CC BY
51
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
То ом ХХ//
199 1
М2
УДК 533.6.011.3/.5
О ПОЛНОМ СОПРОТИВЛЕНИИ ТЕЛА В ПОТОКЕ ВЯЗКОГО, ТЕПЛОПРОВОДНОГО ГАЗА
А. С. Петров
В работе на основании теоремы импульсов получен главный член ВЫражения для полного сопротивления тела в потоке вязкого, теплопроводного газа при околозвуковых и малых сверхзвуковых скоростях потока. Как Частные случаи получены известные выражения для профильного, волнового и индуктивного сопротивлений. Исследовано сопротпвление, возникающее вследствие теплообмена тела с окружающей средой.
Для вычисления полного сопротивления тела в потоке вязкого, теплопроводного, сжимаемого газа в качестве исходного будем использовать известное выражение, полученное на основании теоремы о сохранении импульса. Для плоского случая его можно записать в виде [1]:
Здесь Гх — сила сопротивления, р, V — статическое давление и скорость потока, р — плотность среды.
Интегрирование ведется по сечению 1, расположенному перед обтекаемым телом, и сечению 2 — после. Следует отметить, что выражение (1) для полного сопротивления тела является самым общим следствием фундаментальных законов сохранения механики сплошной среды, не зависящим от ее конкретных физических свойств — вязкости, теплопроводности и т. п.
Для вычисления сопротивления обычно поступают следующим образом: используя уравнение неразрывности, означающее отсутствие источников (стоков) среды,
интегрирование переводят в плоскость 2 за обтекаемым телом. Далее отодвигают сечение 2 в бесконечность и в каждом конкретном случае делают дополнительные предложения о поведении далеко в следе за телом гидродинамических величин — давления, температуры, скорости или функций от них. Это позволяет замкнуть задачу и получить конечные выражения для сопротивления тела. Этим путем были получены, например, все выражения для волнового сопротивления профиля при
= | (Рі + Рі V?) СІУі — | (р2 + р2 VI) йУг.
(1)
—оо
— 00
Рі V, йу! = Р2 V;; йУг,
околозвуковых скоростях потока [2—5], формула Сквайра — Юнга для профильного сопротивления [6].
Рассмотрим наиболее общий случай обтекания тела, когда уравнение Бернулли, часто используемое в этих задачах, в его классической форме не выполняется, тело может являться источником (стоком) среды, а далеко в следе за телом ни одна из гидродинамических величин не выравнивается до параметров набегающего потока. Пусть в сечении
1 поток имеет те же параметры, что и на бесконечности, тогда в сечении
2 параметры потока можно представить следующим образом:
Рг =/>оо + Ар, р2 = Р~ + Др, vг = Voo-\■ Дг>, Г, = Пс Л-АТ, р2 '»2 = Роо,Ооо +Д(рг').
(2)
Предположим также, что в следе за телом меняется энтропия потока
■5а = 5» + Д5, S = --т 1п4 (3)
* А р
и его полная энергия Н
Иг = н„ + Ш, Н = сТ + — + — ‘ (4)
здесь # — газовая постоянная; х — показатель адиабаты, Су — теплоемкость среды при постоянном объеме.
Будем считать, что относительные изменения А всех термодинамических параметров потока (2) много меньше единицы. Это соответствует случаю околозвуковых и малых сверхзвуковых скоростей. Изменения энтропии АS и полной энергии потока АН в следе в случае сильного принудительного нагрева тела или в случае истечения из тела высокоэнергичной струи могут иметь произвольные значения. Ограничимся случаем, когда:
Х«1, ^ «1.
Здесь а"" — скорость звука в покоящемся газе. Изменение расхода А (ру) может при этом быть произвольным.
Прежде, чем перейти непосредственно к вычислению сопротивления тела, получим некоторые общие соотношения между параметрами потока, следующие из предположений (3), (4). Выпишем их в развернутой форме (индекс 2 временно опускаем):
“ Р - *
1п-4- =
% -1 р" %-1 &
с УТ + -~ + тт = Т00 + - + ~ + АН.
