Метод расчета минимального индуктивного сопротивления пространственных несущих систем Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXVIII 1997

М2

УДК 629.735.33.015.3.025.1:533.6.013.12/. 13

МЕТОД РАСЧЕТА МИНИМАЛЬНОГО ИНДУКТИВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ НЕСУЩИХ СИСТЕМ

А. А. Павленко

Предложен метод расчета распределения циркуляции вдаль размаха несущих поверхностей пространственной системы, который обеспечивает минимум ее индуктивного сопротивления в потоке несжимаемой жидкости при заданной величине подъемной силы. Метод основан на кусочно-линейной аппроксимации распределения циркуляции вдоль размаха несущих поверхностей. Представлены результаты параметрических расчетов минимального индуктивного сопротивления и соответствующего распределения нагрузки по размаху крыльев пространственных несущих систем (крыло с концевыми поверхностями, биплан, коробчатая несущая система).

Рассмотрим систему несущих поверхностей в потоке несжимаемой жидкости. Будем считать, что углы атаки невелики, возмущения, вносимые в поток несущими поверхностями, малы и вихревая пелена, сходящая с задних кромок крыльев, направлена по вектору скорости набегающего потока. Используя закон сохранения энергии, индуктивное сопротивление системы можно выразить через характеристики двумерного течения в плоскости Треффтца. Критерий оптимальности распределения завихренности в следе за несущей системой при заданном значении подъемной силы дан Мунком [1]: необходимо, чтобы в плоскости Треффтца нормальный к пелене компонент индуцированной скорости был пропорционален косинусу угла наклона элемента пелены к горизонтальной плоскости V„ = V cos 0. Если на течение в плоскости Треффтца за несущей системой с оптимальным распределением циркуляции наложить равномерный поток со скоростью, равной V, получим картину обтекания системы дужек, представляющей сечение вихревой пелены плоскостью Треффтца. На этом факте основаны методы расчета оптимального распределения циркуляции по несущим системам с помощью метода конформных отображений [2], [3] или дискретных вихрей [4]. Результаты исследования оптимальности фор-

мы самой пелены представлены в монографии [S] и работе [6]. В данной статье предложен метод, который не основывается на критерии Мунка.

Метод расчета. Будем рассматривать несущие системы, для которых сечение вихревой пелены плоскостью Треффтца представляет набор ломаных линий. Каждый отрезок ломаной разбивается на несколько сегментов, и делается предположение о том, что циркуляция присоединенного вихря, соответствующего сегменту, линейно изменяется вдоль размаха, и, следовательно, завихренность в следе за этим участком присоединенного вихря постоянна. При таком законе изменения циркуляции завихренность в следе за несущими поверхностями представляется кусочно-постоянной функцией, индуктивное сопротивление — квадратичной, а подъемная сила — линейной формами относительно значений завихренности в следе за участками с линейным

изменением циркуляции:

Х = (!)

Y = Xlai. (2)

Таким образом, задача определения оптимального распределения циркуляции преобразуется к задаче поиска минимума квадратичной формы при заданном значении линейной. Применение метода неопределенных множителей Лагранжа сводит задачу к решению системы линейных уравнений.

Найдем выражения для коэффициентов форм (1) и (2). Пусть правая симметричная часть сечения вихревой пелены плоскостью Треффтца состоит из N сегментов, завихренность в пелене за которыми постоянна. Введем прямоугольную декартову систему координат Оху. Обозначим через ^ yj, ), rii(x7i> У2П радиусы-векторы корневой и концевой точек /-ГО сегмента, через 5,- (fljg-, dyj) И п,- (ид/, tlyj) — направляющий и нормальный к нему единичные векторы, через As,- — его длину, через у,- — значение завихренности в пелене. Плотность жидкости и скорость набегающего потока положим равными единице.

Рассмотрим несущую систему, для которой завихренность отлична от нуля и равна единице только за i-м сегментом. Присоединенный вихрь имеет постоянную циркуляцию, равную ASj, на всех сегментах, «поддерживающих» /-й сегмент, а на нем самом циркуляция линейно убывает до нуля. Подъемная сила такой вихревой системы равна значению коэффициента линейной формы (2) и выражается через геометрические параметры сегмента: As,(xi,- + *2/)-

Для определения коэффициентов квадратичной формы (1) рассмотрим пелену, в которой завихренность отлична от нуля и равна единице только за сегментами с номерами / и j. Коэффициент dt j равен сопротивлению, индуцируемому на вихревой системе /-го сегмента (с учетом симметричной половины) скосами, которые генерируются пеленой, сошедшей с /-го сегмента и его зеркального отображения. Поскольку циркуляция присоединенного вихря системы i-ro сегмента

постоянна по всем «поддерживающим» сегментам и линейно изменяется на нем самом, для определения индуктивного сопротивления нужно

Д*I щ

вычислять интегралы: jvnijdsi и jsjVngdSj, где Упд — нормальная

о о

к /-му сегменту компонента скорости, индуцированная вихревой пеленой, сошедшей с у-го сегмента. Для первого и второго интегралов получаем выражения:

ЛЗ/

!<

о

{а;>р)ы\р\ + (йу, р)ис\%

\а]>Р)

-(«/»£)]

|= {о,5[-(а,-, р){а], р) + {щ,р){п],р) + 2*,(ву, р

П = ги

гу = Гц

?у=г1у

(«/ ,3)

+0,5[-(5,-, р){п], р) - (й,-, р){а},р) + 28{{п], ЩдхсХъ~ ^)[°525^2 + 5,(5,- - (а,-, />))] -

-0,5{а1,п;){Я{,р){ч,р)}

/у — Рц, 5/ — А5| = %,*,• =0

П = Гу

Гу = Цу

где Р = п-Г].

