большого удлинения с геометрическими параметрами: X = 16, X = 20.5°, п = 3.54, с = 15.4— 12.75%, при числе М» = 0.7, температуре набегающего потока

Т» = 288° и числе Яе = 24.6 • 106.

Расчет аэродинамических характеристик крыла проводился для следующих вариантов организации теплообмена:

1) Вся поверхность крыла теплоизолирована (а&аЬа1 на рисунках).

2) Верхняя поверхность охлаждена до температуры Тк = 200° (ИР - 100 на рисунках), нижняя — теплоизолирована.

3) Верхняя поверхность охлаждена до температуры Т№ = 200°, нижняя — нагрета до температуры Т№ = 388° (ИР - 100, LOW + 100 на рисунках).

Результаты расчетных исследований несущих свойств крыла, представлены на рис. 3. При охлаждении верхней поверхности крыла (ИР - 100 на рисунках), значение подъемной силы при фиксированном угле атаки увеличивается на заметную величину. Дополнительный нагрев нижней поверхности в данном случае практически не влияет на изменение подъемной силы. Прове-

Рис. 3. Влияние несимметричного теплообмена на подъемную силу

крыла

0.95

—С'

0.9

0.85

0.8

1 { 1— » сІіаЬаі ;р-юо

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

х 0.6

Рис. 4. Влияние охлаждения верхней поверхности крыла на распределение давления

денные расчеты позволяют выяснить основную причину увеличения подъемной силы крыла и улучшения характера обтекания при охлаждении верхней несущей поверхности.

Подъемная сила сечений крыла при охлаждении верхней поверхности возрастает вследствие увеличения (в среднем) разрежений на верхней поверхности (рис. 4). В то же время при приближе-

нии к задней кромке крыла наблюдается более полное восстановление давления, что свидетельствует об улучшении в целом характера обтекания и уменьшении предотрывности течения (рис. 5).

0.988

0.992

0.996

0.1

0.14

0.18

0.22

Рис. 5. Влияние охлаждения верхней поверхности на распределение давления в области задней кромки крыла

—о— Ср асІіаЬаі С^иР-80

Можно констатировать, что охлаждение верхней несущей поверхности в полном соответствии с теорией является основным действующим фактором улучшения несущих свойств крыла. Дополнительным положительным эффектом от охлаждения верхней поверхности, обнаруженным в расчетных исследованиях, является улучшение в целом характера обтекания и затягивание отрывных процессов по углам атаки.

4. ПРИБЛИЖЕННАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ТЕПЛООБМЕНА

НА ВЕЛИЧИНУ ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ

Для оценки величины изменения подъемной силы за счет теплообмена рассмотрим следующую задачу. Пусть тонкая пластинка обтекается под нулевым углом атаки потоком вязкой несжимаемой теплопроводной жидкости с числом Прандтля порядка единицы. Одна из поверхностей пластины, например нижняя, нагрета (или охлаждена) до температуры Т„, отличной от температуры набегающего потока То . Произведем при этих условиях оценку величины подъемной силы, возникающей вследствие слабого теплообмена. Для плоского случая из (2.10) следует:

+ТО

_ кт ~ АТ+

Ру = РоУофе“м(У^х + гуйу) + | -—йх- | -—йх + 0(1). (4.1)

Ь -о Т<х -о Т<х

Если выбрать прямоугольный контур интегрирования с удаленными верхней и нижней гранями, то интегрирование по оси Ох пропадает и из (4.1) получаем:

+ТО +ТО

Ру = -РоЛо | е~^ууйу + Р^ | ууйу + 0(1). (4.2)

-ТО -ТО

Интегрирование в первом члене ведется в плоскости Треффтца. Здесь ДО — относительное изменение энтропии на контуре в плоскости Треффтца. Во втором интеграле — по входной грани, где поток считается невязким и А£ = 0. Предположим, что вследствие теплообмена в плоскости Треффтца вертикальная составляющая скорости изменяется:

уу = ууо + уу т. (4.3)

Здесь Ууо — вертикальная возмущенная скорость без учета теплообмена, Уу т — изменение

вертикальной составляющей скорости вследствие теплообмена.