Введем безразмерные переменные:
с 5 — н — Р - р — т гг —
5 = Н = р = р = — , Т = -у- , v — — ,
вет Роо рС0 ‘00 и00
V
Моо^~
и, используя уравнение состояния,
_ _ _ р = рЯ7\ (6)
выразим р, р, Т через А^, ЛЯ и 11, которые будем считать известными:
1 +
х—1
Р = е
Д5
1 + ^ Мм (1 _ ^2) + (х -1) дн
Х-1
1
X—1
Т = 1 + V1 ММ (I - V2) + (х- 1) АН.
(7)
Полученные формулы можно рассматривать как обобщение изоэнт-ропических формул на случай изменения энтропии и полной энергии потока.
При Л5=0 и АН = 0 формулы (7) переходят в известные изоэнтро-пические [7].
Возвратимся теперь к общему выражению для сопротивления (1). Запишем уравнение неразрывности, с учетом наличия источников (стоков) среды, в виде
Р2 V dy2 = роо У со dy1 + А (р V) йу2
и перейдем в (1) к интегрированию только в плоскости 2, расположенной достаточно далеко за телом. Тогда в безразмерных переменных (5) из (1) следует (индекс 2 опускаем):
+ 00
+00
+ оо
С г == ■
5 (\-р)йу + 2 5?У(1 — У)йу-2 5А§У)йу. (8)
—00 —со —со
Воспользуемся теперь предположением об относительной малости отличия параметров течения в следе от соответствующих параметров на бесконечности и разложим выражения (7) в ряд по Л5, АН и АУ = = 11 — 1, оставляя только главные части:
Р = 1 — Д5 - Д V + хДН+ О (А2) ,
Р = 1 -ДЗ -Моо-Д7 + ДН + О (А*),
Т= 1 — (х - 1) -ЛУ + (х - 1) АН + О (А*).
(9)
Здесь через О (Л2) обозначены все члены порядка квадратов и произведений малых величин. Подставляя в (8) полученные разложения, получаем:
°х -х.м2
00 „ +00 +00 /+00 )
| Д Sdу — -Мг 5^Hdy-2 \ Л (р У)йу + О | Д 2йу . (10)
Это выражение можно рассматривать как главный член разложения для коэффициента сопротивления тела в потоке вязкой сплошной среды с произвольными физическими свойствами. В размерном виде:
+00/). +00 +00 /+00 )
Рх = рОО|^- <У-рю \AHdy - У„$Д(рУ)йу + 0 \A2dy . (11)
Полученные выражения показывают, что причиной возникновения аэродинамического сопротивления тела может являться увеличение энтропии в следе за обтекаемым телом, уменьшение полной энергии потока, наличие стоков среды на теле или комбинации этих причин. Выясним, нет ли еще параметров, изменение которых может привести к увеличению сопротивления тела. Для этого найдем чисто термодинамическим путем, в самом общем случае, все причины, которые приводят к уменьшению полного импульса потока за обтекаемым телом и, следовательно, к возникновению сопротивления. Вычислим полный дифференциал импульса течения Р =р + рК2:
4Р = 4р + рУй!У + 1^(рК). (12)
Используя самые общие термодинамические соотношения, справедливые для вязкой, сжимаемой, теплопроводной среды [8], найдем полные дифференциалы энтропии и полной энергии потока:
pdH = pd (c„ Т + f) + pVdK;
(13)
Р
Из (12), (13) с учетом уравнения состояния (6), следует:
dP = — р RR + pdH+ Vd(pV). (14)
Нетрудно заметить, что в структуре выражения (11) для полного сопротивления тела нашли свое отражение все члены полного дифференциала импульса (14) и, следовательно, все причины, приводящие, в рамках сделанных предположений, к возникновению сопротивления тела.