Линейная система, получающаяся в результате применения к задаче поиска условного экстремума X------— -—»тш, У = Уа мето' УГ)------------------------------------------------.

да неопределенных множителей Лагранжа, имеет ввд:

к н

■ Цу +^у,)

/1 /2

У1 0

У2 0

УN 0

X Уа

Метод легко допускает введение дополнительных ограничений на распределение нагрузки по размаху. Например, ограничение на величину изгибающего момента аэродинамических сил в месте заделки крыла сводится к требованию, чтобы некоторая линейная форма имела заданное значение (изгибающий момент в центральном сечении прямоугольного крыла выражается линейной формой с коэффициентами з з

Ь. = х* ё хн-).

Результаты расчета. Описанный подход был реализован в программе расчета на персональной ЭВМ. Коэффициенты квадратичной и линейной форм (1) и (2) рассчитывались по аналитическим выражени-

ям. В представленных результатах оптимальное индуктивное сопротивление несущей системы характеризуется коэффициентом уменьшения индуктивного сопротивления по сравнению с оптимальным сопротивлением изолированного крыла при том же значении подъемной силы.

Крыло с концевыми поверхностями. На рис. 1 представлены результаты расчетов минимального индуктивного сопротивления крыла с концевыми поверхностями. Исследовано влияние угла развала поверхностей \|/ и их относительной (в долях полуразмаха основного крыла) выоты й. Путем установки концевых поверхностей с небольшим углом развала (около 20°) при относительной высоте от 0,1 до 0,2 (рис. 1, а) можно уменьшить оптимальное индуктивное сопротивление на 12 ... 22%. Наиболее существенное уменьшение оптимального индуктивного сопротивления достигается при расположении концевой поверхности в плоскости основного крыла (при образовании крыла большего удлинения). Этот факт согласуется с выводом работы [6] о том, что при фиксированной длине линии сечения вихревой пелены плоскостью Треффтца наименьшее оптимальное индуктивное сопротивление достигается в том случае, когда эта линия не имеет прогиба. Вместе с тем уменьшение оптимального индуктивного сопротивления при увеличении угла развала концевых поверхностей сопровождается увеличением изгибающего момента крыла (рис. 1, в), что должно повлечь за собой увеличение веса конструкции. Расчеты оптимального

Коэффициент увеличения изгибающего момента В центральном сечении крыла с концеВымй поберхностями

А

+ из работы \ч\

т

30° 60’ яг ф

с тнцвМ поверхностью

распределения циркуляции при заданном значении изгибающего момента в центральном сечении крыла (таком же, как на крыле без концевых поверхностей с эллиптическим распределением циркуляции) показали, что в этом случае оптимальное индуктивное сопротивление лишь незначительно уменьшается при увеличении угла развала поверхностей (рис. 2), и, например, при относительной высоте поверхностей 0,2 уменьшение оптимального сопротивления при использовании концевых поверхностей, установленных с углом развала 20°, оказывается практически таким же (около 15%), как и при их расположении в плоскости крыла.

Оптимальное (без ограничения на величину изгибающего момента) распределейие циркуляции по размаху крыла и концевой поверхности характеризуется большей нагруженностью концевых сечений крыла по Сравнению с оптимальным для изолированного крыла эллиптическим* распределением (рис. 1, г). Наложение дополнительного ограничения на величину изгибающего момента в центральном сечении крыла приводит к перераспределению циркуляции от концевых сечений крыла к корневым. ’

Биплан. Расчеты оптимального индуктивйбго сопротивления биплана показали, что наиболее существенное уменьшение оптимального индуктивного сопротивления биплана по отношению к моноплану достигается при одинаковом размахе крыльев биплана (рис. 3, а).

Оптимизация распределения циркуля-иии во прямому крылу с концевыми поверхностями при ограничении на величину изгибающего момента Й центральном сечении

1,0

....т

Рис. 2

Коэффициент уменьшения оптимального инйуктиЬнога сопротивления биплана.

I

Рис. 3

Уменьшение размаха одного из крыльев приводит к резкому падению эффекта биплана.

Добавление концевых поверхностей (переход к несущей системе коробчатого типа) приводит к дополнительному уменьшению оптимального индуктивного сопротивления (рис. 3, б). Для реально возможных геометрических параметров (2h/L = 0,1 ... 0,15) оптимальное индуктивное сопротивление биплана может быть примерно на 10 ... 15% меньшим, чем у моноплана.

Автор выражает благодарность С. В. Ляпунову за замечания, сделанные при обсуждении результатов работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Munk М. М. The minimum induced drag of aerofoils // NASA Rep. - 1921, N 121.

2. L u n d г у J. L. A numerical solution for the minimum induced drag and the corresponding loading of non-planar wings // NASA CR-1218.— November 1968.

3. Жилин Ю. Л. Крыло минимального индуктивною сопротивления вблизи поверхности земли // Изв. АН СССР, Механика и машиностроение,—1964, № 1.

4. Blackwell М., James A. Jr. Numerical method to calculate the induced drag or optimum loading for arbitrary non-planar aircraft // NASA SP-405,

1976.

5. D u r a n d W. F. (ed.) Aerodynamic theory. Dover Publication, Inc. —

New York.—1963. V. II, div. E.

6. Л я п у н о в С. В. Неплоские крылья минимального индуктивного сопротивления // Изв. РАН, МЖГ. — 1993, № 2.

Рукопись поступила 31/Х 1995 г.