Сделаем дополнительное предположение, что на входной грани изменения вертикальной составляющей скорости вследствие теплообмена не происходит и Уу т = 0. Тогда, подставляя (4.3)

в (4.2), получаем:

_ +о _

Ру = -РоУофе~^У'уойу - РоУо I е~^уутйу + 0(1). (4.4)

Ь -то

Первый интеграл представляет собой основную циркуляционную часть подъемной силы плоского тела без учета теплообмена, но с учетом вязких, диссипативных эффектов (возрастания энтропии). Второй член — изменение подъемной силы только вследствие теплообмена, который вызывает изменение вертикальной составляющей скорости в плоскости Треффтца. Очевидно, что первый интеграл для пластинки под нулевым углом атаки равен нулю.

Свяжем величину изменения вертикальной скорости Уу т с изменением температуры следа

вследствие теплообмена и далее с температурой поверхности тела. Для почти плоского течения в следе за пластинкой и отсутствия источников (стоков) среды внутри контура интегрирования из уравнения неразрывности следует:

Рис. 6. Влияние охлаждения верхней поверхности на вертикальную скорость в плоскости Треффтца

А(рУ-) = Ар Ух + АУхрх + 0(А2) = 0.

Из этого условия и из условия постоянства давления (1.16) получаем соотношение:

(4.5)

АУх АТ 2 \

—- =--------+ 0(А2).

У Т

ТО ТО

Полученное выражение можно рассматривать как первый член разложения зависимости изменения продольной скорости течения от температуры следа в ряд Тейлора. Данное выражение отражает хорошо известный факт, что дозвуковое течение разгоняется при подводе тепла и увеличении температуры (в отличие от сверхзвукового течения, которое замедляется при подводе тепла).

В виде аналогичного ряда Тейлора можно, очевидно, представить и зависимость изменения вертикальной компоненты скорости от температуры:

(4.6)

В отличие от ряда для продольной скорости коэффициент с, при главном члене разложения в (4.6) оставим пока неопределенным (не исключено, что для плоской пластинки он может быть в дальнейшем найден аналитически).

Знак вертикальной составляющей возмущенной скорости в конкретной точке зависит от ее положения относительно пластинки. По условиям задачи у пластинки нагрета нижняя поверхность. Из общих соображений следует, что жидкий объем, находящийся со стороны нижней обтекаемой поверхности, попадая в более нагретую область и расширяясь, приобретает отрицательную вертикальную скорость. Аналогичное влияние на вертикальную скорость оказывает охлаждение верхней поверхности. Положительная вертикальная скорость возникает при нагреве верхней поверхности или при охлаждении нижней. В плоскости Треффтца подобное поведение вертикальных скоростей сохраняется, что подтверждается непосредственными расчетами.

Расчетные исследования аэродинамических характеристик крыла конечного размаха, полученные в разделе 3, показывают, что при охлаждении верхней поверхности в плоскости Треффтца в полном соответствии с вышеприведенными соображениями возникает дополнительная отрицательная вертикальная скорость (рис. 6).

Положение минимума вертикальной скорости приблизительно соответствует оси спутного следа, а величина дополнительной отрицательной скорости, вызванной в данном случае охлаждением верхней поверхности, составляет ~4% от первоначальной. Увеличение отрицательной

скорости в плоскости Треффтца означает возникновение дополнительной циркуляции скорости и глобальную перестройку обтекания тела.