Рассмотрим некоторые частные случаи выражений (10), (11):
а. Профильное сопротивление. Рассмотрим обтекание плоского тела потоком вязкой несжимаемой жидкости. Источники и стоки среды отсутствуют. В этом случае обычно принимается Н = const [9]. Тогда для профильного сопротивления получаем выражение (члены /+оо \
~ О (} dy ) отбрасываем):
Рх=рОО ТR ^ c'=^T4Sdy. (15)
00 —со
Покажем, что из (15) следует известная формула для профильного сопротивления. Предположим, что профиль скорости в следе далеко за телом известен. Тогда, используя теорему Крокко [10]
TgradS = [9 X ii] ,
Q = rot V, (16)
можно найти связь между энтропией и скоростью спутного течения. Будем считать, что в следе течение практически плоское, температура постоянна и равна температуре на бесконечности. Тогда из теоремы Крокко при этих предположениях следует:
т ' ' 1/2 ду
Проинтегрируем по у от точки с невозмущенным потоком до точки следа:
гх(3-3а;,) = - ( =^..г ^Ну°° + Н _
= УЛУос-Ух) + 0(Д2).
Подставляя Д5=(5 — 5^) в (15), получаем:
+00 до +00 /+00 \
Роо 00 ydy = poo 00 УЛУет-V,) + о ( 00 00ау .
— 00 — =о \—ос /
В правой части получили хорошо известную формулу для профильного сопротивления тела [1], выведенную в предположении о выравнивании статических давлений в следе и на бесконечности. Формула (15) указывает также на физическую причину возникновения профильного сопротивления, которая заключается в возрастании энтропии течения в вихревом следе за обтекаемым телом и необратимости перехода в тепло части кинетической энергии потока.
б. Волновое сопротивление. Как известно, при переходе через скачок уплотнения полная энергия потока сохраняется [8]. Будем считать, что источники среды на теле отсутствуют. Тогда ДЯ = 0, Д(ри) =0 и для волнового сопротивления получаем формулу, аналогичную (15)
+со 2 +"00 _
^ХВ0ЛН^РМ ^ —Я" dУi Сх воли^ М2 2 ^ &у.
—00 оо —00
Считая, что источников энтропии в следе за телом нет, можно перевести интегрирование по бесконечно удаленному сечению к интегрированию энтропии вдоль скачка уплотнения:
ЛСК Д£ 2 *СК _
^хволн^рос У ~7Г~ ^У, Схволи = 'Х.М2 ^ Д5^у. (17)
Здесь Д5 — перепад энтропии при переходе через скачок уплотне-
ния, Нек — высота скачка уплотнения.
Аналогичное выражение для волнового сопротивления получено, например в работе [5].
в. Индуктивное сопротивление. Рассмотрим несущее крыло конечного размаха в потоке идеальной несжимаемой жидкости. В этом случае очевидно:
И индуктивное сопротивление тогда выражается формулой, аналогичной (15), но для трехмерного случая:
+оо , _
+ ^ Д£ 2 ~
‘х инд = Роо ] J ^ dydz, сХКНд = 'Х.^2 (18)
Интегрирование ведется по плоскости, достаточно удаленной от тела и перпендикулярной вихревому следу. Примем в первом приближении, что циркуляция вдоль размаха крыла распределена по эллиптическому закону, а вихревая пелена за крылом плоская.
Свяжем увеличение энтропии в точках вихревой пелены с распределением циркуляции Г (z) вдоль размаха крыла. Для этого воспользуемся опять теоремой Крокко (16). Тогда, для составляющей градиента энтропии по оси z, следует:
ТОС -Ц- =Q, Vy. (19)
Здесь предполагается, что вихревые нити пелены выстроились вдоль оси х по набегающему потоку и Qz = Qy ~O. Значение завихренности для бесконечно тонкой вихревой пелены, через значение плотности циркуляции в ней:
. ч дГ I(Z) = -др,
можно представить в виде [11]:
2х = 1 (z) 3 (У -Уо);
здесь б (у—уо) —дельта функции; Уо — ордината вихревой пелены.
Скорость индуктивного скоса vv для эллиптического распределения циркуляции постоянна [7].
'Vy = 'Vy о = const.
Тогда, интегрируя (19) вдоль оси z от края вихревой пелены z = —I до некоторой точки z на ней, получаем распределение энтропии вдоль вихревой пелены:
S(y, z) = -TocJ ^J2^8(y-yo)'V,odz = -^Hz)0(Y —Уо)"
Подставляя полученное выражение в (18), получаем:
Р v + оо
F*™-Т(ЮГ ЯГ'ИЧУ-УоМуЛ. (20)
—со
С учетом свойств б-функции и уравнения состояния из (20) следует хорошо известная формула для индуктивного сопротивления эллиптического крыла [7]:
+ !
Fx ИИД = рос 'VC1J a.i S Г (z)dz.
-г
О Vyo и
Здесь а., = —-----индуктивный скос потока.
оо
Рассмотренные случаи а, б, в показывают, что все основные виды сопротивления возникают вследствие увеличения энтропии за обтекаемым телом, первопричиной которого является вязкость потока и необратимость перехода в тепло части его кинетической энергии.
Исследуем два случая, когда изменение сопротивления тела прямо не связано с увеличением энтропии в спутном течении.
г. Сопротивление стока.
Пусть Д5 = О, ДЯ = О, Д lp О.
В этом случае
+00
Рх = - Voo j А (pV)dy.
Пусть жидкость несжимаемая, тогда:
+00
S Д (р V) dy == роо Qo,
—00
где Qo — обильность источника (стока).
Окончательно:
РХ = роо "'со Qo*
Это хорошо известная формула сопротивления стока, приведенная, например, в работе [1].
д. Во всех случаях, рассмотренных выше, полная энергия потока Н сохранялась. Исследуем случай, когда это условие не выполняется. Чему это соответствует?
Пусть, например, температура тела, помещенного в поток, выше температуры окружающей среды. Очевидно, что в этом случае тело будет отдавать тепловую энергию в поток.
Температура следа и полная энергия потока в нем несколько увеличатся по сравнению с равновесным случаем. Найдем, как это отразится на сопротивлении тела.
Будем считать, что в следе при постоянном давлении р = рсо и, при отсутствии источников среды, произошло изменение полной энергии тела на величину А#. Это повлечет за собой изменение энтропии потока, его плотности, скорости и температуры. Найдем соотношения между соответствующими «дельтами» при условии p = const, исходя из определений Н, S и уравнения состояния
ДИ = срДГ+ VcoAV + 0(Д2);
ASUonst = - ^ ОО + 0(Д2);
Р = const (pRT) =0 -+ — = -т- + 0(6.2).
РСО ■ ‘ 00
Используя полученные соотношения, выразим подынтегральные члены в формуле (11):
Роо ^- = ^Ра,/?ДГ + 0(Дз);
Роо 6.Н =рсоСр ДТ + рсо — + "'оо(рсо 6.", + "'оо 6.р) + 0(6.2).
00
Подставляя в (11) и упрощая, получаем:
+°° АТ +°° /+00 \
Fx= — pooVl0 j dy — Vao f (poo Av + Voo Др) dy + О I j A2dy .
—00 —00 \—CO /
Так как по условию источников среды нет, то:
+00
V00 J (роо Д", + "'00 Др) dy = 0.
—00
Окончательно:
Fx = — P°oг& f Y~dy Н-0(Д2).
4/ * со
■ —00
В безразмерном виде:
с, = -2 5 ДТгіу + О(Д2).
(21)
— 00
Из (21) следует вывод о том, что увеличение полной энергии потока в следе, которое можно выразить через увеличение его температуры, приводит к уменьшению сопротивления тела, несмотря на возрастание энтропии течения.
Как следствие этого, горячее тело, помещенное в более холодный поток, уменьшает свое сопротивление. Экспериментальные результаты, подтверждающие уменьшение коэффициента сопротивления при нагреве модели, приведены в работах [1], [12]. Рассмотрим в связи с этим следующую задачу. Пусть тело с температурой поверхности Т™ помещено в поток газа с температурой Т. Свяжем изменение температуры спутного следа, которое необходимо для расчета изменения сопротивления тела по формуле (21), с температурой поверхности тела. Будем считать, что теплообмен на границе между телом и потоком осуществляется только посредством теплопроводности. Тогда поток тепловой энергии через поверхность тела можно представить в виде [1]:
Здесь X — коэффициент теплопроводности, I — характерный размер
тела, № (г) — распределение чисел Нуссельта по поверхности тела.