Из (4.4) и (4.6), при положительном ^ и с учетом знаков вертикальной скорости, для изменения подъемной силы только вследствие теплообмена следует:

= ±С1р^2 | М dy + О (Л2). (4.7)

-<ю 1 “

Здесь отброшены члены О(Л£ - АТ), имеющие второй порядок. Знак «+» следует присваивать при интегрировании в нижней полуплоскости, знак «-» в верхней. В развернутом виде из (4.7) получаем:

Л^у = С1Рто^ТО

0 лт ~ +ТОлт+

Т ' ^ Т

то 0 а

-0(Л2). (4.8)

Если в теплообмене по условию задачи участвует только одна поверхность тела, например нижняя, то из (4.8), следует:

ЛFy = сірхуто | ^у +0(Л2) . (4.9)

Т,

Из полученного выражения заключаем, что нагревание нижней поверхности пластинки,

приводящее с очевидностью к положительному изменению температуры ЛТ_ > 0 в нижней полуплоскости Треффтца, даже при нулевом угле атаки приводит к появлению положительной подъемной силы. Аналогичным путем можно доказать, что и охлаждение верхней поверхности также приводит к появлению положительной подъемной силы.

Свяжем изменение температуры следа ЛТ = ЛТ± , входящее в более общее выражение (4.8),

- Т

с температурным фактором Т№ = —^, определяющим интенсивность теплопередачи. Будем счи-

Тто

тать, что все тепло от тела поступает в спутный след и проходит через пересекающую его плоскость Треффтца, что вполне оправдано геометрией контура интегрирования. В этом приближении тепло, проходящее через удаленные верхнюю и нижнюю грани контура интегрирования, не учитывается. Предположим также, что в плоскости Треффтца выравнивается статическое давление и течение несжимаемое. Тогда поток тепла, проходящий через плоскость Треффтца, при сделанных предположениях можно представить в виде:

+ТО

Q = Рто^ТО | ерЛТйу + 0(Л2) . (4.10)

—то

Здесь интегрирование в правой части ведется в плоскости Треффтца. С другой стороны, тепловой поток (4.10) равен таковому через обтекаемую поверхность тела и может быть выражен через закон Фурье:

Q = <|>А, (grad Т • п)й т. (4.11)

Здесь Ь — контур обтекаемого тела, А — коэффициент теплопроводности. Для малых дозвуковых скоростей и произвольного плоского тела выражение (4.11) обычно используют в следующей записи [14]:

Q = А(Т; -4 )Ет ^Ср , (4.12)

где №ср — среднее число Нуссельта для данного тела и конкретного характера обтекания; Ет — площадь поверхности, участвующая в теплообмене; Ь — характерный размер.

Для плоской пластинки задача о теплообмене с поверхности при ламинарном или турбулентном характере течения в пограничном слое хорошо изучена. Средние числа Нуссельта для ламинарного и турбулентного течений при числах Прандтля порядка единицы соответственно равны [14]:

^Ср.ЛаМ = 0.664Рг1/3 л/Йё, Кисртур = 0.037Рг1/3Яе1/5,

Ц СР

Рг =--------число Прандтля.

X

С учетом хорошо известных выражений для коэффициентов сопротивления трения пла-

1 328, С = 0074Йе-1/5 л/Йе

числа Нуссельта для любого характера обтекания пластинки можно выразить в общем виде:

стинки при ламинарном и турбулентном обтеканиях с/ лам = .— , с/ тур = 0.074Яе средние

Шср =1 сг Рг1/3Яе. ср 2 ;

Здесь с^ — коэффициент сопротивления трения пластинки при конкретном характере обтекания, в том числе и смешанном.

Тогда поток тепла в единицу времени от пластинки единичной ширины, смоченной с одной стороны, выражается следующим образом:

Q =1 сгЬ ХРг1/3Яе(Т№ - Т„). (4.13)

2

Приравнивая (4.10) и (4.13), выражаем интеграл от изменения температуры в плоскости Треффтца через заданную температуру поверхности тела. Подставляя его в (4.9), в безразмерном виде после несложных преобразований получаем:

ЛСу = С1С/Р2—1+0(л2). (4.14)

С учетом неопределенности величины безразмерного коэффициента с1 полученное выражение следует рассматривать как количественную оценку порядка влияния теплообмена на подъемную силу и как определяющее качественную структуру этого влияния.