Интегрирование ведется по поверхности тела 2, участвующей в теплообмене.
Распределение чисел Нусельта по поверхности тела зависит от его формы, числа Рейнольдса, характера обтекания.
. Для плоской пластинки зависимости ^(г) приведены, например, в раб оте [1] для ламинарного и турбулентного состояний пограничного слоя.
При сравнении результатов расчетов по формуле (21) с результатами эксперимента следует учесть, что увеличение температуры стенки приводит к увеличению температуры прилегающих к стенке слоев газа и возрастанию коэффициента вязкости. Если принять степенной закон изменения вязкости [1]
где С/0 — коэффициент трения при 7^=1.
Окончательно главный член суммарного изменения коэффициента сопротивления тела при его теплообмене с окружающей средой, можно представить в виде:
Напомним, что полученная формула справедлива при значениях температурного фактора Т№ не сильно отличающихся от единицы.
то к (24) следует добавить член:
ДСх = С/0 (Тг - 1 ) ,
2 8п°р(Те-|) ЯЫи (г) ^ + С/о (- 1) . (22)
1,e is 2,0 TJT„
■*— 9ксл1,ии1нт ri2]. #=0,Ri—=7J500 ----шчею по 0opw!lile(24)
На рисунке приведено сравнение результатов расчетов по формуле (24) с результатами эксперимента для плоской пластины при числах ^** = 13 500, м = о, Pгг=1 [12]. В расчетах принималось турбулентное состояние пограничного слоя по всей длине пластинки. Совпадение результатов расчетов с результатами эксперимента при значениях 7™, близких к единице, следует признать удовлетворительным.
Этим случаем исчерпываются причины, приводящие, в рамках сделанных предложений, к появлению аэродинамического сопротивления тела или к его изменению. К числу дополнительных причин, не рассмотренных в настоящей работе, можно отнести, например, реальность свойств газа, наличие химических реакций или диссоциации газа на поверхности тела или в скачке уплотнения. Эти факторы могут оказаться важными при больших сверхзвуковых скоростях потока.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ш л и х т и н г Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1974.
2. С е р е б р и й с к и й Я. М., Х р и с т и а н о в и ч С. А. О волновом сопротивлении. — Труды ЦАГИ, 1944, вып. 550.
3. В у р а г о Г. Ф. Теория крыловых профилей с учетом влияния сжимаемости воздуха. — М.: Изд. ВВИА им. Н. Е. Жуковского, 1949.
4. 3 е л е н с к ий И. Е. О лобовом сопротивлении тел, погруженных в газовый сверхзвуковой поток сверхзвуковой скорости. — Ученые записки Харьковского университета, 1949, т. 29.
5. Т. ф о н К а р м а н. Основы аэродинамики больших скоростей.—
В сб.: Общая теория аэродинамики больших скоростей./Под ред.
У. Р. Сирса. — М.: Воениздат, 1962.
6. S q u i г е Н. В., Y о u п g А. D. The calculation of the profile drag of airfoils. — ARC RM, 1938.
7. Л о й ц я н с к ий Л. Г. Механика жидкости и газа. —,М.: Наука, 1970.
8. С е д о в Л. И. Механика сплошной среды, т. 1. — М.: Наука, 1976.
9. К о ч и н Н. Е., К и б е ль И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 11. — М.: Наука, 1963.
10. В е т ч е л о р Д ж. Введение в динамику жидкости. —М.: Мир, 1973.
11. Пе т р о в А. С. О начальных и граничных условиях для уравнений Навье — Стокса в форме Гельмгольца. — Ученые записки ЦагИ, 1982. т. 14, N2 2.
12. Перш. Теоретическое исследование турбулентного пограничного' слоя с теплообменом при сверхзвуковых и больших сверхзвуковых скоростях потока. — Техн. перевод ВНи ЦАГИ, № ^^0.
Рукопись поступила 2/III /9!Ш г
5 — «Ученые записки» Н 2