Качественно можно утверждать, например, что при турбулентном обтекании влияние теплообмена на подъемную силу будет больше, чем при ламинарном при том же температурном факторе. При увеличении числа Рейнольдса влияние теплообмена будет уменьшаться.

Также будет уменьшаться влияние теплообмена при увеличении числа Прандтля (Рг ^то). Этого следует ожидать при изменении свойств среды в сторону сильно вязкой жидкости типа масла. Увеличивается влияние теплообмена при уменьшении числа Прандтля (Рг ^ 0), что характерно для жидкостей типа ртути.

Сравнивая (4.14) с точной при сделанных предположениях формулой (2.3) для изменения коэффициента сопротивления пластинки с учетом теплообмена, можно заключить, что порядок влияния несимметричного теплообмена на величину подъемной силы такой же, как и на силу сопротивления.

Очевидно, что количественный вклад слабого теплообмена и диссипативных процессов в подъемную силу, основную величину которой, безусловно, определяет «идеальная» циркуляция, весьма не велик. В то же время теплообмен, особенно несимметричный, вызывает глобальную перестройку обтекания тела, изменяет его несущие свойства и сопротивление.

Использование определенным образом организованного теплообмена открывает дорогу к управлению, пусть и в небольших пределах, подъемной силой и аэродинамическим сопротивлением профиля или крыла энергетическими (не геометрическими) методами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Петров А. С. Влияние реальных свойств газа на суммарные аэродинамические силы при дозвуковых скоростях потока //Теплофизика и аэромеханика. 2004. Т.11, № 1, с. 33 — 50.

2. Kim J., Rusak Zvi and Korotkar N. Small-scale airfoil aerodynamic efficiency improvement by surface temperature and heat transfer // AIAA J. 2003, V. 41, N 11.

3. Петров А. С. Теория аэродинамических сил при дозвуковых скоростях. Учебное пособие. — М.: МФТИ, 2007, 236 с.

4. Петров А. С. О полном сопротивлении тела в потоке вязкого, теплопроводного газа // Ученые записки ЦАГИ. 1991. Т. XXII, № 2, с. 57 — 65.

5. Корж С. К., Юрьев А. С. Влияние подвода тепловой энергии на параметры сопротивления профиля в трансзвуковом потоке идеального газа // Ученые записки ЦАГИ. 1995. Т. XXVI, № 3 — 4, с. 16 — 25.

6. Стародубцев М. А. Управление трансзвуковым обтеканием аэродинамического профиля с помощью теплоподвода // Ученые записки ЦАГИ. 2007. Т. XXXVIII, № 1 — 2, с. 36 — 40.

7. Петров А. С. Термодинамическая эффективность уменьшения волнового сопротивления с помощью подвода тепловой энергии в местную сверхзвуковую зону профиля // Ученые записки ЦАГИ. 2008. Т. XXXIX, № 3, с. 3 — 13.

8. Петров А. С. Подъемная сила и индуктивное сопротивление крыла конечного размаха в потоке вязкого сжимаемого газа при дозвуковых скоростях // Ученые записки ЦАГИ. 2009. Т. XL, № 5, с. 16 — 28.

9. Жуковский Н. Е. О контурах поддерживающих поверхностей аэропланов. Избр. соч. Т. 2. — Л.-М.: Гостехиздат, 1948.

10. Перш Дж. Теоретическое исследование турбулентного пограничного слоя с теплообменом при сверхзвуковых и больших сверхзвуковых скоростях потока // Техн. перевод БНИ ЦАГИ, № 9660.

11. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. I, II. — М.: Наука, 1970.

12. Серебрийский Я. М., Христианович С. А. О волновом сопротивлении // Труды ЦАГИ, 1944, вып. 550.

13. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1973, 904 с.

14. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1974, 712 с.

Рукопись поступила 14/XII2010 г.